Sistemi sa više brzina (13M031SVB) Deo 6 Master studije Jelena Ćertić, Katedra za Telekomunikacije, Elektrotehnički fakultet, Univerzitet u Beogradu The European Commission's support for the production of this publication does not constitute an endorsement of the contents, which reflect the views only of the authors, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Sistemi sa više brzina (13M031SVB)Deo 6
Master studijeJelena Ćertić, Katedra za Telekomunikacije,
Elektrotehnički fakultet, Univerzitet u Beogradu
The European Commission's support for the production of this publication does not constitute an endorsement of the contents, which reflect the views only of the authors, and the Commission cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.
• Minimizacija broja računskih operacija• Računske operacije na nižoj frekvenciji odabiranja(ako je multirate sistem)
• Minimizacija efekata konačne dužine kodne reči
Digitalne banke filtara ‐ realizacije
13M031SVB, ETF, Beograd
2
Primer – dvokanalnaQMF banka
zHzH 01
H0(z) F0(z)
F1(z)H1(z)
2
22
2x[n] y[n]
v0[n]=w0[n]
v1[n]=w1[n]u0[n]
u1[n]
u0[n]
u1[n]
zHzFzHzF 0110 2,2
13M031SVB, ETF, Beograd
3
Primer – dvokanalnaQMF banka
2
112
02
311
2200
33
22
1100
...
...
...
zEzzEzhhz
zhhzH
zhzhzhhzH
Polifazna realizacija filtra H0(z)
13M031SVB, ETF, Beograd
4
Primer – dvokanalnaQMF banka 2
112
001
21
1200
zEzzEzHzH
zEzzEzH
x[n]
E0(z2) 2
z-1 E1(z2)
E0(z2) 2
z-1 E1(z2)
H0(z)
H1(z)
13M031SVB, ETF, Beograd
5
Primer – dvokanalnaQMF banka
x[n]
E0(z2) 2
z-1 E1(z2)
E0(z2) 2
z-1 E1(z2)
H0(z)
H1(z)
X(z)
E0(z)
2z-1 E1(z)
2H0
H1
13M031SVB, ETF, Beograd
6
Primer – dvokanalnaQMF banka
zHzFzHzF 0110 2,2
21
1200 2 zEzzEzF
2
112
001
21
1200
zEzzEzHzH
zEzzEzH
21
1201 2 zEzzEzF
13M031SVB, ETF, Beograd
7
Efikasna realizacija – dvokanalnaQMF banka
13M031SVB, ETF, Beograd
8
2
2
z-1
E0(z)
E1(z)
x[n] 2
2E1(z)
E0(z)
z-1
2
y[n]
2
2
z-1
E0(z2)
E1(z2)
x[n] 2
2 E1(z2)
E0(z2)
z-1
2
y[n]
Polifazna realizacija
0 1 0 1
2 1 2 2 1 20 1 0 1
2 1 2 2 1 20 1 0 1
1 2 20 14
T z H z H z H z H z
E z z E z E z z E z
E z z E z E z z E z
z E z E z
close all; clear;N=47;h0=[0.00040829340,‐0.00061083240,‐0.00066471290,0.0015016570,0.00089979030,‐0.0029611340,‐0.00095592250,...
0.13639810, 0.46139480]; % polovina koef. filtra h0, filtar je lin fazeh0=[h0,fliplr(h0)]; % filtar je lin faza pa su koef. simetricnie0=h0(1:2:end);e1=h0(2:2:end);[E0,w]=freqz(upsample(e0,2),1,10000);[E1,w]=freqz(upsample(e1,2),1,10000);figure,plot(w/pi,4*abs(E0.*E1));figure,plot(w/pi,angle(E0.*E1));
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.9985
0.999
0.9995
1
1.0005
1.001
1.0015
1.002
𝐻 𝑧 𝐸 𝑧 𝑧 𝐸 𝑧
𝐻 𝑧 𝐸 𝑧 𝑧 𝐸 𝑧
13M031SVB, ETF, Beograd
9
• Realizacija preko paralelne veze svepropuniska (da bi se dobila efikasna struktura)
• Sekcije nižeg reda (drugog i prvog)• Procesiranje na nižoj frekvenciji odabiranja
NIJE banka sa perfektnom rekonstrukcijom (ni blizu, jer nema linearnu fazu)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-80
-60
-40
-20
0
|HLP
()|
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-8
-6
-4
-2
0
/
Arg
(HLP
())
/
L=4L=6L=8L=10L=12
IIR filtri približno linearne faze
13M031SVB, ETF, Beograd
16
z-D
A0(z)
0.5 HLP(z)
HHP(z)
Paralelna veza all‐pass filtra i kašnjenja (koje je trivijalna all‐passsekciija), pa je ovo specilajalan slučaj filtra realizovanog kao paralelna veza dva svepropusnika
Red all‐pass filtra A0 je paran (L)
Podsetnik
IIR filtri probližno linearne fazefiltarska banka
13M031SVB, ETF, Beograd
17
2
2
z-1
APDS(z)
z-M
In
Ch0
Ch1
0.5
2
2z-M
APDS(z)
z-1
Ch1
Ch0
Out
20 DSA z AP z
IIR filtri probližno linearne faze
13M031SVB, ETF, Beograd
18
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1/
0.99999999999985
0.9999999999999
0.99999999999995
1
1.00000000000005
1.0000000000001
1.00000000000015
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1/
20
25
30
35
40
45
50
55
60
gd(
))
Uniformna banka filtara
13M031SVB, ETF, Beograd
19
• filtri H0(z) i F0(z) ‐ propusnici niskih frekvencija• filtri HM‐1(z) i FM‐1(z) propusnici visokih frekvencija• Ostali filtri su propusnici opsega
Realizacija preko dvokanlanih banaka
13M031SVB, ETF, Beograd
20
2
HA
2
X
Nivo 1
2
HA
2
Nivo 2
2
HA
2
Nivo 3
2
HA
2
2
HA
2
2
HA
2
2
HA
2
Struktura svihbanaka može
biti ista
Oktavna banka filtara(neuniformna)
13M031SVB, ETF, Beograd
21
Oktavna banka analze(realizovana pomoću dvokanalnih banki)
13M031SVB, ETF, Beograd
22
Nivo 1
2
HA
2
2
HA
2
2
HA
2
2
HA
2 G0
G1
G2
G3
G4
X
Nivo 2 Nivo 3 Nivo 4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.8
1
Normalizovana frekvencija
Oktavna banka sinteze(realizovana pomoću dvokanalnih banki)
13M031SVB, ETF, Beograd
23
• Direktna sinteza višekanalnih filtarskih banaka (posebno ako se zahteva približno savršena rekonstrukcija) može se postići optimizacionim metodama
• Ovakav način projektovanja je složen i ograničen na relativno mali broj kanala
• U praksi su od interesa filtarske banke koje spadaju u klasu filtarskih banaka sa kompleksnom modulacijom
Direktna realizacija višekanalnih uniformnih banki filtara
13M031SVB, ETF, Beograd
24
Filtarske banke sa kompleksnom modulacijomU opštem slučaju, filtar propusnik opsega H2 može se realizovati „transliranjem u spektru“ (kompleksnom modulacijom) filtra propusnika niskih frekvencija H1
0
0
2 1
2 1
jn
jj
h n h n e
H e H e
Iako je filtar H1 filtar sa realnimkoeficijentima, filtar H2 je, očigledno, filtar sa kompleksnim koeficijentima
Ukoliko H1 ima linearnu faznu karakteristiku, i H2 će imati linearnu faznu karakteristiku
13M031SVB, ETF, Beograd
25
Filtarske banke sa kompleksnom modulacijom
13M031SVB, ETF, Beograd
26
0
0
2 1
2 1
jn
jj
h n h n e
H e H e
Položaj nula i polova se „zarotirao“ za ugao ω0
Hrekvencijski odziv se „translirao“ za ω0H2 je sistem sa kompleknim koeficijentima NEMA simetrije oko 0
Direktna realizacija višekanalnih uniformnih banki filtara
13M031SVB, ETF, Beograd
27
Ovaj princip može da se iskoristi tako što se ista karakteristika filtra propusnika niskih frekvencija translira M puta sa različitim „pomacima“ u spektru ωk=2πk/M, k=0,1,2,…,M‐1 gde je Mukupan broj kanala na intervalu od 0 do 2π
• DFT banke• M‐kanalna DFT banka formira se od prototip filtra propusnikaniskih frekvencija HP(z) i skupa od Mmodulatora. Ako su koeficijenti impulsnog odziva NF prototip filtra N‐tog reda: h0(0), h0(1),...,h0(N), tada će koeficijenti impulsnog odziva k‐tog filtra u M‐kanalnoj banci biti:
• Odgovarajući frekvencijski odziv k‐tog filtra u banci je:
• frekvencijski odzivi Hk(ejω), Fk(ejω), k=1,2,..., M‐1, su uniformno translirane verzija frekvencijskog odziva prototip filtra H0(ejω).
Direktna realizacija višekanalnih uniformnih banki filtara ‐ DFT filtarske banke
13M031SVB, ETF, Beograd
28
ℎ 𝑛 𝑓 𝑛 ℎ 𝑛 𝑒 / , za 𝑛 0, 1, … , 𝑁
𝐻 𝑒 𝐹 𝑒 𝐻 𝑒 ⁄ , za 𝑘 0,1, … , 𝑀 1
DFT banke
13M031SVB, ETF, Beograd
29
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2/
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
H(
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2/
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
arg(
T())
DFT banke
13M031SVB, ETF, Beograd
30
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5Real Part
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Imag
inar
y Pa
rt
65
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Real Part
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Imag
inar
y Pa
rt
65
LP
BPKompleksnikoeficijenti
DFT banke
13M031SVB, ETF, Beograd
31
• Ako se opisana filtarska bankarealizuje tako što se svaki filtar implementira kao polifazna struktura, zbog veze između filtara, može se dobiti veoma efikasna struktura
• Efikasnost proitiče iz toga što se dft/idft može iskoristiti kao blok za transliranje u spektru
H0(z)
H1(z)
H2(z)
HM-1(z)
M
M
M
M
v0[n]
v1[n]
v2[n]
vM-1[n]
x[n]
DFT banke
13M031SVB, ETF, Beograd
32
Banka sinteze
Banka analize
X(z) X0(z)
X1(z)
Xi(z)
XM-1(z)
IDFT
H0,0(z)
H0,1(z)
H0,i(z)
H0,M-1(z)
M
M
M
M
z-1
z-1
z-1
X0(z)
X1(z)
Xi(z)
XM-1(z)
IDFT
G0,0(z)
G0,1(z)
G0,i(z)
G0,M-1(z)
M
M
M
M
z-1
z-1
z-1
X(z)
• Iako je struktura veoma efikasna, postoji problem sapreklapanjem spektra između susednih kanala
• Sam prototip filtar se projektuje tako da je kvadrat njegove amplitudske karakteristike podignuti kosinus, odnosno filtar je “koren iz podignutog kosinusa” (square root raised cosine) SRRC
• Takav filtar je komplementaran po snazi sa sopstvenim pomerenim replikama (transliranim) što bi obezbedilo da ukupna karakteristika filtara od ulaza u banku analize do izlaza iz banke sinteze odgovara kašnjenju
• Filtar je idealan, pa se, odsecanjem, aproksimira FIR filtrom, sa dodatnim eventualnim množenjem sa prozorskom funkcijom
DFT banke
13M031SVB, ETF, Beograd
33
SRRC filtar
13M031SVB, ETF, Beograd
34
2
1 14 cos sin
41SRRC
n r n rrn M
M Mh n
rn nMM
2 cos 1 cos 14 4 4SRRCM rh r r
r M r r
1 40 1SRRCrh
M M
Frekvencijski odzivImpulsni odziv odziv
1, 1
cos 1 , 1 14
0, 1
c
jSRRC
c c
c
r
H e r r rr
r
Za elemente impulsnog odziva za koje je n=M/(4r), ukoliko postoje (ako je M/(4r) ceobroj)
za n=0Nekauzalan filtar beskonačne dužine impulsnog odzivaAproksimira se FIR filtrom (kauzalnim) koji se dobija metodom projektovanja pomoću prozora, polazeći od datog impulsnog odziva
SRRC filtar
13M031SVB, ETF, Beograd
35
SRRC filtar
13M031SVB, ETF, Beograd
36
Zoom – propusni opseg i prelazna zona
SRRC filtar
13M031SVB, ETF, Beograd
37
DFT banke
13M031SVB, ETF, Beograd
38
U osnovnoj realizaciji, problem je preklapanjespektra koje ne može potpuno da se eliminiše, postoje razne modifikacije koje to delimično rešavaju, više o tome u *
*T. Karp and N. J. Fliege, "Modified DFT filter banks with perfect reconstruction," in IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, vol. 46, no. 11, pp. 1404‐1414, Nov. 1999.
• Kosinusne banke• Kosinusne banke filtara formiraju se takođe iz prototip NF filtra.
• Koeficijenti impulsnog odziva filtara u kosinusnoj banci formiraju se od koeficijenata impulsnog odziva NF prototip filtra i skupa kosinusnih modulatora prema izrazu:
Direktna realizacija višekanalnih uniformnih banki filtara– kosinusne banke
13M031SVB, ETF, Beograd
39
0
0
2 12 cos 1 , za 0,1,..., 1
2 2 4
2 12 cos 1 , za 0,1,..., 1
2 2 4
kk
kk
kNh n p n n k MM
kNf n p n n k MM
Banka analize
Banka sinteze
Kosinusne banke su sa realnim koeficijentima, Mkanala u opsegu od 0 do π
• Kanalni filtri nisu filtri linearne faze• Filtri u banci sinteze nisu isti kao filtri u banci analize
• Ukupna karakteristika je linearna
Direktna realizacija višekanalnih uniformnih banki filtara– kosinusne banke
13M031SVB, ETF, Beograd
40
0
0
2 12 cos 1 , za 0,1,..., 1
2 2 4
2 12 cos 1 , za 0,1,..., 1
2 2 4
kk
kk
kNh n p n n k MM
kNf n p n n k MM
Banka analize
Banka sinteze
Kosinusne banke
13M031SVB, ETF, Beograd
41
Filtri su sa realnim koeficijentima, prototip filtar mora biti dva puta manje granične frekvencije, odnosno π/(2M)
Filtri treba da budu komplementarni po snazi
Kosinusne banke
13M031SVB, ETF, Beograd
42
Kosinusna banka ‐ primer
13M031SVB, ETF, Beograd
43
close allclearclcM=16;% filtarska bankaN=256;Nx=(N+1)*M;h0=srrcf(N,2*M,0.25);[H0,w]=freqz(h0,1,10000);figure,plot(w/pi,abs(H0));xlabel('\omega/\pi');ylabel('amplitudskakarakteristika');title('Prototip filtar');figure,plot(w/pi,20*log10(abs(H0)));xlabel('\omega/\pi');
Dualni problem u odnosu napojam filtarske banke koji smodo sada razmatrali
Prvo ide banka sinteze pa zatim banka analize
G0(z)
G1(z)z-1
H0(z)
H1(z)
2
2
2
2
2
2
2
2z-1
Transmultiplekser filtarska banka
X0(z)
X1(z)
X0(z)
X1(z)
TDM TDMFDM
• Wavelet – talasić• Wavelet transformacija je metod kojim se signal „razbija“ na niz komponenti (a nisu sinusne i kosinusne)
• U porođenju s STFT daje bolje rezultate za „prirodne“ signale jer su mogućnosti što se rezolucije tiče povoljnije za te klase signala
• U kontekstu filtarskih banaka, izborom tipa waveleta biramo zapravo koeficijente filtara i njihov međusobni odnos (tj. tip komplementarnosti)
Wavelet transformacija
13M031SVB, ETF, Beograd
48
Spektralna analiza ‐ podsetnik
13M031SVB, ETF, Beograd
49
12
jj jV e X e W e d
2j
kN
V k V e
21
0
, 0,1, , 1knN
N
n
V k v n e k N
Real‐time spektralna analiza signala, zapravo se bazira na algoritmu vremenski zavisne Furijeove transformacije (Time Dependant Fourier Transform ili Short Time Fourier Transform STFT) koja je definisana formulom:
gde je: x ‐ ulazni signal,w ‐ prozorska funkcija (konačne dužine), ‐ frekvencija za koju se računa Furijeova transformacija,R – pomeraj početka dva sukcesivna prozora.
Vremenski zavisna Furijeova transformacija
13M031SVB, ETF, Beograd
50
,m
j j m
m
X n e x m w m nR e
• Pogodan način da se prikažu rezultati• Praktično se prikazuje matrica dobijena primenom vremenski zavisne Furijeove transformacije
• Ako je dužina prozora N veća, popravlja se rozulcija po frekvenciji ~fs/N, ali se kvari rezolucija u vremenu (kratkotrajne, brze promene u signalu će biti izgubljene, tj. na neki način usrednjene)
Translacija – τ – mera vremenaScale – s – mera frekvencije –veća vrednost odgovara nižojfrekvenciji
Transformacija je niz konvolucija sa skaliranom i pomerenom prototip funkcijom (mother wavelet)
Diskretna wavelet transformacija
13M031SVB, ETF, Beograd
58
Parametar s dobija diskrente vrednosti, tipično 2, 4, 8…
U implementaciji se svodi na oktavnu filtarsku banku sa savršenomrekonstrukcijom, gde se filtri banke analize biraju tako da odgovaraju nekoj određenoj wavelet transformaciji
• Realizovane preko dvokanalnih banaka• U slučaju wavelet transformacije, parametri filtra zavise od tipa transformacije
• Na svakom niovu dobija se signal „aproksimacije“ i signal „detalja“
• Poslednja aproksimacija predstavlja LP (najniži u spektru) deo signala
• Signal se rekonstruiše prolaskom kroz banku sinteze• Praktično, poslednja aproksimacija i svi detalji daju signal (uz odgovarajuće filtre u banci sinteze)
Oktavne filtarske banke – tree struktura
13M031SVB, ETF, Beograd
59
Oktavna banka analze(realizovana pomoću dvokanalnih banki)
13M031SVB, ETF, Beograd
60
Nivo 1
2
HA
2
2
HA
2
2
HA
2
2
HA
2 G0
G1
G2
G3
G4
X
Nivo 2 Nivo 3 Nivo 4
Oktavna banka sinteze(realizovana pomoću dvokanalnih banki)
13M031SVB, ETF, Beograd
61
• Do sada smo pomenuli ortogonalne filtarske banke (N0 – red filtra)
• Gde je filtar H0 dobijen faktorizacijom polinoma, kao faktor minimalne faze filtra linearne faze (dobijenog od proizvoljnog filtra linearne faze „podizanjem“ i skaliranjem amplitudske karakteristike)
Dvokanalne banke sa savršenom rekonstrukcijom
13M031SVB, ETF, Beograd
62
101
0 zHzzH N
zHzFzHzF 0110 2,2
10 0LPHBH H z H z
• U principu se različiti tipovi transformacije dobijaju izborom filtra H0 i/ili različitim faktorizacijama
• Na primer, ako se faktorizacija uradi tako da faktori ostanu linearne faze dobija se biortogonalna filtarska banka, kod koje ne postoji simetrija u karakteristici filtara, ali su filtri u banci analize linearne faze
Wavelet transformacija kaooktavna filtarska banka
13M031SVB, ETF, Beograd
63
LPHBH z
Primer 1
13M031SVB, ETF, Beograd
64
clear all close allwname = 'db5'; % Set wavelet name. % Compute the four filters associated with wavelet name given by the input string wname.[h0,h1,g0,g1] = wfilters(wname); N = 10; % The length of db5 filter% Test signal x=[zeros(size(1:100)),0.01*(1:100),zeros(size(201:511))]; figure (1) subplot(3,1,1) plot(x) title('Figure 1: Test signal') xlabel('Time index n') axis([0,512,‐0.2,1.2]) % Signal analysis %
Primer 1
13M031SVB, ETF, Beograd
65
h0 lp maksimalne faze
Primer 1
13M031SVB, ETF, Beograd
66
Primer 1
13M031SVB, ETF, Beograd
67
Filtri u banci analize su komplementarni po snazi ali nisu linearne faze
Primer 1
13M031SVB, ETF, Beograd
68
aproksimacija
DETALjI
Primer 1
13M031SVB, ETF, Beograd
69
Savršena rekonstrukcija
Primer 2
13M031SVB, ETF, Beograd
70
clear all close allwname = 'bior1.5'; % Set wavelet name. % Compute the four filters associated with wavelet name given by the input string wname. [h0,h1,g0,g1] =wfilters(wname);N=length(h0);x=[zeros(size(1:100)),0.01*(1:100),zeros(size(201:511))]; figure (1) subplot(3,1,1) plot(x) title('Figure 1: Test signal') xlabel('Time index n') axis([0,512,‐0.2,1.2]) % Signal analysis %
Primer 2
13M031SVB, ETF, Beograd
71
h0 lp linearnefaze
Primer 2
13M031SVB, ETF, Beograd
72
Primer 2
13M031SVB, ETF, Beograd
73
Filtri u banci analize nisu komplementarni ali su linearne faze