Skalarne funkcije vi se varijabli i parcijalne derivacijeprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat2-pred6.pdfSkalarne funkcije vi se varijabli Parcijalne derivacije Kako vizualizirati ovisnost

Skalarne funkcije vise varijabli Parcijalne derivacije

Skalarne funkcije vise varijabli i parcijalne derivacije

Franka Miriam Bruckler


Jednadzba stanja idealnog plina

p =nRT

V⇔ f (x , y , z) =

xy

zuz

x =n

mol, y =

T

K, z =

V

L, f ==

p

Pa.

Pritom je kodomena od f skup R, a domena je

{(x , y , z) ∈ R3 : x , y , z > 0} (prirodna domena bila bi{(x , y , z) ∈ R3 : z 6= 0}).

Definicija (Skalarne funkcije vise varijabli)

Skalarna (realna) funkcija od n varijabli je funkcija koja uredenimn-torkama brojeva pridruzuje realne brojeve, tj. funkcija cijadomena je podskup od Rn, a kodomena je (podskup od) R.



p =nRT

V⇔ f (x , y , z) =

xy

zuz

x =n

mol, y =

T

K, z =

V

L, f ==

p

Pa.

Pritom je kodomena od f skup R, a domena je{(x , y , z) ∈ R3 : x , y , z > 0} (prirodna domena bila bi

{(x , y , z) ∈ R3 : z 6= 0}).





p =nRT

V⇔ f (x , y , z) =

xy

zuz

x =n

mol, y =

T

K, z =

V

L, f ==

p

Pa.

Pritom je kodomena od f skup R, a domena je{(x , y , z) ∈ R3 : x , y , z > 0} (prirodna domena bila bi{(x , y , z) ∈ R3 : z 6= 0}).




Primjer

Ako je f (x , z) = x2 − 2xz − 3y 2, onda je f (2, 1) =

−3, a f (1, 2) =−15.

Zadatak

Osmislite neko pravilo koje bi predstavljalo skalarnu funkcijucetiriju varijabli x1, x2, x3, x4 kojoj je prirodna domena citav R4 iizracunajte koju vrijednost ta funkcija postize u (0, 0, 0, 0).

Zadatak

Osmislite neko pravilo koje bi predstavljalo skalarnu funkciji dvijuvarijabli x , y kojoj je domena R2 bez ishodista (0, 0).


Primjer

Ako je f (x , z) = x2 − 2xz − 3y 2, onda je f (2, 1) = −3, a f (1, 2) =

−15.

Zadatak


Zadatak



Primjer

Ako je f (x , z) = x2 − 2xz − 3y 2, onda je f (2, 1) = −3, a f (1, 2) =−15.

Zadatak


Zadatak



Primjer

Ako je f (x , z) = x2 − 2xz − 3y 2, onda je f (2, 1) = −3, a f (1, 2) =−15.

Zadatak


Zadatak



Skalarne funkcije dviju varijabli

Kako u Kks-u glasi jednadzba kruznice polumjera 5 sa sredistem (−2, 3)?

Vidimo da se ona sastoji od tocaka (x , y) za koje izrazf (x , y) = (x + 2)2 + (y − 3)2 poprima vrijednost 25. Koje su tockeravnine za koje taj izraz poprima vrijednost 1? 0? −1?

Za razlicite vrijednosti nezavisnih varijabli x i y skalarna funkcija f kao

vrijednosti (iznos zavisne varijable) poprima razlicite realne brojeve. Ako

fiksiramo”ciljanu” vrijednost a, sve tocke koje zadovoljavaju f (x , y) = a

cine krivulju koju nazivamo nivo-linijom funkcije f . Varirajuci a, dobijemo

razlicite nivo-linije koje u odredenom smislu vizualiziraju ponasanje od f .



Kako u Kks-u glasi jednadzba kruznice polumjera 5 sa sredistem (−2, 3)?Vidimo da se ona sastoji od tocaka (x , y) za koje izrazf (x , y) = (x + 2)2 + (y − 3)2 poprima vrijednost 25. Koje su tockeravnine za koje taj izraz poprima vrijednost 1? 0? −1?








Kako u Kks-u glasi jednadzba kruznice polumjera 5 sa sredistem (−2, 3)?Vidimo da se ona sastoji od tocaka (x , y) za koje izrazf (x , y) = (x + 2)2 + (y − 3)2 poprima vrijednost 25. Koje su tockeravnine za koje taj izraz poprima vrijednost 1? 0? −1?







Podsjetnik

Jednadzbomf (x , y) = a

je implicitno zadana funkcija jedne varijable y : Za svaku tocku(x0, y0) na toj krivulji (nivo-liniji od f ) ce se, osim ako je u njojtangenta na krivulju paralelna s y -osi, dio te krivulje oko te tockemoci shvatiti kao graf funkcije g jedne varijable x (cija je domenaneki interval oko x0).

Zadatak

Kako izgleda nulta nivo-linija funkcije zadane sf (x , y) = x4 − x2 + y 2?

Je li ta krivulja graf neke funkcije jednevarijable? Oko kojih se tocaka moze njen dio shvatiti kao graffunkcije jedne varijable?


Podsjetnik



Zadatak

Kako izgleda nulta nivo-linija funkcije zadane sf (x , y) = x4 − x2 + y 2? Je li ta krivulja graf neke funkcije jednevarijable?

Oko kojih se tocaka moze njen dio shvatiti kao graffunkcije jedne varijable?


Podsjetnik



Zadatak

Kako izgleda nulta nivo-linija funkcije zadane sf (x , y) = x4 − x2 + y 2? Je li ta krivulja graf neke funkcije jednevarijable? Oko kojih se tocaka moze njen dio shvatiti kao graffunkcije jedne varijable?


Grafovi skalarnih funkcija

Kako se definira graf funkcije?

Graf funkcije f : D → K je skupsvih parova (X , f (X )) gdje je X ∈ D. Skalarnim funkcijama s nvarijabli je D ⊆ Rn, a K ⊆ R. U kojem se skupu nalaze elementigrafa skalarne funkcije dviju varijabli? Triju? Njih n? Vidimo: Grafskalarne funkcije n varijabli nalazi se u Rn+1. Stoga se grafovirealnih funkcija mogu vizualno interpretirati u koordinatnomsustavu samo u slucaju jedne ili dviju varijabli.Graf skalarne funkcije dviju varijabli se dakle moze prikazati ukoordinatnom sustavu u prostoru i sastoji se od tocaka skoordinatama (x , y , f (x , y)), gdje je (x , y) ∈ D.Stoga se domena skalarne funkcije dviju varijabli moze vizualiziratikao podskup (x , y)-koordinatne ravnine, a za pojedinu tocku izdomene njoj pridruzena vrijednost f (x , y) je aplikata tocke grafaiznad (ili ispod) (x , y , 0).



Kako se definira graf funkcije? Graf funkcije f : D → K je skupsvih parova (X , f (X )) gdje je X ∈ D. Skalarnim funkcijama s nvarijabli je D ⊆ Rn, a K ⊆ R. U kojem se skupu nalaze elementigrafa skalarne funkcije dviju varijabli? Triju? Njih n?

Vidimo: Grafskalarne funkcije n varijabli nalazi se u Rn+1. Stoga se grafovirealnih funkcija mogu vizualno interpretirati u koordinatnomsustavu samo u slucaju jedne ili dviju varijabli.Graf skalarne funkcije dviju varijabli se dakle moze prikazati ukoordinatnom sustavu u prostoru i sastoji se od tocaka skoordinatama (x , y , f (x , y)), gdje je (x , y) ∈ D.Stoga se domena skalarne funkcije dviju varijabli moze vizualiziratikao podskup (x , y)-koordinatne ravnine, a za pojedinu tocku izdomene njoj pridruzena vrijednost f (x , y) je aplikata tocke grafaiznad (ili ispod) (x , y , 0).



Kako se definira graf funkcije? Graf funkcije f : D → K je skupsvih parova (X , f (X )) gdje je X ∈ D. Skalarnim funkcijama s nvarijabli je D ⊆ Rn, a K ⊆ R. U kojem se skupu nalaze elementigrafa skalarne funkcije dviju varijabli? Triju? Njih n? Vidimo: Grafskalarne funkcije n varijabli nalazi se u Rn+1. Stoga se grafovirealnih funkcija mogu vizualno interpretirati u koordinatnomsustavu samo u slucaju jedne ili dviju varijabli.Graf skalarne funkcije dviju varijabli se dakle moze prikazati ukoordinatnom sustavu u prostoru i sastoji se od tocaka skoordinatama (x , y , f (x , y)), gdje je (x , y) ∈ D.Stoga se domena skalarne funkcije dviju varijabli moze vizualiziratikao podskup (x , y)-koordinatne ravnine, a za pojedinu tocku izdomene njoj pridruzena vrijednost f (x , y) je aplikata tocke grafaiznad (ili ispod) (x , y , 0).


f : R2 → R, f (x , y) = sin(x + y 2)


Kako vizualizirati ovisnost tlaka idealnog plina o njegovoj mnozini,temperaturi i volumenu?

Obzirom da bi nam za prikaz grafa tefunkcije trebao cetverodimenzionalni prostor, ocito je nemoguceskicirati tu ovisnost direktno. Jedan od cestih nacina kako ipakvizualizirati graf funkcije vise varijabli je naizmjenicno je shvatitikao funkciju samo po jedne od svojih varijabli i nacrtatiodgovarajuce nizove grafova u ravnini. Konkretno, p = nRT/Vmozemo opisati pomocu tri funkcije jedne varijable:

pT ,V (n) = RTV · n, koja za svaku odabranu vrijednost T i V

ovisi samo o n. Kako izgledaju njeni grafovi za razlicitevrijednosti T i V ?

pn,V (T ) = nRV · T , koja za svaku odabranu vrijednost n i V

ovisi samo o T . Njeni grafovi za razlicite vrijednosti n i Vizgledaju poput grafova od pT ,V .

pn,T (V ) = nRT · 1V , koja za svaku odabranu vrijednost n i T

ovisi samo o V . Kako izgledaju njeni grafovi za razlicitevrijednosti T i V ?


Kako vizualizirati ovisnost tlaka idealnog plina o njegovoj mnozini,temperaturi i volumenu? Obzirom da bi nam za prikaz grafa tefunkcije trebao cetverodimenzionalni prostor, ocito je nemoguceskicirati tu ovisnost direktno. Jedan od cestih nacina kako ipakvizualizirati graf funkcije vise varijabli je naizmjenicno je shvatitikao funkciju samo po jedne od svojih varijabli i nacrtatiodgovarajuce nizove grafova u ravnini. Konkretno, p = nRT/Vmozemo opisati pomocu tri funkcije jedne varijable:
























Druga mogucnost je koristiti izvedenu varijablu Vm = V /n i takoovisnost svesti na srodnu (ali ipak ne istu) funkciju dviju varijabli:p = R T

Vm. Prikazite ju prvo kao nizove grafova u ravnini!

U ovomslucaju, prvi niz grafova poznat je i pod nazivom izoterme (nizgrafova funkcija oblika pT (Vm) = RT/Vm za razlicite fiksiranevrijednosti T ), a drugi pod nazivom izohore (niz grafova funkcijaoblika pVm(T ) = RT/Vm za razlicite fiksirane vrijednosti Vm).

Kako bi izgledale nivo-linije funkcije p = R TVm

u(T ,Vm)-koordinatnom sustavu?



Vm. Prikazite ju prvo kao nizove grafova u ravnini! U ovom

slucaju, prvi niz grafova poznat je i pod nazivom izoterme (nizgrafova funkcija oblika pT (Vm) = RT/Vm za razlicite fiksiranevrijednosti T ), a drugi pod nazivom izohore (niz grafova funkcijaoblika pVm(T ) = RT/Vm za razlicite fiksirane vrijednosti Vm).





Vm. Prikazite ju prvo kao nizove grafova u ravnini! U ovom

slucaju, prvi niz grafova poznat je i pod nazivom izoterme (nizgrafova funkcija oblika pT (Vm) = RT/Vm za razlicite fiksiranevrijednosti T ), a drugi pod nazivom izohore (niz grafova funkcijaoblika pVm(T ) = RT/Vm za razlicite fiksirane vrijednosti Vm).




Oznacimo: x = T/K, y = Vm/(mol/L), z = p/Pa. Time smonasu ovisnost sveli na apstraktni oblik z(x , y) = 8,3145x/y .Kako ce u prostornom koordinatnom sustavu izgledati skup tocaka(100, y , z(100, y))? A (200, y , z(200, y))? A (x , 1, z(x , 1))?

Vidimodakle da niz grafova funkcija pT odgovara nizu presjeka grafafunkcije z s ravninama okomitim na x-os. Slicno, niz grafovafunkcija pVm odgovara nizu presjeka grafa funkcije z s ravninamaokomitim na y -os.


Oznacimo: x = T/K, y = Vm/(mol/L), z = p/Pa. Time smonasu ovisnost sveli na apstraktni oblik z(x , y) = 8,3145x/y .Kako ce u prostornom koordinatnom sustavu izgledati skup tocaka(100, y , z(100, y))? A (200, y , z(200, y))? A (x , 1, z(x , 1))?Vidimodakle da niz grafova funkcija pT odgovara nizu presjeka grafafunkcije z s ravninama okomitim na x-os. Slicno, niz grafovafunkcija pVm odgovara nizu presjeka grafa funkcije z s ravninamaokomitim na y -os.


Zadatak

Zadana je funkcija f : R2 → R,

(a) f (x , y) = x2 + y 2.

(b) f (x , y) = x2.

(c) f (x , y) = 1− x2 + y 2.

(d) f (x , y) = x2 − y 2.

Kako izgledaju grafovi funkcija fx (fiksirane vrijednosti x) odnosnofy (fiksirane vrijednosti y), a kako nivo-linije funkcije f (fiksiranevrijednosti z)? Zakljucite kako u prostornom koordinatnom sustavuizgleda graf funkcije f !


Promotrimo izotermu idealnog plina zadanu s

pT (Vm) =RT

Vm.

Odredite njenu prvu derivaciju!

p′T (Vm) = −RT

V 2m

.

Kako R, T i V 2m ne mogu biti negativni (ni nula), vidimo da u

izotermnim uvjetima tlak idealnog plina pada s porastom molarnogvolumena. Derivacija p′

T zove se parcijalnom derivacijom funkcijep po Vm. Umjesto p′

T pise se:

∂p

∂Vmili

(∂p

∂Vm

)T

.

Sto bi onda predstavljalo (i koliko iznosi) ∂p∂T ? Kakva je ta

derivacija po predznaku? Sto nam to i o kojem grafu govori?



pT (Vm) =RT

Vm.


p′T (Vm) = −RT

V 2m

.




T pise se:

∂p

∂Vmili

(∂p

∂Vm

)T

.

Sto bi onda predstavljalo (i koliko iznosi) ∂p∂T ?

Kakva je taderivacija po predznaku? Sto nam to i o kojem grafu govori?



pT (Vm) =RT

Vm.


p′T (Vm) = −RT

V 2m

.




T pise se:

∂p

∂Vmili

(∂p

∂Vm

)T

.

Sto bi onda predstavljalo (i koliko iznosi) ∂p∂T ? Kakva je ta

derivacija po predznaku? Sto nam to i o kojem grafu govori?


Parcijalna derivacija prvog reda funkcije f po nekoj njenoj varijabli♥ je isto sto i obicna prva derivacija izraza kojim je f opisana akou njemu sve osim ♥ smatramo konstantom.

Definicija (Parcijalne derivacije prvog reda)

Neka je f : D → R, D ⊆ Rn skalarna funkcija s n varijabli x1, x2,. . . , xn. Parcijalna derivacija (prvog reda) od f po varijabli xi utocki X ∈ D je, ako postoji, limes

∂f

∂xi(X ) = lim

∆x→0

f (X + ei∆x)− f (X )

∆x.

Napomena

∂∂♥ je linearan operator na prostoru funkcija kojima je ♥ jedna odvarijabli i za koje derivacija po ♥ postoji.

Zadatak

Za skalarne funkcije dviju varijabli raspisite gornju definiciju parcijalnihderivacija prvog reda.


Parcijalna derivacija prvog reda funkcije f po nekoj njenoj varijabli♥ je isto sto i obicna prva derivacija izraza kojim je f opisana akou njemu sve osim ♥ smatramo konstantom.

Definicija (Parcijalne derivacije prvog reda)

Neka je f : D → R, D ⊆ Rn skalarna funkcija s n varijabli x1, x2,. . . , xn. Parcijalna derivacija (prvog reda) od f po varijabli xi utocki X ∈ D je, ako postoji, limes

∂f

∂xi(X ) = lim

∆x→0

f (X + ei∆x)− f (X )

∆x.

Napomena

∂∂♥ je linearan operator na prostoru funkcija kojima je ♥ jedna odvarijabli i za koje derivacija po ♥ postoji.

Zadatak

Za skalarne funkcije dviju varijabli raspisite gornju definiciju parcijalnihderivacija prvog reda.


U daljnjem pretpostavljamo da sve skalarne funkcije vise varijabliposjeduju sve parcijalne derivacije prvog reda.

Pomocu parcijalnihderivacija definiraju se mnoge termodinamicke velicine.

Primjer

Unutrasnja energija U plina opcenito ovisi o temperaturi T ,volumenu V , tlaku p i sastavu (mnozinama sastojaka:n1, n2, . . . , nm). Drugim rijecima, U se moze shvatiti kao skalarnafunkcija m + 3 varijable. U izohornim okolnostima (V =const.)radi se o funkciji m + 2 varijablea, a njena parcijalna derivacija povarijabli T zove se izohornim toplinskim kapacitetom:

CV =∂U

∂T=

(∂U

∂T

)V ,p,n1,n2,...,nm

.

Koje su varijable funkcije CV , tj. o cemu ovisi izohorni toplinskikapacitet plina?

aZapravo, njih m + 1 jer jednadzba stanja izrazava p u ovisnosti o ostalimvarijablama.


U daljnjem pretpostavljamo da sve skalarne funkcije vise varijabliposjeduju sve parcijalne derivacije prvog reda. Pomocu parcijalnihderivacija definiraju se mnoge termodinamicke velicine.

Primjer

Unutrasnja energija U plina opcenito ovisi o temperaturi T ,volumenu V , tlaku p i sastavu (mnozinama sastojaka:n1, n2, . . . , nm). Drugim rijecima, U se moze shvatiti kao skalarnafunkcija m + 3 varijable. U izohornim okolnostima (V =const.)radi se o funkciji m + 2 varijablea, a njena parcijalna derivacija povarijabli T zove se izohornim toplinskim kapacitetom:

CV =∂U

∂T=

(∂U

∂T

)V ,p,n1,n2,...,nm

.

Koje su varijable funkcije CV , tj. o cemu ovisi izohorni toplinskikapacitet plina?

aZapravo, njih m + 1 jer jednadzba stanja izrazava p u ovisnosti o ostalimvarijablama.


Primjer

Ako je Y neko ekstenzivno svojstvo sustava, pripadni reakcijskigradijent je

∆rY =∂Y

∂ξ,

gdje je doseg ξ definiran sa

dξ

dnJ=

1

νJ,

a J bilo koji sastojak sustava. Osobito cesto se koristi reakcijskigradijent Gibbsove energije G , zvan reakcijska Gibbsova energija:

∆rG =∂G

∂ξ.


Kao i u prethodnom primjeru vrijedi: svaka parcijalna derivacijaneke skalarne funkcije i dalje ovisi o istim varijablama o kojima ipolazna funkcija. Iznos parcijalne derivacije ∂f

∂♥(♥0, . . .) predstavljaaproksimaciju promjene vrijednosti funkcije f ako se varijabla ♥malo promijeni u odnosu na vrijednost ♥0, a ostale varijable nepromijene vrijednost.

Primjer

Uzmimo funkciju definiranu formulom f (x , y , z) = x+yz2

ex . Njeneparcijalne derivacije prvog reda su:

∂f

∂x(x , y , z) =

1− x − yz2

ex,∂f

∂y(x , y , z) =

z2

ex,∂f

∂z(x , y , z) =

2yz

ex.

Kako je ∂f∂x (0, 0, 0) = 1, zakljucujemo da se povecanjem x od 0 do

∆x, ako pritom y i z ostaju 0, funkcija f poveca za priblizno1 ·∆x u odnosu na svoju vrijednost f (0, 0, 0) = 0. Primijetimo:f (1, 0, 0) = 1

e 6= 1.


Oprez: Samo za funkcije jedne varijable vrijedi

dz

dx=

dz

dy· dy

dx.

Primjerice, moze se pokazati korisna formula poznata pod nazivomEulerovo ciklicko pravilo:

∂x

∂y· ∂y

∂z· ∂z

∂x= −1.

Zadatak

U izotermnim odnosno izoentropisjkim okolnostima definirana jeizotermna odnosno adijabatsk kompresibilnost (stlacivost)

κT = − 1

V

(∂V

∂p

)T ,n

, κS = − 1

V

(∂V

∂p

)S,n

.

Dokazite da vrijediCp

CV=κTκS.


Za izvod su nam potrebne sljedece formule, koje se dadu izvesti izdefinicija izohornog i izobarnog toplinskog kapaciteta:

CV = T

(∂S

∂T

)V ,n

, Cp = T

(∂S

∂T

)p,n

.

Stoga je

Cp

CV=

(∂S∂T

)p,n(

∂S∂T

)V ,n

.

Koristenjem Eulerovog ciklickog pravila u brojniku i u nazivnikudobije se da je prethodni kvocijent dalje jednak

−(∂S∂p

)T ,n

(∂p∂T

)S,n

−(∂S∂V

)T ,n

(∂V∂T

)S ,n

=

(∂V∂S

)T ,n

(∂S∂p

)T ,n(

∂V∂T

)S,n

(∂T∂p

)S ,n

=

(∂V∂p

)T ,n(

∂V∂p

)S,n

=κTκS.

U zadnjem redu smo za dobivanje prve jednakosti koristili formulu∂y∂x = 1

∂x∂y

, za dobivanje druge lancano pravilo, a za dobivanje

zadnje smo razlomak prosirili faktorom − 1V .


Parcijalne derivacije drugog reda

Kako je svaka parcijalna derivacija prvog reda funkcija istihvarijabli kao i polazna, moguce je i nju ponovno derivirati posvakoj od njih. Tako dobivamo parcijalne derivacije drugog reda.Koliko parcijalnih derivacija drugog reda ima skalarna funkcijadviju varijabli? Triju? Njih n?

Kao i obicno deriviranje, parcijalno deriviranje je linearan operator.Stoga parcijalno deriviranje funkcije f prvo po ♥ pa ona po ♠oznacavamo s

∂

∂♠∂

∂♥f =

∂2f

∂♠∂♥.

Ako je ♥ = ♠ (dvaput deriviramo po istoj varijabli), pisemo ∂2f∂♥2 .

Zadatak

Odredimo parcijalne derivacije drugog reda za funkcije zadane sf (x , y) = sin(xy) · ex+y i g(x , y) = 4x2 + 9y 2. Sto primjecujete?


Parcijalne derivacije drugog reda

Kako je svaka parcijalna derivacija prvog reda funkcija istihvarijabli kao i polazna, moguce je i nju ponovno derivirati posvakoj od njih. Tako dobivamo parcijalne derivacije drugog reda.Koliko parcijalnih derivacija drugog reda ima skalarna funkcijadviju varijabli? Triju? Njih n?Kao i obicno deriviranje, parcijalno deriviranje je linearan operator.Stoga parcijalno deriviranje funkcije f prvo po ♥ pa ona po ♠oznacavamo s

∂

∂♠∂

∂♥f =

∂2f

∂♠∂♥.

Ako je ♥ = ♠ (dvaput deriviramo po istoj varijabli), pisemo ∂2f∂♥2 .

Zadatak

Odredimo parcijalne derivacije drugog reda za funkcije zadane sf (x , y) = sin(xy) · ex+y i g(x , y) = 4x2 + 9y 2. Sto primjecujete?


U vecini”normalnih” slucajeva kod odredivanja parcijalnih

derivacija drugog reda nije potrebno paziti na redoslijed jer vrijedi

∂2f

∂xj∂xi=

∂2f

∂xi∂xj.

Teorem (Schwarz)

Ako u tocki X postoje i neprekidnea su parcijalne derivacije ∂2f∂xj∂xi

i

∂2f∂xi∂xj

, onda su one jednake (u tocki X ).

aPojam neprekidnosti nismo definirali za funkcije vise varijabli. Kao i uslucaju jedne varijable vrijedi: funkcija je neprekidna ako male promjene njenihvarijabli mogu izazvati samo male promjene vrijednosti funkcije. I ovdje vrijedi:funkcije koje su opisane formulom koja je oblika elementarne funkcije suneprekidne na svojoj domeni, neovisno o broju varijabli koje su uvrstene.

Posljedicno u vecini slucajeva za funkciju od n varijabli nijepotrebno racunati n2 vec samo n(n+1)

2 parcijalnu derivaciju drugogreda.

Skalarne funkcije vi se varijabli i parcijalne derivacijeprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat2-pred6.pdfSkalarne funkcije vi se varijabli Parcijalne derivacije Kako vizualizirati ovisnost

Documents