PLANIMETRIE 1) Vypočítejte velikost úhlu ∡ v kosočtverci ABCD, jestliže ∡ = 21°40 ´ [136°40´] 2) Vypočítejte velikost úhlu = ∢ obecného trojúhelníku ABC, znáte-li velikost stran a = 8cm, b = 6 cm, c = 11 cm. Výsledek zaokrouhlete na desítky úhlových minut. [ = 102°40´] 3) Na plánu v měřítku 1 : 750 je znázorněn pozemek obdélníkového tvaru o rozměrech 15 cm a 9 cm. Vypočítejte, jaký je skutečný obsah pozemku zaokrouhlený na metry čtvereční. [S = 7 594 m 2 ] 4) Pravoúhlý trojúhelník má přeponu délky 12 cm. Jedna odvěsna je o 4√2 cm větší než druhá. Obsah trojúhelníku je: (A) 56 cm 2 (B) 28 cm 2 (C) 14 cm 2 (D) 112 cm 2 5) Délky základen lichoběžníku jsou = 4,2 ∙ 10 8 metrů, = 8 ∙ 10 7 metrů, výška = 4,8 ∙ 10 5 metrů. Určete obsah plochy lichoběžníku. [ = 1,2 ∙ 10 14 2 , . 12 ∙ 10 13 , . ] 6) Délky stran trojúhelníku jsou 8 cm, 9 cm a 13 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 15 cm větší. Určete délku nejdelší strany podobného trojúhelníku. (A) 20 cm (B) 19,5 cm (C) 19 cm (D) 18 cm (E) žádná z uvedených možností 7) Pozemek zakreslený v plánku má být rozdělen rovnou hranicí ST na dvě části. Určete s přesností na desítky metrů délku hranice ST. (A) || = 2 230 (B) || = (C) || = 2 630 (D) || = 2 800 (E) || = 3 010 8) V pravoúhlém lichoběžníku jsou uvedeny úhly, které svírají úhlopříčky se dvěma sousedními stranami, a délka jedné strany. Přiřaďte daným úsečkám jejich délky: strana a E strana c D úhlopříčka f C (A) 10 ∙ sin 40° (B) 10 sin 40° (C) 10 cos 40° (D) 10 ∙ 40° (E) 10 40°
24
Embed
PLANIMETRIEfiles.mabichek-cichnova.webnode.cz/200000072-73d... · (Směr je rovnoběžný se dvěma stěnami krychle). Jak dlouhá je hrana krychle, jestliže 𝑔 =2 3? (A) kratší
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
PLANIMETRIE
1) Vypočítejte velikost úhlu ∡𝐷𝐴𝐵 v kosočtverci ABCD, jestliže ∡𝐴𝐵𝐷 = 21°40´ [136°40´]
2) Vypočítejte velikost úhlu 𝛾 = ∢𝐴𝐶𝐵 obecného trojúhelníku ABC, znáte-li velikost stran a = 8cm, b = 6 cm,
c = 11 cm. Výsledek zaokrouhlete na desítky úhlových minut. [𝛾 = 102°40´]
3) Na plánu v měřítku 1 : 750 je znázorněn pozemek obdélníkového tvaru o rozměrech 15 cm a 9 cm. Vypočítejte,
jaký je skutečný obsah pozemku zaokrouhlený na metry čtvereční. [S = 7 594 m2]
4) Pravoúhlý trojúhelník má přeponu délky 12 cm. Jedna odvěsna je o 4√2 cm větší než druhá. Obsah
trojúhelníku je:
(A) 56 cm2
(B) 28 cm2
(C) 14 cm2
(D) 112 cm2
5) Délky základen lichoběžníku jsou 𝑎 = 4,2 ∙ 108 metrů, 𝑐 = 8 ∙ 107 metrů, výška 𝑣 = 4,8 ∙ 105 metrů. Určete
obsah plochy lichoběžníku. [𝑆 = 1,2 ∙ 1014 𝑚2, 𝑟𝑒𝑠𝑝. 12 ∙ 1013, 𝑎𝑝𝑜𝑑. ]
6) Délky stran trojúhelníku jsou 8 cm, 9 cm a 13 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 15 cm větší. Určete délku
nejdelší strany podobného trojúhelníku.
(A) 20 cm
(B) 19,5 cm
(C) 19 cm
(D) 18 cm
(E) žádná z uvedených možností
7) Pozemek zakreslený v plánku má být rozdělen rovnou hranicí
ST na dvě části.
Určete s přesností na desítky metrů délku hranice ST.
(A) |𝑆𝑇| = 2 230 𝑚
(B) |𝑺𝑻| = 𝟐 𝟒𝟓𝟎 𝒎
(C) |𝑆𝑇| = 2 630 𝑚
(D) |𝑆𝑇| = 2 800 𝑚
(E) |𝑆𝑇| = 3 010 𝑚
8) V pravoúhlém lichoběžníku jsou uvedeny úhly, které svírají úhlopříčky se dvěma sousedními stranami, a délka
jedné strany.
Přiřaďte daným úsečkám jejich délky:
strana a E
strana c D
úhlopříčka f C
(A) 10 ∙ sin 40°
(B) 10
sin 40°
(C) 10
cos 40°
(D) 10 ∙ 𝑡𝑔40°
(E) 10
𝑡𝑔40°
9) Pozemek tvaru obdélníku je dočasně přerušen stavebním záborem (šedá plocha). Rovnoběžné hranice záboru
na obvodu jsou dlouhé 15 m a 25 m. Jedna šikmá strana záboru, která je
oplocena, má délku 236 m. Nyní se pokračuje v oplocování 190 m dlouhé strany
pozemku.
(A) Vypočtěte obsah plochy stavebního záboru. [𝑆 = 3 800 𝑚2]
(B) S přesností na celé metry vypočtěte šířku pozemku (d). [𝑑 ≐ 165 𝑚]
10) V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C má úhel CAB
velikost 𝛼 = 60°. Strana AC má délku 𝑏 = 6√3.
(A) Vypočítejte délku strany BC. [|𝐵𝐶| = 𝑎 = 18]
(B) Vypočtěte velikost výšky 𝑣 na přeponu AB. [𝑣 = 9]
11) Úsek, který ve skutečnosti ujde deseti kroky, je na plánu zakreslen úsečkou délky 1 cm. Kruh na plánu má
poloměr 2,5 cm. Kolika kroky se obejde po obvodu skutečný kruh? [157 𝑘𝑟𝑜𝑘𝑦]
12) Obdélníková plocha o celkové rozloze 2 000 m2 byla rozdělena rovnou hranicí na dva menší obdélníky. Velikosti
ploch obou částí jsou v poměru 3 : 2. Větší část se od menší liší v délce jedné strany o 10 m.
V jakém poměru jsou délky stran u větší z obou částí rozdělené plochy?
(A) 5 : 6
(B) 4 : 5
(C) 3 : 4
(D) 2 : 3
(E) 1 : 2
13) Vzor na dlaždici tvoří čtyři shodné obdélníky a čtverec uprostřed. Obvod každého z obdélníků je 30 cm.
(A) Jaký je obvod celé dlaždice? [𝑜 = 60 𝑐𝑚]
(B) Jaký je obsah dlaždice? [𝑆 = 225 𝑐𝑚2]
14) Okrasná část zahrady má tvar obdélníku, jehož rozměry se liší o jediný metr. Po úhlopříčce ji protíná pěšina
dlouhá 29 metrů. Určete délku a šířku okrasné zahrady.
[20 𝑚 𝑥 21 𝑚]
15) Na plánu jsou vyznačeny údaje pořízené při zaměřování vrtné věže V ze dvou stanovišť A a B.
(A) Pod jakým zorným úhlem je možné od paty věže V sledovat obě stanoviště A a B současně? [35°]
(B) Určete s přesností na celé metry přímou vzdálenost stanoviště B od vrtné věže V.
[1 849 𝑚]
16) Jak dlouhý stín vrhá člověk vysoký 180 cm na vodorovnou podložku, jestliže světelné paprsky svírají
s podložkou úhel 50°.
(A) 180
sin 50°
(B) 180 ∙ sin 50°
(C) 180
cos 50°
(D) 180 ∙ 𝑡𝑔50°
(E) 𝟏𝟖𝟎
𝒕𝒈𝟓𝟎°
17) Kolik kroků ušetříte (zaokrouhlete na desítky), přejdete-li čtvercový pozemek úhlopříčně, místo abyste jej
obcházeli po dvou stranách obvodu celkem třemi sty kroky?
[300 − 150√2 ≐ 90]
18) Pozemek tvaru půlkruhu je třeba oplotit. Na rovnou část plotu se použije 28 metrů pletiva. Kolik celých metrů
pletiva bude nejméně potřeba na zbytek plotu po oblouku?
(A) 44 m
(B) 48 m
(C) 52 m
(D) 56 m
(E) jiný počet
19) Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel velikosti 𝛼 = |∡𝐶𝐴𝐵| = 75° a délky ramen |𝐴𝐶| =
|𝐵𝐶| = 10. Jakou délku má základna 𝑐 = |𝐴𝐵|?
(A) přibližně 4,9
(B) přibližně 5,2
(C) přibližně 5,5
(D) přibližně 5,8
(E) jinou délku
20) Plocha kruhu je o 20% menší, než je plocha čtverce. Vyjádřete, o kolik procent je plocha čtverce větší, než je
plocha kruhu. [o 25%]
21) Plocha kruhové výseče tvoří 40% plochy kruhu. Určete středový úhel 𝛼 kruhové výseče.
[𝛼 = 144°]
22) Ve kterém trojúhelníku leží ortocentrum (průsečík přímek, na nichž leží výšky trojúhelníku) vně trojúhelníku a
současně na ose jedné strany trojúhelníku?
(A) v rovnostranném trojúhelníku
(B) v pravoúhlém trojúhelníku
(C) v ostroúhlém trojúhelníku
(D) v rovnoramenném tupoúhlém trojúhelníku
(E) v žádném, popsaná situace nemůže nastat
23) Na vodorovné podložce je položena bedna tvaru krychle s hranou délky 𝑎. Bedna osvětlená slunečním světlem
vrhá stín na podložku. Směr slunečních paprsků svírá s podložkou úhel 𝛼. (Směr je rovnoběžný se dvěma
stěnami krychle).
Jak dlouhá je hrana krychle, jestliže 𝑡𝑔𝛼 =2
3?
(A) kratší než 2,4 m
(B) 2,4 m
(C) 2,5 m
(D) 2,6 m
(E) delší než 2,6 m
34) V pravoúhlém trojúhelníku PQR je odvěsna PQ rozdělena bodem X na dva úseky, z nichž delší má délku 33 cm.
Druhá odvěsna PR měří 20 cm a délka příčky RX je 25 cm.
Vypočtěte délku p strany QR. [p = 52 cm]
35) V trojúhelníku ABC leží proti stranám a, b, c úhly 𝛼, 𝛽, 𝛾. Rozhodněte o každé následující trojici veličin, zda
popisuje pravoúhlý trojúhelník s přeponou c či nikoliv.
(A) 𝑏 = 1; 𝑐 = 2; 𝛼 = 60° ANO – NE
(B) 𝑎 = 1, 𝑏 = √3, 𝛼 = 60° ANO – NE
(C) 𝑎 = 2; 𝑐 = 4; 𝛼 = 30° ANO – NE
(D) 𝑎 = √2; 𝑏 = √6; 𝛼 = 30° ANO – NE
36) Kolik ze čtyř zobrazených trojúhelníků má průsečík výšek vně trojúhelníku?
(A) žádný
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
37) Jaká je velikost úhlu 𝛽?
(A) větší než 7
9𝜋
(B) 𝛽 =7
9𝜋
(C) 𝛽 =2
3𝜋
(D) 𝛽 =5
8𝜋
(E) menší než 𝟓
𝟖𝝅
38) Na obrázku jsou dvě rovnoběžné přímky 𝑝, 𝑞 a přímka 𝑟, která je s nimi různoběžná, ale není na ně kolmá. Pro
úhly 𝛼, 𝛽 na obrázku platí:
(A) 𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔𝛽 𝑎 𝑧á𝑟𝑜𝑣𝑒ň sin 𝛼 = − sin 𝛽
(B) 𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔𝛽 𝑎 𝑧á𝑟𝑜𝑣𝑒ň cos 𝛼 = − cos 𝛽
(C) cos 𝛼 = cos 𝛽 𝑎 𝑧á𝑟𝑜𝑣𝑒ň sin 𝛼 = − sin 𝛽
(D) sin 𝛼 = sin 𝛽 𝑎 𝑧á𝑟𝑜𝑣𝑒ň cos 𝛼 = cos 𝛽
(E) 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝒂 𝒛á𝒓𝒐𝒗𝒆ň 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = − 𝐜𝐨𝐬 𝜷
39) Letadlo, které mělo původně letět přímo z Bratislavy do 800 km vzdálené Paříže, se při startu muselo kvůli
špatnému počasí odchýlit od přímého kurzu o 60°. Až po 300 km mohl pilot letadlo nasměrovat přímo na Paříž.
O kolik kilometrů se takto prodloužila dráha letu? [o 200 km]
40) Do úhlu velikosti 60° chceme vepsat kružnici s poloměrem 5 cm. Jak daleko od vrcholu úhlu musí být střed
kružnice?
(A) 10√3 𝑐𝑚
(B) 10 cm
(C) 10√3
3 𝑐𝑚
(D) 5√3
3 𝑐𝑚
(E) 5 cm
41) Na obrázku je průřez zregulovaným korytem řeky. Na jednom břehu je ukazatel výšky hladiny řeky. Jak daleko
od sebe jsou nakreslené rysky označující výšku hladiny 2 m a 5 m?
(A) 6 m
(B) 3√3 m
(C) 3√3
2 m
(D) 2√3 m
(E) 3
2 m
42) Na obrázku je pozemek tvaru čtyřúhelníku s rozměry |AB|=40 m, |BC|= 30 m, |CD|=120 m. Jaký obvod má
tento pozemek?
(A) 220 m
(B) 230 m
(C) 310 m
(D) 320 m
(E) 370 m
43) Rovnostrannému trojúhelníku jsme vepsali i opsali kružnici. Jestliže r je poloměr vepsané kružnice, potom pro
obsah S mezikruží platí:
(A) 𝑺 = 𝟑𝝅𝒓𝟐
(B) 𝑆 =5
2𝜋𝑟2
(C) 𝑆 = 2𝜋𝑟2
(D) 𝑆 =3
2𝜋𝑟2
(E) 𝑆 = 𝜋𝑟2
44) V trojúhelníku ABC na obrázku platí: |∡𝐶𝐴𝐵| = 40°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 85°. Nechť D je takový bod strany AC, pro který
platí |BD|=|CD|. Jakou velikost má úhel BDA?
[110°]
45) Označme 𝛾 velikost největšího úhlu trojúhelníka ABC, který má strany délky a = 4, b = 5, c = 7. Potom platí:
(A) 𝛾 ∈ (0°; 30°)
(B) 𝛾 ∈ (30°; 60°)
(C) 𝛾 ∈ (60°; 90°)
(D) 𝜸 ∈ (𝟗𝟎°; 𝟏𝟑𝟓°)
(E) 𝛾 ∈ (135°; 180°)
46) Délka jedné odvěsny pravoúhlého trojúhelníka je 6, poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku je 5. Jaký
je obvod tohoto trojúhelníka? [24]
47) Na obrázku je rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou |AB|=8 cm a ramenem |BC| 10 cm. Na rameni AC
leží bod D. Trojúhelník ABC je podobný s trojúhelníkem DAB. Potom |AD|=
(A) 6,4 cm
(B) 6 cm
(C) 5 cm
(D) 3,6 cm
(E) 2 cm
48) Je dán pravidelný desetiúhelník se stranou a = 2 cm. Které z uvedených čísel nejpřesněji udává jeho obsah?
(A) 9,51 cm2
(B) 20 cm2
(C) 30,78 cm2
(D) 31,84 cm2
(E) 32,90 cm2
49) Pod jakým úhlem (zaokrouhleným na desetiny stupňů) stoupá schodiště, jehož schody jsou 28 cm široké a 15
cm vysoké?
(A) 61,8°
(B) 57,6°
(C) 43,5°
(D) 32,4°
(E) 28,2°
50) Trojúhelník ABC má strany s délkami |AB|=11 cm, |BC|=7 cm, |AC|=8 cm, D ja pata výšky na stranu AB. Jaký
poloměr má kružnice opsaná trojúhelníku DBC?
(A) 8 cm
(B) 7 cm
(C) 5,5 cm
(D) 4 cm
(E) 3,5 cm
51) Lichoběžník ABCD je sestaven z rovnoramenného trojúhelníku APD a rovnoběžníku PBCD. Platí |𝐴𝐷| =