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Apresentao do PowerPoint

Simulao de Processos Anlise comparativa entre os mtodos numricos (Euler e Runge-Kutta) e analtico

Salvador, 06 de Maio de 2015

Motivao A realizao deste trabalho nos proporcionou um maior conhecimento da disciplina, pois foi possvel nos aprofundar nos conhecimentos adquiridos e aplica-ls. Alm da oportunidade da realizao de um trabalho em equipe e tambm uma preparao melhor para a realizao da avaliao.

22ObjetivosGeralAnalisar de que maneira um tanque de gua salgada, alimentado com uma vazo de diferente concentrao de sal, se comporta em relao ao tempo, com o auxlio da ferramenta VBA do Microsoft Excel.

Especficos Obter dados para o entendimento e resoluo do sistema atravs de mtodos analticos e numricos (Euler e Runge-Kutta). Comparar e selecionar o mtodo mais adequado para a resoluo das equaes diferenciais do sistema.

3IntroduoMtodo Analtico;Equao diferencial ; Mtodo de Euler:Seja uma funo dy/dx = f(x, y) com a condio de contorno y = yn quando x =xnObserva-se que o valor de yn+1, em xn+1 dado por:

Pode-se escrever :Encontra-se uma aproximao para y: Com as equaes apresentadas temos: 4

Introduo5

Passo:

Chegando a equao de Euler:

Figura 1: Ilustrao do mtodo de Euler.IntroduoMtodo Runge-Kutta;

Forma geral: , chamado de funo incremento.Com isso temos:

Tendo as seguintes equaes para os K: 6

IntroduoMtodo Runge-Kutta;Polinmio de Taylor:

Soluo indeterminada, logo passa a ser:E os K: 7

IntroduoMtodo Runge-Kutta;

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Figura 1: Comparao entre a eficincia entre os mtodos de Euler e Runge-Kutta com a soluo exata. Processo Descrio do processo;Mistura de (1/4) de sal em gua; Volume de 100gal;Tanque;Taxa r (gal/min)

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ModelagemConsideraes: Mistura Perfeita;Massa especfica constante;Isotrmico.

Equaes: A vazo mssica de sada: Qs = Qo/V * r A vazo mssica de entrada: Qe = r/4 Balano de massa: dQ/dt = (r/4) - (Qo*r/V)

10ModelagemVariveis : Qs, Qe, Q, t, r, Qo, V.Especficas: V, t e Qo;Fora motriz: r;Variveis a ser determinadas: Qs, Qe e Q;Equaes: 3.

Grau de Liberdade = 0

11Mtodo Analtico Linguagem de programao:

12Fonte: Prpria

Mtodo Analtico Grfico de Vazo X Tempo:

13Fonte: Prpria

Mtodo Numrico Mtodo de EulerMtodo da reta tangente;Mtodo atraente pela sua simplicidade;Mtodo de aproximao; yn+1 = yn + fn.h yo = Qo e fn =

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Mtodo Numrico Mtodo de Euler; Grfico de comparao (Vazo x Tempo):

15Fonte: Prpria

Mtodo Numrico Mtodo de Euler; Balano de massa: dQ/dt = (r/4) - (Qo*r/100); Analisa qualitativamente o processo; Linguagem de programao:

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Fonte: Prpria

Mtodo Numrico Mtodo de Euler; Grfico de Vazo X Tempo

Vazo de entrada s depende da taxa; Estado estacionrio.17Fonte: Prpria

Mtodo Numrico Mtodo de Runge-Kutta;

18Mtodo Numrico Mtodo de Runge-Kutta;

19Mtodo Numrico Mtodo de Runge-Kutta;

20Mtodo Numrico Mtodo de Runge-Kutta;

21Mtodo Numrico Mtodo de Runge-Kutta;

22Referncias [1] J. Stewart, Clculo volume 1, Pioneira Thomson Learning, So Paulo, 2006.[2] F.F. Campos, Algoritmos Numricos, LTC, Rio de Janeiro, 2007.[3] J.J. Sanches, Mtodos Numricos, Universidade Federal do Par, Curitiba, 2007.

23AgradecimentoPrimeiramente agradecer a professor pela oportunidade de desenvolver maiores conhecimentos na rea de Simulao de Processos, alm da oportunidade do trabalho em equipe. E agradecer aos colegas da equipe pela colaborao do desenvolvimento do mesmo.

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