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Sistemi dinamici 2:il caso continuo
Progetto Lauree scientifiche per la Matematica 2009Liceo
Scientifico StataleP. Paleocapa
Rovigo
Sommario
In queste note, destinate a quegli studenti che hanno deciso di
proseguireil loro impegno nel Progetto Lauree Scientifiche per la
Matematica, inten-diamo affrontare lo studio dei sistemi dinamici
continui. La presentazione,contrariamente a quanto fatto per il
caso discreto, dovra` giocoforza risultarein qualche momento
euristica, tuttavia, grazie allesperienza che i ragazzi sisono gia`
formati nello studio dei sistemi discreti, risultera` possibile
affrontareargomenti molto interessanti anche dal punto di vista
culturale, in vista dellaloro preparazione allEsame di Stato. Si
vorrebbero fornire agli studenti deglispunti di riflessione con cui
affrontare e sviluppare tematiche pluridisciplinariper la loro
preparazione a questo importante appuntamento!
1
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Indice
1 Perche proprio i sistemi dinamici continui? 4
2 Che cose` un sistema dinamico? 5
3 Sistema dinamici discreti: il conto in banca 6
4 Sistema dinamici continui: esempi dalla fisica 74.1 Una palla
lanciata verticalmente verso lalto . . . . . . . . . . 74.2
Loscillatore armonico semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5 Altri esempi dalla fisica: sistemi dinamici continui lineari
enon lineari 95.1 Il diagramma nello spazio delle fasi . . . . . .
. . . . . . . . . . 115.2 Dimensione e linearita`; dipendenza
esplicita dal tempo. . . . . 11
6 Sistemi dinamici continui 1-dimensionali 126.1 Lapproccio
geometrico: interpretazione di unequazione diffe-
renziale come campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 12
7 Analisi della stabilita` 14
8 Sistemi dinamici lineari 1-dimensionali 168.1 Carica di un
condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2 Avete
notato qualche ripetizione? . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.3
La crescita di una popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
9 Ricerca degli zeri di una funzione 20
10 Come ottenere un sistema dinamico discreto da uno continuoe
viceversa 2210.1 Un esempio di soluzione numerica . . . . . . . . .
. . . . . . . . 24
11 Il metodo delle fasi per loscillatore armonico lineare 2511.1
Il ritratto di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 2511.2 Lapproccio geometrico per sistemi in 2 dimensioni . . .
. . . . 26
12 Dipendenza da parametri: biforcazioni e catastrofi 27
13 Sistemi dinamici discreti e mappe 1-dimensionali 2913.1
Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 2913.2 Alcune definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 30
2
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13.3 Analisi geometrica delliterazione di una funzione: il
diagram-ma a ragnatela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 31
13.4 Comportamento di un sistema lineare discreto 1-dimensionale
. 3213.5 Sistemi dinamici discreti 1-dimensionale non lineari . . .
. . . 34
14 La nostra attivita` di laboratorio 3514.1 Lequazione
logistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Elenco delle tabelle
1 Comportamento asintotico del sistema discreto 1-dimensionalexn
= axn1 + b, e condizione iniziale x0, in dipendenza deiparametri
reali a e b. Nel caso in cui una casella e` vuota siintende nessuna
ulteriore condizione. . . . . . . . . . . . . . 33
Elenco delle figure
1 Loscillatore armonico semplice. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 82 Esempio di rappresentazione del sistema dinamico
1-dimensionale
x = sinx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 133 Ritratto di fase per il sistema dinamico nonlineare di
Fig. 2. . . . . . 154 Carica di un condensatore e grafico per lo
studio del processo. . . . . 185 Quantita` di carica Q presente
sulle armature di un condensatore in
funzione del tempo t durante il processo di carica. . . . . . .
. . . . 196 Metodo di Eulero: soluzione esatta ed approssimata a
confronto. . . 237 Campo delle pendenze per il modello logistico
continuo (a sinistra) e
soluzione ottenuta col metodo di Runge-Kutta con passo h = t
=0.1, per diverse condizioni iniziali (a destra). . . . . . . . . .
. . . . 25
8 Ritratto di fase per loscillatore armonico semplice. . . . . .
. . . . 269 Fasi del moto delloscillatore armonico semplice. . . .
. . . . . . . . 2710 Interpretazione geometrica per il campo di
fase delloscillatore armonico. 2811 Un esempio di catastrofe nella
percezione visiva. . . . . . . . . . . . 2912 Il diagramma a
ragnatela per la funzione F = x1/2. . . . . . . . . 3113 Un esempio
di soluzione aperiodica dellequazione logistica per a = 3.9. 3714
Il diagramma di biforcazione dellequazione logistica per valori
del
parametro di controllo 3.4 < a < 4. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 3715 Il diagramma di biforcazione dellequazione
logistica per valori del
parametro di controllo 3.847 < a < 3.857. . . . . . . . .
. . . . . . 38
3
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1 Perche proprio i sistemi dinamici conti-
nui?
Perche sono quelli che piu` frequentemente ricorrono nella
modellizzazione ma-tematica della realta`, non solo in fisica, ma
anche in altre scienze, come la di-namica delle popolazioni, lo
studio dellinsorgenza e diffusione delle malattiee in molte
applicazioni tecnologiche.
Al giorno doggi la dinamica e` un argomento interdisciplinare,
anche seessa era originariamente una parte della fisica, e come
tale viene studiata nelterzo e quarto anno del Liceo
Scientifico.
La dinamica si occupa di tutto cio` che e` soggetto ad un
cambiamento,tratta sistemi che evolvono nel tempo. Per stabilire se
il sistema in questionesi dispone allequilibrio, ripete il proprio
comportamento in cicli o fa qualcosadi piu` complicato, e`
necessaria la dinamica.
Esistono due tipi di sistemi dinamici: quelli la cui evoluzione
e` descritta dauna variabile tempo continua, e quelli per cui il
cambiamento avviene in tappe,divise luna dallaltra da intervalli di
tempo finiti. I primi sono rappresentatida equazioni differenziali
(equazioni che hanno come incognite funzioni e/oderivate di
funzioni), i secondi vengono studiati attraverso lazione
ripetuta(detta iterazione) di mappe, dette anche equazioni alle
differenze.
Nella prima parte dei laboratori matematici sui sistemi dinamici
ci siamooccupati del caso discreto, sviluppando e facendo
esperienza di molte idee estrumenti matematici interessanti, come
lalgebra lineare, lutilizzo dei vet-tori e delle matrici. E` stato
inoltre possibile parlare di questioni cruciali ecomplicate, come
quella di comportamento caotico.
In effetti, fu proprio un matematico, Poincare, che per primo,
con un ap-proccio geometrico, intu` la possibilita` dellinsorgere
del caos, cioe` il fatto cheun sistema, in particolari condizioni,
dimostri un comportamento aperiodicodipendente in modo sensibile
dalle condizioni iniziali, e tale da rendere per-tanto impossibile
qualsiasi previsione a lungo termine. Lidea di caos rimasein
secondo piano per tutta la prima meta` del 900, fino a che, con
lavven-to dei primi calcolatori, gia` dagli anni 50 fu possibile
fare esperienze conequazioni che prima di allora erano
inaffrontabili. Negli anni 60 gli studidi Lorenz [1] sui moti
convettivi nellatmosfera portarono allormai ben notaconoscenza
sulla impossibilita` di predire il tempo atmosferico al di la` di
pochigiorni. Lorenz fu il primo a rendersi conto che se le
soluzioni caotiche dellesue equazioni venivano rappresentate in 3
dimensioni, esse si disponevano suun insieme di punti a forma di
farfalla; il caos aveva quindi una sua strutturageometrica, che
oggi chiameremmo frattale. Anche persone poco appassio-nate di
matematica risultano attratte dalla infinita regolarita` di schemi
che
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appare nei frattali. In realta`, caos e frattali1 sono una parte
di un argomentopiu` esteso noto oggi col nome di dinamica. Gli anni
del boom per lo studiodel caos furono gli anni 70 dello scorso
secolo. Nacquero teorie sullinsorge-re della turbolenza nei fluidi
(Ruelle e Takens); si scoprirono esempi di caosnelle mappe iterate
che nascono nella dinamica delle popolazioni in biologia[3] (May),
poi un fisico (Feigenbaum) scopr` che esistono certe leggi
universaliche governano la transizione di un sistema da un
comportamento regolare aduno caotico. Successivamente, Mandelbrot
codifico` e rese popolari i frattali;con essi produsse bellissimi
esempi di grafica computerizzata [5] e dimostro`come potessero
venire impiegati in una grande varieta` di situazioni.
I sistemi dinamici quindi rappresentano un terreno ideale nel
quale anchenoi possiamo fare esperienze di matematica, aiutati
anche dal calcolatore e daopportuni softwares orientati alla
matematica2.
In questa dispensa desideriamo richiamarti alla memoria alcune
conoscenzeche hai certamente acquisito nel corso dei tuoi studi.
Cercheremo tuttavia diriordinarlee di ripensarle in unaltra ottica.
Dove possibile, cercheremo (anchecol tuo aiuto) di completarli coi
riferimenti ai tuoi testi in adozione e di fornirtiuna bibliografia
essenziale.
2 Che cose` un sistema dinamico?
Come possiamo definire un sistema dinamico? Un modo potrebbe
essere quellodi affermare che un sistema dinamico e` una funzione
che ha un certo modo dicomportarsi, una sua condotta3. Potremmo
anche affermare che un sistemadinamico sa sempre quello che sta per
fare. Direte che le definizioni datefinora sono vaghe: in effetti
cio` e` dovuto al fatto che, almeno in linea diprincipio, qualsiasi
cosa evolva puo` essere pensata come un sistema dinamico.Cercheremo
allora di illustrare degli esempi che vi possono essere
familiari,attirando la vostra attenzione sugli elementi
fondamentali che costituisconoun sistema dinamico. Anticipiamo che
sono essenzialmente due:
a): Un vettore di stato che descrive completamente lo stato del
sistema.
b): Una funzione, cioe` una legge, che ci dica, dato lo stato
del sistema inun certo istante, quale sara` lo stato del sistema
negli istanti di temposuccessivi.
1Il prof. Giancarlo Benettin dellUniversita` di Padova terra` su
questo argomento una conferenzaper la Settimana Scientifica al
Liceo Paleocapa, gioved` 26 marzo 2009.
2Utilizzeremo due software di libero dominio, facenti parte del
mondo Open Source, Maxima eGeogebra!
3In lingua inglese diremmo una funzione con una certa
attitude.
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3 Sistema dinamici discreti: il conto in ban-
ca
Riprendiamo alcune cose che abbiamo gia` esaminato lo scorso
anno, giustoper rinfrescarci le idee! Consideriamo il caso del
vostro conto in banca. Se cipensate, lo stato di questo sistema
dinamico e` determinato da un solo numero,il valore del saldo, oggi
espresso in Euro. Diremo allora che il vettore di statoe`
1-dimensionale, od anche, che e` un vettore ad una sola componente.
Perconoscere lo stato del vostro conto in banca e` poi necessario
conoscere la regolacon cui tale stato cambia col tempo. Supponiamo
che la capitalizzazione degliinteressi del vostro conto avvenga a
scadenza annuale4. E` chiaro che perquesto sistema il tempo deve
essere considerato una variabile discreta, cioe`una successione di
istanti, separati luno dallaltro da un intervallo di un anno.Noto
linteresse annuo del nostro conto, diciamolo r%, e` facile scrivere
comela funzione di evoluzione agisce sullo stato. Indicando con xk
x(k), k N,il saldo allistante k, abbiamo subito il saldo allistante
successivo:
xk+1 =(1 +
r
100
)xk . (1)
Quindi, per completare la descrizione del sistema, oltre
allequazione (1),serve la condizione iniziale del conto, quella
relativa allistante t = 0, cheindicheremo con:
x0 = D , (2)
dove avrete capito che D e` il vostro deposito iniziale.In
questo semplice esempio e` facile calcolare lammontare del saldo
alla
fine delln-esimo anno. Sara` sufficiente iterare (cioe`
ripetere) lazione dellafunzione di evoluzione (1) a partire dallo
stato inziale (2); si ottiene:
x1 =(1 +
r
100
)D ;
x2 =(1 +
r
100
)x1 =
(1 +
r
100
)2D ;
x3 =(1 +
r
100
)x2 =
(1 +
r
100
)3D ;
. . . . . .
xn =(1 +
r
100
)nD ; (3)
Avrete riconosciuto che in questo modo i saldi xi sono una
successione defi-nita per ricorrenza, e che lultima espressione
ottenuta fornisce la soluzionedellequazione di evoluzione del
nostro conto in banca.
4Nel nostro esempio, per semplicita` non teniamo conto delle
spese, del bancomat, delle carte dicredito, delle imposte ecc.
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4 Sistema dinamici continui: esempi dalla
fisica
I conti in banca sono esempi tipici di sistemi dinamici in cui
il tempo procede apassi, in modo discreto. Tuttavia, molti sistemi
dinamici sono descritti megliosupponendo che il tempo trascorra in
modo continuo. E` il caso dei sistemidella fisica classica, tra
cui, una palla lanciata verticalmente verso lalto eloscillatore
armonico semplice.
4.1 Una palla lanciata verticalmente verso lalto
Il suo stato ad un certo istante e` in questo caso descritto da
una coppia di nu-meri reali, che costituiscono un vettore
2-dimensionale. Si tratta dellaltezzah (ad esempio) dal suolo e
della componente v della velocita` della palla in di-rezione
verticale ascendente, che quindi assumiamo come positiva se
loggettosta allontanandosi da terra.
Supponendo che voi conosciate da quale altezza h(0) lanciate la
palla econ quale velocita` iniziale v(0), ora e` evidente che non
ha senso chiedersicosa avviene allistante successivo v(1), poiche
la variabile tempo qui scorrein modo continuo. La fisica allora ci
viene in aiuto, definendo i concetti divelocita` istantanea v(t) e
accelerazione istantanea a(t).
La prima grandezza e` definita come
v(t) = limt0
ht
= h(t) ,
la seconda in modo matematicamente analogo:
a(t) = limt0
vt
= v(t) .
Dalla seconda legge di Newton possiamo scrivere, per le
componenti dellaforza risultante e dellaccelerazione lungo lasse
verticale ascendente:
F = P = ma(t) ,
dove la componente della forza peso P puo` essere scritta come P
= mg, doveg = 9, 8 ms2 e` il ben noto valore per laccelerazione di
gravita`.
La legge che regola il sistema dinamico e` pertanto:{h(t) =
v(t)v(t) = g
{h(0) = h0v(0) = v0
. (4)
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Sempre dalla Fisica, conosciamo la soluzione dellequazione di
evoluzione, datada: {
h(t) = h0 + v0t 12gt2 ,
v(t) = v0 gt .(5)
Esercizio 1: Rappresentate nel piano cartesiano il luogo di
punti descrittodalle equazioni parametriche (5) considerando x1 = h
per lasse delle ascissee x2 = v per lasse delle ordinate. Di che
curva si tratta?
4.2 Loscillatore armonico semplice
Vogliamo ora ricordare uno dei sistemi dinamici piu` importanti
per la fisi-ca5: si tratta delloscillatore armonico semplice.
Consideriamo una massa m,appoggiata su un piano orizzontale, privo
di attrito, ed attaccata ad una pa-rete da una molla ideale, di
costante elastica k. Supponiamo che quando lacoordinata orizzontale
x e` nulla, la molla risulti a riposo.
Figura 1: Loscillatore armonico semplice.
Se il blocco viene spostato verso destra rispetto alla sua
posizione di equi-librio (x > 0), la molla risultando allungata,
lo richiama verso sinistra. Vice-versa, se il blocco e` posto a
sinistra della sua posizione di equilibrio (x < 0),allora la
molla e` compressa e spinge il blocco verso destra. In entrambi i
casipossiamo scrivere la componente lungo lasse x della forza
dovuta alla molla:Fx = kx. Dalla seconda legge della dinamica,
possiamo ricavare la compo-nente dellaccelerazione lungo x: ax =
k
mx. Indicando con v = ax il ritmo
di variazione della velocita` e con x = v la velocita`,
otteniamo lanalogo delle
equazioni di evoluzione ottenute per la palla nel parag. 4.1;
posto 2 = km
5Dal corso di fisica avrete visto come gli stessi atomi possono,
in molti casi, essere schematizzaticome degli oscillatori armonici
lineari. Va anche ricordato che loscillatore armonico e` uno
deipochi sistemi la cui descrizione quantistica ammette una
soluzione analitica esatta, che non fa usodi metodi
perturbativi.
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si ha, infatti: {x(t) = v(t)v(t) = 2x(t)
{x(0) = x0v(0) = v0
, (6)
dove =2piT
= 2pi e` la pulsazione del moto armonico, essendo T il periodoe
la frequenza.
Anche in questo caso sono note le soluzioni di queste
equazioni:{x(t) = x0 cost+
v0sint ,
v(t) = v0 cost x0 sint .(7)
5 Altri esempi dalla fisica: sistemi dinami-
ci continui lineari e non lineari
Considerate una particella di massa m, connessa da una molla
ideale di lun-ghezza trascurabile e costante elastica k allorigine
di un sistema di riferimen-to, e in moto lungo lasse x, soggetta ad
una forza di attrito viscoso linear-mente proporzionale alla sua
velocita`. E` facile rendersi conto che la secondalegge della
dinamica ~F = m~a, una volta proiettata lungo lasse x diventa:vx kx
= max, dove e` un coefficiente che, nel Sistema internazionale
diunita` di misura e` espresso in kg/s. Se indichiamo con x e x
rispettivamentele componenti della velocita` istantanea vx e
dellaccelerazione istantanea ax,otteniamo:
mx+ x+ kx = 0 ; (8)
tale equazione si dice differenziale ordinaria del secondo
ordine, poiche contie-
ne come incognite la funzione x(t) e le sue derivate x(t)
=dx
dte x(t) =
d2x
dt2,
tutte dipendenti dal tempo t, pensato come variabile
continua.Pensate ora ad un pendolo semplice; si tratta di una
particella di massa
m, connessa da un filo inestensibile di massa trascurabile e
lungo L ad unpunto O, ed in grado di muoversi in un piano
verticale, soggetta alla forzapeso ~P = m~g ed alla tensione ~T
della fune. Proiettando la seconda legge delladinamica lungo un
versore tangente alla traiettoria della particella stessa,indicato
con x langolo che il filo forma con la verticale, si ottiene
lequazione:mg sinx = ma . Ricordando che a = Lx si ricava
lequazione:
x+g
Lsinx = 0 . (9)
Esercizio 2: Lequazione di evoluzione per il pendolo semplice
puo` essereanche determinata usando la seconda equazione cardinale
della dinamica, che
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collega la variazione istantanea del momento angolare di una
particella al mo-mento risultante delle forze agenti sulla
particella stessa. Sapresti ottenerla?Magari ti e` utile ricordare
che il modulo del momento angolare di una par-ticella in moto
rotatorio puo` essere scritto come L = I, essendo I = ml2 ilmomento
di inerzia della particella stessa.
Qual e` la differenza tra le equazioni (8) e (9)? Per coglierla
e` utile rappre-sentarle geometricamente grazie ad un semplice
espediente: introduciamo duenuove funzioni x1 = x(t) e x2 = x(t);
ricordando6 che x2 = x(t), otteniamo laseguente forma equivalente
per loscillatore armonico smorzato:{
x1 = x2
x2 = mx2 k
mx1
, (10)
per il pendolo semplice invece si ha:{x1 = x2x2 = g
Lsinx1
. (11)
Il sistema (10) e` detto lineare, poiche tutte le equazioni di
destra appaionoalla potenza 1, mentre il sistema (11) e` detto
nonlineare. Normalmente, ilpendolo semplice viene affrontato al
Liceo introducendo lapprossimazione di
piccolo angolo x. Dal limite fondamentale7 limx0sinxx
= 1 si deduce che,
per piccoli angoli x (espressi in radianti) e` lecito sostituire
sinx con x edottenere lequazione del pendolo linearizzata. Il
difetto di tale trattazione e` chedescrive le piccole oscillazioni
del pendolo attorno alla posizione di equilibrio.Non e` tuttavia in
grado di fornire una trattazione di moti nei quali la massam
raggiunga la sommita` della sua traiettoria. In realta` il pendolo
semplicepuo` essere risolto analiticamente in modo esatto (lo
vedrete allUniversita`).Tuttavia deve esserci una via piu` semplice
... dopo tutto e` facile descrivere ilmoto di un pendolo: a bassa
energia si hanno oscillazioni avanti ed indietro,mentre ad alta
energia possono esserci volteggi per il punto piu` alto.
6Costruendo il grafico Gv della velocita` in funzione del tempo,
e` facile rendersi conto che lacce-lerazione e` costruita, o
meglio, derivata da tale grafico. Infatti, laccelerazione ad un
certo istantet coincide con la pendenza della retta tangente a Gv
nel punto di coordinate (t, v(t)).
7Nei vostri studi di geometria e trigonometria probabilmente
avrete riflettuto sul fatto che, inuna circonferenza di raggio
unitario, se un angolo al centro x viene misurato in radianti,
allora essofornisce anche la lunghezza dellarco corrispondente.
Tale valore si confonde con la misura dellacorda intercettata da x
se langolo al centro e` molto piccolo.
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5.1 Il diagramma nello spazio delle fasi
Lidea base e` abbastanza semplice: supponiamo di conoscere una
soluzionedel sistema pendolo per una particolare condizione
iniziale8. Tale soluzionesarebbe costituita da una coppia di
funzioni x1(t) e x2(t) che rappresentanola posizione e la velocita`
del pendolo ad ogni istante successivo. Se rappre-sentiamo in uno
spazio astratto, detto Spazio delle fasi tali coppie (x1, x2)
divalori dipendenti dal parametro tempo t, otterremo una
particolare traiettorianello spazio delle fasi. E` facile anche
rendersi conto che tale spazio e` comple-tamente riempito di
traiettorie, poiche ciascun punto puo` rappresentare unacondizione
iniziale e quindi linizio di un moto possibile.
In realta` limportanza dellutilizzo dello spazio delle fasi e`
che vedremocome, dato il sistema, sia possibile disegnare le
traiettorie e da queste trarreinformazioni sulla natura della
soluzione dellevoluzione.
5.2 Dimensione e linearita`; dipendenza esplicita daltempo.
Osserviamo infine che gli esempi (10) e (11), il primo lineare e
il secondonon lineare, sono entrambi 2-dimensionali, in quanto lo
spazio delle fasi e`descritto da coppie di numeri reali (posizione
e velocita` della particella). Unultimo esempio particolarmente
istruttivo e` quella delloscillatore armonicoforzato; si tratta di
una situazione simile a (8), in cui e` presente una forzache,
dallesterno, stimola il sistema; nel caso periodico si ha:
mx+ x+ kx = F cost , (12)
dove = 2piext e` la pulsazione esterna forzante.Anche in questo
caso, si puo` ottenere una descrizione nello spazio delle fasi,
al prezzo dellintroduzione di una nuova funzione x3 = t. Il
corrispondentesistema (detto non autonomo) diventa:
x1 = x2
x2 = mx2 k
mx1 +
F
mx3
x3 =
, (13)
In questo modo la traiettoria nello spazio delle fasi (questa
volta 3dimensio-nale), risulterebbe non dipendere dal tempo. Ora le
condizioni iniziali sonotre numeri x, x e t, necessari a predire il
(lo stato) futuro del sistema dal (lostato) presente
(iniziale).
8Per condizione iniziale intendiamo lo stato iniziale
rappresentato dal vettore 2-dimensionale(x1(0), x2(0)).
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Ma a cosa e` dovuto il vantaggio dei sistemi lineari su quelli
non lineari? Isistemi lineari possono essere divisi in parti;
ciascuna parte puo` essere risoltaseparatamente e le soluzioni
possono essere combinate per avere la rispostafinale. Tuttavia,
quando parti di un sistema interferiscono o cooperano ocompetono9,
nascono interazioni non lineari. In Fisica la non linearita` e`
vitalenel funzionamento di un laser, nella formazione della
turbolenza in un fluido,o nelle superconduttivita` in una giunzione
Josephson.
Durante il Liceo tu hai studiato o studierai, per la maggior
parte, siste-mi lineari. In ottica ondulatoria ed in
elettromagnetismo sentirai parlare diprincipio di sovrapposizione
degli effetti. Il fondamento matematico di taleprincipio risiede
nella linearita` dei sistemi dinamici che descrivono i fenome-ni
elettromagnetici. Vedremo che sistemi lineari in n = 1 dimensioni
mani-festano crescita o decadimento o equilibrio. Sono necessari
sistemi lineari inalmeno n = 2 dimensioni per avere oscillazioni,
come vedremo nel parag. 11.
Anticipiamo anche che, nel caso discreto di mappe iterate,
vedremo purecasi non lineari, che evidenzieranno fenomeni ancor
piu` interessanti.
6 Sistemi dinamici continui 1-dimensionali
Consideriamo il sistema dinamico descritto dalla seguente
equazione differen-ziale:
x = f(x) , (14)
in cui x(t) e` una funzione a valori reali del tempo t, e f(x)
e` una funzione liscia(i.e. continua e derivabile quanto si vuole)
a valori reali di x. Tale sistemadinamico viene detto
1-dimensionale. Per evitare confusioni, si ricordi cheper noi la
parola sistema verra` intesa sempre nel senso di sistema
dinamico.Pensiamo inoltre che il nostro sistema sia autonomo, cioe`
che la funzione f(x)non dipenda esplicitamente dal tempo.
6.1 Lapproccio geometrico: interpretazione di une-quazione
differenziale come campo vettoriale
Cerchiamo ora di condurre per mano il lettore verso
uninterpretazione geome-trica dellequazione (14); allinizio forse
qualcuno avra` limpressione si trattidi una costruzione
artificiosa. In realta`, siamo convinti che se il nostro let-tore
avra` un po di pazienza, dopo poco si rendera` conto dei vantaggi
di talecostruzione. Questo e` uno di quei casi in cui un disegno e`
molto piu` utiledi una formula per capire come vanno le cose (nel
nostro caso, quali siano
9Cio` avviene anche in dinamica delle popolazioni, quando due
specie, di tipo preda-predatorevivono in uno stesso territorio;
abbiamo studiato tale situazione nel nostro laboratorio.
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le caratteristiche della soluzione del nostro sistema).
Illustriamo questo fattocon un semplice esempio: consideriamo come
funzione f(x) la funzione nonlineare sinx. Studiamo cioe` il
sistema
x = sinx . (15)
In effetti il nostro esempio e` motivato dal fatto che si tratta
di uno dei pochicasi non lineari che possono essere risolti
direttamente; la soluzione x(t) checorrisponde alla condizione
iniziale x = x0 per t = 0 e` abbastanza complicata:
t = lncscx0 + cotx0cscx+ cotx
; (16)certamente, tale soluzione e` di interpretazione non
immediata. Labbiamoscritta non per far spaventare il nostro
lettore, ma per cercare di convincerloche forse vale la pena che
continui a leggere le nostre note e vedere che ce`una via piu`
conveniente (che si applica anche nei casi in cui non e`
affattoimmediato o addirittura impossibile ricavare lanalogo di
(16)).
Pensiamo allora a t come al tempo, ad x come la posizione di una
im-maginaria particella in moto lungo lasse reale omonimo
allistante t, ad xcome la velocita` di tale particella al medesimo
istante. In questo caso diremoche lequazione (15) fornisce un campo
vettoriale sulla retta: esso determinainfatti il vettore velocita`
x in ogni punto x. Per avere unidea del campo vet-toriale, possiamo
allora fare il grafico di x in funzione di x, e tracciare
dellefrecce sullasse delle x per rappresentare il vettore velocita`
in ciascun punto x.Naturalmente, le frecce punteranno verso destra
quando x > 0 e verso sinistraquando x < 0.
Figura 2: Esempio di rappresentazione del sistema dinamico
1-dimensionale x = sinx.
Lo stesso campo vettoriale puo` essere introdotto anche con
unanalogiache ci viene dalla fisica: pensate ad un fluido ideale in
regime stazionario, chescorre lungo lasse x con una velocita` che
varia da punto a punto, secondo lalegge (15). Nei punti in cui la
velocita` si annulla, non ce` flusso; tali punti sonodetti allora
punti fissi per il campo vettoriale10. E` facile rendersi conto
che
10Abbiamo gia` incontrato e la riprenderemo, nel caso di sistema
dinamico discreto, la definizionedi punto fisso per unequazione di
evoluzione nel parag. 13.2.
13
-
nel nostro caso si hanno due tipi di punti fissi: i punti fissi
stabili (detti ancheattrattori o pozzi), e i punti fissi instabili
(detti anche repulsori o sorgenti); ladifferenza diviene manifesta
guardando al verso delle frecce nella figura 2.
Adesso che abbiamo a disposizione questa visione geometrica o
fisica delsistema, possiamo capire la natura delle soluzioni di
(15). Bastera` pensare allaposizione iniziale x0 di una particella
di fluido ed immaginare come essa siatrascinata dalla corrente
descritta dal nostro campo vettoriale. Se alliniziola nostra
particella ha velocita` positiva, cioe` se si ha per t = 0 la
condizionex > 0, allora si sposta a destra e per tempi lunghi
(diremo asintoticamente)si avvicina al piu` vicino punto fisso
stabile. Allo stesso modo, se a t = 0 siha x < 0, la particella
si avvicina al piu` vicino punto fisso stabile alla suasinistra. Se
invece x = 0, allora la particella resta nella posizione x. La
formaqualitativa delle soluzioni del sistema dinamico dato,
corrispondente a diversecondizioni iniziali e` riassunta nella
figura 3.
Tale ragionamento puo` naturalmente essere esteso a qualsiasi
sistema delprimo ordine con campo delle velocita` f(x). Il fluido
immaginario e` dettofluido di fase e lasse delle x, lo spazio delle
fasi. Il flusso va verso destrase f(x) > 0, verso sinistra se
f(x) < 0. Per trovare la soluzione di (14) apartire dalla
condizione iniziale x0, basta porre una particella immaginaria(che
diremo punto di fase) in x0 e guardare come viene trasportata
dallacorrente. Al passare del tempo, il punto fase si muove lungo
lasse x secondola funzione x(t), che diremo traiettoria con punto
base x0.
Una figura come la (3), che mostra tutte le traiettorie
qualitativamentedifferenti del sistema, verra` detta ritratto di
fase. Laspetto del ritratto di fasee` controllato dai punti fissi
del campo vettoriale x, definiti dalla condizionef(x) = 0. In
termini della equazione differenziale di partenza, tali punti
fissirappresentano soluzioni allequilibrio, poiche se allinizio la
particella si trovain x = x, allora restera` sempre in tale
posizione: x(t) = x , t > 0.
Un punto di equilibrio si dice stabile se perturbazioni
sufficientemente pic-cole a partire dallo stesso tendono a
smorzarsi nel tempo. Viceversa, gliequilibri instabili sono tali
per cui, col passare del tempo, tali perturbazionidivengono sempre
maggiori. Notiamo che la definizione appena data ha unanatura
locale, poiche si riferisce a perturbazioni abbastanza piccole. Se
le per-turbazioni a partire da un punto di equilibrio tendono
comunque a smorzarsi,indipendentemente da quanto grandi siano,
allora il punto di equilibrio si dira`globalmente stabile.
7 Analisi della stabilita`
Dobbiamo ammettere che lanalisi geometrica che abbiamo appena
cercato diesporre fornisce solo un buon quadro qualitativo
dellandamento di un sistema
14
-
Figura 3: Ritratto di fase per il sistema dinamico nonlineare di
Fig. 2.
2 4 t
-2
-
3 2
-
-
2
2
3 2
2 x
dinamico. Non ci dice ad esempio, listante in cui la velocita`
e` maggiore,oppure la scala di tempo caratteristica in cui avviene
un fenomeno di crescitao di calo, come quello descritto nel
ritratto di fase della Fig. 3.
Tuttavia, con semplici ragionamenti che fanno uso delle
derivate, e` possi-bile capire come vanno le cose11.
Consideriamo un punto fisso x per il campo vettoriale f(x),
definito, comeabbiamo visto, dalla condizione f(x) = 0. Ci
chiediamo se e` possibile capiredallandamento della Fig. 2 se tale
punto fisso e` stabile oppure instabile peril sistema. Seguendo
lanalogia idrodinamica che abbiamo spiegato, forse visiete accorti
che nelle vicinanze di un pozzo (punto fisso stabile, pallino
neroin figura) il grafico e` decrescente, mentre vicino ad una
sorgente (punto fissoinstabile, pallino bianco in figura) il
grafico e` crescente. Da cio` segue subitoche in tali punti fissi,
la derivata prima di f(x) e` rispettivamente negativa
opositiva12.
11Per i ragazzi del Quarto anno: non spaventatevi! Siamo sicuri
che anche voi sarete in gradodi capire le idee che vi stiamo
proponendo.
12Sempre per i ragazzi di Quarta: la derivata prima di una
funzione reale di variabile reale f(x),calcolata in un punto x del
suo dominio, e` la pendenza della retta tangente al grafico della
funzione
15
-
Questa informazione puo` essere utilizzata per studiare il
comportamentodella soluzione dellequazione (14) nelle vicinanze di
un suo punto fisso x.Indichiamo con z = xx una piccola
perturbazione attorno a x; se deriviamorispetto al tempo otteniamo
subito13
z =dz
dt=d(x x)
dt= x .
Allora lequazione (14) puo` essere scritta come:
z = x = f(x) = f(x + z) . (17)
A questo punto facciamo unapprossimazione, che sara` tanto piu`
buona quantostiamo vicini al punto fisso x o, equivalentemente,
tanto piu` piccolo rimanez. Sostituiamo la nostra funzione f(x) con
una nuova funzione g(x) che abbiala proprieta` di avere per grafico
la retta tangente al grafico di f(x) nel puntoP . Tale funzione e`
proprio:
g(x) = f(x) + f (x)(x x) . (18)
Riesprimendo lequazione sopra in termini della variabile z che
rappresenta laperturbazione, otteniamo allora14:
g(z) = f(x) + f (x)z = f (x)z , (19)
dove lultima uguaglianza deriva dal fatto che x e` punto fisso
per il sistema.Finalmente, siamo in grado di riscrivere lequazione
(14) sostituendo f con g:
z = f (x)z . (20)
Abbiamo ottenuto unequazione lineare; vedremo nel paragrafo
successivoesempi di tali sistemi dinamici lineari, alcuni dei quali
siamo sicuri avetestudiato o studierete qui al Liceo.
8 Sistemi dinamici lineari 1-dimensionali
Durante lo studio della meccanica i ragazzi incontrano, gia` a
partire dal Ter-zo anno, il caso del moto di caduta di un grave
soggetto alla forza peso. Seil modello viene solo di poco
complicato per tener conto dellazione dellat-mosfera, normalmente
si introduce una forza di attrito viscoso, direttamente
nel punto P (x, f(x)). In un sistema monometrico, la pendenza e`
la tangente trigonometricadellangolo formato tra tale retta
tangente e il semiasse positivo delle x.
13Infatti la derivata della funzione costante x e` nulla.14Per i
pignoli: abbiamo chiamato la funzione della nuova variabile con un
nome diverso, g.
16
-
proporzionale alla velocita` delloggetto durante la caduta. In
quel caso, dalla
seconda legge della dinamica, ~F = m~a = md~v
dtproiettata lungo un asse x,
diretto come la verticale discendente, si ottiene:
mg v = mv , (21)dove, come gia` ricordato, g = 9, 8 ms2 e`
laccelerazione di gravita` e e`una costante, dipendente dal mezzo
(aria) in cui si muove il corpo e dalla suaforma15. Lequazione (21)
puo` facilmente essere posta nella forma:
v = mv + g . (22)
Vi invitiamo ora a verificare che il sistema ha un unico punto
fisso stabilev =
mg
. Se preferite esprimere il tutto in termini di perturbazioni
rispetto
a tale punto fisso, ponendo z = v v ottenete lequazione
(lanaloga della(20)):
z = z, =
m
; (23)
dove abbiamo introdotto la costante di tempo che descrive la
frenata del motodel grave dovuta allatmosfera. La soluzione
dellequazione corrispondente allacondizione iniziale di grave
abbandonato con velocita` iniziale nulla ci e` notadalla
fisica16:
v(t) = v
1 e t . (24)
A questo punto invitiamo i lettori a ricercare, nel ritratto di
fase del si-stema non lineare mostrato in figura 3, un andamento
simile a questo; sara`interessante confrontare la condizione
iniziale di quel caso con quella di velo-cita` nulla, in
riferimento alla posizione del piu` vicino punto fisso stabile
perla funzione sinx.
8.1 Carica di un condensatore
Proseguiamo con un esempio che tutti i ragazzi dovranno studiare
attenta-mente al quinto anno: il processo di carica di un
condensatore. Vi diciamoche un condensatore e` un sistema fisico in
cui si realizza il fenomeno dellin-duzione elettrostatica
completa17 ; serve ad immagazzinare in entrambe le
15Tale modello potrebbe essere utile a comprendere il
funzionamento di un paracadute!16In Quinta potrete facilmente
verificare che si tratta della soluzione giusta. Va comunque
sottolineato che per comprendere il messaggio che vorremmo dare,
questi sono solo dettagli tecnici.17Si tratta di una coppia di
conduttori affacciati carichi di una quantita` di carica
elettrostatica
uguale in modulo e di segno opposto.
17
-
armature una certa quantita` di carica elettrica, il cui modulo
indichiamo conQ. Quando il condensatore e` carico, ai suoi capi si
realizza una differenzadi potenziale18, che indichiamo con V . La
capacita` C di un condensatore e`
data dal rapporto costante C =Q
V. Per caricare un condensatore, esso viene
normalmente collegato in serie ad una resistenza e ad una
batteria, in gradodi fornire un d.d.p. costante V0, detta forza
elettromotrice (f.e.m.). Il circuitoe` rappresentato in figura 4,
assieme con il grafico che descrive lanalisi geome-trica del
sistema dinamico. Notate che il processo di carica avviene
chiudendolinterruttore.
Figura 4: Carica di un condensatore e grafico per lo studio del
processo.
Q .
R
C V0 Q
Scrivendo lequazione per lunica maglia (cioe` percorso chiuso)
di cui e`costituito il circuito otteniamo:
V0 +RI + QC
= 0 . (25)
Poiche durante la carica del condensatore, ad un certo istante
t, la corrente chefluisce nel circuito e` uguale alla variazione
istantanea della carica accumulatasulle armature, vale la
relazione
I(t) = limtt
Q(t)Q(t)t t = Q(t) , (26)
e` facile ottenere lequazione che descrive la dinamica del
sistema, in terminidella funzione Q(t):
Q = 1RC
Q+V0R f(Q) . (27)
18Lunita` di misura del potenziale e` il Volt, in onore di
Alessandro Volta. Sicuramente avreteusato tale termine tante volte,
allacquisto di una batteria per la vostra radio, macchina
fotograficaecc. La forza elettromotrice di una batteria, cioe` la
capacita` di spingere gli elettroni di conduzionedei resistori che
chiudete su di essa, dipende da quanto piu` grande e` la d.d.p. tra
i suoi capi,espressa in Volt.
18
-
In Fig. 4 si vede a destra il diagramma che rappresenta
levoluzione temporaledel sistema.
Vi invitiamo ora a verificare che il sistema ha un unico punto
fisso stabileQ = CV0. Se preferite esprimere il tutto in termini di
perturbazioni rispettoa tale punto fisso, ponendo z = Q Q ottenete
lequazione (lanaloga della(20)):
z = z
= RC ; (28)
dove abbiamo introdotto quella che i fisici chiamano la costante
di tempo delcircuito. La soluzione dellequazione corrispondente
alla condizione iniziale dicarica nulla (Q0 = 0) ci e` nota dalla
fisica19:
Q(t) = Q
1 e t , (29)
ed e` rappresentata nella figura 5.
Figura 5: Quantita` di carica Q presente sulle armature di un
condensatore in funzione del tempot durante il processo di
carica.
t
Q
A questo punto invitiamo i lettori a ricercare, nel ritratto di
fase del sistemanon lineare mostrato in figura 3, un andamento
simile a quello della carica delcondensatore; sara` interessante
confrontare la condizione iniziale di quel casocon quella di
condensatore scarico, in riferimento alla posizione del piu`
vicinopunto fisso stabile per la funzione sinx.
8.2 Avete notato qualche ripetizione?
La stessa costruzione geometrica che abbiamo fatto per la caduta
di un gra-ve si applica alla carica del condensatore. Anche qui
trovate un diagramma
19In Quinta potrete facilmente verificare che si tratta della
soluzione giusta. Va comunquesottolineato che per comprendere il
messaggio che vorremmo dare, questi sono solo dettagli tecnici.
19
-
lineare, con un punto fisso stabile. Questo e` un esempio di
come, studian-do due fenomeni apparentemente molto distanti (uno di
meccanica, laltrodi elettromagnetismo), linterpretazione in termini
del linguaggio matematicodei sistemi dinamici (continui) consente
una migliore comprensione. Consen-te inoltre la scoperta di
inaspettate analogie. Usando la matematica comelinguaggio della
natura, stiamo facendo quello che avevano tentato i grandistudiosi
di biologia, nel costruire una classificazione degli esseri
viventi!20
8.3 La crescita di una popolazione
In effetti, non e` neppure necessario studiare la fisica per
trovare esempi disistemi dinamici lineari del primo ordine.
Partiamo da lontano: vi siete maichiesti perche il numero e di
Nepero e` cos` caro ai matematici? Provate ariprendere in mano il
vostro testo del quarto anno e cercate di vedere comee` introdotto
tale numero. I ragazzi di quinta sapranno gia` la definizione
piu`rigorosa di limite di una successione:
e = limn>
(1 +
1n
)n. (30)
Tutto molto bello... ma come e` possibile inventarsi una cosa
tanto strana ...Non diamo volutamente la risposta qui, perche
vorremmo che foste voi a farviunidea della questione. Tuttavia
richiamiamo un problema molto famoso inbiologia, che studieremo
anche nel nostro laboratorio. Si tratta del modellopiu` semplice
possibile per la crescita di una popolazione di organismi21, di
cuivogliamo studiare il numero N (che chiameremo popolazione come
funzionedel tempo t). Detto r il ritmo di crescita, il sistema
dinamico e` descrittodallequazione:
N(t) = rN(t) . (31)
Ormai avrete capito che questo modello predice una crescita
esponenziale.Dal punto di vista della biologia, si tratta di un
approccio assolutamente nonsoddisfacente, ma vedremo nel corso del
nostro laboratorio come si possonomigliorare le cose.
9 Ricerca degli zeri di una funzione
In questo paragrafo, intendiamo costruire un sistema dinamico
discreto a par-tire da un problema molto interessante, che si
affronta in qualche misura anche
20Sara` questa la chiave di lettura, il filo rosso delle
conferenze della XIX Settimana scientificapresso il nostro
Istituto.
21Diamo qui la versione a tempo continuo del problema; nelle
dispense abbiamo trattato laversione discreta lo scorso anno.
20
-
nei corsi tradizionali di Liceo scientifico. Si tratta della
soluzione numerica ap-prossimata di unequazione, col metodo delle
tangenti di Newton. Partiamo,come sempre, da un esempio: risolvere
nel campo reale lequazione
x cosx = 0 . (32)
In effetti, anche i ragazzi delle Quarte sono in grado di dare
uninterpretazionegrafica del problema. Tuttavia, per determinare le
coordinate (in particolarelascissa) dellintersezione tra il grafico
della prima bisettrice y = x e dellafunzione y = cosx, il metodo
grafico e` decisamente insoddisfacente.
Poniamo allora la questione in modo generale. Intendiamo cercare
gli zericontenuti in un intervallo I = [a, b] R di unequazione del
tipo:
g(x) = 0 , (33)
essendo g una funzione reale di variabile reale, che soddisfa
allipotesi g(x) 6=0, per tutti gli x I22.
Il metodo inizia cercando di indovinare una soluzione per lo
zero dellafunzione23: sia x0 il nostro primo tentativo per fornire
la soluzione dellequa-zione (33). Nel caso fossimo incredibilmente
fortunati, potremmo trovare24
g(x0) = 0 e il nostro lavoro sarebbe finito. In caso contrario,
possiamo usareuna ben precisa procedura per trovare una soluzione
migliore. Noto x0,abbiamo calcolato g(x0) 6= 0. Costruiamo la retta
tangente al grafico dellafunzione g nel punto P0 di coordinate (x0,
g(x0)). Troviamo lequazione:
y = g(x0) + g(x0) (x x0) ; (34)
notate che il coefficiente angolare della tangente e` uguale al
valore della deri-vata prima della funzione g, calcolata nel punto
di tangenza. Sappiamo beneche, sfortunatamente, la curva si
discosta dalla tangente (34), tuttavia pos-siamo trovare
lintersezione di tale retta con lasse delle x, di equazione y =
0.Ricaviamo allora il valore
x1 = x0 g(x0)g(x0)
. (35)
Se ora consideriamo questa una migliore scelta per la nostra
soluzione, pos-siamo ripetere la costruzione della retta tangente
al grafico di g, questa volta
22Sara` interessante studiare le condizioni a cui deve
soddisfare g affinche la soluzione dellequa-zione esista e sia
unica. Con riferimento ad I, considerate per ora che sia g(a)g(b)
< 0 e g(x) 6= 0,x I.
23In lingua inglese si dice un guess, una supposizione.24Ma cio`
e` decisamente improbabile!
21
-
nel punto P1 di coordinate (x1, g(x1)). La intersezione della
nuova tangentecon lasse delle x e` ora:
x2 = x1 g(x1)g(x1)
. (36)
Credo ora sia chiaro che in questo modo abbiamo costruito un
sistemadinamico discreto, con funzione di evoluzione X cos`
definita:
xn+1 = xn g(xn)g(xn)
xn +X(xn) . (37)
Osserviamo inoltre che x e` uno zero per g se e solo se x e` un
punto diequilibrio per il sistema dinamico discreto25 che abbiamo
costruito tramite ilmetodo delle tangenti di Newton.
10 Come ottenere un sistema dinamico di-
screto da uno continuo e viceversa
Ritorniamo ora al sistema dinamico continuo 1-dimensionale,
descritto dal-lequazione di evoluzione (14), e supponiamo che sia
noto lo stato inizialex(t0) = x0 . Se decidiamo di calcolare le sue
soluzioni in modo approssimato,possiamo sostituire alla variabile
continua indipendente t R una variabilediscreta n Z. Fissiamo ora
un incremento finito, abbastanza piccolo h = tdella variabile
tempo. Possiamo allora definire per ricorsione la successione
xn+1 xnh
= f(xn) , x0 = x0 . (38)
Ricordiamo ora che si puo` pensare che lequazione (14) si
riferisca al motostazionario di un fluido lungo lasse x, con
velocita` pari a f(x) nel punto x delcondotto. Immaginiamo ora di
viaggiare assieme ad un punto dello spazio dellefasi, trasportati
dalla corrente. Se inizialmente ci troviamo in x0, e la
velocita`locale e` f(x0), se ci muoviamo per un breve intervallo di
tempo h = t,ci sposteremo approssimativamente di una distanza
f(x0)t. Naturalmentestiamo facendo unapprossimazione, perche e`
ragionevole che, seppur di poco,la velocita` cambi durante lo
spostamento. Tuttavia, per h piccoli, la nostraapprossimazione e`
buona, per cui avremo per la nuova posizione raggiunta:
x(t0 + h) x1 = x0 + f(x0)h . (39)
A questo punto basta ripetere il ragionamento. Lapprossimazione
ci ha con-dotto ad una nuova posizione x1; la nostra nuova
velocita` e` qui f(x1); un
25Per la definizione di punto di equilibrio per un sistema
discreto, si veda il parag. 13.2.
22
-
nuovo spostamento in avanti, per un tempo nuovamente uguale ad h
ci fara`avanzare a x2 = x1 + f(x1)h, e cos` via. Abbiamo cos`
esposto il piu` sempli-ce schema di integrazione numerica
dellequazione differenziale (14). Esso e`noto anche col nome di
metodo di Eulero. Visualizziamo il metodo di Eulerorappresentando
in grafico x verso t.
Figura 6: Metodo di Eulero: soluzione esatta ed approssimata a
confronto.
Nella figura 6, la curva mostra la soluzione esatta x(t), i
pallini bianchii valori x(tn) = xn, calcolati ai tempi discreti tn
= t0 + nh, mentre i pal-lini neri sono i valori approssimati
ottenuti dal metodo di Eulero. Come sivede, in poco tempo
lapprossimazione peggiora, a meno che h sia molto pic-colo. In
effetti, esistono diverse versioni migliorate del metodo di Eulero;
cio`nonostante, il caso semplice che abbiamo esposto contiene gia`
le idee essen-ziali dellapprossimazione numerica. Le formule
normalmente utilizzate sonotuttavia piu` complicate. A titolo di
esempio, riportiamo solo la successioneottenuta col metodo di
RungeKutta; dopo aver definito le seguenti quantita`:
k1 = f(xn)h ,
k2 = f(xn +
12k1
)h ,
k3 = f(xn +
12k2
)h ,
k4 = f(xn +
12k3
)h ,
23
-
un buon valore (anche per h = t non troppo piccoli) di xn+1 e`
dato da:
xn+1 = xn +16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) . (40)
Concludiamo il paragrafo, riconsiderando la discretizzazione
(38) delle-quazione (14). Sia un qualche cambiamento
(sufficientemente regolare)della variabile tempo t, cioe` s = (t).
Il cambio di variabile trasforma la(14) in unequazione del tipo x =
f(x), con > 0. Se siamo solo interessatiai valori della x che
determinano la successione (38), non e` restrittivo alloraporre,
fin dallinizio, h = 1. A questo punto, se data la funzione reale
divariabile reale26 g(x) dalla quale abbiamo scritto la successione
di Newton(37), ci poniamo il problema di trovare il campo f(x) di
cui la successione e`la riduzione discreta, e` sufficiente
scegliere:
fNEW(x) = g(x)g(x)
. (41)
Da cio` si vede che x e` uno zero per g se e solo se x e` un
punto di equilibrioper il campo vettoriale fNEW.
10.1 Un esempio di soluzione numerica
Un esempio di sistema dinamico continuo 1-dimensionale che
esamineremonella sua variante discreta (la mappa logistica) e` dato
dallequazione nonlineare:
x = x(1 x) . (42)Per determinare numericamente la soluzione,
possiamo rappresentare il campodelle pendenze del sistema nel piano
(t, x).
In figura 7, a sinistra, si vede un modo nuovo di interpretare
lequazione
(42): per ogni punto (t, x), lequazione fornisce la
pendenzadx
dtdella soluzione
del moto che passa per quel punto; tali pendenze sono
rappresentate da piccolisegmenti. La determinazione della soluzione
si riduce allora al problema didisegnare la curva che e` localmente
sempre tangente al campo delle penden-ze. Nella figura 7 si vedono
alcune possibili soluzioni che partono da diversecondizioni
iniziali nel piano (t, x).
26Tali risultati si estendono al caso di funzioni g : Rm Rm, o a
campi vettoriali f in n > 1dimensioni, ma qui non li
tratteremo.
24
-
Figura 7: Campo delle pendenze per il modello logistico continuo
(a sinistra) e soluzione ottenutacol metodo di Runge-Kutta con
passo h = t = 0.1, per diverse condizioni iniziali (a destra).
2 4 6 8 10t0.5
11.5
2x
2 4 6 8 10t0.5
11.5
2x
11 Il metodo delle fasi per loscillatore ar-
monico lineare
11.1 Il ritratto di fase
Ritorniamo allesempio da noi introdotto nel paragrafo 4.2. In
quel caso, e`nota la forma analitica delle soluzioni; pertanto il
problema di determinareil ritratto di fase del sistema, si riduce a
rappresentare la curva parametricadescritta dalle (7) nel piano (x,
v). Lasciamo a voi come esercizio di ricavarelequazione cartesiana
per la curva; si trova:
2 x2 + v2 = 2 x02 + v02 , (43)
che riconoscerete essere unellisse, rappresentata in figura 8,
per v0 = 0 ex0 < 0.
Dalle figure 9 e 8 e` facile convincersi che quando x ha valore
minimo(negativo) x0 , corrispondente alla situazione iniziale di
massima compressionedella molla, la velocita` e` nulla. Nellistante
successivo, mentre il punto di faseviaggia lungo lorbita, la massa
m e` portata in punti dove x aumenta e lavelocita` v e` ora
positiva: la massa e` spinta verso la sua posizione di
equilibrio.Ma quando la la massa raggiunge x = 0, essa ha la
massima velocita` positiva(posizione b in figura), per cui la
oltrepassa (x > 0). La massa ora rallenta e siarresta
nellistante in cui raggiunge laltra estremita` delloscillazione,
dove x e`massima e v = 0. A questo punto la massa e` tirata
nuovamente verso sinistrae completa il ciclo. Lasciamo a voi ora di
rispondere alle seguenti domande:Esercizio 3: Supponete che il
vostro oscillatore armonico ad un certo punto
25
-
Figura 8: Ritratto di fase per loscillatore armonico
semplice.
x
v
HcLHaL
HbL
HdL
inizi a dissipare energia, si comporti cioe` come un sistema
reale. Cosa viaspettate per il suo ritratto di fase?Esercizio 4:
Forti della interpretazione fisica data nellesercizio
precedente,dimostrate che la condizione 2 x2+v2 = 2 x02+v02 =
costante e` equivalentealla conservazione dellenergia
meccanica.
11.2 Lapproccio geometrico per sistemi in 2 di-mensioni
A questo punto qualche lettore forse si chiedera` se e`
possibile utilizzare lap-proccio geometrico introdotto nel
paragrafo 6.1 per sistemi dinamici 2-dimensionali,come loscillatore
armonico. Cio` risulta fondamentale per studiare i sistemidinamici
2-dimensionali non lineari, per i quali in generale non esistono
solu-zioni analitiche come nel caso delloscillatore armonico
semplice. Tale esempiotuttavia ci e` ancora molto utile, per
cercare di dare la risposta.
Anche nel caso 2-dimensionale, e` utile visualizzare il campo
vettoriale intermini del moto di un fluido ideale immaginario.
Sara` sufficiente considerareil caso di un fluido in moto
stazionario sul piano di fase, con velocita` vettorialeavente
componenti (x, v) = (v,2x). Allora, per trovare la traiettoria
cheparte dallo stato iniziale (x0, v0), basta porre una particella
immaginaria opunto di fase e guardare come e` trasportata dalla
corrente. La situazione e`descritta in figura 10.
La corrente, come si vede, gira attorno allorigine; questo e` un
puntoparticolare, che assomiglia allocchio di un ciclone: un punto
di fase postoin quella posizione vi rimarrebbe per sempre, poiche
(x, v) = (0, 0) quando(x, v) = (0, 0). Pertanto lorigine e` un
punto fisso. Cio` nonostante, un puntodi fase che partisse da
qualsiasi altra posizione, si metterebbe a girare attornoallorigine
e ritornerebbe ad un certo momento nella posizione iniziale.
Tali
26
-
Figura 9: Fasi del moto delloscillatore armonico semplice.
traiettorie formano delle cosiddette orbite chiuse. Ma che
relazione ce` tra leorbite chiuse e i punti fissi e il problema
fisico di partenza, cioe` la massa attac-cata ad una molla ideale?
La risposta e` semplice. I punti fissi corrispondonoad punti di
equilibrio statico per il sistema; le orbite chiuse corrispondono
amoti periodici, cioe` ad oscillazioni della massa.
12 Dipendenza da parametri: biforcazioni
e catastrofi
Con lesempio appena studiato abbiamo visto che aumentando le
dimensionidello spazio delle fasi la dinamica del campo vettoriale
diventa piu` ricca, ap-paiono infatti soluzioni periodiche, che
abbiamo chiamato cicli. Nel caso di
27
-
Figura 10: Interpretazione geometrica per il campo di fase
delloscillatore armonico.
x
v
sistemi dinamici continui in una dimensione27, come abbiamo
visto, o le solu-zioni si dispongono allequilibrio o tendono a .
Cio` nonostante, i sistemi1-dimensionali risultano interessanti non
appena il campo vettoriale dipendeda dei parametri. In particolare,
i punti fissi possono essere creati o distruttio cambiare la loro
stabilita`. In altre parole, cambiando la struttura del cam-po
vettoriale, varia la natura qualitativa della soluzione del nostro
problemadinamico, cioe` il tipo di moto che si determina a partire
da un certo statoiniziale28. Nello studio della dinamica, molto
spesso appaiono dei parametri,che hanno una precisa interpretazione
fisica. Un fenomeno molto interessante,noto col nome di
biforcazione od anche catastrofe si ha quando una
variazionecontinua del parametro determina un cambiamento repentino
e discontinuodelle proprieta` del sistema. Per darvi unidea di
questo fenomeno guardate lafigura 11. Essa contiene una serie di 8
famose29 figure sviluppate da Fisher(1967) (si veda ad esempio [9],
pag. 11), legate ad un repentino cambiamentonella percezione
visiva. La prima figura in alto a sinistra rappresenta una fac-cia,
mentre lultima in basso a destra si riferisce certamente ad una
donna. Seguardiamo le figure una dopo laltra da sinistra e destra e
dallalto in basso,
27Facciamo qui riferimento a situazioni generiche,
strutturalmente stabili; non consideriamo icasi marginali
corrispondenti al passaggio tra regimi dinamici differenti; si
veda, a proposito, ilparagrafo 13.5.
28In effetti, nel vostro corso di studi avete certamente
studiato esempi di problemi di secondogrado (di geometria sintetica
od analitica) dipendenti da un parametro. Tipicamente, allora
eravateinteressati a contare le soluzioni reali del problema, al
variare di un parametro, che descriveva unaclasse di casi
geometricamente possibili.
29Lavoro originale: G.H. Fisher, Preparation of ambiguous
stimulus material in Perception andPsychophysics, 2 pag. 421422,
1967.
28
-
Figura 11: Un esempio di catastrofe nella percezione visiva.
ci accorgiamo che, pur cambiando di poco, ad un certo momento la
nostrapercezione cambia allimprovviso: da faccia a donna.
13 Sistemi dinamici discreti e mappe 1-
dimensionali
13.1 Premessa
Intendiamo ora riprendere i concetti che avete gia` studiato,
sperimentandolinel nostro laboratorio di matematica, in occasione
del vostro primo annodi attivita` nel PLS per la matematica. Lo
scopo e` rivedere i ripensare aquanto abbiamo fatto, magari
offrendo qualche ulteriore spunto di riflessionee vedendo i
collegamenti tra lapproccio discreto e continuo.
Nel paragrafo 3 abbiamo parlato di sistemi dinamici discreti.
Come sape-te bene, si tratta di casi in cui il tempo e` visto come
una variabile discretaanziche continua. In alcuni contesti
scientifici risulta naturale considerare iltempo discreto: si pensi
ad esempio allelettronica digitale, ad alcune partidelle scienze
economiche e delle finanze, e nello studio di certe
popolazionianimali nelle quali le generazioni successive non si
sovrappongono. In partico-lare, nel nostro laboratorio di
matematica voi avete visto, tra laltro, modellimatematici (in
particolare lequazione logistica) che si applicano allo studio
29
-
delle popolazioni. Per fare cio` abbiamo avuto bisogno solo di
alcuni sempliciconcetti relativi alliterazione di mappe.
In effetti, lo studio delle mappe e` interessante in se, poiche
le mappecostituiscono un formidabile laboratorio per analizzare
fenomeni caotici. Lemappe sono capaci di comportamenti molto piu`
imprevedibili delle equazionidifferenziali; negli ultimi 25 anni si
sono fatti straordinari passi avanti nel lorostudio, grazie
soprattutto alla crescente disponibilita` dei computer e
dellagrafica computerizzata. Forse vi potra` sorprendere sapere il
fatto che oggi,grazie allattrezzatura informatica del nostro
Istituto, e` possibile ripercorrerecon relativa facilita` di
calcolo alcune delle piu` affascinanti scoperte sul caosottenute da
scienziati come May [3], Lorenz [1] od Henon [2].
13.2 Alcune definizioni
Considerate una mappa 1-dimensionale, cioe` una funzione
continua F : R I I, di un sottoinsieme I della retta reale in se
stessa. Possiamo definireuna successione nel modo seguente:{
x0 I (condizione iniziale)xn+1 = F (xn) , n 0 (legge di
ricorrenza) (44)
Le successioni del tipo (44) si dicono definite per ricorrenza o
induzionee la funzione F si chiama funzione generatrice. I punti
della successione{x0, x1 = F (x0), x2 = F 2(x0), . . . , xn =
Fn(x0), . . . ,
}costituiscono lorbita, (x0),
generata dal valore assegnato x0. Notiamo che con la scrittura
Fn, intendiamoliterata n-esima della funzione F , cioe:
Fn = F F . . . F n volte
(45)
Per lo studio del sistema dinamico discreto risultano
fondamentali gli elementix I che soddisfano allequazione:
F (x) = x ; (46)
essi si dicono punti fissi o di equilibrio della funzione F .
Avrete gia` capito chela ragione del loro nome risiede nel fatto
che lorbita generata da un puntofisso x, si riduce al punto stesso,
cioe` (x0 = x) = {x}. Da un punto divista geometrico, le soluzioni
dellequazione (46) possono essere interpretatecome le ascisse degli
eventuali punti di intersezione tra il grafico di F e dellefunzione
identita` y = x. Avendo in mente lanalogia col sistema
continuooscillatore armonico, e` naturale ora definire la nozione
di orbita periodicacome una successione del tipo:
x0 , x1 , x2 , . . . , xp1 , xp = x0 , x1 , x2 , xp1 , x0 , x1 .
. . (47)
30
-
con x0 6= x1 6= . . . 6= xp1 e xp = x0. Lintero p si dice il
(minimo) periododellorbita e i punti della stessa sono periodici di
periodo p.Esercizio 5: Dimostrate che i punti x0, x1, . . . , xp,
di unorbita periodica diperiodo p sono fissi per literata p-esima
di F .
13.3 Analisi geometrica delliterazione di una fun-zione: il
diagramma a ragnatela
Abbiamo anche studiato, nel caso di mappe 1-dimensionali, che e`
possibilericorrere ad un metodo grafico molto utile, detto
diagramma a ragnatela30,per studiare literazione. Consideriamo il
grafico di F e, partendo da x0,ricaviamo x1. Esso e` lordinata del
punto sul grafico di F che ha ascissa x0.Per trovare ora x2 e`
necessario riportare sullasse delle ascisse tale valore. perfarlo,
e` sufficiente muovere parallelamente allasse delle ascisse il
punto delgrafico (x0, x1), fino ad incontrare la prima bisettrice.
Individuato in figura ilpunto di coordinate (x1, x1) basta ora
spostarlo parallelamente allasse delleordinate fino ad incontrare
il grafico di F nel punto (x1, x2). A partire da tale
Figura 12: Il diagramma a ragnatela per la funzione F =
x1/2.
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
punto, ripetendo il procedimento appena descritto, possiamo
ottenere x3, ecos` via. Osservate che nella figura la successione
di punti sul grafico tende alpunto di intersezione tra la retta y =
x e y = F (x).
30E` denominato cobweb diagram nei testi in lingua inglese.
31
-
Le equazioni del tipo (44) definiscono un sistema dinamico
discreto 1-dimensionale. Come nel caso continuo, tale sistema si
dira` lineare o nonlineare a seconda della natura della funzione F
.
13.4 Comportamento di un sistema lineare
discreto1-dimensionale
Abbiamo anche tentato di analizzare il comportamento di un
generico sistemalineare discreto 1-dimensionale, di cui abbiamo
fornito un esempio particolarenel paragrafo 3. Consideriamo il
sistema la cui funzione di evoluzione e` f(x) =ax+ b, con a, b R.
Dalla definizione ricorsiva:
xn+1 = axn + b , (48)
lasciamo a voi come esercizio31 ricordare come si poteva provare
che il terminen-esimo della successione (di valore iniziale x0)
puo` essere scritto come:
xn =
anx0 +(an 1a 1
)b se a 6= 1
x0 + nb se a = 1. (49)
Durante la nostra attivita` di laboratorio, avete avuto modo di
intuiresperimentalmente, usando il calcolatore, qual e` il
comportamento asintoticodi un sistema dinamico lineare come quello
delleq. (49), cioe` il limite a cuitende xn per n +. Ora potreste
magari porvi il problema di dimostrarei risultati32, che per tutti
riassumiamo nella tabella 1, in cui risulta essenzialedistinguere
tre casi, a seconda che sia |a| < 1, oppure |a| = 1, oppure |a|
> 1.Nel risultato esposto, un ruolo particolare e` assunto dal
punto x =
b
1 a . Sitratta del punto fisso per la funzione F (x), cioe` del
valore per cui F (x) = x.Anche nel caso discreto vale quindi una
nozione di stabilita` del tutto simile aquella introdotta nel
paragrafo 6.1 per i sistemi dinamici continui. Ricordiamotuttavia
che lunica differenza sta nel fatto che, nel caso di unequazione
dievoluzione continua del tipo x = f(x), i punti fissi per il campo
f(x) sonoquelli per cui f(x) = 0.
Naturalmente, la costruzione geometrica del diagramma a
ragnatela siapplica anche al caso lineare. Potrete allora
comprendere il contenuto dellatabella, applicando tale tecnica per
il grafico di F , che, come ben sapete,rappresenta una retta nel
piano cartesiano.
31Vi sara` utile ricordare lespressione della somma dei primi n
termini di una progressionegeometrica di ragione a e termine
iniziale 1.
32Arriverete molto avanti, ma sara` solo dopo aver appreso alla
fine di questanno la nozione dilimite che potrete portare a termine
il compito!
32
-
a b x0 Comportamento di xn per n +
|a| < 1 b1 a
|a| > 1 6= b1 a diverge
=b
1 a rimane fisso inb
1 a
a = 1 b 6= 0 diverge
b = 0 rimane fisso in x0
a = 1 6= b2
oscilla: x0, b x0, . . .
=b
2rimane fisso in
b
2
Tabella 1: Comportamento asintotico del sistema discreto
1-dimensionale xn =axn1+ b, e condizione iniziale x0, in dipendenza
dei parametri reali a e b. Nel casoin cui una casella e` vuota si
intende nessuna ulteriore condizione.
.
33
-
13.5 Sistemi dinamici discreti 1-dimensionale nonlineari
Nel paragrafo 7 avevamo trattato il problema della stabilita`
nel caso 1-dimensionalecontinuo. Avevamo utilizzato una procedura
di linearizzazione. Una tecni-ca analoga si puo` applicare anche
nel caso discreto. Supponete che x sia unpunto fisso per F , cioe`
che si abbia F (x) = x. E` ormai chiaro che se xn = x,allora
lorbita rimarra` in x per tutte le successive iterazioni. Per
studiare lastabilita` di x, consideriamo unorbita vicina, che
indicheremo con xn = x+ne chiediamoci se tale orbita viene attratta
o respinta da x. In altre parole, ladeviazione n aumenta o
diminuisce al crescere di n? Bastera` sostituire:
x+ n+1 = xn+1 = F (x+ n) = F (x) + F (x)n +O(n2) , (50)
dove col simbolo O(n2) intendiamo33 che nello sviluppo in serie
di Taylor dif trascuriamo i termini quadratici in . Ricordando che
x e` un punto fisso, siottiene lequazione discreta
linearizzata:
n+1 = F (x)n (51)
Se e` lecito trascurare i termini quadratici in , lequazione
linearizzata dipendedal moltiplicatore (detto anche autovalore) = F
(x), che rappresenta lapendenza della retta tangente al grafico di
f nel suo punto fisso x. Si trattaallora di un sistema
1-dimensionale, per cui possiamo applicare lanalisi dellatabella 1
per a = e b = 0. Se || = |F (x)| < 1 allora n 0 per n ,e il
punto fisso x e` linearmente stabile. Viceversa, se || = |F (x)|
> 1 ilpunto fisso e` instabile. Sebbene queste conclusioni circa
la stabilita` localesiano basate sulla linearizzazione, si potrebbe
provare che valgono34 per lamappa non lineare F . E` comunque
necessario osservare che la linearizzazionenon dice nulla a
proposito del cos` detto caso marginale, per cui || = 1.Sono
proprio i termini trascurati di tipo O(n2) che determinano la
stabilita`locale35. Concludiamo il paragrafo introducendo
unimportante definizione:dato un punto fisso attrattivo x per un
sistema dinamico, diciamo bacino diattrazione linsieme delle
condizioni iniziali x0 per le quali xn x se n.
33Si tratta sempre di approssimare il grafico della funzione con
una retta, come descritto nelcaso continuo.
34E` necessario ipotizzare che la funzione F abbia derivata
continua, sia cioe` di classe C1.35Anche nel caso continuo, la
situazione in cui F (x) = 0 risulta determinata dalle derivate
di
ordine successivo. Essa risulta significativa in teoria delle
biforcazioni, quando il sistema dinamicodipende da un parametro di
controllo. I casi marginali corrispondono a situazioni critiche,
nellequali si ha un repentino cambiamento della dinamica del
sistema; si veda il paragrafo 12.
34
-
14 La nostra attivita` di laboratorio
Vorremmo ora parlare delloggetto principale della nostra
attivita` di labora-torio di matematica connessa al Progetto Lauree
Scientifiche. Queste brevinote si proponevano, tra laltro, di farvi
riflettere sui collegamenti che il temadei sistemi dinamici
naturalmente instaura tra molti contenuti dei nostri
corsiistituzionali di matematica e di fisica. Come avete visto, si
va dalle appli-cazioni della seconda legge di Newton, alla dinamica
dei fluidi ideali; dallesuccessioni definite in modo esplicito a
quelle definite per ricorrenza; dallostudio di argomenti del
calcolo differenziale, come derivate e limiti, a proble-mi di
analisi numerica, come la determinazione approssimata degli zeri di
unafunzione. Il filo rosso che collega tutte queste nozioni,
apparentemente moltodiverse tra loro, e` lidea di evoluzione
temporale di un sistema. Vorremmoconcludere questa dispensa
riportando quanto scrisse Robert M. May nel suofamoso lavoro [3]
pubblicato sulla rivista Nature36: In spite of the
practicalproblems which remain to be solved, the ideas developed in
this review haveobvious applications in many areas. [...] I would
therefore urge that people beintroduced to, say, equation (3) early
in their mathematical education. Thisequation can be studied
phenomenologically by iterating it on a calculator, oreven by hand.
Its study does not involve as much conceptual sophistication asdoes
elementary calculus. Such study would greatly enrich the students
intui-tion about nonlinear systems. I piu` attenti avranno subito
pensato: ma cosaintendeva May con equazione (3)? Si tratta di una
famosissima equazioneche descrive levoluzione di un sistema
dinamico discreto, nota col nome diequazione logistica:
xt+1 = axt(1 xt) . (52)Forse non siamo riusciti a svelarvi tutto
su di essa qui, pero` pensiamo valgadecisamente la pena riassumere
alcuni risultati 37...
14.1 Lequazione logistica
La dinamica della popolazione di molte specie animali e`
caratterizzata dalfatto che non vi e` sovrapposizione tra
generazioni successive, cos` la crescita
36Ecco la nostra libera traduzione: A dispetto dei problemi
pratici che rimangono da essere ri-solti, le idee sviluppate in
questa rassegna hanno ovvie applicazioni in molte aree. Le
applicazionipiu` importanti, tuttavia, possono essere
nellinsegnamento. [...] Vorrei insistere affinche la gentefosse,
diciamo, introdotta allo studio dellequazione (3) molto presto
nella sua formazione mate-matica. Questa equazione puo` essere
studiata fenomenologicamente iterandola su un calcolatore, operfino
a mano. Il suo studio non richiede concetti cos` sofisticati come
il calcolo differenziale. Untale studio arricchirebbe enormemente
lintuizione dello studente sui sistemi non lineari.
37Questa breve introduzione e` ripresa dal paragrafo I moscerini
della frutta e il caos in [8], pag.170.
35
-
della popolazione avviene in tappe discrete. Per gli organismi
primitivi questetappe possono essere molto brevi, in tal caso un
modello dinamico con tem-po continuo, puo` essere unapprossimazione
ragionevole. Tuttavia, la duratadelle varie tappe puo` cambiare
molto, da specie e specie. Per la nascita diun moscerino della
frutta da una pupa basta un giorno, per delle cellule
sonosufficienti delle ore, mentre per virus e batteri addirittura
molto meno. Le-quazione (52) mette in relazione la popolazione
allistante t+ 1-esimo con lapopolazione allistante precedente,
t-esimo. Per semplicita`, assumiamo nellanostra descrizione che la
popolazione venga descritta alla distanza temporaledi un anno.
Cio` porta ad un sistema dinamico discreto, in cui la funzione
da iterare e`non lineare, cioe` proprio F (x) = ax(1x). In realta`,
risulta piu` comodo pen-sare che un certo ambiente abbia una certe
popolazione massima sostenibiledi una data specie, rappresentata
dalla variabile adimensionale xt. Tale varia-bile rappresenta il
rapporto tra la popolazione reale e la popolazione massimaalla
t-esima generazione. Possiamo pertanto pensare che dobbiamo
iterarela funzione F (x) sullintervallo [0, 1]. Il numero a denota
il tasso di crescitarelativo della popolazione, che supponiamo non
dipendere dal tempo. Essoviene chiamato capacita` biologica
specifica. La forma della funzione F cheda` luogo allequazione
logistica (52) si basa sullidea che, quando in un datoambiente la
popolazione e` scarsa e non vi e` competizione per lo spazio
vitaleo la ricerca del cibo, allora ogni generazione cresce
rispetto alla precedentedi un fattore a, secondo una progressione
geometrica. Tuttavia, al cresceredella popolazione, le risorse di
cibo tendono ad esaurirsi, pertanto aumentala competizione, che
riduce il tasso di crescita di una quantita` ax2, semprepiu`
rilevante al crescere della popolazione. Nel 1976, lecologo
matematico R.May osservo` che lapparente semplicita` della funzione
F (x) e` ingannevole.
Essa presenta infatti ogni sorta di comportamento dinamico
complicato,al variare della capacita` biologica specifica a. La
dipendenza sensibile dellanatura della soluzione della (52) dal
parametro a e` un esempio di biforca-zione, del tipo di quella che
abbiamo descritto nel paragrafo 12. Nel nostrolaboratorio,
esplorerete sperimentalmente tale varieta` di comportamenti.
Inparticolare vi renderete conto, che per valori particolari del
parametro a, na-sceranno orbite aperiodiche: cio` vorra` dire che,
ad esempio, se in un certoanno la popolazione sara` piccola, i
cinque anni seguenti sara` grande, seguira`poi un anno di
popolazione media e quindi alcuni anni di popolazione
piccola,seguita da un anno di boom demografico e via dicendo.
Saremo di fronte asequenze arbitrarie di alti e bassi, senza alcuna
regolarita` apparente, comequelli descritti in figura 13.
Questo e` un esempio di caos deterministico. Quel che sorprese
May non fuil fatto che le popolazioni reali siano imprevedibili, ma
il fatto che un modello
36
-
Figura 13: Un esempio di soluzione aperiodica dellequazione
logistica per a = 3.9.
10 20 30 40 50t
0.2
0.4
0.6
0.8
xt
cos` semplice come lequazione logistica (dopo tutto la funzione
F (x) = ax(1x) ha come grafico una parabola!) abbia un
comportamento tanto selvaggio.I tipi di dinamica delle popolazioni
che sono possibili nellequazione logisticasono descritti dal famoso
diagramma di biforcazione, divenuto ormai uniconadel caos. Il
diagramma riporta in ascissa i valori del parametro a ed in
ordinataalcuni valori di x quando, per un numero abbastanza grande
di iterazioni, ladinamica si stabilizza.
Figura 14: Il diagramma di biforcazione dellequazione logistica
per valori del parametro dicontrollo 3.4 < a < 4.
Riportiamo da ultimo due figure, dalle quali si puo` vedere che
il diagram-ma di biforcazione ha inaspettate proprieta` di
autosimilarita`. Osservate che
37
-
Figura 15: Il diagramma di biforcazione dellequazione logistica
per valori del parametro dicontrollo 3.847 < a < 3.857.
lo stesso diagramma per valori diversi del parametro di
controllo a ha unastruttura che si ripete (Fig. 14 e 15).
A questo punto molte sono le domande che ci possiamo porre: come
e`possibile che una semplice equazione di evoluzione come quella
logistica, lacui natura e` intrinsecamente deterministica, non
consenta di rispondere al-la domanda per la quale e` stata
introdotta, cioe` risulti incapace di predirelandamento della
popolazione della nostra specie?
Puo` avvenire qualcosa di simile in Fisica, nel senso che la
seconda legge diNewton per la dinamica classica, pur essendo
deterministica, possa risultarein taluni casi incapace di predire
levoluzione del nostro sistema dinamico? Oposta altrimenti, esiste
una dipendenza non banale dellevoluzione del sistemadallo stato
iniziale dello stesso?
E che significato ha la struttura di autosimilarita` del
diagramma di bifor-cazione esposto nelle due ultime figure? Si
tratta di frattali?
Se siete di nuovo con noi e` perche forse siete tipi curiosi!
sarebbe belloquestanno riuscire a fare con voi qualche ulteriore
passo in avanti!
38
-
Riferimenti bibliografici
[1] E. N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, J. Atm. Sci.
20, 130(1963).
[2] M. Henon, A two-dimensional mapping with a strange
attractor, Comm.Math. Phys. 50, 69 (1976).
[3] R. M. May, Simple mathematical models with very
complicateddynamics, Nature 261, 459 (1976).
[4] P. Collet e J-P. Eckmann, Iterated maps on the interval as
dynamicalsystems, Birkhauser editore, Boston, 1980 (ISBN:
3-7643-3026-0).
[5] H.-O. Peitgen e P.H. Richter, La bellezza dei frattali,
Bollati Boringhieri,1987 (ISBN: 88-339-0420-2).
[6] S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Perseus Book
Publ.,Cambridge Mass., 1994 (ISBN: 0-7382-0453-6).
[7] E. R. Scheinermann, Invitation to Dynamical Systems,
Prentice HallCollege Div., New Jersey, 1995 (ISBN:
0-1318-5000-8).
[8] I. Stewart e M. Golubitsky, Terribili simmetrie, Dio e` un
geometra?,Saggi Scientifici Bollati Boringhieri, 1995 (ISBN:
88-339-0914-X).
[9] J. D. Murray, Mathematical Biology I: An introduction III
ed. SpringerVerlag, N.Y., Berlin, Heidelberg, 2001 (ISBN:
0-387-95223-3)
[10] J. Gleick, Caos, La nascita di una nuova scienza, R.C.S.
Libri, BURScienza, V ed., 2005 (ISBN: 88-17-25875-X).
[11] A. Vulpiani, Determinismo e Caos, Carocci editore, Roma,
2005 (ISBN:88-430-3216-X).
39