Sistemų, specifikuotų PLA metodu, skaitmeninių modelių sudarymas

Sistemų, specifikuotų PLA metodu, skaitmeninių modelių

sudarymas

Paruošė dokt. Kęstutis Lukšys

PLA specifikacija

PLA – Atkarpomis tiesiniai agregatai (angl. Piece Linear Aggregates).

PLA aprašomi naudojant būsenų aibę S, įėjimo signalų aibę X, išėjimo signalų aibę Y bei perėjimo operatorių H ir išėjimo formavimo operatorių G.

Agregato būsenos struktūra z(t) = (v(t), zv(t)) v(t) = (v1(t), v2(t), ..., vm(t)) - Diskrečioji būsenos

dedamoji zv(t) = (zv1(t), zv2(t), ..., zvk(t)) – Tolydžioji būsenos

dedamoji

2

Agregato būsenos kitimas Agregato būsena gali pakisti tik dviem atvejais:

kai į agregatą siunčiamas įėjimo signalas; kai viena iš tolydžiosios dedamosios

koordinačių įgyja tam tikrą reikšmę. Kai neįvyksta joks įvykis diskrečioji būsenos

dedamoji išlieka pastovi, o tolydžioji kinta tiesiškai:

v(t) = const, ,

čia αv = (αv1, αv2, ..., αvk) – pastovus vektorius, kurio komponentės nusako tolydžiosios būsenos komponentės kitimo greitį.

3

v

v

dt

tdz

Formali PLA specifikacija1. Įėjimo signalų aibė Xi.

2. Išėjimo signalų aibė Yi.

3. Išorinių įvykių aibė E‘i, kurią sudaro išoriniai įvykiai e‘(x) susieti su įėjimo signalais x Xi.

4. Vidinių įvykių aibė E“i.

5. Valdymo sekos, kurios apibūdina agregato Ai vidinių įvykių trukmes. Jos gali būti išreikštos tiesiogine laiko trukme, arba intensyvumu.

6. Diskrečioji agregato Ai būsenos dedamoji vi(t).

4

Formali PLA specifikacija (2) Tolydžioji agregato Ai būsenos dedamoji zvi(t) =

(e“j, t ), kur w(e“j, t ) yra tolydusis

kintamasis, susietas su vidiniu įvykiu e“j E“i, o r – vidinių įvykių skaičius aibėje E“i.

Agregato būseną zi(t) sudaro diskrečioji komponentė vi(t) ir tolydžioji komponentė zvi(t): zi(t) = (vi(t), zvi(t)).

Kiekvienas vidinis ir išorinis įvykis turi du operatorius: H ir G. Operatorius H keičia diskrečiųjų ir tolydžiųjų agregato kintamųjų reikšmes, o G – formuoja išėjimo signalus Yi.

5

r

j

w1

Sistemos būsenų grafo sudarymas Agregatų sistemą, specifikuotą PLA, galima

apibrėžti grafu G = (V, ). Čia V – grafo viršūnių aibė, – grafo briaunų aibė.

Imama ši formalios PLA specifikacijos informacija: Vidinių įvykių aibė E. Pradinė sistemos būsena z(0). Sistemos būsenų aibė Z, kuri pradiniu momentu

turi tik vieną elementą – z(0): Z = {z(0)}. Išnagrinėtų sistemos būsenų aibė Zisn, kuri

pradiniu momentu yra tuščia: Zisn = ø.

6

Sistemos būsenų grafo sudarymo algoritmas Imama nenagrinėta būsena z Z \ Zisn:

Kiekvienam galimam įvykiui e būsenoje z – e E: w(e) ≠ 0: Apskaičiuojama būsenų, į kurias sistemas gali pereiti, aibė:

Z+ = (z, e). Visiems z+ Z+:

z+ pridedama prie sistemos būsenų aibės Z: Z = Z {z+};

Perėjimas iš būsenos z į z+ pridedamas prie perėjimų aibės : = {z z+}.

Būsena z pridedama prie išnagrinėtų būsenų aibės Zisn: Zisn = Zisn {z}.

Antras žingsnis kartojamas tol, kol aibėje Z nelieka nenagrinėtų būsenų, t.y. Z sutampa su Zisn.

Grafo viršūnių aibė V sukuriama pagal sistemos būsenų aibę Z: V = {z: Z • f–1(z)}.

7

Markovo procesai ir Markovo grandinės Markovo procesai – tai procesai, kurie „neturi

atminties“. Visos Markovo proceso {X(t), t T}

tikimybinės charakteristikos ateityje priklauso tik nuo to, kokioje būsenoje šis procesas yra dabartiniu laiko momentu ir nepriklauso nuo proceso praeities.

Kai laiko aibė T yra suskaičiuojama arba baigtinė procesai vadinami Markovo grandinėmis.

8

Markovo proceso būsenų tikimybės Atkarpomis tiesinis Markovo procesas,

aprašantis atkarpomis tiesinį agregatą, tampa Markovo procesu su diskrečiąją būsenų aibe ir tolydžiuoju laiku, kai sistemos operacijų trukmės yra pasiskirsčiusios pagal eksponentinį dėsnį.

Stacionarios sistemos būsenų tikimybės yra apskaičiuojamos iš lygčių sistemos:

9

N

jjij

N

jiji qq

11

Ni ,1

11

N

jjq

Įdėtos Markovo grandinės Dažniausiai sistemos funkcionavimas yra

nagrinėjamas tam tikrais laiko momentais. Jeigu šiais laiko momentais sistemos

funkcionavimas aprašomas Markovo grandine, tai ji vadinama įdėta Markovo grandine į Markovo procesą.

Įdėtos Markovo grandinės perėjimo tikimybes galima apsiskaičiuoti turint būsenų perėjimo intensyvumus

10

N

jji

ijijp

1

Nji ,1,

N

jjiji ppp

1Ni ,1

Stacionarių sistemos būsenų tikimybių skaičiavimas

Markovo grandinių įdėjimo etapas – sistemos lygčių skaičiaus sumažinimas.

Stacionarių tikimybių skaičiavimo etapas.

11

Markovo grandinių įdėjimo etapas Sudaroma būsenų aibių seka SN, SN–1, ..., S1,

kuri gaunama nuosekliai „išmetant po vieną būseną“:

Pagal gautą būsenų aibių seką, sudaroma Markovo grandinių seka

12

kk sssS ,...,, 21 Nk ,1

1\ kkk sSS 1,1 Nk

0, mS Nm

0,1 mS Nm

0,1 mSm

Markovo grandinės apibrėžimas Markovo grandinė pilnai apibrėžiama

perėjimų matrica λn ir būsenų aibe Sn. Tam, kad galėtume aprašyti Markovo

grandinių seką, būtina sudaryti perėjimų matricų λN, λN–1, ..., λ1 seką.

13

11

1,1

11,1

k

k

kjk

kkik

ijk

ij S

kji ,1, 1,1Nk

N

kjj

kjk

kkS

11

1,1

11

Stacionarių tikimybių skaičiavimo etapas Turint pilnai apibrėžtų Markovo grandinių seką

Markovo proceso stacionariosioms tikimybės apskaičiuoti naudojamos šios formulės

14

111 r

1,

,1,

11

1

1

11

kiS

r

kir

r

kk

N

j

kji

kj

ki

ki

1,1 Nk

N

j

Nj

Ni

i

r

rq

1

Ni ,1

Skaitmeninių modelių automatizuoto sudarymo principai Aprašyti tiriamą sistemą specialia specifikavimo

kalba. Sukurti programinį modulį, kuris pagal duotą

specifikaciją sudarytų sistemos būsenų grafą. Sukurti programinį modulį, kuris sudarytų lygčių

sistemą. Sukurti programinį modulį, kuris apskaičiuotų

sistemos būsenų stacionarias tikimybes. Sukurti programinį modulį, kuris apskaičiuotų

sistemos tikimybines charakteristikas pagal gautas stacionariąsias būsenų tikimybes.

15

Aptarnavimo sistemos pavyzdys

16

Spausdintuvas

Kompiuterisλ1

μ1λ2Tinklas

Du Puasono srautai: Dokumentai, siunčiami tiesiogiai per kompiuterį su

intensyvumu λ1

Dokumentai, siunčiami per tinklą su intensyvumu λ2

Dvi baigtinio ilgio eilės: Prie kompiuterio (maksimalus ilgis Nk) Dokumentų eilė spausdintuve (maksimalus ilgis Nsp)

PLA specifikacija

1. Įėjimo signalų aibė X = ø.2. Išėjimo signalų aibė Y = ø.3. Išorinių įvykių aibė E‘ = ø.4. Vidinių įvykių aibė

E“i = {e“1, e“2, e“3}, e“1 – kliento/dokumento atvykimas prie

kompiuterio; e“2 – dokumento atvykimas per tinklą; e“3 – dokumento spausdinimo pabaiga.

17

PLA specifikacija (2)5. Valdymo sekos – perėjimo tarp sistemos

būsenų intensyvumai: .

6. Diskrečioji agregato būsenos dedamojiv(t) = {nk(t), nsp(t), K(t), SP(t), LK(t)},

kur nk(t) – eilės ilgis prie kompiuterio laiko momentu t;

nsp(t) – vidinės spausdintuvo eilės ilgis laiko momentu t; K(t) = 0 jei kompiuteris laiko momentu t yra laisvas, ir K(t)

= 1, jei užimtas; SP(t) = 0 jei spausdintus laiko momentu t yra laisvas, ir

SP(t) = 1, jei užimtas; LK(t) = 0 jei laiko momentu t kompiuterio atmintyje

nelaukia dokumentas, ir K(t) = 1, jei laukia.

18

1"32

"21

"1 ,, eee

PLA specifikacija (3)

7. Tolydžioji agregato būsenos dedamoji zv(t) = .

8. Pradinė agregato būsenaz(t0) = {v(t0), z(t0)} = {{0, 0, 0, 0, 0},

{λ1, λ2, 0}}.

19

),(),,(),,( "3

"2

"1 tewtewtew

PLA specifikacija (4)9. H(e“1): /Atvyko klientas/dokumentas prie

kompiuterio/

20

atvejupriešingutn

NtntKjeitntn

k

kkkk ,

1,10

atvejupriešingutn

NtntSPtKjeitntn

sp

spspsp

sp ,

10,10

atvejupriešingutK

tKjeitKtK

,

0,10

atvejupriešingutSP

tSPtKjeitSPtSP

,

00,10


21

atvejupriešingutLK

NtntSPtKjeitLKtLK spsp

,

10,10

),()0,( "1

"1 tewtew

),()0,( "2

"2 tewtew

atvejupriešingutew

tSPjeitew

),,(

0,)0,(

"3

1"3

PLA specifikacija (6)H(e“2): /Atvyko dokumentas per tinklą/

nk(t + 0) = nk(t)

K(t + 0) = K(t)

LK(t + 0) = LK(t)

22

atvejupriešingutn

NtntSPjeitntn

sp

spspsp

sp ,

1,10

atvejupriešingutSP

tSPjeitSPtSP

,

0,10

),()0,( "1

"1 tewtew

),()0,( "2

"2 tewtew

atvejupriešingutew

tSPjeitew

),,(

0,)0,(

"3

1"3


23

H(e“3): /Baigtas spausdinti dokumentas/

atvejupriešingutn

tntnjeitntn

k

kspk

k,

00,10

atvejupriešingutn

tLKtnjeitntn

sp

spsp

sp ,

00,10

atvejupriešingutK

tLKtntnjeitKtK

spk

,

000,10

atvejupriešingutSP

tntnjeitSPtSP

ksp

,

00,10


24

atvejupriešingutLK

tLKjeitLKtLK

,

0,10

),()0,( "1

"1 tewtew

),()0,( "2

"2 tewtew

atvejupriešingutew

nnjeitew

ksp

),,(

00,0)0,(

"3

"3

Būsenų grafo sudarymas Pradinė būsena s0 = {0, 0, 0, 0, 0}.

Būsenų aibė S = {s0}.

Išnagrinėtų būsenų aibė Sisn tuščia.

25

s0: nk = 0nsp = 0

K = 0SP = 0LK = 0

s1: nk = 0nsp = 0

K = 1SP = 1LK = 0

s2: nk = 0nsp = 0

K = 0SP = 1LK = 0

λ1

λ2

Būsenų grafo sudarymas (2)

S = {s0, s1, s2 , s3, s4}.

Sisn = {s0, s1}.

26

s0: nk = 0nsp = 0

K = 0SP = 0LK = 0

s1: nk = 0nsp = 0

K = 1SP = 1LK = 0

s2: nk = 0nsp = 0

K = 0SP = 1LK = 0

λ1

λ2

s3: nk = 1nsp = 0

K = 1SP = 1LK = 0

λ1

s4: nk = 0nsp = 1

K = 1SP = 1LK = 0

λ2

μ1


S = {s0, s1, s2 , s3, s4 , s5}.

Sisn = {s0, s1 , s2}.

27

s0: nk = 0nsp = 0

K = 0SP = 0LK = 0

s1: nk = 0nsp = 0

K = 1SP = 1LK = 0

s2: nk = 0nsp = 0

K = 0SP = 1LK = 0

λ1

λ2

s3: nk = 1nsp = 0

K = 1SP = 1LK = 0

λ1

s4: nk = 0nsp = 1

K = 1SP = 1LK = 0

λ2

μ1 λ1

s5: nk = 0nsp = 1

K = 0SP = 1LK = 0

λ2

μ1


28

s0: nk = 0nsp = 0

K = 0SP = 0LK = 0

s1: nk = 0nsp = 0

K = 1SP = 1LK = 0

s2: nk = 0nsp = 0

K = 0SP = 1LK = 0

λ1

λ2

s3: nk = 1nsp = 0

K = 1SP = 1LK = 0

λ1

s4: nk = 0nsp = 1

K = 1SP = 1LK = 0

λ2

μ1 λ1

s5: nk = 0nsp = 1

K = 0SP = 1LK = 0

λ2

μ1 μ1

μ1

s7: nk = 0nsp = 1

K = 1SP = 1LK = 1

λ2

λ1

μ1

λ2

λ2

s6: nk = 1nsp = 1

K = 1SP = 1LK = 0

λ2

λ1

μ1

s8: nk = 1nsp = 1

K = 1SP = 1LK = 1

λ2

λ1

μ1

λ2

λ1 λ1 λ1

μ1

Perėjimų intensyvumų matrica

29

21

1

1

2

1

21

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

9

0

0

00

0

0

0

00

0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

00

0

0

0

0

00

0

0

0

Sistemos srautų intensyvumai

Stacionariosios sistemos būsenų tikimybės buvo apskaičiuotos kai: Klientų prie kompiuterio srauto

intensyvumas λ1 = 0,2; Dokumentų per tinklą srauto intensyvumas

λ2 = 0,5; Dokumentų spausdinimo intensyvumas μ1 =

1.

30

Sistemos būsenų stacionariosios tikimybės

BūsenaTeoriškai

apskaičiuotos tikimybės

Modeliuojant apskaičiuotos

tikimybės0 0,4298 0,4297

1 0,1334 0,1335

2 0,1675 0,1675

3 0,0476 0,0477

4 0,0932 0,0933

5 0,0698 0,0697

6 0,0448 0,0447

7 0,0116 0,0116

8 0,0023 0,0023

31

Sistemos srautų intensyvumai (2)

Stacionariosios sistemos būsenų tikimybės buvo apskaičiuotos ir su λ1 = 0,5; λ2 = 0,5; μ1 = 0,5.

32

Sistemos būsenų stacionariosios tikimybės (2)

BūsenaTeoriškai

apskaičiuotos tikimybės

Modeliuojant apskaičiuotos

tikimybės0 0,0901 0,0900

1 0,1441 0,1441

2 0,0360 0,0360

3 0,2477 0,2478

4 0,0946 0,0947

5 0,0180 0,0180

6 0,3514 0,3514

7 0,0090 0,0090

8 0,0090 0,0090

33

34

Dėkui už dėmesį.

Sistemų, specifikuotų PLA metodu, skaitmeninių modelių sudarymas

Documents