Slide Cap 4 Wooldridge

MicroeconometriaThe Single-Equation Linear Model and OLS Estimation

Ricardo da Silva Freguglia

September 22, 2015

Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 1 / 29

4.1 Overview of the Single-Equation Linear Model

Projeção Linear:

y = β0+β1x1β2x2+ ...+βkxk +u (4.1)

onde:

y, x1, x2, x3, ..., xk são observações aleatórias

Hipótese sobre u : OLS

u : termo aleatório de erro não observável e β0,β1,β2, ...,βk

E (u) = 0, Cov(xi ,u) = 0 j = 1,2, ...,K (4.2)

E (u|x1,x2, ...,xk) = E (u|x) = 0 (4.3)

Modelo estruturalEstimação da equação



Assumindo (4.1) e (4.3)

E (y |x1,x2, ...,xk) = β0+β1x1β2x2+ ...+βkxk (4.4)

A endogeneidade E (u|x) 6= 0 ocorre devido a:

(i) Variáveis omitidas E (y |x ,q)→ q não é observável (viés de variávelomitida)

E (y |x) 6= E (y |x ,q)

x, q → Auto-seleção



(ii) Erros de medida:

x∗k → xk

(iii) Simultaneidade:

x e y são medidas simultaneamente


4.2 Asymptotic Properties of OLS

y = xβ +u (4.5)

Onde x é um 1 x K vetor da regressão e β ≡ (β1,β2, ...,βk)′ é um K x

1 vetor;

(yi ,xi ) iid

yi = xiβ +ui (4.6)


4.2.1 Consistency

OLS.1:

E (x′u) = 0

OLS. 2:

postoE (x ′x) = k

Uma variável não pode ser determinada como uma combinação linearde outras 2 variáveis, i.e., x'x deve ser inversível = matriz nãosingular; x deve variar e esta variância não deve ser espúria.

OLS1 + OLS2 →vetor β é identi�cado.


4.2.1 Consistency

Pré-multiplique (4.5) por x', e tome expectativas:

β = [E (x′x)]−1E (x′y)

(x,y) é observado, β é

β =

(N−1

N

∑i=1

x′ixi

)−1(N−1

N

∑i=1

x′iyi

)=

β +

(N−1

N

∑i=1

x′ixi

)−1(N−1

N

∑i=1

x′iui

)


4.2.1 Consistency

OLS.2 → (x′x) não singular

plim

(N−1 N

∑i=1

x′ixi

)−1= A−1

OLS.1 →plim

(N−1 N

∑i=1

x′iui

)−1= E [x ′u] = 0

plimβ = β +A−1.0= β

[Slutsky : plim g(xN) = g(plim xN)

Teorema 4.1 (consistência do OLS): OLS1 + OLS2 → βMQO éconsistente.

Não viesado →E [u|x ] = 0


4.2.2 Asymptotic Inferece Using OLS

√N(β −β ) =

(N−1

N

∑i=1

x′ixi

)(N−1/2

N

∑i=1

x′iui

)



(N−1/2

N

∑i=1

x′iui

)d−→ Normal (0,B)

Onde B é uma matriz K x K

{(x′iui ) : i = 1,2, ...} é iid

B ≡ E (u2x′x) (4.7)

√N(β −β ) = A−1

(N−1/2

N

∑i=1

x′iui

)d−→N(A−10,A−1βA−1)

B ≡ E (u2x′x) = σ2E [x′x] = σ2A



OLS.3: Homocedasticidade

B ≡ E (u2x′x) = σ2E [x′x] = σ2A

Onde:

σ2 ≡ E (u2)


4.2.3 Heteroskedasticity-Robust Inference

Teorema 4.2 (Asymptotic normality of OLS):

OLS.3: B = σ2A

A ˆvar(β ) = σ2(X′X)−1 (4.10).

A ˆvar(β ) 6= σ2(X′X)−1

A ˆvar(β ) = A−1BA−1/N



Teremos então:

A ˆvar(β ) = A−1BA−1

N

A≡ E [x ′x ]

Como não observamos U2

i , basta estimarmos Ui

N−1

(N

∑i=1

u2i x′i xi

)p−→

E [u2x ′x ] = B



ui → ui = yi −xi β

B = N−1N

∑i=1

u2i x′x

B ≡ E (u2x′x)

A ˆvar(β ) = (X′X)−1

(N

∑i=1

u2i x′x

)(X′X)−1 (4.11)


4.2.4 Lagrange Multiplier (Score)Tests

y = x1β1+ x2β 2+u (4.14)

u em x1,x2 (4.15)

LM ≡ NR2u


4.3.1 OLS ignoring the Omitted Variables

Modelo Estrutural:

E (y |x1,x2, ...,xk ,q) = β0+β1x1+β2x2+ ...+βkxk + γq (4.18)

y = β0+β1x1β2x2+ ...+βkxk + γq+ v (4.19)

E (v |x1,x2, ...,xk ,q) = 0 (4.20)

y = β0+β1x1β2x2+ ...+βkxk +u (4.21)



u ≡ γq+ v (4.22)

Ignorando 'q', os 'β s' não serão estimados corretamente (veja que 'q'está presente: u ≡ γq+ v)

q = δ0+δ1x1+δkxk + r (4.23)

onde:

E (r) = 0

Cov(xj , r) = 0

j = 1,2, ...,K



y = (β0+ γδ0)+(β1+ γδ1)x1+(β2+ γδ2)x2+ ...+(βk + γδk)xk + v + γr

plimβj = βj + γδj

plimβj = βj , j = 1, ...,K −1

plimβj = βk + γ[Cov(xk ,q)/Var(xk)] (4.24)

Regressor:

δk = Cov(xk ,q)/Var(xk)

δj = 0j = 1k−1


4.3.2 The Proxy Variable-OLS Solution

Redundante: (z é redundante)

E (y |x,q,z) = E (y |x,q) (4.25)

Correlação entre q e xj é zero quando condicionamos em z

L(q|1,x1...xk ,z) = L(q|1,z) (4.26)

q = θ0+θ1z+ r (4.27)



Cov(xj , r) = 0

j = 1,2, ...,K

Proxy imperfeita:

y = (β0+ γθ0)+β1x1+ ...+βkxk + γθ1z+(γr + v) (4.28)

q = θ0+p1x1+ ...+pkxk +θ1z+ r

plimβj = βj + γρj



Examples (4.3):

log(wage) = β0+β1exper +β2tenure+β3married +β4south+β5urban+β6black+βeduc+ γabil + v


4.3.3 Models With Interactions in Unobservables

y = β0+β1x1+ ...+βkxk + γ1q+ γ2xkq+ v) (4.30)

E (v |x,q) = 0 (4.31)

∂E(v |x,q)∂xk

= βk + γ2q (4.32)



Assumindo:

E (q) = 0

E (βk + γ2q) = βk (4.33)

E(q|x,z) = E(q|z) = θ1z (4.34)

E (q|x ,z) = β0+β1x1+ ...+βkxk + γ1θ1z+ γ2θ1zxkz (4.35)



Usando a Propriedade CV.3 no Appendix 2A:

Var(y |x ,z) = σ2+(γ1+ γ2xk)2

Var(q|x ,z)

Exemplo 4.5: Returns to Education Depends on Ability

log(wage) = β0+β1exper +β2tenure+β3married +β4south+β5urban+β6black+βeduc+ γ1abil + γ2abil .educ+ v


4.4.1 Mesurement Error in the Dependent Variable

y∗ = β0+β1x1+ ...+βkxk + v (4.37)

E (y∗|x1, ...,xk)onde y 6= y∗

e0 = y −y∗ (4.38)

y∗ = β0+β1x1+ ...+βkxk + v + e (4.39)

E (v) = 0

E (e0) = 0

cov [v ,xj ] = 0

cov [e0,xj ] = 0

Assumindo:

Var(v + e0) = σ2v +σ2

0> σ2

v

e0e v são não correlacionados

log(y) = log(y∗)+ e0 (4.40)Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 25 / 29


y = β0+β1x1+ ...+βkx∗k + v (4.41)

onde: y, x1,..., xk−1 são observações, mas x∗knão é

xk→observado

cov [v ,xk ] = 0

ek = xk −x∗k (4.42)

cov(xk ,ek) = 0 (4.43)



x∗k = xk − ek

y = β0+β1x1+ ...+βkxk +(v −βkek) (4.44)

cov [x∗k ,ek ] = 0 (4.45)



cov(xk ,ek) = E (xkek) = E (x∗kek)+E (e∗k) = σ2

ek (4.46)

plim(βk) = βk

(σ2

r∗k/σ2

rk+σ2

ek

)(4.47)

x∗k = δ0+δ1x1+δ2x2+ ...+δk−1xk−1+ r∗k



No caso única variável explicativa (K=1) - > viés de atenuação

plim(β1) = βk

(σ2

x1/σ2x +σ2

e1

)=

var(x∗1)var(x1)

(4.48)


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