Skrip Ta opm

Univerzitet u Zenici

UN

IV

ER

SIT

AS

S T U D I O R UM

ZE

NIC

AE

NS

IS

UN

IVE

R ZI T E T U Z

EN

ICI

Mainski fakultet

Aleksandar Kara

Numerike metodeu inenjerstvu

Zenica, 2008.

Predgovor

Ovaj udbenik je namijenjen studentima dodiplomskog studija Mainskogfakulteta ......

Poglavlja u udbeniku u potpunosti zadovoljavaju plan i ....Na kraju, autor bi se zahvalio ....

i

Sadraj

Predgovor i

Sadraj iii

1 Uvod 11.1 Osnovne ideje i koncepti u numerikoj analizi . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Iteracija, konvergencija, rekurzija . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Linearizacija, aproksimacija, ekstrapolacija . . . . . . . . 3

1.2 Znaajne cifre, tanost, greke i predstavljanje brojeva . . . . . 41.2.1 Znaajne cifre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Preciznost i tanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Greke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Predstavljanje brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Taylorov red za funkcije jedne promjenljive . . . . . . . . . . . . 8

2 Rjeavanje nelinearnih jednaina 112.1 Osnovne karakteristike u pronalaenju korijena . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Lokalizacija nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Poboljanje rjeenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Ponaanje nelinearnih jednaina . . . . . . . . . . . . . . 132.1.4 Neke smjernice u traenju korijena . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Metode na zatvorenom intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1 Metoda polovljenja intervala . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Metoda regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Metode na otvorenom intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Metoda proste iteracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Newtonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.3 Modifikovana Newtonova metoda . . . . . . . . . . . . . 282.3.4 Metoda sjeice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iii

2.4 Problemi u numerikom rjeavanju nelinearnih jednaina . . . . 322.5 Pitanja i zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Rjeavanje sistema linearnih jednaina 373.1 Direktne metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1 Cramerovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.2 Metode eliminacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.3 Matrina metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.4 Metode faktorizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.5 Nedostaci metoda eliminacije . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Iterativne metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.1 Jacobijeva metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.2 Gauss-Seidelova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.3 Metode relaksacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Ostale metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4 Pitanja i zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Interpolacija i aproksimacija funkcija 654.1 Interpolacija polinomima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.1 Direktna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.2 Lagrangeov interpolacioni polinom . . . . . . . . . . . . . 704.1.3 Newtonovi interpolacioni polinomi . . . . . . . . . . . . . 724.1.4 Greka interpolacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Aproksimacija funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.1 Metoda najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Pitanja i zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Numeriko diferenciranje i integriranje 875.1 Numeriko diferenciranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.1 Diferenciranje pomou priblinih polinoma . . . . . . . . 875.1.2 Formule za diferenciranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2 Numeriko integriranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.1 Integriranje pomou priblinih polinoma . . . . . . . . . 935.2.2 Newton-Cotesove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2.3 Gaussove kvadraturne formule . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2.4 Numeriko izraunavanje viestrukih integrala . . . . . . 104

5.3 Pitanja i zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

iv

6 Rjeavanje obinih diferencijalnih jednaina 1096.1 O obinim diferencijalnim jednainama . . . . . . . . . . . . . . 1096.2 Rjeavanje problema poetnih vrijednosti . . . . . . . . . . . . . 111

6.2.1 Taylorova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.2.2 Metoda konanih razlika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.2.3 Eulerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2.4 Runge-Kutta metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2.5 Ostale metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3 Obine diferencijalne jednaine vieg reda . . . . . . . . . . . . 1296.4 Sistem obinih diferencijalnih jednaina . . . . . . . . . . . . . . 1326.5 Rjeavanje problema graninih vrijednosti . . . . . . . . . . . . 136

6.5.1 Metoda gaanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.5.2 Metoda ravnotee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.6 Pitanja i zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7 Ukratko o rjeavanju parcijalnih diferencijalnih jednaina 1517.1 Ukratko o parcijalnim diferencijalnim jednainama . . . . . . . 1517.2 Numerike metode za rjeavanje parcijalnih diferencijalnih jed-

naina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.2.1 Metoda konanih razlika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.2.2 Metoda konanih volumena . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.2.3 Metoda konanih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Literatura 155

A Softveri za numeriku analizu 157

B Neke korisne web stranice 159

C Formule za pismeni ispit 161

Popis pojmova 167

v

Poglavlje 1

Uvod

U ovom udbeniku predstavljene su metode koje se mogu koristiti u rjeavanjumatematikih problema koji se pojavljuju u inenjerskim problemima i nauci,a za koje ne postoje tane metode rjeavanja, ili su iste neefikasne. S obziromna pristupanost veoma brzim raunarima u dananje vrijeme, na ovaj nainje mogue veoma brzo dobiti rjeenja visoke tanosti za mnoge probleme sakojima se suoavaju dananji inenjeri i naunici. Ovo uvodno poglavlje, pak,objanjava osnovne pojmove sa kojima se susreemo u numerikim prorau-nima. Pored toga, u posljednjem dijelu je data je i lista najee koritenihkomercijalnih softvera za numerike proraune koji su na raspolaganju dana-njim inenjerima i naunicima.

1.1 Osnovne ideje i koncepti u numerikoj analizi

U veini numerikih metoda primjenjuje se mali broj optih i relativno jedno-stavnih ideja. Ove ideje se meusobno povezuju sa nekim dodatnim saznanjimao problemu koji se rjeava. U ovom poglavlju date su neke osnovne opte idejekoje se kriju iza numerikih metoda za rjeavanje jednostavnijih problema, amogu se pojaviti kao dio nekog veeg problema.

1.1.1 Iteracija, konvergencija, rekurzija

Jedan od najee sretanih pojmova u mnogim kontekstima je pojam iteracije(lat. iteration, ponavljanje) ili sukcesivne aproksimacije. Openito govorei,iteracija predstavlja ponavljanje niza radnji ili postupaka, kao to je ponav-ljanje nekog numerikog procesa, s ciljem poboljanja prethodno dobivenihrezultata.

Uvod

Kako bismo pojasnili pojam iteracije, posmatrajmo problem rjeavanja ne-linearne jednaine, date u obliku:

x = g(x) (1.1)

gdje je g(x) diferencijabilna funkcija ija se vrijednost moe izraunati za bilokoju vrijednost realne promjenljive x unutar zadatog intervala. Koristei ite-raciju, poinje se sa nekom poetnom aproksimacijom x0, i izraunava se red:

x1 = g(x0),

x2 = g(x1),

x3 = g(x2),

. . . . . .

xn+1 = g(xn),

(1.2)

Svaka jednakost oblika xn+1 = g(xn) naziva se iteracija. Ako niz xn konvergiraka graninoj vrijednosti tada imamo:

= limn

xn+1 = limn

g(xn) = g() (1.3)

pa x = zadovoljava jednainu x = g(x). U cilju je da sa porastom n imamosve bolju procjenu eljenog korijena (rjeenja) jednaine (1.1). Iteracija sezaustavlja kada se dobije eljena tanost.

Posljednja formula u nizu (1.2)

xn+1 = g(xn) (1.4)

naziva se rekurzivna ili rekurentna formula. Ove formule predstavljaju jedanod najvanijih elemenata u pisanju numerikih algoritama, s obzirom da seveliki broj komplikovanih prorauna esto moe svesti na mali broj izraza kojisu meusobno povezani.

Geometrijska interpretacija iteracije je data na slici 1.1. Korijen jednaine(1.1) je dat kao abscisa (i ordinata) presjene take krive y = g(x) i linije y = x.Koristei ideju iteracije i poinjui sa x0 dobijamo taku A0 sa koordinatama(x0, g(x0)). Sada se lako dobija taka B1, jer ima istu vrijednost ordinatekao taka A0, tj. y = g(x0) = x1. Postupak se zatim ponavlja dok se nepostigne eljena tanost. Sa slike 1.1a se vidi da niz xn monotono konvergira(stepeniasti profil pribliavanja tanom rjeenju). Slika 1.1b pokazuje sluaju kojem, takoer, proces konvergira, ali ne monotono (sukcesivne iteracije sesmjenjuju s lijeva na desno). Meutim, postoje i sluajevi u kojima iterativniproces divergira (slike 1.1c i d).

2

1.1. Osnovne ideje i koncepti u numerikoj analizi

1.1.2 Linearizacija, aproksimacija, ekstrapolacija

Jo jedna od esto koritenih ideja je da se neka komplikovanija funkcija lo-kalno, tj. u maloj okolini neke take, aproksimira linearnom funkcijom. Upo-treba ove ideje e se pokazati na primjerima rjeavanja jednaine f(x) = 0koristei razne numerike metode date u poglavlju 2. Na primjer, metodasjeice je klasini primjer upotrebe linearne aproksimacije. Meutim, trebanaglasiti i upotrebu kombinovanja ideja linearizacije i iteracije.

x

f(x)

A0

x0 x1

M

x2 x3

A1

g(x0)

B1

x

f(x)

x0 x2 x4 x3 x1

M

A0

A1

A2

A3

A4

x

f(x)

x0=x2 x1=x3

M

x

f(x)

B0

x3 x2

M

x1 x0

B1

B2

B3

A0

A1

A2

a) b)

c) d)

Slika 1.1: Geometrijska interpretacija iteracije xn+1 = g(xn)

Ipak, linearizacija (neki autori je nazivaju i linearna aproksimacija) ponekadne moe da omogui rjeavanje problema sa eljenom tanou ili brzinom(na primjer, numerika integracija elementarnih funkcija za koje ne postojianalitiko rjeenje, kao to je integracija primitivnih funkcija ex2 ili sinx/x).U takvim sluajevima moe se iskoristiti jedna od sljedee dvije vane ideje:

Lokalna aproksimacija polinomom vieg reda, ili nekom drugom funkci-jom,

3

Uvod

Ekstrapolacija. Na primjer, trapezno pravilo za numeriku integraciju seprimijeni na vie razliitih koraka h, a zatim se ekstrapolira za h = 0(tzv. Richardsonova ekstrapolacija), koristei opte rezultate sa osvrtomna zavisnost greke od koraka h.

1.2 Znaajne cifre, tanost, greke i predstavljanje bro-jeva

Numeriki prorauni ukljuuju i razne manipulacije brojevima (sabiranje, mno-enje, itd.), pri emu brojevi mogu biti cijeli (npr. 2, 50, -30, itd.), razlomci(npr. 1/2, -3/5, itd.), ili beskonani nizovi cifara (npr. pi = 3.1415926535 . . .).Pri radu sa numerikim vrijednostima i numerikim proraunima treba imatina umu sljedee koncepte:

1. Znaajne cifre

2. Preciznost i tanost

3. Greke

4. Predstavljanje brojeva

1.2.1 Znaajne cifre

Pojam znaajnih cifara nekog broja predstavlja cifre tog broja za koje se znada su tane. Openito, svaki inenjerski ili nauni proraun poinje grupompodataka koji imaju poznat broj znaajnih cifara. Kada se ovakvi brojeviprocesiraju u nekom numerikom algoritmu, vrlo je vano moi odrediti kolikoznaajnih cifara se nalaze u konano proraunatom rezultatu.

Postoje razliita tumaenja pojma znaajnih cifara, ali sva se mogu svestina sljedeih 5 pravila:

(i) Sve cifre razliite od nule su znaajne. Na primjer, broj 142.56 ima petznaajnih cifara, a broj 123456 ima est znaajnih cifara.

(ii) Sve nule koje se nalaze izmeu cifara razliitih od nule su znaajne. Naprimjer, broj 3001.378 ima 7 znaajnih cifara.

(iii) Sve nule koje se nalaze sa desne strane decimalne take (zareza) su zna-ajne ako slijede cifru razliitu od nule. Na primjer, broj 5.40 ima triznaajne cifre, ali i broj 5.400 ima tri znaajne cifre.

4

1.2. Znaajne cifre, tanost, greke i predstavljanje brojeva

(iv) Nule koje se u broju nalaze samo da bi oznaile poziciju decimalnog zarezanisu znaajne. Na primjer, broj 0.516 ima tri znaajne cifre, ali i broj0.0516 ima tri znaajne cifre. Broj 0.05016 ima etiri znaajne cifre, abroj 0.050160 pet znaajnih cifara.

(v) Nule koje se mogu izostaviti bez mijenjanja numerike vrijednosti nekogbroja nisu znaajne. na primjer, broj 00315.8 ima etiri znaajne cifre.

Ipak, i kod ove grupe pravila postoje neke nejasne situacije, kao to je naprimjer broj 2040300000, kod kojeg imamo veliki broj nula kojima zavravabroj. U principu, ne postoji savreno rjeenje za ovakav problem, ali veinaautora smatra da u tom sluaju posljednjih pet nula nisu znaajne.

1.2.2 Preciznost i tanost

Pojam preciznosti se odnosi na to koliko je neki broj blizu broja koji predstav-lja, tj. koja je pozicija posljednje znaajne cifre na desnoj strani decimalnogzareza. Ako je ta pozicija sa lijeve strane decimalnog zareza, onda se preciz-nost mjeri u desetinama, stotinama i sl. Pojam tanosti, pak, se odnosi na tokoliko dobro se neki broj slae sa tanom vrijednosti broja koji predstavlja,tj. koliko ima znaajnih cifara. Na primjer, broj 320.56 ima tanost od 5 zna-ajnih cifara, i preciznost na 2 decimalna mjesta. S druge strane, broj 321560ima tanost od 5 znaajnih cifara i preciznost desetina.Na slian nain, broj0.00000002 ima tanost od jedne znaajne cifre, i preciznost od 8 decimalnihmjesta, ili broj 325000000, sa tri znaajne cifre, i preciznost u milionima.

Preciznost i tanost se u numerikim proraunima kvantificiraju grekama.

1.2.3 Greke

Kao to je reeno u prethodnom dijelu, tanost nekog numerikog proraunase kvantificira grekom prorauna. Pri tome, treba imati u vidu izvore ovihgreaka, njihove vrste, te njihovu propagaciju.

Izvori greaka

Numeriki rezultati mogu biti izloeni mnogim tipovima greaka, pri emu sena neke moe veoma teko utjecati, dok se neke druge mogu potpuno elimi-nisati. Greke se ire (propagiraju) od njihovog izvora prema veliinama kojese kasnije izraunavaju, ponekad sa velikim pojaanjem ili priguenjem. Pritome je veoma vano napraviti razliku izmeu greke koja se stvorila pri rau-nanju neke veliine (izvor greke), i greke koja se naslijedila (propagirala) izpodataka od kojih zavisi veliina koja se rauna.

5

Uvod

Sve greke se, s obzirom na izvore nastanka, mogu podijeliti na sljedeinain:

Greke pri unosu podataka. Ulazni podaci mogu biti rezultat mjerenja,koje moe biti pod utjecajem sistemskih greaka ili trenutnih poremeaja.

Greke usljed zaokruivanja u toku raunanja. Ogranienje broja znaaj-nih cifara u raunaru moe ponekad dovesti do gubitka informacije kojamoe, a ne mora, biti vana. Dva tipina sluaja su:

1. Kada raunar ne moe da manipulie sa brojevima koji imaju veibroj cifara od, na primjer, s, onda taan proizvod dva broja sa scifara ne moe da se koristi u naknadnim proraunima.

2. Ako se pri proraunu relativno mali broj a doda broju b, onda e nekevrijednosti broja a biti zanemarene, i nee imati nikakav utjecaj nadalji proraun.

Greke usljed prekidanja. Ove greke nastaju kada se neki proces prekineprije nego se dobije neka granina vrijednost. Ova greka se javlja kadase, na primjer, beskonaan niz prekida nakon konanog broja lanova, ilikada se neka funkcija aproksimira linearnom funkcijom.

Pojednostavljenja u matematikom modelu. U veini problema sa primje-nom (numerike) matematike, prave se idealizacije. Tako se, na primjer,moe pretpostaviti da je teina ueta klatna jednaka nuli, moe se usvojitiprincip mehanike kontinuuma (iako se tvari sastoje od atoma), i sl. Ovajtip greaka je ponekad veoma teko procijeniti.

Ljudske greke i greke raunara. Pri numerikom rjeavanju problema,mora se oekivati pojava greaka u runom raunanju ili usljed nespora-zuma. Osim toga, mora se paziti i na mogunost greaka u knjigama,tabelama ili formulama koje su na raspolaganju. U ove greke spadaju igreke u samim programima, unosu podataka, greke u koritenim opera-torima, greke u raunarskim procesorima, i sl.

Apsolutna i relativna greka

Aproksimacija je centralni koncept u gotovo svim oblastima primjene (nume-rike) matematike, s obzirom da se vrlo esto moramo zadovoljiti sa priblinimvrijednostima sa kojima radimo. Drugi vid aproksimacije je kada zanemaru-jemo neke veliine koje su male u odnosu na druge. Ovakve aproksimacije suesto neophodne kako problem koji rjeavamo ne bi postao previe komplikovansa matematikog i numerikog gledita.

6

1.2. Znaajne cifre, tanost, greke i predstavljanje brojeva

Upravo iz prethodno navedenih razloga, javljaju se pojmovi (definicije)apsolutne i relativne greke. Ako je, na primjer, x priblina vrijednost tanevrijednosti x, onda je: apsolutna greka

x = |x x| (1.5) relativna grekaxx

= x xx (1.6)

Neki autori, meutim, greku definiu kao obinu razlika izmeu tane i pri-bline vrijednosti, mada neki koriste i obinu razliku pribline i tane vrijed-nosti.

Ipak, vrlo je vano napomenuti neke karakteristike u vezi ove dvije vrstegreaka. Posmatrajmo, na primjer, neki iterativni postupak u kojem se traida je apsolutna greka 0.001. Ako je tano rjeenje 100.000, onda je priblinavrijednost jednaka 100.0000.001 i ima pet znaajnih cifara. Meutim, ako jetano rjeenje jednako 0.001, onda je priblino rjeenje jednako 0.001 0.001 inema znaajnih cifara. Ovaj primjer ukazuje na opasnost koritenja apsolutnegreke kao kriterija tanosti. No, u sluaju kada se poznaje tano rjeenje,kriterij apsolutne greke se moe koristiti za dobivanje tanosti sa traenimbrojem znaajnih cifara. U suprotnom, pogodnije je koristiti relativnu greku.

Posmatrajmo sada sluaj iterativnog postupka sa relativnom grekom jed-nakom 0.00001. Ako je tano rjeenje 100.000, onda apsolutna greka morabiti jednaka 100.000 (0.00001) = 0.001 da bi se zadovoljila relativna gre-ka. Ovo znai da e u priblinom rjeenju biti pet znaajnih cifara. Akoje, na primjer, tano rjeenje 0.001, onda apsolutna greka mora biti jednaka0.001 (0.00001) = 0.0000001 da bi se zadovoljio kriterij relativne greke.Ovo, takoer, dovodi do pet znaajnih cifara. Dakle, relativna greka dovodido jednakog broja znaajnih cifara u priblinom rjeenju, bez obzira na veliinutanog rjeenja.

Propagacija greaka

U naunim proraunima dati ulazni podaci su obino netani. Greke u ulaz-nim podacima se ire (propagiraju) i poveavaju greke na izlazu. Takoer,greke zaokruivanja u svakom koraku prorauna se mogu iriti i dati grekena izlazu. Ipak, u veini algoritama moe se dati analiza greke zaokruivanja,koja za sluajeve sa malim poremeajima ulaznih podataka, pokazuje da jeizraunati rezultat uvijek jednak tanom.

7

Uvod

1.2.4 Predstavljanje brojeva

Brojevi se predstavljaju brojnim sistemima (npr. dekadni, oktalni, heksade-cimalni, binarni, itd.), koje ini baza sistema. Nasuprot decimalnom sistemu(sa bazom 10), koji je najei sistem u komunikaciji ljudi, digitalni raunarikoriste binarni sistem (sistem sa bazom 2), tj. sistem nula i jedinica. U tomsluaju binarni broj se sastoji od binarnih bita. Broj binarnih bita odreujepreciznost kojom binarni broj predstavlja neki decimalni broj. Najea veli-ina binarnog broja je 32 binarna bita, koji priblino moe predstaviti realnibroj sa sedam decimalnih cifara. Neki raunari imaju 64-bitne binarne brojeve,koji predstavljaju 13 ili 14 decimalnih cifara, a neki ak i 128-bitne. Meu-tim, u mnogim inenjerskim i naunim proraunima 32-bitni binarni brojevisu sasvim dovoljni, ali je i na njima mogue izvriti 64-bitne i 128-bitne pro-raune, koristei odreena softverska poboljanja. Ovo se postie koritenjemtzv. dvostruke (eng. double precision) ili etverostruke (eng. quad precision)tanosti, respektivno. No, takvi prorauni mogu zahtijevati i do 10 puta vieraunskog vremena od tzv. jednostruke tanosti (eng. single precision).

Treba napomenuti da su osim za cijele brojeve i neke razlomke, sve binarnereprezentacije decimalnih brojeva aproksimacije, s obzirom na konanu duinubinarnog zapisa (na primjer, broj 0.2 u binarnom zapisu ima beskonaan oblik0.00110011...). Na taj nain, gubitak preciznosti u binarnoj reprezentaciji de-cimalnih brojeva se ne moe izbjei. Situacija se pogorava kada se izvravajuaritmetike operacije sa takvim binarnim reprezentacijama, jer se taan re-zultat ne moe tano predstaviti binarnim brojevima koje digitalni raunarmoe predstaviti. Ovdje je rezultat zaokruen na posljednju binarnu cifru naraspolaganju. Ovo zaokruivanje poveava greku zaokruivanja, koja se moeakumulisati sa poveanim brojem kalkulacija.

1.3 Taylorov red za funkcije jedne promjenljive

S obzirom da se e se u tekstu vrlo esto pojavljivati potreba za koritenjemTaylorovog reda, u daljem tekstu je dato objanjene istog za funkciju jednepromjenljive.

Moe se pokazati da se svaka neprekidna funkcija f(x) moe tano predsta-viti stepenim redom u radijusu konvergencije r, tj.

f(x) =n=0

an(x x0)n, x0 r x x0 + r (1.7)

8

1.3. Taylorov red za funkcije jedne promjenljive

Ako se koeficijenti an u jednaini (1.7) prikau u obliku:

a0 = f(x0), a1 =1

1!f (x0), a2 =

1

2!f (x0), . . . (1.8)

dobija se Taylorov red funkcije f(x) za x = x0, odnosno

f(x) = f(x0) +1

1!f (x0)(x x0) + 1

2!f (x0)(x x0)2 + . . . (1.9)

ili u jednostavnijoj formi

f(x) = f0 + f0x+

1

2f 0x

2 + . . .+1

n!f(n)0 x

n + . . .

=n=0

1

n!f(n)0 x

n(1.10)

S obzirom da je nepraktino koristiti beskonaan Taylorov red dat prethod-nim jednainama, on se moe napisati i kao konaan red, koji se jo naziva iTaylorova formula ili polinom, sa ostatkom, kako slijedi:

f(x) = f(x0) +1

1!f (x0)(x x0) + 1

2!f (x0)(x x0)2 + . . .

+1

n!f (n)(x0)(x x0)n +Rn+1

(1.11)

gdje je Rn+1 ostatak koji je dat formulom:

Rn+1 =1

(n+ 1)!f (n+1)()(x x0)n+1, x0 x (1.12)

Za x0 = 0 dobija se tzv. MacLaurinov red.

9

Poglavlje 2

Rjeavanje nelinearnih jednaina

Mnogi problemi u inenjerstvu i nauci zahtijevaju pronalaenje rjeenja nekenelinearne jednaine (traenje korijena). Ovo je jedan od najstarijih problemau matematici. Problem se, u stvari, svodi na sljedee: Za datu neprekidnunelinearnu funkciju f(x), treba nai vrijednosti x = takvu da je f() = 0.Problem je grafiki predstavljen na slici 2.1. Pri tome, nelinearna jednainaf(x) = 0 moe biti algebarska, transcedentalna, rjeenje neke diferencijalnejednaine, ili bilo koja nelinearna relacija izmeu ulazne veliine x i izlazneveliine y.

x

f(x)

f([1)=0 f([2)=0[1 [2

Slika 2.1: Rjeenje nelinearne jednaine


2.1 Osnovne karakteristike u pronalaenju korijena

U postupku rjeavanja nelinearnih jednaina moemo razlikovati dvije faze, ito:

lokalizacija nula, poboljanje rjeenja

2.1.1 Lokalizacija nula

Lokalizacija nula predstavlja grubo (priblino) pronalaenje rjeenja koje moeposluiti kao poetna aproksimacija u nekoj sistematskoj proceduri pronalae-nja, koja poboljava rjeenje do odreene tanosti. Ako je to mogue, najboljeje nai granice intervala u kojima se nalazi korijen i u kojima funkcija ima raz-liit znak. U ovu svrhu se mogu koristiti razliite metode od kojih su najee:crtanje grafika funkcije, inkrementalno pretraivanje, prola iskustva sa istimili slinim problemom, rjeenje pojednostavljenog modela, prethodno rjeenjeu nizu dobijanja rjeenja, itd.

Crtanje grafika funkcije izvodi se u intervalu koji nas interesuje. Ako, naprimjer, rjeenje neke jednaine predstavlja pozitivnu veliinu, kao to je pre-eni put ili vrijeme, neemo crtati negativne vrijednosti funkcije. Kako danasmnogi kalkulatori imaju mogunost crtanja grafika funkcija, ovaj postupak jeznatno olakan. Uz to, postoje mnogi softverski paketi koji uz sve ostale mo-gunosti mogu da se koriste i za crtanje grafika funkcija (na primjer, Excel,Matlab, MathCAD, Mathematica, itd.)

Inkrementalno pretraivanje se sastoji u izraunavanju vrijednosti funkcijeod poetne do krajnje take intervala koji se posmatra, sa nekim malim ko-rakom. U trenutku kada funkcija promijeni znak, pretpostavi se da korijendate jednaine lei u tom podintervalu (naravno, uz uslov da je funkcija nepre-kidna na datom intervalu). Ove dvije vrijednosti mogu se koristiti kao poetneaproksimacije za neku od procedura poboljanja rjeenja.

Treba napomenuti da je vrlo vano nai dobre poetne aproksimacije kakobi procedura za poboljanje korijena jednaine uopte konvergirala, ali i da bikonvergirala prema tanom rjeenju.

2.1.2 Poboljanje rjeenja

Poboljanje rjeenja predstavlja odreivanje rjeenja do eljene tanosti po-mou neke od sistematskih procedura. U tu svrhu mogu se koristiti:

Vie o ovim softverima bie rijei u A

12

2.1. Osnovne karakteristike u pronalaenju korijena

Metode na zatvorenom intervalu Metode na otvorenom intervalu.Metode na zatvorenom intervalu su metode koji poinju sa dvije vrijednosti

x, na primjer a i b, izmeu kojih se nalazi rjeenje x = , i koje sistematskismanjuju poetni interval (a, b) na podintervale u kojima se, takoer, moranalaziti korijen jednaine. U ove metode spadaju metoda polovljenja intervalai regula falsi. Treba napomenuti da su ove metode veoma sigurne, jer je do-bijanje eljenog rjeenja zagarantovano. Ipak, mogu veoma sporo konvergiratido traene tanosti.

Metode na otvorenom intervalu ne zahtijevaju da se korijen nalazi u nekomintervalu. Kao posljedica, ove metode nisu tako sigurne, a mogu i divergirati.Meutim, kako se u ovim metodama pri procjeni korijena koriste informacijeo samoj funkciji koja se posmatra, one su mnogo efikasnije od metoda na za-tvorenom intervalu. U ovom kursu obradie se sljedee metode na otvorenomintervalu: metoda proste iteracije, Newtonova metoda, modifikovana Newto-nova metoda, te metoda sjeice.

2.1.3 Ponaanje nelinearnih jednaina

Nelinearne jednaine se mogu razliito ponaati u blizini korijena. Algebarskei transcedentalne jednaine mogu imati razliite (jednostavne) realne, vies-truke, te kompleksne korijene. Polinomi mogu imati realne i kompleksne ko-rijene, pri emu se u sluaju svih realnih koeficijenata polinoma, kompleksnikorijeni javljaju u konjugovanim parovima (u sluaju kompleksnih koeficije-nata mogui su i pojedinani kompleksni korijeni).

Slika 2.2 pokazuje nekoliko sluajeva razliitog ponaanja nelinearnih funk-cija u blizini korijena. Slika 2.2a pokazuje sluaj sa jednim realnim korijenom(jednostavan korijen). Slika 2.2b pokazuje sluaj bez realnih korijena. U tomsluaju mogu postojati kompleksni korijeni. Situacija sa dva ili tri jednostavnasluaja pokazana je na slikama 2.2c i d, respektivno, dok su na slikama 2.2e if dati primjeri mnogostrukih korijena. Situacija sa dva mnogostruka i jednimjednostavnim korijenom data je na slici 2.2g. Opti sluaj, u kojem se pojav-ljuje vie jednostavnih i mnogostrukih korijena, dat je na slici 2.2h (i u ovomsluaju mogu se pojaviti kompleksni korijeni).

Mnogi inenjerski problemi imaju jednostavne korijene, kao to je pokazanona slici 2.2a. Takvi korijeni se mogu nai gotovo svakom od metoda za rjea-vanje nelinearnih jednaina, ako imamo dobru poetnu aproksimaciju. Ipak,postoje sluajevi kod kojih je neophodna panja kako bi se dolo do eljenogrjeenja.

13


x

f(x)

[

[2

a)

x

f(x)

b)

x

f(x)

c)

[1 x

f(x)

d)

[2[1 [3

x

f(x)

e)

[1=[2 x

f(x)

f)

[1=[2=[3

x

f(x)

g)

[2=[3[1 x

f(x)

h)

Slika 2.2: Korijeni nelinearnih jednaina: a) jednostavan korijen, b) bez realnih korijena,c) dva jednostavna korijena, d) tri jednostavna korijena, e) dva viestruka korijena, f) tri

viestruka korijena, g) jedan jednostavan i dva viestruka korijena, e) opti sluaj

14

2.1. Osnovne karakteristike u pronalaenju korijena

2.1.4 Neke smjernice u traenju korijena

I pored toga to postoji veliki broj metoda za rjeavanje nelinearnih jednaina,treba znati da neke od metoda ne mogu nai neke od korijena, te da brzinakonvergencije, tj. utroenog rada i vremena, moe biti od presudnog znaaja.Neke od vanih smjernica pri rjeavanju jednaina su:

Proces lokalizacije bi trebao ograniiti korijen. Dobra poetna aproksimacija je veoma vana. Metode sa zatvorenim intervalom su sigurnije nego one sa otvorenim, jerzadravaju rjeenje u zatvorenom intervalu.

Metode sa otvorenim intervalom, kada konvergiraju, openito konvergi-raju bre od metoda sa zatvorenim intervalom.

Za funkcije bez naglih promjena u ponaanju, veina algoritama uvijekkonvergira ako je poetna aproksimacija dovoljno blizu. Za ove sluajeveunaprijed je mogue procijeniti brzinu konvergencije.

Mnogi, ako ne i veina, inenjerski problemi su jednostavni i dobro se"ponaaju". U takvim sluajevima se jednostavne metode, kao to jeNewtonova metoda, mogu primijeniti bez bojazni da se radi o nekomspecijalnom sluaju.

Ako se neki problem treba rijeiti samo jednom, ili mali broj puta, efikas-nost nije u prvom planu. Nasuprot tome, ako se rjeavanje neke jednaineobavlja veliki broj puta, veoma vano je koristiti efikasnije metode.

Metode za rjeavanje nelinearnih jednaina bi trebale imati sljedee osobine:

Treba biti poznat maksimalan broj iteracija. U sluaju da metoda koristi prvi izvod funkcije, f (x), mora se paziti daova vrijednost u toku prorauna ne bude jednaka nuli.

Test konvergencije oblika |xi+1 xi|, te apsolutna vrijednost funkcije|f(xi+1)| se moraju uzeti u obzir.

Kada se dostigne konvergencija, konana procjena korijena bi se trebalauvrstiti u funkciju f(x), kako bi se zagarantovalo da je f(x) = 0 u grani-cama eljene konvergencije.

15


2.2 Metode na zatvorenom intervalu

2.2.1 Metoda polovljenja intervala

Metoda polovljenja intervala ili bisekcije (eng. interval halving, bisection) jejedna od najjednostavnijih metoda za traenje korijena nelinearnih jednaina.U ovoj metodi, prvo se odrede dvije procjene korijena, i to lijevo, za x = a,i desno, x = b, od korijena. Ove procjene ograniavaju korijen, kao to jeprikazano na slici 2.3. Oigledno je da korijen x = lei u intervalu (a, b).Ovaj interval se moe prepoloviti usrednjavanjem vrijednosti a i b, tako da sedobije c = (a + b)/2. Na taj nain dobiju se dva intervala:(a, c) i (c, b). Kojiinterval sadri korijen zavisi od vrijednosti f(c). Ako je f(a) f(c) < 0, kaoto je to sluaj na slici 2.3, korijen se nalazi u intervalu (a, c). Tada se postavida je b = c, i postupak ponovi. Ako je, pak, f(c) f(b) < 0, postavi se da jea = c i postupak polovljenja nastavi. U sluaju da je f(a) f(c) = 0, korijenjednaine jednak je c.

x

f(x)

b=b0

f(b)

f(c)

f(a)

a=a0

a1

a2

c=b1c=b2

c=a3

Slika 2.3: Grafika interpretacija metode polovljenja intervala

Prema tome, metoda polovljenja intervala je iterativna metoda, sa sljedeimalgoritmom:

c =a+ b

2(2.1a)

Ako je f(a) f(c) < 0 : a = a, b = c (2.1b)Ako je f(c) f(b) < 0 : a = c, b = b (2.1c)Ako je f(a) f(c) = 0 : dobiva se rjeenje = c (2.1d)

Iterativni postupak se nastavlja sve dok se ne postigne eljena tanost, tj. dokveliina intervala ne postane manja od eljene tolerancije 1 (|bi ai| 1),

16

2.2. Metode na zatvorenom intervalu

ili veliina f(x) ne postane manja od eljene tolerancije 2 (|f(ci)| 2), ilioboje.

Metoda polovljenja intervala ima nekoliko prednosti:

Korijen jednaine se nalazi unutar granica nekog intervala, tako da jekonvergencija zagarantovana.

Maksimalna greka metode je |bn an|. S obzirom da se svakom iteracijom interval polovi, (maksimalan) broj ite-racija n, a time i broj raunanja funkcije, koji je potreban da se prvobitniinterval (b0, a0) smanji na odreeni interval (bn, an), dobiva se iz

(bn an) = 12n(b0 a0) (2.2)

Na taj nain, n je dato sa:

n =1

log(2)log

(b0 a0bn an

)(2.3)

Osnovni nedostatak ove metode je spora konvergencija, odnosno veliki brojiteracija radi postizanja eljene tanosti.

Primjer 2.1

Metodom polovljenja intervala nai pozitivni korijen jednaine f(x) = x2 2=0. Postupak rjeavanja zaustaviti kada apsolutna vrijednost razlike izmeudvije uzastopne iteracije, , bude manja od 104, tj. |xi+1 xi| < .Rjeenje

Kao to je u prethodnim poglavljima reeno, prvi korak u numerikom rje-avanju jednaina predstavlja lokalizacija nula. Ovo moemo na najlaki nainpostii crtanjem grafika funkcije i utvrivanjem intervala u kojem se dato rje-enje nalazi. Sa slike 2.4 se jasno vidi da se pozitivno rjeenje zadate jednainenalazi u intervalu (a, b) = (1, 2).

U krajnjim takama intervala funkcija f(x) ima vrijednosti razliitog pred-znaka, tj. f(1) = 1 < 0 i f(2) = 2 > 0, pa se u datom intervalu nalazi barjedan korijen date jednaine. Sada se vri podjela intervala na dva jednakapodintervala i provjerava koji od podintervala sadri korijen jednaine. Dakle,slijedei algoritam za metodu polovljenja intervala, imamo:

c =a+ b

2=

1 + 2

2= 1.5

17


x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

[1 [2

fx=x-

Slika 2.4: Grafiki prikaz funkcije f(x) = x2 2

f(c) = f(1.5) = 0.25 > 0

S obzirom da je f(c) > 0 i f(a) < 0 rjeenje se nalazi u podintervalu (a, c) =(1, 1.5), i stavljamo da je b = c. Postupak ponavljamo na novom intervalu(a, b) = (1, 1.5), tj.

c =a+ b

2=

1 + 1.5

2= 1.25

f(c) = f(1.25) = 0.4375 < 0pa je novi podinterval u kojem se nalazi korijen zadate jednaine (a, c) =(1.25, 1.5).

Postupak se ponavlja dok se ne postigne eljena tanost. U Tabeli 2.1sumarno su dati rezultati prorauna.

Konano, rjeenje je = 1.41425.

2.2.2 Metoda regula falsi

Kao to se moglo vidjeti, u sluaju metode polovljenja intervala korijen jedna-ine se aproksimira kao srednja vrijednost intervala u kojem se korijen nalazi.U metodi regula falsi (to u prevodu znai metoda netanog poloaja), neline-arna funkcija f(x) se aproksimira linearnom funkcijom g(x) u intervalu (a, b),

18

2.2. Metode na zatvorenom intervalu

Tabela 2.1: Uz primjer 2.1Iteracija a f(a) b f(b) c |xi xi1|

1 1 -1 2 2 1.5 -2 1 -1 1.5 0.25 1.25 0.253 1.25 -0.4375 1.5 0.25 1.375 0.1254 1.375 -0.109375 1.5 0.25 1.4375 0.0625...

......

......

......

13 1.41406 -0.000427 1.41431 0.000263 1.41418 0.00012214 1.41418 -0.000008 1.41431 0.000263 1.41425 0.000061

a korijen te linearne funkcije g(x), x = , se uzima kao sljedea aproksimacijakorijena nelinearne jednaine f(x) = 0. S obzirom na linearnu interpolacijunelinearne funkcije, ova metoda se jo naziva i linearna interpolaciona metoda.

x

f(x)

b

f(b)

f(c)

f(a)

ac=x1

c=x2

Slika 2.5: Grafika interpretacija metode regula falsi

Grafika interpretacija metode regula falsi data je na slici 2.5. Kao to se saslike vidi, linearna funkcija g(x), koja aproksimira funkciju f(x), ima korijen utaki c = x1. Na taj nain, poetni interval (a, b) se dijeli na dva podintervala(a, x1) i (x1, b). Vrijednost take x1 se moe lako odrediti pomou jednaineg(x) i uslova g(x1) = 0, tj.

g(b) g(x1) = g(b) g(a)b a (b x1) (2.4)

19


S obzirom da je g(a) = f(a) i g(b) = f(b), te g(x1) = 0, slijedi:

f(b) =f(b) f(a)

b a (b x1) (2.5)

i konano:

x1 = b b af(b) f(a)f(b) (2.6)

Koji od ova dva intervala,(a, x1) i (x1, b), sadri korijen jednaine, odreujese na isti nain kao u metodi polovljenja intervala, a zatim se proces ponavlja.Algoritam metode regula falsi moe se predstaviti na sljedei nain:

xi = b b af(b) f(a)f(b) (2.7a)

Ako je f(a)f(xi) < 0 : a = a, b = xi (2.7b)Ako je f(xi)f(b) < 0 : a = xi, b = b (2.7c)Ako je f(a)f(xi) = 0 : dobiva se rjeenje = xi (2.7d)

Proces se nastavlja dok se ne postigne eljena tanost, tj.

|b a| 1 i/ili |f(xi)| 2 (2.8)Metoda regula falsi je neto bra od metode polovljenja intervala, ali ne dajeunaprijed veliinu greke. Ipak, i ova metoda je mnogo sporija od metoda kojeslijede.

Primjer 2.2

Problem iz primjera 2.1 rijeiti metodom regula falsi. Postupak rjeavanjazaustaviti kada apsolutna vrijednost razlike izmeu dvije uzastopne iteracije,, bude manja od 104, tj. |xi+1 xi| < .Rjeenje

Postupak rjeavanja metodom regula falsi je vrlo slian rjeavanju metodompolovljenja intervala, s tom razlikom to se sljedea aproksimacija rjeenja nekejednaine ne izraunava kao srednja vrijednost krajeva intervala, nego pomoujednaine (2.6).

Ako kao poetni interval, u kojem se nalazi korijen jednaine f(x) = x22,uzmemo (a, b) = (1, 2), bie:

x1 = b b af(b) f(a)f(b) = 2

2 12 (1)2 = 1.333333

20

2.3. Metode na otvorenom intervalu

f(x1) = f(1.333333) = 0.222222 < 0S obzirom da je f(x1) < 0 i f(b) > 0 rjeenje se nalazi u podintervalu(x1, b) = (1.333333, 2), i stavljamo da je a = x1. Postupak ponavljamo nanovom intervalu (a, b) = (1.333333, 2), tj.

x2 = b b af(b) f(a)f(b) = 2

2 1.3333332 (0.222222)2 = 1.4

f(x2) = f(1.4) = 0.04 < 0pa je novi podinterval u kojem se nalazi korijen zadate jednaine (a, c) =(1.4, 2).

Postupak se ponavlja dok se ne postigne eljena tanost. U Tabeli 2.2sumarno su dati rezultati prorauna.

Tabela 2.2: Uz primjer 2.2Iteracija a f(a) b f(b) c |xi xi1|

1 1 -1 2 2 1.333333 -2 1.333333 -0.222222 2 2 1.4 0.0666673 1.4 -0.04 2 2 1.41176 0.0117654 1.41176 -0.00692 2 2 1.41379 0.0020285 1.41379 -0.0011891 2 2 1.41414 0.0003486 1.41414 -0.000204 2 2 1.4142 0.00006


2.3 Metode na otvorenom intervalu

2.3.1 Metoda proste iteracije

Metoda proste iteracije (jo se naziva i iteracija pomou fiksirane take) rjeavajednainu f(x) = 0 preureivanjem u oblik x = g(x), a zatim traenjem vri-jednosti x = takvom da je = g(), to je ekvivalentno jednakosti f() = 0.Vrijednost x za koju je x = g(x) se naziva fiksna taka relacije x = g(x) odaklei proizilazi drugo ime metode. U principu, ova metoda simultano rjeava dvijefunkcije: x(x) i g(x). Taka presjecita ove dvije funkcije predstavlja rjeenjejednaine x = g(x), a time i jednaine f(x) = 0. Metoda je grafiki predstav-ljena na slici 2.6.

Poto je funkcija g(x) takoer nelinearna, rjeenje se mora nai iterativno.Poetna aproksimacija x1 se odreuje intuitivno, a zatim se uvrtava u funkciju

21


x

y

xi xi+1 [

Slika 2.6: Grafika interpretacija metode proste iteracije

g(x) kako bi se dobila vrijednost sljedee aproksimacije. Algoritam je datsljedeom rekurzivnom formulom:

xi+1 = g(xi) (2.9)

Procedura se ponavlja dok se ne zadovolji kriterij konvergencije, kao naprimjer:

|xi+1 xi| 1 i/ili |f(xi+1)| 2 (2.10)Problem konvergencije ove metode moe se posmatrati na sljedei nain.

Neka je x = rjeenje neke jednaine f(x) i e = x greka rjeenja. Oduzi-majui izraz = g() od jednaine (2.9) dobija se:

xi+1 = ei+1 = g(xi) g() (2.11)Funkcija g() izraena Taylorovim redom oko take xi ima oblik:

g() = g(xi) + g()( xi) + . . . (2.12)

gdje je xi . Zanemarujui lanove vieg reda u jednaini (2.12), terjeavajui za [g(xi) g()] i uvrtavajui dobijeni rezultat u jednainu (2.11),dobija se:

ei+1 = g()ei (2.13)

22


Ova jednaina se moe koristiti za ocjenu da li je metoda konvergentna iline, i ako jeste koja ja brzina konvergencije. Da bi bilo koji iterativni postupakbio konvergentan treba biti ispunjen sljedei uslov:ei+1ei

= |g()| < 1 (2.14)Dakle, metoda proste iteracije je konvergentna samo ako je |g()| < 1. Ako

ovaj uslov nije ispunjen procedura divergira. U sluaju kada je uslov ispunjen,a vrijednost |g()| blizu 1.0, konvergencija je veoma spora. S obzirom dametoda nekada radi, a nekada ne, nije preporuljiva za rjeavanje nelinearnihjednaina. Iz jednaine (2.14) se, takoer, vidi da je konvergencija linearna,tj. prvog reda tanosti.

Primjer 2.3

Na primjeru rjeavanja jednaine f(x) = x2 x 2 = 0 pokazati upotrebumetode proste iteracije - traiti pozitivno rjeenje jednaine.

Rjeenje

Kao to je reeno u prethodnom poglavlju, metoda iteracije se zasniva naalgoritmu koji je dat jednainom (2.9). Na taj nain, jednaina f(x) = x2 x 2 = 0 se moe prikazati na jedan od sljedeih naina:

x = x2 2 (2.15a)x = x+ 2 (2.15b)x = 1 +

2

x(2.15c)

x = x+x2 x 22x 1 (2.15d)

Svaka od ovih jednaina prolazi kroz traeno rjeenje, kao to je pokazanona slici 2.7. Meutim, sljedea analiza pokazuje da svaka od jednaina nekonvergira prema datom rjeenju.

Posmatrajmo prvo jednainu (2.15a). S obzirom da je metoda proste itera-cije metoda na otvorenom intervalu, potrebna je samo jedna poetna aproksi-macija, na primjer x0 = 3. Prvih nekoliko iteracija daje:

x1 = g(x0) = 32 2 = 7

Za konvergentnu metodu se kae da je k-tog reda tanosti ako vrijedien+1

ekn= const. 6= 0

23


x

y

0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

[1

fx=x

gx=+/x

gx= x-gx=x

-x-x/2x-

gx=x-

Slika 2.7: Mogui oblici jednaine f(x) = x2 x 2 pri raunanju metodom prosteiteracije

x2 = g(x1) = 72 2 = 47

x3 = g(x2) = 472 2 = 2207

. . .

Vidi se da iterativni postupak divergira, s obzirom da je svaka sljedea vrijed-nost vea od prethodne. Ako se pogleda vrijednost prvog izvoda funkcije g(x),dobija se:

|g(x)| = 2|x| > 1 za |x| > 12

Dakle, uslov za konvergenciju (2.14) nije ispunjen.Ako sada ponovimo postupak sa jednainom (2.15b), imamo:

x1 = g(x0) =3 + 2 = 2.236

x2 = g(x1) =2.236 + 2 = 2.058

x3 = g(x2) =2.058 + 2 = 2.0014

x4 = g(x3) =2.014 + 2 = 2.0004

. . .

Kako se moe vidjeti, iterativni postupak konvergira ka rjeenju = 2, to je

24


bilo i za oekivati s obzirom da je uslov konvergencije (2.14) ispunjen, tj.

|g(x)| = 12x+ 2

< 1 za x > 74

Na slian nain mogu se analizirati i preostale dvije jednaine (2.15c) i(2.15d).

2.3.2 Newtonova metoda

Newtonova metoda (naziva se i Newton-Raphsonova metoda) je jedna od naj-poznatijih i najefikasnijih procedura u cijeloj numerikoj analizi. Metoda uvi-jek konvergira ako je poetna aproksimacija dovoljno blizu rjeenju. Za razlikuod prethodne metode, konvergencija Newtonove metode je kvadratna.

Grafika interpretacija metode data je na slici 2.8. Prvi korak metode jelokalna aproksimacija funkcije f(x) pomou linearne funkcije g(x) koja pred-stavlja tangentu funkcije f(x) u taki M0. Rjeenje jednaine g(x) = 0, x1,predstavlja sljedeu aproksimaciju rjeenja jednaine f(x) = 0.

x

f(x) M0

x0

x1

M1

M2

x2

Slika 2.8: Grafika interpretacija Newtonove metode

Kako bismo izveli algoritam za Newtonovu metodu, postavimo sljedeu re-laciju:

f (x) =f(xi+1) f(xi)

xi+1 xi (2.16)Newtonova metoda se ponekad naziva i metoda tangente.

25


Rjeenje ove jednaine za xi+1, pri emu je f(xi+1) = 0, daje:

xi+1 = xi f(xi)f (xi)

(2.17)

to predstavlja rekurzivnu formulu za Newtonovu metodu.Jednaina (2.17) se ponavlja dok se ne zadovolji jedan od ili oba kriterija

konvergencije:

|xi+1 xi| 1 i/ili |f(xi+1)| 2 (2.18)Newtonova metoda se moe dobiti i direktno iz Taylorovog niza, ako se

zanemare lanovi vieg reda, tj.

f(xi+1) = f(xi) + f(xi)(xi+1 xi) + . . . (2.19)

i konano


Konvergencija Newtonove metode se moe odrediti na sljedei nain. Jedna-ina (2.17) predstavlja jednainu oblika:

xi+1 = g(xi) (2.20)

pri emu je funkcija g(x) data sa:

g(x) = x f(x)f (x)

(2.21)

Stoga, Newtonova metoda predstavlja specijalni sluaj metode proste iteracijei konvergira ako je ispunjen uslov

|g()| 1 xi (2.22)Diferenciranjem jednaine (2.21) dobijamo:

g(x) = 1 f(x)f (x) f(x)f (x)

[f (x)]2=f(x)f (x)[f (x)]2

(2.23)

Kako za korijen jednaine vrijedi x = i f() = 0, time je i g(x) = 0, pa jeuslov (2.22) zadovoljen, a metoda je konvergentna.

Brzina konvergencije se moe odrediti ako se od obje strane jednaine (2.17)oduzme , i sa e = x oznai greka. Na taj nain se dobija:

xi+1 = ei+1 = xi f(xi)f (xi)

= ei f(xi)f (xi)

(2.24)

26


Razvojem funkcije f(x) u Taylorov red, i zanemarujui lanove iznad drugogreda, za x = vrijedi:

f() = f(xi) + f(xi)( xi) + 1

2f ()( xi)2 = 0 xi (2.25)

Ako sada izraz (2.25) uvrstimo u jednainu (2.24), pri emu je f() = 0,dobijamo:

ei+1 = ei f (xi)ei 12f ()e2i

f (xi)=

1

2

f ()f (xi)

e2i (2.26)

S obzirom da za i, xi ,f (xi) f (),f (xi) f () imamo:

ei+1 =1

2

f ()f ()

e2i (2.27)

Posljednja jednaina jasno pokazuje da je Newtonova metoda metoda ta-nosti drugog reda, tj. kvadratna, to u praksi znai da se sa svakom iteracijomudvostruava broj znaajnih cifara. Ipak, veoma je vano da uslov (2.22) budeispunjen, te da poetna aproksimacija bude to blie rjeenju, poto se moedogoditi da procedura konvergira prema nekom drugom korijenu (rjeenju).Ova metoda ima odline osobine za lokalnu konvergenciju, ali globalna konver-gencija moe biti slaba zbog zanemarivanja viih lanova Taylorovog reda.

Meutim, Newtonova metoda ima i nedostataka, jer je za neke funkcijevrlo teko analitiki izraunati prvi izvod, a za neke funkcije to uopte nijemogue. Osim toga, moe se desiti da u toku iterativnog procesa prvi izvodbude jednak nuli, ime ne bi bilo mogue nastaviti postupak rjeavanja. Utakvim sluajevima koriste se neke druge metode, kao to je modifikovanaNewtonova metoda ili metoda sjeice.

Primjer 2.4

Problem iz primjera 2.1 rijeiti Newtonovom metodom. Postupak rjeavanjazaustaviti kada apsolutna vrijednost razlike izmeu dvije uzastopne iteracije,, bude manja od 104, tj. |xi+1 xi| < .Rjeenje

Algoritam za rjeavanje neke nelinearne jednaine Newtonovom metodomdat je jednainom (2.16). Ako se u datu jednainu uvrsti da je f (x) = 2x,dobija se poznata jednaina za izraunavanje korijena broja 2:


= xi x2i 22xi

27


xi+1 =1

2

(xi +

2

xi

)(2.28)

Slino metodi proste iteracije, i za Newtonovu metodu je potrebna samo jednapoetna aproksimacija. Ako sada kao poetnu aproksimaciju uzmemo x0 = 3za prve dvije iteracije imamo:

x1 =1

2

(x0 +

2

x0

)=

1

2

(3 +

2

3

)= 1.83333

x2 =1

2

(x1 +

2

x1

)=

1

2

(1.83333 +

2

1.83333

)= 1.46212

Tabela 2.3 daje rezultate svih iteracija.

Tabela 2.3: Uz primjer 2.4Iteracija xi |xi xi1|

0 3 -1 1.83333 1.166672 1.46212 0.3712123 1.415 0.0471234 1.41421 0.0007855 1.41421 2.18e-7

Iz tabele se vidi da je rjeenje koje zadovoljava zadatu tanost, = 1.41421,dobiveno ve u petoj iteraciji, ali i tanost od 106 se postie u istoj iteraciji.Ovo pokazuje koliko je, u stvari, Newtonova metoda brza. Jedini problemje konvergencija prema traenom rjeenju, poto se moe desiti da rjeenjekonvergira prema nekom drugom korijenu. U ovom sluaju bilo koja poetnavrijednost x0 < 0 konvergirala bi prema drugom korijenu zadate jednaine, tj.2 =

2.

2.3.3 Modifikovana Newtonova metoda

U sluajevima kada izraunavanje prvog izvoda funkcije uzima mnogo raun-skog vremena, moe se koristiti modifikovana Newtonova metoda. Ovdje suumjesto izraunavanja prvog izvoda funkcije u svakoj iteraciji, moe uzeti daje vrijednost prvog izvoda u svim iteracijama jednaka vrijednosti prvog izvodaiz prve iteracije, tj.

f (xn) = f (x0) (n = 1, 2, . . .) (2.29)

28


pa jednaina (2.17) dobija oblik:

xi+1 = xi f(xi)f (x0)

(2.30)

Grafika interpretacija modifikovane Newtonove metode data je na slici 2.9.Iz slike se jasno vidi da je nagib funkcije g(x) jednak za sve take Mi (i =0, 1, . . .).

x

f(x) M0

x0

x1

M1 M2

x2

M2

x3 x3

Slika 2.9: Grafika interpretacija modifikovane Newtonove metode

Primjer 2.5

Problem iz primjera 2.1 rijeiti modifikovanom Newtonovom metodom. Po-stupak rjeavanja zaustaviti kada apsolutna vrijednost razlike izmeu dvijeuzastopne iteracije, , bude manja od 104, tj. |xi+1 xi| < .

Rjeenje

Ova metoda se ni u emu ne razlikuje od prethodne osim to se umjestoraunanja vrijednosti f (x) za novu aproksimaciju, koristi ona iz poetne ite-racije, tj. u jednaini (2.16) uvijek je f (x) = f (x0). Na taj nain, rekurzivnaformula glasi:

xi+1 = xi x2i 22x0

(2.31)

I u ovom sluaju koristimo samo jednu poetnu aproksimaciju, na primjer

29


x0 = 3, uz f (x0) = 2x0 = 6. Za prve dvije iteracije dobija se:

x1 = x0 x20 22x0

= 3 32 26

= 1.83333

x2 = x1 x21 22x0

= 1.83333 1.833332 2

6= 1.60648


Tabela 2.4: Uz primjer 2.5Iteracija xi |xi xi1|

0 3 -1 1.83333 1.166672 1.60648 0.2268523 1.50968 0.096797...

......

12 1.41437 0.00013613 1.41429 0.000072

Rjeenje se dobiva u 13. iteraciji i iznosi = 1.41429.

2.3.4 Metoda sjeice

U sluajevima kada je nemogue analitiki odrediti prvi izvod neke funkcije,metoda sjeice (sekante) predstavlja alternativu Newtonovoj metodi. Metodaje grafiki data na slici 2.10. Nelinearna funkcija f(x) se lokalno aproksimirapomou linearne funkcije g(x), koja je sjeica funkcije f(x), a njen korijen sekoristi kao poboljana aproksimacija korijena funkcije f(x). S obzirom da jesjeica prava linija koja prolazi kroz dvije take krive f(x), za iniciranje metodeneophodne su prve dvije aproksimacije, x0 i x1. Pri tome se izmeu njih moeali i ne mora nalaziti korijen jednaine f(x) = 0.

Vrijednost prvog izvoda u jednaini (2.17) je dat sa:

f (x) =f(xi) f(xi1)

xi xi1 (2.32)

pri emu je

f(xi+1) = 0 (2.33)

30


x

f(x) M0

x0

x1

M1

M2

x2

M3

x3

Slika 2.10: Grafika interpretacija metode sjeice

Uvrtavajui prethodne jednakosti u jednainu 2.17, dobija se:

xi+1 = xi xi xi1f(xi) f(xi1)f(xi) (2.34)

Jednaina (2.34) se koristi dok se ne zadovolji jedan od ili oba kriterija konver-gencije (2.18).

Moe se pokazati da je brzina konvergencije reda 1.62, to je mnogo bre odlinearne konvergencije proste iteracije, ali i neto sporije od kvadratne brzinekonvergencije Newtonove metode. Iz jednaina (2.17) i (2.34) se, takoer, vidida je za proraun Newtonovom metodom neophodno izraunati vrijednostif(x) i f (x), dok je za metodu sjeice potrebno izraunati samo f(x). Takoerse moe pokazati da ako je vrijeme potrebno za izraunavanje vrijednosti f (x)oko 43% vee od onog za proraunavanje vrijednosti f(x), metode sjeice jeefikasnija od Newtonova metode.

Primjer 2.6

Problem iz primjera 2.1 rijeiti metodom sjeice. Postupak rjeavanja zausta-viti kada apsolutna vrijednost razlike izmeu dvije uzastopne iteracije, , budemanja od 104, tj. |xi+1 xi| < .

31


Rjeenje

I pored toga to predstavlja varijantu metode proste iteracije, za ovu metodusu potrebne dvije poetne aproksimacije rjeenja, pri emu se rjeenje moeali i ne mora nalaziti izmeu njih. Ako kao poetne aproksimacije uzmemox0 = 4 i x1 = 3, i koristimo jednainu (2.34), za prve dvije iteracije se dobija(koriste se indeksi 2 i 3, s obzirom da su indeksi 0 i 1 rezervisani za poetneaproksimacije):

x2 = x1 x1 x0f(x1) f(x0)f(x1) = 3

3 47 147 = 2

x3 = x2 x2 x1f(x2) f(x1)f(x2) = 2

2 32 72 = 1.6


Tabela 2.5: Uz primjer 2.6Iteracija xi1 f(xi1) xi f(xi) |xi xi1|

1 4 14 3 7 12 3 7 2 2 13 2 2 1.6 0.56 0.44 1.6 0.56 1.444444 0.086412 0.1555565 1.44444 0.086412 1.41606 0.005221 0.0283866 1.41606 0.005221 1.41423 0.000055 0.0018257 1.41423 0.000055 1.41421 3.6e-8 0.00002


2.4 Problemi u numerikom rjeavanju nelinearnih jed-naina

I pored dobrih osobina, metode koje su opisane u prethodnim poglavljimaimaju i neke zajednike nedostatke. Neki od tih nedostataka su:

1. Nedovoljno dobra poetna aproksimacija - jedan od najeih nedostatakaovih metoda. Ona moe da dovede do pronalaenja pogrenog korijena,spore konvergencije, pa ak i divergencije. Jedini nain da se rijei ovajproblem je dobra poetna aproksimacija. Jedan od naina da se to pos-tigne je ocjena rjeenja pomou grafikog prikaza funkcije, ili inkremen-talno pretraivanje sa malim korakom.

32

2.5. Pitanja i zadaci

2. Konvergencija prema pogrenom korijenu

3. Korijeni koji su blizu jedan drugom - Korijeni koji su blizu jedan drugommogu da predstavljaju problem pri numerikom rjeavanju, s obzirom dainterval u kojem se nalaze moe biti suvie mali da bi se moglo odreditiu kojem intervalu se nalaze. Dilema se moe rijeiti ako se povea graffunkcije, ili se smanji korak pri inkrementalnom traenju korijena.

4. Mnogostruki korijeni - Iako se u prethodnom tekstu nije pominjalo njihovotraenje, mnogostruki korijeni se mogu nai koristei Newtonovu metodu,ali je problem u tome to se ne zna da li i gdje isti postoje. Grafikoprikazivanje i inkrementalno traenje korijena mogu pomoi, ali to nijezagarantovano.

5. Take infleksije - Korijeni u taki infleksije mogu odvesti procedure trae-nja daleko od traenog korijena, mada dobra poetna aproksimacija moepomoi.

6. Kompleksni korijeni - Kompleksni korijeni ne predstavljaju nikakav pro-blem ako se zna da isti postoje. Na primjer, Newtonova i metoda sjeicelako mogu nai kompleksne korijene, koristei kompleksnu aritmetiku ikompleksnu poetnu aproksimaciju. Meutim, ako se kompleksni korijenine oekuju, i koristi se samo aritmetika sa realnim brojevima, kompleksnikorijeni se ne mogu nai. Jedan od rjeenja ovog problema je koritenjeBairstowove metode kvadratnih faktora.

7. Loe postavljena nelinearna jednaina - Loe postavljena jednaina moepredstavljati veliki problem prilikom traenja korijena jednaine. Najboljipristup ovom problemu je koritenje raunara sa veom tanou.

8. Spora konvergencija - Problem spore konvergencije se moe rijeiti boljompoetnom aproksimacijom ili promjenom metode traenja korijena.

Bez obzira na nedostatke i mogue probleme, veina problema u inenjer-stvu se moe rijeiti nekom od opisanih metoda bez veih potekoa, tako dase svakom problemu moe pristupiti sa optimizmom.

2.5 Pitanja i zadaci

1. Objasniti postupak lokalizacije nula!

2. Kako se izvodi inkrementalno pretraivanje?

33


3. Objasniti koncept poboljanja rjeenja!

4. Navesti metode na zatvorenom intervalu!

5. Navesti metode na otvorenom intervalu!

6. Objasniti metodu polovljenja intervala! Navesti prednosti i mane.

7. Objasniti metodu regula falsi! Navesti prednosti i mane.

8. Objasniti postupak koritenja metode proste iteracije! Dati uslov za ko-nvergenciju metode proste iteracije.

9. Objasniti Newtonovu metodu, te navesti njene prednosti i mane!

10. Objasniti modifikovanu Newtonovu metodu! Procijeniti brzinu konver-gencije.

11. Objasniti metodu sekante!

12. Metodom polovljenja intervala rijeiti sljedee jednaine:

a) f(x) = x cos(x) = 0 poetni interval (0.5, 1),b) f(x) = ex sin(pix/3) = 0 poetni interval (3.5,2.5),c) f(x) = ex 2x 2 = 0 poetni interval (1, 2),d) f(x) = x3 2x2 2x+ 1 = 0 poetni interval (0, 1).Proraun u ovom i ostalim zadacima zaustaviti kada apsolutna vrijed-nost razlike izmeu dvije uzastopne iteracije bude manja od 104, ako todrugaije ne bude zadato.

13. Jednaine iz zadatka 12 rijeiti metodom regula falsi.

14. Jednainu f(x) = ex (3x + 2) = 0, rijeiti metodom proste iteracije zasljedea tri oblika date jednaine: x = ex (2x + 2), x = (ex 2)/3 ix = ln(3x+ 2). Kao poetnu iteraciju koristiti x0 = 1.

15. Jednainu a) iz zadatka 12 rijeiti Newtonovom metodom. Za poetnuaproksimaciju uzeti x0 = 1.

16. Newtonovom metodom nai najvei pozitivni korijen jednaine f(x) =x3 5x+ 1. Ispitati ovisnost rjeenja o izboru poetne aproksimacije.

17. Jednainu b) iz zadatka 12 rijeiti modifikovanom Newtonovom metodom.

18. Rijeiti jednainu d) zadatka 12 koristei metodu sjeice. Kao prve dvijeaproksimacije koristiti x0 = 0 i x1 = 1.

34

2.5. Pitanja i zadaci

19. U nekom od programskih jezika napisati program za rjeavanje nelinearnihjednaina koristei:

a) metodu polovljenja intervala,b) metodu regula falsi,c) metodu proste iteracije,d) Newtonovu metodu,e) modifikovanu Newtonovu metodu,f) metodu sjeice.

20. Newtonova metoda se moe koristiti i za traenje kompleksnih korijenapolinoma. U ovom zadatku potrebno je nai sva korijene jednaine f(x) =x4 1 ako se kao poetne aproksimacije uzmu sljedee vrijednosti: 2, 2,2i i 2i.

21. Ispitati ovisnost rjeenja o izboru poetne aproksimacije za sluaj iz pret-hodnog zadatka. Rezultate prikazati u kompleksnoj ravni. Dozvoljenoje koristiti i komercijalne softvere (MathCAD, MATLAB, Mathematica,itd.)

22. Van der Valsova jednaina za stanje vodene pare glasi:(P +

a

v2

)(v b) = RT (2.35)

gdje je P pritisak u Pa, v specifina zapremina u m3/kg, T temperaturau K, R gasna konstanta (R=461.495 J/kgK), a a i b su empirijske kons-tante sa sljedeim vrijednostima za vodenu paru: a=1703.28 Pa(m3/kg)2i b=0.00169099 m3/kg. Jednaina (2.35) se moe prikazati u obliku:

Pv3 (Pb+RT )v2 + av ab = 0 (2.36)Izraunati specifinu zapreminu v za P=10000 kPa i T=800K. Kao po-etnu aproksimaciju koristiti zakon za idealni gas Pv = RT . Zadatakrijeiti bilo kojom od metoda za rjeavanje nelinearnih jednaina.

23. Jednaina pada pritiska pri proticanju tenosti kroz cijev krunog popre-nog presjeka data je sljedeom empirijskom formulom:

P = 0.5fV 2(L

D

)(2.37)

gdje je P pad pritiska u Pa, specifina gustoa u kg/m3, V brzina um/s, L i D duina i prenik cijevi, a f koeficijent trenja. Postoji veliki

35


broj formula za izraunavanje koeficijenta trenja u zavisnosti od Raynol-dsovog broja za razliite reime proticanja tenosti. Pri tome Raynoldsovbroj je dat izrazom Re=DV /, gdje je viskoznost tenosti u Pas. Zaproticanje u turbulentnom reimu za sluajeve od potpuno glatke do vrlogrube povrine cijevi razvijena je sljedea formula:

1f= 2 log

(/D

3.7+

2.51

Ref

)(2.38)

gdje je hrapavost povrine cijevi. Rijeiti f za cijev sa /D = 0.001, teRe=10n i n = 4, 5, 6. Kao poetnu aproksimaciju koristiti jednakost:

f = 0.16Re0.16 (2.39)

Zadatak rijeiti bilo kojom od metoda za rjeavanje nelinearnih jednaina.

24. Problem raunanja kritinog optereenja grede izloene izvijanju pri emuje donji dio ukljeten, a gornji sa pokretnim osloncem, svodi se na rjea-vanje jednaine:

tg(pl) = pl (2.40)

Nai vrijednost kritine duine lkr, u zavisnosti od l, ako za kritino op-tereenje vrijedi:

Pkr = p2EI =

pi2EI

l2krtj. lkr =

pi

p(2.41)

S obzirom da jednaina (2.40) ima beskonano mnogo rjeenja, nai naj-manje od njih. Zadatak rijeiti bilo kojom od metoda za rjeavanje neli-nearnih jednaina.

25. Plovak u obliku sfere radijusa r, izraen od materijala specifine gustoep, pluta u tenosti specifine gustoe t. Izraunati do koje dubine eplovak potonuti, ako je p/t = k = 0.6 i r = 5.5 cm.Zadatak se svodi na rjeavanje nelinearne jednaine:

x3 3rx2 + 4kr3 = 0 (2.42)gdje je x traena dubina (izvesti jednainu (2.42)). Zadatak rijeiti bilokojom od metoda za rjeavanje nelinearnih jednaina.

36

Poglavlje 3

Rjeavanje sistema linearnihjednaina

Problem rjeavanja sistema jednaina je jedan od najeih problema sa ko-jima se susreu inenjeri i naunici. Pri tome jednaine mogu biti algebarske,transcedentalne, obine ili parcijalne diferencijalne jednaine. Takoer, onemogu biti i linearne ili nelinearne. Ipak, ovdje e se obraditi samo (numeriko)rjeavanje sistema linearnih jednaina.

Sistem od n linearnih jednaina sa n nepoznatih se moe napisati u obliku:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

(3.1)

gdje xi (i = 1, 2, . . . , n) predstavljaju nepoznate promjenljive, aij (i, j =1, 2, . . . , n) konstantne koeficijente, a bi (i = 1, 2, . . . , n) nehomogene lanove.

Sistem jednaina (3.1) se moe napisati i u matrinoj formi:

Ax = b (3.2)

gdje je A matrica koeficijenata (matrica sistema), a x i b su vektori kolone,odnosno:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... . . ....

an1 an2 . . . ann

,x =x1x2...xn

,b =b1b2...bn

(3.3)Broj jednaina moe biti i drugaiji od n, ali je u veini inenjerskih problema jednak broju nepoznanica.

Rjeavanje sistema linearnih jednaina

Rijeiti sistem (3.1), odnosno (3.2) znai nai vrijednosti xi (i = 1, . . . , n) kojeistovremeno zadovoljavaju sve jednaine sistema. Pri tome, mogu se desiti 4sluaja: Jedinstveno rjeenje - sistem je odreen. Nema rjeenja - sistem je protivrjean. Beskonaan broj rjeenja - sistem ima nedovoljan broj jednaina, tj. neo-dreen je.

Trivijalno rjeenje - sistem je homogen i xi = 0 (i = 1, . . . , n)U rjeavanju sistema linearnih algebarskih jednaina postoje dva fundamen-

talno razliita pristupa: Direktne metode Iterativne metodeDirektne metode predstavljaju sistematske procedure koje se zasnivaju na

principu eliminacije. Za razliku od njih, iterativne metode asimptotski dovodedo rjeenja pomou neke iterativne procedure u kojoj se pretpostavi neko rjee-nje, ono se uvrsti u sistem jednaina kako bi se dobilo odstupanje, ili greka, azatim se na osnovu tog odstupanja, odnosno greke, dobije poboljano rjeenje.

3.1 Direktne metode

3.1.1 Cramerovo pravilo

Posmatrajmo sistem linearnih algebarskih jednaina, Ax=b, sa n jednaina.Cramerovo pravilo kae da je rjeenje takvog sistema dato sa

xj =det(Aj)det(A)

(j = 1, 2, . . . , n) (3.4)

gdje je (Aj) matrica n n koja se dobija zamjenom kolone j matrice A sakolonom vektora b. Na primjer, za sistem sa dvije algebarske jednaine:

a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2

(3.5)

rjeenje je:

x1 =

b1 a12b2 a22 a11 a12a21 a22 i x2 =

a11 b1a21 b2 a11 a12a21 a22 (3.6)

38

3.1. Direktne metode

U ovom sluaju determinante se vrlo lako izraunaju pomou pravila dija-gonala. Meutim, za sisteme sa vie jednaina to pravilo ne vai i neophodnoje koristiti metodu kofaktora. Broj mnoenja i dijeljenja pri koritenju metodekofaktora jednak je (n1)(n+1)!, pri emu je n dimenzija kvadratne matrice.Lako je izraunati da je za sluaj 10 jednaina, koji predstavlja mali sistem jed-naina, broj operacija jednak 360,000,000, a za samo 100 jednaina ovaj brojje reda 10157. Oigledno je da Cramerovo pravilo nije efikasno u rjeavanjuvelikih sistema jednaina, tako da je neophodno koristiti neke druge metode.

3.1.2 Metode eliminacije

Metode eliminacije rjeavaju sistem linearnih algebarskih jednaina rjeavajuijednu jednainu, na primjer prvu, za jednu nepoznanicu, na primjer x1, uodnosu na ostale nepoznanice, x2, ..., xn, a zatim se vri zamjena izraza za x1u ostalih n 1 jednaina. Procedura se nastavlja n 1 puta, tj. dok se nedoe do jednaine koja sadri samo nepoznanicu xn. itav proces se nazivaeliminacija.

Vrijednost nepoznanice xn se moe dobiti iz posljednje jednaine procesaeliminacije. Nakon toga se moe dobiti vrijednost nepoznanice xn1 iz modifi-kovane (n1)-ve jednaine, koja sadri samo nepoznanice xn i xn1. Zatim serjeava (n 2)-ga jednaina, koja sadri nepoznanice xn, xn1 i xn2, za xn2,i tako redom do prve jednaine. Ovaj proces se naziva zamjena unazad.

Metode eliminacije, u principu, koriste osnovne operacije sa redovima nekematrice:

bilo koji red (jednaina) se moe pomnoiti konstantom. Ova operacijase najee koristi za skaliranje jednaina, ako je to neophodno.

redovi (jednaine) mogu zamijeniti mjesta. Operacija se koristi kako bise izbjeglo dijeljenje sa nulom i smanjile greke zaokruivanja.

bilo koji red (jednaina) moe se zamijeniti linearnom kombinacijom togreda (jednaine) i bilo kojeg drugog reda (jednaine). Ova operacija senajee koristi kako bi se implementirao proces sistematske eliminacije.

Ove operacije, iako mijenjaju vrijednosti elemenata matriceA i b, ne mijenjajurjeenje sistema.

Primjer 3.1

Radi ilustracije procesa eliminacije i procesa zamjene unazad rijeimo sljedeisistem jednaina:

80x1 20x2 20x3 = 20 (3.7a)

39


20x1 + 40x2 20x3 = 20 (3.7b)20x1 20x2 + 130x3 = 20 (3.7c)

Rjeenje

Postupak rjeavanja poinje rjeavanjem jednaine (3.7a) za nepoznanicux1. Na taj nain imamo:

x1 = [20 (20)x2 (20)x3]/80 (3.8)Uvrtavajui jednainu (3.8) u jednaine (3.7b) i (3.7c) dobiva se, respektivno:

20[20 (20)x2 (20)x3]/80 + 40x2 20x3 = 20 (3.9a) 20[20 (20)x2 (20)x3]/80 20x2 + 130x3 = 20 (3.9b)

koje se mogu pojednostaviti na oblik:

35x2 25x3 = 25 (3.10a)25x2 + 125x3 = 25 (3.10b)

Ako sada rijeimo jednainu (3.10a) za x2, dobijamo:

x2 = [25 (25)x3]/35 (3.11)Uvrtavajui posljednju jednainu u jednainu (3.10b) nakon pojednostavljenjadobija se:

750

7x3 =

300

7(3.12)

Na taj nain, sistem jednaina (3.7) se svodi na sistem jednaina:

80x1 20x2 20x3 = 20 (3.13a)35x2 25x3 = 25 (3.13b)

750/7x3 = 300/7 (3.13c)

ime je zavren proces eliminacije.Sada se vrlo lako moe dobiti rjeenje sistema zamjenom unazad, tj.:

x3 = 300/750 = 0.40 (3.14a)x2 = [25 (25)(0.40)]/35 = 1.00 (3.14b)x1 = [20 (20)(1.00) (20)(0.40)]/80 = 0.60 (3.14c)

40


Prethodno opisani primjer predstavlja sluaj jednostavne eliminacije (nemapotrebe za zamjenom reda redova i sl.), te se moe rjeavati u pogodnijemobliku ako se matrica koeficijenata sistema A proiri vektorom b. Na tajnain imamo:

[A|b] = 80 20 2020 40 2020 20 130

202020

(3.15)Sve informacije se sada mogu pisati sa strane sistema, pa imamo:

(a)(b)(c)

80 20 2020 40 2020 20 130

202020

(20/80)+(b),(20/80)+(c) (3.16)(a)(b)(c)

80 20 200 35 250 25 125

202525

(25/35)+(c) (3.17)i konano

(a)(b)(c)

80 20 200 35 250 0 750/7

2025

300/7

x1 = 0.60x2 = 1.00x3 = 0.40

(3.18)

Postupak rjeavanja na ovakav nain je veoma pogodan u sluajevima kadaimamo vei broj vektora b, jer se rjeenje sistema za sve vektore b moe dobitisimultano.

Prilikom rjeavanja sistema jednaina, treba voditi rauna o dva problemakoji se mogu javiti:

1. U toku izvoenja metode eliminacije moe se desiti da je elemenat naglavnoj dijagonali modifikovane matrice A, koji se jo naziva i glavni ele-menat, jednak nuli, nakon ega nije mogue nastaviti proceduru zbogdijeljenja sa nulom. Kako bi se izbjegla ova situacija, prethodno opisanametoda eliminacije mora se modifikovati. Ovaj postupak dovodi do me-toda sa djeliminim i potpunim izborom glavnog elementa. Metode sapotpunim izborom glavnog elementa obuhvataju zamjenu i redova i ko-lona, i postupak je prilino komplikovan. Zbog toga se najee koristiprocedura sa djeliminim izborom glavnog elementa, kod koje se samozamjenjuju mjesta redova.

41


2. U sluaju da su elementi po dijagonalama mnogo manji od ostalih ele-menata u jednainama, moe doi do znaajne greke zaokruivanja, to,pak, moe dovesti do pogrenih rjeenja. U tom sluaju vri se skaliranjeglavnog elementa, odnosno matrica se podesi da glavni elemenat budepo apsolutnoj vrijednosti vei od ostalih elemenata u toj koloni. I ovajpostupak se izvodi za zamjenom mjesta redova.

Primjer 3.2

Rijeiti sljedei sistem jednaina, prikazan u matrinoj formi: 0 2 14 1 12 3 3

x1x2x3

= 53

5

(3.19)Rjeenje

Kao to se moe vidjeti, prvi elemenat jednak je nuli, tako da je zamjenaredova neophodna. Najvei elemenat po apsolutnoj vrijednosti u prvoj koloni,ispod glavnog elementa, nalazi se u drugom redu, tako da vrimo zamjenuprvog i drugog reda.

(a)(b)(c)

4 1 10 2 12 3 3

355

(0/4)+(b),(2/4)+(c) (3.20)pa se dobija proirena matrica: 4 1 10 2 1

0 7/2 7/2

35

7/2

(3.21)Iako u ovom sluaju elemenat na glavnoj dijagonali druge jednaine nije jednaknuli, on je po apsolutnoj vrijednosti manji od elementa ispod njega, tako daje opet neophodno izvesti zamjenu redova. Treba napomenuti da se zamjenaredova vri samo na redovima ispod trenutnog glavnog elementa, jer bi se usuprotnom mogao naruiti proces eliminacije koji je do tada obavljen. Nakonzamjene drugog i treeg reda imamo:

(a)(b)(c)

4 1 10 7/2 7/20 2 1

37/25

(4/7)+(c) (3.22)42


i konano 4 1 10 7/2 7/20 0 3

37/23

x1 = 1x2 = 2x3 = 1

(3.23)

Prethodno opisani proces eliminacije, ipak, moe da proizvede greke zao-kruivanja, pa se u tu svrhu koristi proces skaliranja jednaina. To se deavakada je glavni elemenat po apsolutnoj vrijednosti manji od ostalih elemenatau istom redu. Skaliranje se, u tom sluaju, izvodi samo kako bi se odabraoglavni elemenat. Sljedei primjer pokazuje upotrebu procesa skaliranja u svrhuizbora glavnog elementa.

Primjer 3.3

Provjeriti prednosti procesa skaliranja na sistemu jednaina: 3 2 1052 3 1031 1 3

x1x2x3

= 10498

3

(3.24)ije je rjeenje: x1 = 1, x2 = 1 i x3 = 1, pri emu proraun vriti na triznaajne cifre.

Rjeenje

Prvo emo rijeiti sistem jednaina koristei do sada objanjene metode,bez dodatnih objanjenja.

(a)(b)(c)

3 2 1052 3 1031 1 3

104983

(0.667)+(b),(0.333)+(c) (3.25)(a)(b)(c)

3 2 1052 4.33 330 0.334 32

10428.6

31.6

(0.077)+(c) (3.26) 3 2 1052 4.33 330 0 29.5

10428.9

29.4

(3.27)Iz posljednje jednaine se zamjenom unazad dobija rjeenje: x3 = 0.997, x2 =0.924 i x3 = 0.884, to se ne slae dobro sa tanim rjeenjem. Rjeenje jepogreno zbog greke zaokruivanja na tri znaajne cifre.

43


Kao to je ranije reeno, ove greke se mogu znatno smanjiti ako se primijeniproces skaliranja. Prije izvrenja prvog koraka u procesu eliminacije (izjedna-avanje elemenata ispod glavnog elementa sa nulom), potrebno je skalirati sveelemente prve kolone sa najveim elementom u njihovom redu, uzimajui uobzir samo elemente matrice sistema (A), pa je:

a1 =

3/1052/1031/3

= 0.02860.01940.3333

(3.28)gdje se vektor a1 sastoji od skaliranih elemenata prve kolone. Jasno je da jetrei elemenat vektora a1 najvei po apsolutnoj vrijednosti, to znai da prva itrea jednaina datog sistema trebaju zamijeniti mjesta, Na taj nain imamo:

(a)(b)(c)

1 1 32 3 1033 2 105

398104

(2/1)+(b),(3/1)+(c) (3.29)(a)(b)(c)

1 1 30 5 970 1 96

39295

(1/5)+(c) (3.30)Ponovnim skaliranjem, imamo da je:

a2 =

5/971/96

= 0.05160.0104

(3.31)pa nije potrebna nova zamjena redova, nego se iz jednaine (3.30) dobija: 1 1 30 5 97

0 0 76.6

392

76.6

(3.32)odakle se dobiva tano rjeenje: x3 = 1, x2 = 1 i x3 = 1.

Gaussova metoda eliminacije

Prethodno opisana metoda eliminacije se naziva i Gaussova metoda elimina-cije. Ona je najvanija i najkorisnija direktna metoda za rjeavanje sistemalinearnih algebarskih jednaina. Sve ostale direktne metode, kao na primjer,

44


Gauss-Jordanova, matrina, metode faktorizacije, Thomasov algoritam za tri-dijagonalne sisteme, itd., predstavljaju modifikacije ili proirenja Gaussovemetode.

Broj mnoenja i dijeljenja koji koristiGaussova metoda eliminacije priblinoje jednak N = (n3/3n/3) za matricu A i n2 za vektor b, to za sistem od 10jednaina iznosi 430, a za sistem od 100 jednaina 343,000. Dakle, Gaussovametoda eliminacije je daleko bra nego Cramerovo pravilo.

Algoritam za Gaussovu metodu eliminacije (sa djeliminim izborom glavnogelementa), koji je prikladan za programiranje, imao bi oblik:

1. Definisati koeficijente matrice A, vektora b, te pomonog vektora o.

2. Poevi od prve kolone, treba normalizirati kolone k (k = 1, 2, . . . n 1) itraiti po veliini najvei elemenat u koloni k te zamijeniti redove kako bise taj koeficijent postavio u poziciju glavnog elementa akk. U optimalnomalgoritmu, ne vri se zamjena vrijednosti svih koeficijenata, tj. zamjenajednaina, nego se samo u pomonom vektoru o oznai/markira datapromjena.

3. Za kolonu k (k = 1, 2, . . . , n 1) se primijeni procedura eliminacije naredove i (i = k + 1, k + 2, . . . , n) kako bi se stvorile nule ispod glavnogelementa, akk. Na taj nain se dobija:

aij = aij (aikakk

)akj (i, j = k + 1, k + 2, . . . , n) (3.33)

bi = bi (aikakk

)akj (i = k + 1, k + 2, . . . , n) (3.34)

Nakon to se primijeni ovaj korak na svih k kolona, originalna matrica Apostaje gornja trougaona.

4. Rijeiti nepoznanice x koristei zamjenu unazad, tako da je:

xn =bnann

(3.35)

xi =

bi n

j=i+1

aijxj

aii(i = n 1, n 2, . . . , 1) (3.36)

Pomoni elemenat se koristi u sluajevima izbora glavnog elementa kako bi se izbjegla zamjena koefici-jenata matrice, i time utedilo vrijeme raunanja.

45


Gauss-Jordanova metoda eliminacije

Gauss-Jordanova metoda eliminacije je varijacija Gaussove metode elimina-cije, u kojoj se i elementi iznad kao i elementi ispod glavne dijagonale eliminiu(izjednaavaju sa nulom). Na taj nain se matrica A transformie u dijago-nalnu matricu. Redovi se obino skaliraju kako bi se dobili jedinini dijagonalnielementi, pa se matrica A pretvara u jedininu matricu. Tada vektor b postajevektor rjeenja x. Gauss-Jordanova metoda je, na taj nain, pogodna za vievektora b, tj. kada je neophodno simultano rijeiti vie sistema sa razliitimvektorima b, i direktno oitavati rjeenja svih sistema.

Broj mnoenja i dijeljenja za Gauss-Jordanovu metodu eliminacije je pri-blino jednak N = (n3/2n/2)+n2, to je za oko 50% vie nego za Gaussovumetodu eliminacije.

Primjer 3.4

Primjer 3.1 rijeiti Gauss-Jordanovom metodom.

Rjeenje

Prvi korak u procesu rjeavanja Gauss-Jordanovom metodom predstavljaskaliranje prve jednaine, odnosno dijeljenje svih elemenata jednaine sa glav-nim elementom, tj.

(a)(b)(c)

80 20 2020 40 2020 20 130

202020

/80 (3.37)pa se dobija:

(a)(b)(c)

1 0.25 0.2520 40 2020 20 130

0.252020

(20)+(b),(20)+(c) (3.38)Primjenjujui proces eliminacije i naknadnim skaliranjem druge jednaine do-bijamo:

(a)(b)(c)

1 0.25 0.250 35 250 25 125

0.252525

/35 (3.39)(a)(b)(c)

1 0.25 0.250 1 5/70 25 125

0.255/725

(0.25)+(a),(25)+(c) (3.40)46


Sada se vri eliminacija iznad i ispod glavnog elementa i vri skaliranje treegreda, tj.

(a)(b)(c)

1 0 3/70 1 5/70 0 750/7

3/75/7

300/7

/(750/7)

(3.41)

(a)(b)(c)

1 0 3/70 1 5/70 0 1

3/75/7215

(3/7)+(a),(5/7)+(b)

(3.42)

i konano se dobija: 1 0 00 1 00 0 1

0.61.00.4

(3.43)Matrica A je na taj nain transformisana u jedininu matricu, a vektor b jepostao vektor rjeenja, x, odnosno xT = [ 0.6 1.0 0.4 ].

Inverzija matrica metodom eliminacije

Gauss-Jordanova metoda se moe koristiti za dobijanje inverzne matrice ma-trice koeficijenata sistema, A, tako da se matrica sistema A poroiri jedini-nom matricom, a zatim primijeni Gauss-Jordanov algoritam. Proces se moeshematski prikazati sljedeom relacijom:

[A|I] [I|A1] (3.44)Primjer 3.5

Nai inverznu matricu koeficijenata sistema iz primjera 3.1 koristei Gauss-Jordanovu metodu.

Rjeenje

Proirivanjem matrice koeficijenata iz jednaine (3.7) jedininom matricom,dobijamo:

[A|I] = 80 20 2020 40 2020 20 130

1 0 00 1 00 0 1

(3.45)47


Primjenjujui Gauss-Jordanovu metodu eliminacije, desna strana jednaine(3.45) se moe svesti na oblik: 1 0 00 1 0

0 0 1

2/125 1/100 1/2501/100 1/30 1/1501/250 1/150 7/750

(3.46)odakle se direktno dobija A1:

A1 =

2/125 1/100 1/2501/100 1/30 1/1501/250 1/150 7/750

(3.47)3.1.3 Matrina metoda

Sistem linearnih jednaina moe se rijeiti koritenjem inverzne matrice, A1

na sljedei nain. Ako dati sistem linearnih jednaina napiemo u matrinojformi:

Ax = b (3.48)

mnoenjem date jednaine inverznom matricom A1 sa lijeve strane, dobijamo

A1Ax = Ix = x = A1b (3.49)

i konano

x = A1b (3.50)

Dakle, ako je poznata inverzna matrica matrice A, A1, rjeenje x se dobijajednostavnim mnoenjem te inverzne matrice sa vektorom b. Meutim, trebaimati na umu da sve matrice ne moraju imati inverznu matricu (mogu bitisingularne), pa tada sistem nema jedinstveno rjeenje.

Primjer 3.6

Primjer 3.1 rijeiti matrinom metodom.

Rjeenje

Koristei rjeenje iz prethodnog primjera, iz jednaine (3.50) se direktnodobija:

x = A1b =

2/125 1/100 1/2501/100 1/30 1/1501/250 1/150 7/750

202020

= 0.61.00.4

(3.51)48


3.1.4 Metode faktorizacije

Metode faktorizacije zasnivaju se na injenici da se matrice (kao i skalarneveliine), mogu faktorizirati (razloiti) u proizvod neke dvije matrice na be-skonano mnogo naina. Kada su takve dvije matrice donja trougaona, L (odengleske rijei lower), i gornja trougaona, U (od engleske rijei upper), tj.

A=LU (3.52)

dobija se tzv. LU faktorizacija, koja je jedinstvena. Metoda faktorizacijekod koje su elementi po dijagonali donje trougaone matrice jednaki jedinicinaziva se i Doolittleova metoda, a ona kod koje su elementi dijagonale gornjetrougaone matrice jednaki jedinici metoda Crouta.

Kod metode Doolittlea, matrica U se dobija procesom Gaussove eliminacije(predstavlja prvi dio proirene matrice prije primjene procesa zamjene unazad),dok matrica L predstavlja zapis mnoitelja u procesu eliminacije (brojevi uzagradama sa strane jednaina, koji mnoe jednainu sa glavnim elementomu procesu eliminacije). Moe se pokazati da kada se odrede matrice L i U,rjeavanje se sastoji iz dva koraka: prvo se vektor b transformie u vektor b koristei izraz (zamjena una-prijed):

Lb = b (3.53)

a zatim se vektor rjeenja dobiva sa (zamjena unazad):Ux = b (3.54)

Sljedei primjer pokazuje upotrebu Doolittleove metode.

Primjer 3.7

Primjer 3.1 rijeiti metodom Doolittlea.

Rjeenje

Kao to je u prethodnom tekstu reeno, matrica L predstavlja matricu kojase sastoji od mnoitelja nastalih u procesu eliminacije Gaussovom metodom,a matrica U gornju tridijagonalnu matricu u koju se transformie matricakoeficijenata A pomou Gaussove metode. Na taj nain, koristei rjeenje izprimjera 3.1 u pogodnijem obliku, dobija se:

L =

1 0 00.25 1 00.25 5/7 1

U = 80 20 200 35 25

0 0 750/7

(3.55)49


Dakle, matrica L se generie na sljedei nain. Elementi prve kolone jednaki sumnoiteljima iz prvog koraka pri rjeavanju Gaussovom metodom eliminacije(jednaina (3.16)) element L12 jednak je mnoitelju koji ide uz jednainu (b)(tj. 20/80 = 0.25), dok je element L13 jednak mnoitelju koji ide uz jedna-inu (c) (tj. 20/80 = 0.25). Treba napomenuti da ispred mnoitelja trebada stoji znak minus (), poto se u procesu eliminacije od jednaina oduzimatrenutno glavna jednaina pomnoena mnoiteljem. Analogno, elementi drugekolone su jednaki mnoiteljima iz drugog koraka procesa eliminacije (jedna-ina (3.17)), odnosno element L23 jednak je mnoitelju koji ide uz jednainuc) (tj. 5/7). Po definiciji, elementi na dijagonali jednaki su 1, a ostali, iznaddijagonale, jednaki 0.

Kako je ranije reeno, matrica U u metodi Doolittlea jednaka je gornjojtrougaonoj matrici u koju se transformie matrica sistema A u toku postupkaGaussove metode eliminacije u ovom sluaju radi se o matrici iz jednaine(3.18).

Sada se koristei jednainu (3.53) dobija: 1 0 00.25 1 00.25 5/7 1

b1b2b3

= 202020

(3.56)i zamjenom unaprijed:

b1 = 20 (3.57a)b2 = 20 (1/4)20 = 25 (3.57b)b3 = 20 (1/4)20 (5/7)25 = 300/7 (3.57c)

Uvrtavajui dobijeni vektor b u jednainu (3.54) dobija se: 80 20 200 35 250 0 750/7

x1x2x3

= 2025300/7

(3.58)i zamjenom unaprijed:

x3 = 300/750 = 0.40 (3.59a)x2 = 25 [(25)0.4]/35 = 1.0 (3.59b)x1 = 20 20 [(20)1.0 + (20)0.4]/80 = 0.60 (3.59c)

Osnovna prednost metoda faktorizacije je u tome to je broj operacija mno-enja i dijeljenja, kada su poznate matrice L i U, jednak n2, to je mnogo

50


manje nego to to zahtijeva metoda Gaussove eliminacije. To naroito dolazido izraaja kada se treba izraunati sistem jednaina za veliki broj razliitihvrijednosti vektora b. Na slian nain se moe izvesti i algoritam za Croutovumetodu.

3.1.5 Nedostaci metoda eliminacije

Svi nesingularni sistemi linearnih jednaina imaju rjeenje. Teoretski gledano,to rjeenje se uvijek moe nai nekom od metoda eliminacije. Meutim, pos-toje dva osnovna problema koja se javljaju u primjeni metoda eliminacije: (i)prisustvo greaka zaokruivanja, i (ii) slaba podeenost sistema.

Greke zaokruivanja

Kao to je to u uvodnim poglavljima reeno, greke zaokruivanja nastaju kadase neki beskonano dugi brojevi aproksimiraju brojevima konane tanosti.Primjer 3.3 pokazuje kako greka zaokruivanja moe da utjee na rezultat.

Greke zaokruivanja u rjeavanju sistema jednaina se mogu smanjiti po-godnim razmjetajem jednaina, kao to je to i pokazano u pomenutom pri-mjeru. U ove svrhe se moe, takoer, koristiti i poseban iterativni postupak,tzv. metoda iterativnog poboljanja. Meutim, treba napomenuti da se grekezaokruivanja nikada ne mogu u potpunosti eliminisati.

Podeenost sistema

Svi dobro podeeni nesingularni numeriki problemi imaju tano rjeenje. Ovorjeenje se, teoretski, uvijek moe ostvariti koritenjem razlomaka ili besko-nano dugih brojeva. Meutim, svi praktini prorauni se ostvaruju sa kona-nim brojevima, koji kao posljedicu sadre greke zaokruivanja. Na taj nain,greke zaokruivanja, mogu promijeniti rezultat prorauna.

Dobro podeen sistem je onaj kod kojeg male promjene bilo kojeg elementasistema uzrokuju male promjene u rezultatu problema. Nasuprot tome, slabopodeen sistem je onaj kod kojeg male promjene nekog elementa uzrokujuvelike promjene u rjeenju sistema. S obzirom da su slabo podeeni sistemiveoma osjetljivi na male promjene elemenata problema, oni su osjetljivi i nagreke zaokruivanja.

Primjer 3.8

Pokaimo ponaanje jednog slabo podeenog sistema na sljedeem primjeru:

x1 + x2 = 2 (3.60a)

51


x1 + 1.0001x2 = 2.0001 (3.60b)

Primjenom Gaussove eliminacije na sistem jednaina (3.60) dobija se:

(a)(b)

[1 11 1.0001

22.0001]

(1)+(b) (3.61)

[1 10 0.0001

20.0001]

(3.62)

to dovodi do rjeenja x2 = 1 i x1 = 1.Posmatrajmo sada sistem kod kojeg smo koeficijent a22 promijenili sa 1.0001

na 0.9999. Imamo:

(a)(b)

[1 11 0.9999

22.0001]

(1)+(b) (3.63)

[1 11 0.0001

20.0001]

(3.64)

to dovodi do rjeenja x2 = 1 i x1 = 3, koje je potpuno drugaije od onogprethodnog. Slino ponaanje bi se desilo ako bismo elemenat b2 promijeniliza neku malu veliinu. Dakle, male promjene u koeficijentima sistema dovelesu do znatnih promjena u rjeenju sistema, to pokazuje da je sistem slabopodeen.

Jedini pravi lijek protiv problema slabe podeenosti je koritenje beskonanodugih brojeva. Kako to nije mogue ostvariti, ostaje samo pokuaj da seskaliranjem i zamjenama redova pobolja podeenost sistema.

Podeenost sistema se procjenjuje koritenjem norme matrice sistema ibroja podeenosti . Postoji vie definicija norme matrice sistema, kao:

A1 = max1jn

ni=1

|aij| maksimalan zbir kolone (3.65a)

A = max1jn

nj=1

|aij| maksimalan zbir reda (3.65b)

A2 = mini spektralna norma (3.65c)

Ae =(

ni=1

nj=1

a2ij

)Euklidska norma (3.65d)

52


Za razliku od norme, broj podeenosti predstavlja mjeru osjetljivosti sistemana male promjene njegovih elemenata. Broj podeenosti matrice A dat jeizrazom:

C(A) = AA1 (3.66)Velike vrijednosti broja podeenosti pokazuju i veliku osjetljivost na promjeneu vektoru b, pa je takav sistem slabo podeen.

Primjer 3.9

Pokaimo na primjeru 3.8 upotrebu norme i broja podeenosti.

Rjeenje

Matrica sistema jednaina (3.60) ima oblik:

A =[1 11 0.0001

](3.67)

pa bi Euklidska norma imala vrijednost:

Ae =(

ni=1

nj=1

a2ij

)=12 + 12 + 12 + 1.00012 = 2.00005 (3.68)

Nasuprot tome, inverzna matrica i njena Euklidska norma su:

A1 =[

10001 1000010000 10000

](3.69)

A1e =(

ni=1

nj=1

a2ij

)= 20000.5 (3.70)

Dakle, broj podeenosti je:

C(A) = AeA1e = 2.00005 20000.5 = 40002 1 (3.71)to pokazuje da je sistem slabo podeen. Treba napomenuti da u sluaju kadaje sistem dobro podeen, a postoje znatne greke u rjeenju, osnovni uzrok jetanost raunanja.

53


3.2 Iterativne metode

Za mnoge velike sisteme linearnih jednaina, koji proistiu iz inenjerskih pr-oblema, matrica koeficijenataA je rijetka, tj. veina elemenata jednaka je nuli.U tom sluaju mnogo je efikasnije za njihovo rjeavanje koristiti iterativne negodirektne metode.

Iterativne metode, kao i kod rjeavanja nelinearnih jednaina, poinju sapretpostavkom poetnog rjeenja x(0). Ovo rjeenje se zatim koristi za dobi-vanje boljeg rjeenja x(1) na osnovu neke strategije smanjenja razlike izmeux(0) i stvarnog rjeenja x. Postupak se nastavlja do postizanja eljene tanosti.Procedura je konvergentna ako se sa poveanjem broja iteracija aproksimacijarjeenja pribliava tanom rjeenju.

Iterativne metode ne konvergiraju uvijek za sve jednaine u datom sistemu,niti za sve mogue rasporede jednaina nekog sistema. Dovoljan uslov za ko-nvergenciju iterativnih metoda opisanih u ovom poglavlju za bilo koji poetnivektor rjeenja x je dijagonalna dominantnost matrice sistema. Pri tome, ma-trica je dijagonalno dominantna ako je apsolutna vrijednost svakog elementa naglavnoj dijagonali jednaka ili vea od zbira apsolutnih vrijednosti svih ostalihelemenata u tom redu, pri emu je za bar jedan red apsolutna vrijednost dija-gonalnog elementa vea od odgovarajueg zbira apsolutnih vrijednosti ostalihelemenata, ili

|aii| nj=1j 6=i

|aij| (i = 1, 2, . . . , n) (3.72)

pri emu znak > vrijedi za bar jedan red.Neki sistemi koji nisu dijagonalno dominantni mogu se preurediti (na pri-

mjer zamjenom redova i sl.) i uiniti dijagonalno dominantnim. S druge strane,neki, sistemi, koji nisu dijagonalno dominantni, mogu konvergirati ka rjeenjuza odreena poetna rjeenja, ali im konvergencija nije osigurana. U praksi seiterativne metode ne koriste u sluajevima kada dijagonalna dominantnost nemoe da se osigura.

Kada ponovljena

Skrip Ta opm

Documents