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Sistemi ed automazione Sistemi ed automazione IndustrialeIndustriale
Contempla due costanti 00 e 11 Corrispondono a 2 stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico
contatto o di un circuito a più contatti Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani:
ANDAND, OROR, NOTNOT sono gli operatori fondamentali
0 1
Le operazioni AND e OR sono operazioni binarie, l’operazione NOT è unaria. Nella valutazione delle espressioni booleane esiste una relazione di precedenza fra gli operatori NOT, AND e OR, nell’ordine in cui sono stati elencati; le parentesi vengono utilizzate nel modo consueto.
NUMERO DI COMBINAZIONI
Nc = 2i Per 3 ingressi, si avranno 8 combinazioni
Per 4 ingressi, si avranno 16 combinazioni
Per 2 ingressi, si avranno 4 combinazioni
Come scrivere tutte le combinazioni
Nc = 2i = 23 = 8
Es. 3 ingressi
Si disegna una tabella con 8 righe
A B C F
1
2
3
4
5
6
7
8
Come scrivere tutte le combinazioni
Nc = 2i = 23 = 8
Es. 3 ingressi
8 / 2 = 4
Si disegna una tabella con 8 righe
Si scrivono 4 zeri nelle prime 4 caselle della prima colonna
A B C F
1 0
2 0
3 0
4 0
5
6
7
8
Come scrivere tutte le combinazioni
Nc = 2i = 23 = 8Es. 3 ingressi
Poi si divide di nuovo per 2:A B C F
1 0
2 0
3 0
4 0
5
6
7
8
4 / 2 = 2
Si procede scrivendo 2 zeri nella colonna successiva
Come scrivere tutte le combinazioni
Nc = 2i = 23 = 8Es. 3 ingressi
Poi si divide di nuovo per 2:A B C F
1 0 0 0
2 0 0
3 0
4 0
5
6
7
8
2 / 2 = 1
Si procede scrivendo 1 zero nella colonna successiva
L’operazione di L’operazione di OR (+) addizioneOR (+) addizione
Si definisce l’operazione di somma logicasomma logica (OR):
il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli ingressi è il simbolo 1
0
0
0
1
0+0 0+1
1
1
1
0
1+0 1+1
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
L’operazione di L’operazione di AND (*) AND (*) moltiplicazionemoltiplicazione
Si definisce l’operazione di prodotto logicoprodotto logico (AND):il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo 1
00
0·0
11
1·1
01
1·0
10
0·1
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Ordine delle operazioni
Si procede sempre con questo ordine:
Prima le moltiplicazioni e poi le addizioni
Ordine delle operazioni
Si procede sempre con questo ordine:
Prima le moltiplicazioni e poi le addizioni
Esempio: F= A * B + C
Esempio: F= A * (B+C) SE CI SONO LE PARENTESI SI FANNO PRIMA LE OPERAZIONI NELLE
PARENTESI
ESEMPI CONTI CON TABELLE
Esempio: F= A * B + B
A B A*B (A*B) + B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
ESEMPI CONTI CON TABELLE
Esempio: F= A * B + B
A B A*B (A*B) + B
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 0
1 1 1 1
B
A B
ESEMPI CONTI CON TABELLE
Esempio: F= A * B + C
A B C (A*B) F
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 1 0
4 0 1 0
1 0 0
1 0 0
1 1 0
1 1 1
ESEMPI CONTI CON TABELLE
Esempio: F= A * B + C
A B C (A*B) F
1 0 0 0 0
2 0 0 1 0
3 0 1 0 0
4 0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
ESEMPI CONTI CON TABELLE
Esempio: F= A * B + C
A B C (A*B) F
1 0 0 0 0
2 0 0 1 0 1
3 0 1 0 0
4 0 1 1 0 1
1 0 0 0
1 0 1 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
C
A B
ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI
F =A+C*B
B C
* = AND = SERIE
ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI
A
B C
F =A+C*B
B C
* = AND = SERIE
+ = OR = PARALLELO
ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI
F = (A*B+C)+A
C
B A
A
B A
* = AND = SERIE
ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI
F = (A*B+C)+A
C
B A
A
B A
C
* = AND = SERIE
+ = OR = PARALLELO
ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI
F = (A*B+C)+A
C
B A
A
B A
C
* = AND = SERIE
+ = OR = PARALLELO
A
ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI
F = B * (A+B) +A
B
A B
A
B
A
ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI
F = B * (A+B) +A
B
A B
A
B
A B
ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI
F = B * (A+B) +A
B
A B
A
ESERCIZI SCHEMI ELETTRICI
F =A+C*B
F = (A*B+C)+A
F = B * (A+B) +A
A
B C
C
B A
A
B
A B
A
La negazione La negazione NOTNOT
Si definisce l’operatore di negazionenegazione (NOT):l’operatore inverte il valore della costante su cui opera
0 = 11 = 0
dalla definizione…
0 = 01 = 1
L’elemento x = NOT(x) viene detto complemento di x. Il
complemento è unico.
doppia negazione
Alcune identitàAlcune identità
x + 1 = 1x + 0 = x
x + x = x
x·1 = xx·0 = 0
x·x = x
x·1 = x
1·1 = 10·1 = 0
x = 0 x = 1
OK!OK!
Si verificano le uguaglianze
Ad esempio….
0 è l’elemento neutroelemento neutro per l’operazione di OR; 1 è l’elemento neutro per l’AND. Gli elementi neutri sono unici. La legge x + x = x·x = x è detta legge dell’idempotenzalegge dell’idempotenza.
Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti proprietà:
Per l’operatore NOT si provano le seguenti identità:
Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x1, x2,…, xn, se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni delle x un valore di y
Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di veritàtabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x1,
x2 , …, xn, con associato il valore di y
Funzioni logicheFunzioni logiche
y = F(x1,x2,…,xn)
Somma di due ingressi
x1 x2 y0 0 00 1 11 0 11 1 1
y = x1+x2
Una tabella di veritàUna tabella di verità
Date 3 variabili booleane (A,B,C) si scrive la funzione F che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1
A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0
Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1
F(A,B,C) = A·B·C + A·B·C + A·B·C
Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND)Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma
Un esempio: lo Un esempio: lo XORXOR
La funzione XOR verifica la disuguaglianza di due variabili
L’espressione come somma di prodotti è quindi
x1 x2 XOR0 0 00 1 11 0 11 1 0
XOR = x1·x2 + x1·x2
La legge dell’assorbimento legge dell’assorbimento x1+ x1· x2 = x1Le leggi di De Morgan leggi di De Morgan
(x1+ x2)' = x1’· x2’ ( x1 · x2)’ = x1’+ x2’ ( ’ un modo alternativo per indicare la negazione). Dalle leggi di De Morgan si evince che la scelta delle funzioni OR, AND e
NOT, come funzioni primitive, è ridondante. L’operazione logica AND può essere espressa in funzione delle operazioni OR e NOT; in modo analogo, l’operazione OR può essere espressa tramite AND e NOT.
Le relazioni stabilite sono generalmente applicate nelle trasformazioni di funzioni booleane in altre equivalenti, ma di più facile realizzazione circuitale.
ESEMPIESEMPI
Un circuito con due interruttoriUn circuito con due interruttori
I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B) a valori booleani le variabili assumono i due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dell’interruttore
A B
A B0
11
0
A B
A B0
11
0
A B
A B0
11
0
A B
A B0
11
0
A=0 B=0 A=0 B=1
A=1 B=1A=1 B=0
A B L
0 0 10 1 01 0 01 1 1
L = A·B+A·B
L
LL
L
EsercizioEsercizio
Progettare un circuito per accendere e spegnere una lampada da uno qualsiasi di tre interruttori indipendenti
A B C
1 1 1
0 0 0
A B C
1 1
0
1
0 0
0 00
0 01
Cambia lostato di uninterruttorequalsiasi
L = 0
L = 1
Analisi delle combinazioniAnalisi delle combinazioni
Si considera cosa succede a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta
A B C
0 00
L = 0
L = 1A B C
0 10
A B C
1 10
L = 0
L = 0
A B C
1 11
L = 10 11
A B CL = 0
Chiudo prima l’interruttore c
Analisi delle combinazioniAnalisi delle combinazioni
Si considera cosa succede a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta
A B C
0 00
L = 0
A B C
0 01
L = 1
L = 0A B C
1 01
A B C
1 11
L = 10 11
A B CL = 0
Analisi delle combinazioniAnalisi delle combinazioni
Si considera cosa succede a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta
A B C
0 00
L = 0
A B C
1 00
L = 1
A B C
1 10
L = 0
L = 0A B C
1 01
A B C
1 11
L = 1
Analisi delle combinazioniAnalisi delle combinazioni
Si considera cosa succede a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta
A B C
0 00
L = 0
L = 1A B C
0 10
A B C
0 01
L = 1
A B C
1 00
L = 1
A B C
1 10
L = 0
L = 0A B C
1 01
A B C
1 11
L = 10 11
A B CL = 0
Scrittura della funzione logicaScrittura della funzione logica
Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di veritàtabella di verità della funzione logica
Si può scrivere la funzione L come somma logica di prodotti logicisomma logica di prodotti logici A B C L0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1
L = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C
Come collegare gli interruttoriCome collegare gli interruttori
Si può manipolare l’espressione di L usando la proprietà distributiva dell’AND rispetto all’OR
L = A·(B·C + B·C) + A·(B·C + B·C)
L = A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C
A
A
B
B
C
C
C
CB
B A
A
B
B
C
C
C
CB
B
1 0 0 1 0 1
Sistemi di Sistemi di numerazionenumerazione
Sistemi di numerazioneSistemi di numerazione
Sistemi di numerazione posizionaliposizionali:La basebase del sistema di numerazioneLe cifrecifre del sistema di numerazione
Il numero è scritto specificando le cifre in ordine, ed il valore dipende dalla posizione relativaposizione relativa delle cifre
Esempio: Il sistema decimale (Base 10)
Cifre : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5641 = 5·103 + 6·102 + 4·101 + 1·100
Posizione: 3 2 1 0
Sistemi in base BSistemi in base B
La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione
La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono, nell’ordine, 1,2,…,B1; se B>10 occorre introdurre B
10 simboli in aggiunta alle cifre decimali
N = cnBn+cn-1Bn-1+…+c2B2+c1B1+c0B0
Un numero frazionariofrazionario N’ si rappresenta con la scrittura (0,c1c2…cn)B
Un numero interointero N si rappresenta con la scrittura (cncn-1…c2c1c0)B
N’ = c1B-1+c2B-2+…+cnB-n
cn è la cifra più significativacifra più significativa, c0 quella meno significativameno significativa
Numeri interi senza segnoNumeri interi senza segno
Con n cifre, in base B, si rappresentano tutti i numeri interi positivi da 0 a Bn1 (Bn numeri distinti)
Esempio: base 10
2 cifre: da 0 a 1021 = 99
000102….9899
Esempio: base 2
2 cifre: da 0 a 221 = 3
00011011
102 = 100 valori
22 = 4 valori
Il sistema binario (B=2)Il sistema binario (B=2)
La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazioneLa base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione
Un bytebyte è un insieme di 8 bit (un numero binario a 8 cifre)
Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e 281 = 255
Il byte è l’elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori. Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (16 bit) , 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit)…
Si divide ripetutamente il numero interointero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo. Le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è l’ultimo resto
Si moltiplica ripetutamente il numero frazionariofrazionario decimale per 2, fino ad ottenere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte. Le cifre del numero binario sono le parti intere dei prodotti successivi; la cifra più significativa è il risultato della prima moltiplicazione
Da decimale a binario Da decimale a binario 2 2
Esempio: convertire in binario (0.21875)10 e (0.45)10
.45 2 = 0.9
.90 2 = 1.8
.80 2 = 1.6
.60 2 = 1.2
.20 2 = 0.4 etc.
(0.45)10 (0.01110)2
.21875 2 = 0 .4375
.4375 2 = 0.875
.875 2 = 1.75
.75 2 = 1.5
.5 2 = 1.0
(0.21875)10 = (0.00111)2
Da binario a decimaleDa binario a decimale
Oltre all’espansione esplicita in potenze del 2 forma polinomiaforma polinomia…
…si può operare nel modo seguente: si raddoppia il bit più significativo e si aggiunge al secondo bit; si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo bit… si continua fino al bit meno significativo
La corrispondenza in decimale delle cifre oltre il 9 è
A = (10)10 D = (13)10
B = (11)10 E = (14)10
C = (12)10 F = (15)10
Da binario a esadecimaleDa binario a esadecimale
Una cifra esadecimale corrisponde a 4 bit
Si possono rappresentare numeri binari lunghi con poche cifre (1/4). La conversione da binario ad esadecimale è immediata, raggruppando le cifre binarie in gruppi di 4 e sostituendole con le cifre esadecimali secondo la tabella precedente
Il complemento a 2 di un numero binario (N)2 a n cifre è il numero
Tale numero si ottieneEffettuando il complemento a 1 di ogni cifra del numero di partenza: si trasforma ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0Aggiungendo 1 al numero ottenuto
Oppure: a partire da destra, lasciando invariate tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi invertendo il valore delle rimanenti
2n(N)2 = 10……0(N)2
n
01010111
10101000
10101001
complemento a 1
+ 1
100000000
011111111 01010111 10101000
10101001
28
281N281N
281N+1
Interi in complemento a 2Interi in complemento a 2
I numeri positivinumeri positivi sono rappresentati in modulo e segno I numeri negativinumeri negativi hanno un 1 nella posizione più significativa e sono
rappresentati in complemento a 2 Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza di n
zeri) Il campo dei numeri rappresentabili è da 2n-1 a +2n-11
Il calcolo della sottrazione può divenire complicato: quando si ha una richiesta sulla cifra precedente a sinistra, che è uno 0, l’operazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo
0 0 = 0 1 0 = 1 1 1 = 010 1 = 0 con prestito di 1 dalla cifra precedente a sinistra
Esempio 0 10 1 1 0 0 1 1 0 11 0 1 0 0 20
25 5
Sottrazione binaria Sottrazione binaria 2 2
Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2, addizione e sottrazione sono trattate come una unica operazione
N1N2 = N1+(2nN2)2n
complemento a 2 di N2 (-N2)
si trascura il bit n +1
Si calcola il complemento a 2 di N2
Si somma N1 con il complemento a 2 di N2
Si trascura il bit più significativo del risultato
Esempio: (010001)2(000101)2 = (17)10(5)10
010001 + 1110111001100 (12)10
Sono utili perché l’operazione di somma può essere realizzata non curandosi in modo particolare del bit di segno
In complemento a 1 (più semplice da calcolare)…Zero ha due rappresentazioni 00000000 e 11111111La somma bit a bit funziona “quasi sempre”
In complemento a 2…Zero ha una sola rappresentazioneLa somma bit a bit funziona sempre
Rappresentazioni in complementoRappresentazioni in complemento
11001 + (-6)
11010 = (-5)
1001110011 (-12)
00110 + (6)
10101 = (-10)
11011 (-4)
OverflowOverflow
L’overflowoverflow si ha quando il risultato di un’operazione non è rappresentabile correttamente con n bit
Per evitare l’overflow occorre aumentare il numero di bit utilizzati per rappresentare gli operandi C’è overflow se c’è riporto al di fuori del bit di segno e non sul bit di segno, o se c’è riporto sul bit di segno, ma non al di fuori
01110 +0101011000
Esempio: 5 bit [-16,+15]
14 +1024
11000 + 10110101110
-8 +-10-18-8 +14
Punteggio nei vecchi videogame… sorpresa per i campioni!
Moltiplicare per 2n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando
0 x 0 = 00 x 1 = 01 x 0 = 01 x 1 = 1
Esempio 1100111 x 101 1100111 0000000 11001111000000011
110011 x 10000 = 11001100000000x 16 = 24
La divisione binaria di A per B viene calcolata in modo analogo alla divisione decimale, così da ottenere un quoziente Q ed un resto R, tali che A = BQ + R
La divisione binaria si compone di una serie di sottrazioni
Dividere per 2n equivale a scorrere il numero a destra di n posizioni; le cifre scartate costituiscono il resto
Divisione binariaDivisione binaria
1 1 0 1 1 0 1 0 11 0 1 1 0 1 0 1 1 1
1 0 1 1 0 0
(
^^^
54 = 510 + 4
110011 10000 = 11 con resto 11
Codifica dei caratteri alfabeticiCodifica dei caratteri alfabetici
Oltre ai numeri, molte applicazioni informatiche elaborano caratteri (simboli) Gli elaboratori elettronici trattano numeri Si codificano i caratteri e i simboli per mezzo dei numeri Per poter scambiare dati (testi) in modo corretto, occorre definire uno standard di codifica
Quando si scambiano dati deve essere noto il tipo di codifica utilizzato In genere un sistema informatico deve supportare più standard di codifica La codifica deve prevedere le lettere dell’alfabeto, le cifre numeriche, i simboli, la punteggiatura, i caratteri speciali per certe lingue (æ, ã, ë, è, …)
A 01000001
3 00110011
$ 00100100
Codifica ASCIICodifica ASCII
American Standard Code for Information InterchangeAmerican Standard Code for Information Interchange Definisce una tabella di corrispondenza fra ciascun carattere e
un codice a 7 bit7 bit (128 caratteri) I caratteri, in genere, sono rappresentati con 1 byte1 byte (8 bit). I
caratteri con il bit più significativo a 1 (quelli con codice dal 128 al 255) fanno parte di una estensione della codifica
La tabella comprende sia caratteri di controllocaratteri di controllo (codici da 0 a 31) che caratteri stampabilicaratteri stampabili
I caratteri alfabetici hanno codici ordinati secondo l’ordine alfabetico
A 65B 66…….Y 89Z 90
a 97b 98…….y 121Z 122
0 481 49…….8 569 57
cifre maiuscole minuscole
Caratteri di controllo ASCIICaratteri di controllo ASCII
I caratteri di controllo (codice da 0 a 31) hanno funzioni speciali Si ottengono o con tasti specifici o con una sequenza Ctrl + carattereCtrl + carattere
Ctrl Dec Hex Code Nota^@ 0 0 NULL carattere nullo^A 1 1 SOH partenza blocco….. …. …. …… …………………^G 7 7 BEL beep^H 8 8 BS backspace^I 9 9 HT tabulazione orizzontale^J 10 A LF line feed (cambio linea)^K 11 B VT tabulazione verticale^L 12 C FF form feed (alim. carta)^M 13 D CR carriage return (a capo)…… …. … …. …………………….^Z 26 1A EOF fine file^[ 27 1 B ESC escape…. …. ….. ….. ………..^_ 31 1F US separatore di unità
Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr
32 20 SPACE 48 30 0 64 40 @ 80 50 P 96 60 ` 112 70 p33 21 ! 49 31 1 65 41 A 81 51 Q 97 61 a 113 71 q34 22 ” 50 32 2 66 42 B 82 52 R 98 62 b 114 72 r 35 23 # 51 33 3 67 43 C 83 53 S 99 63 c 115 73 s36 24 $ 52 34 4 68 44 D 84 54 T 100 64 d 116 74 t37 25 % 53 35 5 69 45 E 85 55 U 101 65 e 117 75 u38 26 & 54 36 6 70 46 F 86 56 V 102 66 f 118 76 v39 27 ’ 55 37 7 71 47 G 87 57 W 103 67 g 119 77 w40 28 ( 56 38 8 72 48 H 88 58 X 104 68 h 120 78 x 41 29 ) 57 39 9 73 49 I 89 59 Y 105 69 i 121 79 y42 2A * 58 3A : 74 4A J 90 5A Z 106 6A j 122 7A z43 2B + 59 3B ; 75 4B K 91 5B [ 107 6B k 123 7B {44 2C , 60 3C < 76 4C L 92 5C \ 108 6C l 124 7C |45 2D - 61 3D = 77 4D M 93 5D ] 109 6D m 125 7D }46 2E . 62 3E > 78 4E N 94 5E ^ 110 6E n 126 7E ~47 2F / 63 3F ? 79 4F O 95 5F _ 111 6F o 127 7F DEL
NotaNota: il valore numerico di una cifra può essere calcolato come differenza del suo codice ASCII rispetto al codice ASCII della cifra 0 (es. ‘5’ - ‘0’ = 53-48 = 5)
Tabella ASCII estesaTabella ASCII estesa
I codici oltre il 127 non sono compresi nello standard originario
Codifica UNICODECodifica UNICODE
È lo standard emergente per la codifica dei caratteri nei testi. È basato sulle caratteristiche del codice ASCII, ma supera la limitazione di poter rappresentare in modo coerente solo l’alfabeto latino
Fornisce un unico codice per ogni carattere di ogni lingua scrittaunico codice per ogni carattere di ogni lingua scritta, indipendentemente dalla piattaforma, dal linguaggio o dal programma
Lo standard iniziale prevedeva di codificare i caratteri con 16 bit, per un totale di oltre 65000 caratteri rappresentabili
La versione 3.0 dello standard fornisce i codici per 4919449194 caratteri, derivati dagli alfabeti usati nel mondo, dagli insiemi di ideogrammi, dalle collezioni di simboli
L’ultima versione dello standard definisce 3 tipi diversi di codifica che permettono agli stessi dati di essere trasmessi in byte (8 bit UTF-8UTF-8), word (16 bit UTF-16UTF-16) o double word (32 bit UTF-32UTF-32). Tutte le codifiche presuppongono, al più, l’utilizzo di 32 bit per carattere