LIMIT KELAS XI SEMESTER GENAP SK DAN KD MATERI 1 SOAL 1 MATERI 2 SOAL 2 PENGAYAAN
LIMITKELAS XI SEMESTER GENAP
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
Standar Kompetensi
Kompetensi dasar
Indikator
Mampu menentukan nilai limit tak hingga suatu fungsi
6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
Mampu menentukan nilai limit di tak hingga suatu fungsi
Mampu menggunakan sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri di satu titik
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
GxgLxfaxax
)(limdan)(lim
GLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
Misal (limit dari f , g ada dan berhingga)
maka
LGxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
0,)(lim
)(lim
)()(lim
Gbila
GL
xg
xf
xgxf
ax
ax
ax
2.
3.
4. n
ax
n
axxfxf ))(lim())((lim
,n bilangan bulat positif
nnax
nax
Lxfxf
)(lim)(lim5. bila n genap L harus positif
1.
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
222 )1(1
1sin)1()1(
xx
xx
)()()( xhxgxf
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim
Lxgcx
)(lim
11
sin)1(lim 2
1
xx
x
Misal untuk x disekitar c dan
maka
Contoh Hitung
Karena 1)1
1sin(1
x
dan 0)1(lim 2
1
x
x0)1(lim, 2
1
x
x
01
1sin)1(lim 2
1
xx
x
maka
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
AO
B
C
D
OC= cos ; CB= sin
Perhatikan gambar di samping.Misalkan =AOB adalah sudut pusat lingkaran dengan jari jari =1.
Sektor COD ≤▲COB ≤ sektor AOBSehingga ½ cos2 ≤ ½ sin cos ≤ ½ .1Bagi dengan ½ cos > 0 diperoleh;
cos1sincos
Jika →0 maka cos →1 sehingga : 1sinlim10
it
Sehingga : 1sinlim0
it
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
1sinlim.10
x
xx
1coslim.20
xx
1tanlim.30
x
xx
Contoh
2.2
2tan5
4.4
4sin3lim
2tan54sin3lim
00
xx
xx
xxxx
xx
2.
22tanlim5
4.4
4sinlim3
0
0
xx
xx
x
x
37
2.2
2tanlim5
4.4
4sinlim3
02
04
xx
xx
x
xx 0 ekivalen dgn 4x 0
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
tt
t sin1coslim
2
0
ttt
t sec2sincotlim
0
tt
t 23tanlim
2
0
tttt
t sec43sinlim
0
Hitung
1.
2.
3.
4.
xx
x 2sintanlim
05.
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Limit Tak Hinggamaka,0)(limdan0)(limMisal
xgLxf
axax
)()(
limxgxf
ax
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv
Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.
g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Contoh Hitung11lim
2
1
xx
xa.
11lim 2
2
1
xx
x xx
x sinlim
b. c.
Jawab a. 021lim 2
1
x
x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatifSehingga
11lim
2
1 xx
x
b. 021lim 2
1
x
x akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif
1)( 2 xxg
12 x
Sehingga
11lim 2
2
1 xx
x
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
c.
0lim
xx
danf(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)
x
xx sinlim
sehingga
Karena
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Limit di Tak HinggaLxf
x
)(lima. jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaL
x
Contoh Hitung
4252lim 2
2
xxx
x
Jawab
)2(
)1(lim
2
2
42
522
x
xx
x x
x
4252lim 2
2
xxx
x2
2
42
521lim
x
xxx
= 1/2
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Lxfx
)(lim jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
xContoh Hitung
4252lim 2
x
xx
4252lim 2
x
xx
Jawab
)2()(
lim2
2
42
522
x
xx
x xx
)2(
)(lim
2
2
4
52
x
xx
x
= 0
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Contoh Hitung xxx
x
3lim 2
Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )
xxxx
3lim 2)
3
3(3lim2
22
xxx
xxxxxxx
xxx
xxxx
3
3lim2
22
xxx
xx
3
3lim2
xx
x
xx
x
x
)1(
)1(lim
2312
3||2 xx
xxx
xx
x
x
231
3
1)1(
lim
21
)11(1
lim2
31
3
xx
x
x
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
limx
xx
3
33
limx x 2 2
3
4
)1(lim xxx
limx
x
x 1 2
11lim
2
xx
x
limx
x xx
2
1
.
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
PENGAYAAN
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika(i) f(a) ada
ada)(lim xfax
(ii)
(iii) )()(lim afxfax
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
a
(i)º f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
a
(ii)
1L2L Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=aFungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a
●
º
f(a) f(a) ada)(lim xf
axL ada
Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
(iv)
a
f(a)
f(a) ada)(lim xf
axada
)()(lim afxfax
f(x) kontinu di x=a
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara endefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi
a
º
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
contohPeriksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya
24)(
2
x
xxf
2,3
2,24
)(2
x
xx
xxfa. b.
2,12,1
)( 2 xxxx
xfc.
Jawab :a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinudi x=2b. f(2) = 3
42lim)2(
)2)(2(lim24lim
22
2
2
x
xxx
xx
xxx
)2()(lim2
fxfx
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
c. 312)2( 2 f
31lim)(lim22
xxf
xx
31lim)(lim 2
22
xxf
xx
3)(lim2
xfx
)2()(lim2
fxfx
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Kontinu kiri dan kontinu kananFungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika)()(lim afxf
ax
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
2,1
2,)( 2 xax
xaxxf
Kontinu di x=2
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2)2()(lim
2fxf
x
aaxxfxx
2)(lim)(lim22
141)2()2( 2 aaf
2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1
f kontinu kanan di x=2)2()(lim
2fxf
x
141)2()2( 2 aaf
141lim)(lim 2
22
aaxxf
xx
Selalu dipenuhi
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
1. Diketahui
1,221,1
)(2
xxxx
xf
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1
Soal Latihan
2. Agar fungsi
2,321,
1,1)(
xxxbax
xxxf
kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?
3. Tentukan a dan b agar fungsi
2,42
2,2
4)(
2
xx
xx
bxaxxf
kontinu di x = 2
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Kekontinuan pada interval
• Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
• Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Fungsi Polinom kontinu dimana-mana• Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya• Misalkan , maka
– f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil– f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0
atau x>4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n xxf )(
4)( xxf
)4(04lim)(lim44
fxxfxx
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
f xx x
x( )
2 33
f xxx
( )
2
348
f xxx
( )| |
22
94
1)(2
x
xxf
24)( xxxf
A. Carilah titik diskontinu dari fungsi
B. Tentukan dimana f(x) kontinu
Soal Latihan
1.
2.
3.
1.
2.
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
• Teorema Limit Fungsi Komposisi: Jika dan f(x) kontinu di L, maka
• Teorema kekontinuan fungsi komposisi: Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di a. Bukti
karena f kontinu di g(a) = f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
Lxgax
)(lim
)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax
))(( xgf
))((lim))((lim xgfxgfaxax
))(lim( xgfax
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN
4313cos)( 2
4
xxxxxf
))(()( xhgxf
4313)( 2
4
xxxxxh dan g(x) = cos x
Contoh Tentukan dimana fungsi
kontinu
Jawab : Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
dengan
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}
SK DAN KD
MATERI 1
SOAL 1
MATERI 2
SOAL 2
PENGAYAAN