SOAL-SOAL LATIHAN 5 - jejakseribupena.files.wordpress.com · kelas dan rata-rata 72% kamar terpakai sepanjang sebelas bulan lainnya. Carilah rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahun

1 | Jejak Seribu Pena, Langkah Cerdas Menuju Olimpiade Matematika SD/MI

SOAL-SOAL LATIHAN 1

1. Hari ini usiaku 4

1 kali usia ayahku. Sepuluh tahun yang lalu usiaku

10

1kali usia

ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang?

2. Jika 3

2

q

pdan

5

4

q

r , tentukanlah

r

p.

3. Ayu menghabiskan Rp 2.200,00 untuk membeli 2 bungkus kacang dan 4 bungkus

keripik. Putri membeli 3 bungkus kacang dan 2 bungkus keripik dan menghabiskan

Rp 2.100,00. Carilah harga sebungkus keripik.

4. Misalnya m dan n dua bilangan asli. Jika faktor persekutuan terbesar dari m dan n

adalah 3 dan 20

8

n

m; maka hasilkali mn adalah….

5. Banyaknya bilangan bulat di antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 11 adalah….

6. Sebuah sekolah memiliki sejumlah komputer. Sekelompok siswa akan

menggunakan komputer-komputer tersebut. Jika setiap kemputer digunakan oleh

dua orang, ada dua orang siswa yang tidak mendapat komputer. Jika setiap

computer digunakan oleh tiga orang, ada dua computer yang tidak terpakai.

Hitunglah banyaknya komputer di sekolah tersebut.

7. Penduduk Jawa Tengah adalah 25% dari penduduk pulau Jawa dan 15% dari

penduduk Indonesia. Berapa persen penduduk Indonesia yang tinggal di luar Pulau

Jawa?


8. Di suatu hotel, rata-rata 96% kamar terpakai sepanjang sebulan liburan kenaikan

kelas dan rata-rata 72% kamar terpakai sepanjang sebelas bulan lainnya. Carilah

rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahun di hotel tersebut.

9. Jika 2007 dibagi ke dalam tiga bagian dengan perbandingan 2 : 3 : 4, carilah bagian

terbesar.

10. Iwan selalu berbohong pada hari Senin, Selasa, Rabu, dan berkata jujur pada hari-

hari lainnya. Di lain pihak Budi selalu berbohong pada hari Kamis, Jumat, Sabtu,

dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Pada suatu hari terjadi percakapan berikut:

Iwan: Kemarin saya berbohong.

Budi: Saya juga.

Pada hari apa percakapan tersebut terjadi?


SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1

1. Misalnya usiaku = a tahun dan usia ayahku = b tahun, maka

ba4

1

ab 4 ……………………………(1)

)10(10

110 ba …………………(2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:

)10(10

1104 baab

10410010 aa

906 a

156:90 a

Jadi, usiaku sekarang adalah 15 tahun.

2. 3

2

q

p qp

3

2

5

4

q

r qr

5

4

6

5

4

5

3

2

5

43

2

q

q

r

p

3. Misalnya harga 1 bungkus kacang adalah a rupiah dan harga 1 bungkus keripik

adalah b rupiah, maka

220042 ba

ba 21100 ….…..………(1)

210023 ba …………...(2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:

ba 21100 210023 ba


21002)21100(3 bb

2100263300 bb

12004 b

300b

Jadi, harga sebungkus keripik adalah Rp 300,00.

4. 45

42

20

8

n

m

Faktor persekutuan terbesar adalah 3, maka

15

6

35

32

n

m

Sehingga m = 6 dan n = 15.

Jadi, 90156 mn .

5. Barisan bilangan: 110, 121, 132, …,990

a = 110, un = 990, b = 121 110 = 11

bnaun )1(

990 = 110 + (n – 1)11

880 = (n – 1)11

80 = n – 1

n = 81

Jadi, banyaknya bilangan bulat di antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 11 adalah

81 buah.

6. Misalnya banyak komputer = a buah dan banyak siswa = b orang, maka

22 ab

22 ab ……………(1)

23

ba

63 ba …………..(2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:

22 ab 63 ba

6)22(3 aa


6223 aa

8a

Jadi, banyaknya komputer di sekolah tersebut adalah 8 buah.

7. Misalnya penduduk Indonesia = x jiwa.

Penduduk Jawa Tengah = 15% x jiwa

Penduduk Jawa Tengah = 25% penduduk Pulau Jawa

Penduduk Pulau Jawa = 25

100 penduduk Jawa Tengah

= x100

15

25

100

= x5

3jiwa

Penduduk di luar Pulau Jawa = xxx5

2

5

3 jiwa.

Jadi, penduduk luar Pulau Jawa = %40%1005

2

x

x

8. Rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahun di hotel itu

111

%961%7211

%

12

96792 %74%

1200

888

9. Bagian terbesar 8922007432

4

10.

Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu

Iwan bohong bohong bohong jujur jujur jujur Jujur

Budi jujur jujur jujur bohong bohong bohong jujur

Iwan: Kemarin saya berbohong (Kamis-Jujur)

Budi: Saya juga (Kamis-Bohong)

Jadi, percakapan tersebut terjadi pada hari Kamis.


SOAL-SOAL LATIHAN 2

1. Bulan-bulan sabit yang diarsir diperoleh dengan menggambar setengah lingkaran

pada 3 sisi dari segitiga siku-siku ABC. Cari ratio dari luas daerah yang diarsir

dengan segitiga ABC.

2. Benda-benda pejal itu masing-masing tersusun dari 6 buah kubus satuan.

Yangmana dua dari mereka adalah sama?

3. ABCD adalah sebuah persegi dengan pusat O. Lingkaran-lingkaran digambarkan

sekitar A, B, C, dan D sebagai pusat, masing-masing dengan jari-jari AO, BO, CO,

dan DO yang sama, yang berpotongan di P, Q, R, dan S. Jika AB = 8 cm, carilah

luas daerah yang diarsir.

A B

C D

B

C

A

A B

C D

P

Q

R

S O


4. Enam kartu berbentuk persegi dengan masing-masing sisi 10 cm disusun seperti

tampak pada gambar di bawah ini. Temukan luas keseluruhan daerah yang tertutupi

oleh kartu-kartu itu.

5. Dinda merencanakan memotong persegi yang diarsir dari segitiga. Jika sisi segitiga

8 cm, 15, cm, dan 17 cm, cari ukuran persegi itu?

6. Pada gambar di bawah A, B, C, dan D adalah pusat 4 lingkaran. Jari-jari setiap

lingkaran adalah 20 cm. Cari luas keseluruhan bagian yang diarsir. (Ambil =

3,14).

7. Segitiga ABC sama kaki, D adalah titik pada sisi BC sehingga EAD = 30o; E

adalah titik pada sisi AC sehingga AD = AE. Cari EAD.

8

8

8

8

8 8 8 8 8 8

A

B

C

D


8. Sebuah jajargenjang dibagi ke dalam 4 jajargenjang kecil P, Q, R dan S. Luas P, Q

dan R masing-masing adalah 10 cm2, 20 cm

2 dan 60 cm

2. Carilah luas dari R.

9. Cari rasio luas daerah lingkaran yang diarsir dengan sektor OAB.

10. Sebuah persegi berukuran 3 2 dapat ditutupi oleh persegi berukuran 2 1 dengan

3 cara yang berbeda, seperti tampak pada gambar di bawah.

Ada berapa cara yang berbeda dapat dilakukan untuk menutupi gambar di bawah

dengan persegi berukuran 2 1?

P

Q

S

R

O A

B



1. Luas daerah yang diarsir = luas bangun itu seluruhnya – 2

1 luas lingkaran besar

222

2

1π

2

1

2

1π

2

1

2

1π

2

1

2

1

ABBCACBCAC

)π(8

1

2

1 222 ABBCACBCAC

)0π(8

1

2

1 BCAC

BCAC 2

1

Luas segitiga ABC BCAC 2

1

Luas daerah yang diarsir : luas segitiga ABC = BCAC 2

1: BCAC

2

1= 1 : 1.

2. Bangun yang sama adalah bangun B dan D.

3.

Panjang AB = 8 cm, maka 24 SAOA cm

Luas tembereng SO SAOAr 2

1π

360

90 2

o

o

24242

124π

4

1 2

A B

C D

P

Q

R

S O

8 cm


16π324

1

)16π8( cm2

Luas daerah yang diarsir = luas lingkaran – 8 luas tembereng

16π88)8π( 2

128π64π64

128 cm2

4. Luas keseluruhan daerah yang tertutupi oleh kartu-kartu itu

832)1616(3816)1616(21616

256768128512256

152.1 cm2

5. Misalnya panjang sisi persegi adalah x, maka

15:8:)8( xx

xx 8)8(15

xx 815120

12023 x

23

55x cm

Jadi, persegi terbesar memiliki ukuran panjang sisi adalah 23

55 cm.

6.

A

B

C

D

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

x

8 x

15

17 x


CDCBBDADAB = 20 + 20 = 40 cm.

ABD dan CBD adalah segitiga sama sisi dan kongruen.

DCBA = 60o + 120

o + 120

o + 60

o = 360

o

Luas keseluruhan bagian yang diarsir = luas lingkaran

= 2π r

= 22014,3

= 40014,3

= 1.256 cm2

7. Karena segitiga ABC sama kaki, maka

wACDABC

ywADEAED

o180 ADCADB

ooo 18030180 yyww

o302 y

o15y

Jadi, ukuran dari EAD adalah 15o.

8. RQSP ::

Q

RPS

30

20

6010

cm

2

Jadi, luas D adalah 30 cm2.

9. Jika jari-jari lingkaran yang diarsir adalah rPSPRPQ , maka 2rOP ,

sehingga jari-jari sector OAB 212 rrr

Jadi, rasio luas daerah dari lingkaran yang diarsir

dengan sector OAB 22 21π:π rr

2221π:π 22 rr

223:1

A

B C

E

D

30o

w y w w+ y

w+ y

O A

B

Q

R

P

S

r

r

r


10.

Jadi, gambar itu dapat ditutup dengan persegi panjang 2 1 dengan 8 cara yang

berbeda.


SOAL-SOAL LATIHAN 3

1. Hitunglah 200412

14

6

13

3

12

2

11

.

2. Dua puluh satu silinder identik dimuat pada tiga truk. Tujuh buah kosong, 7 buah

berisi setengah minyak, dan 7 buah berisi penuh minyak. Tentukan susunan banyak

silinder yang dimuat pada setiap truk agar beratnya sama.

3. Ada dua buah takaran berukuran 5 liter dan 3 liter. Dapatkah Anda mengukur tepat

4 liter air dengan dua buah takaran itu?

4. Seorang anak laki-laki menuliskan umur ayahnya setelah menuliskan umurnya.

Untuk bilangan empat angka ini ia menambahkan 16 kali perbedaan antara umur

mereka dan diperoleh 1991. Carilah umur mereka masing-masing.

5. Untuk sebarang bilangan x dan y , simbol yx didefinisikan sebagai

yxxyyx . Hitung 54 , 87 , dan 89 .

6. Seekor ikan memiliki ekor sepanjang kepalanya ditambah seperempat panjang

tubuhnya. Tubuhnya tiga perempat dari panjang keseluruhan. Panjang kepalanya 10

cm. Berapa panjang total ikan itu?

7. Annisa mempunyai 20 lembar uang di dompetnya. Dalam bentuk pecahan 10 ribu,

20 ribu dan 50 ribu. Total jumlah uangnya adalah 500 ribu. Jika dia memiliki

pecahan 50 ribu lebih banyak daripada 10 ribu. Berapa banyak pecahan 10 ribu

yang ia miliki?

8. Carilah banyaknya angka nol yang berurutan pada bilangan hasil dari

perkalian 1 2 3 … 2006 2007.


9. Sebuah bilangan yang terdiri dari enam angka dimulai dengan angka 1. Tiga kali

bilangan ini sama dengan bilangan semula tetapi angka 1 terletak diakhir angka.

Temukan bilangan-bilangan itu.

10. Berapa banyak bilangan bulat positif yang merupakan solusi dari persamaan

10 cba ?



1. 200412

14

6

13

3

12

2

11

2004

12

1

6

1

3

1

2

14321

200412

1

6

1

3

1

2

110

167334668100220040

= 22211

2.

Truk 1 3 penuh 3 kosong 1 setengah



Total 7 penuh 7 penuh 7 setengah

3. Strategi 1:

1) Isikan air ke dalam takaran 5 liter sampai penuh, kemudian tuangkan air itu ke

dalam takaran 3 liter. (Sisa 2 liter pada takaran 5 liter). Kosongkan takaran 3

liter.

2) Isikan air yang 2 liter ke dalam takaran yang 3 liter.

3) Isikan air takaran 5 liter sampai penuh dan tuangkan 1 liter untuk mengisi

takaran yang 3 liter.

4) Pada takaran 5 liter sekarang tersisa tepat 4 liter.

Strategi 2:


dalam takaran 3 liter. Sisa 2 liter dimasukkan ke dalam suatu tempat untuk

menampung air sebanyak 4 liter. Kosongkan takaran 3 liter.


dalam takaran 3 liter. Sisa 2 liter dimasukkan ke dalam suatu tempat untuk

menampung air sebanyak 4 liter itu. Dengan demikian, kita telah memperoleh

tepat 4 liter air.


4. Misalnya umur anak laki-laki x tahun dan ayahnya y tahun, maka:

1991)(16100 xyyx

17

25117

xxy

Dalam kasus ini 17 harus habis membagi 2x dan y5117 , yang hanya

mungkin dipenuhi oleh 15x dan 43y .

Jadi, umur anak laki-laki adalah 15 tahun dan ayahnya berumur 43 tahun.

5. 29545454

71878787

89898989

6. Misalnya ,,, cba dan d adalah panjang kepala, panjang badan, panjang ekor, dan

panjang total, maka:

bac4

1 acb 44 … .... (1)

db4

3 bd

3

4 ……………. (2)

10a ……………. (3)

cbad .......... (4)

Substitusikan 10a ke persamaan (1), diperoleh:

bc4

110

404 cb ……... (5)

Substitusikan 10a dan bd3

4 ke persamaan (4), diperoleh:

cbb 103

4

cbb 33304

303 cb ………. (6)

Dari persamaan (5) dan (6) diperoleh:


Substitusikan 70c ke persamaan (6), diperoleh:

30)70(3 b

240b

Substitusikan 240b ke persamaan (2), diperoleh:

320)240(3

4d

Jadi, panjang total ikan adalah 320 cm.

7. Misalnya jumlah pecahan 50 ribu = x, pecahan 20 ribu = y, maka jumlah pecahan

10 ribu = )(20 yx , sehingga persoalan itu dapat dinyatakan sebagai berikut.

500)(20102050 yxyx

xy 430

Sekarang kita secara sistematis dapat menentukan kemungkinan jawaban..

Dengan mencoba mensubstitusikan nilai x ke dalam persamaan terakhir. Dari

persamaan itu kita tidak dapat mensubstitusikan nilai x = 1, 2, dan 3; karena akan

menghasilakn jumlah pecahan uang yang lebih dari 20.

Perhatikan daftar kemungkinan berikut ini.

50 ribu (x) 20 ribu (y) 10 ribu

4 14 2

5 10 5

6 6 8

7 2 11

Kita tidak dapat melajutkan untuk 7x , karena akan diperoleh nilai y negatif.

Dari 4 kemungkinan itu yang memenuhi syarat adalah empat pecahan 50 ribu, 14

pecahan 20 ribu, dan 2 pecahan 10 ribu.

404 cb

303 cb

70 c

70c


8. Bilangan 51 = 5 menghasilkan 1 angka 0.

Bilangan 52 = 25 menghasilkan 2 angka 0.



2007 : 5 = 401

2007 : 25 = 80

2007 : 125 = 16

2007 : 625 = 3

Jadi, banyaknya angka nol yang berurutan pada bilangan hasil dari perkalian

1 2 3 … 2006 2007 adalah 401 + 80 + 16 + 3 = 500 buah.

9. Misalnya bilangan semula adalah abcde1 , maka

Agar 3e menghasilkan angka akhir 1, maka haruslah e = 7.

Agar 23d menghasilkan angka akhir 7, maka haruslah d = 5.

Agar 13c menghasilkan angka akhir 5, maka haruslah c = 8.

Agar 23b menghasilkan angka akhir 8, maka haruslah b = 2.

Agar 3a menghasilkan angka akhir 2, maka haruslah a = 4.

Jadi, bilangan-bilangan itu adalah 142857 dan 428571.

10. Persoalan ini ekuivalen dengan penjumlahan bilangan dari solusi untuk nba ,

dengan n berkisar antara 2 dan 9.

)8(2 cba : {a, b}= {1, 1}

)7(3 cba : {a, b}= {1, 2}; {2, 1}

)6(4 cba : {a, b}= {1, 3}; {2, 2}; {3, 1}

)5(5 cba : {a, b}= {1, 4}; {2, 3}; {3, 2}; {4, 1}

)4(6 cba : {a, b}= {1, 5}; {2, 4}; {3, 3}; {4, 2}; {5, 1}

1 a b c d e

3

a b c d e 1


)3(7 cba : {a, b}= {1, 6}; {2, 5}; {3, 4}; {4, 3}; {5, 2}; {6, 1}

)2(8 cba : {a, b}= {1, 7}; {2, 6}; {3, 5}; {4, 4}; {5, 3}; {6, 2}; {7, 1}

)1(9 cba : {a, b}= {1, 8}; {2, 7}; {3, 6}; {4, 5}; {5, 4}; {6, 3}; {7, 2}; {8, 1}

Jadi, banyak bilangan bulat positif yang merupakan solusi dari persamaan tersebut

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.


SOAL-SOAL LATIHAN 4

1. a. Aturlah angka-angka 1, 2, 3, dan 4, satu ke dalam masing-masing kotak,

sedemikian sehingga hasilkalinya sebesar mungkin.

b. Aturlah angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5, satu ke dalam masing-masing kotak,

sedemikian sehingga hasilkalinya sebesar mungkin.

c. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian

menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 hanya sekali ?

d. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian

menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 hanya sekali ?

e. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian

menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 hanya sekali ?

f. Berapa bilangan yang terbesar dapat ditemukan dengan sebuah perkalian

menggunakan masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 hanya sekali ?

2. Nyatakan dalam hasil bagi bilangan rasional.

a. 2,005 c. 0,444… e. 31,253253…

b. 19,54 d. 0,6565…


3. Sederhanakanlah3

1

93...1862931

42...842421

nnn

nnn

4. Carilah sisa pembagian apabila bilangan 10.327 dan 11.351 dibagi dengan bilangan

yang terdiri atas tiga digit masing-masing memberikan sisa yang sama.

5. Pendapatan kotor dari penjualan produk air mineral dalam kemasan botol

perusahaan “Pasti Makmur” pada suatu saat adalah Rp 1.000.000.000,00. Setelah

dipelajari oleh bagian keuangan, ada hal yang menarik perhatiannya, bukannya nilai

total penjualan itu, melainkan bahwa banyaknya air mineral yang terjual dan

harganya tidak mengandung satu pun angka nol. Berapakah banyaknya air mineral

dalam kemasan botol yang terjual ?

6. Apabila diberikan

4 7 = 63

3 5 = 34

6 4 = 52

8 9 = 145

Hitunglah 7 5 dan 12 9.

7. Bilangan 17 dapat dinyatakan sebagai bentuk jumlah beberapa bilangan positif.

Misalnya 17 = 11 + 6 dan hasil kali penguraiannya adalah 11 6 = 66; 17 = 2 + 3

+ 5 + 7 dan hasil kali penguraiannya adalah 2 3 5 7 = 210.

Dapatkah anda menemukan penguraian bilangan 17 yang hasil kalinya terbesar ?

8. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berkut ini.

I K A T

4

T A K I


9. Bilangan berangka enam a1989b habis dibagi 72. Carilah bilangan itu dan hasil

baginya!

10. Dinda pergi ke sanggar senam setiap 3 hari sekali, Annisa setiap 2 hari sekali, dan

Fitri setiap 5 hari sekali. Pada tanggal 24 September 2002 ketiganya datang

bersama-sama. Berapakah hari lagi mereka akan bersama-sama kembali ?



1. a. 41 32 = 1312

b. 431 52 = 22.412

c. 631 542 = 342.002

d. 742 6531 = 4.846.002

e. 8.531 7.642 = 65.193.902

f. 76421 853 9.

2. a. 200

401

1000

2005005,2

b. 50

977

100

195454,19

c. Strategi 1:

Misalnya ...444,0x , maka

...44,410 x

...444,0x

9x = 4

9

4x

Jadi, 9

4...444,0 .

Strategi 2:

0,444… = 0,4 + 0,04 + 0,004 + …

a = 0,4 dan 1,04,0

04,0r

9

4

9,0

4,0

1,01

4,0

1

r

aS


Jadi, 9

4...444,0 .

Catatan: 0,444… biasa ditulis juga sebagai 4,0 .

d. Strategi 1:


...65,65100 x

...6565,0x

99x = 65

99

65x

Jadi, 99

65...6565,0 .

Strategi 2:

0,6565… = 0,65 + 0,0065 + 0,000065 + …

a = 0,65 dan 01,065,0

0065,0r

99

65

99,0

65,0

01,01

65,0

1

r

aS

Jadi, 99

65...6565,0 .


e. Strategi 1:


...253,312531000 x

...253253,31x

999x = 31222


999

31222x

Jadi, 999

31222...253253,31 .

Strategi 2:

31,253253… = 31 + 0,253 + 0,000253 + …

a = 0,253 dan 001,0253,0

000253,0r

999

253

999,0

253,0

001,01

253,0

1

r

aS

Jadi, 999

31222

999

25331...253253,31 .


3. Karena k 2k 4k = 8k3 dan k 3k 9k = 27k

3 untuk nk 1

3

1

93...1862931

42...842421

nnn

nnn

3

1

333

333

...2127

....218

n

n 3

1

27

8

3

2

4. Misalnya sisa pembagian itu adalah s, maka:

Bilangan pertama: p

sk

p

327.10skp 327.10

Bilangan kedua: p

sc

p

351.11scp 351.11

Perbedaan antara kedua bilangan itu adalah 024.1)( pck .

Faktor-faktor dari 1.024 yang terdiri dari tiga digit adalah 128, 256, dan 512

merupakan pembagi dari bilangan-bilangan itu. Pada pembagian 10.327 dan 11.351

dengan 512 memberikan sisa yang sama, yaitu s = 87.

5. Pendapatan Rp 1.000.000.000,00 merupakan banyak air mineral gelas dikalikan

dengan harganya per gelas.


1.000.000.000 = 999 5210 125.953.1512

Berdasarkan pemfaktoran itu dapat dikemukakan bahwa banyaknya air mineral

botol adalah 1.953.125 dan harganya Rp 512,00.

6. Setelah melakukan uji coba, maka diperoleh bahwa secara umum a b = a2 + b

2

Jadi, 7 5 = 72 + 5

2 = 74 dan 12 9 = 12

2 + 9

2 = 225

7. Andaikan bilangan positif itu adalah ditafsirkan sebagai bilangan asli, maka

penguraian dari 17 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 dan memberikan hasil kali

penguraiannya yang terbesar = 486235 .

Andaikan bilangan positif itu ditafsirkan sebagai bilangan rasional, maka

penguraian dari 6

176

176

176

176

176

1717 dan memberikan hasil kali

penguraiannya 6

176

176

176

176

176

17 = 5176

617 .

8. I harus 1 atau 2, karena IKAT 4 = TAKI, empat angka.

I tidak mungkin 1, karena IKAT 4 bersatuan genap, maka haruslah I = 2.

Kalau I = 2, maka haruslah T = 8.

4 K < 10, maka nilai K yang mungkin adalah 0, 1, atau 2.

4 A + 3 tidak mungkin bersatuan 0 atau 2, maka haruslah K = 1.

Karena K = 1, maka haruslah A = 7.

Jadi, 2178 4 = 8712.

9. 72 = 8 9. Karena itu:

1. ba1989 habis dibagi dengan 8, sehingga b89 habis dibagi 8, maka haruslah

6b .

2. ba1989 habis dibagi dengan 9, sehingga 339891 aba , maka

haruslah 3a .

Jadi, bilangan yang diminta adalah 319896 dan hasil baginya adalah 4443.


10. Dinda pergi ke sanggar setiap 3 hari sekali: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,

…

Annisa pergi ke sanggar setiap 2 hari sekali: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,

24, 26, 28, 30, 32, …

Fitri pergi ke sanggar setiap 5 hari sekali: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …

Lebih sederhana dengan menentukan KPK dari 3, 2, dan 5, yaitu 3 2 5 = 30.

Jadi, mereka akan bersama-sama kembali setelah 30 hari.


SOAL-SOAL LATIHAN 5

1. Pada diagram, jika AB = 17 cm, BC = 8 cm, dan AC = 15 cm, cari r.

2. Terdapat 9 persegi pada setiap permukaan kubus. Berapa banyak persegi yang

dapat dicat merah jika dua persegi dengan sisi bersamaan tidak dapat keduanya

dicat merah?

3. Pada diagram, ABCD adalah sebuah persegi dan AB = 18 cm, titik C dan D adalah

pusat lingkaran. Hitung luas daerah yang diarsir.

C

A

B D

F

F

O

r r

r

A B

D C


4. Gambar di bawah ini menunjukkan jaring-jaring kubus yang tiap ditulisi bilangan.

Sisi yang diarsir adalah alas kubus. Carilah rasio dari sisi-sisi yang berhadapan.

5. Pada diagram, AB = 24 cm adalah diameter lingkaran dan BC = 12 cm, cari luas

daerah yang diarsir.

6. ABCD adalah persegi dengan sisinya 60 cm. Sisi AB bertambah 15% dan sisi AD

berkurang 40 % menjadi persegi panjang AKLM. Hitunglah

a. Luas persegi ABCD.

b.Luas persegi panjang

c. Berapa persentase luas yang dimiliki persegi ABCD dari persegi sebelum

berkurang?)

A B

D C

A B K

M

D C

L

60 cm

7956

5823 2697

17469 17658

13485


7. Diketahui keliling segitiga ABC siku-siku di C adalah 24 cm. Panjang sisi-sisinya

merupakan 3 buah bilangan yang berurutan, dengan selisih antara dua bilangan

yang berurtan adalah sama. Hitunglah luas segitiga itu.

8. Berapa bagian gambar yang diarsir?

9. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan persegi ABCD, dengan AB = 10 cm dan

besar DCE = 60o. Cari luas BEC.

10. Gambar di bawah dibentuk dari tiga persegi yang masing-masing sisinya 8 cm, 16

cm, dan 12 cm. Cari luas daerah yang diarsir.

8 cm 16

cm 12 cm

A B

F

D C 60

o



1. rBCBOCL 2

1

rACAOCL 2

1

rABAOBL 2

1

)(2

1ABACBCrAOBLAOCLBOCL

rSABCL

S

ABCLr

)(2

1ABACBCS 20)17158(

2

1 cm

Karena ABC siku-siku di C, maka:

ACBCBOCL 2

1158

2

1 60 cm

2

S

BOCLr

3

20

60 cm

2. Banyak persegi yang dapat dicat merah jika dua persegi dengan sisi yang sama

tidak dapat keduanya dicat merah adalah 22 buah.

3. Perhatikan segitiga CDE adalah sama sisi, maka:

A B

D C

E


Luas tembereng 32

1818

2

118π

360

60 2

o

o

381π54 cm2

Luas daerah yang diarsir = 2 luas tembereng + luas CDE

32

1818

2

1381π542

3813162π108

381π108 cm2

4. 3:117469:5823

4:131824:7956

5:113485:2697

5. Titik F adalah pusat lingkaran. ABEF .

12242

1

2

1 ABFBAF cm

343

12

3

AFEF cm

Luas daerah yang diarsir EFAB 2

1

34242

1

348 cm2

6. a. Luas persegi ABCD = 60 60 = 3600 cm2

b. AK = 60 + 15% 60 = 69 cm

AM = 60 40% 60 = 36 cm

Luas persegi panjang AKLM = 69 36 = 2484 cm2

c. Persentase luas yang dimiliki persegi ABCD dari persegi sebelum berkurang

%1003600

2484%100 = 31%

A B

D C

E

F


7. Strategi Biasa:

Keliling: 24 cba

bca 24 ………..….(1)

Sisi-sisinya berurutan dengan beda sama: a, b, c, maka

bcab

cab 2 ………………………….(2)


bb 242

243 b

83:24 b

8b 16 ca …………..…….(3)

222 bac

222 acb

))((2 acacb …………………(4)


)2)((2 bacb

bbbac2

12:2

4)8(2

1 ac

ac 4 ………………………….(5)


ac 4 16 ca

164 aa

122 a

62:12 a

6a 10644 ac

Luas ABC = BCAC 2

1 2468

2

1 cm

2.

B

A

C

b

a

c


Strategi Cerdas:

Jika sisi-sisi segitiga siku-siku merupakan bilangan yang berurutan dengan beda

antara dua sisi yang berurutan itu sama, maka rasio sisi-sisinya adalah 3k : 4k : 5k

atau 3 : 4 : 5.

Untuk soal di atas, kita mengerjakannya sebagai berikut.

ka 3 , kb 4 , dan kc 5

24 cba

24543 kkk

2412 k

2k

6)2(3 a , 8)2(4 b , dan 10)2(5 c

Luas ABC = ba2

12486

2

1 cm

2.

8. Bagian gambar yang diarsir = 4

1.

Coba Anda mencari gagasan yang lainnya.

9. BCE = 90o 60

o = 30

o

CBE = 90o 45

o = 45

o

EFBF

3EFCF

BCCFBF

83 EFBF

A B

E

D C 60

o

45o

30o

F


831 BF

31

8

BF

Luas BEC EFBC2

1

31

88

2

1

31

32

cm

2

10. Luas daerah yang diarsir = 8)168(2

188161216

2

1

= 224 + 64 96

= 192 cm2


SOAL-SOAL LATIHAN 6

1. Sifat menarik dari bilangan 599 adalah bila bilangan itu dibagi dengan 6, 5, 4, 3,

dan 2, berturut-turut memberikan sisa 5, 4, 3, 2, dan 1. Bilangan terkecil manakah

yang memiliki sifat ini ?

2. Temukanlah 3 buah bilangan yang kurang dari 10.000 yang bila dibagi dengan 10,

9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, dan 2 memberikan sisa yang satu kurangnya dari pembaginya?

3. Angka pertama dari bilangan enam-angka, N sama dengan angka yang keempat,

yang kedua sama dengan yang kelima, dan yang ketiga sama dengan yang keenam.

Tentukan 3 bilangan pembagi N .

4. Telitilah pola bilangan di bawah ini, kemudian tentukan nilai dari A.

5. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 15037a dan

100215b ?

6. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 652a dan

722 1255 b

7. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b, jika 75 a dan

83 b ?

8. Cari setiap huruf pada penjumlahan berikut yang mewakili angka-angka 0 s.d 9 .

4 20 36 x

2 6 10 14

1 2 3 4

3 12 21 30

-


9. Berapa angka satuan dari 31000

?

10. Perhatikan gambar di bawah ini.

Bilangan 1 sampai 12 ditempatkan sedemikian rupa sehingga jumlah dari 4

bilangan pada tiap-tiap ruas garis adalah sama. Dimana Anda meletakkan angka 7?

F O R T Y

T E N

T E N

S I X T Y +

4

C

8

3

E

5

9

6 D

1 B A



1. Kunci terhadap masalah ini adalah pemahaman bahwa suatu bilangan yang 1 lebih

kecil dari suatu bilangan lain yang mempunyai 6, 5, 4, 3, dan 2 sebagai faktor

memiliki sifat yang dikehendaki. Jadi, bilangan terkecil yang mempunyai sifat ini 1

kurangnya dari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 6, 5, 4, 3, dan 2.

Untuk sebarang bilangan yang berbentuk (60n – 1), dengan n adalah bilangan asli,

akan mempunyai sifat itu. Jadi, bilangan yang terkecil yang mempunyai sifat, bila

dibagi oleh 6, 5, 4, 3, dan 2 berturut-turut memberikan sisa yang satu kurangnya

dari pembaginya adalah (60 1 – 1) = 59.

2. KPK dari 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, dan 2 adalah 2520.

Untuk sebarang bilangan yang berbentuk (2520n – 1), dengan n adalah bilangan

asli, bila dibagi dengan 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, dan 2 selalu memberikan sisa yang

satu kurangnya dari pembaginya. Bilangan-bilangan itu yang kurang dari 10.000

adalah 2519, 5039, dan 7559.

3. Misalnya a digit pertama, b digit kedua, dan c digit ketiga, maka

abcabcabcabc 131171001 .

Jadi, tiga bilangan pembagi N adalah 7, 11, dan 13.

4. Perhatikan bilangan pada tiap baris.

Polanya adalah jumlah bilangan yang diujung sama dengan jumlah bilangan yang di

tengah.

36204 x

52456 x

Jadi, nilai x adalah 52.

5. 15037a 503375050653

100215b 5022155046225


Jadi, bilangan yang terbesar adalah a.

6. 722 1255 b 7322 55 2122 55 )15(521 2154

652a632 22 21324

2184

Jadi, bilangan yang paling besar adalah a.

7. 75 a 22 75 a 73525 35212

83 b 22 83 b 82423 24211

22 ba ba

Jadi, bilangan yang paling besar adalah a.

8.

9. 31 = 3, 3

2 = 9, 3

3 = 27, 3

4 = 81, 3

5 = 243, … Demikian angka satuan terulang setiap

pangkat 4. Selanjutnya, 1000 = 4 250, maka kita memperoleh 31000

= (34)250

=

(1)250

= 1, dengan menunjukkan bilangan tanpa angka satuan.

Jadi, angka satuan dari 31000

adalah 1.

10. Jumlah bilangan tiap ruas garis = 3 + 8 + 6 + 9 = 26.

D = 26 (1 + 5 + 9) = 11

A + C = 26 – (8 + 4) = 14 (A dan C tidak mungkin bernilai 7)

A + B = 26 – (3 + 1) = 22 (jika B bernilai 7, maka A = 15 hal ini tidak mungkin)

B + E = 26 – (4 + 5) = 17 (E = 7 dan B = 10, karena B tidak mungkin 7)

C + E = 26 – (11 + 6) = 9 (E = 7 dan C = 2, karena C tidak mungkin 7)

Jadi, nilai 7 terletak pada E

2 9 7 8 6

8 5 0

8 5 0

3 1 4 8 6 +


SOAL-SOAL LATIHAN 7

1. Sembilan angka (tidak termasuk nol) pada suatu kalkulator diperlihatkan pada

gambar di bawah ini. Sebuah bilangan dibentuk dari dari bilangan-bilangan ini

dengan mengambil tiga angka suatu baris, kolom, atau diagonal utama diikuti

dengan tiga angka yang sama yang letaknya sebaliknya. Sebagai ilustrasi 789987,

753357, dan 741147. Dari bilangan-bilangan ini, carilah faktor-faktor primanya.

Apakah komentar Anda?

2. Ada lima lima eskul (ekstra kurikuler) di sekolah kami, kata rekan lain yang

mengawalinya, yaitu Elektronika, Bahasa Asing, Bela Diri, Basket, dan Kesenian.

Elektronika dilaksanakan setiap hari yang kedua, Bahasa Asing setiap hari yang

ketiga, Bela Diri setiap hari yang ke empat, Basket setiap hari yang ke lima, dan

Kesenian setiap hari yang ke enam. Lima eskul ini berlaku mulai tanggal 1 Januari,

kemudian menurut jadwal itu dan lagi tidak merupakan tahun kabisat.

Pertanyaannya:

a. Berapa kalikah semuanya bertemu pada hari yang sama dalam kuartal pertama

(1 Januari termasuk)?

b. Ada berapa harikah ketika tak satu pun eskul bertemu dalam kuartal pertama itu?

3. Ada empat bilangan yang jumlah tiga bilangan diantaranya adalah 180, 197, 208,

dan 222. Carilah bilangan-bilangan itu?

4. Bilangan yang terdiri dari 5 digit a679b (basis 10) habis dibagi 72. Dapatkah Anda

menentukan nilai a dan b?

4 5 6

1 2 3

7 8 9


5. Sebuah bilangan terdiri atas dua angka. Bilangan itu 7 kali jumlah kedua angkanya.

Jika kedua digit tersebut dipertukarkan maka akan terbentuk bilangan yang lebih 18

dari jumlah kedua digitnya. Dapatkah Anda menentukan bilangan itu?

6. Carilah sisa pembagian dari 7

22003

.

7. Pada tahun 2000 umur Alifba sama dengan jumlah semua digit tahun kelahirannya,

Dapatkah Anda menentukan umur Alifba?

8. Diberikan persamaan: edcba 9738 . Dapatkah anda mensubstitusikan atau

mengganti huruf-huruf yang diberikan itu, dengan menggunakan angka-angka yang

belum digunakan dari 1 sampai 9, agar menjadi pernyataan yang benar?

9. Dapatkah Anda menemukan pembagian dan perkalian suatu bilangan, sehingga

bilangan-bilangan 1 sampai dengan 9 hanya muncul sekali, baik di kedua ruas atau

sebuah ruas saja?

10. Tanpa melakukan pembagian langsung, apakah bilangan 250.673.976 habis dibagi

dengan 8 ?



1. 789987 64737113

753357 61737113

741147 60737113

Jadi, bilangan-bilangan yang dihasilkan memiliki faktor-faktor 3, 11, dan 37.

2. a. Pertanyaan pertama dapat diselesaikan dengan menentukan Kelipatan

Persekutuan Terkecil (KPK) dari 2, 3, 4, 5, dan 6 = 65432 = 60.

Jadi, mereka akan bertemu bersama-sama lagi pada hari yang ke-61, dengan eskul

elektronika setelah selang 30 selang 2 hari, eskul Bahasa Asing setelah 20 selang

3 hari, eskul Bela Diri setelah 15 selang 4 hari, eskul Basket setelah 12 selang 5

hari, dan eskul Kesenian setelah 10 selang 6 hari. Dengan perkataan lain, mereka

bersama-sama saling bertemu hanya sekali dalam 60 hari.

b. Pernyataan kedua dapat ditentukan solusinya dengan menuliskan semua

bilangan dari 1 sampai 90 (karena 1 kuartal ada 90 hari) hurufnya tidak

ditebalkan menunjukkan semua hari saat eskul itu ada.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

3. Misalnya bilangan-bilangan itu adalah a, b, c, dan d , sehingga jumlah tiga bilangan

itu dapat dimisalkan sebagai berikut.

a + b + c = 180

a + b + d = 197

a + c + d = 208


b + c + d = 222

Jika seluruhnya dijumlahkan maka akan diperoleh

3(a + b + c + d) = 807

a + b + c + d = 269

a + b + c = 180 a + b + c + d = 269

180 + d = 269

d = 269 – 180 = 89

a + b + d = 197 a + b + c + d = 269

197 + c = 269

c = 269 – 197 = 72

a + c + d = 208 a + b + c + d = 269

208 + b = 269

b = 269 – 208 = 61

b + c + d = 222 a + b + c + d = 269

222 + a = 269

a = 269 – 222 = 47

Jadi, bilangan-bilangan itu adalah 47, 61, 72, dan 89.

4. Karena 72 adalah faktor dari 8 9, maka bentuk 79b harus habis dbagi 8, sehingga

akan diperoleh nilai b = 2, dan karena a6792 habis dibagi 9 , maka a + 6 + 7 + 9 + 2

= 9 atau a + 24 = 9 atau a + 6 = 9, sehingga didapat a = 3.

Jadi, bentuk bilangan lima digit tersebut adalah 36792.

5. Misalnya bilangan itu adalah ab.

Berdasarkan informasi pertama diperoleh hubungan

ab = 7 (a + b)


10a + b = 7a + 7b

a = 2b ……………….…(1)

Berdasarkan informasi kedua diperoleh

ba = (a + b + 18)

10b + a = a + b + 18

b = 2 …………………. ..(2)

Substitusikan nilai b = 2 ke persamaan (1), maka diperoleh a = 4.

Jadi, bilangan yang diminta adalah. 42.

6. 21 : 7 sisa 2

22 : 7 sisa 4

23 : 7 sisa 1

24 : 7 sisa 2

25 : 7 sisa 4

26 : 7 sisa 1

27 : 7 sisa 2

Jika diteruskan kita akan dapatkan sisa dengan formasi 2-4-1 sehingga

4sisa7

21

7

21

1

22

7

2 22667266732003

7. Misalnya tahun kelahiran Alifba adalah abcd dan umurnya pada tahun 2000 EF,

maka

2000 – EF = abcd ………………….(1)

a + b + c + d = EF………………….(2)

Sehingga diperoleh hubungan

d + F = 10 (karena penjumlahan suku terakhir 0)

c + E = 9 (karena mendapat tambahan angka 1 dari d + F)


Karena a + b + c + d tidak mungkin lebih dari 100, maka Alifba lahir pada tahun

1900-an, sehingga nilai a = 1 dan b = 9.

Sehingga persaman (2) menjadi: 10 + c + d = EF

Bilangan EF minimum adalah 10, jika c = 0 dan d = 0.

Bilangan EF maksimum adalah 28, jika c = 9 dan d = 9, maka nilai E ada dua

kemungkinan, yaitu 1 atau 2.

Untuk E = 1, maka c = 8 sehingga

1 + 9 + 8 + d = 1 F

18 + d = F

Maka nilai d = 1 dan F = 9.

Jadi, umur Alifba pada tahun 2000 adalah 19 tahun atau lahir pada tahun 1981.

8. 629174358

Jadi, 5a , 1b , 4c , 2d , dan 6e .

9. a. 15948

632.7 (pada kedua ruas muncul angka 1 sampai 9 hanya sekali)

b. 9742.583.16678.253.149 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1

sampai 9)

c. 632.547.8916195.287.34 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1

sampai 9)

d. 351.249.8768153.749.62 (pada kedua ruas masing-masing muncul angka 1

sampai 9)

10. Bilangan-bilangan yang habis dibagi:

a. Jika suatu bilangan berakhir dengan digit genap, maka bilangan itu habis dibagi

2.

b. Jika suatu bilangan jumlah digitnya habis dibagi 3, maka bilangan itu habis

dibagi 3.


c. Jika suatu bilangan dua digit terakhirnya habis dibagi 4, maka bilangan itu

habis dibagi 4.

d. Jika suatu bilangan digit akhirnya 0 atau 5, maka bilangan itu habis dibagi 5.

e. Jika suatu bilangan habis dibagi 2 dan 3, maka bilangan itu habis dibagi 6.

f. Jika suatu bilangan tiga digit terakhirnya habis dibagi 8, maka bilangan itu

habis dibagi 8.

Oleh karena bilangan 250.673.976, dengan tiga digit terakhirnya 976 habis dibagi 8,

yaitu 122, maka bilangan 250.673.976 pasti habis dibagi 8, yaitu 31.334.247.


SOAL-SOAL LATIHAN 8

1. Di dalam lingkaran yang berpusat di O, dengan luas 1.024 cm2, dibuat lingkaran-

lingkaran sepusat (konsentris) dengan jari-jari setengah dari jari-jari lingkaran di

luarnya. Cari luas lingkaran ke-5.

2. Pada gambar ditunjukkan sebuah benda pejal yang dibangun dari kubus-kubus

dengan sisi 1 cm. Cari luas keseluruhan permukaan bangun itu.

3. Berapa banyak segitiga pada gambar ini?

4. Pada gambar, yang digambar tanpa skala, BD = DE, DBC = 40, dan ADE =

100. Carilah x.

O


5. Masing-masing lingkaran I, II, dan III adalah bersinggungan pada dua lingkaran

yang lainnya. Luas lingkaran-lingkaran itu masing-masing adalah 81 cm2, 256

cm2, 625 cm

2. Temukan panjang keliling dari segitiga yang dibentuk dengan

menghubungkan pusat-pusat lingkaran ini.

6. Pada gambar di bawah, berapa banyak persegi dan persegi panjang yang ada

seluruhnya?

7. Perhatikan gambar di bawah ini. AB = 64 cm, BC = 48 cm, CD = 36 cm, dan DE =

27 cm, dengan AB, BC, CD, dan DE adalah diameter dibuat setengah lingkaran.

Cari panjang busur ABCDE.

7

22πAmbil

B

A

C

A

E

D

40o

100o x

I

III

II


8. 9 lingkaran dengan ukuran sama digambar dalam sebuah persegi seperti tampak

pada gambar. Jika jari-jari setiap lingkaran adalah 10 cm, cari luas keseluruhan

daerah yang diarsir. (Ambil = 3,14)

9. Dengan AB sebagai diameter dibuat lingkaran (P, R). Pada AB terletak titik C,

sehingga AC : CB = 3 : 1 . Dengan AC dan BC sebagai diameter dibuat setengah

lingkaran. Carilah rasio luas daerah yang diarsir dengan luas daerah yang tidak

diarsir.

A C E D

B

10 cm

A C

B


Kita dapat menggunakan 6 potongan untuk menutup sebuah persegi

panjang berukuran 6 3 sebagai contoh,

Dalam berapa banyak cara yang berbeda dapat menutup persegi panjang berukuran

6 3 itu?



1. LrL 2

1 π

LrrL4

1π

4

1

2

1π 2

2

2

LrrL16

1π

16

1

4

1π 2

2

3

LrrL64

1π

64

1

8

1π 2

2

4

2

516

1π

rL

2π256

1r

L256

1

024.1256

1

= 4 cm2

Jadi, luas lingkaran ke lima adalah 4 cm2.

2. Luas permukaannya = )11(610 = 60 cm2

3. Banyak segitiga pada gambar tersebut adalah 20 buah dengan perincian 12 segitiga

yang kecil, 6 buah segitiga yang sedang, dan 2 buah segitiga yang besar)

4. BDC = ADE = 100o

BDC = 180o ADE

= 180o 100

o = 80

o

BCD = 180o (CBD + BDC)

= 180o (40

o + 100

o

= 40o B

A

C

A

E

D

40o

100o x


BDC adalah segitiga sama kaki, akibatnya

BDCD .

Karena DECD , maka CDE sama kaki.

2

180 o CDEx

ooo

502

80180

Jadi, o50x

5. π81IL π256IIL π625IIIL

π81π 2 Ir π256π 2 IIr π625π 2 Ir

812 Ir 2562 IIr 6252 IIIr

9Ir 16IIr 25IIIr

Jadi, panjang keliling dari segitiga yang dibentuk dengan menghubungkan pusat-

pusat lingkaran ini IIIIII rrr = 9 + 16 + 25 = 50 cm.

6.

Jadi, banyak persegi dan persegi panjang bersama-sama adalah 54 buah.

Jenis Jumlah

……………………… 13

……………………. 16

………………… 10

…………….. 4

…………. 2

……………………. 4

………………... 4

………………… 1

+ Jumlah total = 54


7. Panjang busur ABCDE )π()π()π()π(2

1DECDBCAB

)27364864(7

22

2

1

)175(7

22

2

1

= 275 cm

8.

L = Luas persegi ABCD – 4 luas lingkaran

= 24 rBCAB

= 21014,344040

= 256.1600.1

= 344 cm2

Jadi, luas keseluruhan dari bagian yang diarsir adalah 344 cm2.

9. AC : CB = 3 : 1

dRAC8

3

4

3 dan dRCB

8

1

4

1

Luas daerah diarsir 222

4

π

4

π

4

πBCACd

10 cm

A

D C

B


22

2

8

1

4

π

8

3

4

π

4

π

ddd

64

1

64

91

4

π 2d

64

81

4

π 2d

8

11

4

π 2d

8

7

4

π 2d

2

32

π7d

Luas daerah yang tidak diarsir = luas lingkaran besar – luas daerah yang diarsir

22

32

π7

4

πdd

2

32

πd

Jadi, rasio luas daerah yang diarsir dengan luas daerah yang tidak diarsir

22

32

π:

32

π7dd

= 7 : 1

10.

Jadi, cara yang berbeda persegi panjang 6 3 dapat ditutup itu adalah 6 cara.


SOAL-SOAL LATIHAN 9

1. Carilah hasil kali dari bilangan-bilangan berikut ini.

a. 4368 dan 3486 b. 2463 dan 4236 c. 1393 dan 3139

Apakah hasil kali pada setiap pasangan sama ? Berikan contoh 6 pasang bilangan

lainnya!

2. Sebuah kombinasi angka yang terdiri dari tiga angka, yaitu 9, 5, dan x . Apabila

angka-angka itu dibalik dan mengurangi angka semula, maka hasilnya akan memuat

angka-angka yang sama tetapi dalam urutan yang berlainan. Temukan angka x ?

3. a. Dengan bilangan berapa 59 harus dikalikan agar diperoleh 5959?

b. Dengan bilangan berapa 43 harus dikalikan agar diperoleh 434343?

c. Carilah empat bilangan prima yang hasilkalinya dengan sebarang bilangan

berangka ab menghasilkan bilangan berangka enam ababab.

d. Selidiki pengaruh hasil kali 73 101 137 terhadap bilangan berangka dua ab.

4. Angka-angka 1 sampai 9 dapat diisikan ke dalam lingkaran-lingkaran kosong pada

segitiga dalam berbagai cara, sehingga jumlahnya sepanjang sisi sama. Tetapi

sekarang dapatkah anda menemukan susunan semacam itu dengan sifat selain

jumlah sepanjang sisinya sama, juga jumlah kuadrat sepanjang sisinya sama?

5. Hitunglah ....16

7

8

5

4

3

2

1

2

1 3 6 7

9

5

4

8


6. Hitunglah n

...321

1...

321

1

21

1

1

1, dengan n bilangan asli.

7. Carilah semua nilai n bulat yang menyebabkan 1

437

n

n juga bilangan bulat.

8. Jika 2232005 yx , dengan x dan y adalah bilangan asli, carilah nilai x dan y.

9. Hitunglah nilai dari 33333 20072006...321

10. Tentukan angka satuan dari 19911997 .



1. a. 29244368 dan 29243486

b. 15122463 dan 15124236

c. 12091393 dan 12093139

Setiap pasangan bilangan itu memiliki faktor yang sama, maka hasil kalinya sama.

Misalnya ab dan cd adalah dua buah bilangan masing-masing dengan dua digit,

maka

dcbacdab

)10()10()10()10( cdabdcba

acadbcbdbdbcadac 10101001010100

09999 bdac

cdba ::

Jadi, enam pasangan bilangan yang memiliki sifat demikian adalah:

a. 30248436 dan 30244836

b. 14723246 dan 14722364

c. 11488214 dan 11482841

d. 5044212 dan 5042421

e. 20168424 dan 20164842

f. 24189326 dan 24183962

2. Bilangan x95 sama artinya dengan x 1051009 .

Bilangan x95 dibalik menjadi 59x yang sama artinya dengan 9105100 x .

x 50900 )950100( x 590100 x

796199 x

4x

Jadi, 4x .

3. a. 59 101 = 5959

b. 43 1001 = 434343


c. Faktor dari 10101 = 3 7 13 37

abababab 371373

Jadi, empat bilangan prima yang diminta adalah 3, 7, 13, dan 37.

d. Hasil kali dari 73 101 137 = 1010101

Jadi, abababababab 101010113710173

4. 2 + 7 + 3 + 8 = 20

2 + 9 + 4 + 5 = 20

5 + 1 + 6 + 8 = 20

1268372 2222

1265492 2222

1268615 2222

5. Misalnya x ....16

7

8

5

4

3

2

1, maka x

2

1....

32

7

16

5

8

3

4

1 , sehingga

x ....16

7

8

5

4

3

2

1

x2

1....

32

7

16

5

8

3

4

1

x2

1....

16

2

8

2

4

2

2

1

x2

1....

16

1

8

1

4

12

2

1

x2

1

2

11

4

1

22

1

x2

1

2

12

2

1

x2

11

2

1

x2

1

2

3

2

5 8 1 6

9

4

7

3


3x

Jadi, 3....16

7

8

5

4

3

2

1

6. n

...321

1...

321

1

21

1

1

1

)1(2

1

1...

6

1

3

1

1

1

nn

)1(

1...

12

1

6

1

2

12

nn

)1(

1...

43

1

32

1

21

12

nn

1

11...

3

1

3

1

2

1

2

1

1

12

nn

1

112

n

1

2

n

n

7. 1

437

n

n

1

507

n, dengan n bulat.

Agar 1

507

n bilangan bulat, maka haruslah n 1 merupakan faktor atau pembagi

dari 50. Dengan demikian, semua nilai n bulat yang diminta adalah 2, 3, 6, 11,

26, 51, 1, 4, 9, 24, dan 49.


n

1

50

n

n

1

50

n

2 50 1 25

3 25 4 10

6 10 9 5

11 5 24 2

26 2 49 1

51 1

8.

2

33333 )1(2

1)1(...321

nnnn

2

3

2

)1(2

1)1(

2

1

nnnnn

22

3 )1(2

1)1(

2

1

nnnnn

22

3 2005)12005(2

1)12005(2005

2

12005

22 20090102011015

Jadi, 2011015x dan 2009010y

9. 33333 20072006...321

33333 20072006...321 3333 2006...6422

2

)12007(20072

1

33333 1003...32122

2

2)11003(1003

2

11610042007

2210041003210042007

2222 200620071004

)20062007(200620071004 2


40131004 2

= 4.045.168.208

10. Observasi angka satuan dari 7, 72, 7

3, 7

4, 7

5, 7

6, 7

7,… adalah 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,…

yang terulang pada putaran ke-4.

Jadi, angka satuan dari 349741991 19971997 adalah 3.


SOAL-SOAL LATIHAN 10

1. Diberikan tiga bilangan bulat positif a, b, c sedemikian, sehingga a

c

c

b

b

a .

Carilah cba

cba

.

2. Diketahui a, b, c masing-masing adalah bilangan real positif. Jika a

c

c

b

b

a ,

carilah nilai dari cba

cba

23

200520042003.

3. Diketahui a, b, c, d, e, dan f masing-masing adalah bilangan real. Jika

64f

e

d

c

b

a, carilah nilai dari

322

322

45

45

ffddb

eecca

.

4. Carilah sebuah bilangan bulat positif yang memiliki tepat 8 faktor dan hasil kali 8

faktor itu adalah 331776.

5. Pada perkalian persegi ajaib, a, b, c, …, i adalah bilangan asli. Hasil kali tiga

bilangan dalam baris, kolom, atau diagonal sama dengan suatu bilangan konstan k,

yang terletak di antara 10000 dan 12000. Carilah nilai k.

6. Jika m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi 12

511

nm, carilah nilai dari

22 nm .

7. Hitunglah nn )1(

1...

32

1

21

1

, dengan n bilangan asli

a b c

d e f

g h i


8. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat yang memenuhi

1

1

1

1

17

30

dc

b

a ,

temukan nilai dari dcba .

9. Dalam berapa cara 45 dapat diekspresikan sebagai perbedaan dua bilangan bulat

kuadrat?

10. Carilah setiap bilangan yang hilang a, b, c, d, e, f, g, dan h pada pembagian berikut

ini.

9

5 a

4 b c

e d

3 f

g h

0



1. Karena a

c

c

b

b

a , maka

c

b

b

a 2bac

c

ba

2

a

c

c

b 2cab 2

2

cbc

b 33 cb cb

a

c

b

a 2abc 222 acb cba

cba

cba

3

3

a

a

aaa

aaa

2. Karena a

c

c

b

b

a , maka

c

b

b

a 2bac

c

ba

2

a

c

c

b 2cab

22

cbc

b 33 cb cb

a

c

b

a 2abc 222 acb cba

cba

cba

23

200520042003

aaa

aaa

23

2005200420031002

6

6012

a

a

3. Karena 64f

e

d

c

b

a, maka ba 64 , dc 64 , dan fe 64

322

322

45

45

ffddb

eecca

322

322

45

)64()64()64(4)64()64(5

ffddb

ffddb

322

3223

45

4564

ffddb

ffddb

364 68 38 = 512


4. Misalnya 8 buah faktor bilangan bulat positif itu adalah ,1a ,2a ,3a …, 8a , dengan

11 a , na 8 , dan 54637281 aaaaaaaa , maka

3317764

81 aa

3317764n

4 331776n = 24

Jadi, sebuah bilangan bulat positif yang memiliki tepat 8 faktor adalah 24.

5. kcfiadg

gecdefaei

))((

))()(( , maka ke 3 . Karena 1200010000 k , maka 10648k .

6. 12

511

nm

36

1511

nm

36

12

36

311

nm

3

1

12

111

nm

12m dan 3n

1539144312 2222 nm

7. nn )1(

1...

32

1

21

1

nn

1

1

1...

3

1

2

1

2

1

1

1

n

11

n

n 1

8.

13

17

11

17

30

4

13

11

11

4

13

11

11


1a , 1b , 3c , dan 41d atau 3d

dcba 83311

Jadi, nilai dari dcba adalah 8.

9. Dengan menggunakan konsep ))((22 yxyxyx , kita memperoleh bahwa

145 22)(( yxyxyx 22 2223)2223)(2223(

315 22)(( yxyxyx 22 69)69)(69(

59 22)(( yxyxyx 22 27)27)(27(

10. 1. Angka d = 4 dan e = 5 (karena 9 5 = 45).

Angka b = 8 ( karena 8 – 5 = 3).

2. Angka a = 4 (karena 9 4 = 36).

3. Angka g = 3 dan angka-angka c = f = h = 6.

Jadi, pembagian itu lengkapnya adalah:

9

5 4

4 8 6

5 4

3 6

3 6

0



1. Jika rasio volume dua buah kubus adalah 27

8, berapakah rasio luas permukaannya.

2. Pada gambar di bawah ini, terdapat 5 buah titik P, Q, R, S, dan T. PQR dan SQT

adalah garis-garis lurus. Berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk sedikitnya

oleh 3 dari 5 titik yang ada?

3. Jika jarak titik-titik pusat lingkaran ke titik persekutuan empat lingkaran berikut ini

berbanding sebagai 1 : 2 : 4 : 8. Temukan rasio daerah kecil yang diarsir dengan

daerah besar yang diarsir.

4. Berapa banyakkah maksimum kotak yang dapat dibentuk dari kubus berukuran 60

cm, jika ukuran kotak harus 864 ?

5. Diketahui jajargenjang ABCD. Pada pertengahan AB terletak titik M dan pada CD

terletak N, sehingga CN : ND = 1 : 2. Hitunglah perbandingan luas trapesium

MBCN dan AMND.

P

Q

S

T

R


6. Bila Anda menggambar dua lingkaran dan dua garis lurus, berapa jumlah terbanyak

titik perpotongan yang akan Anda dapatkan?

7. Luas persegi panjang ABCD adalah 120 cm2. Pada sisi CD terletak titik-titik E dan

F, sehingga CP : PQ : QD = 1 : 2 : 1. Perpanjangan AQ dan BP berpotongan G.

Tentukan luas ABR.

8. Terdapat 10 garis yang terletak pada suatu bidang, 4 garis dari mereka saling sejajar

satu dengan lainnya. Sebuah garis membagi bidang itu ke dalam daerah-daerah.

Temukan jumlah terbesar daerah yang mungkin terjadi.

9. Gunakan sebagai titik sudut pusat lingkaran untuk menggambar lingkaran dari jari-

jari yang sama dengan panjang sisi itu. Temukan dalam gambar luas daerah yang

diarsir “bunga” ( Ambil masing-masing sisi dalam satu satuan panjang.

10. Gambar yang diperlihatkan ini adalah sebuah persegi dengan dua buah seperempat

lingkaran yang dibuat di dalamnya. Temukan selisih luas antara dua daerah yang

diarsir. (Ambil = 3,14).

12 cm

A B

D C



1. Misalnya panjang rusuk-rusuk kubus itu adalah a dan b, maka

Volume kubus pertama: 3

1 aV

Volume kubus kedua: 3

2 bV

27

8

2

1 V

V

27

83

3

b

a

33

3

2

b

a

3

2

b

a

ba3

2

9

4

3

23

22

2

2

2

2

2

1

b

b

b

a

b

a

L

L

Jadi, rasio luas permukaannya adalah 9

4.

2. PQS , PQT , PRS , PRT , PST , QRS , QRT , dan RST .

Jadi, kita dapat menemukan 8 buah segitiga pada gambar itu.

P

Q

S

T

R


3. 8:4:2:1::: 4321 rrrr

kr 1 , kr 22 , kr 43 , dan kr 84

Luas daerah kecil yang diarsir 2

1

2

2 ππ rr 22 π)2π( kk 2π3 k

Luas daerah kecil yang diarsir 2

3

2

4 ππ rr 22 )4π()8π( kk 2π48 k

Jadi, rasio daerah kecil yang diarsir dengan daerah besar yang diarsir

16:1π48:π3 22 kk

4. Ukuran kubus 606060 cm3

Ukuran kubus 864 cm3

Potongan = 5,71015 buah

Jadi, banyakkah maksimum kotak yang dapat dibentuk dari kubus itu =

050.171015 buah.

5. Misalnya ukuran persegi panjang: AB = p dan BC = q.

Luas trapesium MBCN : luas trapezium AMND

DENDAMDECNMB )(2

1:)(

2

1

)(:)( NDAMCNMB

pppp

3

2:

3

1

pp

3

5:

3

4

= 4 : 5.

6.

Lingkaran berpotongan pada 2 titik.

A M B

C N D

E


Masing-masing garis berpotongan dengan lingkaran pada 4 titik. Sehingga

banyaknya = 4 2 = 8 titik.

Dua garis berpotongan pada 1 titik.

Jadi, paling banyak jumlah titik persekutuan yang dapat dibuat = 2 + 8 + 1 = 11

buah.

7. Strategi 1:

Jumlah daerah yang terbesar yang mungkin terjadi = 5 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 50

buah.

Stategi 2:

Jadi, jumlah daerah yang terbesar yang mungkin terjadi adalah 50 buah.

8. Misalnya panjang dan lebar persegi panjang itu adalah a cm dan b cm, maka

BC : EC = GH : HE

aGHab4

1:

4

1:

Banyak garis Banyak daerah

4 5

+ 5

5 10

+ 6

6 16

+ 7

7 23

+ 8

8 31

+ 9

9 40

+ 10

10 50


bGH

Ternyata BCE , GHE, GHF, dan ADF adalah kongruen.

Jadi, kita dapat menarik kesimpulan bahwa luas ABR sama dengan luas persegi

panjang ABCD = 120 cm2.

9.

Luas daerah yang tidak diarsir (yang ditunjuk oleh tanda panah)

= luas persegi ABCD – luas ABE – 2 luas juring EBC

22 1π12

123

2

11

2

11

6

π

4

31 satuan

2

Jadi, keseluruhan luas bunga = luas persegi – 4 luas daerah yang tidak diarsir

6

π

4

31412

3

π2341

A B

D C

1

E

A B

C E F

D

G

I

H


33

3

π2satuan

2

10. Buat segitiga ABE yang merupakan segitiga sama sisi.

Luas tembereng BE = Luas juring BAE luas segitiga ABE

Luas tembereng BE 2

o

o

2014,3360

60 31020

2

1

3100

3

628cm

2

Luas daerah besar yang diarsir = 2 luas tembereng + luas segitiga ABC

310031003

6282

3100

3

1256cm

2

Luas daerah yang tidak diarsir = luas juring BCE luas tembereng BE

22014,3360

30

3100

3

628

31003

628

3

314

3100

3

314 cm

2

Luas daerah kecil yang diarsir = luas pesegi ABCD – luas segitiga ABE – 2 luas

juring ADE

20cm A B

C D

E


3

314231002020

3100

3

572cm

2

Selisih luas antara dua daerah yang diarsir

3100

3

1256

3100

3

572

2283

5721256

cm

2.

Coba Anda mencari gagasan yang lainnya.



1. Carilah nilai D yang mungkin, agar bilangan 02597DD habis dibagi 60.

2. Seorang guru menulis persegi ajaib 33 menggunakan angka-angka sampai

dengan 9 pada papan tulis. Seseorang telah menghapus, kecuali dua buah bilangan.

Lengkapilah persegi ajaib itu.

3. 5, 11, 17, 23, dan 29 adalah lima bilangan prima dalam barisan aritmetika. Carilah

enam bilangan prima dalam barisan aritmetika.

4. Diberikan 6 buah bilangan positif A, B, C, D, E, dan F; sehingga 29 BA ,

45 DC , 65 FE , 36AC , dan 312BE . Carilah nilai-nilai dari A, B, C,

D, E, dan F.

5. Carilah bilangan asli m dan n, jika 1 + 2 + 3 + … + n = mmm.

6. Seratus dua puluh bola identik disusun dalam bentuk piramida segitiga beraturan.

Berapa banyak bola-bola yang diperlukan pada susunan paling bawah?

7. Tentukan jumlah dari 6 + 66 + 666 + 6666 + … + 6666...6666 (100 kali)

8. Berapa banyak diagonal segiduapuluh?

9. Berapa banyaknya segitiga yang berbeda yang dapat dibentuk dengan

menghubungkan ke enam titik ujung dari segi enam, titik-titik ujung dari setiap

segitiga terletak pada segi enam?

10. Berapa banyak sudut yang lebih kecil dari 180o dibentuk oleh 12 garis lurus yang

berpangkal pada sebuah titik, apabila tidak ada dua buah garis pada garis lurus yang

sama?

8

7



1. Jika 02597DD habis dibagi 60, maka DD2597 habis dibagi 6 dan D adalah

bilangan genap.

Pilihan dari D adalah bilangan dalam himpunan {0, 2, 4, 6, 8}.

Jadi, 02597DD habis dibagi 60, jika D adalah 2 atau 8.

2. Dalam persegi ajaib, jumlah bilangan pada baris, kolom, dan diagonal masing-

masing adalah sama. Karena pesegi ajaib 33 hanya diisi oleh angka-angka dari 1

sampai dengan 9, maka jumlah semua sel = 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45. Jadi, jumlah

bilangan pada setiap baris, kolom, dan diagonal masing-masing = 45 : 3 = 15.

Selengkapnya persegi ajaib 33 disajikan pada diagram di samping.

3. Barisan bilangan prima adalah

7, 37, 67, 97, 127, 157.

107, 137, 167, 197, 227, 257.

7, 157, 307, 457, 607, 757, 907.

47, 257, 467, 677, 887, 1097, 1307.

71, 2381, 4691, 7001, 9311, 11621, 11931.

199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089.

4. 312BE 13323 . Pilihan untuk B adalah 13, 24, 8, 26. Hanya B = 26 yang

mungkin, sehingga:

B = 26 29 BA

2926 A

3A

3A 36AC

363 C

1 8 6

5 3 7

9 4 2


12C

12C 45 DC

4512 D

33D

B = 26 312BE

31226 E

12E

12E 65 FE

6512 E

53E

Jadi, nilai-nilai dari A, B, C, D, E, dan F masing-masing adalah 3, 26, 12, 33, 12,

dan 53.

5. 1 + 2 + 3 + … + n = mmm

mmmnn

10100)1(2

mnn

111)1(2

37)3()1(2

mnn

37)6()1( mnn

Dalam kasus ini )1( nn adalah perkalian dua buah bilangan asli yang berturutan

dan 91 m , dengan m adalah bilangan asli.

Jadi, kita memperoleh nilai 36n dan 6m .

6.

Susunan Jumlah bola Jumlah kumulatif

1 1 1

2 3 4

3 6 10

4 10 20

5 15 35

6 21 56

7 28 84

8 36 120


Jadi, pada susunan paling bawah terdapat 36 bola.

7. P = 6 + 66 + 666 + 6666 + … + 6666...6666 (100 kali)

P2

3 = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 9999…9999

P2

3 = (10 –1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + ... + (10

100 – 1)

P2

3 = (10 + 100 + 1000 + …+ 10

100) – 100

100110

)110(10

2

3 100

P

1009

)110(10

2

3 100

P

901109

10

2

3 100 P

911027

20 100 P

Jadi, 6 + 66 + 666 + 6666 + … + 6666...6666 adalah 911027

20 100 .

8. Banyak diagonal segi-n = )3(2

1nn

Banyak diagonal segi-20 = 170)320(202

1 buah.

9. Banyaknya segi-3 yang dapat dibuat pada segi-n = )2)(1(6

1 nnn

Banyaknya segi-3 yang dapat dibuat pada segi-6 = 20)26)(16(66

1 segitiga

10. Banyak sudut yang lebih kecil dari 180o dibentuk oleh n garis lurus yang

berpangkal pada sebuah titik, apabila tidak ada dua buah garis pada garis lurus yang

sama = )1(2

1nn

Jadi, banyak sudut yang diminta = 66)112(122

1 buah



1. Bilangan asli N bersisa 3 jika dibagi 7 dan bersisa 4 jika dibagi 5. Carilah nilai N

terkecil.

2. Bilangan manakah yang terletak antara 900 dan 1000 dan berturut-turut

meninggalkan sisa 4 dan 10, jika dibagi dengan 9 dan 11?

3. Sebuah pecahan y

xmemiliki sifat-sifat sebagai berikut.

a. 3

4

y

x

b. yx bilangan dengan dua angka.

c. yx kuadrat sempurna.

Carilah x dan y yang memenuhi kondisi itu. (AEM)

4. Hitunglah 10099

1

9998

1...

54

1

43

1

32

1

5. Bagilah 192 atas 4 bagian; bagian ke-1 ditambah 7 = bagian ke-2 dikurangi 7 =

bagian ke-3 dikalikan dengan 7 = bagian ke-4 dibagi 7. Tentukanlah semua

bilangan itu.

6. Pecahan 7000

1997ditulis dalam bentuk desimal. Angka apakah yang ke-1997 dari

tempat decimal itu?

7. Carilah angka-angka A, B, C, dan D dari perkalian berikut ini.

A B C D

9

D C B A


8. Persamaan 19979719 yx dipenuhi oleh bilangan bulat positif 100x dan 1y .

Ada hanya satu pasangan bilangan bulat lain yang memenuhi persamaan.

Berapa jumlah bilangan itu?

9. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan 199522 yx .

10. Dua puluh kubus disusun menjadi 4 level pada pojok ruangan.

a. Berapa banyak yang tidak terlihat?

b. Berapakah luas permukaan kubus yang terlihat, jika panjang rusuk kubus adalah

1 dm ?

c. Berapa banyak kubus yang diperlukan pada susunan yang terdiri dari 20 level?



1. 7

3

7 a

N 37 aN

5

4

5 b

N 45 bN

4537 ba

4)4(53)3(7 = 24 (pernyataan yang bernilai benar)

Jadi, nilai N terkecil adalah 24.

2. Misalnya bilangan itu 9xy , maka

9

4

9

9 a

xy 499 axy

11

10

11

9 b

xy 10119 bxy

101149 ba

6119 ba

Persamaan terakhir dipenuhi oleh b = 87 dan a = 107.

Untuk a = 107, maka 9674)107(9499 axy

Jadi, bilangan itu adalah 967.

3. )( yx adalah bilangan dua angka dan kuadrat sempurna, maka

81,64,49,36,25,16)( yx

Karena 3

4

y

x, maka kx 4 dan ky 3 , sehingga kyx 7 .

Dengan demikian, kita memperoleh 497 k atau k = 7.

Jadi, 28744 kx dan 21733 ky .

4. 10099

1

9998

1...

54

1

43

1

32

1


100

1

99

1

99

1

98

1...

5

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

100

1

2

1

100

49

5. Misalnya keempat bilangan itu a, b, c, dan d, maka

7777

dcba

Misalnya kd

cba 7

777 , maka

Bilangan pertama: 7 ka

Bilangan ke-2: 7 kb

Bilangan ke-3: kd 7

Bilangan ke-4: 7

kd

192 dcba

1927

777 k

kkk

1927

64

k

64

7192k

21k

21k 7 ka 14721

21k 7 kb 28721

21k kd 7 147217

21k 7

kd 3

7

21

Jadi, keempat bilangan itu adalah 14, 28, 147, dan 3.


6. ...485714285712852857142,07000

1997 dengan enam angka 285714 terdapat dalam

satu blok yang terulang setelah tiga angka pertama.

Jadi, 1997 = 3 + 6 332 + 2, angka ke-1997 adalah angka kedua yang terulang

yang terdapat dalam satu blok angka, yaitu 8.

7. Jika 0A , maka 0D .

Jika 2A atau lebih, maka 9ABCD akan menjadi lima angka. Dengan demikian,

Jika 1A dan 9D .

Jika B (dengan 1B ) adalah 2 atau lebih, maka ABCD akan lebih besar dari 1200

dan perkaliannya dengan 9 akan memberikan hasil lima angka. Dengan denikian,

0B . Kita memperoleh 0199910 CC , sehingga haruslah .8C

Jadi, perkalian itu adalah 980191089 , maka A = 1, B = 0, C = 8, dan D = 9.

8. 197100199719 yx

xy 191001919797

)100(19)1(97 xy

Bilangan 97 dan 19 masing-masing adalah bilangan prima, maka

kx 97100 dan ky 191 .

Untuk x dan y keduanya positif, maka

1k kx 97100

197100 x

3x

1k ky 191

1191 y

20y

23203 yx

Jadi, jumlah bilangan itu adalah 23.


9. 199522 yx .

19753))(( yxyx

Pasangan yang mungkin untuk ),( yxyx adalah (1,1995); (3, 665); (5, 399);

(7, 285); (19, 105); (15, 133); (21, 95); dan (35, 57). Dengan demikian, pasangan

untuk ),( yx adalah (998, 997); (334, 331); (202, 197); (146, 139); (62, 43); (74, 59);

(58, 31); dan (46, 11).

10. a. Banyak kubus yang terlihat ada 10 buah.

Banyak kubus yang tidak terlihat ada = 20 – 10 = 10 buah.

b. Luas permukaan kubus yang terlihat = (3 10)(1 dm 1 dm) = 30 dm2.

c. Perhitungan dari atas ke bawah, banyak kubus pada tiap level adalah

1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + … + (1 + 2 + 3 + … + 20)

= 20 1 + 19 2 + 18 3 + ... + 3 18 + 2 19 + 1 20

= 2(20 1 + 19 2 + ... + 11 10)

= 2(20 + 38 + 54 + 68 + 80 + 90 + 98 + 104 + 108 + 110)

= 1540

Jadi, banyak kubus yang diperlukan pada susunan yang terdiri dari 20 level

adalah 1.540 buah.



1. Pada gambar gabungan, sebuah lingkaran kecil menyinggung sebuah lingkaran

besar dari dalam dan tepat melalui pusat F dari lingkaran besar. Jika luas lingkaran

kecil adalah 314 cm2, carilah luas lingkaran yang besar.

2. Diketahui segitiga ABC, dengan AB = 15 cm, BC = 13 cm, dan AC = 14 cm. Pada

sisi AB terletak titik P , sehingga panjang AP = 5 cm. Selanjutnya dari titik P ditarik

garis tegak lurus pada sisi AC dan BC berturut-turut di titik Q dan R. Carilah rasio

PQ dan PR.

3. Dalam trapesium ABCD, sisi AB dan CD sejajar. Diagonal BD dan sisi AB sama

panjang, jika BCD = 110o dan CBD = 30

o, tentukan besar ADB.

4. Carilah luas daerah yang diarsir.

30o

110o

A B

C D

F

O 2 6

Y

X

(4,6)

(6, 9)

(6, 3)


5. Diberikan kerangka kerja, EF = GF. Cari luas kerangka kerja itu.

6. Jika jari-jari alas sebuah silinder bertambah 25% dan tingginya berkurang dengan

rasio 5 : 16. akan menjadi bagaimana volumenya?

7. Tiga buah pipa PAM muka dikat oleh lembaran baja. Jari-jari pipa itu masing-

masing adalah 7 cm. Sela-sela yang kosong ditutup semen. Cari luas permukaan

semen itu

7

22πAmbil

8. Dua lingkaran yang sama O1(r) dan O2(r) masing-masing menyinggung dua sisi

persegi ABCD yang panjang sisinya a, lihat gambar. Dua lingkaran sama dengan

pusat O3 dan O4 masing-masing dengan radius t, menyinggung dua sisi dari

ABCD dan keduanya menyinggung secara luar kedua lingkaran O1 dan O2. Jika a

= 9 cm dan r = 4 cm, hitunglah nilai t.

O1

O2 O3

O4

56 m

14 m

4 m

14 m

4 m

10 m 10 m

B

I

A

F

G E

H D C


9. Persegi panjang ABCD terdiri dari 3 persegi panjang yang konruen. Jika panjang

sisi terpendek persegi panjang tersebut adalah 5 satuan, berapakah satuan kuadrat

luas persegi panjang ABCD?

10. ABCD dan AFED masing-masing adalah persegi, dengan panjang sisi AD = 10 cm.

Busur BD dan DF merupakan seperempat lingkaran. Hitunglah luas daerah yang

diarsir.

A B

C D

A B

C D

F

E



1. Misalnya jari-jari lingkaran yang besar adalah a, maka jari-jati lingkaran yang kecil

adalah a2

1, mala

2π rLkecil

2

2

1π314

a

2π4

1314 a

256.14314π 2 a

256.1π 2 aLbesarcm

2

Jadi, luas lingkaran yang besar adalah 1.256 cm2.

2.

c

c

tBP

tAP

BPCL

APCL

2

12

1

c

c

t

t

PRBC

PQAC

102

1

52

1

2

12

1

2

1

13

14

PR

PQ

28

13

PR

PQ

Jadi, rasio dari PQ dan PR adalah 13 : 28.

3. BDC = 180o – (110

o + 30

o) = 40

o

Karena AB // CD, maka ABD = BDC = 40o (sehadap)

Karena AB = BD, maka ABD sama kaki, sehingga BAD = ADB

A

C

B P

Q R

14 cm 13 cm

5 cm 10 cm


ooo 70)40180(2

1ADB

4. Luas daerah yang diarsir 262

162

2

196

2

1

= 6627

= 13 satuan.

5. 2:)4232( DFHF = 12 m

Menurut Dalil Pythagoras:

22 HFGHGFEF 5761002410 22 26676 m

AIHIGHFGEFDECDBCABK

1441026261041456 K

164K m

Segitiga FGH dan segitiga DEF kongruen.

L = luas persegi panjang ABCI – 2 luas segitiga FGH

HFGHCDABL 2

12

54424102

121456 L m

2

Jadi, keliling dan luas kerangka kerja itu adalah 164 m dan 544 m2.

6. trVsemula

2π

trVakhir

8

5)%40π( 2

trVakhir

8

5

5

2π

2

trVakhir

8

5

25

4π 2

trVakhir

2π10

1


semulaakhir VV10

1

Jadi, volume selinder sekarang menjadi 10

1kali volume silinder semula.

7. Luas daerah I 2

o

o

π360

12032

2

12

2

1rrr

22 π3

13 rr

Luas daerah II 2

o

o

π360

1802 rrr

22 π2

12 rr

Luas daerah yang disemen adalah luas daerah bagian yang tidak diarsir

= luas daerah I + 3 luas daerah II

22 π3

13 rr +

22 π

2

123 rr

22 π3

13 rr + 22 π

2

36 rr

222 6π6

113 rrr

222 )7(6)7(7

22

6

113)7(

2943

847349

3

35349 cm

2

Jadi, luas permukaan semen tersebut adalah

3

35349 cm

2.

II

I


8. 22 )()( trrtBC

)2(2 2222 trtrrtrt

2222 22 trtrrtrt

tr4

tr2

CDBCABAD

rrtta 2

2rta

rta

Untuk a = 9 cm dan r = 4 cm, maka

49 t

23 t

1r

t = 1cm

Jadi, nilai t = 1 cm

9. Lebar 1052 AD satuan.

Panjang 15510 AB satuan.

Jadi, luas persegi panjang ABCD = ABAD 1501510 satuan2.

10. Strategi 1:

Luas daerah yang diarsir = Luas persegi ABCD lingkaranluas4

1 +

+ lingkaranluas4

1

= 22 10

4

110

4

11010

= 100 cm2

O1

O2

O3

O4

A B C D


Strategi 1: Menggunakan Diagram

Luas daerah yang diarsir = Luas persegi AFED

1010 = 100 cm2 atau

Luas daerah yang diarsir = Luas persegi ABCD

1010 = 100 cm2

A B

C D

F

E

A B

C D

F

E

atau



1. Misalnya N adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat: bersisa 2 jika dibagi 5,

bersisa 3 jika digai 7, dan bersisa 4 jika dibagi 9. Berapah penjumlahan angka-

angka dari N?

2. Carilah pasangan bilangan asli (a, b) yang memenuhi persamaan 3525 ba .

3. Di dalam dompet Fauzan terdapat uang sebanyak 60 lembar yang masing-masing

terdiri dari uang seribuan dan lima ratusan rupiah. Jummlah semua uang itu adalah

Rp 50.000,00. Hitunglah banyak lembar uang seribuan dan lima ratusan rupiah

masing-masing.

4. Jika 10327 dan 11351 masing-masing dibagi dengan suatu bilangan 3-angka,

sisanya adalah suatu bilangan yang sama. Carilah bilangan sisa pembagian itu.

5. Harga susu bubuk dalam kemasan kaleng adalah Rp 56.000,00. Harga susunya

adalah Rp 47.000,00 lebih mahal dari harga kemasan kalengnya. Carilah harga susu

bubuk dan kemasan kalengnya masing-masing.

6. Jika NMNM dan 1 MNNM , Hitunglah 2)25()25(5

7. Rataan nilai 6 tes matematika Dinda adalah 90. Jika nilai terendah Dinda dibuang,

rataan 5 nilai tesnya menjadi 96. Carilah nilai tes terendah Dinda itu.

8. Diberikan angka-angka 3, 4, 5, 8, dan 9. Susunlan bilngan yang terdiri dari 3 angka

dan bilngan yang terdiri dari 2 angka, sehingga selisih dari kedua bilangan ini

manghasilkan nilai yang minimum.

9. N adalah bilangan dua angka yang nilainya 5

14dari jumlah angka-angkanya. Jika

54 ditambahkan ke N, maka hasilnya adalah suatu bilangan dengan angka yang

sama tapi urutan terbalik. Carilah bilangan N itu.

10. Hitunglah 12 – 2

2 + 3

2 – 4

2 + . . . + 2005

2 – 2006

2 + 2007

2.



1. 5

2

5 a

N 25 aN ……………. (1)

7

3

7 b

N 37 bN …………….. (2)

9

4

9 c

N 49 cN ……………...(3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh persamaan 493725 cba ,

sehingga:

)15(7

1 ab ………………………….(4)

)25(9

1 ac …………………………(5)

Persamaan (4) dan (5) dipenuhi oleh a = 31, b = 22, dan c = 17.

a = 31 25 aN 1572)31(5

Jadi, penjumlahan digit-digit dari N = 1 + 5 + 7 = 13

2. 3525 ba ba5

27

b 5 10 15

a 5 3 1

Jadi, pasangan bilangan asli yang diminta adalah (5, 5); (3, 10); dan (1, 15).

3. Misalnya banyak lembaran uang seribu dan lima ratus rupiahan masing-masing

adalah a dan b lembar, maka

60ba

ab 60 …………………….(1)

500005001000 ba

1002 ba ………………….(2)



100602 aa

40a

40a ab 60 204060

Jadi, banyak uang seribu rupiahan = 40 lembar dan banyak uang lima ratus rupiahan

= 20 lembar.

4. Misalnya bilangan itu memiliki angka ratusan, puluhan, dan satuan berturut-turut

adalah a, b, dan c, maka

cba

yx

cba

1010010100

10327

)10100(10327 cbaxy ............................. (1)

cba

yz

cba

1010010100

11351

)10100(11351 cbazy ............................. (2)


)10100(11351)10100(10327 cbazcbax

1024)10100)(( cbaxz

3232)10100)(( cbaxz

Berarti 32 xz dan 3210100 cba .

3210100 cba 32

23322

32

10327

10100

10327

cba

3210100 cba 32

23354

32

11351

10100

11351

cba

Jadi, bilangan sisa pembagian tersebut adalah 32.

5. Misalnya harga susu bubuk dan kemasan kalengnya masing-masing adalah a dan b

rupiah, maka

56000ba …………….(1)

ba 47000 ……….……(2)



5600047000 bb

5600047000 bb

90002 b

45002:9000 b

4500b ba 47000 51500450047000

Jadi, harga susu bubuknya adalah Rp 51.500,00 dan harga kemasan kalengnya

adalah Rp 4.500,00.

6. 2)25()25(5 2)125()25(5

2)97(5

2)197(5

2)625(

2)1625(

2309

2309

= 311

7. Misalnya nilai tes terendah adalah f, maka

906

fedcba

x

540 fedcba …………….(1)

965

edcba

xbaru

480 edcba …………………(2)


540480 f

60480540 f

Jadi, nilai tes terendah Dinda itu adalah 60.


8. Bilangan yang terdiri dari 3 angka (bilangan yang terkecil) = 345 dan bilangan yang

terdiri dari 2 angka (bilangan yang terbesar) = 98.

345 – 98 = 247

Jadi, selisih dari kedua bilangan ini manghasilkan nilai yang minimum 247.

9. Misalnya angka puluhan bilangan N adalah t dan angka satuannya u, maka

)(5

1410 utut

utut 1414550

0936 ut

tu 4 …………………….…….(1)

tuut 105410

5499 ut

6ut

6 tu ………………………(2)


64 tt

63 t

23:6 t

8)2(442 tut

Jadi, nilai N adalah 26.

10. Strategi 1:

A = 2222222 200720062005...4321

222222222 2007)20062005(...)65()43()21(

22007)20062005)(20062005(...)43)(43()21)(21(

22007)4011)(1(...)11)(1()7)(1()3)(1(

22003)4003...1173)(1(


Perhatikan bahwa 3 + 7 + 11 + … + 4011 adalah deret aritmetika, maka

bnaun )1(

4)1(34011 n

14

34011

n

1003n

)(2

nn uan

S

)40113(2

10031001 S 20071003

2

1003 2007)1( SA22007)20071003)(1( )10032007(2007

028.015.2

Strategi 2:

12 – 2

2 + 3

2 – 4

2 + . . . + 2005

2 – 2006

2 + 2007

2

2222222 20072006...54321

2007200620072006...545432321

4013...951

1a , 415 b , dan 4013nu

bnaun )1(

4)1(14013 n

444012 n

40164 n

10044:4016 n

nn uan

S 2

401312

10041002 S 2015028

Jadi, hasil dari 12 – 2

2 + 3

2 – 4

2 + . . . + 2005

2 – 2006

2 + 2007

2 adalah 028.015.2


TIPS:

a. ))((22 yxyxyx

b. Deret aritmetika: a + (a + b) + (a + 2b) + … +{a + (n 1)b}

1. 1 nn uub 2. bnaun )1(

3. )(2

nn uan

S atau bnan

Sn )1(22

dengan:

a = suku pertama un = suku ke-n

b = beda antara dua suku yang berurutan Sn = jumlah n suku pertama

n = banyak suku

SOAL-SOAL LATIHAN 5 - jejakseribupena.files.wordpress.com · kelas dan rata-rata 72% kamar terpakai sepanjang sebelas bulan lainnya. Carilah rata-rata pemakaian kamar sepanjang tahun

Documents