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SISTEMAS DINMICOS, SISTEMAS DECONTROLE, E AES DE SEMIGRUPOS
Josiney Alves de SouzaUniversidade Estadual de Maring
Centro de Cincias ExatasPrograma de Ps-Graduao em Matemtica
MestradoOrientador: Carlos Jos Braga Barros
25 de Fevereiro de 2005
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ndice
1 Sistemas dinmicos 31.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Decomposio de Morse . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Atratores e repulsores . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Conjuntos transitivos
por cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Sistemas de controle 422.1 Preliminares . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Acessibilidade e
controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Conjuntos controlveis para sistemas de controle . . . . . .
. . 59
2.4 Conjuntos de controlabilidade total . . . . . . . . . . . .
. . . 732.5 Conjuntos controlveis por cadeias . . . . . . . . . . .
. . . . 80
3 Aes de semigrupos 833.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Conjuntos controlveis . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Conjuntos de Transitividade Total . . . . . . . . . . . . .
. . . 993.4 Conjuntos de Transitividade por Cadeias . . . . . . . .
. . . . 104
1
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Lista de Figuras
1.1 Dois conjuntos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 71.2 Pontos limites em um eixo do plano . . . . . . . . . . .
. . . . 81.3 Infinitos conjuntos limite . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 91.4 Fluxos no plano e na esfera . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 151.5 Decomposies de Morse na esfera . . . . . .
. . . . . . . . . . 161.6 Decomposies de Morse no disco unitrio . .
. . . . . . . . . 171.7 Decomposies de Morse no disco unitrio . . .
. . . . . . . . 181.8 Decomposies de Morse no disco unitrio . . . .
. . . . . . . 27
2.1 Trajetrias de um sistema de controle . . . . . . . . . . . .
. . 482.2 Concatenaes de trajetrias . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 492.3 rbitas pelo semigrupo de um sistema . . . . . . . . . .
. . . 562.4 rbitas de interior vazio e de interior no vazio . . . .
. . . . 572.5 rbitas de interior vazio . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 582.6 Atingibilidade de pontos distintos no plano . .
. . . . . . . . . 592.7 rbita de interior vazio em tempo limitado .
. . . . . . . . . 622.8 Decomposio de um conjunto controlvel
invariante . . . . . 792.9 Decomposio de um conjunto controlvel . .
. . . . . . . . . 802.10 Um conj. contr. por cadeias e infinitos
conj. controlveis . . . 82
3.1 rbita de um ponto no primeiro quadrante do plano . . . . . .
903.2 Cones convexos e um conj. de trans. aproximada . . . . . . .
943.3 Trs conjuntos controlveis no plano . . . . . . . . . . . . .
. 95
2
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Resumo
Na teoria de sistemas dinmicos, apresentamos o resultado de que
uma de-composio de Morse pode ser construda a partir de atratores.
Mostramostambm que se existe uma decomposio de Morse mais fina, os
conjuntosde Morse coincidem com as componentes conexas do conjunto
recorrente porcadeias. Na teoria de sistemas de controle, mostramos
que os conjuntos decontrolabilidade para conjuntos controlveis
efetivos coincidem com os con-juntos de controlabilidade total com
interior no vazio. Na teoria de aesde semigrupos, introduzimos o
conceito de conjunto de transitividade total,que generaliza o
conceito de conjunto de controlabilidade total. Mostramostambm que
um conjunto transitivo por cadeias pode ser construdo comointerseco
de conjuntos de transitividade aproximada para semigrupos
som-breados, sob a hiptese de transitividade local.
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Introduo
A teoria de sistemas dinmicos proveniente do estudo qualitativo
de equaesdiferenciais ordinrias. Como em Hirsh-Smale [11] e
Sotomayor [18], um sis-tema dinmico apresentado como um fluxo
determinado por uma equaodiferencial x0 = X (x), onde X um campo de
vetores em Rn. Estes estudosforam estendidos para espaos mtricos em
geral, onde um sistema dinmi-co contnuo se define como uma aplicao
contnua que mantm as mesmaspropriedades de um fluxo originado de
uma equao diferencial.No Captulo 1, desenvolvemos a teoria de
Conley sobre sistemas dinmi-
cos contnuos em espaos mtricos (veja [9]). Esta teoria foi
abordada porautores como Colonius e Kliemann em [8]. Em nossa
exposio, ampliamos ereorganizamos resultados apresentados em [8] e
em [9]. Apresentamos tam-bm novos exemplos tendo em vista uma
melhor compreenso geomtricados assuntos discutidos. Na seo
preliminar, definimos conjunto -limite eestudamos algumas de suas
propriedades. Este conceito crucial para o de-senvolvimento da
teoria. Em seguida, dando-se nfase especial para o caso deespaos
mtricos compactos, apresentamos os conceitos inter-relacionados
dedecomposio de Morse, de atratores e de conjuntos transitivos por
cadeias.No Captulo 2, desenvolvemos a teoria geomtrica de controle,
tendo co-
mo base os trabalhos de Bellicanta [1], de Colonius e Kliemann
[8] e de SanMartin [15]. Estudamos sistemas de controle em
variedades diferenciveis.Discutimos propriedades de rbitas de
sistemas e os conceitos de acessibili-dade e controlabilidade. Em
seguida, desenvolvemos uma seo sobre con-juntos controlveis para
sistemas de controle. Nesta seo, introduzimos adefinio de conjunto
de controlabilidade de um conjunto controlvel, fazendouma analogia
com o conceito de conjunto de transitividade de um
conjuntocontrolvel para aes de semigrupos como em San Martin e
Tonelli [17].Com a definio de conjunto de controlabilidade
apresentamos uma relaorelevante entre os conjuntos controlveis e os
conjuntos de controlabilidade
1
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total definidos por Bellicanta em [1] e tambm estudados neste
captulo.Apresentamos exemplos para ampliarmos a teoria e,
principalmente, paradestacarmos a geometria do assunto. Finalmente,
discutimos conjuntos con-trolveis por cadeias, encerrando a segunda
parte desta dissertao.Em alguns casos, um sistema de controle induz
uma ao de um semigrupo
de difeomorfismos na variedade diferencivel do sistema. Nesta
direo, oconceito de conjunto controlvel foi generalizado por San
Martin e Tonelli em[14], [17] e [19] para aes de semigrupos. Outros
trabalhos como os de BragaBarros [2] e [6] tambm apresentam estudos
sobre conjuntos controlveisneste contexto.No Captulo 3,
desenvolvemos um estudo sobre aes contnuas de semi-
grupos topolgicos em espaos topolgicos em geral. Apresentamos o
con-ceito de conjunto controlvel a partir de uma relao de
equivalncia noconjunto de recorrncia aproximada. Com respeito
transitividade de umsemigrupo, introduzimos o conceito de conjunto
de transitividade total, oqual no foi estudado anteriormente na
literatura. Generalizamos para aesde semigrupos o conceito de
controlabilidade total elaborado na teoria desistemas de controle.
Em especial, concentramo-nos em apresentar uma re-lao entre os
conjuntos de transitividade total e os conjuntos
controlveis.Finalmente, desenvolvemos um estudo sobre conjuntos de
transitividade porcadeias apresentado em trabalhos de Braga Barros
e San Martin [3], [4] e [5].Apresentamos uma generalizao do
conceito de transitividade por cadeiasdesenvolvido nas teorias de
sistemas dinmicos e sistemas de controle.
2
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Captulo 1
Sistemas dinmicos
Neste captulo, estudamos propriedades de sistemas dinmicos em
espaosmtricos. Os conceitos abordados foram estudados por Colonius
e Kliemannem [8] e Conley em [9]. Definiremos os conjuntos
-limites, que nos pos-sibilitam interpretar o comportamento
assinttico destes sistemas. Apre-sentaremos a definio de decomposio
de Morse para sistemas dinmicosem espaos mtricos compactos. Este
conceito central neste captulo. Oselementos de uma decomposio de
Morse so chamados conjuntos de Morse.Definiremos uma relao de ordem
entre estes conjuntos que ser crucial parao desenvolvimento da
teoria. Tambm introduziremos os conceitos de con-junto atrator e de
conjunto de transitividade por cadeias. Apresentaremosas relaes
entre esses conceitos e as decomposies de Morse. Mostraremosque uma
decomposio de Morse pode ser construda a partir de seqnciasde
atratores e, sob certas hipteses, os conjuntos de Morse coincidem
com ascomponentes recorrentes por cadeias.
1.1 Preliminares
Nesta seo, introduziremos os conceitos fundamentais e
discutiremos pro-priedades gerais de sistemas dinmicos em espaos
mtricos. Este estudo baseado em [8] e [9].Um sistema dinmico
determinado por uma aplicao contnua variante
no tempo que origina trajetrias atravs dos pontos do espao
considerado.Mais especificamente, temos
Definio 1.1 Seja (M,d) um espao mtrico. Um fluxo ou sistema
dinmi-
3
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co contnuo uma aplicao contnua : RM M que satisfaz (0, x) =x e
(t+ s, x) = (t, (s, x)), para todo x M e todo t, s R.
Fixando-se um ponto x M e t R, respectivamente, temos que
asaplicaes
x : R Ms 7 x (s) = (s, x)
e t : M My 7 t(y) = (t, y)
so contnuas. Na verdade, segue direto das propriedades de fluxo
que t um homeomorfismo, para todo t R.Para cada x M , o conjunto x
(R) denominado rbita de x.As rbitas de um sistema dinmico ou
coincidem ou so disjuntas.Vejamos alguns exemplos de sistemas
dinmicos.
Exemplo 1.1 Seja M = Rn e consideremos a aplicao
: RRn Rn(t, x) 7 (t, x) = (t+ x1, ..., t+ xn)
onde x = (x1, ..., xn) dado em coordenadas da base cannica de
Rn. Aaplicao contnua trivialmente. Alm disso temos que
(0, x) = x e (t+ s, x) = (t+ s+ x1, ..., t+ s+ xn) = (t, (s,
x))
para todo x Rn e todo t, s R. Logo, define um fluxo em Rn.
Fixando-sex M , a aplicao x (t) = (t, x) define uma equao de uma
reta em Rn.Logo, para cada x em M , a rbita de x uma reta passando
atravs de x.Agora, fixando-se t R, a aplicao t uma translao em
Rn.
Exemplo 1.2 Seja M = GL (n,R) e consideremos
: RGL(n,R) GL(n,R)(t, x) 7 (t, x) = etx
.
Esta aplicao contnua por ser linear em x. Alm disso, temos
que
(0, x) = e0x = x e (t+ s, x) = et+sx = etesx = (t, (s, x))
para todo x GL(n,R) e todo t, s R. Assim, define um sistema
dinmicoem GL(n,R).
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Exemplo 1.3 Sejam M uma variedade diferencivel e X um campo de
ve-tores diferencivel completo emM . Da teoria de equaes
diferenciais temosque as solues x (t) da equao diferencial ordinria
x
0 = X (x) originamo fluxo : RM M dado por (t, x) = x (t).
A seguir, definiremos conjunto -limite. Este conjunto uma
ferramen-ta importante para o estudo do comportamento assinttico de
um sistemadinmico.
Definio 1.2 Seja X um subconjunto de M . Os conjuntos
(X) =x M : existe uma seqncias de pontos (tn, xn) ,tn R e xn X,
com tn e (tn, xn) x
(X) =
x M : existe uma seqncias de pontos (tn, xn) ,tn R e xn X, com
tn e (tn, xn) x
so denominados, respectivamente, conjunto -limite e conjunto
-limite deX.
Em particular, para cada x M temos os seguintes conjuntos:
(x) =y M : existe uma seqncias de pontos x (tn) ,
com tn e x (tn) y
(x) =
y M : existe uma seqncias de pontos x (tn) ,
com tn e x (tn) y
.
Para t R e x M , denotaremos (t, x) = (t, x). Observemosque
tambm define um fluxo em M . Um conjunto -limite para um conjunto
-limite para . Dessa forma, verificar as propriedades de (X) para
se resume em verificar as propriedades de (X) para .Denominamos por
sistema dinmico reverso de .
Definio 1.3 Um subconjuntoX M dito invariante se (RX) X.
Observemos que um conjunto invariante X contm inteiramente as
tra-jetrias pelo fluxo atravs de qualquer um de seus pontos.Se um
subconjunto X M fechado e invariante ento (X) e (X)
esto contidos em X.
5
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Proposio 1.4 Os conjuntos -limites so fechados e invariantes. Em
par-ticular, se M compacto, os conjuntos -limites so no vazios,
compactose invariantes.
Demonstrao: Seja 6= X M . Se (X) um conjunto vazio ou pos-sui
apenas pontos isolados segue direto que (X) fechado. Suponhamos (X)
6= e y um ponto de acumulao de (X). Ento, existe uma se-qncia de
pontos xn em (X) com xn y quando n . Para cada n,existe uma seqncia
de pontos (tnk , x
nk), t
nk R e xnk X, com tnk e
(tnk , xnk) xn. Logo, existe um kn0 N tal que
d ( (tnk , xnk) , xn) 0
.
O fluxo determinado por esse sistema dado por
(t, x) =x1 +
x2a x2aeat, x2e
at.
8
alunos-cceFigura~
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Figura~1.3: Infinitos conjuntos limite
Quando t, temos que (t, x)x1 +
x2a, 0. Quando t , temos
que (t, x). Notemos que os pontos do eixo 0x1 so pontos
singulares.Neste caso, temos que
((x1, 0)) = ((x1, 0)) = {(x1, 0)} .Para os pontos que no
pertencem ao eixo 0x1, temos que
((x1, x2)) =nx1 +
x2a, 0o
e ((x1, x2)) = .
A Figura 1.2 ilustra o comportamento do fluxo.
Exemplo 1.7 Sejam M = R2 e X = (X1,X2) um campo de vetores
onde
X1 (x) = x2 + x1x21 + x
22
sen
p
x21 + x22
!e
X2 (x) = x1 + x2x21 + x
22
sen
p
x21 + x22
!.
Para todo x R2 o produto escalar entre x e X (x) dado por
hx,X (x)i = kxk4 sen kxk .
9
alunos-cceFigura~1.3:
-
A origem 0 de R2 o nico ponto singular. Logo,
(0) = (0) = {0} .
Se kxk = 1n, para n N, ento, a rbita de x pelo fluxo gerado por
X
a circunferncia de raio 1ncentrada na origem de R2. Denotemos
esta
circunferncia por Cn, para cada n N. Neste caso, temos que
(x) = (x) = Cn.
Se kxk > 1, a rbita de x uma espiral tendendo para o infinito
em tempopositivo e se aproximando de C1 em tempo negativo. Assim,
temos que
(x) = e (x) = C1.
Se 1n+1
< kxk < 1na rbita de x uma espiral contida na regio
entre
as circunferncias Cn e Cn+1. Se n par, a trajetria se aproxima
de Cnem tempo positivo e se aproxima de Cn+1 em tempo negativo.
Desta forma,temos que
(x) = Cn e (x) = Cn+1.
Se n mpar, a trajetria se aproxima de Cn+1 em tempo positivo e
de Cnem tempo negativo. Desta forma, temos que
(x) = Cn+1 e (x) = Cn.
Em qualquer caso (n par ou n mpar) observemos que os conjuntos
-limitesesto contidos em circunferncias Cj com j par, e os
conjuntos -limitesesto contidos em circunferncias Cj com j mpar,
considerando-se pontosno disco unitrio. Podemos observar o
comportamento do fluxo na Figura1.3.
1.2 Decomposio de Morse
Nesta seo apresentaremos a definio de decomposio de Morse para
sis-temas dinmicos em espaos mtricos compactos. Uma decomposio
deMorse contm todos os conjuntos -limites e -limites para o fluxo,
o quenos permite descrever o comportamento assinttico do sistema.A
partir desta seo, consideraremos M um espao mtrico compacto.
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Definio 1.5 Um subconjunto Y M dito invariante isolado se este
invariante e existe uma vizinhana V (Y ) de Y tal que x (R) V (Y )
im-plica em x Y . Neste caso, a vizinhana V (Y ) dita vizinhana
invariantede Y .
Portanto, se uma trajetria est inteiramente contida em uma
vizinhanainvariante de um conjunto invariante isolado, ento, esta
trajetria deve estarcontida no conjunto.
Definio 1.6 Uma decomposio de Morse de um fluxo em um
espaomtrico compacto M uma coleo finita M = {Ci, i = 1, ..., n} de
con-juntos compactos no vazios, invariantes isolados e dois a dois
disjuntos taisque
1. Para todo x M tem-se (x) , (x) nSi=1
Ci e
2. Supondo que existem Cj0 , Cj1 , ..., Cjl e x1, ..., xl
M\nSi=1
Ci com (xk) Cjk1 e (xk) Cjk , para k = 1, ..., l, ento, Cj0 6=
Cjl.
Os elementos de uma decomposio de Morse so chamados conjuntos
deMorse.
O resultado seguinte apresenta uma propriedade que satisfeita
pelosconjuntos de uma decomposio de Morse.
Proposio 1.7 Seja M = {Ci, i = 1, ..., n} uma decomposio de
Morsepara um fluxo em M . Se para algum x M e j {1, ..., n} tem-se
(x) (x) Cj, ento, x Cj.
Demonstrao: Como M compacto, os conjuntos (x) , (x) no so
vazios. Seja x M tal que (x) (x) Cj. Suponhamos que x /nSi=1
Ci.Como (x) Cj e (x) Cj, segue-se do tem 2 da Definio 1.6 queCj
6= Cj. Desse absurdo, temos que x Ck, para algum k {1, ..., n}. O
fatode Ck ser compacto e invariante implica que (x) , (x) Ck.
Finalmente,como os conjuntos de Morse so dois a dois disjuntos,
temos que Ck = Cj.Portanto, x Cj. 2
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Observemos que se um ponto x deM pertence a algum conjunto de
MorseCi de uma decomposioM, ento, a rbita de x e os conjuntos (x) ,
(x)esto contidos em Ci. Agora, se x exterior a qualquer conjunto de
MorsedeM, ento, a rbita de x no intersepta um conjunto de Morse,
apesar de (x) , (x)
nSi=1
Ci.A seguir, veremos que a condio 2 da Definio 1.6 crucial para
a
definio de uma relao de ordem parcial entre os conjuntos de uma
decom-posio de Morse.
Definio 1.8 SejaM uma decomposio de Morse para um fluxo em M
.Dados C, C M, definimos a relao C 2 C se, e somente se, existemCj0
= C, Cj1 , ..., Cjm = C e x1, ..., xm M com (xk) Cjk1 e (xk) Cjk,
para k = 1, ...,m.
Proposio 1.9 A relao 2 uma relao de ordem entre os conjuntosde
Morse de uma decomposio de MorseM = {Ci, i = 1, ..., n}.
Demonstrao: Tomemos x Ci. Pela compacidade e invariana de
Ci,temos que (x) Ci e (x) Ci. Logo, Ci 2 Ci, para i = 1, ..., n,
mostran-do a propriedade reflexiva. Suponhamos que C 2 C e C 2 C.
Obtemos,ento, Cj0 = C, Cj1, ..., Cjm = C e x1, ..., xm M com (xk)
Cjk1 e (xk) Cjk , para k = 1, ...,m, onde C = Cjk , para algum k.
Como Cj0 =C = Cjm, deve existir algum xkl
nSi=1
Ci, devido a condio 2 da Definio 1.6.Assim, xkl Cl, para algum l
{1, ..., n}, logo, (xkl) , (xkl) Cl. Mas, (xkl) Cjkl1 e (xkl) Cjkl
, e como os conjuntos de Morse so dois a doisdisjuntos, temos que
Cjkl1 = Cl = Cjkl . Assim, M = {Ci, i = 1, ..., n 1}.Aplicando-se o
mesmo argumento sucessivamente, mostramos que C = Cjk ,para todo k
= 1, ...,m. Portanto, C = C, mostrando a propriedade anti-simtrica.
A propriedade transitiva segue diretamente da definio de 2 .2
Como uma recproca, temos o seguinte resultado.
Proposio 1.10 Seja {Ci, i = 1, ..., n} M uma coleo finita de
con-juntos compactos no vazios, invariantes isolados e dois a dois
disjuntossatisfazendo
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(i) (x) , (x) nSi=1
Ci, para todo x M ;(ii) (x) (x) Ci implica x Ci; e(iii) a relao
2 de ordem entre os conjuntos Ci.Ento, {Ci, i = 1, ..., n} uma
decomposio de Morse para o fluxo em
M .
Demonstrao: Para obtermos o resultado, basta mostrarmos que a
coleo{Ci, i = 1, ..., n} satisfaz a condio 2 da Definio 1.6.
Suponhamos por ab-surdo que existam Cj0, Cj1, ..., Cjl e x1, ...,
xl M\
nSi=1
Ci com (xk) Cjk1e (xk) Cjk , para k = 1, ..., l, e Cj0 = Cjl .
Para qualquer k = 1, ..., l 1,temos que Cj0 2 Cjk e Cjk 2 Cjl = Cj0
. Como 2 uma relao de ordem,temos que Cjk = Cj0, para todo k = 1,
..., l. Dessa forma, (xk) Cj0 e (xk) Cj0, para todo k = 1, ..., l.
Segue pela hiptese (ii) que xk Cj0,contradizendo o fato de xk
M\
nSi=1
Ci. Portanto, temos que Cj0 6= Cjl. 2
Enumerando-se os conjuntos de Morse de tal forma que Ci 2 Cj
impliquei j, a decomposio de Morse descreve o fluxo atravs de seus
movimen-tos a partir dos conjuntos de Morse de ndices inferiores
para os de ndicessuperiores.Um sistema dinmico pode no admitir uma
nica decomposio de
Morse. Contudo, uma decomposio M = {Ci, i = 1, ..., n} mais fina
doque uma decomposioM0 = C0j, j = 1, ...,m se para cada j existe i
comCi C0j.
Definio 1.11 Uma decomposio de MorseM para um fluxo emM ditamais
fina se para qualquer outra decomposio de MorseM0 tem-se queM mais
fina do queM0.
Nem sempre existe uma decomposio de Morse mais fina para o
fluxoem M , como podemos observar no Exemplo 1.9.SejamM = {Ci, i =
1, ..., n} eM0 =
C0j, j = 1, ...,m duas decomposi-es de Morse para um fluxo em M
. Denotaremos
M M0 = Ci C0j, i, jonde somente os ndices i e j com Ci C0j 6= so
admitidos.
13
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Proposio 1.12 Sejam M = {Ci, i = 1, ..., n} e M0 =C0j, j = 1,
...,m
duas decomposies de Morse para um fluxo em M . Ento, M M0 uma
decomposio de Morse.
Demonstrao: Segue direto da definio de M M0 que seus elemen-tos
Ci C0j so conjuntos compactos no vazios e dois a dois disjuntos.
Sex Ci C0j, temos que x (R) Ci C0j, pois Ci e C0j so invariantes.
Logo,Ci C0j invariante. Alm disso, a interseo das vizinhanas
invariantes deCi e C0j uma vizinhana invariante para CiC0j.
Portanto, CiC0j invarianteisolado, para todo i, j. Agora, dado
qualquer x M e y (x), temos quey Ci e y C0j, para algum i, j. Logo,
(x)
Si,j
Ci C0j. Analogamentepara o caso de (x). Portanto,M M0 satisfaz a
condio 1 da Definio1.6. Finalmente, suponhamos que existam Ck0 C0k0
, Ck1 C0k1 , ..., Ckm C0kme x1, ..., xm M\
Si,j
Ci C0j com (xl) Ckl1 C0kl1 e (xl) Ckl C0kl ,para l = 1, ...,m.
Como Ckl C0kl Ckl, para todo l = 1, ...,m, temos queCk0 6= Ckm,
logo, Ck0 e Ckm so disjuntos. Portanto, Ck0 C0k0 6= Ckm
C0km,mostrando queM M0 tambm satisfaz a condio 2 da Definio 1.6.
2
Como conseqncia da Proposio 1.12 temos que uma interseo finitade
decomposies de Morse para um fluxo em M uma decomposio deMorse.A
seguir, apresentaremos alguns exemplos de decomposio de Morse.
Exemplo 1.8 Consideremos o fluxo : R R2 R2 gerado pelo campode
vetores do Exemplo 1.5. Vamos definir um sistema dinmico na esferaS
R3 de raio 1/2, centrada em (0, 0, 1/2) e com a topologia mtrica
induzidade R3. Sejam N = (0, 0, 1) e S = (0, 0, 0) o plo norte e o
plo sul de S,respectivamente. Tomemos a projeo estereogrfica : S\
{N} R2 econsideremos a aplicao F : R S\ {N} S\ {N} dada por
F (t, x) = 1 (idR ) (t, x) .
Como F uma composio de aplicaes contnuas temos que F contnua.Alm
disso, para todo x S\ {N} e t, s R, temos que
F (0, x) = 1 (0, (x)) = 1 ( (x)) = xe
14
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Figura~1.4: Fluxos no plano e na esfera
F (t, F (s, x)) = 1 (idR )t, 1 (s, (x))
= 1 (t, (s, (x)))= 1 (t+ s, (x))= 1 (idR ) (t+ s, x)= F (t+ s,
x) .
Agora, definamos em S o fluxo : R S S dado por
(t, x) =F (t, x) , se x 6= NN , se x = N
.
Os pontos N e S so os pontos singulares do sistema. Assim,
(N) = (N) = {N} e (S) = (S) = {S} .Denotemos por E o equador de
S. Se x E, temos que
(x) = (x) = E.
Se x pertence regio de S entre o plo norte e o equador, temos
que
(x) = E e (x) = {N} .Se x pertence regio de S entre o plo sul e
o equador, temos que
(x) = E e (x) = {S} .
15
alunos-cceFigura~
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Figura~1.5: Decomposies de Morse na esfera
A Figura 1.4 ilustra os movimentos do fluxo. Observemos que os
conjuntos dacoleoM = {E, {N} , {S}} so compactos no vazios,
invariantes isoladose dois a dois disjuntos. Alm disso, (x) , (x) E
{N} {S}, paratodo x S. A relao 2 de ordem entre os elementos deM j
que asnicas relaes possveis so
E 2 E, {N} 2 {N} , {S} 2 {S} , {N} 2 E, {S} 2 E.
Finalmente, se (x) , (x) E, ento x E, j que x / E implica (x)
/E; se (x) , (x) {N}, ento, x = N , e se (x) , (x) {S}, ento,x = S.
Portanto,M define uma decomposio de Morse em S.Denotando por HN e
HS respectivamente o hemisfrio norte e o hemis-
frio sul de S, podemos apresentar as possveis decomposies de
Morse parao fluxo em S:
M1 = {E, {N} , {S}} , M2 = {E, {N,S}} , M3 = {HN , {S}} ,M4 =
{HS, {N}} e M5 = S.
Notemos queM1 a decomposio de Morse mais fina (veja Figura
1.5).
Exemplo 1.9 SejaM = {x R2 : kxk 1} com a topologia mtrica
induzi-da de R2. Consideremos o campo de vetores X do Exemplo 1.7
restrito a M .Para cada n natural, denotaremos os conjuntos
Cn =
x M : kxk = 1
n
,
16
alunos-cceFigura~
-
Figura~1.6: Decomposies de Morse no disco unitrio
Kn =
x M : 1
n+ 1 kxk 1
n
Dn =
x M : kxk 1
n
.
Fixemos um nmero par n e definamos os conjuntos
C1 = C1,Ci = K2i2, para i = 2, ..., n/2,Cn2+1 = Dn
.
Denotando kn = n2 + 1, vejamos que a coleoMkn = {C1, C2, ...,
Ckn} defineuma decomposio de Morse para o fluxo gerado por X emM .
Os elementosde Mkn so conjuntos compactos no vazios, invariantes
isolados e dois adois disjuntos. Alm disso, (x) , (x)
knSi=1
Ci, para todo x M . Agora,
suponhamos que existam Ci0 , Ci1, ..., Cil e x1, ..., xl
M\knSi=1
Ci com (xk) Cik1 e (xk) Cik , para k = 1, ..., l. Observemos que
(xk) Cik1 implica (xk) Cik1+1, logo, Cik = Cik1+1. Ou seja, Ci0,
Ci1, ..., Cil uma seqnciade conjuntos que obedece a ordem dos
ndices em Mkn. Assim, temos queCi0 6= Cil. Portanto, Mkn uma
decomposio de Morse (veja Figura 1.6).
Neste mesmo exemplo, fixando-se qualquer nmero natural n, a
coleoMn = {C1, ..., Cn} onde Ci = Ci para i = 1, ..., n 1 e Cn = Dn
tambmdefine uma decomposio de Morse. De fato, os elementos deMn so
con-juntos compactos no vazios, invariantes isolados e dois a dois
disjuntos.
17
alunos-cceFigura~1.6:
-
Figura~1.7: Decomposies de Morse no disco unitrio
Alm disso, temos que (x) , (x) nSi=1
Ci, para todo x M . Observemosque um conjunto Ci contm somente
conjuntos -limites ou somente conjun-tos -limites para pontos em
seu exterior. Agora, suponhamos que existam
Ci0, Ci1 , ..., Cil e x1, ..., xl M\nSi=1
Ci com (xk) Cik1 e (xk) Cik , parak = 1, ..., l, com Ci0 = Cil.
Ento, temos que (x1) Ci0 e (xl) Ci0.Neste caso, ou x1 Ci0 ou xl
Ci0, o que uma contradio. Logo, Ci0 6= Cile, portanto,Mn uma
decomposio de Morse (veja Figura 1.7).Notemos que podemos definir
uma decomposio de Morse para cada n
natural. Dessa forma, no existe uma decomposio de Morse mais
fina parao fluxo em M .
1.3 Atratores e repulsores
O objetivo desta seo introduzir o conceito de atratores e
repulsores parafluxos e apresentar sua relao com as decomposies de
Morse. Uma de-composio de Morse pode ser construda a partir de
atratores e repulsores,que so conjuntos fechados e invariantes.
Definio 1.13 Dado um fluxo em um espao mtrico compacto M ,
umconjunto A M um atrator se admite uma vizinhana V tal que (V )
=A. Um repulsor um conjunto R M que possui uma vizinhana V talque
(V ) = R.
18
alunos-cceFigura~1.7:
-
Uma vizinhana V e uma vizinhana V da Definio 1.13 so
chamadasrespectivamente vizinhana atratora de A e vizinhana
repulsora deR. Comoos conjuntos -limites so compactos e
invariantes, segue que os atratores erepulsores tambm o so.Notemos
que um repulsor para um fluxo um atrator para o fluxo
reverso .Contudo, assumiremos que o conjunto vazio um
atrator.
Proposio 1.14 Se A um atrator em um espao mtrico compacto M eX M
um conjunto compacto e invariante, ento, A X um atratorpara o fluxo
restrito a X.
Demonstrao: Consideremos X com a topologia induzida e tomemos
umavizinhana atratora V de A. Se A X = no h o que demonstrar. SejaA
X 6= . Notemos que V X uma vizinhana de A X em X. Como (V ) = A,
temos que (V )X = AX. No entanto, se x (V )X, en-to, x intX (V X) e
existe uma seqncia { (tn, vn)} convergindo parax, com tn e vn V .
Assim, a seqncia { (tn, vn)} est contidaem V X exceto para um nmero
finito de termos. Pela invariancia de Xtemos que vn X. Logo, (tn,
vn) x, com tn e vn V X.Ou seja, x (V X). Portanto, (V ) X (V X).
Desta for-ma, temos que A X (V X). Por outro lado, como (X) Xtemos
que (V X) X. Alm disso, (V X) (V ) = A. Logo, (V X) A X. Portanto,
(V X) = A X. 2
Lema 1.15 Para toda vizinhana atratora V de um atrator A, existe
umt > 0 com fe ( ([t,) V )) int (V ).Demonstrao: Suponhamos por
absurdo que para qualquer t > 0, existeum x fe ( ([t,) V )) tal
que x / int (V ). Ento, para cada n natural,existe um ponto xn fe (
([n,) V )) com xn / int (V ). Obtemos, assim,uma seqncia (xn)nN de
pontos em M\int (V ). Como M\int (V ) umconjunto fechado, ento,
este compacto. Tomando-se uma subseqncia senecessrio, temos que xn
x, para algum x M\int (V ). Agora, para cadan, existe uma seqncia
(tnk , v
nk ) xn, quando k , com tnk [n,) e
vnk V . Logo, deve existir um k0 natural tal que k > k0
implica em
d ( (tnk , vnk ) , xn) k0. Temos que
dtnkn, v
nkn
, x d
tnkn , v
nkn
, xn+ d (xn, x) 0 tal que fe ( ([t,) V )) int (V ). Denotemos o
conjuntoaberto
V =M\fe ( ([t,) V )) .Vejamos que ((,t] V ) M\V . Suponhamos por
absurdo quepara algum t0 (,t], existe v0 V com (t0, v0) = x V .
Ento,v0 = (t0, x), com t0 [t,) e x V , isto , v0 ([t,) V ),
con-tradizendo o fato de v0 V . Dessa forma, temos que (V ) M\V ,
ecomo M\V M\fe ( ([t,) V )) = V , segue que (V ) V . ComoV aberto,
temos que V uma vizinhana de (V ). Resta mostrar que (V ) = A. Dado
y (V ), pela invariancia e compacidade de (V ),temos que (y) (V ),
logo, (y) M\V , e como A int (V ), segue-seque (y) A = . Portanto,
y A. Por outro lado, dado qualquer z A,temos que (z)V = , pois do
contrrio, se existisse w (z)V , teramosque (w) (z) e (w) (V ) = A,
logo, (z) A 6= , o que contradizz A. Dessa forma, (z) M\V V .
Agora, tomemos w0 (z). En-to, w0 V e existe uma seqncia de pontos
(tk, z) w0 com tk .Como V aberto, para valores de k suficientemente
grandes, temos que (tk, z) V . Evidentemente, (tk, (tk, z)) z, com
tk e (tk, z) V , logo, z (V ). Portanto, (V ) = A. 2
O par de conjuntos (A,A) chamado par atrator-repulsor. Como A Ve
A M\V , ento, A e A so disjuntos. Notemos que para o atrator
trivialM temos que M = .O seguinte resultado apresenta uma
propriedade importante de um par
atrator-repulsor.
20
-
Proposio 1.17 Se (A,A) um par atrator-repulsor e x / AA, ento,
(x) A e (x) A.
Demonstrao: Seja x / A A. Como x / A, temos que (x) A 6=
.Escolhamos a (x) A. Ento, existe uma seqncia de pontos (tn,
x)convergindo para a, com tn . Tomando-se uma vizinhana atratora V
deA, temos que a int (V ). Assim, existe um tn0 > 0 com (tn0, x)
int (V ).Dado qualquer y (x), existe uma seqncia (tk, x) y, com tk
.Mas,
(tk, x) = (tk tn0 + tn0 , x) = (tk tn0 , (tn0, x))logo, (tk tn0,
(tn0 , x)) y, com tk tn0 . Como (V ) = A, temosque y A. Portanto,
(x) A. Agora, suponhamos por absurdo que existey (x) tal que y / A.
Ento, existem a A, uma seqncia (tk, y)convergindo para a, com tk ,
e uma seqncia (tn, x) convergindopara y, com tn . Como a int (V ),
existe um N N tal que (tN , y) int (V ). Pela continuidade de tN ,
temos que
(tN + tn, x) (tN , y) ,
com tN + tn . Logo, para valores de n suficientemente grandes,
(tN + tn, x) int (V ). Evidentemente, temos que
( (tN + tn) , (tN + tn, x)) x
onde (tN + tn) e (tN + tn, x) V . Logo, x (V ) = A, o que uma
contradio. Portanto, (x) A. 2
Para o fluxo reverso, o repulsor complementar de A A.O prximo
resultado nos d uma condio necessria e suficiente para
que um conjunto compacto e invariante seja um atrator.
Proposio 1.18 Para um fluxo em um espao mtrico compacto M ,
umconjunto compacto e invariante A um atrator se, e somente se,
existe umavizinhana compacta V de A tal que x ((, 0]) * V , para
todo x V \A.
Demonstrao: Seja A um atrator e N uma vizinhana atratora de
A.Suponhamos que para toda vizinhana aberta V de A existe x V \A
talque x ((, 0]) V . Consideremos em particular V N . Para todon N,
temos que (n, x) V , e como (n, (n, x)) x, com n,
21
-
segue que x (V ) A, o que contradiz x V \A. Assim, pelos
resultadossobre separabilidade em espaos mtricos, podemos escolher
uma vizinhanacompacta V de A tal que x ((, 0]) * V , para todo x V
\A. Recipro-camente, seja V uma vizinhana compacta de A tal que x
((, 0]) * V ,para todo x V \A. Ento, existe um t > 0 tal que x
([t, 0]) * V ,para todo x fr (V ). Se y A, ento, y ([0, t]) A int
(V ), lo-go, existe uma vizinhana aberta Vy de y tal que ([0, t]
Vy) int (V ).Dessa forma, dado qualquer a Vy, temos que a ([0, t])
int (V ). Sejat0 = sup {t : a ([0, t]) V }. Ento, t0 t. Suponhamos
que t0 finito.Neste caso, temos que z = (t0, a) V , pois V fechado.
No entanto,z / fr (V ), pois
z ([t, 0]) = a ([t0 t, t0]) a ([0, t0]) V.
Logo, t0 no pode ser supremo de {t : a ([0, t]) V }. Assim, t0
infinito, ouseja, a ([0,)) V . Portanto, ([0,) Vy) V . Agora, o
conjunto
VA =[yA
Vy
uma vizinhana de A tal que ([0,) VA) V , logo, (VA) V , pois V
compacto. Resta mostrar que (VA) = A. Seja z (VA). Ento, z V .Como
(VA) invariante, temos que z ((, 0]) (VA) V . Assim,z A e,
portanto, (VA) A. Por outro lado, o fato de A ser invarianteimplica
que A (A) (VA). Logo, (VA) = A e, portanto, A umatrator. 2
Da Proposio 1.18 seguem dois resultados relevantes.
Corolrio 1.19 Seja S um subespao de M . Se A um atrator em S e S
um atrator em M , ento, A um atrator em M .
Demonstrao: Se A um atrator em M , segue da Proposio 1.18
queexiste uma vizinhana compacta VS de A em S tal que x ((, 0]) *
VS,para todo x VS\A. Consideremos a vizinhana compacta V de A emM
tal que V S = VS. Tomemos a vizinhana compacta N de S talque x ((,
0]) * N , para todo x N\S. Temos que V N umavizinhana compacta de A
em M . Seja x (V N) \A. Se x S,ento, x (V S) \A, logo, x ((, 0]) *
V S. Como S invari-ante, temos que x ((, 0]) S. Logo, x ((, 0]) * V
e, portanto,
22
-
x ((, 0]) * V N . Se x / S, temos que x ((, 0]) * N , pois x
N\S.Logo, x ((, 0]) * V N , para todo x (V N) \A, e o resultado
segueda Propisio 1.18. 2
Corolrio 1.20 Um atrator A para um fluxo em M um conjunto
invari-ante isolado.
Demonstrao: Sabemos que A um conjunto invariante para o fluxo
emM . Alm disso, pela Proposio 1.18, existe uma vizinhana compacta
V deA tal que x ((, 0]) * V , para todo x V \A. Suponhamos que x V
tal que x (R) V . Em particular, x ((, 0]) V , logo, x A.
Portan-to, V uma vizinhana invariante para A. 2
Finalmente, mostraremos a relao que existe entre os pares
atrator-repulsor e as decomposies de Morse. Uma decomposio de Morse
serenumerada de acordo com a relao de ordem entre seus
elementos.
Teorema 1.21 Uma coleo {C1, ..., Cn} de subconjuntos de um espao
mtri-co compacto M define uma decomposio de Morse para um fluxo em
M se,e somente se, existe uma seqncia de atratores
= A0 A1 ... An =M
tal que Cni = Ai+1 Ai , para 0 i n 1.
Demonstrao: SejaM = {C1, ..., Cn} uma decomposio de Morse para
ofluxo. Se n = 1, temos a decomposio de Morse trivial {M}. A
seqnciade atratores dada por
= A0 A1 =M.Procedendo por induo, suponhamos que o resultado
vlido para valoresm < n. Seja V uma vizinhana compacta de Cn tal
que V Ci = , parai {1, ..., n 1}. Se x V \Cn, temos que
(x) C1 ... Cn1pois do contrrio, devido a relao de ordem entre os
conjuntos de Morse,teramos (x) , (x) Cn, logo, pela Proposio 1.7, x
Cn, o que umacontradio. Assim, x ((, 0]) * V , para todo x V \Cn.
Da Proposio
23
-
1.18 segue que Cn um atrator. Tomemos Cn, o repulsor
complementar de CnemM . A coleo {C1, ..., Cn1} est contida em Cn e
define uma decomposiode Morse em Cn. Pela hiptese de induo, existe
uma seqncia de atratores
= A1 A2 ... An = Cntais que Cnj = Aj+1 Aj , para j = 1, ..., n
1. Observemos que A1 = Cne An = . Como Ai um repulsor em Cn e Cn um
repulsor em M , ento,Ai um repulsor em M , para i = 1, ..., n.
Dessa forma, seja Ai o atratorcomplementar de Ai em M . Obtemos uma
seqncia de atratores
= A0 A1 ... An
onde A1 = Cn e An = M . Como Cn Ai, para i = 1, ..., n, temos
queAi Cn. Da Proposio 1.14 temos que (Ai Cn, Ai Cn) um par
atrator-repulsor para o fluxo restrito a Cn. Como Ai Cn = Ai o
repulsor comple-mentar de Ai em Cn, temos que Ai Cn = Ai.
Assim,
Ai+1 Ai = Ai+1 Cn Ai = Ai+1 Ai = Cnipara 1 i n1. Para i = 0,
temos que A1A0 = Cn, e segue o resultado.Reciprocamente, seja
= A0 A1 ... An =M
uma seqncia de atratores tal que Cni = Ai+1 Ai , para 0 i n 1.Os
elementos da coleo {C1, ..., Cn} so intersees de conjuntos
compactose invariantes isolados. Logo, estes elementos so conjuntos
compactos e in-variantes isolados. Se i < j, temos que
Cni Cnj = Ai+1 Ai Aj+1 Aj= Ai+1 Aj Aj Aj = .
Logo, os elementos da coleo {C1, ..., Cn} so conjuntos dois a
dois disjuntos.Agora, dado qualquer x M , existe um menor ndice i
tal que (x) Ai.Alm disso, como
= An An1 ... A0 =Mexiste ummaior ndice j tal que (x) Aj .
Notemos que i > 0 e j < n. Co-mo (x) * Ai1, ento, (x)Ai1 = ,
ou seja, x Ai1. Pela invariancia
24
-
de Ai1, temos que (x) Ai1, logo, (x) AiAi1 = Cni+1.
Analoga-mente, como (x) * Aj+1, temos que x Aj+1. Assim, (x) Aj+1,
logo, (x) Aj+1 Aj = Cnj. Suponhamos que j < i 1. Ento, j+1 i
1,logo, Ai1 Aj+1. Dessa forma, x Aj+1Ai1 Aj+1 Aj+1 = , o que um
absurdo. Portanto, j i 1, e segue que n j n i+1. Se j = i 1,isto ,
(x) (x) Cnj, temos que x Aj+1 Aj = Cnj. Segue-seda Proposio 1.10
que a coleo {C1, ..., Cn} uma decomposio de Morsepara o fluxo em M
. 2
Corolrio 1.22 Seja M = {C1, ..., Cn} uma decomposio de Morse
paraum fluxo em M . Ento, existe uma seqncia de atratores
= A0 A1 ... An =M
tal quen[i=1
Ci =n\i=0
Ai Ai .
Demonstrao: Pelo Teorema 1.21 existe uma seqncia de
atratores
= A0 A1 ... An =M
tal que Cnj = Aj+1 Aj , para 0 j n 1. Seja x nSi=1
Ci. Ento, x Cnj, para algum 0 j n 1, logo, x Aj+1 Aj .
Conseqentemente,x Ak, para todo k j, e x Al, para todo l j + 1.
Logo, x Ai Ai ,para todo i = 0, 1, ..., n. Portanto,
nSi=1
Ci nTi=0
Ai Ai . Por outro lado,
escolhamos y nTi=0
AiAi . Existe um menor ndice j 6= 0 tal que (y) Aj.Assim, (y)
Aj1 = , logo, y Aj1. Como (y) Aj 6= , temos quey / Aj . Isto
significa que y Aj. Dessa forma, y Aj Aj1 = Cn(j1) .Portanto,
nTi=0
Ai Ai nSi=1
Ci e o resultado segue. 2
Nos exemplos seguintes, construiremos as decomposies de Morse a
par-tir de pares atrator-repulsor.
25
-
Exemplo 1.10 Consideremos M = S e o fluxo como no Exemplo 1.8.Os
atratores para o fluxo em S so: , o equador E, o hemisfrio HN ,
ohemisfrio HS e S. Os repulsores complementares de E,HN e HS so
dadosrespectivamente por E = {N,S} ,HN = {S} e HS = {N}.Tomando-se
a seqncia de atratores
= A0 A1 = E A2 = HN A3 = S
temos que A1 A0 = E, A2 A1 = {N}, A3 A2 = {S}. Assim, obtemos
adecomposio de MorseM1 = {E, {N} , {S}}.Tomando-se a seqncia de
atratores
= A0 A1 = E A2 = S
temos que A1 A0 = E, A2 A1 = {N,S}. Assim, obtemos a
decomposiode MorseM2 = {E, {N,S}}.A seqncia de atratores
= A0 A1 = HN A2 = S
nos d a decomposioM3 = {HN , {S}} .Por fim, a seqncia de
atratores
= A0 A1 = HS A2 = S
nos dM4 = {HS, {N}}.
Exemplo 1.11 Consideremos o fluxo em M = {x R2 : kxk 1} como
noExemplo 1.9. O disco Dn =
x M : kxk 1
n
um atrator com vizinhana
atratora Vn =x M : kxk < 1
n1, para qualquer nmero par n. O repulsor
complementar de Dn dado por
Dn =M\Vn =x M : 1
n 1 kxk 1.
Fixemos, ento, um nmero par n e denotemos Ai = Dn2(i1), para i
=1, ..., n/2, e An
2+1 =M . Obtemos uma seqncia de atratores
= A0 A1 ... An2+1 =M
26
-
Figura~1.8: Decomposies de Morse no disco unitrio
tal que
Cn2+1i = Ai+1 Ai = Dn2i M\Vn2(i1)
=
x M : 1
n 2i+ 1 kxk 1
n 2i
= Kn2i
para i = 1, ..., n2 1,
C1 = An2+1 An
2=M C1 = C1 e
Cn2+1 = A1 A0 = Dn M = Dn.
Assim, temos a decomposio de MorseMkn =C1, C2, ..., Cn
2+1
. Agora,
dado qualquer natural n > 1 (para n = 1 o caso ser o trivial)
denotemoso conjunto Ai =
x M : 1
2i kxk 1, para i = 1, ..., n 1, e An = M .
Cada conjunto Ai um atrator e seu repulsor complementar dado
porAi =
x M : kxk 1
2i+1
, para i = 1, ..., n 1, e An = . Obtemos,
ento, a seqncia de atratores
= A0 A1 ... An =M
tal que
Cni = Ai+1 Ai =x M : 1
2i+ 2 kxk 1
2i+ 1
= K2i+1
para i = 0, 1, ..., n2, e C1 = AnAn1 = D2n1. Portanto,M = {C1,
..., Cn} uma decomposio de Morse (veja Figura 1.8).
27
alunos-cceFigura~
-
1.4 Conjuntos transitivos por cadeias
Nesta seo, estudaremos os conjuntos transitivos por cadeias para
sistemasdinmicos em espaos mtricos compactos. Um de nossos
objetivos rela-cionar os conceitos de transitividade por cadeias e
decomposio de Morse.Contudo, o conceito de cadeias tambm ser
estudado nos contextos de sis-temas de controle e aes de
semigrupos.
Definio 1.23 Consideremos um fluxo em um espao mtrico (M,d).Para
x, y M e , T > 0, uma (, T )-cadeia de x para y consiste deum
nmero natural n, de pontos x0 = x, x1, ..., xn = y M e temposT0,
..., Tn1 T , tais que
d ( (Ti, xi) , xi+1) <
para i = 0, 1, ..., n 1.
Notemos que uma (, T )-cadeia de x para y consiste de uma
trajetria comsaltos entre seus finitos pontos. Observemos que se
existe uma (, T )-cadeiade x para y e uma (, T )-cadeia de y para
z, podemos tomar a concatenaodessas duas cadeias e obter uma (, T
)-cadeia de x para z. Em particular, sez = x, obtemos uma (, T
)-cadeia de x para x.
Definio 1.24 Um subconjunto X M dito transitivo por cadeias
separa todo x, y X e todo , T > 0, existe uma (, T )-cadeia de x
para y.
Definio 1.25 Um ponto x M dito recorrente por cadeias se,
paratodo , T > 0, existe uma (, T )-cadeia de x para x.
Denominaremos conjun-to recorrente por cadeias ao conjunto R de
todos os pontos recorrentes porcadeias.
Um conjunto transitivo por cadeias recorrente por cadeias, ou
seja, estcontido em R.No Exemplo 1.8, onde M a esfera S R3 de raio
1/2 e centrada em
(0, 0, 1/2), o conjunto recorrente por cadeias consiste da
reunio do equadorE com os plos N e S. J no Exemplo 1.9, onde M o
disco de raio 1 e Cn
denota a circunferncia de raio 1/n, temos que R = SnN
Cn
{(0, 0)}.
Observemos que a Definio 1.24 no exige que os pontos de uma (, T
)-cadeia estejam contidos em X exceto, claro, os pontos das
extremidades da
28
-
cadeia. No entanto, quando um conjunto X transitivo por cadeias
contmtodas as suas cadeias, o fluxo restrito aX ser dito transitivo
por cadeias. Damesma forma, se X recorrente por cadeias e contm
todas as suas cadeias,o fluxo restrito a X ser dito recorrente por
cadeias. Em particular, se M recorrente por cadeias ou transitivo
por cadeias, o fluxo recorrente porcadeias ou transitivo por
cadeias.O seguinte resultado apresenta propriedades do conjunto
R.
Proposio 1.26 O conjunto recorrente por cadeias R para um fluxo
emM um subconjunto compacto e invariante.
Demonstrao: Vamos mostrar que R fechado. Sejam x fe (R) e, T
> 0. Pela continuidade de T , existe um () > 0 tal que d (x,
y) < ()implica
d ( (T, x) , (T, y)) < .
Seja = min { () , /2}. A bola aberta B (x, ) contm um ponto y de
R.Tomemos a (, 2T )-cadeia de y para y, isto , os pontos y1 = y,
y2, ..., yn =y M e tempos T1, ..., Tn1 2T tais que
d ( (Ti, yi) , yi+1) <
para i = 1, ..., n 1. Assim, temos que
d ( (Tn1, yn1) , x) d ( (Tn1, yn1) , y) + d (y, x) < + <
.
Alm disso, temos que
d ( (T1 T, (T, y)) , y2) = d ( (T1, y) , y2) < <
onde T1T T . Agora, denotando x0 = xn = x, x1 = (T, y) , xj = yj
paraj = 2, ..., n 1, e t0 = T, t1 = T1 T, tj = Tj para j = 2, ...,
n 1, obtemosuma (, T )-cadeia de x para x. Logo, x R e, portanto,
fe (R) = R. ComoM compacto, segue que R compacto. Para verificar
que R invariante,escolhamos x R e t R. Vamos mostrar que (t, x) R.
Como t uma aplicao contnua em um espao mtrico compacto, temos que t
uniformente contnua. Dados , T > 0, existe um > 0 tal que y,
z M comd (y, z) < implica
d ( (t, y) , (t, z)) < .
29
-
Agora, para , T > 0 existem pontos x0 = x, x1, ..., xk = x M
e temposT0, ..., Tk1 T com
d ( (Ti, xi) , xi+1) <
para i = 0, ..., k 1. Assim, obtemos uma seqncia de pontos (t,
x0) = (t, x) , (t, x1) , ..., (t, xk) = (t, x) M e tempos T0, ...,
Tk1 T taisque
d ( (Ti, (t, xi)) , (t, xi+1)) = d ( (t, (Ti, xi)) , (t, xi+1))
< .
isto , obtemos uma (, T )-cadeia de (t, x) para (t, x).
Portanto, (t, x) R. 2
Um conjunto X M dito maximal satisfazendo a propriedade
detransitividade por cadeias se ele for maximal com respeito a
incluso. Daproposio seguinte concluiremos que um conjunto
transitivo por cadeiasmaximal um conjunto compacto.
Proposio 1.27 Se um subconjunto X M transitivo por cadeias,
en-to, seu fecho tambm o .
Demonstrao: Como X R, temos que fe (X) R, pois R fechado.Dados
x, y fe (X) e , T > 0, escolhamos x0 X tal que x0 B (x,
/2).Tomemos a (/2, T )-cadeia de x para x, isto , os pontos x0 = x,
x1, ..., xn =x M e os tempos T0, ..., Tn1 T tais que
d ( (Ti, xi) , xi+1) T e x1 = (T0 + tk0 , x). Notemos que (tl0,
x) = (T1, x1). Dessa forma, os pontos x0 = a, x1, x2 = b e os
temposT0, T1 > T formam uma (, T )-cadeia de a para b. Portanto,
(x) transitivopor cadeias. Vamos mostrar que (x) tambm transitivo
por cadeias.Sejam a, b (x) e , T > 0. Existe uma seqncia (tk, x)
convergindopara a e uma seqncia (tl, x) convergindo para b, com tk,
tl . Ento,existe um l0 N tal que
d ( (tl0, x) , b) <
com tl0 > T . Da continuidade de tl0 temos que (tl0 + tk, x)
convergepara (tl0, a). Agora, escolhamos k0 N tal que tk0 < 2tl0
T e
d ( (tl0 + tk0, x) , (tl0 , a)) < .
31
-
Denotemos x1 = (tl0 + tk0 , x), T0 = tl0 e T1 = 2tl0 tk0 > T
. Ob-servemos que (tl0, x) = (T1, x1). Assim, os pontos x0 = a, x1,
x2 = b e ostempos T0, T1 > T definem uma (, T )-cadeia de a para
b. Portanto, (x) transitivo por cadeias. 2
Corolrio 1.30 Se para algum x M , tem-se (x) = M , ento, M
transitivo por cadeias.
O resultado abaixo devido a Blaschke.
Teorema 1.31 O conjunto dos subconjuntos fechados no vazios de
um es-pao mtrico compacto um espao mtrico compacto com a mtrica de
Haus-dor
dH (A,B) = max
maxaA
minbB
d (a, b)
,maxbB
minaA
d (a, b)
.
Observemos que se existe uma (, T )-cadeia de x para y, ento,
existeuma (0, T 0)-cadeia de x para y, para todo 0 > e T 0 <
T .
Proposio 1.32 O fluxo restrito a um conjunto X transitivo por
cadeiasmaximal transitivo por cadeias. Em particular, o fluxo
restrito a R recorrente por cadeias.
Demonstrao: Sejam x, x0 X. Para cada p N e T > 0, existem
pontosx0 = x, x1, ..., xnp = x
0 M e tempos T p0 , ..., T pnp1 T tais que
d ( (T pi , xi) , xi+1) 0tal que a, b M com d (a, b) < pi
implica
d ( (T pi , a) , (Tpi , b)) max {3q, 1/}e dH (Kp,K) < . Dessa
forma, podemos escolher um x0i K tal qued (xi, x
0i) < , para cada i = 0, ..., np 1, e tambm escolhemos x0np
K
com dxnp , x
0np
< . Assim, obtemos pontos x00, x
01, ..., x
0np K e tempos
T p0 , ..., Tpnp1 T tais que
d (T pi , x
0i) , x
0i+1
d ( (T pi , x0i) , (T
pi , xi)) + d ( (T
pi , xi) , xi+1) +
+dxi+1, x
0i+1
max {5q, 1/}, obtemos
uma (1/q, T )-cadeia de x000 para x00np. Aplicando-se este
processo sucessiva-
mente podemos alcanar y a partir de x0 e alcanar z a partir de
xnp atravsde bolas e construir uma (1/q, T )-cadeia em K de y para
z, para todo q N.Portanto, K transitivo por cadeias. Finalmente, o
fato de X K 6= implica que X K transitivo por cadeias. Segue-se da
maximalidade de Xque K X. Logo, existe uma (, T )-cadeia em X de x
para x0, para todo, T > 0. Portanto, o fluxo restrito a X
transitivo por cadeias. 2
A seguir, vamos mostrar que as componentes conexas do conjunto
recor-rente por cadeias R coincidem com os conjuntos transitivos
por cadeiasmaximais. Antes disso, precisamos verificar o seguinte
resultado.
33
-
Proposio 1.33 Seja X M um subconjunto fechado. Se X
recorrentepor cadeias e conexo, ento, X transitivo por cadeias. Por
outro lado, se ofluxo restrito a X transitivo por cadeias, ento, X
recorrente por cadeiase conexo.
Demonstrao: Sejam x, y X e , T > 0. Cobrimos X com bolas
abertasde raio /4. Como X compacto, podemos tomar uma subcobertura
finita
X nSi=1
B (xi, /4), x1, ..., xn X. Para cada i, consideremos a (/4, T
)-
cadeia de xi para xi, ou seja, os pontos xi0 = xi, xi1, ...,
x
iki= xi em M e os
tempos T i0, ..., Tiki1 T tais que
dT iji , x
iji
, xiji+1
0
(X, , T ).
Observemos que se X transitivo por cadeias ou recorrente por
cadeias,ento, X (X). Por outro lado, x (x) implica que x recorrente
porcadeias.Nos resultados seguintes apresentaremos algumas
propriedades dos con-
juntos (X, , T ) e (X). Na Proposio 1.37 mostraremos uma
relaoentre os conjuntos limites por cadeias e os conjuntos -limites
para um fluxoem M . A Proposio 1.38 relaciona os conjuntos limites
por cadeias com osatratores.
35
-
Proposio 1.36 Para X M e , T > 0, o conjunto (X, , T )
aberto.
Demonstrao: Seja y (X, , T ). Ento, existem x X, pontos x0 =x,
..., xn = y M e tempos T0, ..., Tn1 T tais que d ( (Ti, xi) , xi+1)
< ,para i = 0, ..., n 1. Denotando r = d ( (Tn1, xn1) , y), seja
r < r0 < .Dado qualquer z B (y, r0 r), temos que
d ( (Tn1, xn1) , z) d ( (Tn1, xn1) , y) + d (y, z) < r + r0 r
= r0 < .
Logo, obtemos uma (, T )-cadeia de x para z, com x X, ou seja, z
(X, , T ). Assim, B (y, r0 r) (X, , T ) e, portanto, (X, , T )
aber-to. 2
Proposio 1.37 Para X M , tem-se (X) (X), e para todo , T >0,
tem-se (X) ( (X, , T )). Em particular, (X) ( (X, , T )),para todo
, T > 0.
Demonstrao: Se y (X), existe uma seqncia (tk, xk) y, comxk X e
tk . Dados , T > 0, existe um K N tal que k Kimplica d ( (tk,
xk) , y) < . Como tk , podemos escolher um tk0 >max {tK , T}.
Assim, existe um ponto xk0 X e um tempo tk0 > T tais qued (
(tk0, xk0) , y) < , ou seja, existe uma (, T )cadeia de xk0 para
y. Logo,y (X) e, portanto, (X) (X). Agora, seja z (X). Para cadan
N, existem xn X e uma (1/n, n)-cadeia de xn para z, isto ,
existempontos xn0 = xn, x
n1 , ..., x
nkn= z M e tempos Tn0 , ..., T nkn1 n tais que
dT njn, x
njn
, xnjn+1
T e obtermos uma seqncia
Tnkn1, x
nkn1
z, com T nkn1
e xnkn1 (X, 1/n, n) (X, , T ). Logo, z ( (X, , T )) e, portanto,
(X) ( (X, , T )), para todo , T > 0. 2
36
-
Proposio 1.38 Para X M , o conjunto (X) a interseo de todosos
atratores contendo (X).
Demonstrao: Para , T > 0, definamos o conjunto
V,T = fe ( (X, , T )) .
Se y (V,T ), existe uma seqncia (tn, xn) y, com xn V,T e tn
.Ento, podemos escolher um n0 N suficientemente grande tal que tn0
> Te
d ( (tn0, xn0) , y) 0 tal que a, b M comd (a, b) < implica d
( (tn0 , a) , (tn0, b)) < /2. Como xn0 V,T , a bolaB (xn0 , )
contm um ponto z de (X, , T ) e
d ( (tn0 , xn0) , (tn0 , z)) 0
( (X, , T )) \,T>0
(V,T ) .
Por outro lado, como (V,T ) (X, , T ), temos que\,T>0
(V,T ) \,T>0
(X, , T ) = (X) .
37
-
Logo, (X) =T
,T>0
(V,T ). Resta mostrar que todo atrator A contendo
(X) faz parte da interseoT
,T>0
(V,T ). Para isso, basta mostrar que
(X) A. Com efeito, tomemos uma vizinhana atratora V de A.
PeloLema 1.15, existe um t > 0 tal que fe ( ([t,) V )) int (V ).
Observe-mos que A fe ( ([t,) V )), pois (V ) = A. Sejam
0 < < inf {d (a, b) : a fe ( ([t,) V )) , b M\int (V
)}
e N uma /2-vizinhana aberta de fe ( ([t,) V )). Como (X)
A,podemos escolher um tempo T tal que ([T,) V ) N e T > t. Sejay
(X) . Para cada n N tal que n > T e 1/n < /2, existem
pontosxn0 , x
n1 , ..., x
nkn= y em M , com xn0 X, e tempos T n0 , ..., T nkn1 n tais
que
dTnin , x
nin
, xnin+1
T e
d ( (T0 + tl0, x1) , (T0, a)) < .
Denotando y1 = (T0 + tl0, x1) e T1 = T0 tl0 > T , os pontos
y0 =a, y1, y2 = x1 e os tempos T0, T1 > T so tais que
d ( (T0, a) , y1) < e d ( (T1, y1) , y2) = d (x1, x1) = 0
< .
Assim, obtemos uma (, T )-cadeia de a para x1. Agora, tomemos b
(xk).Ento, b (xk) Ci0 . Como Ci0 transitivo por cadeias e comtm
a,existe uma (, T )-cadeia de b para a. Dessa forma, podemos
construir uma(, T )-cadeia de xk para x1. Analogamente, como (xj+1)
, (xj) Cij ,existe uma (, T )-cadeia de xj para xj+1, para todo , T
> 0 e j = 1, ..., k1.Assim, obtemos uma (, T )-cadeia de x1 para
xk, para todo , T > 0. Is-to significa que x1 e xk so
recorrentes por cadeias, contradizendo o fato
40
-
de x1, xk /nSi=1
Ci = R. Para mostrar que as componentes recorrentes so
conjuntos invariantes isolados, denotemos por Vi uma vizinhana
aberta deCi, para cada i, de forma que V1, ..., Vn sejam conjuntos
dois a dois disjun-tos. Suponhamos que x (R) Vi. Como (x) Cj, para
algum j, existeum t > 0 tal que (t, x) Vj. Desta forma, devemos
ter que Cj = Ci.Analogamente, mostramos que (x) Ci. Assim, (x) ,
(x) Ci, lo-go, x Ci. Assim, Vi uma vizinhana invariante para Ci.
Portanto,{C1, ..., Cn} uma decomposio de Morse. Resta mostrar que
esta decom-posio de Morse a mais fina. Suponhamos que existe uma
decomposiode Morse M = {C1, ..., Cm} mais fina do que {C1, ...,
Cn}. Ento, para al-gum conjunto Ci existe um conjunto Cj tal que Cj
Ci, i {1, ..., n} ej {1, ...,m}. Mas,
nSi=1
Ci = R mSi=1
Ci. Logo, Ci Cj0, para algumj0 {1, ...,m}. Assim, temos que Cj
Ci Cj0, o que implica Cj = Cj0.Logo, Cj = Ci e, portanto,M = {C1,
..., Cm}.Finalmente, como o fluxo restrito s componentes
recorrentes de R
transitivo por cadeias, segue que o fluxo restrito aos conjuntos
de Morse transitivo por cadeias. 2
Assim, quando existe uma decomposio de Morse mais fina para
umfluxo em M , os conjuntos de Morse so conexos.No Exemplo 1.8,
vimos que a decomposio de Morse mais fina para o
fluxo na esfera S a decomposio M = {E, {N} , {S}}. Neste caso,
osconjuntos E, {N} e {S} so as componentes recorrentes por cadeias
de R.Agora, no Exemplo 1.9, no existe uma decomposio de Morse mais
fina
para o fluxo em M . As componentes recorrentes por cadeias de R
so ascircunferncias de raio 1/n mais a origem do R2. Contudo, R
possui umnmero infinito de componentes conexas.
41
-
Captulo 2
Sistemas de controle
Neste captulo, apresentamos um estudo sobre a teoria de sistemas
de con-trole em variedades diferenciveis. Como base para este
estudo, temos ostrabalhos de Bellicanta [1], Colonius e Kliemann
[8] e San Martin [15]. Dis-cutiremos os conceitos de acessibilidade
e controlabilidade de um sistema,seguindo com a definio de conjunto
controlvel e conjunto de controlabili-dade total. Tambm
introduziremos o conceito de conjunto de controlabili-dade para
conjuntos controlveis. Este conceito nos permitir relacionar
deforma mais especfica os conjuntos controlveis com os conjuntos de
controla-bilidade total. Enfim, tambm estudaremos os conjuntos de
controlabilidadepor cadeias, tendo em vista uma generalizao deste
conceito no Captulo 3.
2.1 Preliminares
Nesta seo, vamos definir sistema de controle e verificar as
principais pro-priedades das solues de suas equaes deferenciais. Em
especial, definire-mos grupo e semigrupo de um sistema.Um sistema
de controle formado por uma famlia de equaes diferen-
ciais ordinrias, onde cada uma das equaes fornece uma forma
diferentede funcionamento para o sistema. Essa famlia de equaes
depende de umconjunto especial de funes reais chamadas de funes de
controle. Maisprecisamente,
Definio 2.1 Um sistema de controle constitudo por
42
-
1. Um espao de faseM , que uma variedade de classe C e de
dimensom;
2. Um conjunto de controle U Rn e um conjunto de funes de
controleadmissveis U = {u : R U};
3. Uma famlia de equaes diferenciais
x0 = X (x, u (t))
dependendo das funes de controle, onde X : M Rn TM declasse
C.
O conjunto de controle U da definio acima um subconjunto
qualquerdo Rn. Denominaremos de controle a cada elemento de U .O
conjunto U das funes de controle admissveis tal que cada u U
localmente integrvel.
Definio 2.2 Sejam u1, u2 U e s R. Denominamos s-concatenao deu1
e u2 a funo u : R U dada por
u(t) =
u1(t), se t 6 su2(t s), se t > s
.
Assumiremos as seguintes propriedades:
1. Dados u U e s R, a funo de controle u (+ s) (t) = u (t+
s)pertence a U . A funo u (+ s) ser denominada s-translao de u.
2. Dados u, v U e s R, a s-concatenao de u e v pertence a U
.Observamos que cada funo de controle u U determina uma equao
diferencial dependente do tempo, o que origina diferentes
trajetrias do sis-tema, quando fixamos uma condio inicial.O
conjunto U pode ser constitudo por funes constantes por partes,
isto
, para cada funo de controle, o conjunto R decomposto em
subintervalosonde a funo constante. Denotamos os conjuntos
constitudos dessa formapor
Ucp = {u : R U constante por partes}.Alm desta classe de funes
de controle, poderemos tambm assumir as
seguintes:
43
-
1. Ul - conjunto das funes limitadas e mensurveis com valores em
Rn,a qual denominamos classe das funes de controle irrestritas.
2. Ur - subconjunto das funes em Ul assumindo valores no cubo{x
Rn : 1 xi 1, i = 1, ..., n}. Denominaremos este conjunto declasse
das funes de controle restritas.
3. Ub - subconjunto das funes em Ucp tais que suas coordenadas
assumemsomente os valores 1 e 1. Nos referiremos a este cojunto
como a classedas funes de controle bang-bang.
Admitiremos que cada equao diferencial dependendo de uma funo
decontrole u U e com condio inicial fixada
x0 = X (x, u(t)) , x(0) = x0
possui solues nicas (t, x0, u) definidas para todo tempo t R,
satisfazen-do
d
dt(t, x0, u) = X ((t, x0, u), u (t)) e (0, x0, u) = x0.
Segue pela continuidade com relao s condies iniciais que a
aplicao(t, , u) :M M contnua, para todo t R e u U fixados.Para cada
controle u U , assumiremos que a aplicao Xu : M TM
dada por Xu(x) = X(x, u) seja um campo de vetores completo de
classe C
em M. Fixando-se t1 R, consideremos u1 = u(t1) U, com u U .
Assim,a equao diferencial autnoma x0 = Xu1(x) tem solues nicas
u1x (t) com
u1x (0) = x, para todo x M , e o fluxo u1(t, x) = u1x (t)
definido emRM . Portanto, as solues ou curvas integrais u1x (t)
satisfazem
d
dtu1x (t) = Xu1(
u1x (t)),
u1x (0) = x
para t R e x M . Em particular, considerando-se o conjunto das
funesde controle Ucp, as trajetrias do sistema so concatenaes de
trajetrias deequaes diferenciais autnomas.Desta forma, um sistema
de controle pode ser interpretado utilizando o
conjunto de campos de vetores, o qual denotamos por
V = {Xu; u U} .
44
-
Notemos que se o conjunto U consiste de somente um ponto, o
sistemade controle se reduz a uma equao diferencial.Portanto, a
teoria de controle pode ser vista como uma teoria de famlias
de campos de vetores diferenciveis.O resultado abaixo ser
frequentemente usado no decorrer deste captulo.
Proposio 2.3 Sejam u U e t, s R. As solues dependendo dasfunes
de controle u e u(+ s) satisfazem a igualdade
(t+ s, x, u) = (t,(s, x, u), u(+ s)).
Demonstrao: Sejam x0 M , u U e s R quaisquer e denotemosy = (s,
x0, u). Definamos
(t) = (t+ s, x0, u) e (t) = (t, y, u(+ s))para t R. Consideremos
o problema de valor inicial
x0 (t) = X(x (t) , u(t+ s)), x (0) = y.
Vamos mostrar que e so solues deste problema. Com efeito,
imediatoque
(0) = (0) = y
Alm disso,
d
dt(t) =
d
dt(t, y, u(+ s)) = X ((t, y, u(+ s)), u(+ s)(t))
= X ((t), u(t+ s))
e, tambm,
d
dt(t) =
d
d(t+ s)(t)
d(t+ s)
dt=
d
d(t+ s)(t+ s, x0, u)
= X ((t+ s, x0, u), u(t+ s))
= X ((t), u(t+ s)) .
Segue pela unicidade de soluo para o problema de valor inicial
acima que(t) = (t), isto ,
(t+ s, x0, u) = (t,(s, x0, u), u(+ s)).
45
-
Como tomamos x0 arbitrrio em M , segue o resultado. 2
Portanto, alcanar um ponto a partir de x usando a funo de
controle uno tempo t + s equivale a alcanar este mesmo ponto a
partir de (s, x, u)usando a funo de controle u(+ s) no tempo t.
Corolrio 2.4 Para cada t R e u U, a aplicao (t, , u) : M M
um homeomorfismo.
Demonstrao: Para t R e u U , a aplicao (t, , u) : M M
contnua. Sejam x, y M tais que (t, x, u) = y. Aplicando-se a
Proposio2.3, temos que
x = (0, x, u) = (tt, x, u) = (t,(t, x, u), u(+ t)) = (t, y, u(+
t)) .
Assim, (t, , u) inversvel com aplicao inversa dada por (t, , u(+
t)).Como t R e u (+ t) U , ento (t, , u(+ t)) tambm uma apli-cao
contnua. Portanto, (t, , u) um homeomorfismo. 2
A seguir, apresentaremos alguns exemplos de sistemas de
controle.
Exemplo 2.1 Um sistema de controle dito linear quando
determinadopor uma famlia de equaes lineares
x0 (t) = Ax (t) +Bu(t),
onde x (t) = (x1 (t) , ..., xm (t)) Rm, u(t) = (u1(t), ...,
un(t)) Rn, com Amatriz real mm, B matriz real m n. Neste caso, M =
Rm e U = Rn.
O seguinte exemplo um caso particular de sistema de controle
linear.Neste exemplo, podemos observar a diferena do comportamento
do sistemautilizando-se funes de controle distintas.
Exemplo 2.2 Sejam M = R2 e U = R. Consideremos o conjunto
dasfunes de controle Ub e as matrizes
A =
a1 00 a2
e B =
b1b2
46
-
com a1, a2, b1 e b2 reais no nulos tais que a2 < a1 < 0.
Escolhendo as funesde controle constantes u1 1 e u2 1, temos as
equaes diferenciais
x0 = Ax+B e x0 = AxB
dependendo de u1 e u2, respectivamente. Considerando uma base
(v1, v2) deautovetores associados aos autovalores a1 e a2,
respectivamente, escrevemosa primeira equao em sua forma
matricial
x0 =a1 00 a2
x1x2
+
b1b2
=
a1x1 + b1a2x2 + b2
onde x = (x1, x2). Em coordenadas, temos
x0 = (a1x1 + b1, a2x2 + b2).
Uma soluo para esta equao
(t, x, u1) = (u11 (t),
u12 (t)) =
x1e
a1t +b1a1ea1t b1
a1, x2e
a2t +b2a2ea2t b2
a2
.
Observemos que o nico ponto estvel pelo fluxo u1(t, x) = (t, x,
u1) o
ponto b1a1, b2
a2
, ou seja, este o nico ponto singular da equao. Ago-
ra, quando t +, a trajetria (t, x, u1) tende ao ponto b1a1,
b2
a2
,
pois a1 e a2 so negativos. Alm disso, como a2 < a1, a funo
coordenadau12 (t) tende a b2a2 mais rpido do que a funo
coordenada
u11 (t) tende a
b1a1. Logo, a reta tangente trajetria (t, x, u1) tende a reta
que passa por
b1a1, b2
a2
e que paralela a reta E1 gerada pelo vetor v1 da base
considera-
da (veja Figura 2.1). Usando-se os mesmos argumentos, agora, com
respeito segunda equao, obtemos solues da forma
(t, x, u2) = (u21 (t),
u22 (t)) =
x1e
a1t b1a1ea1t +
b1a1, x2e
a2t b2a2ea2t +
b2a2
.
O nico ponto singular para esta equao o pontob1a1, b2a2
. Quando t tende
a +, a trajetria (t, x, u2) tende ao pontob1a1, b2a2
, e a reta tangente a
esta trajetria tende a reta que passa pelo pontob1a1, b2a2
e que paralela a
reta E1. Os pontos b1a1, b2
a2
eb1a1, b2a2
so conhecidos como ns atratores.
A Figura 2.1 ilustra o comportamento das trajetrias das duas
equaes.
47
-
Figura~2.1: Trajetrias de um sistema de controle
Exemplo 2.3 Um sistema de controle dito bilinear se constitudo
de umafamlia de equaes diferenciais do tipo
x0 = A0x+nXi=1
ui(t)Aix
x = (x1, ..., xm) Rm, u(t) = (u1(t), ..., un(t)) Rn, onde A0,
A1, ..., Anso matrizes reais mm.
O seguinte exemplo um caso particular de sistema de controle
bilinear.
Exemplo 2.4 Sejam M = R2 e U = R. Consideremos as matrizes
A0 =
1 00 2
e A1 =
1 00 2
com 1,2 reais distintos tais que 2 > 0 > 1, e 1, 2
complexos conjugadosque so imaginrios puros. Dada uma funo de
controle u U, obtemos aequao diferencial
x0 = A0x+ u(t)A1x.
Uma trajetria desta equao concatenao de trajetrias de
x0 = A0x e x0 = A1x.
48
alunos-cceFigura~
-
Figura~2.2: Concatenaes de trajetrias
No caso de x0 = A0x, as solues so
(t, x) =x1e
1t, x2e2t
em coordenadas, relativamente a uma base (v1, v2) de autovetores
associadosa 1 e 2. Se x2 6= 0, quando t +, a soluo (t, x) tende ao
infinitose aproximando da reta E2 gerada pelo vetor v2; quando t ,
a soluo(t, x) tende ao infinito se aproximando da reta E1 gerada
pelo vetor v1. Sex2 = 0, quando t +, a soluo (t, x) tende origem 0
de R2; quandot , a soluo (t, x) tende ao infinito. O nico ponto
singular aorigem 0 de R2. O comportamento das trajetrias ilustrado
na Figura 2.2-A. No caso de x0 = A1x, escrevemos 1 = ib e 2 = ib,
com b real nonulo. As solues podem ser escritas em coordenadas
polares da forma
(t, x) = (cos( bt), sen( bt)) .
A origem 0 de R2 o nico ponto singular. Todas as outras
trajetrias soelipses ao redor da origem. Tais trajetrias so
peridicas com perodo 2/b.A Figura 2.2-B ilustra o comportamento das
trajetrias para o caso b >0. Agora, para interpretarmos o
comportamento das trajetrias da equaoinicial, suficiente
observarmos as possveis concatenaes das trajetrias deambas as
equaes analisadas (ver Figura 2.2-C).
Exemplo 2.5 Sejam X0, X1, ..., Xn campos de vetores completos de
classeC em uma variedade diferenciavl M. Considere U = Rn. O
sistema de
49
alunos-cceFigura~2.2:
-
controle no linear
x0 = X0(x)+nXi=1
ui(t)Xi(x)
dito um sistema de controle afim. Os dois exemplos anteriores so
casosparticulares desse tipo de sistema.
Consideremos, agora, um sistema de controle e seu correspondente
con-junto de campos de vetores completos V = {Xu; u U}. A cada
campoXu V e t R corresponde um difeomorfismo ut : M M de classe
Cdefinido por ut (x) =
u(t, x). Se t = 0 temos u0 = idM , e para quaisquert, s R temos
ut+s = ut us . Contudo, iremos usar a Proposio 2.3 parademonstrar
este ltimo fato. Com efeito, podemos considerar u U comouma funo
real constante. Assim, dados t, s R e x M , temos que
ut+s(x) = (t+ s, x, u) = (t,(s, x, u), u(+ s))= (t,(s, x, u),
u)
= ut us (x).
Esses difeomorfismos so de crucial importncia para o
desenvolvimentoda teoria. Vejamos a definio seguinte.
Definio 2.5 Considerando-se o conjunto dos campos de vetores
completosV = {Xu : u U} de um sistema de controle, define-se
GV =untn
un1tn1 ...
u1t1 ; ui U, ti R, n N
SV =
untn
un1tn1 ...
u1t1 ; ui U, ti > 0, n N
.
GV denominado grupo do sistema e SV denominado semigrupo do
sistema.
Proposio 2.6 O conjunto GV um grupo.
Demonstrao: Primeiramente, notemos que idM = u0 GV , para
qual-quer u U . Est claro que a operao interna em GV a composio
deaplicaes, a qual sabemos que possui a propriedade associativa.
Agora, da-dos quaisquer , GV , = uktk uk1tk1 ... u1t1 e = vltl
vl1tl1 ... v1t1 ,temos que
= (uktk uk1tk1 ...
u1t1 )(
vltlvl1tl1 ...
v1t1 ) =
wk+ltk+l
wk+l1tk+l1 ...w1t1
50
-
logo, GV . Por fim, dado GV com = untn un1tn1 ... u1t1 ,
temosque
1 = u1t1 u2t2 ...
untn
e, portanto, 1 GV . 2
Proposio 2.7 O conjunto SV um subsemigrupo de GV.
Demonstrao: Com efeito, dados , SV , com = untn un1tn1 ...u1t1
,ti > 0, e = vmtm
vm1tm1 ...
v1t1 , tj > 0, temos =
wm+ntm+n
wm+n1tm+n1 ...
w1t1 ,
com tk > 0. Logo, SV e, portanto, SV um semigrupo com a
operaointerna de GV . Como SV GV , segue-se o resultado. 2
Quando o conjunto das funes de controle Ucp o semigrupo do
sistema obtido naturalmente, como mostra o resultado seguinte.
Proposio 2.8 Consideremos um sistema de controle com o conjunto
dasfunes de controle Ucp. Dados quaisquer t1, t2 > 0 e u1, u2 U
, existeu3 U satisfazendo
u2t2 u1t1 =
u3t2+t1 .
Demonstrao: Tomemos a funo u Ucp tal que u(t) = u1, para todo
tem um intervalo I1 R contendo t1; e a funo v Ucp tal que v(t) =
u2,para todo t em um intervalo I2 R contendo t2. Dado qualquer x M
,temos que
u1t1 (x) = (t1, x, u) e u2t2 (x) = (t2, x, v).
Logo, para todo x M , temos
u2t2 u1t1 (x) = (t2,(t1, x, u), v).
Agora, tomemos a t1-concatenao de u e v, isto , a funo de
controlew Ucp tal que
w(t) =
u(t), se t t1v(t t1), se t > t1
.
Pela Proposio 2.3, temos que
(t2 + t1, x, w) = (t2,(t1, x, w), w(+ t1)).
51
-
Mas, (t1, x, w) = (t1, x, u), pois w (t) = u (t) para t t1. Alm
disso, paraqualquer t > 0, temos t + t1 > t1, logo, w(t + t1)
= v(t + t1 t1) = v(t).Assim,
(t2 + t1, x, w) = (t2,(t1, x, u), v) = u2t2
u1t1 (x).
Por outro lado, consideremos o intervalo I3 R contendo t1+t2
onde w(t) =u3 U , para todo t I3. Temos que
(t2 + t1, x, w) = (t2 + t1, x, u3) = u3t1+t2(x)
e, portanto,u2t2
u1t1 (x) =
u3t2+t1(x)
para todo x M . 2
Corolrio 2.9 Consideremos um sistema de controle com o conjunto
dasfunes de controle Ucp. Dados quaisquer t1, ..., tn > 0 e u1,
..., un U , existeu U tal que
untn un1tn1 ...
u1t1 =
utn++t1 .
Demonstrao: O resultado segue por induo. Para n = 1 o resultado
imediato. Suponhamos que o resultado vlido para n 1, com n >
1,ou seja, existe u0 U tal que un1tn1 ...
u1t1 =
u0tn1++t1. Aplicando-se a
Proposio 2.8, temos que existe u U tal que
utn++t1 = untn
u0tn1++t1 =
untn
un1tn1 ...
u1t1 .
2
Em geral, usamos a tcnica de concatenao para a construo de
tra-jetrias de um sistema de controle em tempo positivo. Mais
precisamente,seja V = {Xu : u U} o conjunto dos campos de vetores
completos de umsistema de controle. Tomemos Xu1 , ...,Xun V e
definamos F : [0, T ] Vpor
F (t) = Xuk , se t [tk1, tk], k = 1, ..., nonde t0 = 0, tn = T .
Consideremos o problema de valor inicial
x0 = F (t)(x), x(0) = x0.
52
-
A soluo deste problema dada por
(t) = ukttk1 uk1tk1 ...
u1t1 (x0)
tk1 t tk, k = 1, ..., n. Com efeito, (0) = u10 (x0) = x0. Alm
disso,temos
d
dt(t) =
d
dtukt
uktk1
uk1tk1 ...
u1t1 (x0)
= Xuk
ukt
uktk1
uk1tk1 ...
u1t1 (x0)
= Xuk((t)) = F (t)((t)).
Portanto, as trajetrias de um sistema de controle em tempo
positivo sodeterminadas pelos campos de vetores em V e pelo
correspondente semigrupoSV .A seguir, apresentaremos o conceito de
rbitas no espao de fase M .
Definio 2.10 Dado um sistema de controle e seu correspondente
conjuntode campos de vetores V no espao de fase M , definimos
GV(x) = {y M : existe GV com (x) = y}SV(x) = {y M : existe SV
com (x) = y}S1V (x) = {y M : existe SV com (y) = x}
Os conjuntos GV(x) e SV(x) so denominados respectivamente de
rbita dogrupo do sistema e rbita do semigrupo do sistema atravs de
x em M .
Quando o conjunto das funes de controle Ucp, da Proposio 2.8
obte-mos
SV(x) = {y M ; existe u Ucp e t > 0 com (t, x, u) = y}S1V (x)
= {y M ; existe u Ucp e t > 0 com (t, y, u) = x} .
Aqui, SV(x) denota o conjunto dos pontos atingveis a partir de
x, e SV (x)o conjunto dos pontos controlveis para x.Outros
conjuntos podem ser obtidos. Considerando-se T > 0,
definimos
ST =(untn
un1tn1 ...
u1t1 ; ui U, ti > 0,
nXi=1
ti T)
53
-
obtendo-se os conjuntos
ST (x) = {y M ; existe ST com (x) = y} ,S1T (x) = {y M ; existe
ST com (y) = x} .
Em geral, SV(x) S1V (x) um subconjunto prprio de
GV(x).Consideremos, agora, a seguinte relao entre os pontos do
espao de fase
M :dados x, y M, x y se, e somente se, y GV(x)
Proposio 2.11 A relao definida acima de equivalncia em M .
Demonstrao: Com efeito, x x, pois x GV(x). Se x y, existe GVtal
que (x) = y, logo, 1(y) = x, com 1 GV , portanto, y x. Enfim,se x y
e y z, ento, existem , GV tais que (x) = y e (y) = z.Logo, (x) = z,
com GV , portanto, x z. 2
Assim, cada rbita uma classe de equivalncia dessa relao.
Portanto,o conjunto dessas rbitas determinam uma partio do espao de
fase M .Relembremos um conceito de aes de grupos.
Definio 2.12 Um grupo G age transitivamente em um conjunto X se
paratodo par de elementos x, y X existe g G tal que gx = y.
Apresentamos, ento, a seguinte definio.
Definio 2.13 Seja M uma variedade diferencivel. Um sistema de
con-trole em M determinado por um conjunto de campos de vetores V
ditotransitivo quando o grupo GV do sistema age transitivamente em
M .
Contudo, nosso interesse principal com relao s propriedades das
r-bitas do semigrupo SV do sistema, isto , com relao transitividade
deSV .A partir daqui, estaremos considerando fixada a base cannica
para os
espaos euclidianos de nossos exemplos.
Exemplo 2.6 SejamM = R2 e V = {X1, X2}, com X1 = a x1 e X2 = b
x2 ,onde x1 e
x2
so os operadores derivada parcial respectivamente em funoda
primeira e segunda varivel do R2. Consideremos a e b no nulos.
As
54
-
solues das equaes x0 = X1(x) e x0 = X2(x) so dadas
respectivamentepor
ax(t) = (x1 + at, x2) e bx(t) = (x1, x2 + bt)
onde x = (x1, x2) R2. Fixando-se x0 = (x01, x02), dado um ponto
qualquerx = (x1, x2) de R2, tomemos as solues
ax0(t) = (x01 + at, x
02) e
bx0(t) = (x01, x
02 + bt)
de valor inicial x0. Sejam
t1 =x1 x01a
e t2 =x2 x02b
.
Temos que bt2 at1 GV tal que bt2 at1(x0) = x. Logo, GV(x) = R2,
paratodo x R2 e, portanto, o sistema transitivo. Agora, analisemos
a rbitaSV(x) atravs de um ponto x = (x1, x2) do R2. Se a > 0, b
> 0, ento,
SV(x) =(,) R2; > x1, > x2
\ {x} .Se a > 0, b < 0, ento,
SV(x) =(,) R2; > x1, 6 x2
\ {x} .Se a < 0, b > 0, ento,
SV(x) =(,) R2; 6 x1, > x2
\ {x} .Se a < 0, b < 0, ento,
SV(x) =(,) R2; 6 x1, 6 x2
\ {x} .Assim, SV(x) 6= R2, para todo x em R2 (veja Figura
2.3).
2.2 Acessibilidade e controlabilidade
Nesta seo, introduziremos os conceitos de acessibilidade e
controlabilidadepara sistemas de controle.As rbitas GV(x) de um
sistema de controle em uma variedade M so,
na verdade, subvariedades. Este resultado verificado por San
Martin em
55
-
Figura~2.3: rbitas pelo semigrupo de um sistema
[15]. Assim, evidentemente, o conjunto GV(x) pode se considerado
como umespao de fase para o sistema. Porm, as rbitas do semigrupo
do sistemaatravs de um ponto x M no possuem, em geral, esta
propriedade. Arelao definida por
x, y M,x y se, e somente se, y SV(x)no uma relao de equivalncia
em geral, pois a propriedade simtricano satisfeita. No entanto,
notemos que uma rbita SV(x) est contida narbita GV(x). Devido a
isto, o estudo das propriedades de SV(x) pode serrestringido ao
espao ambiente GV(x) na topologia intrnseca. Assim, nosestudos das
rbitas do semigrupo SV , podemos considerar apenas
sistemastransitivos.A seguir, passamos a definir os conceitos
bsicos de acessibilidade e con-
trolabilidade para sistemas de controle. Denominaremos um
sistema de con-trole pelo seu conjunto de campos de vetores V.
Definio 2.14 Um sistema de controle V dito acessvel a partir de
x Mse int (SV(x)) 6= . O sistema dito acessvel se for acessvel a
partir de todox M .
O sistema do Exemplo 2.6 acessvel, pois int(SV(x)) 6= , para
todox R2. Vejamos outro exemplo.
Exemplo 2.7 Sejam M = R2 e V = {X1,X2} , com X1 = x1 e X2
umcampo restrito ao conjunto aberto A = {(x1, x2) R2; x1 < 0}
coincidindoneste domnio com o campo x2 . A partir de um ponto x A o
sistema
56
alunos-cceFigura~
-
Figura~2.4: rbitas de interior vazio e de interior no vazio
acessvel. No entanto, a partir de um ponto do complementar de A
o sistemano acessvel, pois a rbita SV(x) uma semireta paralela ao
eixo x1, aqual um conjunto de interior vazio em R2(veja Figura
2.4).
Finalmente, definiremos o conceito de controlabilidade para
sistemas decontrole. Na verdade, o termo controlabilidade se refere
transitividade dosemigrupo do sistema. Mais precisamente,
Definio 2.15 Um sistema de controle V dito controlvel a partir
dex M se SV(x) =M . O sistema dito controlvel se for controlvel a
partirde todo x M. O sistema de controle V dito aproximadamente
controlvela partir de x M se fe(SV(x)) = M . O sistema dito
aproximadamentecontrolvel se o for a partir de todo x M.
Segue direto da definio 2.15 que um sistema de controle
controlvel apartir de um ponto x aproximadamente controlvel a
partir de x.Observemos que se o sistema controlvel a partir de x,
ento, M =
SV(x) GV(x) M , ou seja, GV(x) =M e, portanto, o sistema
transitivo.Alm disso, como SV(x) = M, temos que int (SV(x)) 6= ,
logo, o sistema acessvel a partir de x M. No entanto, o fato de
SV(x) = M para algumx M no implica que int (SV(x)) 6= , para todo x
M , ou seja, o sistemaser controlvel a partir de um determinado
ponto de M no significa que osistema acessvel (veja o Exemplo
2.10).No Exemplo 2.6, o sistema no aproximadamente controlvel a
partir
de qualquer ponto do R2. No entanto, o sistema acessvel. Vejamos
outrosexemplos.
57
alunos-cceFigura~
-
Figura~2.5: rbitas de interior vazio
Exemplo 2.8 Sejam M = Rn e U = R. Consideremos o conjunto
defunes de controle Ucp = {u : R Rconstante por partes} e a famlia
deequaes diferenciais
x0 = X(x, u(t)) = u(t)x.
Dado u1 = u(t1) U , com u Ucp, temos que as solues da equaox0 =
Xu1(x) = u1x so da forma
u1x (t) = e
u1tx. Se u1 = 0, tais soluesso pontos singulares. Se u1 6= 0, o
nico ponto singular a origem. Astrajetrias atravs dos demais pontos
so segmentos de retas tendendo para aorigem, quando t
respectivamente conforme u1 < 0 e u1 > 0. Assim,dado x Rn no
nulo, a rbita GV(x) um segmento de reta passando por xe tendendo
para a origem. Logo, int (SV(x)) = , j que SV(x) GV(x), paratodo x
Rn. Portanto, o sistema no nem aproximadamente controlvele nem
acessvel a partir de qualquer x Rn. A Figura 2.5 ilustra as
rbitasdo sistema para o caso n = 2.
Exemplo 2.9 Sejam M = R2 e V = {X1,X2,X3, X4} , onde X1 = x1 ,X2
= x1 , X3 =
x2
|B e X4 = x2 |B, e B = {(x1, x2) R2; x1 (a, b)}.Dados quaisquer
x, y R2, podemos atingir y a partir de x em tempo positivoatravs
dos campos em V (veja Figura 2.6). Ou seja, SV(x) = R2, para todox
R2. Logo, este sistema controlvel e acessvel.
58
alunos-cceFigura~
-
Figura~2.6: Atingibilidade de pontos distintos no plano
Exemplo 2.10 EmM = R2 tomemos o conjunto A = {(x1, x2) R2;x1
< 0}.Seja V = {X1,X2,X3,X4} , onde X1 = x1 , X2 = x1 |A, X3 = x2
|A eX4 = x2 |A. A partir de um ponto x A, podemos atingir qualquer
pontode R2 em tempo positivo atravs de concatenaes de trajetrias
dos camposem V. Logo, SV(x) = R2, para todo x A. Portanto, o
sistema controlvele acessvel a partir de qualquer ponto do conjunto
A. No entanto, o nicocampo de vetores em V definido no conjunto M\A
o campo X1 = x1 .Desta forma, as rbitas atravs dos pontos em M\A so
segmentos de reta.Portanto, o sistema no aproximadamente controlvel
e nem acessvel apartir de qualquer ponto em M\A.
2.3 Conjuntos controlveis para sistemas decontrole
Nesta seo, prosseguiremos com o conceito de rbita de um sistema
decontrole. Vamos definir e estudar os conjuntos controlveis, que
representamum dos conceitos principais deste trabalho.Vimos que um
sistema de controle pode no ser controlvel ou aproxi-
madamente controlvel, como podemos observar o Exemplo 2.10
acima. Estefato, ento, motiva a idia de se determinar e estudar
regies da variedadeM onde ao menos a controlabilidade aproximada
ocorre.Introduziremos algumas definies voltadas ao conceito de
atingibilidade
de um sistema de controle.
59
alunos-cceFigura~
-
Definio 2.16 Dado um sistema de controle como na Definio 2.1,
umponto x M e um tempo t > 0, definimos os conjuntos
O+t (x) = {y M ; existe u U com y = (t, x, u)}Ot (x) = {y M ;
existe u U com x = (t, y, u)}
denominados, respectivamente, de conjunto de atingibilidade de x
em tempot e conjunto controlvel a x em tempo t. Dado T 0 e t >
0, tambmdefinimos
O+>T (x) =[t>T
O+t (x), O>T (x) =[t>T
Ot (x),
O+T (x) =[tT
O+t (x), OT (x) =[tT
Ot (x).
Os conjuntos O+>0(x) e O>0(x) so denominados,
respectivamente, de rbitapositiva de x e rbita negativa de x.
No caso de sistemas de controle com conjunto de funes de
controle Ucp,temos que O+>0(x) = SV (x), para todo x M , onde V
= {Xu : u U} oconjunto dos campos de vetores completos do sistema e
SV o semigrupo dosistema.Segue imediatamente da Definio 2.16 que,
dados dois pontos x, y M ,
temos que x O+>T (y) se, e somente se, y O>T (x). O
conjunto O+T (x) dito conjunto dos pontos atingveis a partir de x
em tempo T , e o conjuntoOT (x) dito conjunto dos pontos
controlveis a x em tempo T.Nesta seo, a notao t,u () corresponde
aplicao (t, , u), para
t R e u U .
Proposio 2.17 Sejam x, y, z M e T > 0.1. Se x O+>T (y) e y
O+>T (z), ento, x O+>T (z).2. Se x O>T (y) e y O>T (z),
ento, x O>T (z).
Demonstrao: Se x O+>T (y) e y O+>T (z), ento, existem t1,
t2 > Te u1, u2 U tais que (t1, y, u1) = x e (t2, z, u2) = y.
Tomemos a t2-concatenao de u2 e u1, isto , a funo de controle u3 U
definida por
u3(t) =
u2(t), se t t2u1(t t2), se t > t2
.
60
-
Pela Proposio 2.3, temos que
(t1 + t2, z, u3) = (t1,(t2, z, u3), u3(+ t2)) .No entanto, para
todo t t2, u3(t) = u2(t), logo, (t2, z, u3) = (t2, z, u2),neste
caso. Alm disso, para todo t > 0, temos que t + t2 > t2,
logo,u3(t+ t2) = u1(t+ t2 t2) = u1(t), ou seja, u3(+ t2) = u1(),
para t positivo.Assim, temos que
(t1 + t2, z, u3) = (t1,(t2, z, u2), u1) = (t1, y, u1) = x
com t1 + t2 > T . Logo, x O+>T (z). No outro caso, se x
O>T (y) ey O>T (z), ento, existem t1, t2 > T e u1, u2 U
tais que (t1, x, u1) = y e(t2, y, u2) = z. Tomando a t1-concatenao
u3 U de u1 e u2, temos que
(t1 + t2, x, u3) = (t2,(t1, x, u1), u2) = (t2, y, u2) = z
com t1 + t2 > T . Logo, x O>T (z). 2
Em particular, temos
Corolrio 2.18 As rbitas positivas e negativas de um sistema de
controlesatisfazem a seguinte propriedade:1. Se x O+>0(y) e y
O+>0(z), ento, x O+>0(z).2. Se x O>0(y) e y O>0(z),
ento, x O>0(z).O conceito de acessibilidade de um sistema de
controle foi apresentado
na Seo 2.2. Nesta seo, interessa-nos definir acessibilidade
local, que sersignificativa para resultados que veremos mais tarde
quando introduzirmoso conceito de conjuntos de controlabilidade
para conjuntos controlveis.
Definio 2.19 Um sistema de controle dito localmente acessvel a
partirde x M se os conjuntos O+T (x) e OT (x) tm interiores no
vazios, paratodo T > 0. O sistema dito localmente acessvel se o
for a partir de todox M .
Em particular, um sistema de controle com conjunto Ucp
localmenteacessvel a partir de x M se int (ST (x)) e int
ST (x) so conjuntos novazios, para todo T > 0.O seguinte
exemplo apresenta um sistema de controle que no local-
mente acessvel, mas que localmente acessvel a partir de um
subconjuntode M . O sistema do exemplo munido com um conjunto de
funes decontrole constantes por partes.
61
-
Figura~2.7: rbita de interior vazio em tempo limitado
Exemplo 2.11 Sejam M = R2 e V = {X1,X2} , com X1 = x1 e X2
=f(x1)
x2, onde f(x1) = 0, para x1 0 e f(x1) > 0, para x1 > 0.
Notemos
que a partir de qualquer ponto x do R2, temos int (SV(x)) 6= ,
logo, o sistema acessvel (veja Figura 2.7). No entanto, tomando-se
um ponto x0 = (x1, x2),com x1 < 0, e 0 < T |x1|, temos que
int (ST (x)) = , j que ST (x) um segmento de reta paralelo ao eixo
x1 a partir de x, porm, no atingindoo conjunto {(x1, x2) R2 : x1
> 0}. Portanto o sistema no localmenteacessvel a partir dos
pontos (x1, x2) com x1 < 0. Observemos que o sistema localmente
acessvel a partir de qualquer ponto x = (x1, x2) com x1 = 0,mesmo
que f(x1) = 0, pois int (ST (x)) 6= , j que T deve ser
estritamentepositivo, ou seja, podemos sempre atingir o conjunto
{(x1, x2) R2 : x1 > 0}a partir de qualquer ponto no eixo x2, por
menor que seja T > 0.
A seguinte definio fundamental para nossos estudos.
Definio 2.20 Dado um sistema de controle como na Definio 2.1,
umsubconjunto 6= D M dito um conjunto controlvel para o sistema
seso satisfeitas as seguintes propriedades:
1. Para todo x D, existe uma funo de controle u U e uma
trajetria(t, x, u) com (0, x, u) = x tal que (t, x, u) D, para todo
t 0;
2. Para todo x D tem-se D feO+>0(x) e
3. D maximal satisfazendo as propriedades 1 e 2, isto , se D0
Dsatisfaz as condies 1 e 2, ento, D0 = D.
A condio 1 da Definio 2.20 nos diz que existe ao menos uma
trajetriapositiva inteiramente contida em D a partir de todo ponto
de D. Pode-se
62
alunos-cceFigura~
-
exigir mais desta definio adicionando que D deve conter ponto
interior,excluindo assim casos triviais como, por exemplo, um ponto
singular x, quesatisfaz as condies 1 e 2, visto que existe uma funo
de controle u U talque (t, x, u) = x, para todo t 0 e, portanto,
{x} O+>0(x) fe
O+>0(x)(veja o Exemplo 2.12). Contudo, mostraremos mais tarde
que se um conjuntoD M maximal satisfazendo a condio 2 da Definio
2.20 e int (D) 6= ento D um conjunto controlvel para o sistema.A
condio 2 equivalente a dizer que, dados dois pontos quaisquer
x, y D, tem-se x feO+>0(y). Com efeito, fixemos x D, ento,
qualquer
ponto y D satisfaz y feO+>0(x), ou seja, D fe O+>0(x).
Reciproca-
mente, se 2 vale, dados quaisquer x, y D, temos que D
feO+>0(y), em
particular, x feO+>0(y). Assim, a condio 2 nos diz que todo
ponto em
D aproximadamente atingvel a partir de qualquer outro ponto em
D, ouseja, esta propriedade exprime a controlabilidade aproximada
esperada.J a condio 3 foi includa para se evitar problemas
tcnicos.Um sistema de controle pode ter muitos ou nenhum conjunto
controlvel,
como no seguinte exemplo.
Exemplo 2.12 Seja M = R e consideremos o sistema
x0(t) = u(t), u(t) U R, u U .Se U (0,), ento, o sistema no
admite conjuntos controlveis. Comefeito, as solues gerais do
sistema so dadas por
(t, x, u) = x+Z t0
u(s)ds
ondeR t0u(s)ds positiva e crescente como funo de t. Suponha que
D seja
um conjunto controlvel para o sistema. Ento, dado x D, deve
existiruma funo de controle u U tal que (t, x, u) D, para todo t
0.Agora, escolha y > x tal que y = (t1, x, u), com t1 > 0.
Ento, y D.Notemos que se z O+>0(y), ento, z > y, logo,
O+>0(y) (y,). Assim,x / fe
O+>0(y), contradizendo o fato de D satisfazer a propriedade
da con-trolabilidade aproximada. Se U = {0}, ento, todo conjunto de
um ponto um conjunto controlvel para o sistema. De fato, neste
caso, todo u U co-incide com a aplicao nula em R, logo, as solues
do sistema so definidaspor (t, x, u) = x, para todo t R. Seja D =
{x0}. Ento, para qualqueru U, (t, x0, u) = x0 D, para todo t 0,
logo, D satisfaz a condio
63
-
1 da Definio 2.20. Pelo mesmo argumento, temos que O+>0(x0) =
{x0},logo, fe
O+>0(x0) = {x0}, e a condio 2 tambm satisfeita por D,
evi-dentemente. Agora, dado x 6= x0, temos que x / fe
O+>0(x0), logo, D nopode estar contido em outro conjunto que
satisfaz a propriedade da contro-labilidade aproximada. Assim, D
maximal e, portanto, D um conjuntocontrolvel.
Os resultados seguintes exibem algumas propr