SISTEMAS LINEALES PARA AUTOMATIZACIÓN: U2: Ecuaciones Lineales Septiembre de 2011 Objetivo: El alumno evaluará problemas utilizando el álgebra matricial para resolver sistemas mecatrónicos. Resultado de Aprendizaje: Elaborará un problemario que contenga: Ejercicios resueltos involucrando operaciones matriciales. Tema 1: Algebra Matricial La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de la Ingeniería existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento y solución de tales sistemas. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra. Operaciones con matrices y vectores Matrices y vectores Una matriz es un arreglo rectangular de números, llamados elementos, ordenados de tal manera que cuente con "m" filas y "n" columnas. (o “i” filas y “j” columnas). Los elementos pueden ser números reales o complejos. Para definir un elemento dentro de una matriz se utiliza una notación con doble subíndice, por ejemplo: Mtro. Jorge Adalberto Barreras García, UTSLRC, SONORA
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SISTEMAS LINEALES PARA AUTOMATIZACIÓN: U2: Ecuaciones Lineales
Septiembre de 2011
Objetivo: El alumno evaluará problemas utilizando el álgebra matricial para resolver sistemas mecatrónicos.Resultado de Aprendizaje: Elaborará un problemario que contenga: Ejercicios resueltos involucrando operaciones matriciales.
Tema 1: Algebra Matricial
La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de la Ingeniería existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento y solución de tales sistemas.
El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra.
Operaciones con matrices y vectores
Matrices y vectores
Una matriz es un arreglo rectangular de números, llamados elementos, ordenados de tal manera que cuente con "m" filas y "n" columnas. (o “i” filas y “j” columnas).
Los elementos pueden ser números reales o complejos. Para definir un elemento dentro de una matriz se utiliza una notación con doble subíndice, por ejemplo:
Así el
elemento será aquel localizado en la fila "i" y en la columna "j".
Los vectores son formas especiales de las matrices. Si m > 1, pero n = 1, la matriz se convierte en:
Con una sola columna, y se denomina vector columna.
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A continuación se numeran algunas definiciones de matrices importantes dentro del álgebra lineal.
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene igual número m de filas que de n columnas. Es una matriz donde m = n, se llama simplemente de "m x n".
Matriz nula: Todos los elementos de la matriz son cero.
Matriz unidad:
Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos 1. A continuación mostramos la matriz unidad de orden 2.
Matriz identidad: Es una matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son "1"; mientras que todos los demás elementos son cero.
Esto es:
Matriz transpuesta: La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando las filas en el lugar de las columnas y las columnas en el lugar de las filas. Así si,
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Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada, donde los elementos por abajo de la diagonal principal son ceros, esto es:
Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada en la que los elementos por arriba de la diagonal superior son cero; esto es:
Operaciones entre vectores y matrices
Suma y resta: Podemos sumar una matriz a otra o restarla de otra si ambas tienen el mismo tamaño (mismo número de columnas y filas). Como los vectores son una forma especial de matrices, las mismas reglas se aplican a los vectores.
La suma y resta de matrices del mismo tamaño está definida por:
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Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Consideremos las siguientes matrices:
Las matrices A y B son de orden 3×2, mientras la matriz M es cuadrada de orden 3. Por tanto, no podemos calcular la suma de A y M y tampoco la suma de B y M, en cambio, sí podemos sumar A y B ya que tienen el mismo orden. Esto es,
Ejemplo 3: Consideremos las siguientes matrices:
A=|2 −34 −1
| B=|−4 5−1 2
| ; Encontrar A – B
A−B=|2 −3
4 −1|−|−4 5
−1 2|=|6 −8
5 −3|
El orden es igual que en la suma pero debes fijarte muy bien en los signos.
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Producto vectorial y matricial
Producto de un escalar (Multiplicación de una matriz por un numero).
Definición: Si kA = k(ai j) mxn; debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar.
Es decir, la matriz producto, B, es la que se obtiene multiplicando el número λ por cada uno de
los elementos de A. De aquí en adelante consideraremos que λ es un número real.
Ejemplo 4: Encontrar 2A
A=|1 53 4
|2 A=2|1 53 4
|=|2 106 8
|
Consideremos la matriz y el número λ = −5. Entonces, el producto
de A por λ es:
Producto de un escalar (Multiplicación de un vector por un vector).
Sea:
y dos n-vectores; Entonces el
producto de (producto escalar), esta dado por:
Debido a la notación empleada, el producto escalar de dos vectores a menudo recibe el nombre de producto punto o producto interno de los vectores. Se puede advertir fácilmente que el producto escalar de dos n-vectores es un escalar. A fin de que se pueda hacer el cálculo del producto escalar de A y B es necesario que A y B tengan el mismo número de componentes.
El producto escalar entre vectores cumple con lo siguiente:
Sean a, b y c n-vectores y (λ) un escalar. Entonces:
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2.- (Ley conmutativa del producto escalar)
3.- (Ley distributiva del producto escalar)
4.-
Producto entre dos matrices:
Caso 1: Suponga que A y B son matrices. Si el número de columnas de A y el número de filas de B son idénticas, las matrices pueden multiplicarse como:
Donde es una matriz que representa el resultado de la multiplicación. Los elementos de C están relacionados con los de A y B por:
Dicho de otra forma, el elemento ij-ésimo de AB es igual al producto punto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B. Es decir:
El número de filas de C es igual al de A, y el número de columnas de C es igual al de B. En otras palabras, si A es una matriz de p x q y B una matriz de q x r , entonces C es una matriz de p x r. Obviamente, si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, C también será también una matriz cuadrada del mismo tamaño. Lo anterior es suficiente para deducir que el producto de AB no es igual a BA. Puede darse el caso especial donde AB = BA, a lo cual se dice que las matrices son conmutativas.
Caso 2: Dos matrices se pueden multiplicar sólo cuando el número de columna de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda. En ese caso se dice que las matrices son enlazadas.
Los elementos que ocupan la posición ij, en la matriz producto, se obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar los elementos de la i en la primera matriz por los elementos de la columna j de la segunda matriz. Observemos con detalle cómo se obtiene el elemento C23 en el siguiente ejemplo.
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Para poder multiplicar debemos revisar primero el número de filas x columnas, si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si:
Ejemplo caso1: Productos entre matrices. Sea:
Encontrar C = AB
Obtenemos así que:
Ejemplo caso 2: En el siguiente ejemplo podemos ver además cuál es el orden de la matriz producto.
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Nótese, además, que no podemos calcular B·A.
Ejercicio práctico: Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cuál es el tamaño de la matriz de la respuesta.
Ejemplo 1: Sigue el procedimiento establecido y anota todos tus comentarios.
2) Siempre se toma la primera matriz con la fila 1 (horizontal) con la 1 columna (vertical) marcada en la matriz.
1) Reviso el tamaño de la matrizA = 2 x 3 B = 3 x 3
Como son iguales se puede multiplicar.
Matriz A
Matriz B ¿Se puede multiplicar? Tamaño de respuesta
3 x 4 4 x 55 x 6 6 x 25 x 3 4 x 67 x 8 8 x 24 x 2 3 x 45 x 7 7 x 23 x 1 1 x 44 x 3 4 x 32 x 5 5 x 4
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(0×6 )+(1×9 )+(2×12 )=0+9+24=33
|0 1 23 4 5
| × |6 7 89 10 1112 13 14
|=[33 36 ]
(0×7 )+(1×10 )+ (2×13 )=0+10+26=36
|0 1 23 4 5
| × |6 7 89 10 11
12 13 14|=[33 36 39 ]
(0×8 )+(1×11 )+(2×14 )=0+11+28=39
|0 1 23 4 5
| × |6 7 89 10 11
12 13 14|=[33 36 39
114 ]
(3×6 )+( 4×9 )+(5×12 )=18+36+60=114
|0 1 23 4 5
| × |6 7 89 10 1112 13 14
|=[33 36 39114 126 ]
(3×7 )+(4×10 )+ (5×13 )=21+40+65=126
|0 1 23 4 5
| × |6 7 89 10 11
12 13 14|=[33 36 39
114 126 138 ]
(3×8 )+(4×11 )+(5×14 )=24+44+70=138
Respuesta:
|0 1 23 4 5
| × |6 7 89 10 11
12 13 14|=|33 36 39
114 126 138|
Ejemplo 2: Hay casos, como veremos en el siguiente ejemplo, en los que se pueden calcular ambos productos aunque se obtienen resultados diferentes. Consideremos las siguientes matrices:
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Y por otro lado,
Conclusión: Según se pudo comprobar a través de los ejemplos anteriores, para la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutativa.
Ejemplos de aplicación (1)
Modelo metalúrgicoSupongamos que una empresa fabrica tres modelos de máquinas herramientas, M1, M2 y M3, y como materia prima fundamental utiliza tres tipos de metales, Hierro (H), Níquel (N) y Cobalto (C). La cantidad de materia prima que necesita para fabricar cada máquina, expresada en toneladas, se muestra en la siguiente tabla a la cual le hacemos corresponder la matriz A.
Las mejores ofertas de la materia prima corresponden a los proveedores P1, P2 y P3. Los precios por tonelada (expresados en cierta unidad monetaria) impuestos por cada uno de los proveedores a cada uno de los metales aparecen en la siguiente tabla:
Queremos hacer una tabla de doble entrada que muestre el gasto en materia prima por modelo de máquina y proveedor. Dicha tabla se obtiene a través del siguiente producto matricial:
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Conclusión:Para interpretar los datos de esta tabla tomaremos como ejemplo el modelo M3 con el proveedor P1: Si compramos la materia prima al proveedor P1, los gastos por cada máquina del modelo M3 serán de 4160 unidades monetarias. Analizando la tabla podemos concluir que resulta más económico comprar la materia prima al proveedor P1.
Modelo educativoEn una academia de idiomas se imparte inglés y alemán en cuatro niveles y dos modalidades distintas: grupos normales y grupos reducidos. La matriz A expresa el número de personas por grupo, donde la primera columna corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los de alemán, y las filas, a los niveles primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente:
Las columnas de la matriz B reflejan el porcentaje de estudiantes (común para ambos idiomas) que siguen curso reducido (primera fila) y curso normal (segunda fila) para cada uno de los niveles:
a) Obtén la matriz que proporciona el número de
b) Sabiendo que la academia cobra 20 dls. por persona en grupos reducidos y 15 dls. por persona en grupo normal, halla la cantidad en cada uno de los idiomas.
Solucion: a) La matriz que nos da el número de estudiantes por modalidad e idioma es:
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Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a destajo para una compañía de muebles .Por cada juego de alcoba en caoba les pagan $500; si es de cedro les pagan $400 y si es de pino tratado les pagan $100. A continuación están las matrices A y B que representas sus producciones en enero y febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad.
Calcule las siguientes matrices y decida que representan.
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Métodos para la solución de sistemas lineales
I). Método de reducción de gauss-jordan
En esta parte el lector hallará la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando el Método de Gauss-Jordan.
1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan.
Solución:
a) Escribimos la matriz aumentada del sistema.
Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en los renglones de la matriz, para esto, escribiremos la matriz y a continuación una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) que estamos efectuando para que el lector pueda seguir el desarrollo.
Notación para las operaciones elementales en renglones
cRi nuevo renglón i de la matriz aumentada. Ri ↔ Rj, intercambio del renglón i con el renglón j. aRi + Rj, nuevo renglón j de la matriz aumentada.
b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida. Dividimos entre 2 todo el renglón 1 Multiplicamos por -3 todo el R1, sumando el R2
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Multiplicamos por -2/13 el R2 y por 2 el R3
Multiplicamos por 17 el R2 y sumamos el R3 (Resulta una matriz superior, en verde).
Multiplicamos por 13/96 el R3
Multiplicamos por -11/13 el R2 y sumamos R3
Multiplicamos por -1/2 el R3 y sumamos R1
Por últimos, multiplicamos -3/2 el R2 y sumamos R1 (Resulta una matriz inferior, en verde); se obtiene la matriz identidad (diagonal 1s, matriz superior e inferior 0s) y se termina la operación.
c)Interpretación del resultado. La última matriz escalonada reducida indica que:
La solución del sistema es x = 1, y = −1, z = 2.Nota: Para estar seguro del resultado se recomienda realizar la comprobación en cualquiera de las ecuaciones del sistema, los valores x, y, z, deben de satisfacer la igualdad.
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3). Información necesaria para el ejercicio.
Para el siguiente circuito obtenga el valor de las corrientes i1, i2, i3
Solución:
Primera ley de Kirchhoff: La suma de corrientes en el nodo A es cero: i1- i2- i3= 0La suma de corrientes en el nodo B es cero: i3+ i2- i1= 0
Segunda ley de Kirchhoff: En la malla cerrada BCAB= 5i1+5i3= 10En la malla cerrada BADB= -5i3+10i2= 16 En la malla cerrada BCADB= 5i1+10i2= 26
1. El signo − en la cuarta ecuación se debe a que la corriente va en sentido contrario, al sentido en que se recorre la malla. Obteniendo el sistema de ecuaciones:i1- i2- i3= 05i1+5i3= 10-5i3+10i2= 16 5i1+10i2= 26
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4). Del siguiente circuito eléctrico, obtener las ecuaciones lineales para encontrar los valores de i1, i2 e i3, aplicando a la vez el método por mallas.
Solucion: Las ecuaciones de malla que describen a este circuito son las siguientes:
15i1 − 5i2 = 20
−5i1 + 15i2 − 5i3 = 0
− 5i2_ + 20i3 = 0 Definiendo R, i, y v:
Podemos expresar el juego de ecuaciones como:
Que puede representarse mediante la matriz aumentada:
A continuación se muestra la solución del ejemplo del circuito eléctrico mediante Gauss-Jordan en forma analítica.
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II). Método de Determinantes y Regla de Cramer
En el análisis de circuitos, a menudo uno se encuentra con un conjunto de ecuaciones simultáneas que tiene la forma:
Donde hay n incógnitas x1, x2…xn por resolver, la forma anterior puede escribirse en forma matricial como:
Esta ecuación matricial puede ponerse
A es una matriz
Determinantes y Regla de Cramer
Se utilizan para obtener soluciones matemáticas de las incógnitas de dos o más ecuaciones simultáneas. Una vez que el procedimiento se comprende correctamente, es posible obtener las soluciones con un mínimo de tiempo y esfuerzo y, por lo general con menos errores que al utilizar otros métodos.
Considere las siguientes ecuaciones donde x y y son las incógnitas a1, a2, b1, b2, c1 y c2, son las constantes:
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La utilización de determinantes para resolver x y y requiere que se establezcan los siguientes formatos para cada variable:
Observe primero que solo aparecen coeficientes dentro de los corchetes verticales y que el denominador en cada expresión es el mismo. De hecho, el denominador lo constituyen simplemente los coeficientes de x y y. Al resolver para x, se reemplazan los coeficientes de x en el numerador por las constantes a la derecha del signo igual en las ecuaciones, y solo se repiten los coeficientes de la variable y.
Al resolver para y, se reemplazan los coeficientes de y en el numerador por las constantes a la derecha del signo igual en las ecuaciones, y solo se repiten los coeficientes de la variable x.
Cada configuración en el numerador y en el denominador de las ecuaciones se denomina determinante (D, Δ), el cual puede evaluarse de forma numérica:
En general, al desarrollar la expresión completa para x y y, tenemos lo siguiente:
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Ejemplo 1: Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la siguiente figura:
Solucion:
a). Arreglo matricial:
b). Obtener la determinante de la matriz:
c). Obtener los valores v1 y v2:
El uso de determinantes no se limita a la solución de 2 ecuaciones simultáneas, también puede aplicarse a cualquier cantidad de ecuaciones. Analizaremos el método abreviado que es aplicado únicamente a ecuaciones de tercer orden.
Considere las 3 ecuaciones simultáneas siguientes:
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La configuración de determinantes para x, y, z, puede obtenerse de una forma similar a la utilizada para dos ecuaciones simultáneas. El denominador es el determinante de los coeficientes de las incógnitas.
Nuevamente el denominador es el mismo para cada incógnita.
De donde:
El método abreviado consiste en repetir las primeras dos columnas del determinante a la derecha de éste y luego sumar los productos sobre diagonales especificas como se muestra a continuación:
1). Los productos de las diagonales 1, 2 y 3 son positivos y tienen las siguientes magnitudes.
2). Los productos de las diagonales 4, 5 y 6 son negativos y tienen las siguientes magnitudes.
3). La solución total es la suma de las diagonales 1, 2 y 3 menos la suma de las diagonales 4, 5 y 6.
Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
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Método general para sistemas de Ecuaciones de 3x3 en adelante (Expansión por cofactores).
El método general para determinantes de tercer orden o de órdenes superiores requiere que el determinante se desarrolla de la siguiente forma
El signo de cada cofactor esta indicado por la posición de los factores multiplicadores (a1, b1 y c1, en este caso) como se muestra en el formato estándar siguiente:
Ejemplo demostrativo: Calculo del Determinante de una Matriz 4x4
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Solucion:
a). Primero definimos dos corrientes de mallas en el sentido de las manecillas del reloj.
b). Comenzamos en la parte inferior izquierda de la malla 1, se escribe la ecuación aplicando LTK siguiente a medida que se procede por la ramas en el sentido de las manecillas del reloj.
-5 + 4i1 + 2(i1 – i2) – 2 = 0
Simplificando y agrupando términos, tenemos:
6i1 – 2i2 = 7
c). Hacemos lo mismo en la malla 2, por lo cual se puede escribir:
2 + 2(i2 - i1 ) + 5i2 + 1= 0
Simplificando y agrupando términos:
-2i1 + 7i2 = -3
Aplicamos matriz inversa y obtenemos i1 = 1.132 amps. e i2 = - 0.1053 amps.
d). La corriente que circula hacia afuera de la terminal de referencia positiva de la fuente de 2v es i1 – i2. Por lo tanto la fuente de 2v, suministra una potencia de: