SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌC CHUYÊN VĨNH PHÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG TƯ DUY GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Người thực hiện : Đào Chí Thanh Tổ : Toán Tin Mã : 55 Số điện thoại : 0985 852 684 Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn Năm 2012- 2013
26
Embed
SKKN Bồi Dưỡng Tư Duy Qua Các Phép Biến Đổi Lượng Giác
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌC CHUYÊN VĨNH PHÚC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
BỒI DƯỠNG TƯ DUY GIẢI TOÁN
CHO HỌC SINH THÔNG QUA
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Người thực hiện : Đào Chí Thanh
Tổ : Toán Tin
Mã : 55
Số điện thoại : 0985 852 684
Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn
Năm 2012- 2013
lvdo
Text Box
ebooktoan.com
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 2
MỤC LỤC
Trang
Më ®Çu 3
PHẦN I : SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN ĐẠI SỐ
Dạng 1 : Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản 6
Bài tập tự luyện 11
Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung 12
Bài tập tự luyện 15
Dạng 3: Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng 16
Bài tập tự luyện 20
Dạng 4:Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác 21
Bài tập tự luyện 23
PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT
25
Tài liệu tham khảo 27
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong giai đoạn hiện nay, việc cấp bách để tránh đất nước có nguy cơ tụt hậu
về kinh tế, khoa học kỹ thuật là phải nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi căn
bản phương pháp dạy học.Học sinh phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động tư
duy sáng tạo, bồi dưỡng phương pháp tự học học sinh.
Bên cạnh đó, hàm số lượng giác và phương trình lương giác là khái niệm
khó, trừu tượng đối với học sinh THPT, phân phối thời gian giảng dạy và học tập
chiếm thời gian rất ít vì vậy để giải các bài tập lượng giác đối với nhiều học sinh là
khá khó khăn.
Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học của học sinh đối với môn toán,
giúp các em thấy được các mối liên quan giữa các phần được học trong bộ môn
toán với nhau tôi đã tổng hợp , phân loại một số bài toán đại số có thể giải bằng các
kiến thức lượng giác nhằm giúp các em có cách nhìn mới , phướng pháp mới để
giải một số bài tập đại số. Mặt khác nhằm giúp các em ôn luyện các kiến thức đã
học ở chương hàm số và phương trình lượng giác
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của bản sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu một số bài toán đại
số được giải bằng phương pháp khác nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng
tạo cho học sinh .
3. Giả thuyết khoa học
Sử dụng các kiến thức lượng giác để giải một số bài tập đại số nhằm bồi
dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh , góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong
giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông trung
học
lvdo
Text Box
ebooktoan.com
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 4
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập đại số phù hợp với sự phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh trong
quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa, các bài tập nâng cao.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối
chứng trên cùng một lớp đối tượng.
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 5
SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
Dạng 1: Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản
Ta đã biết một số hệ thức lượng cơ bản học sinh đã dược học từ lớp 9, song
vận dụng các kiến thức này còn hạn chế. Để thấy được vai trò của các hệ thức cơ
bản của lương giác trong toán học tôi đã phân loại ra một số bài tập sau.
Các hệ thức cơ bản và hệ quả:
1/ 2 2sin cos 1
2/ sin
tgcos
3/ cos
cotgsin
4/ 2
2
11 tg
cos
5/ 2
2
11 cotg
sin
6/ tg .cotg 1
Sau đây là một số bài tập minh họa
Bài 1 :
Cho a2 + b2 = c2 +d2 = 1 Chúng minh rằng : 1ac bd
Bài giải :
Do a2 + b2 = 1 nên đặt sin = a; cos = b;
Do c2 + d2 = 1 nên đặt sin = c; cos = d;
Thay vào ac + bd thì ta có sin .sin+cos .cos = cos( - )
Lại có cos 1x nên ta có 1ac bd
Bài 2 : Cho x;y thỏa mãn 2 23 3 3x x y y (1).Tính x + y
Bài giải
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 6
Từ (1) chia hai vế cho 3 ta có
2 23 3
133 3 3
x x y y
Từ biểu thức đã cho ta thấy x>0,y>0
Với a 0;2
nên ta có thể đặt:
2 2
2 2
( ) 1 tan ( ) 1 tan (2)3 3 3 3
( ) 1 cot ( ) 1 cot (3)3 3 3 3
x x x xa a
y y y ya a
Bình phương hai vế của (2) và (3) ta có
2 22
2 22
1 tan 2 tan3 3 3
1 cot 2 cot3 3 3
x x xa a
y y ya a
Hay
22
22
tan 11 tan 2 tan 2 tan cot (4)
tan3 3
cot 11 cot 2 cot 2 cot tan (5)
cot3 3
x x aa a a a
a
y y aa a a a
a
Cộng (4) và (5) ta có: x+ y = 0 (Đpcm).
Bài 3: Cho x;y;z đôi một khác nhau thỏa mãn : (x+ z)(z + y) = 1
Chứng minh rằng :
2 2 2
1 1 14
( ) ( ) ( )x y z x z y
Bài giải : Do (x+ z)(z + y) = 1 Với 4
a k
ta đặt : x + y = tan a; y + z = cot a nên x – y = tan a – cot a.
Do đó ta cần chứng minh :
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 7
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 14 tan cot 4
(tan cot ) t an cot tan cot 2a a
a a a a a a
2 2
2 2
1tan cot 2 2 (2)
tan cot 2a a
a a
Ta thấy (2) đúng theo bất đẳng thức Cauchy.
Bài 4: Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) (1)
Chứng minh rằng : 2 2 2 3
4x y z (2)
Bài giải :
Từ giả thiết : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) ta có : 1 1 1
. . 1x y z
x y z
Với a;b;c 0;4
Ta đặt :
1 1tan . cot 1 .tan cot
1 tan cot
1 1cot . cot 1 .cot cot
1 cot cot
1 1tan . 1 .tan
1 tan
xa b x x a b x
x a b
ya b y y a b y
y a b
zb z z b z
z b
Vậy Bất đẳng thức (2) tương đương:
22 2
1 1 1 3
(1 tan ) 4(1 tan . cot ) (1 cot . cot ) ba b a b
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2 2
2 21 tan cot (1 tan )(1 cot ) ; 1 cot cot (1 cot )(1 cot )a b a b a b a b
Điều phải chứng minh tương đương :
22 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
(1 tan )(1 tan . cot ) (1 cot . cot )
2 tan cot 1 1 cot cot cot 1
(1 tan )(1 cot )(1 cot ) (1 tan ) 1 cot 1 cot (1 cot )
ba b a b
a a b b b
a a b b b b b
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 8
Ta chứng minh :
22 2 2
2
cot cot 1 34(cot cot 1) 3(1 cot ) (1 cot ) 0
(1 cot ) 4
b bb b b b
b
Đúng
Bài 5 : Cho : a2 + b2 – 2a – 4b+ 4 = 0 (*)
Chứng minh rằng :
2 2 2 3 2(1 2 3) (4 2 3) 4 3 3 2A a b ab a b
Bài giải :
Từ (*) ta có ( a – 1 )2 + (b – 2 )2 =1 Ta đặt a = 1+ sin x; b = 2 + cos x
Thay vào A ta có :
2 2sin cos 2 3sin .cos 3sin 2 cos2 2A x x x x x x (Đpcm)
Bài 6 : Chứng minh rằng :
2 23 2 3 23 1
2 2x x x
Bài giải :Từ ĐK bài toán ta có 1 sin2 2
x x a a
Thay vào :
2 2 2
0
1 cos2 13 1 3sin sin .cos 3 sin 2
2 2
3 1 3( 3 cos2 sin 2 ) cos(30 2 )
2 2 2
ax x x a a a a
a a a
Ta có - 1 cos(300 + 2a ) 1 nên 2 23 2 3 23 1
2 2x x x
Bài7: Cho 1 a 3 Chứng minh rằng : 3 24 24 45 26 1S a a a
Bài giải : Ta có : -1 a – 2 1 Nên ta đặt : a – 2 = cos x (0 x )
Thay vào biều thức S ta có
3 24(2 cos ) 24(2 cos ) 45(2 cos ) 26 cos3 1S x x x x (đpcm)
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 9
Bài 8: Chứng minh rằng :
2 1 3
2 ( ; 1)a
A a aa
Bài giải : Đặt 1
cosa
x ( 0 ;
2x x
)
Ta có : 22
11 3
cos 1 cos 3.cos sin 3.cos 21
cos
xA x x x x
x
Bài 9 : Chứng minh rằng :
3
32 2
3 41 ( )
1 1
x xS x
x x
Bài giải : Đặt x = tan a ( 2 2
a
) Khi đó
33 3
2 2 3
3
3tan tan4 3tan .cos 4.tan .cos
1 tan (1 tan )
3sin 4sin sin3 1
a aS a a a a
a a
a a a
Bài10 : Chứng minh rằng : 2 2
( )(1 ) 1( ; )
(1 )(1 ) 2
a b aba b
a b
Bài giải :Đặt a = tan x; b = tan y với x; y ;2 2
thì ta có
2 2 2 2
2 2
2 2
( )(1 ) (tan tan )(1 tan .tan )
(1 )(1 ) (1 tan )(1 tan )
sin( ).cos( )cos .cos .
cos .cos
1 1sin( ).cos( ) sin 2( ) ( ; )
2 2
a b ab x y x y
a b x y
x y x yx y
x y
x y x y x y x y
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác