SOAL TRIGONOMETRI

1. Ditentukan (1+tan A)(1+tan B)=2.Tunjukkan bahwa tan (A+B)=1.Jawab:(1+tan A)(1+tan B)=21+tan A+tan B+(tan A.tan B)=2tan A+tan B+(tan A.tan B)=2-1tan A+tan B=1-(tan A.tan B)berdasarkan rumustan(A+B)=(tan A+tan B)/(1-tan A.tan B)=(1-tan A.tan B)/(1-tan A.tan B) [dari langkah pertama tadi tan A+tan B=1-(tan A.tan B)]tan(A+B)=1

JADI,tan (A+B)=1

2. 2 cos 135' cos 45'=....Jawab:2 cos A cos B=cos(A+B)+cos(A-B)2 cos 135' cos 45' =cos(135'+45')+cos(135'-45')2 cos 135' cos 45'=cos 180'+cos 90'2 cos 135' cos 45'=-1+02 cos 135' cos 45'=-1

3. diketahui tan a=3/4 dan tan b=1/7,a dan b lancip,tentukan nilai cos(a+b).Jawab:

tan a=3/4 (a lancip)maka sin a=3/5,cos a=4/5

tan b=1/7 (b lancip) maka sin b=0,14,cos b=0,99

cos(a+b)=cos a cos b-sin a sin b=4/5.0,99-3/5.0,14=0,028(28-3)=0,70

4. diketahui tan(a+b)=2/3 dan tan(a-b)=3/4.tentukan nilai daria. tan 2ab. tan 2bc. tan (2a+2b)

jawab:

tan(a+b)=2/3,tan(a-b)=3/4

a. tan 2a=tan(a+b+a-b)=(2/3+3/4)/1-2/3.3/4=(8+9)/12-6=17/6

b. tan 2b=tan(a+b-(a-b))=2/3-3/4)/1+2/3.3/4

=(8-9)/12+6=-1/18

c. tan(2a+2b)=(17/6+ -1/8)/(1-17/6.-1/8)=((51-1)/18) / 1+(17/6.18=(50/18) / ((108+17)/6.18)=300/125=12/5

5. Buktikan bahwa ((cos a+sin a) / (cos a-sin a)) - ((cos a-sin a) / (cos a+sin a))=2 tan 2ajawab:

((cos a+sin a) / (cos a-sin a)) - ((cos a-sin a) / (cos a+sin a)) =( (cos a+sin a)^2 - (cos a-sin a)^2 ) / (cos^2a-sin^2a)= ( cos^2a+2 cos a sin a+sin^2)- (cos^2a-2 cos a sin a +sin^2a ) / (cos^2a-sin^2a)=2 (sin 2a/cos 2a)=2 tan 2a (terbukti)

6. a. Hitunglah cos 75°.b. Buktikan : 

Jawaban :

a. cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°

7. Diketahui cos(A – B) = 3/5 cos A . cos B = 7/25. Tentukan nilai tan A . tan B

Penyelesaian :

8. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah ....A.      200 D. 203B.      201 E. 204C.      202

Jawaban : B Un = a + ( n – 1 )b             U10 = a + 9b = 41       U5 = a + 4b = 21 _

5b = 20 → b = 4

a + 4b = 21 → a + 4.4 =21 → a + 16 = 21→ a =5

U50 = a + ( 50 – 1 )4 = 5 + 49.4 = 5 + 196 = 201

9. Jumlah n suku pertaman deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah ….A.      44 D. 38B.      42 E. 36C.      40(UN 2012)Jawaban : AUn = Sn – Sn – 1

U20 = S20 – S19 = (202 + 5.20) – (192 + 5.19) = 500 – 456 = 44

10. eorang penjual daging pada bulan januari dapat menjual 120 kg, bulan

Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah ….A.      1.050 kg D. 1.650 kgB.      1.200 kg E. 1.750 kgC.      1.350 kg(UN 2011 P54)Jawaban : DDiketahui : a = 120 kg, b = 10 kg, n = 10 bln

= 1.650 kg

11. Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U2 + U15 + U40 = 165,maka U19 = ….A.      10 D. 55B.      19 E. 82,5C.      28,5(UN 2010 P12)Jawaban : DU2 + U15 + U40 = 165(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 1653a + 54b = 165 (dibagi 3) a + 18b = 55Jadi U19 = a + 18b = 55

12. Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + ....

Jawaban :

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.S100= ½ × 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}= 50 (202)= 10.100

13. Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Pembahasan :Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Un = 99.Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut.

Un = a + (n – 1)b↔ 99 = 3 + (n – 1)3↔ 3n = 99↔ n = 33Jumlah dari deret tersebut adalah :

S33  = ½ × 33(3 + 99) = 1.683

Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683.

14. Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah Sn = 2n2 – 4n. Tentukan suku ke-n deret tersebut dan bedanya. Tentukan pula U9.

Penyelesaian :

Sn = 2n2 – 4n → p = 2, q = –4Un = 2pn + (q – p)= 2 x 2 x n + (–4 – 2)= 4n – 6Beda = 2p = 2(2) = 4Suku ke-10 dapat ditentukan dengan U9 = S9 – S8

S8 = 2(82) – 4(8) = 96

15.Tentukan rumus jumlah n dari deret 1 + 11 + 111 + 1.111 + ...

Penyelesaian :

Jika kalian perhatikan sekilas, deret ini bukan merupakan deret aritmetika maupun geometri. Namun, coba perhatikan penjabaran berikut.

16. Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4. Carilah rasionya.

Penyelesaian :Dari soal di atas, unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan S∞ = 4.Kita substitusikan ke dalam rumus S∞ .

S =   ↔ 4 = ↔ 1 – r = ½ .↔ r = ½

Jadi, rasionya adalah ½.

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan berlangsung terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola. (UMPTN 1995)Jawaban :

U0 = 10 m; r = 3/4.U1 = 3/4 x 10 m = 3/40 m

Sn = 10 + 2 S∞ = = 10 + (2 ×  ) = 10 + (2 ×  ) = 10 + (2 × 30) = 70.

17. Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah...

Penyelesaian:

Soal dengan bentuk seperti ini dapat dikerjakan dengan rumus Kuadran I. Dimana:

sin α = cos (90-α) atau cos α = sin (90-α).

Penyelesaiannya juga bisa menggunakan identitas trigonometri. Dimana:

sin²α + cos²α = 1

Jadi,

cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°

= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°

= cos²(90-75)° + cos²75° + cos²(90-55)° + cos²55°

= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°

= 1 + 1 = 2   -------> (identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1) 

18. Jika sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tanx adalah...

Penyelesaian:

Penyetaraan antara sisi kiri dan sisi kanan. Menggunakan aturan Kuadran I (seperti pada soal nomor 1).

sin(x + α) = cos (x + α)

sin(x + α) = sin (90 - (x + α))

Setelah sisi kiri dan kanan sama, nah bisa ditentukan nilai x nya. Setelah nilai x di dapat, baru deh dihitung nilai tanx nya

Jadi,

sin(x-600)° = cos(x-450)°

sin(x-600)° = sin(90 - (x-450))°

(x-600)° = (540 - x)°

x - 600° = 540° - x

2x = 540° + 600°

x = 1140°/2 = 570°

tan x = tan 570°

= tan (360 + 210)° = tan 210°

= tan (180 + 30)° -----> Kuadran III

= tan 30° = 1/3 √3

(bernilai + karena tangen pada kuadran III bernilai positif). 

19. Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah...

Penyelesaian:

Identitas Trigonometri yang berpengaruh pada soal ini yakni:

sin²α + cos²α = 1 dan aturan sudut rangkap.

Jadi,

sinx + cosx = -1/5

(sinx + cosx)² = (-1/5)² -----> (Kuadratkan kedua ruas.)

sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25

sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25

1 + 2sinxcosx = 1/25 -----> (Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)

2sinxcosx = 1/25 - 1

2sinxcosx = 1/25 - 25/25

2sinxcosx = -24/25

sin2x = -24/25

(aturan sudut rangkap sin2x = 2sinxcosx). 

20. Diketahui sinα.cosα = 8/25. Maka nilai dari 1/sinα - 1/cosα adalah...

Penyelesaian:

Karena berbentuk pecahan maka samakan dulu penyebutnya. Identitas trigonometri yg berlaku pada soal ini adalah sin²α + cos²α = 1

Perhatikan pembahasannya pada gambar di bawah ini.

Jadi, nilai dari 1/sinα - 1/cosα adalah 1 7/8.

21. Nilai tanx dari persamaan cos2x - 3sinx - 1 = 0 adalah...

Penyelesaian:

Karena berbentuk persamaan maka unsur trigonometrinya mesti disamakan/disetarakan.

Menggunakan aturan sudut rangkap cos2α. Dimana:

cos2α = cos²α -sin²α atau

cos2α = 2cos²α - 1 atau

cos2α = 1 - 2sin²α

Setelah nilai x di dapat, kemudian dilanjutkan penentuan tanx nya.

Jadi,

cos2x - 3sinx - 1 = 0

cos2x - 3sinx = 1

(1 - 2sin²x) - 3sinx = 1

(mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena bervariabel sama yakni sinx).

(1 - 2sin²x) - 3sinx = 1

-2sin²x - 3sinx = 1 - 1

-2sin²x - 3sinx = 0

sinx(-2sinx - 3) = 0

sinx = 0 atau -2sinx - 3 = 0

sin x = 0 atau sinx = -3/2

x = 0°

(sinx = -3/2 tidak memenuhi)

maka nilai tan x = tan 0° = 0

22. Diketahui  f(x) = 2x3 + 3x – 4 .Tentukan turunannya ...Penyelesaian :

f(x) = 2x3 +3x-4

f’(x) =  2 . 3x3-1 + 3 . 1x 1-1 -0 f’(x) = 6x2  + 3

23. Diketahui  f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x3 + 2x2 + 6x + 12,tentukan nilai f’(x) adalah....Penyelesaian :

              f(x) = 5x3 +2x2 + 6x + 12              f’(x) = 15x2+ 4x +6              f’(3) = 15 . 32  +4 . 3 + 6                      = 135 + 12 + 6                      = 153

24. Diketahui fungsi f(x) = 3x4 + 2x3 -  x + 2 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’(1) adalah...Penyelesaian :

f (x) = 3x4 + 2x3 – x + 2 f’ (x) = 12x 3 + 6x2 – 2 f’(1) = 12 + 6 + 2        = 18 – 2        =16

25. Diketahui fungsi f(x) = x5 +10x4 +5x2 -3x-10 dan f’ adalah turunan pertama dari  f. Nilai f’ (1) adalah....Penyelesaian :

f(x) = x5 +10x4 +5x2-3x-10 f’(x) = 5x4 + 40x3 + 10x-3-10 f’(1)= 5.1 + 40.1 + 10.1 – 3  − 10         = 5 + 40 +10 – 3 – 10         = 42  

26. Turunan pertama fungsi  f(x) =(3x 2-5)4  adalah f’(x) =....Penyelesaian :

          f(x) =(3x 2-5)4

        f’(x) = (6x – 5 )4

27. Diketahui  f(x) = x6 + 12x4 +2x2 – 6x + 8.Dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) adalah....Penyelesaian:

          f(x) = x6 + 12x4 +2x2 – 6x + 8           f’(x)= 6x5 + 48x3 – 6 + 8           f’(1)= 6.1 + 48.1 – 6 + 8                 = 6 + 48 – 6 + 8                 = 56

28. Turunan pertama dari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 adalah f’(x).Nilai f’(1) adalah....Penyelesaian:

f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 f’(x) = 6x2 + 6x – 1 + 2 f’(1)= 6.1 + 6.1 – 1 + 2

                  = 6 + 6 – 1 +2                   = 13

29. Diketahui f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3  dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x).Nilai f’(1) adalah…Penyelesaian:

f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3  f’(x) = 24x3 – 6x2 + 6x – 1 – 3 f’(1)= 24.1 – 6.1 + 6.1 – 1 -3           = 24 – 6 + 6 -1 -3       = 20

30. Diketahui  y = 3x4 -2x5 – 1/2x6 -51-3.Tentukan turunannya…Penyelesaian :

y’=12x4-1 – 2. 5x5 -1 – 1/2 .6x6-1 – 5.1x 1-1   -  0  = 12x3 -10x4 -3x5 -5

 31.Diketahui f(x) = (x – 2)2.Tentukan turunanya… Penyelesaian :

               f(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4              f(x) = x2 – 4x + 4              f’(x) = 2x2-1 – 4x1-1 + 0              f’(x) = 2x – 4

32. Jika f(x) = sin2 (2x + π/6), maka nilai f′(0) = …f(x) = sin2 (2x + π/6)Pembahasan:

f’(x) = 2 sin (2x + π/6)(2) = 4 sin (2x + π/6) f’(0) = 4 sin (2(0) + π/6) = 4 sin (π/6) = 4(1/2) = 2

33. Turunan pertama dari f(x) = sin3(3x2 – 2) adalah f‘(x) = …Penyelesaian:

f(x) = sin3(3x2 – 2) f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 2).3.6x.cos (3x2 – 2) = 18x sin2(3x2 – 2) cos (3x2 – 2)

34. Turunan dari f(x) = /SQRT[3] {cos^2(3X^2(3x2+5X)} adalah f‘(x) = … PEMBAHASAN :

f(x) =

= (cos2(3x2 + 5x))1/3

= cos2/3(3x2 + 5x) f’(x) = 2/3 cos-1/3(3x2 + 5x).(-sin(3x2 + 5x)).(6x + 5)

= -2/3 (6x + 5) cos-1/3(3x2 + 5x) sin(3x2 + 5x)

35. Turunan pertama f(x) = cos3 x adalah … PEMBAHASAN :

f(x) = cos3 xf’(x) = 3 cos2 x (-sin x)

= -3 cos2 x sin x = -3/2 cos x (2 cos x sin x) = -3/2 cos x sin 2x

36. Persamaan garis singgung kurva y =/SQRT[3]{5+X}di titik dengan absis 3adalah…

PEMBAHASAN :y =/SQRT[3]{5+X}= (5 + x)1/3

m = y’ = 1/3 (5 + x)-2/3 (1)y’(3) = 1/3 (5 + 3)-2/3 (1)

= 1/3 ((8)2/3)-1

= 1/3 (4)-1

= 1/12

37. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + 2000/x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah …PEMBAHASAN :Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 160 + 2000/xBiaya proyek dalam x hari : (4x – 160 + 2000/x)xf(x) = 4x2 – 160x + 2000Agar biaya minimum :f’(x) = 0f’(x) = 8x – 160 0 = 8x – 160 8x = 160 x = 20 hariJadi biaya minimum per hari adalah= (4x – 160 + 2000/x) ribu rupiah= (4(20) – 160 + 2000/20) ribu rupiah= (80 – 160 + 100) ribu rupiah= 20 ribu rupiah= 20.000

38. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam,dengan biaya per jam (4x – 800 + 120/x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum,maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam.PEMBAHASAN :

Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 800 + 120/xBiaya proyek dalam x hari : (4x – 800 + 120/x)xf(x) = 4x2 – 800x + 120Agar biaya minimum :f’(x) = 0f’(x) = 8x – 800 0 = 8x – 800 8x = 800 x = 100 jam

39. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) =/SQRT{3t+1}(s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det.PEMBAHASAN :s = f(t) = /SQRT{3t+1}= (3t + 1)1/2

v = = f’(t) = 1/2 (3t + 1)-1/2 (3)f’(8) = 3/2 (3(8) + 1)-1/2

= 3/2 (24 + 1)-1/2

= 3/2 (251/2)-1

= 3/2 (5)-1

= 3/10

39. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yangdiproduksi memberikan keuntungan (225x – x2) rupiah. Supaya totalkeuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah …PEMBAHASAN :Keuntungan setiap barang : 225x – x2

Keuntungan x barang : (225x – x2)xf(x) = 225x2 – x3

f’(x) = 450x – 3x2

0 = 450x – 3x2

0 = x(450 – 3x)

x = 0 atau x = 150jadi jumlah barang yang diproduksi agar untung maksimum adalah 150 barang.

40.  y =(akar)2x^5JAWAB:y =√(2x^5 ) = √2x^(5/2) → y’= 5/2 √2 x^(3/2)y = -2/x^4 = -2x^-4 → y’ = 8 x^-5 = 8/x^5y = -8/x^10 = -8 x^-10 → y’ = 80 x^-11 = 80/x^11y = 2/3x^6 → y’ = 4x^5y = 3/x^3 - 1/x^4 = 3x^-3 – x^-4 → y’ = -9x^-4 + 4x^-5 = -9/x^4 + 4/x^5y = 2/(3x) - 2/3 = (2/3) x^-1 – 2/3 → y’ = (-2/3) x^-2 = -2/(3x^2)

41. 1) 2x^2 y - 4y^3 = 4JAWAB:4xy.dx + 2x^2.dy -12y^2.dy=04xy.dx +(2x^2 -12y^2)dy=0dy/dx=4xy/(12y^2 -2x^2)d^2(y)/dx^2 = {(4y + 4x.dy/dx)(12y^2 - 2x^2)-(24y.dy/dx -4x)(4xy)}/(12y^2 -2x^2)^2

42Jawab

43Jawaban

44Jawaban

45.Jawaban

46.Jawaban

Gunakan cara substitusi, jadi lakukan permisalan dahulu :

Lakukan substitusi

47.Jawaban

48.Jawaban

Lakukan permisalan

Lakukan substitusi

49.Jawaban

Misalkan

Misalkan sekali lagi untuk mencari

Substitusikan

50.Jawaban

Kalikan dengan untuk mendapat bentuk fungsi invers trigonometri

Lakukan permisalan

Lakukan permisalan sekali lagi untuk mencari

Lakukan substitusi