So Luoc Lich Su Toan Hoc

Dương Đức Lâm – K59CLC – HNUE (sưu tầm và tổng hợp)

1

Sơ lược Lịch sử Toán học

Thay lời mở ñầu. Trong cuốn sách "Mathematics, the art of reason" của tác giả Birlinghoff (XB năm 1968 ở Mĩ) có phần phụ lục về Lịch sử toán học viết cô ñọng nhưng khá ñầy ñủ, phát hoạ bức tranh khá rõ nét và nhiều màu sắc về lịch sử phát triển toán học trên thế giới từ cổ ñiển ñến hiện ñại, mà nội dung chính gồm các phần sau:

1. Từ ñầu cho ñến thế kỉ 600 trước CN 2. Từ năm 600 trước CN tới năm 400 CN 3. Từ 400 ñến 1400 CN 4. Thế kỉ 15 và thế kỉ 16 5. Thế kỉ 17 6. Thế kỉ 18 7. Thế kỉ 19 8. Thế kỉ 20

Xin giới thiệu cùng các bạn1.

1. Từ ñầu cho ñến thế kỉ 600 trước CN Ở một nơi nào ñó vào thời tiền sử, có lẽ trong thời ñại Đá giữa (Middle Stone Age), từ muôn vàn các hiện tượng khác biệt trong thế giới vật lí người ta bắt ñầu thấy lộ ra hai ý niệm tổng quát, ý niệm về số lượng (quantity) và hình dạng (form). Hai ý niệm song sinh này là thuỷ tổ của hai dòng tư tưởng lớn mà mối quan hệ thật sự của chúng vẫn chưa ñược sáng tỏ cho tới thế kỉ thứ 17 CN. Mặc dầu mọi nhận ñịnh về thời kì này chủ yếu dựa trên phỏng ñoán nhưng người ta thường tin rằng các ý niệm về số lượng bắt ñầu từ những cố gắng so sánh những nhóm vật thể bằng cách ñếm, và dần dần tiến triển thành một số các hệ ñếm nguyên sơ. Hệ ñếm có sớm nhất trong các hệ ñếm này khá ñơn giản, thường dựa trên ý tưởng về 2 hay 3 vật, với những tập hợp chứa nhiều hơn 5 hay 6 vật ñược phân loại một cách ñơn giản là "nhiều" hay "hàng ñống" hay bằng những cách diễn tả cũng ở mức ñộ chính xác tương tự. Cho mãi ñến khi nhu cầu về giao dịch, ñổi chác thúc ñẩy mới làm nẩy sinh ra những hệ ñếm phát triển hơn. Sự xuất hiện của hình dạng bắt ñầu với tư cách là nghệ thuật nguyên sơ qua các kiểu cách ñan tết, các mẫu mã dệt thêu và các hình trang trí trên ñồ gốm, các công trình kiến trúc. Các hình thái toán học của hình dạng chưa biểu lộ ra rõ ràng trong một thời gian dài, cái mà bây giờ chúng ta gọi là các hình hình học chỉ ñơn giản là các mẫu trang trí thời ñó. Vào lúc khởi ñầu của thời kì có sử, vào khoảng năm 5000 trước CN, toán học ñã vào hẳn vào giai ñoạn hai của sự phát triển. Các nhu cầu về ñịnh lượng của các xã hội xa xưa ñã trở nên rộng rãi và thường xuyên ñến nổi cần phải phát triển những phương pháp tổng quát ñể tính toán và ghi lại các quy luật và kết quả ñể dùng trong tương lai. Do người Babylon viết trên các tấm bằng ñất sét gần như không hư hỏng ñược và giấy cói của người Ai Cập có thể giữ lâu trong khí hậu khô ráo của Bắc Phi nên hiện còn khá ñủ các vết tích cho thấy một bức tranh khá chi tiết về những nổ lực ñó trong các nền văn minh ban sơ của vùng Cận Đông. Những chứng cứ xưa nhất về các kiến thức toán học có tổ chức cho thấy hình như có sự tồn tại của một lịch Ai Cập vào năm 4241 trước CN, và có thể một lịch Babylon trước ñó. Vào

1 Tổng hợp từ các trang chủ yếu: http://edu.go.vn và http://violet.vn


2

khoảng năm 3000 trước CN, người Sumery ñã có thứ số học thương mại dùng ñược, và những bài viết trong Triều ñại Ur thứ 3 cho thấy một hệ ñếm vị trí cơ số 60 khá phát triển. Những bản văn của Triều ñại Babylon thứ 1, lúc vua Hammurabi trị vì, cho thấy rằng vào khoảng năm 1950 trước CN người Babylon ñã phát triển ñược thứ Đại số có khả năng xử lí các phương trình bậc nhất và bậc hai với hai ẩn, vả cả một số phương trình bậc cao hơn. Hình học của họ gồm các công thức diện tích và thể tích ñơn giản, và cũng bao gồm việc thừa nhận một quy tắc về tam giác mà bây giờ chúng ta gọi là Định lí Pythagoras [Pi-ta-go]. Như vậy, giai ñoạn ñầu vĩ ñại của toán học có thể ñược xem như gắn với người Babylon. Những tiến bộ của người Ai Cập không ở sau quá xa các láng giềng của mình. Các vết tích xưa nhất hiện nay vẫn còn là quyển Ahmes Papyrus (còn ñược biết dưói tên Rhind Papyrus do ñược nhà khảo cổ thế kỉ 19 người Anh A. Henry Rhind mang bản thảo vế Anh) viết vào năm 1650 trước CN. Đây là một quyển sổ tay thực hành chứa các phương pháp giải các phương trình bậc nhất, các tài liệu về các phân số của ñơn vị (một nét ñộc ñáo của Toán học Ai Cập), các kĩ thuật ño lường, và các bài toán về các chuổi sơ cấp. Ahmes nêu rõ rằng ông chỉ chép lại một công trình trước ñó ñược viết vào năm 1800 trước CN, và do ñó có thể xem ñây như là một sưu tập về các kiến thức toán học thời ñó. Hiểu biết của chúng ta hiện nay về nền toán học xa xưa ở Trung Quốc và Ấn Độ còn tương ñối nghèo nàn. Những dân tộc này viết trên vỏ cây hay thẻ tre, vì vậy các bản sách rất dễ bị hư mục. Điều tệ hại này ñôi khi lại nhân lên khi kết hợp với sự sai trái của con người. Chẳng hạn, vào năm 213 trước CN vua Tần Thủy Hoàng ñã ra lệnh ñốt tất cả sách vở hiện có lúc ñó và ñem chôn sống các học giả phản kháng ñể ông ta có thể ñược xem như người sáng lập một thời ñại mới cho việc học tập. Tuy nhiên, người ta vẫn còn lén giữ ñược các bản chép lại của nhiều bộ sách xưa, trong ñó có bộ "Chu bể toán kinh" một bộ sách ñối thoại về thiên văn và toán học. Bộ này ñược viết một thời gian ngắn trước năm 1100 trước CN, và một số tư liệu trong ñó thuộc về giai ñoạn xưa hơn nhiều. Bộ "Chu bể" chứa các tư liệu về hình học ño lường, nguyên tắc tính của ñịnh lí Pythagoras, một số kiến thức lượng giác sơ cấp, và bàn luận về các dụng cụ ño lường trong thiên văn. Chúng ta biết còn ít hơn vế nền Toán học của Ấn Độ giai ñoạn này. Tất cả những gì có thể nói ñược là có chứng cớ về sự tồn tại của một hệ ñếm dùng ñược ñược dùng trong Thiên văn và các tính toán khác, và một nổi quan tâm thực hành về hình sơ cấp. Nét nổi bậc của Toán học giai ñoạn tiền Hi Lạp này là sự vắng mặt hoàn toàn của lí luận suy diễn. Không có chút quan tâm nào trong việc minh giải các phát biểu; các quy tắc ñược ñưa ra là vì chúng dùng ñược. Các phương pháp thử-sai là nguồn gốc của các kiến thức, những kết quả thành công ñược ghi nhận và truyền lại cho các thế hệ sau dưới dạng các công thức. Chỉ mãi cho tới lúc nở rộ của nền văn minh Hy Lạp thì Toán Học mới bước vào thời kì rực rỡ của mình.

2. Từ năm 600 trước CN tới năm 400 CN Cùng ñến với thiên niên kỉ ñầu tiên trước Thiên chúa là những thay ñổi mạnh mẽ xảy ra trên các vùng ñất quanh Địa Trung Hải. Thời ñại Đồ Sắt ñến ñã mang theo với nó sự gia tăng về du lịch và giao thương, các thành phố mới mọc lên dọc theo các bờ biển Tiểu Á và Ai Cập, và sự ưu thế về kinh tế của các chủ ñất phong kiến nhường bước trước vai trò ñang lên của các nhà buôn giàu có. Việc trao ñổi hàng hoá ñược ñi kèm với việc trao ñổi tư tưởng và sự giàu có ñẻ ra các thú nhàn hạ, vì thế vào khoảng thế kỉ thứ 6 trước CN ñã có những người mà sự sung túc của họ cho phép họ chi tiêu vào việc xa xỉ nghiên cứu tri thức. Với


3

chữ "Tại sao?" ñầu tiên toán học ñã bước vào giai ñoạn ba của sự phát triển, một khoa học nghiên cứu theo nhu cầu nội tại của chính mình. Nhịp xung ñầu tiên ñó gắn liền với tên tuổi của Thales [Ta-let] ở Miletus (vào khoảng năm 640 tới khoảng năm 546 trước CN), một nhà buôn giàu có mà các chuyến du lịch của ông tới Babylon và Ai Cập ñã giúp ông quen biết với nến toán học phương Đông. Cho tới lúc này, hình học vẫn còn trong ý nghĩa hạn hẹp của nó, là ño ñạc ñất ñai, và tầm cở của nó chỉ là những quy tắc ñơn giản ñể hoàn thành nhiệm vụ ñó. Tuy nhiên Thales ñã chọn sáu mệnh ñề, trong ñó có các mệnh ñề "Một ñường tròn ñược chia ñều bởi ñuờng kính bất kì" , "Hai ñường thẳng cắt nhau tạo các cặp góc ñối ñỉnh bằng nhau" và "Các cạnh tương ứng của hai tam giác ñồng dạng thì tỉ lệ với nhau" và ông ñã chứng minh rằng mỗi mệnh ñề sau ñược suy ra từ các mệnh ñề ñứng trước. Các mệnh ñề trên tự chúng ñã rất nổi tiếng nhưng cách tiếp cận của ông là một bước ñi cấp tiên vượt khỏi toán học truyền thống. Thales cũng có cống hiến trong lãnh vực thiên văn và lí thuyết số. Với tư cách là nhà sáng lập trường phái Ionia, ông ñã giảng dạy và ảnh hưởng sâu ñậm nhiều bộ óc tinh tế nhất của Hi Lạp cổ.

Thales

Một thành viên ñáng chú ý nhất của trường phái Ionia là Pythagoras [Pi-ta-go] mà cuộc ñời bí ẩn không thua gì các công trình sáng chói của ông. Ngày sinh lẫn nơi sinh của ông ñều không biết chắc, nhưng ý chung của nhiều nhà nghiên cứu ñều cho rằng ông sống vào khoảng năm 570 tới năm 500 trước CN. Phần lớn cuộc ñời ông ñược thêu dệt bằng các truyền thuyết do ông sớm thành một khuôn mặt ñầy huyền thoại của Hi Lạp. Các môn ñồ của ông họp thành nhóm kín tôn thờ ý niệm về Số và dấu kín các kiến thức như dấu vàng. Pythagoras tự mở một trường ở Crotona, một thị trấn của Magna Graecia trên bờ biển Đông Nam của bán ñảo Italy [Ý]. Ở ñó ông giảng dạy một thứ triết học dựa trên những thành tố không thể hoán ñổi ñược của tự nhiên, ñược lồng trong và biểu thị bởi các số nguyên. Mặc dầu ñam mê tính thần bí của các con số, trường phái Pythagoras cũng ñã có ñóng góp to lớn vào lí thuyết số, thiên văn, và hình học. Pythagoras là người ñầu tiên ñã nhấn mạnh tới các giả ñịnh (tiên ñề hay ñịnh ñề) như là cơ sở cho việc chứng minh, và ông ñã ñưa ra cách chứng minh ñầu tiên cho ñịnh lí về tam giác vuông cho ñến nay vẫn còn mang tên ông, Khá lạ lùng là trường phái Pythagoras laị là nơi xuất phát của một trong những ý tưởng có ý nghĩa nhất, ñó là việc kiểm chứng lại một khái niệm mà tính ñúng ñắn của nó có thể phá


4

hỏng hoàn toàn triết lí của chính họ. Họ ñã khám phá ra sự tồn tại của các ñoạn thẳng vô ước, mà theo thuật ngữ của chúng ta có nghĩa là sự tồn tại của các ñại lượng vô tỉ hay ñại lượng không thể biểu thị dưới dạng các số nguyên. Họ ñã cố gắng ỉm ñi khái niệm tệ hại này nhưng ñã có những rò rĩ khiến chẳng bao lâu người ta ñi tìm một triết lí mới khác về bản chất.

Pythagoras

Một khuôn mặt gây nhiều rắc rối trong thế giới tư tưởng còn nhiểu loạn của Hi Lạp là Zeno [Zê-nông] ở Elea, một nhà triết học ñầu thế kỉ thứ 5 trước CN, từng giảng rằng chuyển ñộng hay thay ñổi thuộc bất cứ loại nào ñều chỉ là biểu kiến. Đóng góp của ông cho Toán học gồm 4 nghịch lí mà ông ñã ñề ra cho các nhà tư tưởng cùng thời. Chúng bao gồm 2 quan ñiểm ñối nghịch nhau về vô hạn và chuyển ñông, với 2 nghịch lí cho mỗi quan ñiểm. Sau ñây, xin nêu ra một ví dụ cho mỗi quan ñiểm: "Achilles2 - Achilles (A-sin) chạy ñể vượt qua mặt một con rùa ñang bò phía trước sẽ không bao giờ qua mặt ñược con rùa, bởi vì trước nhất ông ta phải chạy ñến chỗ bắt ñầu của con rùa; khi Achilles tới chỗ ñó thì con rùa ñã rời ñi và như thế nó vẫn còn trước ông. Tiếp tục lập luận như thế, dễ thấy con rủa sẽ luôn luôn ở phía trước Achilles." "Mũi tên - Một mũi tên bay, vào bất kì thời ñiểm nào thì sẽ hoặc là ñang ñứng yên hoặc là không ñứng yên, tức là ñang di ñộng Nếu thời ñiểm là không phân chia ñược thì mũi tên không thể di ñộng bởi vì nếu nó di ñộng thì lập tức thời ñiểm có thể phân chia ñuợc. Nhưng thời gian ñược tạo thành từ các thời ñiểm. Vì mũi tên không thể di ñộng ở bất kì thời ñiểm nào nên nó không thể di ñộng trong bất kì thời gian nào. Do ñó mũi tên luôn luôn ñứng yên."

2Achilles một nhân vật trong thần thoại Hi Lạp có sức mạnh và thân thể không thể bị thương ngoại trừ ở gót chân (từ ñó trong tiếng Anh có thành ngữ "Achilles'heel" ñể chỉ chỗ yếu của con người).


5

Zeno (c.490-430 BC)

Bất kì cố gắng nào ñể giải quyết các nghịch lí trên ñều dính líu tới việc xem xét khái niệm giới hạn, và mặc dù những người cùng thời với Zeno ñã không thành công trong việc tìm ra manh mối những rối rắm trong lời nói của ông, nhưng hạt giống mới ñã ñược gieo xuống và cuối cùng hoa quả sẽ ñược kết thành sau này trong lãnh vực toán vi tích phân. Tuy nhiên, mầm giống mới này ñã phải qua một thời gian tăng trưởng kéo dài 2000 năm. Plato [Pla-tông] và Aristotle [A-rix-tôt] là ñiển hình cho kiểu tư duy mà người Hi Lạp ñóng góp lớn nhất vào Toán học. Những phát triển của hai ông về các nguyên tắc suy luận logic và các phương pháp tiên ñề trong chứng minh ñã ñặt Toán học lện một nền móng ñược xem là khó lay chuyển ñược cho tới thế kỉ hiện nay của chúng ta. Dưới sự dẫn dắt của hai ông, Toán học ñã chia sẻ sự vinh quang của Thời Hoàng kim với tư cách là một khoa học triết lí không ñứng sau lãnh vực nào khác. Trong giai ñoạn này ñã nổi lên "các bài toàn cổ" (problems of antiquity), có lẽ là các bài toán nổi tiếng nhất của mọi thời ñại. Đó là các bài toán dựng hình hình học, chỉ ñược phép dùng thước kẻ (không khắc vạch) và compa ñể giải. Với hai dụng cụ ñó, yêu cầu ñề ra là: (i) chia một góc ra 3 góc bằng nhau (Chia ba một góc), (ii) tìm cạnh một hình lập phương có thể tích gấp ñôi thể tích một hình cầu cho sẵn (Gấp ñôi một hình cầu). (iii) tìm một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn (Cầu phương một hình tròn). Cả 3 ñều là các câu hỏi mở cho mãi ñến thời kì hiện ñại, khi các phép dựng hình này cuối cùng ñã ñược chứng minh là không thể thực hiện ñược. Tuy nhiên, sự kiện thực về sự tồn tại của chúng như một thứ ñố chướng mắt trêu ngươi ñã dẫn các học giả ñến một loạt các khám phá mới. Một trong các học giả ñó là Eudoxus [Ơ-ñôc] (vào khoảng năm 408 tới 355 trước CN), một học trò của Plato, vừa ñồng thời là nhà vật lí, nhà lập pháp và nhà toán học. Tên ông ñược gắn với sự phát triển lí thuyết về tỉ lệ, lí thuyết này khắc phục ñược các khó khăn trong việc xử lí các ñai lượng vô ước. Ông ñã ñưa ra "phương phát vét cạn", một cách thức giải quyết


6

việc tính diện tích và thể tích, rất tương tự với các ý niệm cơ bản của phép tính tích phân ngày nay. Khi Đại ñế Alexander chinh phục thế giới vào năm 334 trước CN, nền văn minh phương Tây bắt ñầu thay ñổi. Văn hoá và tư tưởng Hi Lạp hoà nhập với văn hoá và tư tưởng phương Đông, và trung tâm Toán học của thế giới phương Tây chuyển về Alexandria. Giai ñoạn thăng hoa của nó bắt ñầu với Euclid [Ơ-clid] (khoảng năm 300 trước CN), "một tác giả sách gíáo khoa thành công nhất mà cả thế giới chưa từng biết" và "người duy nhất mà vinh quang từng ñến và sẽ không thể ñến lần nữa trong việc ñúc kết một cách thành công trong các trước tác mình tất cả những phần cốt lỏi của kiến thức Toán học tích tụ cho ñến lúc ñó". Các công trình của ông có tính tổng hợp cao ñến nổi chúng qua mặt tất cả các bộ sách trước ñó, và vì lí do này mà rất ít các bản thảo của Hi Lạp trước Euclid còn giữ lại. Hầu hết các thông tin liên quan ñến các công trình trước thế kỉ thứ 3 trước CN ñều phải ñươc xây dựng lại từ các nguồn tài liệu sao chép. Công trình vĩ ñại của ông là bộ "Cơ bản" (Elements), một bộ sách 13 quyển sắp xếp như sau: Quyển I - IV: hình học phẳng, bao gồm ñịnh lí Pythagoras; Quyển V - VI: lí thuyết về tỉ lệ của Eudoxus và các ứng dụng vào các hình ñồng dạng; Quyển VII - IX: lí thuyết số, bao gồm thuật toán Euclid; Quyển X: phân loại hình học các số vô tỉ toàn phương và các căn bậc hai của chúng; Quyển XI - XIII: hình học không gian, dứt ñiểm bằng một chứng minh về sự tồn tại của 5 khối ña diện (Plato) ñều. Một số phần trong bộ tài liệu ñó chắc chắn là công trình riêng của Euclid, và ông cũng ñã thừa nhận công khai rằng ông ñã thừa kế ở các phần khác nhưng một sự phân ñịnh chính xác giữa cái riêng của ông và cái thừa kế thì rất khó biết chắc. Tuy nhiên, kể cả khi ông không có ñóng góp chút gì vào nguyên tác, bộ Cơ bản vẫn không giảm sút ý nghĩa vốn có của nó vì ñó là một cố gắng thành công nổi bậc ñể sắp xếp lại toàn bộ các kiến thức toán học vào trong một hệ thống diễn dịch logic trên nền tảng tiên ñề ñơn giản.


7

Euclid

Toán học Hi Lạp ñã ñạt tới ñỉnh cao của sự phát triển với sự nở rộ của trường phái Alexandria. Cách sau Euclid không lâu là Archimedes [A-si-met] (287 - 212 trước CN), một nhà thiên văn ñồng thời là người tiên phong trong lĩnh vực vật lí và toán ứng dụng và cũng là một nhà toán học lí thuyết. Ông học tập một thời gian ngắn ở Alexandria, sau ñó trở về quê hương ông ở Syracuse. Việc ứng dụng khoa học ñể bảo vệ thành phố này chống lại bọn xâm lược Marcellus và cái chết sau ñó của ông dưới tay một tên lính La Mã hung hăng rất nổi tiếng xin không ñược kể lại ở ñây. Quan trọng nhiều hơn là các công trình của ông bao gồm các ñóng góp chính yếu vào lí thuyết số và ñại số, nhất là việc xử lí các dãy vô hạn, cùng với một số lượng ñồ sộ các công trình hình học, trong ñó ông ñã phát triển một số các nguyên tắc nổi bậc của toán vi tích phân, ñi trước Newton và Descartes ñộ 900 năm.3

3 Ở ñây có lẽ tác giả ñã nhầm, phải là 1900 năm.


8

Archimedes (287 - 212 BC)

Một nguời cùng thời với Archimedes là Apolonius [A-pô-lô-ni-ut] (khoảng 260 - 210 trước CN) một nhà hình học có tầm cở. Bảy trong số 8 quyển sách sâu sắc của ông về các mặt cắt conic vẫn còn tồn tại nguyên vẹn. Trong các quyển sách này ông ñã phát triển một cách có hệ thống nhiều tính chất cơ bản của ellip, parabol và hyperbol, khảo sát các chủ ñề về tiêu chuẩn bằng nhau, ñồng dạng của các ñường cong này, các hình tiếp xúc, và các ña giác nội, ngoại tiếp. Thế giới không tìm thấy một nhà hình học tổng hợp nào khác ông cho ñến khi Jacob Steiner xuất hiện vào thế kỉ 19. Sau Apolonius, làn sóng toán học của Hi Lạp ñạt tới ñỉnh cao và suy thoái dần vào sự quên lãng cùng với các lĩnh vực còn lại của nền văn minh Hi Lạp. Chỉ có hai luồng sóng lớn xuất hiện vượt lên những gợn sóng lăn tăn của các tác gia nhỏ của giai ñoạn này. Nhà thiên văn Ptolemy [Ptô-lê-mê] (Claudius Prolemacus, khoảng 85 - 165 CN) viết một sách tổng hợp về thiên văn ñược biết với tên là Almagest, trong ñó các biên giới của toán học tính toán ñã ñược mở rộng tới lượng giác phẳng và mở ñầu của lượng giác cầu, bao gồm bảng các giá trị dây cung - góc và phép chiếu nổi. Khoảng một thế kỉ sau ñó, Diophantus [Di-ô-phăng] ở Alexandria (khoảng 275 CN) viết bộ Số học (Arithmetica), một sự pha trộn tuyệt vời toán học Hi Lạp với toán học phương Đông mà 6 quyển trong só ñó vẫn còn giữ ñược ñến nay. Đó có thể xem như là một cột mốc trong sự phát triển của lí thuyết số, chứa ñựng cách giải quyết các phương trình vô ñịnh và các bài toán ñòi hỏi các nghiệm hữu tỉ. Đó cũng là tập sách ñầu tiên trong ñó một loại kí hiệu ñại số ñược dùng một cách có hệ thống. Về mặt này Diophantus ñi trước các học giả cùng thời nhiều thế kỉ. Toán học phương Đông trong giai ñoạn này ở cả Ấn Độ lẫn Trung Quốc vẫn còn chủ yếu là tính toán và né tránh chứng minh. Với ngoại lệ về sư cố ñốt sách vào năm 213 trước CN, người Hoa ñã có những bưóc tiến chậm nhưng vững chắc trong số học tính toán thủ công và cũng có thể nói như thế cho Ấn Độ.


9

3. Từ 400 ñến 1400 CN Mặc dù thu lượm nhiều thành quả trong các lĩnh vực khác, Đế quốc La Mã lại yếu kém về mặt toán học, và việc chinh phục khu vực Địa Trung Hải của họ không mang lại gì nhiều cho các khoa học lí thuyết. Bất kì hoạt ñộng nào ở ñó cũng ñều chịu của ảnh hưởng còn lại của Hi Lạp và của phương Đông, khi ñó cơ bản vẫn còn nguyên vẹn dù có những bi kịch như cái chết của Archimedes. Cùng với sự sụp ñổ của La Mã và sự tan biến nền thống trị chính trị Latin vào năm 476, văn minh phương Tây bước vào giai ñoạn ngưng trệ về mặt tri trức. Tên tuổi duy nhất ñáng ñược ghi nhận là Anicius Manlius Severinus Boethius (khoảng 475 – 524), một công dân La Mã, nhà chính trị, triết học và toán học mà các công trình của ông gồm số học, hình học và âm nhạc (ñược xem như là một phần của toán học lúc bấy giờ). Mặc dầu các tài liệu này thiếu tính ngọn nguồn và nhất là không phong phú về mặt nội dung, các bài viết của ông vẫn ñược các trường ñạo coi như chính thống trong nhiều thế kỉ. Việc ñánh giá cao này có thể do ông là thánh tử ñạo Thiên chúa hơn là giá trị nội tại của tài liệu. Thật sự, tiến bộ về tư tưởng của Tây Âu ñi xuống tận ñáy của nó vào thế kỉ thứ 6. Trong khi ñó Toán học Ấn Độ bắt ñầu kết trái. Ảnh hưởng của khoa học Babylon và phương Đông hoà quyện với tư tưởng bản xứ Ấn Độ và từ ñó nẩy nở ra các kết quả có ý nghĩa trong ñại số và số học. Các nhà toán học Hindu (Ấn) thế kỉ thứ 5 ñã làm việc với các số phẳng4 và số không gian5, thu ñạt các kết quả cả về lí thuyết lẫn tính toán, có cả việc xấp xỉ số π bởi 62832/20000 hay 3.1416. Trong thế kỉ kế, công trình này ñược mở rộng thêm ñể xử lí các phương trình ñại số vô ñịnh theo phương pháp của Diophantus [Đi-ô-phăng]. Tuy nhiên, người Hindu giới hạn các bài toán của mình ñể chỉ cho các nghiệm nguyên, cả duơng lẫn âm và các ñiều kiện ñó là những ñiều kiện mà chúng ta dùng trong biện luận các phương trình Diophant hiện nay. Thành tựu quan trọng của toán học Ấn là việc phát triển hệ ñếm mà chúng ta dùng hiện nay, hệ vi trí cơ số 10 và kể cả kí hiệu cho số zero. Cả hệ thập phân lẫn hệ vi trí ñều ñã ñược các dân tộc khác phát triển trước ñó, nhưng ñây là sư kết hợp ñầu tiên của cả hai ý tưởng. Những bằng chứng về việc sử dụng nó có từ năm 595 CN, nhưng kí hiệu zero không tìm thấy ñưọc vết tích chắc chắn trước thế kỉ thứ 9, mặc dầu người Babybon cũng có một kiểu cách kí hiệu tương tự trước thời ñại Thiên chúa. Bắt ñầu với Mohammed’s Hegira năm 622, nguời Hồi giáo ñã trở thành nguồn ảnh hưởng chi phối trong toán học phương Tây. Binh sĩ ñạo Hồi tràn qua Bắc Phi ñi vào Tây Á, và chọc thủng nhiều phần châu Âu. Toán học Hi Lạp và Ấn Độ ñã ñược các học giả Á Rập hấp thụ và tổng hợp, họ dịch hầu hết các bản thảo quan trọng sang tiếng Á rập, khi dịch chỉ ñóng chút ít vào những ñiều có tính căn cơ nhưng có công tinh giản các tài liệu hiện có và bảo toàn tính kế tục của tư tưởng. Các vua Hồi thế kỉ thứ 8 và 9 là những nhà bảo trợ vĩ ñại của các khoa học chính xác, ñặc biệt là thiên văn và toán học, và vì thế việc học tập khoa học ñã lan rộng khắp thế giới Á Rập . Trong số các học giả ñạo Hồi giai ñoạn này có một người rất xứng ñáng nêu tên một cách ñặc biệt. Ông ta là Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi (khoảng 825), ñã viết 2 quyển sách có ý nghĩa, một quyển về số học và quyển kia về ñại số. Chỉ có quyển thứ hai là vẫn còn tồn tại nguyên bản tiếng Á Rập, nhưng cả hai quyển ñều ñược các học giả châu Âu thế kỉ 12. dịch sang tiếng Latin. Tựa ñề quyển thứ nhất trong bản dịch là Algorithmi de numero Indorum (từng chữ là “Al-Khowarizmi về các số Ấn Độ”). Đó là một trong những cách mà nhờ ñó châu Âu biết ñược hệ thống số của Ấn Độ, và ñó cũng là nguồn gốc của từ “algorithm” (thuật toán). Quyển thứ hai có tựa là al-jabr w’al

4Số phẳng là hợp số có thể biểu diễn dưới dạng tích 2 thừa số nguyên. 5Số không gian là hợp số có thể biểu diễn dưới dạng tích của 3 thừa số nguyên.


10

muqabalah (từng chữ là “phép Khôi phục và phép Đối lập”) và ñược dành toàn bộ cho việc nghiên cứu về các phương trình tuyến tính (bậc nhất) và bậc hai. Qua việc Latin hoá, từ khoá của tựa sách biến thành “algebra”, và do tính ñại chúng rộng rãi của quyển sách ở chậu Âu, từ này chẳng bao lâu trở thành ñồng nghĩa với khoa học về phương trình.

Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi

Một người khác cũng ñáng nêu tên ngắn gọn ở ñây. Omar Khayyám, sống ở Bắc Iran vào cuối thế kỉ 11 ñươc biết chủ yếu như là tác giả của quyển Rubáiyát, nhưng ông cũng là một nhà toán học xuất sắc. Ông viết về Euclid, làm lịch hiệu ñính Iran (Ba Tư), và viết một quyển sách về ñại số trong ñó ông bàn về việc xác ñịnh các nghiệm của phương trình bậc ba như là giao ñiểm của hai mặt cắt conic. Chỉ cho ñến những năm cuối của thế kỉ 11 các nhà kinh ñiển toán học Hi lạp mới bắt ñầu thâm nhập vào châu Âu, và cùng với sự trổi dậy chậm chạp của nến phong kiến, phương Tây bắt ñầu khuấy ñộng lên từ tình trạng ngày ngủ về học thuật. Trong thế kỉ 12, họ dịch lại sang tiếng Latin các công trình toán học lớn ñã ñưọc dịch sang tiếng Á rập vài thế kỉ trước, ñặc biệt là ở Tây Ban Nha nơi nhiều học giả Do Thái ñược sử dụng cho mục ñích này sau sư thua trận của người Moors vào năm 1085. Khi giao thương giữa phương Tây và phương Đông mở rộng, nhiều trung tâm thương mại cuờng thịnh ñã ñược thành lập dọc theo bờ biển nước Italy. Các nhà buôn châu Âu bắt ñầu thăm viếng phương Đông ñể tìm kiếm và ñưa vào sử dụng thực tế bất kì thông tin khoa học nào mà họ có thể tìm thấy ñược. Người ñầu tiên trong số ñó ñã làm ra một công trình toán học có ý nghĩa là Leonardo of Pisa (k 1170 – k 1250), ñược biết nhiều hơn với tên Fibonacci. Công trình chính của ông là bộ Liber Abaci, một công cụ phổ biến hệ ñếm Ấn Độ - Á Rập cho Tây Âu. Ông cũng viết về ñại


11

số và hình học, và tìm tòi về dãy số vô ñịnh ñến nay vẫn còn mang tên ông (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…. Mỗi số hạng là tổng của 2 số hạng liền trước).

Fibonacci

Không phải toàn bộ các thứ toán học trong giai ñoạn này ñã ñược hình thành chỉ vì giá trị thực tiễn của chúng. Các nhà triết học kinh viện ñã nghiên cứu về tính vô hạn và các ý tưởng của họ ñã ảnh hưởng các nhà toán học thế kỉ 17 lẫn 18. Các học giả quan chức cũng làm việc trong các lãnh vực hình học và ñại số. Nổi bậc trong số này là Nicole Oresme (k. 1323 -1382), giám mục vùng Lisieux, cũng là một nhà kinh tế. Ông ñuợc biết như người ñầu tiên ñã dùng số mũ phân số và ñịnh vị các ñiểm bằng toạ ñộ số. Khi các thành phố mọc thêm khắp châu Âu thì các trường của nhà thờ bắt ñầu giành lấy vị trí của mình. Chúng trở thành các ñại học, ñược trao quyền cấp bằng ñược cả Nhà nước và nhà thờ công nhận. Những trưòng ñại học ñầu tiên ở Paris, Oxford, Cambridge, Padua và Naples ñều ñươc ban quyền trong thế kỉ 13. Việc ñổi mới này như một hứa hẹn to lớn cho sự tiến triển của học thuật suốt thế kỉ 14, nhưng hứa hẹn ñó chỉ hoàn tất một phần, bởi vì mặc dù các trường ñại học ñã học thành lập nhưng cuộc Chiến tranh trăm năm (1337 -1453) và trận dịch Đen (1347-1351) ñã làm ngưng trệ nền văn hoá mới nổi của châu Âu và trì hoãn sự hồi sinh của sáng tạo toán học.

4. Thế kỉ 15 và thế kỉ 16 Thời Phục hưng của nghệ thuật và học thuật bắt ñầu một cách nhanh chóng trong thế kỉ 15. Khi Constantinople sụp ñổ vào năm 1453, nhiều học giả Hi lạp di cư tới các thành phố và ñại học mới của phương Tây. Điều này trùng hợp với việc phát minh ra máy in kiểu di ñộng, một phương tiên hiệu quả trong việc phổ biến thông tin. Các nhu cầu ngày càng tăng của việc giao thương, hàng hải, thiên văn và ñiều tra thúc ñẩy việc nghiên cứu toán học và ñồng thời cũng giới hạn nó một ít. Chủ ñề thống trị của toán học thế kỉ 15 và 16 là việc tính


12

toán và toán học ñã tiến những bước dài trong việc ñạt tới tính chính xác và sự hiệu quả trong kĩ thuật tính. Nhà toán học dẫn ñầu của thế kỉ 15 là Johannes Müller (1436-1476), còn ñược biết dưới tên Regiomontanus. Ngoài việc dịch lại nhiều công trình cổ ñiển Hi Lạp và nghiên cứu các vì sao, ông còn viết quyển De triangulis omnimodis, quyển sách ñầu tiên dành riêng cho lượng giác. Quyển sách này khác biệt rất ít so với lượng giác hiện nay trừ cách kí hiệu, và nó ñánh dấu sự mở ñầu của lượng giác như một ngành học ñộc lập với thiên văn. Những quyển sách toán ñược in ñầu tiên là sách số học thương mại xuất hiện năm 1478 và bản Latin của quyển Cơ bản của Euclid năm 1482. Tuy nhiên, toán học thu ñược nguồn lợi tức thật sự lần ñầu từ việc in ấn bằng sự xuất hiện của quyển Summa de Arithmetica của Luca Pacioli, một nhà tu dòng Francisco. Quyển sách này ñược viết bằng tiếng Ý và là một sách hoàn chỉnh của tất cả kiến thức số học, ñại số, và lượng giác biết ñược tới lúc ñó, kết thúc với một nhận xét rằng các phương trình bậc ba là không giải ñược với các công cụ toán học ñang có. Như ñể ñáp ứng với thách thức này, các nhà toán học ở Đại học Bologna ñã tấn công vào bài toán và ñã khử ñuợc nó trong phần tư ñầu của thế kỉ kế. Nhà khoa học lỗi lạc nhất của thời kì này là Leonardo da Vinci (1452-1519), một người với sự tài giỏi ña dạng bao gồm các lĩnh vực hoạt ñộng như hội hoạ, ñiêu khắc, sinh học, kiến trúc, cơ học và quang học. Công trình toán học của ông tập trung vào hình học và ứng dụng của nó vào nghệ thuật và các khoa học vật lí. Việc ứng dụng toán học vào nghệ thuật không chỉ hạn hẹp trong các công trình của Vinci. Nhiều hoạ sĩ nổi tiếng khác của thế kỉ 16 cũng là các nhà hình học xuất sắc, nổi bậc là Albretch Dürer. Ông viết công trình in ñầu tiên bàn về các ñường cong phẳng bậc cao và khảo sát của ông vể phối cảnh và tỉ lệ ñã ñược phản ánh trong các tác phẩm nghệ thuật của các hoạ sĩ cùng thời.

Leonardo da Vinci (1452-1519)

Cha ñẻ của toán học Anh là Robert Recorde (k 1510 -1558), một bác sĩ y khoa, nhà giáo duc và một công chức. Ông ñã xuất bản 4 quyển sách toán, viết với dạng ñối thoại tiếng


13

Anh với sự trong sáng, chính xác và có cơ sở: The Ground of Artes (Cơ sở của số học), một sách số học ñã trải qua tới ít nhất 29 lấn tái bản; The Castle of Knowledge (Lâu ñài kiến thức), bản trình bày ñầu tiên bằng tiếng Anh về lí thuyết Copernic trong thiên văn; The Pathway to Knowledge (Con ñưòng dẫn ñến Kiến thức), bản rút ngắn của bộ Cơ bản của Euclid; và The Whetstone of Witte, sách ñại số, trong ñó kí hiệu ñẳng thức “=” xuất hiện lần ñầu tiên.

Robert Recorde (c. 1510 - 1558)

Trong nửa sau của thế kỉ 16, một luật sư người Pháp tên là François Viète [Vi-et] (1540-1603) bắt ñầu dành toàn bộ thời gian rãnh rổi cho toán học, và ông ñã ñưa kĩ thuật ñại số tiến những bước ñáng kể. Ông là người ñầu tiên dùng các hệ số bằng chữ khi giải phương trình, và sự nhất quán trong hệ thống kí hiệu của ông, bao gồm cả dấu + và –, ñã ñưa ông thành ngưòi ñi ñầu trong việc phát triển các phương pháp tổng quát cho việc giải phương trình. Bằng cách áp dụng các phương pháp ñại số này, Viète6 ñã mở rộng và khái quát việc nghiên cứu lượng giác. Cho mãi tới thế kỉ 18 mới có một nhà ñại số khác có năng lực tương ñuơng với ông.

6Trong chương trình toán THPT chúng ta biết Viète qua ñịnh lí về tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai (S = -b/a và P = c/a)


14

François Viète (1540-1603)

Tên tuổi cuối có tầm quan trọng lớn thuộc thế kỉ 16 là Simon Slevin của Hà Lan, có công phát triển lí thuyết về phân số thập phân năm 1585. Hai trăm năm chuẩn bị cho một cuộc bùng nổ về khoa học báo hiệu bình mình của kỉ nguyên lớn thứ ba của toán học ñã kết thúc như thế.

5. Thế kỉ 17 Hai xu hướng có tính phá hoại trước ñây bắt ñầu cho trái trong thế kỉ 17. Xu hướng ñầu và hiển nhiên hơn là sự xuất hiện thường xuyên của các cuộc chiến tranh cả lớn lẫn nhỏ về chính trị và tôn giáo., Kể từ thời Thập tự chinh, châu Âu lúc nào cũng chìm trong xáo trộn và hiếm có một năm trôi qua mà không có xung ñột ở một nơi nào ñó. Như từng thấy trong lịch sử, chiến tranh và ñòi hỏi không ngừng nghỉ của nó về các thứ vũ khí mới và tốt hơn ñã thúc ép các bộ óc tốt nhất của thời ñại thi nhau trong việc sáng chế ra các loại máy móc cho chiến trường. Tuy nhiên một khi vũ khí ñã ñược làm ra, những ñầu óc tốt thật sự thiết kế ra chúng quay ra việc nghiên cứu máy móc nói chung. Công trình của Leonardo da Vinci là một ví dụ tốt nhất cho ñiều này. Châu Âu từ từ ñi vào giai ñoạn ñầu của cơ khí hoá, và trong một cố gắng phát triển các kĩ năng kĩ thuật cần thiết, các nhà khoa học và học giả ñã chuyển vào nghiên cứu về chuyển ñộng và thay ñổi. Xu hướng thứ hai cũng rất mạnh bạo nhưng bắt ñầu tinh tế hơn. Việc cải cách tôn giáo khởi xướng bởi Martin Luther ở lục ñịa châu Âu và bởi vua Henry VIII và con gái là Elizabeth ở Anh ñã khơi ngòi cho một sự phản kháng của giới trí thức chống lại nhà cầm quyền và lề thói cũ ñã ñươc ủ mầm trong nhiều năm. Chủ nghĩa hoài nghi nói chung ñã làm trẻ hoá triết học, và các nhà khai phá tư tưỏng ñã bức phá về mọi hướng. Thời kì hỗn hợp này của khoa học và chủ nghĩa duy lí ñã sản sinh ra nhìều nhân vật vĩ ñại của lịch sử - các nhà thiên văn Galileo và Kepler; các nhà triết học Hobbes, Locke và Spinoza; và các tác gia Dryden, Milton và Shakespeare. Toán học ñã trải qua một thời kì lớn mạnh chưa từng thấy cho tới thời hiện ñại, và số lượng những người ñóng góp có ý nghĩa cho sự tiến bộ của khoa học từ lúc này trở nên nhiều ñến nổi từ ñây trở ñi chúng ta buộc phải tự giới hạn vào các nhà toán học sáng tạo hàng ñầu mà thôi. John Napier [Nê-pe] ñạt tới ñỉnh cao trong sự nghiệp khoa học của mình vào lúc ở Anh dòng họ Stuarts lên thay dòng họ Tudors nắm quyền cai trị và William Shakespeare ñang


15

trong giai ñoạn sung mãn nhất. Ông sinh năm 1550 ở Scotland và là ngưòi cùng thời với Galieo và Kepler, và là một sản phẩm ñích thực của thời ñó. Gần suột cuộc ñời mình, ông lúc thì công kích giáo hội Thiên chúa lúc thì nghiên cứu và thiết kế các thiết bị quân sự và ñại bác tự phóng. Nhưng ñiều làm ông thành bất tử chỉ ñược xác lập vài năm trước khi ông mất là việc xuất bản quyển Mirifici Logarith-morum canonis Descriptio, trong ñó ông ñặt nền móng cho lí thuyết logarithm (lô-ga-rit). Hệ thống logarithm của ông hơi khó sử dụng, nhưng nhiều năm sau khi ông mất (vào năm 1617) nó ñã dược hoàn thiện bởi Henry Briggs, một người bạn và ñồng nghiệp của ông , người lúc ñầu ñã gợi ý việc dùng cơ số 10. Khá lạ lùng là sự phát triển của lí thuyết logarithm ñã ñi trước sự phát triển của các hàm mũ khoảng 50 năm.

John Napier (1550-1617)

Không thua kém nước láng giềng bên kia eo biển Anh, nước Pháp ñã sản sinh ra 4 nhà toán học xuất sắc trong vòng nửa thế kỉ. Người ñầu tiên trong số này là nhà triết học-khoa học René Descartes [Đê- cac] (1596-1650). Nhiều năm nghiên cứu và chiêm nghiệm ñã thuyết phục ông là tất cả mọi khoa học ñều có liên quan với nhau và chìa khoá cho sự liên quan ñó là Toán học. Trong quyển sách nổi tiếng “Discours de la Méthodes” xuất bản vào năm 1637 ông ñã nêu: “Chuổi dài các lập luận dễ dàng và ñơn giản mà các nhà hình học quen dùng ñể ñi tới các kết luận cho các chứng minh hóc hiểm nhất của họ ñã khiến tôi nghĩ rằng tất cả mọi vật, ñối với kiến thức mà con người có ñược, ñều dính dáng lẫn nhau theo cùng một cách, và rằng từ trước ñến giờ không có cái gì bị loại bỏ khỏi chúng ta lại ở ngoài tầm hiểu biết của chúng ta, hay quá dấu kín ñến nổi chúng ta không phát hiện ra ñược, chỉ miễn là ta kiên dè không chấp nhận cái sai thành cái ñúng và luôn luôn gìn giữ trong tư tưởng của mình cái trật tự cần thiết cho sự diễn dịch từ cái ñúng này ñến cái ñúng khác”. Ông giải thích rằng phương pháp của ông là sự hợp nhất của logic, “Giải tích (Hình học) của người xưa”, và “Đại số của người hiện ñại”, và ñề ra 4 quy tắc cơ bản của quy trình khi nói rằng “Bằng cách này tôi tin rằng tôi có thể vay mượn tất cả cái gì là tốt nhất trong Giải tích hình học và trong Đại số, và chỉnh sửa tất cả các khiếm khuyết của cái này nhờ sự trợ giúp của cái kia.” Nói rằng Descartes ñã thành công trong việc hợp nhất tất cả các thứ khoa học là hơi quá ñáng, nhưng ông ñã làm ñược việc tái hợp 2 họ toán học lớn là số lượng và hình dạng ở một trong ba phụ chương của quyển “Discours de la Méthode”, có tựa ñề ñơn giản là “La Géometrie” (Hình học). Đây là ấn bản ñầu tiên về Hình học giải tích. Trong phụ chương này ông ñã áp dụng phương pháp ñại số vào hình học khi biểu diễn và phân loại các ñuờng


16

cong và các hình hình học khác bằng các phương trình ñại số liên kết với một hệ toạ ñộ. Ông ñã dùng cách tiếp cận ñại số này ñể khảo sát và giải quyết một số các câu hỏi hình học, bao gồm cả vài bài toán cổ ñiển cho tới lúc ñó vẫn còn chưa giải ñuợc.

René Descartes (1596-1650)

Một ñồng hương và cũng là người quen của Descartes là Pierre de Fermat [Fec-ma] (1601-1665), ñược một số người suy tôn là nhà toán học thuần tuý vĩ ñại nhất của thế kỉ 17. Ông chắn chắn là một trong những nhà nghiên cứu khoa học tài tử xuất sắc nhất trong lịch sử. Fermat là một luật sư trầm lặng và không phô trương, một công chức ham thích toán học chỉ như thú vui, công bố ít ỏi nhưng ñã bộc lộ khả năng sáng tạo của ông trong khi trao ñổi thư từ với Descartes, Mersenne, Pascal và nhiều người khác. Ông phát minh ra hình học giải tích ñộc lập với Descartes, thai nghén cách tiếp cận toán vi tích phân trước cả khi Newton lẫn Leibniz chưa sinh ra, và là một trong những cha ñẻ của lí thuyết toán học về xác suất. Dù các thành tựu nổi trội ñó, nhưng ông ñược biết nhiều nhất qua công trình trong lí thuyết số về tính chất của các số nguyên tố. Thật châm biếm là tên ông lại ñược gắn thường xuyên với một mệnh ñề mà ông không nêu xuất xứ cũng như chứng minh. Trong số nhiều ghi chú bên lề trên một quyển sách ông có (dịch công trình của Diophantus), có một ghi chú cạnh bài toán tìm các giá trị x, y và a thoả phương trình x² + y² = a². Ở ghi chú này ông cho rằng với các số mũ lớn hơn 2 sẽ không có nghiệm nguyên, và tuyên bố rằng ”Tôi ñã tìm ñược một chứng minh thật sự kì diệu [cho ñiều này] mà lề sách thì quá hẹp không ñủ chỗ ñể ghi ra”. Rủi thay, hình như ông cũng chẳng hề viết nó ở chỗ nào khác, và “ñịnh lí cuối cùng của Fermat” vẫn còn ñược xếp vào trong các bài toán rắc rối nhất chưa giải ñược cho tới cách ñây không lâu.7

7Định lí cuối cùng của Fermat (Fermat's last theorem) ñã ñược chứng minh bởi Andrew Wiles vào năm 1995.


17

Người thứ ba trong nhóm này là Gérard Desargues [Đơ-dác] (1593-1662), một quân nhân, một kĩ sư và một nhà hình học. Suốt thời ông còn sống, phần lớn các công trình của ông ñều bị che khuất bởi sự quan tâm chung của công chúng ñang hướng về các bài viết của Descartes, nhưng hai thế kỉ sau, sách về conic của ông ñã ñuợc xuất bản lại và ñược tôn vinh ngay lập tức như là một sách giáo khoa về hình học thuần tuý. Desargues ñưa ra cách xử lí hình học về các ñiểm ở vô tận và nghiên cứu sâu về phối cảnh, và do vậy trở nên nhà sáng lập môn hình học xạ ảnh (chiếu) hiện ñại.

Gérard Desargues (1593-1662)

Hoàn chỉnh bộ tứ kiệt xuất này là Blaise Pascal (1623-1662). Từ lúc mới 12 tuổi ông ñã xem hình học như một trò giải trí, vào tuổi 16 ông ñã chứng minh một trong những kết quả


18

ñẹp ñẽ nhất và khó ñạt tới trong hình học (Nếu một hình lục giác nội tiếp trong một conic thì các giao ñiểm của ba cặp cạnh ñối diện thẳng hàng). rồi ứng dụng nó ñể ñúc kết và mở rộng các công trình trước ñó trong lĩnh vực này. Ông ñã phát minh ra máy tính khi ông 19 tuổi, và vào tuổi 20 ông ñã ñược công nhận như là một nhà vật lí có năng lực. Ông cùng với Fermat là cha ñẻ của lí thuyết xác suất, một môn học mà hai ông ñã bị lôi cuốn vào trong nổ lực chung nhằm tìm lời giải ñáp cho các câu hỏi của các hội viên quý tộc bài bạc. Ông cũng nghiên cứu các tính chất của ñường cycloid và là một trong những người ñầu tiên dùng quy nạp toán học một cách có ý thức. Bi kịch của Pascal là vào tuổi 25 ông trở thành một tín ñồ gần như cuồng tín dị giáo Jansen và coi toán học như thứ vặt vãnh chỉ ñể thỉnh thoảng ñùa nghịch mà thôi. Phần lớn quảng ñời còn lại của ông dành cho việc nghiên cứu triết học và tôn giáo, từ ñó ra ñời 2 tác phẩm cổ ñiển “Pensées” (Tư tưỏng) và “Lettres provinciales” (Các lá thư tỉnh lẻ).

Blaise Pascal (1623-1662)

Trong những năm ñầu của thế kỉ 17 viên gạch nền móng cuối cùng cho toán vi tích phân ñược tạo hình ở Ý. Bonaventura Cavalieri, một giáo sư toán học dòng Jesuate của ñại học Bologna, ñề ra “nguyên lí của không chia hết” năm 1629. Nguyên lí này ñịnh ra tiêu chuẩn cho việc so sánh diện tích và thể tích một số hình hình học, dựa trên khẳng ñịnh rằng một miền phẳng có thể ñuợc xem như ñược hợp thành bởi một tập hợp vô hạn các miền phẳng song song. Công trình của ông ñược lưu hành trong toàn thể giới khoa học châu Âu, và vào những năm cuối của thế kỉ này, có hai nhà toán học kết hợp nó với hình học giải tích ñể dựng lên một toà lâu ñài toán với nền móng rất lung lay. Một người là Isaac Newton [Niu-tơn] (1642 – 1722) mà các thành tựu của ông rất nổi tiếng trong vât lí. Khi còn nhỏ, ông không bộc lộ năng lực toán học rõ rệt, và thành tích học tập trong những năm ñầu không có gì là xuất sắc cho lắm, tuy nhiên sau một thời gian ngắn nghỉ học ông ñã ñi học lại với môt niềm say mê mới. Ông là một sinh viên của trường Trinity College ở Cambridge vào tuổi 19, và sau ñó 8 năm ông trở thành giáo sư Toán của ñại học Cambridge. Trong thập niên 1666 và 1676, Newton phát triển “lí thuyết về chuyển ñổi liên tục” (theory of fluxions) qua 3 luận văn. Mặc dù các luận văn này chỉ ñược công bố


19

nhiều năm về sau nhưng chúng làm cơ sở cho một công trình sau ñó của ông, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, một phát triển về vật lí theo lối tiên ñề trong ñó Newton ñề ra lần ñầu tiên một phát biểu có hệ thống hoàn chỉnh về mặt toán học các quy luật về chuyển ñộng nổi tiếng của ông. Quyển Principia ñã nhanh chóng giữ lấy vai trò một ñiều tiên quyết cần thiết cho tiến bộ khoa học và kĩ thuật tương lai, và nó ñưọc xếp vào hàng rất ít các công trình toán học có ảnh hưởng sâu sắc trong lịch sử văn minh loài người.

Isaac Newton (1642-1727)

Tuy nhiên trong số những người ñồng thời và những người kế tục, việc thừa nhận và tôn vinh ông cũng chưa thất thống nhất. Con người thiên tài này ñã biết cái mà ông muốn, và chấp nhận ñể trực giác lấn lướt một ít các cẩn trọng logic, thừa nhận lí thuyết trước nhất vì nó ñược việc. Nhưng một số ñồng nghiệp ông ñã hoài nghi một cách chính ñáng. Không có lời phê phán nào dí dỏm và sắc bén một cách cay chua như của George Berkeley, một Giám mục ở Clyone. Trong quyển The Analyst, xuất bản năm 1734, ông tranh luận rằng các nhà khoa học chỉ trích lòng tin vào các ñiều bí ẩn của tôn giáo cũng có cùng các nổi khó khăn trong chính lĩnh vực của mình: “Và chuyển ñổi liên tục (fluxion) là cái gì? Các vận tốc của những gia tăng nhất thời (evanescent increments). Và những gia tăng nhất thời như nhau này là cái gì? Chúng không là những số lượng hữu hạn mà cũng chẳng phải là những số lượng nhỏ vô cùng hay chưa là gì cả. Chúng ta có thể gọi chúng là các bóng ma của những số lượng tách ñi ñược chăng? Chắc chắn là… ai mà tiêu hoá một sự chuyển ñổi thứ hai hay thứ ba… , theo tôi, không cần phải quá khe khắt về bất kì ñiểm nào trong chủ ñề Thần thánh”. Đối thủ của Newton là Gottfried Wilhelm von Leibniz [Lai-niz] (1646 – 1716), một thiên tài nhiều mặt người Đức. Tài năng phi thường của ông bao gồm nhiều lĩnh vực luật, ngoại giao, tôn giáo, triết học, khoa học vật lí và toán học, trong ñó ông ñã ñộc lập phát triển toán vi tích phân một thời gian ngắn sau khi ñối tác người Anh của ông ñã làm ñiều tương tự. Tuy nhiên, sự việc này ñã gây ra tranh luận sôi nổi trong nhiều năm, với lời qua tiếng lại cáo buộc nhau“ñạo văn” từ hai phía eo biển Anh, lồng trong tinh thần yêu nước theo kiểu phe phái kéo dài trong nhiều thập kỉ. Không ñược biết ñến nhiều nhưng ít ra cũng quan trọng không kém là công trình của ông về giải tích tổ hợp. Trong việc tìm kiếm một “ñặc


20

trưng phổ quát” thống nhất mọi tư tưỏng toán học, ông ñã trở thành người sáng lập của logic kí hiệu, một ngành học chỉ ñược nghiên cứu sâu rộng sau ñó hai thế kỉ.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716)

6. Thế kỉ 18 Toán vi tích phân giữ vị trí chi phối sự phát triển toán học trong thế kỉ 18. Việc khai phá lí thuyết mạnh mẽ mới này tiến hành theo hai hướng - mở rộng và áp dụng vào các phần khác của toán học và vật lí, và xem xét nền tảng logic của nó. Việc nghiên cứu trong thời kì này chủ yếu ñược tiến hành ở Royal Academies (các viện Hàn lâm Hoàng gia), bảo trợ bởi “các quyền lực sáng suốt” của thời ñại, trong khi các trường ñại học chỉ ñóng một vai nhỏ trong việc sản sinh các tư tưỏng mới. Những viện hàn lâm hàng ñầu ở Berlin, London, Paris và St Peterburg. Pháp chiếm phần vượt trội về tài năng toán học, nhưng Thụy Sĩ cũng có những ñóng góp có ý nghĩa trong lĩnh vực này.

Một gia ñình họ Bernoulli ñã ñào thoát nước Bỉ vào năm 1583 ñể tránh sự trù dập của tôn giáo, và cuối cùng ñã ñịnh cư ở Thuỵ Sĩ. Con cháu gia ñình này làm dấy lên một cuộc tranh lụận mạnh mẽ về việc di truyền khả năng trí tuệ; trong ba thế hệ họ ñã tạo ra 8 nhà toán học xuất sắc trong ñó có 4 người ñạt danh tiếng quốc tế! Mở ñầu và ñược biết nhiều nhất là hai anh em Jacob (1654 – 1705) và Johann (1667- 1748). Từ bỏ sự nghiệp thần học và y học do bị quyến rũ bởi công trình tiên phong của Leibniz về toán vi tích phân, Jacob và Johann Bernoulli ñã bước vào một cuộc tranh ñua ráo riết giữa hai ông với nhau và với chính Leibniz, ñiều này ñã làm sản sinh ra phần lớn nguồn tài liệu có trong các bài giảng sơ cấp vê tính vi tích phân hiện nay, cũng như các kết quả trong lí thuyết phương trình vi phân thường. Phần lớn các công trình của hai ông tập trung vào các tính chất của một số ña dạng các ñường cong ñặc biệt, kể cả ñuờng dạng dây xích, ñường xoắn ốc logarit, và Johann Bernoulli thường ñưọc xem như là cha ñẻ của ngành toán về các biến ñổi do ông nghiên cứu về ñường brachistochrone (ñường cong mà theo ñó một chất ñiểm sẽ trượt từ một ñiểm này tới một ñiểm khác dưới ảnh hưởng của trọng lực trong thời gian nhỏ nhất có thể có, lực ma sát xem như không ñáng kể). Ngoài ñóng góp của ông cho toán vi tích phân, Jacob cũng ñã làm ñược môt công trình nổi bậc về hình học và ñã viết quyển sách ñầu tiên dành cho lí thuyết xác suất. Hai người con của Johann cũng ñược nổi tiếng – Nicholaus (1695 – 1726) nhờ công trình về Hình học, và Daniel (1700 – 1782) nhờ các bài viết sâu sắc trong lĩnh vực thiên văn, vật lí toán và thuỷ ñộng học.


21

Jacob Bernoulli

Johann Bernoulli

Nhà toán học có nhiều thành quả nhất của thế kỉ này là Leonhard Euler, sinh năm 1707 ở Basel, Thuỵ sĩ. Ông là học trò của Johann Bernoulli, và cũng nghiên cứu về thần học, y học, các ngôn ngữ phương Đông, thiên văn, và vật lí. Năm 1727 ông là thành viên của viện Hàn lâm St Petersburg, rồi lãnh ñạo viện Hàn lâm Berlin năm 1747, sau ñó 20 năm lại trở về Petersburg và sống ở ñó ñến khi mất năm 1783. Ông là một nhà toán học hoạt ñộng không mệt mỏi và ngay cả khi mắt ông bị mờ vào lúc 28 tuổi và mù hẳn ở tuổi 59, khả năng làm việc của ông cũng không suy giảm nhiều. Ông ñã viết gần 900 quyển sách và luận văn quan trong trong các lĩnh vực giải tích, ñại số, số học, cơ học, âm nhạc, và thiên văn. Euler


22

là người ñưa ra phần lớn kí hiệu hiện ñang dùng trong ñại số và giải tích hiện ñại, và ông ñã có công ñưa lượng giác thành dạng như hiện nay; nhưng có lẽ thành tích nổi trội nhất của ông có ñược từ cố gắng xây dựng toán vi tích phân như là một lí thuyết giải tích không phụ thuộc vào hình học.

Leonhard Euler (1707-1783)

Phần sau của thế kỉ 18 là một thời kì xáo trộn về chính trị. Anh ñang bị ít nhiều khó khăn trong việc ổn ñịnh thuộc ñịa còn rối ren của mình ở châu Mĩ, còn giai cấp quý tộc Pháp thì mất khả năng ñiều khiển nông dân. Biến ñộng ở Pháp quyết liệt ñến nổi không thể tin nổi là các nghiên cứu khoa học chẳng những vẫn tồn tại mà cón lớn mạnh suốt cả thời gian này. Thật vậy, toán học Pháp vẫn giữ vị trị vượt trội của mình. Các nhà toán học trong lục ñiạ châu Âu có lợi thế mạnh hơn các nhà toán học Anh ở chỗ toán vi tích phân của Leibniz thì dễ hiểu và dễ áp dụng hơn nhiều so với lí thuyết khó xài về sự chuyển ñổi liên tục của Newton, và các thành tựu ñạt ñược cho thấy rằng họ ñã ñưa nó vào sử dụng tốt.

Một ñột phá quan trọng trong toán vi tích phân ñã ñược Jean d’Alembert (1717 – 1783) thực hiện khi ông khử trừ ñược ”các bóng ma về các ñại lượng dời ñi” của Newton bằng cách ñưa ra khái niệm giới hạn. Tuy nhiên các người cùng thời với ông không ñánh giá ñược ý nghĩa của ý tưởng này và ñể nó ngủ yên trong nhiều năm.


23

Jean d’Alembert (1717 – 1783)

“Ngọn kim tự tháp ñồ sộ của khoa học toán” theo Napoleon Bonaparte là Joseph Louis Lagrange [La-grăng] (1736 – 1813), một nhà toán học lỗi lạc nhưng khiêm tốn ñược Napoléon và hai vuơng triều nước ngoài tôn vinh, và sự nghiệp của ông ñã tiến lên không cùng nhờ sự ủng hộ hết mình của Euler. Lagrange cải tiến và sắp xếp lại phần lớn nội dung toán vi tích phân của Euler và nghiên cứu sâu rộng lí thuyết phương trình, lí thuyết số và cơ học. Ông cũng là người chịu trách nhiệm vạch ra chương trình toán cấp tốc ở hai trường mới thành lập của Pháp là École Normale (trường Sư phạm) và École Polytechnique (trường Bách khoa).

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)


24

Pierre Simon Laplace [La-pla-xơ] (1749 – 1827) là nhà toán học ứng dụng xuất sắc của thế kỉ này. Ông sinh ra trong một gia ñình nông dân, nhờ tài năng toán học hiếm có của mình ông ñã cải thiện bậc thang xã hội của mình và cuối cùng ñược Napoléon phong chức Bá tước. Công trình nổi tiếng nhất của ông là Théorie analytique des probabilités (Lí thuyết giải tích về xác xuất) và bộ sách vĩ ñại gồm 5 quyển Mécanique céleste (Cơ học thiên thể), trong ñó ông ñã duyệt lại, hợp nhất và mở rộng một cách công phu tất cả các công trình trước ñó trong lĩnh vực xác suất và cơ học thiên thể. Mặc dù ông có khuynh hướng ñáng phiền khi mượn ý mà không nói rõ, nói chung Laplace vẫn ñược mọi người thừa nhận là một nhà khoa học sáng tạo nổi bậc. Tầm cở các công trình của ông ñi ngược với tính cô ñọng của chúng; như lời của một trong những dịch giả “Tôi chưa bao giờ nắm bắt ñược ngay một trong những cái ‘Vậy ñơn giản là’ của Laplace mà không phải trải qua hàng giờ cật lực làm việc ñể lấp ñầy chỗ trống và ñể tìm và chứng minh làm thế nào mà lại ‘ñơn giản là’’.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

Cũng phải nói thêm ngắn gọn về Adrien-Mair Legendre và Gaspard Monge. Cả hai ñều ñạt tới ñỉnh cao trong sự nghiệp khoa học của mình vào những năm cuối thế kỉ này, nhưng công trình của họ lại khác biệt nhau một cách cơ bản. Mặc dù chủ trì bài viết về tổ chức lại toàn bộ hình học Euclid, phần chính công trình của Legendre lại là giải tích và toán ứng dụng, một lĩnh vực thống trị vào lúc ñó. Trái lại, Monge là một nhà hình học mực thước, một trong những chuyên gia ñầu tiên về toán học hiện ñại. Ông ñược biết nhiều nhất qua việc phát triển môn Hình học hoạ hình (descriptive geometry), và các ý tưởng hình học thâm nhập khắp các công trình của ông. Điều này ghi dấu ông như là một sứ giả cho thời kì kế tiếp.

7. Thế kỉ 19 Thời ñại mới bắt ñầu với Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), “vị hoàng tử của toán học”. Giống như Archimedes ñã ảnh hưởng sâu ñậm nền khoa học của thời ñại tiền Hi Lạp và Newton khống chế thời kì hậu Elizabeth, Gauss thống trị nền toán học thế kỉ 19. Ông vốn là một thần ñồng toán học, có thể làm tính số học lúc mới lên 3, và quen thuộc với các chuổi vô hạn khi ñược khoảng 10 tuổi. Lí thuyết số (theory of numbers) hiện ñại bắt nguồn từ công trình ñồ sộ của ông tên Disquisitiones Arithmeticae, công bố năm 1801. Với quyển sách về Cơ học thiên thể (celestial mechanics), Gauss ñược nhận như nhà toán học ñứng ñầu của châu Âu. Công trình của ông ngắn gọn và rõ ràng, và ñặc trưng bằng việc chứng


25

minh chặt chẽ. Mặc dù các cột mốc trong hầu hết các ngành toán học ñều mang tên ông, Gauss bộc lộ xu hướng cá nhân mạnh mẽ về một ngành khi nói rằng “toán học là nữ hoàng của khoa học, và lí thuyết số lại là nữ hoàng của toán học”.

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

Cùng với việc mở ñầu thế kỉ mới, sáng tạo toán học bắt ñầu gia tăng tột bậc, ñến năm 1990 ñã cho ra số công trình nhiều gấp khoảng năm lần số công trình hoàn thành trong tất cả các giai ñoạn trước ñó. Với sự phong phú cao ñộ về nguồn tài liệu, toán học ñã trở nên một bộ môn rộng lớn ñến nổi mỗi ñầu óc riêng lẻ không còn ñủ sức ñể thông hiểu hết tất cả mọi ngành ñược nữa. Ngoại trừ một ít người có trình ñộ thông minh tuyệt ñỉnh như Gauss, Riemann, Klein, và Poincaré, các nhà toán học nói chung bị buộc phải tự giới hạn các cố gắng của họ vào một ngành chính nào ñó như ñại số, hình học, hay giải tích. Diện mạo toán học cũng có nhiều thay ñổi khác xảy ra. Ưu thế của các viện hàn lâm khoa học ñược hoàng gia bảo trợ giảm sút nhanh chóng, và việc nghiên cứu trở nên một chức năng quan trọng của các trường ñại học. Trong nội bộ toán học, các nhà toán học ngày càng trở nên tự phê phán hơn. Việc ñòi hỏi một sự chặt chẽ mới trong tất cả các chứng minh và việc không tin cậy vào trực giác của họ làm nẩy sinh ngành logic tượng trưng và tiên ñề hoá.

Từ ñây trở ñi, một sự liệt kê tuần tự chặt chẽ theo thời gian các tiểu sử không còn ñủ khả năng phác hoạ ñược sự tiến bộ của toán học, vì thế sẽ ñuợc thay bằng một loạt các tường thuật, mỗi tường thuật ñi theo một chủ ñề nhỏ giống như một trong những tường thuật phía trên. Sẽ có những trùng lặp không tránh khỏi về tên tuổi, thời gian và ý tưởng, nhưng toàn cảnh của bức tranh tổng thể sẽ ñược cố gắng hết mức ñể giữ cho nguyên vẹn.

Trong khi khoa vật lí và kĩ thuật tiếp tục thu lượm những phần thưởng từ toán vi tích phân, bản thân toán học cũng bắt ñầu hưởng lấy những lợi ích từ tinh thần cách mạng ñang lan tràn trong thế giới phương Tây. Ở Pháp, sự ñổ nhào của chế ñộ quân chủ và thời kì Napoléon kế ñó ñã tạo ra một môi trường lí tưởng cho việc cấy trồng những tư tưởng mới. Trong bầu không khí này, Évariste Galois, một thanh niên thông minh và có tính khí khác thường, từng bị ñuổi học hay vào tù, ñã ñược sinh ra. Mặc dù có các xáo trộn giáo dục và chính trị thường xuyên, Galois ñã dành phần lớn thời giờ của mình cho ñại số - môn học vào lúc ñó chỉ gần như là số học khái quát hoá, nhưng các bài viết của ông không ñược chú ý. Năm 1832, trước sinh nhật thứ 21 không lâu, Galois ñã bị giết chết khi dính vào một trận thách ñấu. Đêm trước “sự việc vì danh dự” ñó, ông ñã thảo nhanh một bức thư gửi bạn, trong ñó có ghi “Tôi ñã hoàn tất một vài khám phá mới trong giải tích…. Tôi hi vọng, sau này sẽ có người tìm thấy nó ñể trình bài lại sáng sủa tất cả mớ hỗn ñộn này cho lợi ích của


26

mình.” "Cái mớ hỗn ñộn này" chính là lí thuyết nhóm, nền móng của giải tích và hình học hiện ñại. Niels Henrik Abel, một nhà toán học Na Uy cùng thời và cũng mất trước tuổi 30, cũng ñã ñộc lập làm ra công trình theo hướng này.

Evariste Galois (1811-1832)

Niels Henrik Abel (1802 - 1829)

Việc giải phóng ñại số khỏi sự phụ phuộc vào số học ñã ñưa môn học này tiến một buớc nhảy vọt với sự khám phá ra quaternion bởi William Rowan Hamilton (1805 – 1865) - một nhà toán học và thiên văn Ireland [Ai-lan] (Ái nhĩ lan). Hamilton là một thần ñồng, vào


27

tuổi 12 ñã sử dụng ñược 12 ngôn ngữ. Ông dùng phần lớn thời gian ñầu trong sự nghiệp khoa học của mình ñể ứng dụng toán học vào các lí thuyết vật lí, ñặc biệt là quang học và cơ học. Năm 1835 ông chuyển sự chú ý của mình vào ñại số, và 8 năm sau ñó khám phá ra quaternion. Nói một cách thô thiển, hệ các quaternion là một khái quát quá của hệ số phức và phép nhân các quaternion là một ví dụ ñầu tiên ñáng giá về một phép toán không giao hoán. Chẳng bao lâu các lớp tổng quát các ñại số ñã ra ñời từ công trình nặng về hình học của Hermann Grassmann, và môn học này ñã bước hẵn trên con ñuờng ñi vào trừu tượng. Nước Anh là trung tâm của thứ ñại số thế kỉ 19 này với những ứng dụng hình học của nó, những ứng dụng này nở rộ theo sự dẫn dắt tích cực của Arthur Cayley (1821 – 1895), cha ñẻ của lí thuyết ma trận, và James Joseph Sylvester (1814 – 1897),ñộng lực chính trong sự phát triển ban ñầu của nền toán học châu Mĩ. Hai trong số những tên tuổi nổi bậc của lí thuyết nhóm là Felix Klein (1849 – 1925) và Marius Sophus Lie (1842 – 1899). Klein là một nhà hình học nghiên cứu các nhóm rời rạc (discrete groups), còn Lie làm việc với các nhóm liên tục (continuous groups).


28

Arthur Cayley (1821 – 1895)

James Joseph Sylvester (1814 – 1897)


29

Marius Sophus Lie (1842 – 1899)

Với sự xuất hiện của Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) và những nhà toán học cùng thời của ông, các nhà giải tích nói chung trở nên ý thức hơn về sự cần thiết của chứng minh với lập luận chặt chẽ. Cauchy ñã ñưa ra một ñĩnh nghĩa sử dụng ñược cho khái niệm giới hạn và tiến hành xây dựng nền tảng vững chắc cho toán vi tích phân. Ông cũng ñã phát triển lí thuyết hàm với biến phức gần như cùng lúc khi Gauss công bố số học phức của mình. Bernhard Riemann (1826 – 1866) của Đức cũng ñi tiên phong trong lí thuyết số phức; phần lớn công trình của ông cũng có ý nghĩa hình học rõ nét. Đóng góp ñơn lẻ quan trọng nhất của Gauss, Abel, Cauchy, Riemann và các nhà toán học khác ñầu thế kỉ 19 là sự chú tâm tỉ mỉ của các ông tới việc chứng minh chặt chẽ. Công trình của các ông ñã mở ñường cho Karl Weierstrass (1815 -1897) - một nhà toán học nổi tiếng về lập luận tỉ mỉ và thận trọng. Ông làm sáng tỏ khái niệm về hàm số, ñạo hàm, và loại bỏ ñược tất cả những mù mờ còn lại trong toán vi tích phân. “Với Weierstrass việc thu gọn các nguyên lí của giải tích về các ý niệm số học ñơn giản nhất ñã bắt ñầu và chúng ta gọi việc này là số học hoá toán học.”

Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857)


30

Karl Weierstrass (1815 -1897)

Tiêu biểu cho cách tiếp cận này là Leopold Kronecker (1823 – 1891), ông khẳng ñịnh “Mọi kết quả của một nghiên cứu toán học sâu xa nhất rốt cuộc phải ñược diễn tả ñược duới dạng ñơn giản về tính chất của số nguyên.” Ông là một nhà lí thuyết số, nhưng ông ñược biết ñến nhiều nhất qua cuộc tranh luận kéo dài với Weierstrass, người có các lí thuyết dựa trên ý niệm về các dãy vô hạn. Kronecker, trái lại, không chấp nhận sự tồn tại toán học của bất cứ cái gì không thực sự xây dựng ñược qua một số hữu hạn các bước. Đối nghịch hoàn toàn với quan ñiểm này là Richard Dedekind (1831 – 1916) và Georg Cantor (1845 – 1918). Dedekind phát triển một cách chặt chẽ ý niệm về số vô tỉ, từ ñó cho phép hệ số thực trở thành cơ sở của mọi thứ giải tích. Cantor trong quyển Mengenlehre (Lí thuyết tập hợp), ñặt khái niệm số trên cơ sở khái niệm tập hợp, và tiến hành phát triển các loại vô hạn khác nhau, hay các số siêu hạn (transfinite numbers), các số này có các tính chất gần như các số nguyên trong số học sơ cấp. Theo Kronecker, ñiều này là một trò ñùa nguy hiểm của toán học, và ông công kích cả lí thuyết lẫn tác giả hết sức mạnh bạo ñến nổi Cantor bị một loạt suy sụp tinh thần và cuối cùng chết trong một bệnh viện tâm thần. Tuy nhiên lí thuyết tập hợp vẫn là một phần nổi bậc nhưng hay gây ra tranh cải trong tư tưởng toán học.


31

Georg Cantor (1845-1918)


32

Richard Dedekind (1831 – 1916)

Cuộc cách mạng trong hình học ñược báo trước rất sớm vào năm 1733 bởi công trình của Girolamo Saccheri. Kể từ khi Euclid ñưa ra bộ Elements, lúc nào ñịnh ñề thứ 5 (thường ñược gọi là “Định ñề Song Song”) cũng bị ñặt dấu hỏi bởi những nhà toán học nghĩ rằng nó có thể chứng minh ñược từ 4 ñịnh ñề khác. Saccheri biết tất cả những cố gắng trước ñây ñể thực hiện ñiều này ñều thất bại nên ông ñề ra một cách tiếp cận vấn ñề khác biệt một cách cơ bản. Ông thay "ñịnh ñề có vấn ñề" bằng phủ ñịnh của nó với hi vọng sẽ ñi ñến hai mệnh ñề mâu thuẫn nhau trong hệ mới này. Nếu ông làm ñược việc này thì ñiều ñó có nghĩa là ñịnh ñề thứ 5 nguyên thuỷ là hệ quả tất yếu của các ñịnh ñề kia, nhưng hệ thống mới lại không nẩy sinh ra mâu thuẫn nào cả. Quá thất vọng, ông ñã ñi quay nguợc trở lại trong khi chỉ cần tiến thêm một bước nữa ông sẽ làm nên khám phá của thế kỉ, và công trình của ông chẳng bao lâu ñi vào quên lãng. Đầu thế kỉ 19, có ba nhà toán học thuộc ba nước khác nhau ñã sử dụng cách tiếp cận của Saccheri nhưng các ông ñã có tầm nhìn sâu sắc hơn ñể hiểu ñược ý nghĩa “sự thất bại” của mình và cũng có can ñảm công bố các ñiều tìm ñược. Nicolai Lobachevsky năm 1829, János Bolyai năm 1832, và Bernhard Riemann năm 1854 ñều ñã công bố hệ hình học phi-Euclid nhất quán một cách ñộc lập lẫn nhau. Gauss cũng có một vài ý tưởng tương tự như thế vài thập niên trước nhưng giữ lại không công bố vì sợ bị chỉ trích. Các ý tưởng này xung ñối với triết lí của Kant ñang thịnh hành coi khái niệm không gian là không gian Euclid một cách tiên nghiệm, và do ñó các ý tưởng mới ñó vẫn còn trong bóng tối nhiều thập niên. Nhưng cánh cổng chặn dòng lũ logic ñã ñược mở ra. Các ñịnh ñề không còn là các mệnh ñề hiển nhiên ñúng theo trực giác nữa mà chúng chỉ ñơn giản là các giả ñịnh mà việc lựa chọn chúng là hoàn toàn tuỳ ý, không chịu ñiều kiện ràng buộc nào trước cả. Điều này ñã mở ñầu cho phương pháp tiên ñề hình thức.


33

János Bolyai (1802-1860)


34

Bernhard Riemann (1826-1866)

Từ ñây hình học không còn giới hạn ở các hình ảnh thấy ñược nữa, nó ñã phát triển với một tốc ñộ diệu kì. Quyển Ausdehnungslehre (Lí thuyết các mở rộng) của Grassmann ñem cho thế giới môn hình học mở rộng hoàn toàn n-chiều cho các không gian metric. Với công trình này ông ñuợc xem như là một trong những nhà sáng lập môn giải tích vector (cùng với Hamilton). Jacob Steiner (1796 – 1863), một nhà hình học tổng hợp thuần tuý không thích ñại số và giải tích, ñã phát triển phần lớn môn hình học xạ ảnh (chiếu). Felix Klein trái lại hợp nhất các thứ hình học bằng ñại số hiện ñại với phát biểu trong quyển “Erlanger Program” rằng mỗi thứ hình học ñều là một ngành nghiên cứu về các bất biến của một tập hợp ñối với một phép biến hình nào ñó. Lí thuyết này ñược Cayley và Lie mở rộng thêm rất nhiều.

Hermann Grassmann (1809-1877)


35

Felix Klein; (1849-1925)

Henri Poincaré (1854 – 1912), nhà toán học ña năng vĩ ñại cuối cùng ñã ñể lại dấu ấn sâu ñậm cho xu hướng hợp nhất toán học. Trí nhớ và năng lực am hiểu logic hầu như siêu phàm của ông ñã cho phép ông có những ñóng góp có giá trị cho số học, ñại số, hình học, giải tích, thiên văn và vật lí toán. Ngoài ra ông còn viết sách phổ biến toán học và tích cực quan tâm tới tâm lí sáng tạo. Ông có tầm ảnh hưởng sâu ñậm ñến sự phát trỉển của môn tôpô (vị tưóng học), một ngành toán học tương ñối mới mà trước ñây thường ñược gọi là analysis situs (giải tích vị trí) và ñôi khi ñược nói tới như là “hình học của các tấm cao su.”

Henri Poincaré (1854 – 1912)

Cách xử lí hình thức hoá môn ñại số ở Anh và cách tiếp cận tiên ñề trừu tượng ở lục ñịa châu Âu ñã khơi ngòi cho một sự chú tâm ñột ngột vào logic và nền tảng toán học, mối quan tâm này lại ñược nhân ñôi sau khi có sự xuất hiện của lí thuyết dễ gây tranh cãi về tập hợp của Cantor. Nghiên cứu có ý nghĩa toán học ñầu tiên về logic là các quyển The Mathematical Analysis of Logic (1847) và The laws of Thoughts (1854) của George Boole [Bul] (1815 – 1864). Trong hai công trình này ông ñã thể hiện một cách tiếp cận logic hoàn toàn tượng trưng và ñã ñặt nền móng cho các mở rộng tương lai của lĩnh vực này. Năm 1884, Gottlob Frege (1848 – 1925) xuất bản quyển Die Grundlagen der Arithmetik (Nền tảng của Số học)


36

ñưa ra một dẫn xuất của các khái niệm toán học từ logic hình thức và do ñó ñã kích thích mạnh mẽ các cố gắng hợp nhất logic và toán học.

George Boole (1815-1864)

8. Thế kỉ 20 Năm 1900, các thành viên của Hội toán học quốc tế họp ở Paris nghe các ñồng nghiệp nổi trội nhất báo cáo về toán học trong thế kỉ mới. David Hilbert (1862 -1943) vừa mới hoàn thành công trình nổi tiếng Grundlagen der Geometrie (Nền tảng của Hình học), một cách tân toàn bộ công trình Cơ bản của Euclid bằng cách sử dụng phương pháp tiên ñề. Hilbert ñề ra 23 bài toán chưa giải ñược như một thách thức cho thế kỉ mới. Nhận ñịnh của ông chính xác ñến mức mỗi bài toán trong số ñó ñều dẫn tới những kết quả mới, và thậm chí lời giải cho chỉ một phần của một trong những bài toán Hilbert cũng ñem lại sự công nhận quốc tế cho tác giả của nó. Hầu hết các bài toán này hiện nay ñã ñược giải quyết; một số ít vẫn còn là những câu hỏi mở trong toán học ñương thời8.

8Hiện nay 10 bài ñã ñược giải quyết xong, 7 bài giải quyết một phần và 2 bài vẫn còn là bài toán mở. Còn 4 bài còn lại quá lỏng lẻo ñể có thể nói ñã giải quyết hay chưa giải quyết ñược


37

David Hilbert (1862 -1943)

Tuy nhiên, ngay cả Hilbert cũng không thể thấy trước ñược toán học sẽ nở rộ ra sao trong thế kỉ 20. Tốc ñộ phát triển lạ thường bắt ñầu từ những năm 1800 ñã tiếp tục với lượng kiến thức toán học cứ mỗi 15 hay 20 năm lại tăng lên gấp ñôi . Vì thế, toán học cơ bản sản sinh từ sau chiến tranh thế giới thứ hai nhiều hơn tất cả thời lịch sử trước ñó! Có khoảng 300 tạp chí ñịnh kì xuất bản ở nhiều ñịa ñiểm khác nhau trên thế giới dành một phần chủ yếu sự quan tâm vào việc công bố các bài viết về toán. Chỉ riêng tạp chí trừu tượng Mathematical Reviews mỗi năm công bố khoảng 8000 bản tóm tắt các bài báo vừa ñược công bố có chứa các kết quả nghiên cứu mới. Do ñó, gọi thế kỉ này là “thời hoàng kim của toán học” là ñiều có thể hiểu ñược. Tuy nhiên chỉ số lượng không thôi chưa phải là chìa khoá cho vị trí ñộc ñáo mà toán học thế kỉ 20 giành ñược trong lịch sử toán học. Điều cốt yếu cần hiểu là bên duới sự tăng trưởng ñáng kinh ngạc về kiến thức này là một xu hướng căn bản tiến tới sự thống nhất, một sự thống nhất sâu rộng và hiệu quả nhiều hơn cả Descartes và Leibniz ñã tưởng. Nến tảng cho sự thống nhất này là tính trừu tượng. Mặc dù các thứ hình học phi-Euclid của thế kỉ 19 ñã mở ñường cho cách xử lí tiên ñề trừu tượng toán học nói chung, nhiều mối quan hệ giữa các ngành chính trong toán học vẫn còn chưa xuất hiện cho tới năm 1940. Sự thừa nhận mới ñây về các lí thuyết thống nhất này và về những lĩnh vực rộng lớn chưa khám phá mà các lí thuyết ñó mở ra ñã ñưa một số nhà toán học nổi bậc xem ñiểm kết thúc của chiến tranh thế giới lần 2 như ñiểm bắt ñầu của một kỉ nguyên mới trong toán học. Khi ñến gần thời ñiểm hiện tại, việc ñánh giá chính xác ý nghĩa tương ñối của các kết quả toán học mới hầu như không thể thực hiện ñược, vì thế việc so sánh các ñóng góp của từng cá nhân riêng lẻ với nhau sẽ không ñược thực hiện ở ñây, nhiệm vụ ñó ñể dành cho các thế hệ kế tiếp. Do ñó, mặc dù tất cả các nhà toán học sẽ ñược nêu ra ñều rất nổi trội qua sự tôn vinh của cộng ñồng khoa học hiện ñại nhưng không hề có ý ñó là một liệt kê ñầy ñủ và phạm vi chủ ñề ñịnh trình bày cũng không phải là một khào sát tổng hợp toán học của thế kỉ 20. Mục ñích chính của phần này chỉ nêu ra một cách vắn tắt phạm vi và uy thế của các hoạt ñộng toán học ñuơng thời.


38

Nhờ công trình của Boole và việc thừa nhận phương pháp tiên ñề hình thức theo sau sự ra ñời của các thứ hình học phi-Euclid, sự quan tâm ñến nền tảng logic của toán học bắt ñầu lan ra nhanh chóng. Công trình ñáng chú ý nhất kế tục các cố gắng mở ñầu của Boole trong logic toán là quyển Principia Mathematica, một công trình ñồ sộ gồm 2 quyển xuất hiện vào các năm 1910 – 1913 trong ñó hai nhà triết học – toán học Bertrand Russell (1872 - 1970) và Alfred North Whitehead (1861 – 1947) ñã cố hoàn thành giấc mơ của Leibniz bằng cách biểu thị toàn bộ toán học bằng một hệ thống kí hiệu logic phổ quát (universal logical symbolism). Hilbert cũng mơ ước hợp nhất toán học, ông ñã miệt mài trong nhiều năm ñể tìm một tập hợp ñơn lẻ nhất quán chứng minh ñược các tiên ñề mà toàn bộ toán học có thể dùng làm cơ sở. Đến ñây toán học bước vào giai ñoạn 4 của sự phát triển.

Bertrand Russell (1872 - 1970)

Alfred North Whitehead (1861 – 1947)


39

Bắt ñầu chỉ với một mãnh da thú, toán học bước ñầu ăn diện với một vài bộ quần áo sang trọng và sau ñó có nguyên cả một tủ quần áo may dệt công phu. Bây giờ, ăn mặc thanh lịch, toán học bắt ñầu nhìn vào túi của mình tìm những lỗ thủng chưa thấy. Các lỗ thủng bắt ñầu lộ ra khi Bertrand Russell tìm thấy những ñiểm không nhất quán trong lí thuyết tập hợp của Cantor, một lí thuyết mà toàn bộ toán học phải ñặt cơ sở trên ñó. Đìều này ñã khiến mục tiêu của Hilbert càng ñáng mong mỏi hơn, do ñó cộng ñồng toán học ñã bị chấn ñộng sâu sắc khi Kurt Gödel (1906 – 1978) chứng minh rằng mục tiêu này không thể ñạt ñược. Gödel cũng ñã ñặt nền móng cho một trong những khám phá ngoạn mục nhất thế kỉ 20. Năm 1964, dựa trên kết quả của Gödel, Paul J. Cohen ñã chứng minh rằng cả giả thiết liên tục (continuum hypothesis) lẫn tiên ñề lựa chọn (axiom of choices) ñều ñộc lập với các tiên ñề ñang ñược thừa nhận của lí thuyết tập hợp. Vì thế Cohen ñã trở thành một Saccheri của lí thuyết tập hợp qua việc chứng tỏ rằng hai mệnh ñề ñó (giả thiết liên tục, tiên ñề lựa chọn) không thể chứng minh ñược từ những tiên ñề khác và việc hàm chứa các phủ ñịnh của chúng trong lí thuyết tập hợp có thể dẫn tới những lí thuyết trọn vẹn hoàn toàn mới mẻ.

Kurt Gödel (1906 - 1978)


40

Paul J. Cohen (1934 - 2007)

Khi lấy lại ñược bình tĩnh từ sự kinh ngạc ban ñầu, các nhà toán học ñã chấp nhận sự kiện là không thể chứng minh ñược tính nhất quán của toán học từ nội bộ toán học và tiếp tục khai phá các chuyên ngành riêng của mình. Thật ra, sự phát triển của hầu hết các phần riêng lẻ của toán học thật sự không bị ảnh hưởng bởi những chấn ñộng bất chợt làm lung lay nền móng của nó. Đại số ñã trở nên khái quát hơn rất xa so với trước ñây, và các xu hướng tương tự tiến ñến tính trừu tượng trong hình học ñã dẫn ñến những bước tiến vượt bậc trong lĩnh vực hình học ñại số (algebraic geometry) ñược Cayley sáng lập trong thế kỉ trước. Một lĩnh vực ghép khác hết sức phát triển là hình học vi phân (differential geometry), một sự tổng hợp của hình học và nhiều mảng của giải tích nhờ có sự trổi dậy mối quan tâm tạo ra bởi các cố gắng hợp nhất lí thuyết trọng trường với vài hiện tượng ñiện từ. Bản thân giải tích cũng ñang trải qua một sự biến thái lạ thường trong thế kỉ này. Khi Henri Lebesgue (1875 – 1941) làm cách mạng trong lí thuyết tích phân, ông ñã mở ra một cách xử lí thống nhất và trừu tượng hơn cho giải tích, ñiển hình qua các lí thuyết giải tích tổng quát về các không gian trừu tượng ñược E. H. Moore phát triển năm 1906 và Maurice Eréchet năm 1928. Việc khái quát hoá mới này ñã nối kết giải tích với cả ñại số và tôpô.


41

Henri Lebesgue (1875 – 1941) Ít nhất theo một chuyên gia bình luận về toán học ñương thời, “sự kiện chính về thời ñại chúng ta sẽ ñược các nhà toán sử học tương lai tô ñậm là sự biến ñộng lạ thường xảy ra trong và xung quanh cái mà trước ñây ñược gọi là tôpô ñại số (algebraic topology).” Tôpô ñại số bắt ñầu như một ngành nghiên cứu chính với công trình của Henri Poincaré vào cuối thế kỉ trước, và trong nửa ñầu của thế kỉ 20 nó trở thành cái nôi phát triển của một số trong những công cụ mạnh mẽ nhất trong mọi ngành toán học. Có lẽ thành tựu nổi bật của ngành tôpô trong thế kỉ 20 xảy ra vào năm 1962 khi nhà toán học Mĩ John Milnor (1931 - ) chứng minh bác bỏ phỏng ñịnh liên hệ tôpô ñại số với ngành ñàn anh của nó là tôpô tổ hợp (combinarorial topology). Chứng minh của Milnor cho rằng các không gian tương ñương tổ hợp không nhất thiết phải tương ñương ñại số ñã giúp ông giành ñược huy chương Fields, một giải thưởng toán học quốc tế tương tự như giải Nobel. Ngoài việc mở rộng biên giới của kiến thức toán học, các phương pháp của ñại số tôpô còn trở thành cơ sở cho một lĩnh vực mới hơn là ñại số ñồng ñiều (homological algebra), ngành học này tạo nên những kết nối vững chắc cho sự thống nhất của các lí thuyết trước ñây còn tách rời như ñại số, giải tích và hình học. Mặc dù cho mãi ñến năm 1955 Henri Cartan và Samuel Eilenberg mới xuất bản quyển sách ñầu tiên về lí thuyết tổng quát của ñại số ñồng ñiều, lí thuyết này ñã bước vào quá trình thâm nhập vào phần lớn các ngành của toán học.

John Milnor (1931 - )


42

Henri Paul Cartan (1900-1980)

Samuel Eilenberg (1913—1998)

Cùng với xu hướng thống nhất trong nghiên cứu, thường ñi kèm một mong muốn ñúc kết và ñơn giản hoá các kết quả ñã có. Một trong những biểu hiện nổi bật của mong muốn này trong lịch sử toán học là sự xuất hiện của bộ Cơ bản của Euclid. Trong thế kỉ này cũng có một cố gắng khác ñể tích hợp tất cả các ngành toán học ñương thời vào một khuôn khổ duy nhất. Nó bắt ñầu vào giữa những năm 1930 do một nhóm nhỏ các nhà toán học trẻ Pháp hơp thành một hội kín và viết chung duới một bút danh giả là Nicolas Bourbaki. Quyển sách ñầu tiên trong loạt sách toàn thư của họ là Éléments de Mathématique9 (Những ñiều cơ bản của toán học) xuất hiện năm 1939, và ñã có hơn 40 quyển trong loạt sách này. Quyển

9Nhóm Bourbaki cố ý bỏ ñi chữ “s” cuối trong từ Mathématiques ñể thể hiện lòng tin mạnh mẽ của họ vào tính thống nhất của toán học.


43

sách cuối cùng của nhóm xuất bản vào năm 1983 là Spectral Theory (Lí thuyết phổ)10. Khi tiếng tăm của loạt sách Bourbaki lan rộng, Hội các cộng tác viên của Bourbaki (L'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki) biểu lộ óc hài hước phổ thông bằng việc thêu dệt một huyền thoại ñầy ñủ về tiểu sử của “con ngưòi” ñã viết công trình này. Bằng cách ñó họ cố xoay xở ñể giữ gìn bí mật về các thành viên của nhóm Bourbaki, dù vậy một vài tên tuổi cũng bị lộ ra trong ñó có Jean Dieudonné và André Weil (ñược một số người ñánh giá là nhà toán học vĩ ñại nhất còn ñang sống lúc ñó). Nhóm Bourbaki hiểu rõ về tầm vóc lớn lao trong nhiệm vụ của mình cũng như sự kiện là toán học sáng tạo trước nhất là một môn thể thao cho những người trẻ tuổi, vì thế họ ñồng ý với nhau sẽ rời khỏi nhóm truớc tuổi 50 và ñề cử ñồng nghiệp trẻ hơn thay thế mình. Nicolas Bourbaki như thế ñã trở nên một học giả quốc tế nổi tiếng nhưng ñầy bí mật, luôn luôn ở ñỉnh cao của sự sáng tạo nghề nghiệp, liên tục cung cấp cho thế giới khoa học hàng loạt các trình bày hiện ñại, rõ ràng, chính xác về mọi lĩnh vực của toán học ñương thời. Phong cách trình bày của họ hiệu quả ñến mức rất nhiều kí hiệu và thuật ngữ của họ vẫn còn dùng cho ñến giờ, như kí hiệu tập rỗng Ø, kí hiệu các tập số N, Z, Q, R, C, kí hiệu dẫn ñến ═>…, các từ ñơn ánh (injective) , toán ánh (surjective), song ánh (bijective)...

Jean Dieudonne (1906 - 1992)

10Hiện nay chỉ còn có Hội các công tác viên của Nicolas Bourbaki, hội này tổ chức các seminar Bourbaki 3 năm một lần. Các seminar này là những hội nghị quốc tế gồm hơn 200 nhà toán học ñến dự ñể nghe trình bày các chủ ñề lựa chọn bởi Bourbaki (hay Hội các cộng tác viên). Ấn phẩm cuối cùng của Hội này ra năm 1998, chương 10 của quyển VI Nhóm giao hoán.


44

André WEIL (1906-1998)

Bourbaki congress 1951.

Việc sử dụng các kĩ thuật toán học trong khoa học vật lí và xã hội ñã lan rộng và xuyên suốt ñến mức sẽ là vô ích nếu cố tổng kết những tiến bộ hiện ñại trong lĩnh vực toán ứng dụng. Tuy nhiên, có rất nhiều người mà công trình của họ phải ñược nêu ra ở ñây do tầm ảnh hưỏng sâu rộng của chúng ñến thế giới chúng ta ñang sống. Albert Einstein (1879 – 1955) ở tuổi 26 ñã làm môt cuộc cách mạng trong khoa học vật lí với thuyết tương ñối, một phân tích khác biệt căn bản về sự thay ñổi dựa một phần trên hình học Riemann. Công trình của Einstein khiến ông trở nên một nhà khoa học nổi tiếng nhất của thời ñại. John von Neumann (1903 – 1957) là một người Mĩ gốc Hungary chủ trì việc phát triển một số trong những máy tính ñiện tử ñầu tiên ở Viện nghiên cứu cao cấp Princeton, giúp cho việc phát triển lí thuyết quantum (lượng tử), và ñược xem như là người sáng lập lí thuyết trò


45

chơi. Lí thuyết ñáng lưu ý của ông về vành các toán tử 11 ñã ñem ra ánh sáng mối liên hệ thú vị và bất ngờ giữa giải tích, ñại số và hình học. Von Neumann cũng có những ñóng góp quan trọng trong việc chế tạo bom nguyên tử và bom hydrogen (kinh khí) và xây dựng các dự báo thời tiết dài hạn. Cuối cùng phải kể ñến cha ñẻ của tự ñộng hoá là Norbert Wiener (1894 – 1964), người mà công trình về xử lí thông tin ñã tạo ra một lĩnh vực mới là Cybernetics (Điều khiển học), lấy tên từ tựa ñề quyển sách Cybernetics, or Control and Communication in the Man and the Machine (Cybernetics, hay Điều khiển và Thông tin trong Con Nguời và Máy móc) của ông xuất bản năm 1948.

Albert Einstein (1879 – 1955)

John von Neumann (1903 – 1957)

11Vành là một tập hợp trên ñó có 2 phép toán, có ñầy ñủ các tính chất giống như phép cộng và phép nhân trong tập số nguyên ngoại trừ phép toán thứ hai không nhất thiết phải có tính giao hoán.


46

Norbert Wiener (1894 – 1964)

Nét ñộc ñáo của toán ứng dụng thế kỉ 20 là việc phát minh và phát triển máy tính ñiện tử. Khả năng của chúng có thể thực hiện các tính toán thông thường với tốc ñộ hàng tỉ phép tính mỗi giây ñã làm thay ñổi tận gốc rể các phương pháp giải quyết vấn ñề không những trong khoa học vật lí mà cả trong khoa học xã hội nữa. Các môn khoa học xã hội ñang chuyển trọng tâm cơ bản của mình từ khảo sát ñịnh tính sang ñịnh lượng, một sự chuyển ñổi vô cùng khó khăn do thường có quá nhiều biến số có mặt trong các tình huống xã hội. Việc xử lí các biến số này thực sự không thể nào làm ñược bằng các kĩ thuật cũ, nhưng máy tính có thể mô phỏng và phân tích các tình huống phức tạp dính dáng tới hàng trăm yếu tố, kể cả con người, theo dõi các hậu quả ngẫu nhiên và các dữ liệu thích ñáng khác. Vì thế, máy tính ñang nhanh chóng trở thành một công cụ cần thiết cho nghiên cứu và huấn luyện trong kinh tế học, xã hội học, giáo dục và các lĩnh vực liên quan khác. Ngoài ra, “thời ñại máy tính” cũng ñang ảnh hưởng tới chính toán học nữa. Năm 1976 Wolfgang Haken và Kenneth Appel ñã dùng máy tính ñể chứng minh bài toán tô màu (có thể dùng không quá 4 màu khi tô bản ñồ - còn gọi là bài toán 4 màu12. Vào cuối thế kỉ này, toán học cũng len lỏi vào cả nghệ thuật khi hình học phân dạng (fractal geometry) ñã tạo ra những hình dạng ñẹp ñẽ chưa từng thấy trước ñây. Người ñược xem như cha ñẻ của loại hình học ñương ñại này là nhà toán học Mĩ Benoit B. Mandelbrot (1924 -), ông ñã dùng máy tính khám phá ra hình nổi tiếng trong hình học phân dạng gọi là tập Mandelbrot. Máy tính cũng ñã tạo ra nhu cầu cho một ngành logic toán mới quan tâm tới những vấn ñề về thiết kế và ñiều khiển máy (như là lập mã) và trợ giúp và khuyến khích sự phát triển việc phân tích số liệu.

12Bài toán 4 màu' phát biểu một cách ñơn giản là: "Có thể dùng không quá 4 màu ñể tô màu bất kì một bản ñồ nào" (dĩ nhiên phải thoả ñiều kiện là 2 nước có củng biên giới phải ñược tô khác màu).


47

Benoit B. Mandelbrot (1924 - )

Tập hợp Mandlbrot

Dương Đức Lâm

(Tổng hợp từ Internet)

So Luoc Lich Su Toan Hoc

Documents