Dec 18, 2015
Clase
1. Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales: preliminares
2. Mtodo directo y exacto: Gauss
3. Mtodo directo y exacto (II): descomposicin LU
4. Mtodos indirectos: Jacobi, Gauss-Seidel
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Sistemas lineales PRELIMINARES
Matriz de coeficientes
Vector de incgnitas
Sistema de ecuaciones lineales
Recordatorio de lgebra lineal
La primera opcin que uno se plantea es No es eficiente (demasiadas operaciones) Si el determinante de A es prximo a cero, el error de redondeo puede ser muy grande, y esto es dificil de estimar numricamente ( )
Se requieren mtodos numricos alternativos:
La primera opcin que uno se plantea es No es eficiente (demasiadas operaciones) Si el determinante de A es prximo a cero, el error de redondeo puede ser muy grande.
Se requieren mtodos numricos alternativos: mtodos directos (son exactos (no tienen asociado error de truncamiento), y son usados cuando la mayora de los coeficientes de A son distintos de cero y las matrices no son demasiado grandes). Suelen ser algoritmos complicados de implementar
La primera opcin que uno se plantea es No es eficiente (demasiadas operaciones) Si el determinante de A es prximo a cero, el error de redondeo puede ser muy grande.
Se requieren mtodos numricos alternativos: mtodos directos (son exactos (no tienen asociado error de truncamiento), y son usados cuando la mayora de los coeficientes de A son distintos de cero y las matrices no son demasiado grandes). Suelen ser algoritmos complicados de implementar mtodos indirectos o iterativos (tienen asociado un error de truncamiento y se usan preferiblemente para matrices grandes (n>>1000) cuando los coeficientes de A son la mayora nulos matrices sparse-). Algoritmos sencillos de implementar que requiere aproximacin inicial y que en general no tiene porqu converger (requieren anlisis de convergencia previo).
Ejemplos Mtodos directos mtodo de eliminacin de Gauss (llevar A a triangular) mtodo de descomposicin LU (A=LU, donde L triangular inferior y U triangular superior)
mtodo de Cholesky (LU para matrices simtricas)
Mtodos iterativos mtodo de Jacobi mtodo de Gauss-Seidel mtodo SOR
METODOS DIRECTOS
mtodo de eliminacin de Gauss
LA IDEA
o Primero, mediante operaciones elementales por filas, se transforma la matriz ampliada en una matriz triangular superior (equivalente a la matriz de partida) (PASO DE ELIMINACION) o Segundo, se resuelve dicho sistema obteniendo las incgnitas, empezando por la n-esima la ltima- y acabando con la primera (PASO DE SUSTITUCION).
(ALGEBRA LINEAL)
REPETIMOS ESTE PROCESO N-1 VECES HASTA LLEGAR A
Finalmente, por sustitucin regresiva resolvemos el sistema.
ELIMINACIN DE GAUSS: ALGORITMO COMPLETO Paso de eliminacin Paso de sustitucin (cambio de notacin au)
mtodo de descomposicin LU
LA IDEA
o Primero, a partir de la matriz A se calcula aquella matriz triangular inferior L y aquella matriz triangular superior U (con 1s en la diagonal) tal que A=LU (PASO DE DESCOMPOSICION) o As, el sistema Ax=b pasa a ser LUx=b. Primero hacemos el cambio Ux=y, que introducimos y el sistema resulta Ly=b. Como L es triangular, fcilmente calculamos y. Finalmente, introducimos este resultado en Ux=y, y como U es triangular, fcilmente calculamos x. (PASO DE SUSTITUCION).
PASO DE DESCOMPOSICION : L, U \ A=LU
PASO DE SUSTITUCION : Ly=b (cambio de notacin yx)
PASO DE SUSTITUCION : Ux=y (cambio de notacin yb)
Comentarios prctica (MTODOS DIRECTOS)
-Cuidado con la informacin de entrada en las subrutinas!!
- Subrutina LU: algoritmo se resuelve secuenciamente!!
-Clculo de determinantes con LU: trivial !!!!!
det(A)=det(LU)=det(L)det(U)
Matrices estrictamente diagonal dominantes: propiedad suficiente
para Gauss sin pivote y para LU (aunque no necesarias)
METODOS INDIRECTOS
GENERALIDADES
-Qu son los mtodos indirectos/iterativos? Esquemas numricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales,
basados en la aplicacin de un algoritmo a partir de una solucin
inicial, que se repite iterativamente hasta que un criterio de parada
(convergencia) detiene el algoritmo (nmero de pasos desconocido a
priori).
- Para qu se usan los mtodos indirectos/iterativos? Eficientes para sistemas grandes con matrices con un elevado nmero
de ceros (matrices sparse), que aparecen en problemas de fsica e
ingeniera, asociados a la resolucin de ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales.
- Convergencia y problemas mal condicionados Estos mtodos no siempre convergen, y adems, en ocasiones
pequeas variaciones pueden introducir grandes errores (problema
de mal condicionamiento).
GENERALIDADES- esquema general
Sea el problema Ax=b
En la iteracin k-sima, el esquema numrico
es
x(k) = T x(k-1) + c
Donde x es el vector solucin, T una matriz
nxn y c un vector, que dependen todos ellos
de A y b
GENERALIDADES- esquema general
-Si el esquema converge, el orden de convergencia es
LINEAL (se necesitarn bastantes pasos para llegar a
convergencia)
- Por eso, se aplican estos mtodos cuando las matrices
tienen muchos ceros (cada paso tiene poco coste
computacional)
GENERALIDADES- esquema general
-criterio de parada: nocin de distancia entre vectores?
norma vectorial
y matricial
GENERALIDADES- esquema general
Distancia entre vectores
Criterio de parada
MTODO DE JACOBI
MTODO DE JACOBI
Planteamos el siguiente esquema iterativo ! (si alguno de
los elementos diagonales es nulo, reordenamos la matriz)
MTODO DE JACOBI
MTODO DE JACOBI: criterio de parada
Suponiendo que la sucesin de x(k) es
convergente (ms tarde veremos cundo
sucede esto), el algoritmo parar cuando la
solucin vare poco, por ejemplo:
MTODO DE GAUSS-SEIDEL
Partiendo del mtodo de Jacobi
MTODO DE GAUSS-SEIDEL
jacobi
MTODO DE GAUSS-SEIDEL
En notacin matricial, requiere calcular inversas, luego es
preferible un algoritmo que resuelva, en cada iteracin,
secuencialmente cada elemento del vector solucin:
Donde i=1,2,,n.
MTODO DE GAUSS-SEIDEL
MTODO DE GAUSS-SEIDEL: criterio de
parada
Suponiendo que la sucesin de x(k) es
convergente (ms tarde veremos cundo
sucede esto), el algoritmo parar cuando la
solucin vare poco, por ejemplo:
COMPARACION EJEMPLO
COMPARACION EJEMPLO: USANDO JACOBI
USANDO JACOBI
COMPARACION EJEMPLO: USANDO GAUSS-SEIDEL
USANDO JACOBI
COMPARACION EJEMPLO
USANDO JACOBI
USANDO GAUSS-SEIDEL
ES SIEMPRE GS MS RPIDO QUE JACOBI??
COMPARACION EJEMPLO
USANDO JACOBI
USANDO GAUSS-SEIDEL
ES SIEMPRE GS MS RPIDO QUE JACOBI??
NO SIEMPRE ! ES NECESARIO REALIZAR UN
ESTUDIO DE CONVERGENCIA PREVIO
CONVERGENCIA
Los mtodos anteriores pueden converger/divergir
independientemente (cada uno puede converger o divergir
para el mismo problema).
CONDICION SUFICIENTE DE CONVERGENCIA
CONVERGENCIA: radio espectral
Cmo crece el error de truncamiento absoluto del esquema?
CONVERGENCIA
CONVERGENCIA
Ojo
Calcular el radio espectral puede ser costoso, pero cualquier norma
natural de una matriz es cota superior de su radio espectral basta con calcular una norma natural (la ms sencilla de calcular es l
infinito) y verificar que es menor que 1 para que el mtodo sea
convergente.