SLOŽENE FIGURE Najpre ćemo iz površine kvadrata izračunati dužinu stranice. 2 2 36 36 6 P a a a a cm = = = = Pretumbajmo malo sliku... A B C D a=6cm r=3cm A B C D r=3cm I II III IV I II III IV Površinu osenčenog dela ćemo dobiti kad od površine kvadrata oduzmemo površinu kruga čiji je poluprečnik jednak polovini stranice kvadrata! ( vidi sliku ) 2 2 36 3 36 9 94 9 9(4 ) of kv kr of of of of P P P P P P P cm π π π π = − = − = − = ⋅ − = − www.matematiranje.com
13
Embed
SLOŽENE FIGURE - ljubiteljimatematike.files.wordpress.com · Tražena površina se sastoji od površine polukruga( crveni) I površine trougla , koji je ustvari polovina površine
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
SLOŽENE FIGURE
Najpre ćemo iz površine kvadrata izračunati dužinu stranice.
2
236
366
P aa
aa cm
=
=
==
Pretumbajmo malo sliku...
A B
CD
a=6cm
r=3cm
A B
CD
r=3cmI II
IIIIV
I II
IIIIV
Površinu osenčenog dela ćemo dobiti kad od površine kvadrata oduzmemo površinu kruga čiji je poluprečnik jednak polovini stranice kvadrata! ( vidi sliku )
2
2
36 3
36 9
9 4 9
9(4 )
of kv kr
of
of
of
of
P P P
P
P
P
P cm
π
π
π
π
= −
= −
= −
= ⋅ −
= −
www.matematiranje.com
Proučimo najpre sliku...
8m
1m1m 8m
3m3m
45o
45o
5m
Uočimo da se njena površina sastoji iz dva dela, površine pravougaonika i površine trougla, koji je jednakokrako pravougli sa stranicom 1+8+1 = 10 m i odgovarajućom visinom od 5m.
2
210 58 3
224 2549
pr
a
P P P
a hP a b
P
PP m
= +
⋅= ⋅ +
⋅= ⋅ +
= +
=
www.matematiranje.com
Naravno, ovde je neophodno nacrtati sliku i postaviti problem...
8cm
6cmr = d
2
Ideja: od površine kruga ćemo oduzeti površinu pravougaonika! Primenom Pitagorine teoreme ćemo naći dijagonalu pravougaonika.
2 2 2
2 2 2
2
2
8 664 36100
10
d a bdddd cm
= +
= +
= +
==
Poluprečnik kruga je polovina dijagonale: 10 52 2dr r r cm= → = → =
.
2
2
2
5 3,14 8 625 3,14 4878,5 4830,5
pravP P P
P r a bPPPP cm
π
= −
= − ⋅
= ⋅ − ⋅= ⋅ −= −
=
www.matematiranje.com
Pretumbajmo malo sliku…
P
Q
R
S
a=6cm
a=6cm
Označenu četvrtinu kruga prebacimo dole... Šta primećujemo? Osenčena površina je ustvari 3/4 od površine kvadrata!
2
2
2
34343 643 3643 9
27
of
of
of
of
of
of
P P
P a
P
P
P
P cm
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
www.matematiranje.com
Prvo slika...
a
a
Sad pretumbamo...
Ideja: od površine kvadrata oduzmemo površinu kruga! Nadjimo najpre poluprečnik kruga, koji je jednak polovini stranice kvadrata.
2
2
2
282
32
dP
P
P cm
=
=
=
2
2
2
(2 2)4 2
8
P r
PP
P cm
π
ππ
π
=
=
= ⋅
=
i konačno je :
2
32 88 4 88(4 )
P P PPPP cm
ππ
π
= −
= −= ⋅ −
= −
www.matematiranje.com
r = a2
a
a
a
a
8
22
8 22
4 24 2 2 22 2
d cm
da
a
aa cm r r r cm
=
=
=
= → = → = → =
A B
CD
III
2cm
4cm
Površina se sastoji od površine manjeg kruga ( žuti ) i površine četvrtine većeg kruga. Obim se sastoji od celog obima manjeg kruga i četvrtine obima većeg kruga.
22
22
2
4
442
44 48
vecimanji
PP P
RP r
P
PP cm
ππ
ππ
π π
π
= +
= +
= +
= +
=
422
42 42 2
44 26
vecimanji
OO O
RO r
O
OO cm
ππ
ππ
π ππ
= +
= +
⋅= ⋅ +
= +=
www.matematiranje.com
A B
CD
E 2r =
Tražena površina se sastoji od površine polukruga( crveni) I površine trougla , koji je ustvari polovina površine kvadrata. Nadjimo dužinu stranice kvadrata i poluprečnik kruga.
4
22
4 22
2 22 2 22 2
d cm
da
a
aa cm r r r cm
=
=
=
= → = → = → =
2
2
2
Površina polukruga je:
2
22
22
pk
pk
pk
pk
rP
P
P
P cm
π
π
π
π
=
=
=
=
2
2
2
Površina trougla je:1P21P2 21 4P2 216P4
P 4
P
d
cm
=
=
=
=
=
2
površina je:
4(4 )
pk
TraženaP P P
PP cm
π
π
= +
= +
= +
www.matematiranje.com
Obim figure se sastoji iz dva obima kruga!
22 24 624
O OO rOO cm
πππ
= ⋅
= ⋅= ⋅=
Da bi izračunali površinu, malo ćemo da pretumbamo sliku...
A B
CD
A B
CD
#
#
$
$
I II
Tražena površina se sastoji iz površine kruga( kad spojimo polukrugove I i II ) i površine kvadrata.
2 2
2 2
2
6 1236 14436 36 436( 4)
P P P
P r aPPPP cm
π
πππ
π
= +
= +
= += += + ⋅
= +
www.matematiranje.com
Moramo dobro proučiti sliku...
6cm
6cm
30o
30o
60o
60o
12cm
12cm
12cm
60
60
o
o
120o
Kraci ugla su tangente kruga, pa prave prav ugao sa poluprečnikom. Spojimo centar kruga sa temenom ugla i dobijamo dva podudarna trougla koji zajedno čine jednakostranični trougao. Ideja: Od površine jednakostraničnog trougla stranice 12 cm ćemo oduzeti trećinu površine kruga( jer je centralni ugao od 120 stepeni)
2
2
2
34
12 34
144 34
36 3
aP
P
P
P cm
=
=
=
=
2
13
2
13
13
213
3
63
363
12
rP
P
P
P cm
π
π
π
π
=
=
=
=
13
2
36 3 12
12 3 3 12
12(3 3 )
P P P
P
P
P cm
π
π
π
= −
= −
= ⋅ −
= −
www.matematiranje.com
Proučimo , kao i uvek datu sliku…
A
B
C
O A O
B
C
20o
r=8cm
M
Delići ABM i CBM su jednaki po površini! Ubacimo delić CBM u delić ABM i dobijamo kružni isečak čiji je centralni ugao 20 stepeni i poluprečnik 8 cm.
2
0
2 0
0
2
3608 20
3606418
329
isP P
rP
P
P
P cm
πα
π
π
π
=
=
=
=
=
www.matematiranje.com
Iz visine jednakostraničnog trougla nađemo stranicu trougla.
32
3 12 12 3 12 36 3 12 4 32 33 3 3
ah
a a a a a a cm
=
= → = → = → = ⋅ → = → =
A B
C
D60
o
4 3
2 3
6
Ideja: Od površine kružnog isečka ABC ćemo oduzeti površinu pravouglog trougla ADC !
2
0
2 0
0
2
360(4 3) 60
36016 3
68
is
is
is
is
rP
P
P
P cm
πα
π
π
π
=
=
⋅=
=
2
22 3 6
26 3
ACD
ACD
ACD
a bP
P
P cm
⋅=
⋅=
=
2
8 6 3
2(4 3 3)
is ADCP P P
P
P cm
π
π
= −
= −
= −
www.matematiranje.com
12cm
6cm
p
Ideja: od površine pravougaonika sa stranicama 12cm i 6 cm ćemo oduzeti površinu polukruga koji dobijamo kad spojimo ove dve četvrtine .
2
2
2
1212112 6 62
172 362
72 1818 4 1818(4 )
prP P P
P a b r
P
P
PPP cm
π
π
π
ππ
π
= −
= ⋅ −
= ⋅ −
= +
= += ⋅ +
= +
www.matematiranje.com
8cm
6cm2cm
2cm
4cm
2cm
A B
CD
P
R1/4 kruga
Ideja: Od površine pravougaonika oduzmemo površinu 1/4 kruga!
2
2
2
141418 4 24
(32 )
prP P P
P a b r
P
P cm
π
π
π
= −
= ⋅ −
= ⋅ −
= −
Što se tiče obima, moramo da obiđemo celu figuricu! O = PB + BC + CD + DR + ¼ obima kruga (luk RP)