Số hạng tổng quát của dãy số

Đề tài

Một số phương pháp xác định công

thức tổng quát của dãy số

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 1 -

MỤC LỤC

MỤC LỤC ..................................................................................................................... 1

LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................................ 2

I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT. .................................... 3

II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23

III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH ................................. 28

IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ .... 32

BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP ......................................................................... 32

BÀI TậP ÁP DụNG ..................................................................................................... 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 47



LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần

quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải

các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng

quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng

quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Do đó xác định công

thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số.

Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ”

nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài toán tìm CTTQ của dãy số mà bản

thân đúc rút được trong qua trình học tập.

Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục :

I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số

có dạng công thức truy hồi đặc biệt.

II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số

III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số

IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về

dãy số - tổ hợp .

Một số kết quả trong chuyên đề này đã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy

nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn giản đến

phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho

các em học sinh.

Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tôi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt

thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi

xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc.

Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ có những thiếu sót. Rất

mong quý Thầy – Cô và các bạn đồng nghiệp thông cảm và góp ý để chuyên đề được tốt

hơn.



MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.

Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt. Những phương pháp này được xây dựng dựa trên các kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết ta nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC . 1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân 1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số ( )nu gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d sao cho với mọi số

nguyên 2n ³ ta có: 1n nu u d-= + .

d : gọi là công sai của CSC; 1u : gọi số hạng đầu, nu gọi là số hạng tổng quát của cấp số

Định lí 1: Cho CSC ( )nu . Ta có : 1 ( 1)nu u n d= + - (1).

Định lí 2: Gọi nS là tổng n số hạng đầu của CSC ( )nu có công sai d. Ta có:

1S [2 ( 1) ]2nn u n d= + - (2).

1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số ( )nu có tính chất 1 . *n nu q u n+ = " Î ¥ gọi là cấp số nhân công

bội q

Định lí 3: Cho CSN ( )nu có công bội q. Ta có: 11

nnu u q -= (3).

Định lí 4: Gọi nS là tổng n số hạng đầu của CSN ( )nu có công bội q . Ta có:

11 -1 -

nn

qS u q= (4).



2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt

Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )nu được xác định bởi

1 11, 2 2n nu u u n-= = - " ³ .

Giải: Ta thấy dãy ( )nu là một CSC có công sai 2d = - . Áp dụng kết quả (1) ta có:

1 2( 1) 2 3nu n n= - - = - + .

Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )nu được xác định bởi

1 13, 2 2n nu u u n-= = " ³ .

Giải:

Ta thấy dãy ( )nu là một CSN có công bội 2q = . Ta có: 13.2nnu -= .

Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy ( )nu được xác định bởi:

1 12, 3 1 2n nu u u n-= - = - " ³ .

Giải: Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy ( )nu không phải là CSC hay CSN!

Ta thấy dãy ( )nu không phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1- ở VT. Ta tìm cách làm

mất 1- đi và chuyển dãy số về CSN. Để thực hiện ý đồ này ta đặt .n nu k v l= + ; ,k l là

các hằng số và 0k ¹ ( ta sẽ chọn ,k l sau).

Khi đó, ta có: 12 1. 3 . 3 1 3n n n nlk v l k v l v v k--

+ = + - Û = + .

Ta chọn 2 1 1, : 0 2lk l lk-

= Û = và k bất kì nên ta chọn 112

k

l

ì =ïí=ïî

.

1

1

3( ) : 5

2

n nn

v vv

v-

ì =ïÞ í

= -ïî

. Dễ thấy dãy ( )nv là CSN với công bội 3q =

1 11

5. .32n n

nv v q - -Þ = = - . Suy ra: 11 5.3 1

2 2 2n

n nu v-

= + = - +

Ta thấy k bất kì, do đó khi đặt ta chọn 1k = . Tương tự cách làm này ta có được kết quả tổng quát sau:



Dạng 1: Dãy số 1 0 1( ) : , 2n n nu u x u au b n-= = + " ³ ( , 0a b ¹ là các hằng số) có

CTTQ là:

11

11

( 1) khi 1 1. khi a 11

nn n

u n b au au a b a

--

ì + - =ï= í -

+ ¹ïî -

.

Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy ( )nu được xác định bởi

1 12; 2 3 2n nu u u n+= = + + .

Giải: Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ số tự do ở đây không phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n . Tuy nhiên chúng ta có thể bắt chước cách giải ở trên làm mất 3 2n + ở VP, ta đặt : . .n nu k v t n l= + + ; , ,k t l là các hằng số

0k ¹ . Khi đó ta có:

1 13 2( 1) 2 2 2 3 2 2 .n n n n

t l tkv t n l kv tn l n v v nk k+ ++ - +

+ + + = + + + + Û = + + .

Ta chọn , ,k t l sao cho:

3 3012 0 0

t tk ll t kk

ì + ì = -=ï ïï Û = -í í- +ï ï= ¹ï îî

, ta chọn 1k = .

11

1

6( ) : 6.2 3.22n n

n nn n

vv vv v-

-

ì =ïÞ Þ = =í =ïî. Vậy 3 1 3.2 3 1n

n nu v n n= - - = - - .

Ta thấy trong cách giải trên không phụ thuộc vào k , nên khi đặt ta có thể chọn 1k = .

Ví dụ 1.5: Cho dãy số 1

1

2( ) : 2 1nn n

uu u u n-

ì =ïí = + +ïî

. Tìm CTTQ của dãy ( )nu .

Giải: Với bài toán này nếu ta thực hiện cách làm như trên sẽ không dẫn đến kết quả, vì

sau khi đặt ta có : 12 1.n n

tv v nk k+-

= + + dẫn đến ta không thể làm mất n được.

Ta sẽ đi tìm lời giải khác cho bài toán trên. Ta viết công thức truy hồi của dãy đã cho dưới dạng sau 1 2 1n nu u n-- = + . Từ đây ta có:

1 1 2 2 1 1( ) ( ) ... ( )n n n n nu u u u u u u u- - -= - + - + + - +



2 1 2( 1) 1 ... 2.2 1 2n n= + + - + + + + + ( )2 1 ... 2 1 1n n n= + - + + + + -

2( 1)2 1 2 12n n n n n+

= + - = + - .

Từ kết quả chúng ta tìm được, ta thấy được nguyên nhân mà cách làm ban đầu không cho ta kết quả là CTTQ của dãy số là một đa thức bậc hai theo n , mà với cách đặt ban đầu thì ta thấy là trong CTTQ của dãy là một đa thức bậc nhất. Từ phân tích này ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau:

Đặt 2n nu v an bn c= + + + . Khi đó, ta có:

2 21 ( 1) ( 1) 2 1n nv an bn c v a n b n c n-+ + + = + - + - + + +

1 2(1 ) 1n nv v a n a b-Û = + - + - + .

Ta chọn 1 0 1

1 0 2a a

a b bì ì- = =ï ïÛí í- + = =ï ïî î

, c bất kì nên ta chọn 0c = .

Khi đó: 11 2 1

1

1( ) : ... 1n n n nn n

vv v v v vv v - --

ì = -ï Þ = = = = = -í =ïî

Vậy 2 22 2 1n nu v n n n n= + + = + - .

Vì c bất kì nên ta chỉ cần đặt 2 ( )n n nu v an bn v n an b= + + = + +

Dạng 2: Từ ví dụ 4 và cách giải thứ hai của ví dụ 5 ta rút ra được cách tìm CTTQ của

dãy ( )nu được xác định bởi: 1 0

1. ( )n n

u xu a u f n-

ì =ïí = +ïî

, trong đó ( )f n là một đa thức bậc k

theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau: * Nếu 1a = , ta đặt . ( )n nu v n g n= + với ( )g n là một đa thức theo n bậc k , thay vào

công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn ( ) :g n ( ) ( 1) ( 1) ( )ng n n g n f n- - - = ta có được

dãy ( )nv là CSN với công bội 1q = từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )nv suy ra ta có

CTTQ của dãy ( )nu .

* Nếu 1a ¹ , ta đặt ( )n nu v h n= + với ( )h n là một đa thức theo n bậc k . Thay vào

công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn ( ) :h n ( ) ( 1) ( )h n ah n f n- - = ta có được dãy

( )nv là CSN với công bội q a= từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )nv . Suy ra ta có





1

1( ) : 3 2 ; 2,3,...nn

n n

uu u u n-

ì =ïí

= + =ïî.Tìm CTTQ của dãy ( )nu .

Giải:

Với cách giải tương tự như các ví dụ trên ta đặt: .2nn nu v a= + .

Ta có: 11 1.2 3( .2 ) 2 3 2 ( 2)n n n n

n n n nv a v a v v a-- -+ = + + Û = + +

Ta chọn 1 11 12 3 .3 5.3n n

n na v v v - --= - Þ = = =

Vậy 1 15.3 2n nnu - += - .

Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy 1( ) : . . nn n nu u a u ba-= + , ta đặt

. nn nu x ya= + . Khi đó , ta có: 1

1. . . .n n nn nx y a x ay ba a a-

-+ = + +

11. ( ) n

n nx a x y a ba a a --

é ùÞ = + - +ë û . Do đó, nếu a a¹ , ta chọn by aa

a=

-

11 1. . n

n n nx a x x x a --Þ = Þ =

21

1( ) .n nn

b bu u aa aa a a

a a-Þ = - +

- -

Trường hợp 1. . nn na u a u baa -= Þ - =

2 11 1 2 2 1 1( . ) ( ) ... ( ) .n n

n n n n nu u a u a u u a u au u a- -- - -Þ = - + - + + - +

11( 1) n n

nu b n a u a -Þ = - + . Vậy ta có kết quả sau.

Dạng 3: Cho dãy 1

1( ) : . . 2nn

n n

u pu u a u b na-

ì =ïí

= + " ³ïî. Khi đó ta có:

· Nếu 11( 1) n

na u ab n u aa -é ù= Þ = - +ë û .

· Nếu 2

11( ) .n n

nb ba u u aa aa aa a

a a-¹ Þ = - +

- -.

Chú ý : Trong trường hợp a a= ta có thể tìm CTTQ của dãy ( )nu như sau:

Đặt . . nn nu x y n a= + . Khi đó ta có: 1

1. . . ( 1). .n n nn nx y n a x ay n a b aa -

-+ = + - +

1. ( ). nn nx a x y b a-Þ = + - + nên ta chọn y b=

1 1 11 1 1. ( ) . ( 1)n n n n

n nx x a u u ab a bn a ab n u a- - -é ùÞ = Þ = - + = - +ë û .



Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy 1

1

2( ) : 5 2.3 6.7 12 ; 2,3,... n nn

n n

uu u u n-

ì = -ïí

= + - + =ïî.

Giải: Đặt .3 .7n nn nu v a b c= + + + . Khi đó , ta có:

1 11.3 .7 5( .3 .7 ) 2.3 6.7 12n n n n n n

n nv a b c v a b c- --+ + + = + + + + - +

1 115 3 (2 6) 7 (2 42) 4 12n n

n nv v a b c- --Û = + + - + + + .

Ta chọn

2 6 0 3, , : 2 42 0 21

4 12 0 3

a aa b c b b

c c

ì ì+ = = -ï ï

+ = Û = -í íï ï+ = = -î î

.

Khi đó: 1 11 15 .5 157.5n n

n n nv v v v - --= Þ = =

Vậy 1 1 1 1 13 3.7 3 157.5 3 3.7 3n n n n nn nu v + + - + += - - - = - - - .

Qua ví dụ trên ta có kết quả sau:

Dạng 4: Để tìm CTTQ của dãy số 1

1( ) : . . . ; 2n nn

n n

u pu u a u b c d na b-

ì =ïí

= + + + " ³ïî ,

( trong đó , , 0; , 1; .a b c aa b a b¹ ¹ ¹ ) ta làm như sau:

· Nếu 11 . .n nn na u u b c da b-= Þ - = + +

21 1

0( )

nn n i n i

iu u u u

-

- - -=

Þ = + -å

2 2 2

1 10 0 0( . . ) .( 1)

n n nn i n i n i n i

i i iu b c d u b c d na b a b

- - -- - - -

= = =

= + + + = + + + -å å å

11 1. . 1 . . 1 .( 1)1 1

n nnu u b c d na ba b

a b

æ ö æ ö- -Þ = + - + - + -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- -è ø è ø

.

· Nếu 1a ¹ , ta đặt . .n nn nu v x y za b= + + +

Ta có: 1 11. ( ) ( ) ( 1)n n

n nv a v ax x b by y c z a da a a b b b- --= + - + + - + + - +

Ta chọn : ; ; 1b c dx y za b a

a ba b

= = =- - -

.



Khi đó: 2 2

1 11 1 1. . 1

n nn n n

b c dv a v v v a u aa b aa ba b

- --

æ ö= Þ = = - - -ç ÷ç ÷- - -è ø

2 21

1 1 1n n n

nb c d b c du u aa b a a b a

a b a ba b a b

-æ ö= - - - + + +ç ÷ç ÷- - - - - -è ø

.

Chú ý : Nếu aa = hoặc ab = thì khi đặt nu theo nv thì ta nhân thêm n vào trước na

hoặc nb .


1

1( ) : 2 3 ; 2nn

n n

uu u u n n-

ì =ïí

= + - " ³ïî.

Giải: Để tìm CTTQ của dãy ( )nu ta sử dụng hai kết quả 2 và kết quả 3

Đặt .3nn nu v a bn c= + + + .

Ta có: ( )11.3 2 .3 ( 1) 3n n n

n nv a bn c v a b n c n--+ + + = + + - + + -

112 ( 1)3 ( 1) 2n

n nv v a b n b c--Û = + - + + - - + .

Ta chọn 1; 2a b c= = = . Khi đó: 1 11 12 .2 5.2n n

n n nv v v v - --= Þ = = -

Vậy 15.2 3 2n nnu n-= - + + + .

Dạng 5: Nếu dãy số 1

1( ) : . . ( ); 2nn

n n

u pu u a u b f n na-

ì =ïí

= + + " ³ïî, trong đó ( )f n là đa

thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau:

* Nếu 1a ¹ ta đặt . ( )nn nu v x g na= + + , với ( )g n là đa thức theo n bậc k . Ta sẽ

chọn sao cho dãy ( )nv là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy ( )nv từ đó ta

có CTTQ dãy ( )nu .

* Nếu 1a = thì ta tìm được nu theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3.



Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ của dãy 0 1 1 1( ) : 1, 3, 5 6 1.n n n nu u u u u u n+ -= - = = - " ³

Giải: Ta viết công thức truy hồi của dãy lại như sau: 1 12 3( 2 )n n n nu u u u+ -- = - (1)

Đặt 1 1 2n n nv u u+ += - , ta có: 1 111

1

5 5.3 2 5.33n n

n n nn n

v v u uv v- -

-+

ì =ï Þ = Þ - =í =ïî.

Sử dụng kết quả 2, ta có: 5.3 6.2n nnu = - .

Trong lời giải trên ta đã phân tích 5 2 3= + và 6 2.3= để viết lại công thức truy hồi như (1), từ đó ta đưa vào được dãy phụ ( )nv là một CSN. Các hệ số xuất hiện trong công

thức truy hồi là 5;6 nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ, trong trường hợp tổng quát ta có luôn phân tích được các hệ số như vậy hay không ? Nếu được thì phân tích như thế nào ?. Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.10: Cho dãy số ( )nu được xác định bởi : 0 1

1 1

1; 24 1n n n

u uu u u n+ -

ì = =ïí = + " ³ïî

.

Hãy xác định CTTQ của dãy ( )nu .

Giải:

Gọi ,x y là hai số thỏa mãn: 4 ,1

x y x yxyì + =ï Ûí = -ïî

là nghiệm PT: 2 4 1 0X X- - =

2 5XÛ = ± , ta chọn 2 5; 2 5x y= + = - . Ta có: 1 1 1 1( ) . ( )n n n n n n nu x y u xyu u x u y u xu+ - + -= + - Û - = - .

Đặt 1 1. 2n n nv u x u v x-= - Þ = - và 1 11 1. . (2 )n n

n n nv y v v v y x y- -+ = Þ = = -

11. (2 ) n

n nu x u x y --Þ - = - . Áp dụng kết quả 3, ta có:

2 2 1 (2 5) (2 5)2n n n n

ny xu x yy x y x- - é ù= + = + + -

ë û- -.

Ví dụ 1.11: Cho , ,a b c là các số thực khác không và dãy ( )nu được xác định bởi

0 1

1 1

; . .n n n

u p u qu a u b u+ -

ì = =ïí = +ïî

. Hãy xác định CTTQ của dãy ( )nu ?



Giải: Ta viết lại công thức truy hồi của dãy đã cho như sau: 1 1. ( . )n n n nu x u y u x u+ -- = - .

Ta xác định ,x y sao cho: ,x y a x yxy bì + =ï Þí = -ïî

là nghiệm PT: 2 0X aX b- - = (1).

Giả sử tồn tại tại ,x y , tức là phương trình (1) có nghiệm.

Đặt 1.n n nv u x u -= - . Ta có: 11

1

. ( ) nn

n n

v q x p v q xp yv yv-

+

ì = -ï Þ = -í =ïî

11. ( ) n

n nu x u q px y --Þ - = - .

· Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hay x y¹ . Áp dụng kết quả 2, ta có:

n nn

yp q q xpu x yy x y x- -

= +- -

.

· Ta xét trường hợp còn lại: (1) có nghiệm kép 2ax yÞ = = .

11 ( )( )2 2 2

nn n

a pa au u q --Þ - = - . Áp dụng kết quả 2:

1( )2 2 2

n

na pa apu q n

-æ ö é ù

= + -ç ÷ ê úè ø ë û

.

Vậy ta có kết quả tổng quát sau:

Dạng 6: Cho , ,a b c là các số thực khác không; 2 4 0a b- ³ và dãy ( )nu được xác định

bởi: 0 1

1 1

; . .n n n

u p u qu a u b u+ -

ì = =ïí = +ïî

. Khi đó:

· Nếu 2 4 0a b- > thì 0 1 1 0. .n nn

y u u u x uu x yy x y x- -

= +- -

, trong đó ,x y là nghiệm của

phương trình : 2 0X aX b- - = (1).

· Nếu 2 4 0a b- = thì 1

( )2 2 2

n

na pa apu q n

-æ ö é ù

= + -ç ÷ ê úè ø ë û

.

Phương trình (1) gọi là phương trình đặc trưng của dãy. Chú ý : Để xác định CTTQ của dãy ( )nu nói trên ta có thể trình bày như sau

Xét phương trình đặc trưng (1)

· Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2,X X thì 1 2. .n nnu x X y X= + , dựa vào 0 1,u u ta tìm

được ,x y .



· Nếu (1) có nghiệm kép 1 2X X a= = thì ( ). nnu pn q a= + , dựa vào 0 1,u u ta tìm

được ,p q .

Ví dụ 1.12: Cho dãy 0 12

1 2

1; 3( ) : 5 6 2 2 1; 2n

n n n

u uu u u u n n n- -

ì = - =ïí

- + = + + " ³ïî. Xác định


Giải: Ta tìm cách làm mất vế phải trong công thức truy hồi của dãy, bằng cách:

Đặt 2n nu x an bn c= + + + . Thay vào công thức truy hồi của dãy và rút gọn ta được

2 21 15 6 2 (14 2 ) 19 2 2 2 1n n nx x x an a b n a b c n n- -- + + - + + - + = + +

Ta chọn

2 2 1, , : 14 2 2 8

19 2 1 13

a aa b c a b b

a b c c

ì ì= =ï ï

+ = - Û = -í íï ï- + = = -î î

. Khi đó:

0 1

1 2

12; 23( ) : 5 6 0nn n n

x xx x x x- -

ì = =ïí - + =ïî

. Áp dụng kết quả 3, ta có:

213.2 3 13.2 3 8 13n n n nn nx u n n= - Þ = - + - - .

Ví dụ 1.13: Tìm CTTQ của dãy số: 1 2

1 1

;( ) : . . . ( ) ; 2nn n n

u p u qu a u b u c u f n n+ -

ì = =ïí + + = " ³ïî

,(

trong đó ( )f n là đa thức theo n và 2 4 0b ac- ³ ).

Giải: Đặt ( )n nu x g n= + với ( )g n là một đa thức theo n . Thay vào công thức truy hỗi của

dãy ta được: 1 2. . . . ( ) . ( 1) ( 2) ( )n n na x b x c x a g n b g n cg n f n- -+ + + + - + - =

Ta chọn ( ) : . ( ) ( 1) ( 2) ( )g n a g n bg n cg n f n+ - + - = (*).

Khi đó: 1 2. . 0n n na x bx c x- -+ + = . Áp dụng kết quả 2, ta có được CTTQ của dãy ( )nx ,

từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )nu .

Vấn đề còn lại là giải phương trình (*).

Giả sử 11 1 0( ) ...k k

k kg n a n a n a n a--= + + + + là đa thức bậc k . Khi đó hệ số của kx và

1kx - trong VP là: .( ) kka a b c x+ + và 1

1( 2 ) . ( ) kk kb c k a a b c a x -

-é ù- + + + +ë û .Do đó :



* Nếu PT: 2 0aX bX c+ + = (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thì 0a b c+ + ¹ nên VT(*) là một đa thức bậc k .

* Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm 1x = 0a b cÞ + + = và 1( 2 ) . ( ) ( 2 ). . 0k k kb c k a a b c a b c k a-- + + + + = - + ¹ nên VT là một đa thức bậc

1k - . * Nếu PT (1) có nghiệm kép 1x = 0a b cÞ + + = và

11( 2 ) . ( ) k

k kb c k a a b c a x --

é ù- + + + +ë û nên VT(*) là một đa thức bậc 2k - .

Vậy để chọn ( )g n ta cần chú ý như sau: v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì ( )g n là một đa thức cùng bậc với ( )f n v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn ( )g n là đa thức lớn hơn bậc của ( )f n một bậc. v Nếu (1) có nghiệm kép 1x = thì ta chọn ( )g n là đa thức có bậc lớn hơn bậc của ( )f n hai bậc.

Dạng 7: Để tìm CTTQ của dãy 1 2

1 1

;( ) : . . . ( ) ; 2nn n n

u p u qu a u b u c u f n n+ -

ì = =ïí + + = " ³ïî

,

( trong đó ( )f n là đa thức theo n bậc k và 2 4 0b ac- ³ ) ta làm như sau: · Xác định đa thức + - + - =( ) : . ( ) ( 1) ( 2) ( )g n a g n bg n cg n f n , trong đó ( )g n là: đa

thức theo n bậc k nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ; đa thức bậc + 1k nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 ; đa thức bậc + 2k nếu (1) có nghiệm kép = 1x · Khi xác định được ( )g n ta đặt = + ( )n nu x g n , ta có dãy ( )nx được xác định bởi:

+

ì = - = -ïí + + = " ³ïî

0 1 1

1

(0); x (1). 0 1n n

x p g u ga x bx c n . Áp dụng kết quả 3 ta xác định được CTTQ của ( )nx , từ

đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )nu .

Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số 0 1

1 2

1; 3( ) : 5 6 5.2 2nn

n n n

u uu u u u n- -

ì = - =ïí

- + = " ³ïî.

Giải: Đặt .2nn nu x y= + . Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm mất 5.2n ở VT

Ta sẽ đi tìm cách giải khác cho bài toán này

Ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: 1 1 2( 2 ) 3( 2 ) 5.2nn n n nu u u u- - -- - - =

Đặt 1 12 3 5.2nn n n n nx u u x x- -= - Þ - = . Áp dụng kết quả 2, ta có:



1 1125.3 10.2 2 25.3 10.2n n n n

n n nx u u- --= - Þ - = -

Sử dụng chú ý ở kết quả 3, ta đặt .3 .2n nn nu v a bn= + +

Ta được: 112 (25 )3 ( 10)2n n

n nv v a b--= + - - + . Ta chọn 25, 10a b= = -

10.2 26.2 25.3 (5 13).2n n n n

n nv v u n +Þ = = - Þ = - + .

Lưu ý : Dựa vào CTTQ đã xác định ở trên, ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau:

Đặt .2nn nu x yn= + , ta có: 1

1 25 6 .2 5.2n nn n nx x x y -

- -- + - = , ta chọn 10y = -

0 1

1 2

1; 23( ) : 5 6 0 2nn n n

x xx x x x n- -

ì = - =ïÞ í - + = " ³ïî. Áp dụng kết quả 4, ta có:

126.2 25.3 25.3 (5 13).2n n n nn nx u n += - + Þ = - + .

Ví dụ 1.15: Tìm CTTQ của dãy - -

ì = =ïí

- + =ïî

0 1

1 2

1; 3( ) : 4 4 3.2nn

n n n

u uu u u u .

Giải:

Với dãy số này nếu ta đặt = + .2nn nu x y thì khi thay vào công thức truy hồi của dãy

ta không xác định được y ! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này.

Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: - - -- - - =1 1 2( 2 ) 2( 2 ) 3.2nn n n nu u u u

Đặt -= - 12n n nx u u , ta có: -- =12 3.2nn nx x . Áp dụng kết quả 2, ta có:

1(6 5).2nnx n -Þ = - 1

12 (6 5).2nn nu u n -

-Þ - = - 1

1 1 2 1 0 0( 2 ) 2( 2 ) ... 2 ( 2 ) 2 .n nn n n n nu u u u u u u u-

- - -Þ = - + - + + - +

1 1

1 12 (6 5) 2 2 6 5 2

n nn n n

i ii i n- -

= =

é ù= - + = - +ê ú

ê úë ûå å

1 2 1( 1)6 5 2 2 (3 2 2)22n nn n n n n- -é ù+

= - + = - +ê úë û

.

Lưu ý : Từ CTTQ của dãy ( )nu ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau

Đặt 2.2nn nu x yn= + . Ta có: 1 24 4 2 .2 3.2n n

n n nx x x y- -- + + = . Ta chọn 32y =



0 1

1 2

1; 0( ) : 4 4 0 2nn n n

x xx x x x n- -

ì = =ïÞ í - + = " ³ïî. Áp dụng kết quả 4, ta được

1 1 2 1 2 1(2 2 )2 (2 2 ).2 3 .2 (3 2 2)2n n n nn nx n u n n n n- - - -= - Þ = - + = - + .

Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau:

Dạng 8: Cho dãy số ( )nu xác định bởi: 0 1

1 2

;. . . ; 2n

n n n

u uu b u c u d na- -

ìïí

+ + = " ³ïî. Để xác

định CTTQ của dãy ( )nu ta làm như sau:

· Nếu phương trình : 2 0 (1)X bX c+ + = có hai nghiệm phân biệt khác a thì ta đặt

2 . nn n

du xa b c

a aa a

= ++ +

, ta có: 1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = .

Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ .

· Nếu x a= là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt: 2

.2n

n ndu x nb ca a= -+

, ta có:

1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ .

· Nếu x a= là nghiệm kép của (1) thì ta đặt: 2

2. .4n

n ndu x nb ca a

a= +

+, ta có:

1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ .

Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau

Dạng 9: Cho dãy ( ) :nu 1 2 3

2 1 1

, ,0 2n n n n

u x u y u zau bu cu du n+ + -

ì = = =ïí + + + = " ³ïî

.Để xác định CTTQ

của dãy ta xét phương trình: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (1) ( (1)gọi là phương trình đặt trưng của dãy).

· Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 1 2 3, , n n nnx x x u x x xa b gÞ = + + . Dựa vào

0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,a b g .

· Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: 1 2 3 1 3( ) .n nnx x x u n x xa b g= ¹ Þ = + +

Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,a b g .

· Nếu (1) có nghiệm bội 3 21 2 3 1( ) n

nx x x u n n xa b g= = Þ = + + . Dựa vào 0 1 2, ,u u u

ta tìm được , ,a b g .



Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy ( ) :nu 1 2 3

1 2 3

0, 1, 3,7 11. 5. , 4n n n n

u u uu u u u n- - -

ì = = =ïí = - + " ³ïî

Giải : Xét phương trình đặc trưng : 3 27 11 5 0x x x- + - =

Phương trình có 3 nghiệm thực: 1 2 31, 5x x x= = =

Vậy 5nna na b g= + +

Cho 1, 2, 3n n n= = = và giải hệ phương trình tạo thành, ta được

1 3 1, , 16 4 16a b g= - = =

Vậy ( ) 11 3 11 .5

16 4 16-= - + - + n

na n .

Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy số 0 1 1

0 1 1

2; 2( ),( ) : 11; 2n n n

n nn n n

u u u vu v nv v u v- -

- -

ì = = +ï " ³í = = +ïî.

Giải: Ta có: 1 2 2 1 2 1 22 2 2 2( 2 )n n n n n n n nu u u v u u u u- - - - - - -= + + = + + -

1 24 3n n nu u u- -Þ = - và 1 5u =

Áp dụng kết quả 4, ta có: 1 1

11 3 1 322 2

n nn n n nu v u u

+ +

++ - +

= Þ = - = .

Tương tự ta có kết quả sau:

Dạng 10: Cho dãy 1 1

1 1

( ),( ) : n n n

n nn n n

x px qy x ax y y ry sx y b+

+

ì = + =ïí = + =ïî

. Để xác định CTTQ của hai

dãy ( ),( )n nx y ta làm như sau:

Ta biến đổi được: 1 1( ) ( ) 0n n nx p s x ps qr x+ -- + + - = theo kết quả 4 ta xác định được

nx , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được ny .

Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:



Ta đưa vào các tham số phụ l , 'l1 1

1 1

( )( )'' ( ' )( )'

n n n n

n n n n

q rx y p s x ys pq rx y p s x yp s

ll ll

ll ll

+ +

+ +

ì -- = - -ïï -Þ í +ï + = + +

ï +î

Ta chọn l , 'l sao cho 1 1

1 1

( )( )' ' ( ' )( ' )' '

n n n n

n n n n

q rx y p s x ys p

q r x y p s x ys p

ll l l lll l l ll

l

+ +

+ +

ì -=ï ì - = - -ï ï- Þí í+ + = + +ïï î=

ï +î

1 1 1 1

1 1 1 1

( ) ( )' ( ' ) ( ' )

nn n

nn n

x y p s x yx y p s x y

l l l

l l l+ +

+ +

ì - = - -ïí

+ = + +ïîgiải hệ này ta tìm được ( ) ( ), n nx y .


1

1

1( ) : 2 23 4

n nn

n

uu uu nu

-

-

ì =ïí = " ³ï +î

.

Giải: Ta có 1

1 1

3 41 3 122 2n

n n n

uu u u

-

- -

+= = + . Đặt

1n

nx u= , ta có:

1

1

132 2n n

x

x x -

ì =ïí

= +ïî

. Áp dụng kết quả 1, ta được: 1

15.2 3 2

2 5.2 3n

n n nx u-

-

-= Þ =

-

Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy số 1

1

1

2( ) : 9 24 25 13

n nn

n

uu uu nu

-

-

ì =ï - -í = " ³ï +î

.

Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do, do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt n nu x a= + . Thay vào công thức truy hồi, ta có:

21 1

1 1

9 9 24 ( 9 5 ) 5 22 245 5 13 5 5 13

n nn n

n n

x a a x a ax a xx a x a- -

- -

- - - - - - - -+ = Þ =

+ + + +

Ta chọn 21: 5 22 24 0 2 4a a a a x+ + = Þ = - Þ =



11

11 1

1 3 1 11.3 10 455 3 4 11.3 10n

nn n n

n n n n

xx xx x x x-

--

- -

-Þ = Þ = + Þ = Þ =

+ -

1

122.3 24211.3 10

nn n nu x

-

-

- +Þ = - =

-.

Dạng 11: Cho dãy (xn): 11

1; 2n

nn

pu qu u nru sa -

-

+= = " ³

+. Để tìm CTTQ của dãy (xn)

ta làm như sau: Đặt n nu x t= + , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:

21 1

1 1

( ) ( )n nn

n n

px pt q p rt x rt p s t qx tru rt s rx rt s- -

- -

+ + - - + - += - =

+ + + + (1).

Ta chọn 2: ( ) 0t rt s p t q+ - - = . Khi đó ta chuyển (1) về dạng: 1

1 1n n

a bx x -

= +

Áp dụng kết quả 1, ta tìm được 1nx

, từ đó suy ra n nx uÞ .

Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số 1

1

2( ),( ) : 1n nuu v vì =ïí =ïî

và

2 21 1

1 1

2 22n n n

n n n

u u v nv u v- -

- -

ì = +ï " ³í=ïî

.

Giải:

Ta có: 2 2 2

1 1 1 12

1 1 1 1

2 2 ( 2 )2 2 2 2 ( 2 )n n n n n n n

n n n n n n n

u u v u v u vv u v u v u v

- - - -

- - - -

ìì = + + = +ï ïÞí í= - = -ï ïî î

1 1

1 1

2 21 1

2 21 1

2 ( 2 ) (2 2)2 ( 2 ) (2 2)

n n

n nn n

n n

u v u vu v u v

- -

- -

ì + = + = +ïÞ íï - = - = -î

1 1

1 1

2 2

2 2

1 (2 2) (2 2)21 (2 2) (2 2)

2 2

n n

n n

n

n

u

v

- -

- -

ì é ù= + + -ï ê úï ë ûÞ í é ùï = + - -ê úë ûïî

.



Nhận xét: Từ

21

2 22 211 11 1

1 1 1 1 1

1

222

2 2 2

n

nn n nn n n

n n n n n n n

n

uvu u vu u v

v u v v u v uv

-

-- -- -

- - - - -

-

æ ö+ç ÷ç ÷ì += +ï è øÞ = =í

= æ öïî ç ÷ç ÷è ø

Do vậy nếu ta đặt nn

n

ux v= ta được dãy số 1

21

1

2( ) : 2

2n n

nn

xx xx x

-

-

ì =ï

+í=ï

î

. Ta có bài toán sau:

Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số 1

21

1

2( ) : 2 22

n nn

n

xx xx nx

-

-

ì =ï

+í= " ³ï

î

.

Giải:

Xét hai dãy 1

1

2( ),( ) : 1n nuu v vì =ïí =ïî

và2 2

1 1

1 1

2 22n n n

n n n

u u v nv u v- -

- -

ì = +ï " ³í=ïî

.

Ta chứng minh nn

n

ux v= (*).

· 22

22 2 2un x nv= Þ = = Þ = (*) đúng.

· Giả sử 2 2 2

1 1 1 11

1 1 1 1

2 2 (*)2 2n n n n n

n nn n n n n

u x u v ux xv x u v v- - - -

-- - - -

+ += Þ = = = Þ được chứng minh

Theo kết quả bài toán trên, ta có: 1 1

1 1

2 2

2 2(2 2) (2 2)2(2 2) (2 2)

n n

n nnx- -

- -

+ + -=

+ - -.

Dạng 12: 1) Từ hai ví dụ trên ta có được cách tìm CTTQ của hai dãy số ( ),( )n nu v được xác định

bởi: 2 2

1 1 1

1 1 1

. ; 2 ;

n n n

n n n

u u a v uv v u v

ab

- -

- -

ì = + =ïí

= =ïî (trong đó a là số thực dương) như sau:



Ta có: 2 2 2

1 1 1 1 12

1 1 1 1 1

. ( ( ). 2 . ( ( )

n n n n n n n

n n n n n n n

u u a v u au u aua v a v u u au u au

- - - - -

- - - - -

ìì = + + = +ï ïÞí í= - = -ï ïî î

1 1

1 1

2 2

2 2

1 ( ) ( )21 ( ) ( )

2

n n

n n

n

n

u a a

v a aa

a b a b

a b a b

- -

- -

ì é ù= + + -ï ê úï ë ûÞ í é ùï = + - -ê úë ûïî

.

2) Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy 1

21

1

( ) :2

n nn

n

xx x ax x

a

-

-

ì =ï

+í=ï

î

.

Xét hai dãy 2 2

1 1 1

1 1 1

. ; ( ),( ) : 2 ; 1n n n

n nn n n

u u a v uu v v v u va- -

- -

ì = + =ïí

= =ïî

Khi đó: 1 1

1 1

2 2

2 2( ) ( )( ) ( )

n n

n nn

nn

u a ax av a aa a

a a

- -

- -

+ + -= =

+ + -.

Ví dụ 1.23: Cho dãy 1

21 1

1( ) :

5 24 8 2nn n n

uu

u u u n- -

ì =ïí

= + - " ³ïî. Tìm nu ?

Giải: Ta có: 2 3 49; 89; 881u u u= = = . Giả sử: 1 2n n nu xu yu- -= +

9 89 1089 9 881 1x y xx y y

ì ì+ = =ï ïÞ Ûí í+ = = -ï ïî î. Ta chứng minh: 1 210n n nu u u- -= - 3n" ³

Từ công thức truy hồi của dãy ta có: 2 21 1( 5 ) 24 8n n nu u u- -- = -

2 21 110 8 0n n n nu u u u- -Û - + + = (1) thay n bởi 1n - , ta được:

2 22 2 1 110 8 0n n n nu u u u- - - -- + - = (2) .

Từ 2(1),(2) ,n nu u-Þ là hai nghiệm của phương trình : 2 21 110 8 0n nt u t u- -- + - =

Áp dụng định lí Viet, ta có: 2 110n n nu u u- -+ = .

Vậy ( ) ( )1 16 2 6 25 2 6 5 2 62 6 2 6

n nnu

- -- += - + + .



Dạng 13:

1) Dãy 1

21 1

1( ) :

5 8 2nn n n

uu

u u au n- -

ì =ïí

= + - " ³ïîlà dãy nguyên 24aÛ = .

Thật vậy: 2 5 8 5u a t= + - = + ( 8t a= - Î ¥ ) 2 23 5 ( 8)( 5) 8u t tÞ = + + + -

2 2 23 ( ) ( 8)( 5) 8 ( )u f t t t m mÞ Î Û = + + - = Î¢ ¢ .

Mà 2 2 2 2( 5 4) ( ) ( 5 14)t t f t t t+ + < < + + kết hợp với ( )f t là số chẵn ta suy ra 2 5m t t x= + + với { }6,8,10,12x Î . Thử trực tiếp ta thấy 4 24t a= Þ = .

2) Với dãy số 1

21 1

( ) : 2n

n n n

uu

u au bu c na

- -

ì =ïí

= + + " ³ïî, với 2 1a b- = ta xác định

CTTQ như sau:

Từ dãy truy hồi 2 2 2 21 1 1 1( ) 2 0n n n n n n nu au bu c u au u u c- - - -Þ - = + Û - + - =

Thay n bởi 1n - , ta có: 2 22 1 2 12 0n n n nu au u u c- - - -- + - = 2 12n n nu u au- -Þ + = .

3) Với dãy 1

12

1

( ) : 2nn nn

uuu u n

a cu b

a

-

-

ì =ïïí = " ³ï + +ïî

,trong đó 0; 1aa > > ; 2 1a b- = ta

xác định CTTQ như sau:

Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng: 21 1

1n n n

a bcu u u- -

= + + . Đặt 1

nn

x u=

Ta có 21 1n n nu au bx c- -= + + đây là dãy mà ta đã xét ở trên.


21

2

1( ) : 2 2n n

nn

u uu uu nu

-

-

ì = =ï

+í= " ³ï

î

. Tìm nu ?

Giải:



Ta có: 3 4 53; 11; 41u u u= = = . Ta giả sử 1 2n n nu xu yu z- -= + + .Từ 3 43; 11;u u= =

5 41u = ta có hệ phương trình: 1 2

3 43 11 1 411 3 41 0

n n n

x y z xx y z y u u ux y z z

- -

ì ì+ + = =ï ï

+ + = Û = - Þ = -í íï ï+ + = =î î

Ta chứng minh 1 2

1 2

1( ) : 4 3nn n n

u uu u u u n- -

ì = =ïí = - " ³ïî

· Với 3 2 13 4 3 3n u u u n= Þ = - = Þ = đúng

· Giả sử 1 24k k ku u u- -= - . Ta có:

( )22 2 21 2 1 1 2 2

11 1 1

4 22 16 8 2k kk k k k kk

k k k

u uu u u u uu u u u- - - - - -

+- - -

- ++ - + += = =

2

1 1 2 1 31 2 3

1

16 8 16 8k k k k kk k k

k

u u u u u u u uu- - - - -

- - --

- += = - +

1 2 2 3 14(4 ) (4 ) 4k k k k k ku u u u u u- - - - -= - - - = -

Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm ( ) ( )1 13 1 3 12 3 2 32 3 2 3

n nnu

- -+ -Þ = - + + .



II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ Nhiều dãy số đại số có công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thế lượng giác. Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những công thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau


1

1( ) : 2

2 1 2n

n n

uuu u n-

ì=ï

íï = - " ³î

. Xác định CTTQ của dãy ( )nu .

Giải: Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin

Ta có: 21 2

1 2cos 2 cos 1 cos2 3 3 3u up p p= = Þ = - =

23 4

2 4 82cos 1 cos cos3 3 3u up p pÞ = - = Þ = ....

Ta chứng minh 12cos 3

nnu

p-= . Thật vậy

· Với 2 1

22 22 cos cos3 3n u p p-

= Þ = = (đúng)

· Giả sử 2 1 1

2 21 1

2 2 2cos 2 1 2cos 1 cos3 3 3n n n

n n nu u up p p- - -

- -= Þ = - = - =

Vậy 12cos 3

nnu

p-= 1n" ³ .

Nhận xét: Với dãy số trên ta có thể sử dụng phương pháp thế lượng giác được khi 1 1u £ . Vậy

trong trường hợp 1 1u > thì ta sẽ giải quyết như thế nào ? Khi đó để tìm CTTQ của dãy

số ( )nu ta đặt 11 1( )2u a a= + ( trong đó 0a ¹ và cùng dấu với 1u ).

Khi đó 2 2 42 32 2 4

1 1 1 1 1 1( 2 ) 1 ( ) ( )2 2 2u a a u aa a a

= + + - = + Þ = + ....



Ta chứng minh được 1

12

21 1( ) 12

nnnu a n

a-

-= + " ³ . Trong đó a là nghiệm (cùng dấu

với 1u ) của phương trình : 212 1 0a u a- + = . Vì phương trình này có hai nghiệm có

tích bằng 1 nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau 1 12 2

2 21 1 1 1

1 1 12

n n

nu u u u u- -é ù

æ ö æ öê ú= - - + + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û

.

Ví dụ 2.2: Xác định CTTQ của dãy số 13

1 1

3( ) : 2

4 3 2n

n n n

uuu u u n- -

ì=ï

íï = - " ³î

.

Giải:

Ta có: 2

31 2 3

3 3cos 4 cos 3cos cos 3 cos2 6 6 6 6 6u u up p p p p= = Þ = - = Þ = .....

Bằng quy nạp ta chứng minh được: 13cos 6

nnu

p-= .

Nhận xét:

1) Để tìm CTTQ của dãy 13

1 1( ) : 4 3 2n

n n n

u pu u u u n- -

ì =ïí

= - " ³ïî, ta làm như sau

· Nếu | | 1 0; : cosp pa p aé ù£ Þ $ Î =ë û .

Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : 1cos 3nnu a-= .

· Nếu | | 1p > , ta đặt 11 12u a aæ ö

= +ç ÷è ø

(a cùng dấu với 1u )

Bằng quy nạp ta chứng minh được 1

13

31 12

nnnu a

a-

-

æ ö= +ç ÷ç ÷

è ø.

Hay 1 13 3

2 21 1 1 1

1 1 12

n n

nu u u u u- -é ù

æ ö æ öê ú= - - + + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û

.

2) Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số



13

1 1( ) : 4 3 2n

n n n

u pu u u u n- -

ì =ïí

= + " ³ïî bằng cách đặt 1

1 1( )2u a a= - . Khi đó bằng quy nạp

ta chứng minh được : 1 1

11

3 33 2 2

1 1 1 131 1 1 1 12 2

n nn

nnu a u u u ua

- --

-

é ùæ ö æ ö æ öê ú= - = + + + - +ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ê úè ø è øè ø ë û.


1

3( ) : 2

2 2n

n n

uuu u n-

ì=ï

íï = - " ³î

.

Giải: Đặt 3 cos , ;4 2

pa a pæ ö

- = Î ç ÷è ø

, khi đó :

21 22cos 2(1 2cos ) 2cos2u ua a a= - Þ = - = - .

Bằng quy nạp ta chứng minh được 12 cos2nnu a-= - .


21

12( ) :

2 2 1 22

nn

n

uu

uu n-

ì=ï

ïí

- -ï= " ³ïî

.

Giải:

Ta có:

2

1 2

2 2 1 sin 2(1 cos )1 6 6sin sin2 6 2 2 2.6u up p

p p- - -

= = Þ = = =

Bằng quy nạp ta chứng minh được: 1sin2 .6n nu p

-= .



Ví dụ 2.5: Cho ,a b là hai số thực dương không đổi thỏa mãn a b< và hai dãy ( ),( )n na b

được xác định: 1 1 1

1 11

; .2; 22

n nn n n n

a ba b b aa ba b a b n- -

-

ì += =ïï

í +ï = = " ³ïî

. Tìm na và nb .

Giải:

Ta có: 0 1ab< < nên ta đặt cosa

b a= với 0; 2pa

æ öÎ ç ÷è ø

Khi đó: 21

(1 cos )cos cos2 2 2bb ba baa a++

= = = và 21 . cos cos2 2b bb ba a= =

221 1

2 2

cos cos2 2 cos .cos2 2 2 2

b ba ba ba a

a a++= = = và 2 2cos cos2 2

b b a a= .

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

22cos cos ...cos2 2 2n na b a a a

= và 2cos cos ...cos2 2 2n nb b a a a= .


1

1

3( ) : 2 1 2

1 (1 2)n n

nn

uu uu n

u-

-

ì =ïï

+ -í= " ³ï

+ -ïî

. Tính 2003u (Trích đề thi

Olympic 30 – 4 – 2003 Khối 11).

Giải: Ta có 1

1

tan 8tan 2 18 1 tan 8

nn

n

uu

u

pp

p

-

-

+= - Þ =

-

Mà 1 2

tan tan3 83 tan tan( )3 3 81 tan tan3 8

u up p

p p pp p

+= = Þ = = +

-

Bằng quy nạp ta chứng minh được tan ( 1)3 8nu np pé ù= + -ê ú

ë û.



Vậy 20032002tan tan ( 3 2)3 8 3 4u p p p pæ ö æ ö

= + = + = - +ç ÷ ç ÷è ø è ø

.

Chú ý : Để tìm CTTQ của dãy 1

1

1

( ) : 21n n

nn

u au u bu nbu

-

-

ì =ï +í = " ³ï -î

.

Ta đặt tan ; tana ba b= = , khi đó ta chứng minh được: tan ( 1)nu na bé ù= + -ë û


12

1

3( ) : 2

1 1nn

nn

uuu u n

u-

-

ì =ïïí = " ³ï

+ +ïî

.

Giải: Ta có: 21 1

1 1 11n n nu u u- -

= + + . Đặt 1

nn

x u= khi đó ta được dãy ( )nx được xác

định như sau: 21 1 1

1 và 13 n n nx x x x- -= = + + .

Vì 21 2

1 cos1 3cot cot 1 cot cot3 3 3 2.33 sin 3

x xp

p p p pp

+= = Þ = + + = =

Bằng quy nạp ta chứng minh được: 1 1cot tan 1,2,...2 .3 2 .3n nn nx u np p

- -= Þ = " =



III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH Trong mục này chúng tôi sử dụng một số kiến thức của toán cao cấp để xây dựng một phương pháp xác định CTTQ của dãy số. Phương pháp này đưa vòa chỉ mang tính chất tham khảo, đó là phương pháp hàm sinh. Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng các kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt là công thức Taylor). Trước hết ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1: Cho dãy số 0 1 2, , ,..., ,...na a a a .

Chuỗi hình thức 20 1 2( ) ... ...n

nA x a a x a x a x= + + + + + gọi là hàm sinh của dãy ( )na

Ta gọi đó là chuỗi hình thức vì ta không xét đến tính hội tụ hay tính giá trị của chuỗi mà ta chỉ xem đó như là một cách viết thuận tiện vậy. Ta đưa vào một số phép toán trên các chuỗi để xác định các hệ số cho các lũy thừa biến x .

Định nghĩa 2: Với hai chuỗi bất kì 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + + và chuỗi

20 1 2( ) ... ...n

nB x b b x b x b x= + + + + + . Ta định nghĩa:

) a Phép cộng: 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ...nn nA x B x a b a b x a b x+ = + + + + + + +

) b Phép nhân với một số: 0 1. ( ) ... ...nnk A x ka ka ka x= + + + +

) c Tích hai chuỗi: 0 1( ). ( ) ... ...nnA x B x c c x c x= + + + +

với 0 1 1 00

...k

k k k k i k ii

c a b a b a b a b- -=

= + + + = å .

Trong phương pháp này ta thường hay sử dụng công thức khai triển Newton mở rộng

sau: ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 1 ... 1 ... 1 ...2 !nx xx x n n

aa a a a a a+ = + + - + + - - + +

Với a là một số hữu tỉ, 0a ¹ . Ta xét một số trường hợp đặc biệt.

1a· = -2 31(1 ) 1 2 3! ... ( 1) ! ...1 2! 3! !

nnx x xx x nx n

aÞ + = = - + - + + - ++

2 31 ... ( 1) ...n nx x x x= - + - + + - +

Từ đây 1 2(1 ) 1 ... ...nx x x x-Þ - = + + + + +

1 2a· =1 2 32 1 1 1 1 1 3 1 1 3 2 3(1 ) 1 . ... ( 1) ... ..2 2 2 2 2 2 2 3! 2 2 2 2 !

nnx x n xx x n

-Þ + = + - + - - - -

2 3

2 31.3.5..(2 3)1 1 1.31 ... ( 1) ...2 2! 3! !2 2 2

nn

nnx x xx n-

= + - + - - - -



1 22

21.3.5...(2 3)1 1(1 ) 1 ... ...2 2! !2 2

n

nnx xx x n-

Þ - = - - - - +

1 2a· = -1 2 32 1 1 3 1 3 5 1 3 2 1(1 ) 1 ... ( 1) ... ..2 2 2 2 2 2 2 3! 2 2 2 !

nnx x n xx x n

- -Þ + = - + - + + - +

2

21.3.5...(2 1)1 1.31 ... ( 1) ...2 2! !2 2

nn

nnx xx n-

= - + + + - +

1 22

21.3.5...(2 1)1 1.3(1 ) 1 ... ...2 2! !2 2

n

nnx xx x n

- -Þ - = + + + + +

Tư tưởng sử dụng hàm sinh để tìm CTTQ của dãy số có thể tóm tắt như sau Để tìm CTTQ của dãy ( )na , ta xét hàm sinh ( )A x của dãy ( )na . Khi đó do tính chất của

dãy ( )na nên ( )A x phải thỏa mãn một số hệ thức nhất định. Giải các hệ thức đó ta tìm

được ( ) ( )A x f x= trong đó ( )f x là một hàm số chứa các biểu thức số học (cộng, trừ

nhân, chia, lũy thừa,...), ta tìm cách khai triển ( )f x thành chuỗi và so sánh hệ số của nx

ta tìm được na .


1 1

1; 3( ) : 5 6 0 2nn n n

a aa a a a n- -

ì = - =ïí - + = " ³ïî

. Tìm CTTQ của dãy ( )na .

Giải: Xét ( )A x là hàm sinh của dãy ( )na .

Khi đó: 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + +

2 10 1 15 ( ) 5 5 ... 5 5 ...n n

n nxA x a x a x a x a x +-Þ = + + + + +

2 2 3 1 20 1 2 16 ( ) 6 6 ... 6 6 6 ...n n n

n n nx A x a x a x a x a x a x+ +- -= + + + + + +

2 20 1 0 2 1 0

1 2

( ) 5 ( ) 6 ( ) ( 5 ) ( 5 6 ) ... ( 5 6 ) ... n

n n n

A x xA x x A x a a a x a a a xa a a x- -

Þ - + = + - + - + + +

+ - + +

Vì 15 6 0 2n n na a a n-- + = " ³ .

228 1 8 1(1 5 6 ) ( ) 1 8 ( ) (2 1)(3 1)6 5 1x xx x A x x A x x xx x- -

Þ - + = - + Þ = =- -- +

Ta có: 6(3 1) 5(2 1)8 1 5 6

(2 1)(3 1) (2 1)(3 1) 1 3 1 2x xx

x x x x x x- - --

= = -- - - - - -

Mà 1 2 21 (1 3 ) 1 3 3 ... 3 ...1 3n nx x x xx

-= - = + + + + +-



1 2 21 (1 2 ) 1 2 2 ... 2 ...1 2n nx x x xx

-= - = + + + + +-

( ) 1 (5.3 6.2) ... (5.3 6.2 ) ...n n nA x x xÞ = - + - + + - +

Vậy 5.3 6.2n nna = - .

Ví dụ 3.2: Tìm CTTQ của dãy số 0 1a = và 0 1 1 0... 1n n na a a a a a-+ + + = 1n" ³ .

Giải: Xét ( )A x là hàm sinh của dãy ( )na .

Khi đó: 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + +

Ta có: 20 1 0 0 1 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ... ( ... ) ...n

n n nA x A x a a a a a x a a a a a a x-= + + + + + + + +

2 11 ... ... (1 )nx x x x -= + + + + + = - 1 22

21.3.5...(2 1)1 1.3( ) (1 ) 1 ... ...2 2! !2 2

n

nnx xA x x x n

- -Þ = - = + + + + +

Vậy 1.3.5...(2 1)

2 . !n nna

n-

= .

Ví dụ 3.3: Tìm CTTQ của dãy số: 0 0 1 1 2 1 01; ... 1n n n na a a a a a a a n- - -= = + + + " ³ .

Giải: Ta có 0 1 1a a= =

Xét ( )A x là hàm sinh của dãy ( )na .

Khi đó: 0 1( ) ... ...nnA x a a x a x= + + + +

Ta có: 20 1 0 0 1 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ... ( ... ) ...n

n n nA x A x a a a a a x a a a a a a x-= + + + + + + + +

21 2 3 1... ...n

na a x a x a x+= + + + + + 2 2 2

1 2 0( ) ( ... ...) ( ( ) ) ( )nnx A x x a x a x a x x A x a xA x xÞ = + + + + = - = -

( )2( ) ( ) 0xA x xA x xÛ - + = . Giải phương trình này đối với ( )xA x , ta được:

1 1 4( ) 2xxA x ± -

= .

Ta có: 1 2 22

21.3.5...(2 3)4 1 4 41 4 (1 4 ) 1 ... ...2 2! !2 2

nn

nnxx x x xn-

- = - = - - - - -



Þhệ số của kx trong khai triển thành chuỗi lũy thừa của 1 4x- bằng:

1.3.5...(2 3).2 0 ( )!kk xA xk

-- < Þ không thể bằng

1 1 42

x+ - vì các hệ số của kx

trong ( )xA x là các số nguyên dương. Do đó: 1 1 4( ) 2

xxA x - -=

22 2 .1.3.5...(2 3)1 2 2( ) ... ...2 1! 2! !

nnnxA x x x xn

é ù-Þ = + + + +ê ú

ê úë û

22 2 .1.3...(2 1)2 2 .1.3( ) 1 ... ...2! 3! ( 1)!

nnnA x x x xn

-Þ = + + + + +

+

Vậy 2 .1.3...(2 1) 2 .1.2.3.4...(2 1)2

( 1)! ( 1)!.2.4.6...2n n

nn n na n n n- -

= =+ +

22 .(2 )! 1

1( 1)!. !.2n

nnn

n Cnn n= =

++.

Chú ý : na ở bài toán trên ta thường gọi là số catalan .



IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ

BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP Trong mục này chúng tôi đưa ra một số ví dụ các bài toán về dãy số và tổ hợp mà quá trình giải các bài toán đó chúng ta vận dụng một số kết quả ở trên.

Ví dụ 4.1: Cho dãy số nguyên 1 2( ) : 2; 7nu u u= = và 2

1

2

1 12 2

nn

n

uu u-

-

- < - £ (2).

Chứng minh nu lẻ 2n" ³ .

Giải:

Từ giả thiết, ta có: 2 2

1 1

2 2

1 12 2

n nn

n n

u uuu u- -

- -

- < £ + . Vì trên khoảng2 2

1 1

2 2

1 1;2 2n n

n n

u uu u

- -

- -

æ ùç ú- +ç úè û

(có độ dài bằng 1) có duy nhất một số nguyên nên dãy đã cho xác định là duy nhất. Ta có: 3 425; 89u u= = . Ta giả sử 1 2n n nu xu yu- -= + .

Từ 3 425; 89u u= = ta có hệ: 7 2 25 325 7 89 2x y xx y y

ì ì+ = =ï ïÛí í+ = =ï ïî î.

Ta chứng minh dãy 1 2

1 2

2; 7( ) : 3 2 3nn n n

v vv v v v n- -

ì = =ïí = + " ³ïî

thỏa mãn (2)

Thật vậy, ta có: 2 2

1 2 1

2 2

.n n n nn

n n

v v v vv v v- - -

- -

-- = .

Từ công thức truy hồi của dãy ta có được 2 2nnv n> " ³ (a). Mặt khác:

22 1 2 1 2 1 2 3(3 2 ) (3 2 )n n n n n n n n nv v v v v v v v v- - - - - - - -- = + - +

2 3 2 31 3 2 3 1 22( ) ... ( 2) ( ) ( 2)n n

n n nv v v v v v- -- - -= - - = = - - = - (b)

Từ (a) và (b) ta suy ra: 2

1

2

1 12 2

nn

n

vv v-

-

- < - £ .

1 2

1 2

2; 7( ) : 3 2 2nn n n

u uu u u u n- -

ì = =ïÞ í = + " ³ïî. Từ công thức truy hồi của dãy ( )nu ta thấy nu

là số nguyên lẻ 2n" ³ .



Ví dụ 4.2: Cho dãy số 0 1 1 1( ) : 0, 1, 2 1 1n n n na a a a a a n+ -= = = - + " ³ . Chứng minh

rằng 24 1n nA a a += + là số chính phương.

Giải: Từ công thức truy hồi của dãy ta thay 1n + bởi n ta được:

1 11 1 2

1 2

2 1 3 3 02 1n n n

n n n nn n n

a a a a a a aa a a+ -

+ - -- -

ì = - +ï Þ - + - =í = - +ïî.

Xét phương trình đặc trưng 3 23 3 1 0 1l l l l- + - = Û =

2( )na n na b gÞ = + + , do 0 1 210, 1, 3 0, 2a a a a b g= = = Þ = = = .

2 2 21 ( ) ( 1)( 2)( 3) ( 3 1)2na n n A n n n n n nÞ = + Þ = + + + = + + Þđpcm.

Ví dụ 4.3: Cho dãy số 1 2 1 1( ) : 7, 50; 4 5 1975 2n n n nx x x x x x n+ -= = = = - " ³ .

Chứng minh rằng 1996 1997x M (HSG Quốc Gia – 1997 )

Giải: Vì 1975 22(mod1997)- = do đó ta chỉ cần chứng minh dãy

1 14 5 22 1997n n nx x x+ -= + + M

Đặt 1 1 1 1(4 5 22) 4( ) 5( ) 22 8n n n n n ny ax b a x x b ax b ax b a b+ + - -= + = + + + = + + + + -

14 5 22 8n ny y a b-= + + - .

Ta chọn a, b sao cho: 22 8 0a b- = , ta chọn 4 11a b= Þ = .

1 1 1 2 1 14 11 39, 211; 4 5n n n n ny x y y y y y+ + + -Þ = + Þ = = = +

Từ đây ta có được: 1996

19968( 1) 25.5 8 25.5

3 3n n

ny y- + += Þ = .

Vì 199619968 25.5 1 1 0(mod3) y+ º - + = Þ Î ¢

Theo định lí Fecma 199619965 1(mod1997) 11(mod1997)yº Þ º

1996 19964 11 11(mod1997) 0(mod1997)x xÞ + º Þ º .

Nhận xét: Từ bài toán trên ta có kết quả tổng quát hơn là: 1px p- M với p là số nguyên tố

lẻ.



Ví dụ 4.4: Cho dãy số 0 1

1 1

20; 100( ) : 4 5 20 2nn n n

u uu u u u n+ -

ì = =ïí = + + " ³ïî

.Tìm số nguyên dương

h bé nhất sao cho: 1998 *n h nu u n+ - " ÎM ¥ (HSG Quốc Gia Bảng A – 1998 ).

Giải:

Đặt 2 5n na u= + , ta có dãy 0 1

1 1

45; 205( ) : 4 5 2nn n n

a aa a a a n+ -

ì = =ïí = + " ³ïî

10 125 125 5 5( 1) .5 .5 ( 1)3 3 6 3 2n n n n

n na uÞ = - + Þ = + - - .

Vì 2( ) 1998 2.1998n h n n h n n h n n h na a u u u u a a+ + + +- = - Þ - Û -M M 2 32 .3 .37=

Mà ( 1) .10 125.5( 1) 1 (5 1)3 3

n nh h

n h na a+- é ù- = - - + -ë û

· Nếu h chẵn

5 1 4125.5 (5 1) 4.27.37 5 1 813

5 1 37

hn

h hn h n

ha a+

ì -ïïÞ - = - Û -íï -ïî

MM M

M (*)

Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 5 1 37k - M . Vì 365 1 37 36 k- ÞM M

{ }1,2,3,4,12,18,36kÞ Î thử trực tiếp ta thấy chỉ có 36k = thỏa mãn

5 1 37 36 (1)h hÞ - ÞM M

Chứng minh tương tự, ta cũng có: 5 1 81 (81) 54 (2)h h j- Þ =M M

Từ (1) và (2) ta suy ra (*) 36,54 108 108h hé ùÛ = Þ ³ë ûM .

· Nếu h lẻ: Vì (mod 1998)n h nu u+ º

Nên ta có: 0

1 1

20(mod1998)100(mod1998)

h

h

u uu u+

ì º ºïí º ºïî

1 15 4 20 0(mod1998)h h hu u u- +Þ º - - º

1 0(mod1998)hu -Þ M

Vì h lẻ 1hÞ - chẵn 125 25.56 6

hhuÞ = - và 1

1125 5.56 6

hhu -- = -

15 0(mod1998)h hu u -Þ º º mâu thuẫn với 20(mod1998)hu º .

Với 108h = ta dễ dàng chứng minh được (mod1998) 1n h nu u n+ º " ³ .

Vậy 108h = là giá trị cần tìm.



Ví dụ 4.5: Cho dãy 0 12 1( ) : 2; 2

nn n

n

xx x x x+

+= =

+

1) Tính 2000 ?x

2) Tìm phần nguyên của 2000

1i

iA x

=

= å (Olympic 30 – 4 – 2000 khối 11 ).

Giải: Ta có: 11

1 1 31 12 1 1n

nn n n

xx x x x++

-- = Þ = +

+ - -. Đặt 0

1 11nn

a ax= Þ =-

và

11 1

3 1 23 1 12 3 1n

n n n n na a a x+

+ +

-= + Þ = Þ = +

-.

a) Ta có:2001

2000 20013 13 1

x +=

-

b) Ta có: 2000 2000

11 1

1 2 12000 2 2000 2000 200133 1 3i ii iA A

+= =

= + Þ < < + <-

å å

Vậy [ ] 2000A = .


1 1(2 cos2 ) cos( ) : 1; (2 2cos2 ) 2 cos2

nn n

n

xx x x xa aa a+

+ += =

- + -.

Đặt 1

1 12 1n

ni i

y nx=

= " ³+å . Tìm a để dãy số ( )ny có giới hạn hữu hạn và tìm giới

hạn đó. ( HSG Quốc Gia Bảng A – 2004 ). Giải:

Ta có 2

21

1

1 2 sin 1 1 1 1(1 )sin2 1 3 3(2 1) 2 1 3 3n nn n nx x x

a a-

+

= + Þ = + -+ + +

2 211 1 1

1 1 1 1 1 3 1sin (1 ) (1 ) [ (1 )]sin2 1 2 23 3 3 3n n n

n i i n ni i iiy nx a a

-= = =

Þ = = + - = - + - -+å å å

Vì 1lim 03n = nên dãy ( )ny có giới hạn hữu hạn sin 0 ka a pÛ = Û =

Khi đó 1lim 2ny = .



Ví dụ 4.7: Cho hai dãy 1

1

1( ),( ) : 1n nxx y yì = -ïí =ïî

và 2 2

12 2

1

3 2 82 3 2

n n n n n

n n n n n

x x x y yy x x y y

+

+

ì = - - +ïí

= + -ïî 1n" ³ .

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p px y+ không chia hết cho p . (TH&TT – 327 )

Giải:

Ta có: 12 2

1 1 1 12 ( 2 ) ... ( 2 ) 1nn n n nx y x y x y -

- -+ = + = = + = (1)

Giả sử có một số tự nhiên k để 12 0k k ky x y += Þ = . Khi đó, ta có:

22 1

2

31

k k

k

x xx

+ +

+

ì = -ïí

=ïî vô lí. Vậy 1 (2 )( 2 ) 0 n n n n ny x y x y n+ = - + ¹ " .

Suy ra : 1

1

(3 4 )( 2 ) 3 4(2 )( 2 ) 2

n n n n n n n

n n n n n n n

x x y x y x yy x y x y x y

+

+

- + - += - =

- + -.

Đặt 11 1 1

1

3 41; 2 1n n

n nn n

x aa a ay a+

+ ++

- += Þ = - =

-

11

1

2 1 2( 5)1 5 12 22 1 2 2 2 3n

nn

n n n n

aa a a a a-

++

+ + -Þ + = Þ = - Þ =

- + + +

1

11 4.( 5)1 2.( 5)

nn

n nn

xa y-

-

- -Þ = =

+ - (2)

Từ (1) và (2) 1 1 11 4.( 5) 1 2.( 5) 2 2( 5);3 3 3

n n nn n n nx y x y

- - -- - + - - -Þ = = Þ + = .

* Nếu 2 22 4 2 2p x y p= Þ + = Þ =M không thỏa yêu cầu bài toán.

* Nếu 3 33 16p x y= Þ + = - không chia hết cho 3 3pÞ = thỏa yêu cầu bài toán.

* Nếu 5p = ta thấy cũng thỏa yêu cầu bài toán.

* Nếu 15 ( 5) 1(mod ) 0(mod )pp pp p x y p-> Þ - º Þ + º

Vậy 3, 5p p= = là hai giá trị cần tìm.


1

1

23( ) :

22(2 1) 1n n

nn

uu uu nn u

-

-

ì=ïï

íï = " ³

- +ïî

. Tính tổng của 2001 số

hạng đầu tiên của dãy ( )nu (HSG Quốc Gia – 2001 ).



Giải:

Ta có: 1

1 1 4 2n n

nu u -

= + - (1). Đặt 1 ( )nn

x n an bu = + + thay vào (1) ta được:

2 21 ( 1) ( 1) 4 2n nx an bn x a n b n n-+ + = + - + - + -

1 ( 2 4) 2n nx x a n a b-Þ = + - + + - - . Ta chọn 2;a b b= =

21

(2 1)(2 1)1 1 1 22 2 2nn

n nx x nu- +

Þ = = - Þ = - + =

2 1 1(2 1)(2 1) 2 1 2 1nu n n n nÞ = = -

- + - +

2001 2001

1 1

1 1 1 400212 1 2 1 4003 4003ii i

u i i= =

æ öÞ = - = - =ç ÷- +è øå å .

Ví dụ 4.9: Cho hai dãy số ( );nx ( )ny xác định : 1

1

33

xyì =ïí

=ïî và

21 1

1

1

1

1 1

n n n

nn

n

x x xyy

y

- -

-

-

ì = + +ïïí

=ï+ +ïî

2n" ³ . Chứng minh rằng 2 3 2n nx y n< < " ³ . (Belarus 1999).

Giải:

Ta có: 21 2

cos 163 cot cot 1 cot cot6 6 6 2.6sin 6

x xp

p p p pp

+= = Þ = + + = =

Bằng quy nạp ta chứng minh được: 1cot2 .6n nx p

-= .

Theo kết quả của ví dụ 7 mục II, ta có: 1tan2 .3n ny p

-=

Đặt cot ; tan2 . tan2 .cot2 .3n n n n n n n n nn x y x ypa a a a a= Þ = = Þ =

Đặt 2 22 1 2tan tan2 .cot .

1 1n n ntt tt t

a a a= Þ = =- -

.

Vì 21 22 0 0 tan 1 16 6 33nn t tp pa³ Þ < < Þ < < = Þ £ - <



222 3 2 3 2

1 n nx y nt

Þ < < Þ < £ " ³ Þ-

đpcm.


2

1

| | 1( ) : 3 3 22

n n nn

xx x xx n+

ì <ïí - + -ï = " ³î

.

1) Cần có thêm điều kiện gì đối với 1x để dãy gồm toàn số dương ?

2) Dãy số này có tuần hoàn không ? Tại sao ? (HSG Quốc Gia 1990).

Giải:

Vì 1| | 1x < nên tồn tại 1; : sin2 2 xp pa aæ ö

Î - =ç ÷è ø

. Khi đó:

21 3sin cos sin( )2 2 3x pa a a= - + = -

31 3sin( ) | cos( ) |2 3 2 3x p pa a= - - + - .

· Nếu 3 sin6 2 xp pa a- £ < Þ =

· Nếu 32sin( )2 6 3xp p pa a- < < - Þ = - .

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

) i Nếu 6 2p pa- £ < thì:

sin khi 2 1

sin( ) khi 23n

n kx

n k

ap a

ì = +ï= í

- =ïî

) ii Nếu 2 6p pa- < < - thì:

2sin( ) khi 2 13 1sin( ) khi 23

nn k

x kn k

pa

p a

ì- = +ïï= " ³í

ï - =ïî

.

1) Dãy gồm toàn số dương

sin 0 0 2 0sin 0 33 6 3

pa a pap p pa a

ìì > < <ïï ïÛ Û Û < <æ öí í- >ç ÷ï ï- £ <è øî ïî

Vậy 130 2x< < là điều kiện cần phải tìm.

2) Dựa vào kết quả trên ta có:



· Nếu 11sin sin 3 6 2xp pa a a

æ ö= - Û = Û =ç ÷

è ø. Khi đó từ (1) ta có được

1 2 ... ... ( )n nx x x x= = = = Þ là dãy tuần hoàn.

· Nếu 1

1

1 1212

x

x

ì- £ <ïïíï ¹ïî

thì dãy số có dạng 1 2 1 2, , , ,....x x x x

· Nếu 111 2x- < < - thì dãy số có dạng 1 2 3 2 3, , , , ....x x x x x

Ví dụ 4.11: Tính tổng 1 3 5 .. 2 1nS n= + + + + - , với n là số tự nhiên 1n ³ .

Giải: Ta có: 1 1S = và 1 2 1n nS S n-- = - . Áp dụng nhận xét (1), ta đặt :

( )n nS x n an b= + + , thay vào (1), ta được:

1 ( ) ( 1) ( 1) 2 1n nx x n an b n a n b n-é ù- + + - - - + = -ë û

1 2 2 1n nx x an b a n-Þ - + + - = - Þ ta chọn 1; 0a b= = 2

1 1... 0n n nx x x S n-Þ = = = = Þ = .

Ví dụ 4.12: Tính tổng 2 2 2 21 2 3 ...nS n= + + + + với n là số tự nhiên 1n ³ .

Giải: Ta có 1 1S = và 21n nS S n-- = (2). Sử dụng nhận xét 1, ta đặt

2( )n nS x n an bn c= + + + . Thay vào (2) ta được:

2 2 21 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)n nx x n an bn c n a n b n c n-

é ù- + + + - - - + - + =ë û

2 21 3 (3 2 )n nx x an a b n a b c n-Þ - + - - + - + =

Ta chọn

133 11, , : 3 2 0 20 16

aa

a b c a b ba b c

c

ì=ïì = ïï ï- = Û =í í

ï ï- + =î ï =ïî

.

21 1

(2 1)( 1)1 1 1... 0 3 2 6 6n n nn n nx x x S n n n-

æ ö + +Þ = = = = Þ = + + =ç ÷

è ø.



Ví dụ 4.13: Tính tổng 1.2.3 2.3.4 ... ( 1)( 2)nS n n n= + + + + + 1n" ³ .

Giải: Ta có: 1 6S = và 1 ( 1)( 2)n nS S n n n-- = + + 2n" ³ .

Do 4 4 3 31 1( 1)( 2) ( 1) ( 1)4 2n n n n n n né ù é ù+ + = + - + + - -ë û ë û

2 21 1( 1) ( 1)4 2n n n né ù é ù- + - - + -ë ûë û .

Đặt 4 3 21 1 1 1( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)4 2 4 2f n n n n n= + + + - + - +

1 1( ) ( 1) ... (1) 0n nS f n S f n S f-Þ - = - - = = - =

( 1)( 1)( 3)( ) 4nn n n nS f n + + +

Þ = = .

Ví dụ 4.14: Trong mp cho n đường thẳng, trong đó không có ba đường nào đồng quy và đôi một không cắt nhau. Hỏi n đường thẳng trên chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền ? Giải: Gọi na là số miền do n đường thẳng trên tạo thành. Ta có: 1 2a = .

Ta xét đường thẳng thứ 1n + (ta gọi là d ), khi đó d cắt n đường thẳng đã cho tại n điểm và bị n đường thẳng chia thành 1n + phần đồng thời mỗi phần thuộc một miền của na . Mặt khác với mỗi đoạn nằm trong miền của na sẽ chia miền đó thành 2 miền,

nên số miền có thêm là 1n + . Do vậy, ta có: 1 1n na a n+ = + +

Từ đây ta có: ( 1)1 2n

n na += + .

Chú ý : Với giả thiết ở trong ví dụ trên nếu thay yêu cầu tính số miên bằng tính số đa

giác tạo thành thì ta tìm được: ( 2)( 1)

2nn na - -

= .

Ví dụ 4.15: Trong không gian cho n mặt phẳng, trong đó ba mặt phẳng nào cũng cắt nhau và không có bốn mặt phẳng nào cùng đi qua qua một điểm. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền ? Giải: Gọi nb là số miền do n mặt phẳng trên tạo thành

Xét mặt phẳng thứ 1n + (ta gọi là ( )P ). Khi đó ( )P chia n mặt phẳng ban đầu theo n



giao tuyến và n giao tuyến này sẽ chia ( )P thành ( 1)1 2

n n ++ miền, mỗi miền này nằm

trong một miền của nb và chia miền đó làm hai phần.Vậy 2

12

2n nn nb b+

+ += + .

Từ đó, ta có: 2( 1)( 6)6n

n n nb + - += .

Ví dụ 4.16: Trong một cuộc thi đấu thể thao có m huy chương, được phát trong n ngày

thi đấu. Ngày thứ nhất, người ta phất một huy chương và 17 số huy chương còn lại.

Ngày thứ hai, người ta phát hai huy chương và 17 số huy chương còn lại. Những ngày

còn lại được tiếp tục và tương tự như vậy. Ngày sau cùng còn lại n huy chương để phát . Hỏi có tất cả bao nhiêu huy chương và đã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967). Giải: Gọi ka là số huy chương còn lại trước ngày thứ k 1a mÞ = , khi đó ta có:

1

16 6 6 ( 36) 6 427 7 7

k

k k kka a a m k

-

+æ ö

= - Þ = - - +ç ÷è ø

16 ( 36) 6 427

n

na n m n-

æ öÞ = = - - +ç ÷

è ø

1736 7( 6) 6

nm n

-æ ö

Þ - = - ç ÷è ø

Vì ( )6,7 1= và 16 6n n- > - nên ta có 6 0 6 36n n m- = Û = Þ = .

Vậy có 36 huy chương được phát và phát trong 6 ngày. Ví dụ 4.17: Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài n trong đó không có hai bit 1 đứng cạnh nhau?

Giải: Gọi nc là số xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài. Ta có 1 2c = ;

2 3c = .

Xét xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu bài có dạng 1 2 2 1......n n na a a a a- - .

Có hai trường hợp · 1na = . Khi đó 1 0na - = và 2 2 1......na a a- có thể chọn là một xâu bất kỳ độ dài 2n -

thỏa điều kiện. Có 2nc - xâu như vậy, suy ra trường hợp này có 2nc - xâu.



· 0na = . Khi đó 1 2 1......na a a- có thể chọn là một xâu bất kỳ độ dài 1n - thỏa điều

kiện. Có 1nc - xâu như vậy, suy ra trường hợp này có 1nc - xâu.

Vậy tổng cộng xây dựng được 1 2 n nc c- -+ xâu, hay 1 2n n nc c c- -= + . 1 1

5 2 1 5 2 5 1 52 25 5

n n

nc- -

æ ö æ ö- - - +Þ = +ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷è ø è ø

.

Ví dụ 4.18: Cho số nguyên dương n . Tìm tất cả các tập con A của tập

{ }1,2,3,...,2X n= sao cho không tồn tại hai phần tử ,x y AÎ thỏa mãn: 2 1x y n+ = +

(Thụy Sỹ 2006). Giải: Để giải bài toán này ta sẽ đi đếm số tập con A của X thỏa mãn luôn tôn tại hai phần tử ,x y AÎ sao cho 2 1x y n+ = + (ta gọi tập A có tính chất T ).

Gọi na là số tập con A của tập { }1,2,...,2n có tính chất T

Khi đó các tập con { }1,2,...,2 ,2 1,2 2A n n nÌ + + xảy ra hai trường hợp.

TH1: Trong tập A chứa hai phần tử 1 và 2 2n + , trong trường hợp này số tập A có tính

chất T chình bằng số tập con của tập gồm 2n phần tử { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + và số tập

con của tập này bằng 22 n . TH2: Trong tập A không chứa đầy đủ hai phần tử 1 và 2 2n + . Khi đó A phải chứa

một tập 'A là tập con của tập { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + sao cho có hai phần tử ', ' ' :x y AÎ

' ' 2 3x y n+ = + . Ta thấy số tập con 'A như trên chính bằng số tập con của tập

{1,2,...,2 }n có tính chất T (Vì ta trừ các phần tử của { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + đi một đơn

vị ta được tập {1,2,...,2 }n và ', ' ' :x y AÎ ' ' 2 1x y n+ = + ) Hơn nữa với mỗi tập 'A ta có được ba tập A (bằng cách ta chọn A là 'A hoặc {1} 'AÈ hoặc {2 2} 'n A+ È )

Do vậy: 21 3 2 4 3n n n

n n na a a+ = + Þ = -

Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 3n nna- = .



Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm CTTQ của các dãy số sau

1) 1 2 1 11; 0, 2 1, 2n n nu u u u u n n+ -= = - + = + ³

2) 1 2 1 10; 0, 2 3.2 , 2nn n nu u u u u n+ -= = - + = ³

3) 1 2 1 10; 0, 2 3 2 , 2nn n nu u u u u n n+ -= = - - = + ³

4) 1 2 3 1 2 30, 1, 3, 7 11. 5. , 4n n n nu u u u u u u n- - -= = = = - + ³

5) 13 2

1 1 1

36

24 12 6 15 6 2n n n n

u

u u u u n- - -

ì=ï

íï = - + - " ³î

.

6) 1

1

1

33

2 3 21 ( 3 2)

nn

n

uuu n

u-

-

ì=ï

ïí + -ï = " ³ï - -î

.

Bài 2: Cho dãy số { }nb xác định bởi : ( )1 2

1 2

2. 31, 2

n n nb b b n N nb b

- -ì = +ï Î ³í

= =ïî

Chứng minh rằng 5 ,2

n

nb n Næ ö£ " Îç ÷è ø

Bài 3: Cho dãy số { }nu thoả mãn như sau : 0 1

1 2

,1, 910. , 2

n

n n n

u Z Nu uu u u n N n

+

- -

ì Î "Îï

= =íï = - " Î ³î

Chứng minh : , 1k N k" Î ³ .

2 21 11) 10 . 8k k k ku u u u- -+ - = -

12) 5. 4k ku u -- M và 23. 1 2ku - M



Bài 4: Cho dãy số nx xác định như sau: 0 1

1 2

1; 02 2 2n n n

x xx x x n- -

ì = =ïí - + = " ³ïî

.

Xác định số tự nhiên n sao cho : 1 22685n nx x+ + = .

Bài 5: Cho dãy ( )nx được xác định bởi 0 1

1 1

1; 56 1n n n

x xx x x n+ -

ì = =ïí = - " ³ïî

.

Tìm { }lim 2n nx x (TH&TT T7/253).

Bài 6: Xét dãy 11( ) : 2na a = và

11 2

2 21

1 (1 ) 12n

naa n+

æ öç ÷- -

= " ³ç ÷ç ÷ç ÷è ø

.

Chứng minh rằng: 1 2 2005... 1,03a a a+ + + < (TH&TT T10/335).

Bài 7: Cho dãy 20 1( ) : 2; 4 15 60 1n n n na a a a a n+= = + - " ³ . Hãy xác định CTTQ

của na và chứng minh rằng số 21 ( 8)5 na + có thể biểu diễn thành tổng bình phương của

ba số nguyên liên tiếp với 1n" ³ (TH&TT T6/262).

Bài 8: Cho dãy số { }( )p n được xác định như sau: (1) 1;p =

( ) (1) 2 (2) ... ( 1) ( 1)p n p p n p n= + + + - - 2n" ³ . Xác định ( )p n (TH&TT T7/244).

Bài 9: Xét dãy 13 2

1

2( ) : 3 2 9 9 3 2n

n n

uu u u n n n n-

ì =ïí

= + - + - " ³ïî. Chứng minh rằng

với mỗi số nguyên tố p thì 1

12000

pi

iu

-

=å chia hết cho p (TH&TT T6/286).

Bài 10: Dãy số thực 02

1( ) : 2 1 0n

n n

x ax x x n+

ì =ïí

= - " ³ïî.

Tìm tất cả các giá trị của a để 0 0nx n< " ³ (TH&TT T10/313).

Bài 11: Dãy số 0 11( ) : 1, 2nx x x= = và 1

21 1

.2002 2001 2000

n nn

n n n n

x xx x x x x+

++ +

=+ +

0n" ³ . Hãy tìm CTTQ của nx (TH&TT T8/298).



Bài 12: Cho dãy số ( )na được xác định như sau: 1

1

1

12( ) :

12 1n n

nn

aa aa nna

-

-

ì=ïï

íï = " ³

+ïî

.

Tính tổng 1 2 1998...a a a+ + + .

Bài 13: Cho dãy số ( )na được xác định bởi :

1 21.2.3, 2.3.4, ...,a a= = ( 1)( 2)na n n n= + + .

Đặt 1 2 ...n nS a a a= + + + . Chứng minh rằng 4 1nS + là số chính phương .

(HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B ) Bài 14: Cho hai dãy số ( ),( )n na b được xác định như sau: 0 02; 1a b= = và

1 1 12 , 0n n

n n n nn n

a ba b a b na b+ + += = " ³+

.

Chứng minh rằng các dãy ( )na và ( )nb có cùng một giới hạn chung khi n ® +¥ .

Tìm giới hạn chung đó. ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2) Bai 15: Cho các số nguyên ,a b . Xét dãy số nguyên ( )na được xác định như sau

0 1 2 3 2 1; ; 2 2; 3 3 0n n n na a a b a b a a a a a n+ + += = = - + = - + " ³

) a Tìm CTTQ của dãy ( )na .

) b Tìm các số nguyên ,a b để na là số chính phương với 1998n" ³ .

(HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B).

Bài 16: Cho dãy số 0

1

3( ) : (3 )(6 ) 18 1nn n

aa a a n-

ì =ïí - + = " ³ïî

. Tính 1

1n

i ia=å

(Trung Quốc – 2004 ).

Bài 17: Cho dãy số 0

21 1

1( ) : 7 45 36 12

n n nn

aa a aa n- -

ì =ïí + -ï = " ³î

. Chứng minh

1) na là số nguyên dương với 0n" ³ .

12) 1n na a+ - là số chính phương 0n" ³ . ( Trung Quốc – 2005 ).



Bài 18: Cho dãy số 1 2

1 2

1; 2( ) : 4 3nn n n

u uu u u u n- -

ì = =ïí = - " ³ïî

. Chứng minh rằng 2 13

nu - là số

chính phương ( Chọn đội tuyển Nghệ an – 2007 ). Bài 19: Có n tấm thẻ được đánh số từ 1 đến n . Có bao nhiêu cách chọn ra một số thẻ (ít nhất 1 tấm) sao cho tất cả các số viết trên các tấm thẻ này đều lớn hơn hoặc bằng số tấm thẻ được chọn. Bài 20: Có bao nhiêu cách lát đường đi kích thước 3x2n bằng các viên gạch kích thước 1x2? Bài 21: Trong mặt phẳng cho n đường tròn đôi một cắt nhau và không có ba đường tròn nào có điểm chung. Hỏi n đường tròn đó chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền ?

Bài 22: Cho dãy đa thức : 3( ) 6 9P x x x= - + và ( ) ( (...( ( ))))nP x P P P x= n lần. Tìm

số nghiệm cảu ( )P x và ( )nP x ? (Dự tuyển Olympic).

Bài 23: Xác định hệ số 2x trong khai triển chính quy của đa thức 2 2 2 2 2( ) (...((( 2) 2) 2) ...) 2)kQ x x= - - - - - (có k dấu ngoặc).

Bài 24: Cho dãy 0 1 1 1: 1, 1, 4 1n n n nx x x x x x n+ -= = = - " ³ và dãy số

( ) 0 1 1 1: 1, 2, 4 1n n n ny y y y y y n+ -= = = - " ³ . Chứng minh rằng:

2 23 1 0n ny x n= + " ³ (Canada – 1998 ).

Bài 25: Có bao nhiêu tam giác có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá 2n (Macedonian – 1997 ).



TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đại Số và Giải Tích lớp 11 Nâng Cao

[2] Các bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam, Tủ sách TH&TT – NXB GD 2007

[3] Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nguyễn Văn Mậu, NXBGD – 2003

[4] Các phương pháp đếm nâng cao, Trần Nam Dũng

[5] Tạp chí Toán Học Và Tuổi Trẻ

[6] Các diễn đàn Toán học như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org …

[7] Tuyển tập các chuyên đề thi Olympic 30 – 4 Khối 11

[8] Phép quy nạp trong hình học, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khổng Xuân Hiển dịch xuất bản năm 1987)

Số hạng tổng quát của dãy số

Documents