MATEMTICASISTEMA LINEARES
CLEAN MARIA REIS LOURENO2014
2 ANO TCNICOSISTEMA LINEARES
CLEAN MARIA REIS LOURENO2014
EQUAO LINEAR
INTRODUOAugusto foi sacar R$ 90,00 em um caixa eletrnico que s dispunha de notas de R$ 10,00 e de R$ 20,00. Como pode ser feita a distribuio das notas a fim de totalizar R$ 90,00 ? x o nmero de notas de R$ 10,00; y o nmero de notas de R$ 20,00.
Devemos determinar quais so os possveis valores de x e de y de modo que: 10 . x + 20 . y = 90A equao obtida acima um exemplo de equao linear.
DEFINIOEquao linear nas incgnitas x1, x2,....xn toda equao do tipo: a1x1 + a2x2 + + anxn = b em que a1 , a2, , an e b so coeficientes reais. b chamado coeficiente (ou termo) independente da equao.Acompanhe alguns exemplos de equaes lineares:1) x1 - 2x2 + 4x3 = - 7 2) x + y + z = 1 3) 4x - 3y = - 2 4) .x1 - 4x2 = - 3
ObservaoI - Note que, numa equao linear, os expoentes de todas as incgnitas so sempre unitrios. Dessa forma, no representam equaes lineares.1) 2x1 - x2 = 5 2) x + y + z = 1 3) x- y = 0
II - Uma equao linear no apresenta termo misto(aquele que contm produto de duas ou mais incgnitas). Dessa forma, no representam equaes lineares: 1) 2x1 - x2 x3 = 5 2) x + y + wz = 0 3) x- yz= - 4
SOLUO DE UMA EQUAO LINEARDizemos que a sequncia de nmeros reais (1, 2,....n ) soluo da
equao a1x1 + a2x2 + + anxn = b quando a sentena 1x1 + 2x2 + +
n xn = b for verdadeira, isto , quando substitumos x1 por 1 , x2 por 2
,..., xn por n e, as fazermos as contas indicadas, obtemos uma sentena
verdadeira.
Vejamos alguns casos:
O par ordenado (2, -3 ) a soluo da equao 4x - 5y = 23
EXEMPLOSConsidere a situao da introduo: Vamos apresentar as solues da equao 10x + 20y = 90, lembrando que x e y devem ser nmeros naturais.
Temos as seguintes possibilidades:
x ( n notas de R$ 10,00) y ( N notas de R$ 20,00)
1 4
3 3
5 2
7 1
9 0
SISTEMA LINEAR 2 X 2
Tina passeava pelo calado da praia quando avistou um quiosque de
sanduches e sucos naturais. Em um cartaz havia as seguintes sugestes
de pedidos:
1) 3 sucos + 2 sanduches = R$ 14,00
2) 2 sucos + 1 sanduches = R$ 8,00
SISTEMA LINEAR 2 X 2 Tina ficou interessada em saber o preo unitrio do sanduche e do suco.
Estudante aplicada, representou por x e y os preos unitrios do suco e do
sanduche, respectivamente, obtendo as seguintes equaes.
3x + 2y = 14
2x + y = 8
O Conjunto dessas duas equaes lineares exemplo de um sistema linear
de duas incgnitas.
Resolvendo o sistema: Mtodo da adio Temos o seguinte sistema:
3x + 2y = 14
2x + y = 8
Devemos multiplicar a segunda equao por - 2 e somarmos com a
primeira equao.
3x + 2y = 14
-4x - 2y = -1
Resolvendo o sistema: Mtodo da adio 3x + 2y = 14
-4x - 2y = -16
- x = - 2 => x = 2 ( preo do suco)
Substitumos esse valor em qualquer uma das equaes anteriores:
3x + 2y = 14 => 3 . + 2y = 14 => 6 + 2y = 14
2y = 14 - 6 => 2y = 8 => y = 4 ( preo do sanduche)
Interpretao geomtrica e classificao Alm do processo algbrico, um sistema linear 2 x 2 pode ser resolvido
graficamente.
I . Voltemos ao exemplo da Tina.
A equao linear 3x + 2y = 14 equivalente a y = , isto , y =
que a lei de uma funo afim cujo grfico a reta r representada ao lado. J
a equao linear 2x + y = 8 equivale a y = - 2x + 8, que a lei de uma funo
afim cujo grfico a reta s.
14 - 3x 2
- 3x + 7 2
Interpretao geomtrica e classificao
Sistema possvel e determinado As retas r e s interceptam - se unicamente no ponto P (2,4), isto , o par
ordenado (2,4) a nica soluo do sistema , pois verifica,
simultaneamente, as duas equaes.
Dizemos que o Sistema possvel e determinado (SPD)
3x + 2y = 14 2x + y = 8
Sistema impossvel - SI Seja o sistema resolvendo - o pelo mtodo da adio,
temos:
x - 2y = 5 2x - 4 y = 7
Sistema Impossvel - SI Como as retas so paralelas, no h ponto de interseco. Assim, o sistema
no admite soluo.
Dizemos que o sistema , impossvel e indicamos por SI; seu
conjunto soluo S = { }
x - 2y = 5 2x - 4 y = 7
Sistema Possvel e indeterminado Ao resolvermos algebricamente o sistema , usando o mtodo da
adio, obtemos:
Observe que 0x + 0y = 0 satisfeita para qualquer valor real de x e de y.
Assim, para que um par ordenado (x, y) seja soluo desse sistema, ele
dever satisfazer a condio x + y = 1, isto , y = 1 - x.
Como x pode assumir qualquer valor real, o sistema admite infinitas solues e
o classificamos como SPI ( sistema possvel e indeterminado).
Seu conjunto soluo S = { (x, 1-x) ; x E IR
x + y = 1 2x + 2 y = 2
Sistema Possvel e indeterminado
Geometricamente, as funes do 1 grau tm
por grficos retas coincidentes e, portanto,
possuem como interseco todos os ponto de r.
Como r tem infinitos pontos, o sistema admite
infinitas solues.
RESUMO - As trs possibilidades de classificao
SISTEMA
IMPOSSVEL
POSSVEL
Determinado
Indeterminado
(tem soluo)
(no tem soluo)
( a soluo nica)
(tem infinitas solues)
BibliografiaIEZZI, Gelson [et al.]. Matemtica: cincias e aplicaes, 2: ensino mdio. e
ed. So Paulo: Saraiva, 2010.
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