SK Predavanje 2

Stabilnost konstrukcija 2. predavanje Prof. Dr. Sc. Darko Dujmovi

Sveuilite u Zagrebu/Graevinski fakultet/ Zavod za konstrukcije/ Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/stakon

Opi kriteriji elastine ravnotee

Prof.dr.sc. Darko Dujmovi

Graevinski fakultet Zagreb Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije http://www.grad.unizg.hr/predmet/stakon

2

Stabilnost konstrukcija 2. predavanje Opi kriteriji elastine ravnotee Prof. dr. sc. Darko Dujmovi

Svrha/podruje

Ustanoviti ope kriterije za elastinu stabilnost i neutralnu ravnoteu kao pripremu za uporabu energetskih metoda u procjenjivanju kritinih optereenja.

SAETAK:

Dimenzioniranje konstrukcija zahtijeva odreivanje ravnotene konfiguracije konstrukcije za zadano optereenje i da se moe potvrdi kao stabilna.

Analiza problema stabilnosti openito je napravljena rabei energetske kriterije.

Predstavljeni su princip virtualnog rada i princip stacionarne totalne potencijalne energije.

Na osnovu ovoga ustanovljen je opi energetski kriterij za elastinu stabilnost i objanjeno je odreivanje kritinog optereivanja shodno neutralnoj ravnotei.

Razmatrani su samo potpuno konzervativni sustavi.

Ustanovljeni kriteriji ilustrirani su s dva osnovna primjera sustava sa tapovima i oprugama.



3


Svrha/podruje

OPENITO

PRINCIP VIRTUALNOG RADA

PRINCIP STACIONARNE UKUPNE POTENCIJALNE ENERGIJE

STABILNOST RAVNOTEE

NEUTRALNA RAVNOTEA KRITINA OPTEREENJA

ILUSTRACIJE NA TEMELJNIM PRIMJERIMA



4


Uvod

Teorija elastine stabilnosti daje metode za odreivanje:

Stabilnost ravnotene konfiguracije.

Kritinu vrijednost optereenja pod kojim se dogaa instabilitet.

Veina metoda izvedene su prema opim energetskim kriterijima koji dolaze iz energetskih principa mehanike.

Svrha: prikaz zahtijevanih principa mehanike za razumijevanje opih kriterija elastine stabilnosti.

Podruje ovog poglavlja ogranieno je na:

Konzervativna optereenja i adijabatske elastine sustave (potpuni konzervativni sustavi).

Sustavi ije se konfiguracije mogu izraziti kao funkcije konanog broja parametara pomaka.



5


Openito

Razmatraju se promjene u konfiguraciji sustava u odnosu na poetnu konfiguraciju.

Promjena konfiguracije promatra se kao pomak.

Konfiguracija opisana pomou konanog broja neovisnih realnih varijabli.

Nazvanih generaliziranim koordinatama, oznaene q1, q2, ..., qn ili openitije qi.

Jednostavno oslonjeni nosa moe posjedovati beskonaan skup generaliziranih koordinata, npr. koeficijenti qi Fourier-

ovog reda, koji predstavljaju njegov progib:

i

i Lxisinqy



6


Openito

Red se aproksimira sa konanim brojem lanova s konanim brojem generaliziranih koordinata koje oznaavaju stupnjeve slobode sustava.

Razmatra se nosa sa slike

Generalizirane koordinate su stupnjevi slobode vorova i i j: dvije translacije u i v i jedna rotacija po voru (sve u ravnini).

Elastini deformirani oblik nosaa definiran interpolacijskim funkcijama.

Vektor pomaka nosaa moe se oznaiti sa D = (ui, vi, i, uj, vj, j).



7


Openito

Kod leajeva, rubni uvjeti daju ogranienja na generalizirane koordinate.

Rubni uvjeti kod upetog kraja konzolnog nosaa, tako da su nametnuta ogranienja ui = vi = i = 0.

Konstrukcijski sustav openito je izloen unutarnjim i vanjskim silama.



8


Openito

Za vrijeme promjene konfiguracije sustava, zakon ouvanja energije:

Wext + Q = T + U (1)

U gornjem izrazu je:

Wext rad vanjskih sila na sustavu,

Q toplina koja tee (kola) u sustavu,

T porast kinetike energije,

U porast unutarnje energije.

Takoer se U uobiajeno naziva deformacijska energija (strain energy).



9


Openito

Zakon o kinetikoj energiji je izraen pomou:

W = Wext + Wint = T (2)

U gornjem izrazu je:

Wint rad unutarnjih sila,

W ukupni rad na sustav od svih sila.



10


Openito

Izrazi (1) i (2) daju:

Wint = Q - U (3)

Budui se ovdje razmatraju samo adijabatski procesi, Q = 0 i izraz (3) daje:

Wint = -U (4)

Napomena: U egzistira samo za deformabilne sustave, a za nedeformabilne (krute) sustave je:

U = 0 tako da je Wint = 0 (5)

Razmatraju samo statiki aspekti, ne pretpostavlja se da se dogaa varijacija kinetike energije za vrijeme pomaka (vrlo mala brzina):

T = 0 (6)

Izrazi (1), (2) i (5) daju:

Wext = U (7)

Wext + Wint = 0 (8)



11


Princip virtualnog rada

U analizi problema stabilnosti openito se rabi princip virtualnog rada.

Formuliranje problema:

nai pravu ravnotenu konfiguraciju za sustav, ako ona egzistira,

i onda ispitati (provjeriti) njenu stabilnost.

Zadani sustav moe zauzeti (biti u) bilo koju deformiranu konfiguraciju unutar ogranienja rubnim uvjetima.

Samo jedna od njih je ona prava, koja odgovara ravnotei izmeu stvarno primijenjenih optereenja i induciranih reakcija.



12



Pretpostavlja se:

konfiguracija sustava opisana poopenim koordinatama q1, q2, ..., qn, (koje se trebaju ispitati za ravnoteu).

sustav doivljava neke proizvoljno male pomake iz ove konfiguracije,

zahtijeva se da zadovolje rubne uvjete, ali sa stvarnim optereenjima koja djeluju sa svojim vrsto zadanim vrijednostima.

Male pomake promatrane ovdje nije potrebno ostvariti.

Zamiljeni da se dogode isto za svrhe usporedbe, nazivaju se virtualni pomaci.

Ovi virtualni pomaci su neovisni od optereenja i oznaavaju se s qi.

Dosljedno, svi prorauni rada ili energije izvreni na sustavu, vodit e k virtualnom radu ili energiji.



13



Za nedeformabilan sustav (kruti sustav), izrazi (5) i (8) daju:

Wext = 0 (9)

Wext virtualni rad vanjskih sila izvren na virtualnim pomacima

Princip virtualnog rada moe biti izraen prema sljedeem:

Nedeformabilno tijelo je u svojoj ravnotenoj konfiguraciji ako je virtualni rad svih vanjskih sila koje djeluju na njega

jednak nuli za bilo koji virtualni pomak koji zadovoljava

rubne uvjete.



14



Za deformabilni sustav, izraz (7) daje:

Wext = U (10)

U varijacija energije deformacije u virtualnom pomaku

Princip virtualnog rada moe se izraziti prema sljedeem:

Deformabilni sustav je u svojoj ravnotenoj konfiguraciji ako je virtualni rad svih vanjskih sila koje djeluju na njega

jednak varijaciji deformacijske energije za bilo koji virtualni

pomak koji zadovoljava rubne uvjete.

Ovo je oblik principa uestalo citiran u analizama konstrukcija.

Ekvivalentan je uvjetu, koristei izraz (8):

W = Wint + Wext = 0 (11)



15



Prava ravnotena konfiguracija

Za sustav s konanim brojem poopenih koordinata (q1, q2, ..., q3), virtualni rad W koji odgovara virtualnom pomaku iz

konfiguracije (q1, q2, ..., q3) u susjednu konfiguraciju (q1+q1,

..., qn+qn) moe se predstaviti pomou linearnog oblika varijacija koordinata, to jest:

W = Q1q1 + Q2q2 + ... = Qiqi i = 1, 2, ..., n (12)

Q1, Q2, ..., Qn su funkcije poopenih koordinata qi, i unutarnjih (za deformabilne sustave) i vanjskih sila.



16




Analogijom s radom izvrenim sa silom, funkcije Q1, Q2, ..., Qn zovu se komponente generaliziranih (poopenih) sila.

lanovi Qi nemaju neophodno dimenziju sile i esto nemaju istu dimenziju.

Njihove dimenzije odreuju se injenicom da Qiqi ima dimenziju rada.


Qiqi = 0 i = 1, 2, ..., n (13)

qi su proizvoljni, neovisni od varijacija u qi, izraz (13) podrazumijeva da je:

Qi = 0 i = 1,2, ..., n (14)

Rjeenje ovih n istovremenih jednadbi ravnotee daju vrijednosti od q-tih odgovarajuih pravih ravnotenih konfiguracija.



17


Princip stacionarne ukupne potencijalne energije

I unutarnje i vanjske sile su konzervativne (puni konzervativni sustav).

Unutarnje sile izvedene su iz pojedinanih skalarnih funkcija generaliziranih koordinata U(q1, q2, ..., qn).

Njihova vrijednost deformacijske energije U izraena je s izrazom (4).

Vanjske su sile izvedene iz funkcije ( q1, q2, ..., qn) ija je vrijednost potencijalna energija ovih sila.

Ovo daje rezultat da sve sile prozilaze iz pojedinane skalarne funkcije V(q1, q2, ..., qn) koja se zove ukupna potencijalna funkcija i ija je vrijednost ukupna potencijalna energija sustava.

Ova ukupna totalna energija moe se izraziti kao:

V = U + (15)

Ukupni iznos potencijalne energije je openito neodreen.

Samo promjene potencijalne energije su mjerljive i mogu se istraivati.



18



Budui da se pretpostavlja da je sustav potpuno konzervativan,

W = -V (16)

V varijacija ukupne potencijalne energije po virtualnom

pomaku


V = 0 (17)

Izraz (17) je analitika izjava principa stacionarne ukupne potencijalne energije koja glasi:

Od svih geometrijski moguih konfiguracija koje sustav moe ostvariti, jedna konfiguracija koja odgovara ravnotei izmeu primijenjenih optereenja i prouzroenih reakcija, je ona za koju je ukupna potencijalna energija stacionarna.



19




Budui da je V = V(q1, q2, ...qn), V se moe izraziti pomou:

(18)

Vrijednosti od qi proizvoljne su i neovisne tako da ako je V = 0 vrijedi:

i = 1,2,,n (19)

Princip daje n jednadbi ravnotee izraenih pomou optereenja i generaliziranih koordinata qi.

Mogu se izraunati vrijednosti qi, koje definiraju ravnotenu konfiguraciju.

i

i

i

qq

V...q

q

Vq

q

VV

2

2

1

1

0iq

V



20




Izrazi (12), (16), (18) i (19), i injenica da su vrijednosti od qi proizvoljne i neovisne, daju:

i = 1,2,,n (20)

Za potpuno konzervativne sustave, princip virtualnog rada postaje princip stacionarne ukupne potencijalne energije.

Princip je egzaktan i vrlo snaan i moe se koristiti za razviti aproksimativne (pribline) metode za rjeavanje problema stabilnosti u proraunu konstrukcija.

0 ii

Qq

V



21


Stabilnost ravnotee

Sustav je u stabilnom stanju ravnotee ako, poslije uklanjanja malenog poremeaja, sustav se vraa u svoju poetnu ravnotenu konfiguraciju.

Ako neznatni poremeaj rezultira u sustav koji se udaljava od ravnotene konfiguracije onda je on nestabilan.

Mogua je i jedna meusituacija u kojoj je neznatno poremeena konfiguracija zadrana i kada se poremeaj otkloni.

Ova situacija je stanje neutralne ravnotee.

Ovi mali pomaci moraju biti u suglasju s rubnim uvjetima tako da oni odgovaraju malim promjenama u generaliziranim

koordinatama sustava.

Dakle, diskusija stabilnosti ravnotee moe se temeljiti na virtualnim pomacima.



22


Stabilnost ravnotee

Princip virtualnog rada pokazuje da je potencijalna energija stacionarna pri ravnotei.

Takoer je ovo pokazano u poglavlju 6.1, da je to pri relativnom minimumu kada je ravnotea stabilna.

Uvjet za stabilnost moe stoga biti izraen u obliku:

Postojanje relativnog minimuma ukupne potencijalne energije u ravnotenoj konfiguraciji konstituira oboje i nuan i dovoljan uvjet za stabilnost ove konfiguracije.



23


Stabilnost ravnotee

Ako V oznaava inkrement ukupne potencijalne energije nastao uslijed virtualnog pomaka iz ravnotene konfiguracije, onda je:

V > 0 za stabilnu ravnoteu

V = 0 za neutralnu ravnoteu (21)

V < 0 za nestabilnu ravnoteu.

Diskusija o stabilnosti ukljuuje diskusiju lanova vieg reda koji se pojavljuju u inkrementu potencijalne energije V.

Razlog, jer je potencijalna energija stacionarna pri ravnotei (V = 0).



24


Stabilnost ravnotee

Za funkciju V(q1, q2, ...qn) i njene parcijalne derivacije do treeg reda po qi zahtijeva se da budu kontinuirane funkcije od qi.

Taylor-ov red je u okolini poetne ravnotene konfiguracije, inkrement V od V korespondentan je virtualnim varijacijama

qi od qi:

i,j = 1,,n (22)

ili (23)

sa i,j = 1,2,,n (24)

Uz napomenu da je 0(3) mala veliina treeg reda.

)(qqqq

Vq

q

VV ji

jijii

i

i

32

02

1

)(VVV 32 02

1

ji

jiji

qqqq

VV

22



25


Stabilnost ravnotee

Princip virtualnog rada znai da nudan uvjet za ravnoteu je da V iezava za sve qi, to jest:

V = 0 ili V/qi = 0 i = 1,2,...,n (25)

Predznak od V je stoga odreen sa predznakom od 2V, tako da uzimajui u raun izraz (21), uvjet za stabilnost postaje:

2V > 0 (26)

Ako je

(27)

onda je

(28)

ji

ijqq

Va

2

jiij

ji

qqaV 2



26


Stabilnost ravnotee

Uvodei matricu a koeficijenata aij, izraz (28) moe se pisati kao:

(29)

Uvjet za stabilnost, izraz (26), zahtijeva da je:

a = pozitivno definitna matrica

Dakle sve vrijednosti glavnih subdeterminanta (minora) od a moraju biti pozitivne.

Koeficijenti aij su funkcije od primijenjenih optereenja i svojstva sustava tako da pozitivna definitnost od a namee uvjet koji optereenje mora zadovoljiti obzirom da konfiguracija bude stabilna.

qaqV t 2



27


Neutralna ravnotea kritino optereenje

Postojanje relativnog minimuma za ukupnu potencijalnu energiju kada je konfiguracija stabilna, i razmatrajui neutralnu ravnoteu kao granicu stabilnosti, uvjet za neutralnu ravnoteu moe se izraziti pomou:

2V = 0 = minimum (30)

Razmatrajui izraz (29) u sluaju netrivijalne konfiguracije q 0, stanje neutralne ravnotee dobiveno je kada je matrica a singularna.

Koeficijenti aij od a su funkcije geometrijskih i mehanikih karakteristika sustava, i takoer primijenjenih optereenja.

Dakle od praktine je vanosti odrediti kritine vrijednosti optereenja za koja e se dogoditi promjena neutralnog ravnotenog stanja sustava u stanje stabilne ravnotene konfiguracije.



28



Uvodei zajedniki mnoitelj optereenja za sve komponente optereenja i definirajui referentni sustav optereenja S1 (odgovarajui = 1), optereenja u bilo kojem vremenu proporcionalna povijesti optereenja jednaka su:

S = S1 (31)

Samo je mnoitelj optereenja nepoznat i uvjet za neutralnu ravnoteu zahtijeva rjeenje problema vlastite vrijednosti:

det a() = 0 (32)

Rjeenja izraza (32) daju skup rjeenja , oznaenih kao cr, iji je broj jednak broju generaliziranih koordinata sustava.



29



Vlastiti vektori predstavljaju deformiranu konfiguraciju povezanu sa svakim rjeenjem od .

Veina ovih matematikih rjeenje ne odgovaraju stvarnom ponaanju konstrukcijskog sustava.

Openito, inenjera-projektanta zanimaju samo vrijednosti optereenja iznad kojih sustav, stabilan kada nije optereen, postaje nestabilan.

Ova su optereenja normalno dobivena sa najmanjom pozitivnom vrijednosti cr od cr, tako da su kritina optereenja odreena sa:

Scr = cr S1 (33)



30


Ilustracije na temeljnim primjerima

Zanimljivo je ilustrirati kriterij stabilnosti sa osnovnim primjerom obostrano zglobno oslonjenog tlanog elementa (tapa) sa slike.

Zglobno oslonjen stup



31



Meutim, zbog pojednostavnjenijeg prorauna deformacijske energije, pretpostavlja se da je cjelokupna fleksibilnost

elementa koncentrirana u jednoj rotacijskoj elastinoj opruzi u polovici raspona.

Idealizirani model stupa

tapovi, duine L/2, nedeformabilni su. Deformacijska energija jednaka nuli. Vrijednost opruge K, konstantna kod B. Horizontalni pomaci zglobova A i C su potpuno sprijeeni s pridranjima. Optereenje P djeluje C. Vanjska sila F, prisutna od poetka optereivanja, djeluje kod B.



32



Zbog rubnih uvjeta, sustav ima samo jedan stupanj slobode.

Odabran boni pomak kod B kao generaliziranu koordinatu oznaenu s .

Druga mogunost bi bila odabrati rotaciju donjeg ili gornjeg tapa.

Idealizirani stup s

bonim pomacima

Prije izuavanja stabilnosti ovog sustava, odredimo njegovu ravnotenu konfiguraciju pod silama P i F.

Pomaci e biti pretpostavljeni dovoljno mali tako da e trigonometrijske funkcije biti reducirane na prvi lan razvijenog reda.



33



Deformacijska energija sustava u njegovom deformiranom obliku je samo ona od opruge, to jest:

Idealizirani stup s

bonim pomacima

2

02

1KUU (34)

U0 je potencijalna energija sustava u

njegovoj poetnoj konfiguraciji

je rotacija opruge

Jednostavna je za pokazati da je = 4/L i ovo daje:

22

0 8 L/KUU (35)



34



Potencijalna energija vanjskih sila je:

Idealizirani stup

s bonim pomacima

FP 0 (36) 0 je potencijalna energija vanjskih sila

za sustav u poetnoj konfiguraciji

induciran vertikalni pomak kod C

Za male pomake je = 22/L i ovo daje:

FL/P 220 2 (37)

Ukupna potencijalna energija je:

FL/PL/KVUV 22220 28 (38)

V0 je poetna potencijalna energija sustava



35



Shodno izrazu (19), ravnotena konfiguracije je dana s rjeenjem od:

(39)

Ovo daje:

(40)

Uvjet za stabilnost, iz izraza (26), moe se izraziti sa:

(41)

Sustav e biti stabilan ako je sljedei uvjet ispunjen:

P < 4 K/L (42)

0416 2

FL/)PLK(

V

)PLK/(FL 4162

04162

2

L/)PLK(

V



36



Diskusija rjeenja:

Vrijednost od P kod granice je njegova kritina vrijednost Pcr kod koje se dogaa elastino izvijanje.

Napominje se da je ova kritina vrijednost neovisna od vanjske lateralne (bone) sile F koja djeluje na sustav.

Ovo kritino optereenje vrijedi za poseban sluaj F = 0, a koje obiljeava klasian problem izvijanja stupa samo za uzdunu silu.



37



Vrijednost K moe biti dana takva da je fleksibilnost ista kao za kontinuirani element sa slike.

Definirana je kao vrijednost koja daje isti boni pomak kod B uslijed F kao kontinuirani element pretpostavljajui da je P nula.

Za kontinuirani element, jednostavna teorija nosaa daje:

= FL3/(48EI) (43)

I drugi moment povrine presjeka elementa,

E modul elastinosti.

Za sustav tapa i opruge, izraavajui moment kod B sa = 4/L, dobije se:

= FL2/(16K) (44)



38



Izrazi (43) i (44) daju ekvivalentnu konstantu opruge:

K = 3EI/L,

i kritina vrijednost od P je jednaka :

Pcr = 12EJ/L2 (45)

Diskusija rezultata:

Ova vrijednost se moe usporeivati s dobro poznatom egzaktnom vrijednosti 2EI/L2. (9,87EI/L2)

Tonost rezultata ovisi, u stvari, o pretpostavkama usvojenim za odreivanje ekvivalentne konstante opruge K.



39



Razmatra se sustav tapova i opruga sa slike.

tapovi AB i BC, svaki duine L, su nedeformabilni (kruti) (nema deformacijske energije) i zglobno su povezani zajedno u B.

Sustav tapova i opruga

Zglobovi B i C pridrani su sa linearno elastinim oprugama, djelotvornim i u vlaku i u tlaku, sa krutostima K1 i K2.

Optereenje P djeluje u C, i vanjske sile F1 i F2 djeluju u B i u C.



40



Uzimajui u raun rubne uvjete, sustav ima dva stupnja slobode.

Rotacije 1 i 2 ova dva tapa izabrane su kao generalizirane koordinate.

Najprije je odreena ravnotena konfiguracija sustava i, zatim je razmatrana njegova stabilnost.

Pomaci sustava

tapova i opruga



41



Deformacijska energija sustava je samo ona od opruge.

Deformacijska energija svake opruge jednaka je K2/2, gdje je pomak relevantne opruge i K njena krutost (ili konstanta

opruge).

Dakle, deformacijska energija u konfiguraciji (1, 2) je:

Potencijalna energija vanjskih optereenja je:

Potencijalna energija je:

2

21

2

2

2

1

2

102

1

2

1)(LKLKUU (46)

)(LFLF)(PL 212112

2

2

102

1 (47)

V = U + (48)



42



Zahtijevane derivacije su:

2

2

12

2

21

2

2

22

2

2

2

2

2

12

1

2

2221

2

2

2

21121

2

21

2

1

1

LKVV

PLLKV

PLLKLKV

LFPL)(LKV

LFLFPL)(LKLKV

(49)



43



Ravnotena konfiguracija

Uvjet stacionarne potencijalne energije, izraz (19), daje sustav jednadbi:

Ravnotena konfiguracija (1, 2) dobiva se rjeavajui sustav jednadbi.

Postojanje rjeenja zahtijeva samo da je determinanta definitna, to jest:

(50) LF)PLLK(LK

L)FF(LK)PLLKLK(

2

2

22

2

21

21

2

22

2

2

2

11

Determinanta = 022

2

2

1

2

2 )LKPL(PLLK)PLLK( (51)



44



Stabilnost

Uvjet za stabilnost ravnotene konfiguracije je izraena s izrazom (26) i matricom a, koeficijentima koji su dani u

izrazu (27), i odreena je s:

Uvjeti za stabilnost zahtijevaju da matrica a bude pozitivno definitna, tako da su sljedei uvjeti zadovoljeni:

K2L2 PL) K1L

2 + PL (PL 2K2L2) > 0 (53)

K2L2 PL > 0 (54)

PLLKLK

LKPLLKLK

VV

VV

a2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

12

221

2

2

1

2

(52)



45



Stabilnost

Lako je za pokazati da stroi uvjet, iz izraza (53) i (54), vodi ka sljedeem zahtjevu stabilnosti za vertikalno optereenje P:

P < 0,5 L (K1 + 2K2 (K12 + 4K2

2)1/2)

ili

P > 0,5 L (K1 + 2K2 + (K12 + 4K2

2)1/2)

Slike koje slijede ilustriraju rezultate za sluaj:

L = 400, K1 = 20, K2 = 30 i F1 = F2 = 40 (jedinice: kN, cm).

Napominje se da su kritine vrijednosti Pcr1 i Pcr2, koje ograniavaju nestabilno podruje, neovisne od vanjskih lateralnih sila F1 i F2 koje djeluju na sustav, i vrijede za

poseban sluaj F1 = F2 = 0.



46



Stabilnost

Primjer stabilnosti sustava od tapova i opruga



47



Stabilnost

Stabilna ravnotena konfiguracija za P < Pcr1



48



Stabilnost

Stabilna ravnotena konfiguracija za P > Pcr2



49


Zakljune napomene

Analiza problema stabilnosti koristi ope energetske kriterije izvedene iz principa virtualnog rada i iz principa stacionarne

ukupne potencijalne energije. Prvi od ovih principa je isti kao

drugi princip za potpuno konzervativne sustave.

Bilo koja konfiguracija sustava moe openito biti opisana sa skupom generaliziranih koordinata qi. Oznaavajui V kao ukupnu potencijalnu energiju sustava, ravnotena konfiguracija zadovoljava 2V = 0 i uvjet za stabilnost ove

ravnotee je 2V > 0. Prva i druga varijacija od V vrednovane su za bilo koji virtualni pomak qi koji zadovoljava rubne

uvjete.

Kritina optereenja izvedena su iz uvjeta za neutralnu ravnoteu dana sa 2V = 0 = minimum.



50


Dodatna literatura

1. Mason J.,"Variational, Incremental and Energy Methods

in Solid Mechanics and Shell Theory", Elsevier

Scientific Publishing Company, Amsterdam, Oxford,

New York, 1980.

2. Richards T.H., "Energy Methods in Stress Analysis",

Rainbow-Bridge Book Company, 1977.

3. Langhaar H.L., "Energy Methods in Applied Mechanics",

John Wiley and Sons, New York, London, 1962.

4. Massonnet C., "Rsistance des matriaux", Volume 2, Dunod, Paris, 1963.

5. Timoshenko S.P., "Theory of Elastic Stability",

McGraw Hill Book Company, New York, 1960.

SK Predavanje 2

Documents