Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu 4 W przypadku skręcania pręta jego obciążenie stanowią momenty skręcające i M . Na rys. 4.1a przedstawiono przykład pręta sztywno zamocowanego na lewym końcu (punkt A), obciążonego momentami skręcającymi 1 M , 2 M i 3 M . Schemat oblicze- niowy – po uwolnieniu z więzów – ilustruje rys. 4.1b. Rys. 4.1 Do wyznaczenia wartości momentu podporowego A M wykorzystujemy równanie równowagi statycznej – suma momentów zewnętrznych względem osi x jest równa zeru: 0 Σ = ix M (4.1) 0 3 2 1 A = + + − M M M M 3 2 1 A M M M M − − = W dowolnym przekroju poprzecznym pręta moment skręcający s M jest równy sumie momentów zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju względem osi pręta (rys. 4.2). Rys. 4.2 Dla przekroju przedstawionego na rys. 4.2, otrzymamy zatem: — rozwiązując od prawej strony (rys. 4.2a) 3 2 ) ( Σ M M M M ix p s + = = (4.2a)
22
Embed
Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu · 2019. 2. 3. · Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu 4.3 gdzie: Ms — moment skręcający, l —
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
W przypadku skręcania pręta jego obciążenie stanowią momenty skręcające iM . Na rys. 4.1a przedstawiono przykład pręta sztywno zamocowanego na lewym końcu (punkt A), obciążonego momentami skręcającymi 1M , 2M i 3M . Schemat oblicze-niowy – po uwolnieniu z więzów – ilustruje rys. 4.1b.
Rys. 4.1
Do wyznaczenia wartości momentu podporowego AM wykorzystujemy równanie
równowagi statycznej – suma momentów zewnętrznych względem osi x jest równa zeru:
0Σ =ixM (4.1)
0321A =++− MMMM
321A MMMM −−=
W dowolnym przekroju poprzecznym pręta moment skręcający sM jest równy sumie momentów zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju względem osi pręta (rys. 4.2).
Rys. 4.2
Dla przekroju przedstawionego na rys. 4.2, otrzymamy zatem:
— rozwiązując od prawej strony (rys. 4.2a)
32)( Σ MMMM ixps +== (4.2a)
4.2 Wytrzymałość materiałów
— rozwiązując od lewej strony (rys. 4.2b)
1A1A)( )(Σ MMMMMM ixls +−=−−=−= (4.2b)
Do obliczenia naprężeń stycznych τ wywołanych momentem skręcającym w prze-kroju kołowym (rys. 4.3), w dowolnym punkcie oddalonym od osi pręta o wielkość ρ (promień), stosujemy następującą zależność:
ρIMρτ
s
s=)( (4.3)
gdzie:
sM — moment skręcający,
sI — biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego, ρ — odległość punktu od osi pręta (promień).
Rys. 4.3
Naprężenia styczne mają wartości proporcjonalne do wielkości promienia ρ i są do
niego prostopadłe. Stąd wniosek, że maksymalne naprężenia styczne maxτ dla prze-kroju kołowego, wystąpią na obwodzie ( 2/dρ = ), a ich wartość możemy określić na podstawie zależności:
s
sWMτ =max (4.4)
gdzie:
sM — moment skręcający,
sW — wskaźnik wytrzymałości na skręcanie, określony następująco:
maxρIW s
s = (4.5)
Dla przekroju kołowego o średnicy d , wartości sI oraz sW są równe:
32
4dπIs = (4.6)
16
3dπWs = (4.7)
Kąt skręcenia φ odcinka pręta wyznaczamy w oparciu o zależność:
sM — moment skręcający, l — długość rozpatrywanego odcinka pręta, G — moduł Kirchhoffa (moduł sprężystości poprzecznej),
sI — biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego. Iloczyn sIG nazywamy sztywnością pręta na skręcanie.
4.4 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 4.1. Wyznaczyć wykresy momentów skręcających sM , naprężeń stycznych τ oraz kątów
obrotu φ dla pręta o przekroju kołowym przedstawionego na rys. 4.4. Dane: 0M , l , d , G .
Rys. 4.4
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 4.5).
Rys. 4.5
Moment podporowy AM wyznaczamy z równania równowagi statycznej:
0Σ =ixM
0000A =+++− MMMM
0A 3MM =
W kolejnym kroku wyznaczamy momenty skręcające sM w poszczególnych odcin-kach pręta. Zadanie rozwiążemy zarówno od prawej (rys. 4.6), jak i lewej (rys. 4.7) strony.
Rys. 4.6
Rys. 4.7
Rozwiązując zadanie od prawej strony (rys. 4.6) otrzymujemy, w oparciu o zależ-ność (4.2a):
Z kolei, rozwiązując zadanie od lewej strony (rys. 4.6) otrzymamy, zgodnie ze wzorem (4.2b):
0AAAB, 3)(Σ MMMMM ixs ==−−=−=
00A0ABC, 2)(Σ MMMMMMM ixs =−=+−−=−=
000A00ACD, )(Σ MMMMMMMMM ixs =−−=++−−=−=
Naprężenia styczne τ w poszczególnych odcinkach pręta są równe (4.4):
ss
s
WM
WM
τ 0AB,AB 3==
ss
s
WM
WM
τ 0BC,BC 2==
ss
s
WM
WM
τ 0CD,CD ==
gdzie sW jest wskaźnikiem wytrzymałości na skręcanie, równym:
16
3dπWs =
Kąty obrotu przekrojów B, C i D wyznaczamy na podstawie kątów skręcenia posz-czególnych odcinków pręta – odpowiednio AB, BC i CD. Na podstawie zależności (4.8) otrzymujemy: — kąt skręcenia odcinka AB
ss
s
IGlM
IGlM
φ 0AB,AB 3==
— kąt skręcenia odcinka BC
ss
s
IGlM
IGlM
φ 0BC,BC 2==
— kąt skręcenia odcinka CD
ss
s
IGlM
IGlM
φ 0CD,CD ==
gdzie sI jest biegunowym momentem bezwładności przekroju poprzecznego, równym
32
4dπIs =
Ostatecznie otrzymujemy: — kąt obrotu przekroju A
0A =φ
— kąt obrotu przekroju B
sIGlMφφ 0
ABB 3==
— kąt obrotu przekroju C
sss IGlM
IGlM
IGlMφφφ 000
BCABC 523 =+=+=
4.6 Wytrzymałość materiałów
— kąt obrotu przekroju D
ssss IGlM
IGlM
IGlM
IGlMφφφφ 0000
CDBCABD 623 =++=++=
Na rys. 4.8 przedstawiono rozwiązanie zadania – wykresy momentów skręcają-cych, naprężeń stycznych oraz kątów obrotu.
Zadanie 4.2. Wyznaczyć wykresy momentów skręcających sM , naprężeń stycznych τ oraz kątów
obrotu φ dla pręta o przekroju kołowym przedstawionego na rys. 4.9. Dane: 0M , l , d , G .
Rys. 4.9
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 4.10).
Rys. 4.10
Moment podporowy AM wyznaczamy z równania równowagi statycznej:
0Σ =ixM
025 000A =−++− MMMM
0A 4MM =
Wyznaczamy momenty skręcające sM w poszczególnych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od lewej strony (rys. 4.11):
0AAAB, 4)(Σ MMMMM ixs ==−−=−=
00A0ABC, 5)5(Σ MMMMMMM ixs −=−=+−−=−=
000A00ACD, 25)5(Σ MMMMMMMMM ixs −=−−=++−−=−=
025)25(Σ 000A000ADE, =+−−=−++−−=−= MMMMMMMMMM ixs
Rys. 4.11
Naprężenia styczne τ w poszczególnych odcinkach pręta są równe (4.4):
ss
s
WM
WM
τ 0AB,AB 4==
ss
s
WM
WM
τ 0BC,BC −==
4.8 Wytrzymałość materiałów
ss
s
WM
WM
τ 0CD,CD 2−==
0DE,DE ==
s
s
WM
τ
gdzie sW jest równe:
16
3dπWs =
Kąty obrotu przekrojów B, C, D i E wyznaczamy na podstawie kątów skręcenia poszczególnych odcinków pręta – odpowiednio AB, BC, CD i DE. Na podstawie zależ-ności (4.8) otrzymujemy: — kąt skręcenia odcinka AB
Wskaźniki wytrzymałości oraz momenty bezwładności dla odcinków AB i BC, dla których średnica pręta jest inna niż d , określimy w funkcji wprowadzonych wielkości odniesienia. Otrzymamy zatem: — dla odcinka AB
sss WWdπ
W ′=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=125343
57
1657
3
3
AB,
sss IIdπ
I ′=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=6252401
57
3257
4
4
AB,
— dla odcinka BC
sss WWdπ
W ′=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=125216
56
1656
3
3
BC,
sss IIdπ
I ′=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=625
129656
3256
4
4
BC,
Dla odcinków CD i DE otrzymujemy natomiast:
sss WWW ′== DE,CD,
sss III ′== DE,CD,
Naprężenia styczne τ w poszczególnych odcinkach pręta są równe (4.4):
ssss
s
WM
WM
WM
WM
τ′
≈′
=′
== 000
AB,
AB,AB 0933,1
343375
1253433
ssss
s
WM
WM
WM
WM
τ′
≈′
=′
== 000
BC,
BC,BC 1574,1
108125
1252162
ss
s
WM
WM
τ′
== 0
CD,
CD,CD
0DE,
DE,DE ==
s
s
WM
τ
Kąty obrotu przekrojów B, C, D i E wyznaczamy na podstawie kątów skręcenia poszczególnych odcinków pręta – odpowiednio AB, BC, CD i DE. Na podstawie zależ-ności (4.8) otrzymujemy: — kąt skręcenia odcinka AB
ssss
s
IGlM
IGlM
IGlM
IGlM
φ′
≈′
=′
== 000
AB,
AB,AB 7809,0
24011875
6252401
3
4.12 Wytrzymałość materiałów
— kąt skręcenia odcinka BC
ssss
s
IGlM
IGlM
IGlM
IGlM
φ′
≈′
=′
== 000
BC,
BC,BC 9645,0
648625
6251296
2
— kąt skręcenia odcinka CD
ss
s
IGlM
IGlM
φ′
== 0
CD,
CD,CD
— kąt skręcenia odcinka DE
0DE,
DE,DE ==
s
s
IGlM
φ
Ostatecznie otrzymujemy: — kąt obrotu przekroju A
0A =φ
— kąt obrotu przekroju B
sIGlMφφ′
== 0ABB 7809,0
— kąt obrotu przekroju C
sIGlM
φφφ
′=
=+=
0
BCABC
7454,1
— kąt obrotu przekroju D
sIGlMφφφφ
′=
=++=
0
CDBCABD
7454,2
— kąt obrotu przekroju E
sIGlM
φφφφφ
′=
=+++=
0
DECDBCABE
7454,2
Rys. 4.16
Na rys. 4.16 przedstawiono rozwiązanie zadania – wykresy momentów skręcają-cych, naprężeń stycznych oraz kątów obrotu.
Zadanie 4.4. Wyznaczyć wykresy momentów skręcających sM , naprężeń stycznych τ oraz kątów
obrotu φ dla pręta o przekroju kołowym przedstawionego na rys. 4.17. Dane: 0M , l , d , G .
Rys. 4.17
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 4.18).
Rys. 4.18
Równanie równowagi statycznej ma postać:
0Σ =ixM
02 00DA =++−− MMMM
0DA 3MMM =+
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – dwie niewiadome AM , DM i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego – kąt obrotu przekroju D, jest równy zeru, co zapiszemy następująco:
0CDBCABD =++= φφφφ
Wyznaczamy momenty skręcające sM w poszczególnych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od lewej strony (rys. 4.15):
AAAB, )(Σ MMMM ixs =−−=−=
0A0ABC, )(Σ MMMMMM ixs −=+−−=−=
0A00ACD, 3)2(Σ MMMMMMM ixs −=++−−=−=
Rys. 4.19
Kąty skręcenia poszczególnych odcinków pręta są równe:
ss
s
IGlM
IGlM
φ AAB,
AB ==
4.14 Wytrzymałość materiałów
ss
s
IGlMM
IGlM
φ )( 0ABC,
BC −==
ss
s
IGlMM
IGlM
φ )3( 0ACD,
CD −==
Podstawiając wyznaczone kąty skręcenia do dodatkowego warunku geometrycz-nego możemy określić wartość momentu podporowego AM :
ssss IGl
IGlMM
IGlMM
IGlM :0)3()( 0A0AA =−+−+
03 0A0AA =−+−+ MMMMM
0A 43 MM =
0A 34 MM =
Moment podporowy DM jest równy:
000A0D 35
3433 MMMMMM =−=−=
Podstawiając wartość momentu podporowego AM wyznaczamy momenty skręca-jące sM w poszczególnych odcinkach pręta:
0AAB, 34 MMMs ==
0000ABC, 31
34 MMMMMMs =−=−=
0000ACD, 353
343 MMMMMMs −=−=−=
Naprężenia styczne w poszczególnych odcinkach pręta wynoszą:
ss
s
WM
WM
τ 0AB,AB 3
4==
ss
s
WM
WM
τ 0BC,BC 3
1==
ss
s
WM
WM
τ 0CD,CD 3
5−==
gdzie sW jest równe:
16
3dπWs =
Kąty obrotu poszczególnych przekrojów pręta wynoszą: — kąt obrotu przekroju A
Na rys. 4.20 przedstawiono rozwiązanie zadania – wykresy momentów skręcają-cych, naprężeń stycznych oraz kątów obrotu.
Rys. 4.20
4.16 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 4.5. Wyznaczyć wykresy momentów skręcających sM , naprężeń stycznych τ oraz kątów
obrotu φ dla pręta o przekroju kołowym przedstawionego na rys. 4.21. Dane: 0M , l , d , G .
Rys. 4.21
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 4.22).
Rys. 4.22
Równanie równowagi statycznej ma postać:
0Σ =ixM
03 00DA =+−+ MMMM
0DA 2MMM =+
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – dwie niewiadome AM , DM i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego – kąt obrotu przekroju D, jest równy zeru, co zapiszemy następująco:
0CDBCABD =++= φφφφ
Wyznaczamy momenty skręcające sM w poszczególnych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od lewej strony (rys. 4.23):
AAAB, )(Σ MMMM ixs −=−=−=
0A0ABC, 3)3(Σ MMMMMM ixs +−=−−=−=
0A00ACD, 2)3(Σ MMMMMMM ixs +−=+−−=−=
Rys. 4.23
Kąty skręcenia poszczególnych odcinków pręta są równe:
Zadanie 4.6. Wyznaczyć wykresy momentów skręcających sM , naprężeń stycznych τ oraz kątów
obrotu φ dla pręta o przekroju kołowym przedstawionego na rys. 4.25. Dane: 0M , l , d , G .
Rys. 4.25
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 4.26).
Rys. 4.26
Równanie równowagi statycznej ma postać:
0Σ =ixM
02 00EA =−+−− MMMM
0EA MMM =+
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – dwie niewiadome AM , EM i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego – kąt obrotu przekroju E, jest równy zeru, co zapiszemy następująco:
0DECDBCABE =+++= φφφφφ
Wyznaczamy momenty skręcające sM w poszczególnych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od lewej strony (rys. 4.27):
AAAB, )(Σ MMMM ixs =−−=−=
0A0ABC, 2)2(Σ MMMMMM ixs −=+−−=−=
0ABC,CD, 2MMMM ss −==
0A00ADE, )2(Σ MMMMMMM ixs −=−+−−=−=
Rys. 4.27
4.20 Wytrzymałość materiałów
Z uwagi na różne średnice pręta w poszczególnych odcinkach, wprowadzamy wielkości odniesienia dla wskaźnika wytrzymałości na skręcanie sW ′ oraz momentu bezwładności sI ′ , równe:
16
3dπWs =′ 32
4dπIs =′
Wskaźnik wytrzymałości oraz moment bezwładności dla odcinków AB i BC, okre-ślimy w funkcji wprowadzonych wielkości odniesienia:
ssss WWdπ
WW ′=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==125216
56
1656
3
3
BC,AB,
ssss IIdπ
II ′=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==625
129656
3256
4
4
BC,AB,
Dla odcinków CD i DE otrzymujemy natomiast:
sss WWW ′== DE,CD,
sss III ′== DE,CD,
Kąty skręcenia poszczególnych odcinków pręta są równe:
ss
s
IGlM
IGlM
φ′
== AAB,
AB,AB 1296
625
ss
s
IGlMM
IGlM
φ′
−== )2(1296625
0ABC,
BC,BC
ss
s
IGlMM
IGlM
φ′
−== )2( 0ACD,
CD,CD
ss
s
IGlMM
IGlM
φ′
−== )( 0ADE,
DE,DE
Podstawiając wyznaczone kąty skręcenia do dodatkowego warunku geometrycz-nego możemy określić wartość momentu podporowego AM :
Przyjęty zwrot momentu podporowego EM był błędny. Z uwagi na fakt, iż zadanie rozwiązywano od strony lewej — nigdzie nie występuje moment EM — wyprowadzone zależności na momenty skręcające oraz kąty skręcenia są poprawne.
Podstawiając wartość momentu podporowego AM wyznaczamy momenty skręca-jące sM w poszczególnych odcinkach pręta:
0AAB, 3373,1 MMMs ==
00ABC, 6627,02 MMMMs −=−=
0BC,CD, 6627,0 MMM ss −==
00ADE, 3373,0 MMMMs =−=
Naprężenia styczne w poszczególnych odcinkach pręta wynoszą:
sss
s
WM
WM
WM
τ′
≈′
== 00
AB,
AB,AB 7739,0
1252163373,1
sss
s
WM
WM
WM
τ′
−≈′
−== 00
BC,
BC,BC 3835,0
1252166627,0
ss
s
WM
WM
τ′
−≈= 0
CD,
CD,CD 6627,0
ss
s
WM
WM
τ′
≈= 0
DE,
DE,DE 3373,0
Po podstawieniu wartości momentu podporowego AM wyznaczamy kąty skręcenia poszczególnych odcinków pręta:
sIGlMφ′
= 0AB 6449,0
sIGlMφ′
−= 0BC 3195,0
sIGlMφ′
−= 0CD 6627,0
sIGlMφ′
= 0DE 3373,0
Kąty obrotu poszczególnych przekrojów pręta wynoszą zatem: — kąt obrotu przekroju A
0A =φ
— kąt obrotu przekroju B
sIGlMφφ′
== 0ABB 6449,0
— kąt obrotu przekroju C
ss IGlM
IGlMφφφ
′=
′−=+= 00
BCABC 3254,0)3195,06449,0(
4.22 Wytrzymałość materiałów
— kąt obrotu przekroju D
ss IGlM
IGlMφφφφ
′−=
′−−=++= 00
CDBCABD 3373,0)6627,03195,06449,0(
— kąt obrotu przekroju E
0)3373,06627,03195,06449,0( 0DECDBCABE =
′+−−=+++=
sIGlMφφφφφ
Na rys. 4.28 przedstawiono rozwiązanie zadania – wykresy momentów skręcają-cych, naprężeń stycznych oraz kątów obrotu. Na rysunku przyjęto poprawny zwrot momentu podporowego EM .