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Sntese
Parte I Princpios de Funcionamento de Sistemas de Aeronaves
Parte II Modelao e Anlise de Sistemas de Aeronaves
Parte III Projeto de Controlador PID
Joo Cardoso, 30259 Nuno Rafael Valente, 30298
Prof. K. Bousson Janeiro 2015
MINI-PROJETO SISTEMAS DE AERONAVES
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Parte I
PRINCPIOS DE FUNCIONAMENTO DE SISTEMAS DE AERONAVES SISTEMAS DE
ANTIGELO E DEGELO
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Parte I
Introduo
...................................................................................................................
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Formao de gelo
.........................................................................................................................................
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Efeitos
...........................................................................................................................................................
4
Papel do sistema nas aeronaves
.................................................................................
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Princpios de funcionamento
......................................................................................
7
Sistemas anti gelo
.........................................................................................................................................
7
Sistemas de degelo
.......................................................................................................................................
8
Vantagens e limitaes
.............................................................................................
11
Vantagens/desvantagens
..........................................................................................................................
11
Limitaes
..................................................................................................................................................
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Impacto ambiental
.....................................................................................................................................
12
Concluses
.................................................................................................................
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Introduo
Formao de gelo
A formao de gelo em aeronaves um fenmeno que ocorre quando o ar
contm gotculas de gua extremamente fria devido s baixas
temperaturas. Em altitudes elevadas as temperaturas so extremamente
baixas. Em combinao com a humidade que se faz sentir em algumas
zonas (quando o avio atravessa uma nuvem, por exemplo), ocorre a
formao de gelo que afeta asas, tubo de Pitot, etc. A acreo do gelo
ocorre em reas da estrutura exterior da aeronave perto dos pontos
de estagnao do escoamento como o caso do bordo de ataque das
asas.
As condies da formao de gelo so caracterizadas quantitativamente
pelo tamanho mdio das gotculas, teor de gua em estado lquido e
temperatura do ar. Qualitativamente, os pilotos descrevem as
condies de formao de gelo em termos do seu efeito sobre as
aeronaves e est naturalmente dependente das capacidades da
aeronave. Os Regulamentos Federais da Aviao, prescritos pela
Administrao Federal de Aviao, tambm contm a definio das condies de
formao de gelo para as quais apenas algumas aeronaves esto
certificadas para voar.
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Efeitos
Apesar dos esforos da indstria aeronutica, a formao de gelo nas
aeronaves civis continua a ser uma das maiores causas de acidentes
aeronuticos devido a condies atmosfricas adversas.
O mtodo de contabilizar o perigo do congelamento transportado
pelo ar varia dependendo da natureza da aeronave e dos seus
requisitos operacionais.
Existem vrias formas de definir a quantidade de gelo formado em
aeronaves mas as mais usuais, particularmente na aviao civil, so
baseadas no grau de acumulao e descrito da seguinte forma:
Se ocorrer formao de cristais de gelo no bordo de ataque da asa,
a aeronave entrar em stall a ngulos de ataque mais baixos e
velocidades mais elevadas do que em condies de ausncia de gelo nas
asas.
A formao de gelo nas asas tende a ser assimtrica o que provoca
um diferencial das caractersticas do escoamento entre as duas asas
o que representa naturalmente uma perturbao ao normal funcionamento
da aeronave.
Intensidade Acumulao de gelo
Vestgio O gelo torna-se perceptvel. A taxa de acumulao
ligeiramente maior que a taxa de sublimao. No representa
perigo.
Leve A taxa de acumulao pode criar problemas se estas condies de
voo excederem uma hora. O uso ocasional do dos equipamentos de anti
gelo/degelo previnem/removem a acumulao.
Moderado A taxa de acumulao tal que at curtas exposies a estas
condies tornam-se potencialmente perigosas. O uso de equipamentos
de anti gelo/degelo ou at mesmo uma diverso da rota so
necessrios.
Severo O rcio de acumulao tal que os equipamentos de anti
gelo/degelo falham na reduo ou controlo do perigo. Uma diverso
imediata necessria.
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Alm disso, a formao de gelo noutras reas crticas como o tubo de
Pitot, afeta o indicador de altitude e o velocmetro e,
consequentemente, a anlise de dados e tomadas de deciso por parte
do piloto.
Nas empenagens horizontais a acumulao de gelo tambm
significativa e os seus efeitos so bastante constrangedores. Uma
vez que a cauda tem a funo de equilibrar o avio, a acumulao de gelo
nessa estrutura cria uma fora descendente na traseira do avio,
anulando o efeito elevador.
O gelo pode representar perigo no s quando se forma nas
aeronaves mas tambm nas pistas onde a aeronave descola e aterra,
semelhana do que acontece com os carros nas estradas.
Para evitar ou minimizar os perigos que o congelamento
representa, foram desenvolvidos sistemas que previnem esse mesmo
congelamento ou removem camadas de gelo que se tenham formado sobre
as superfcies das aeronaves.
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Papel do sistema nas aeronaves
Existem diferentes sistemas de remover o gelo ou prevenir a
formao do mesmo, nomeadamente, sistemas eltricos, pneumticos e
sistemas de ar quente.
Para evitar que gelo se forme na asa, as aeronaves so dotadas de
um sistema chamado anti- ice (antigelo) ou de-ice (degelo). A
principal diferena entre os dois sistemas que o anti-ice no deixa
que o gelo se forme na asa atravs de aquecimento, como ser
explicado mais adiante. O sistema de-ice permite a formao do gelo
at certo ponto, quebrando-o em seguida. Isto impede perturbaes no
escoamento em torno das asas que possam alterar o ngulo de ataque
crtico e velocidade crtica a partir dos quais ocorresse perda de
sustentao.
Tambm existem sistemas eltricos que aquecem determinadas partes
incorporadas na fuselagem do avio, impedindo que congelem. Um
exemplo o aquecimento dos tubos de Pitot, este aquecimento de
grande importncia, uma vez que a formao de cristais de gelo nesta
sonda pode provocar anomalias na obteno de dados relativos
velocidade e altitude. Por exemplo, no voo Air France 447 a origem
do acidente fui atribuda inconsistncia das velocidades fornecidas
aos pilotos devido ao congelamento destas sondas que viria a
provocar decises incorretas dos pilotos responsveis.
Resumidamente, os sistemas descritos assumem a funo de prevenir
e/ou remover a acreo de gelo sobre as superfcies externas das
aeronaves contribuindo para o funcionamento regular dos componentes
sobre os quais atuam.
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Princpios de funcionamento
Tal como foi descrito, existem diferentes sistemas para
minimizar ou at mesmo solucionar o problema do congelamento das
aeronaves, que tm diferentes formas de operar.
Sistemas anti gelo
Os sistemas anti gelo podem recorrer a:
Ar quente que pode ser sangrado continuamente ou apenas perante
a presena de condies de congelamento. O ar quente projetado para o
interior de superfcies sujeitas acreo de gelo tal como o bordo de
ataque das asas;
Aquecimento eltrico de elementos da estrutura suscetveis a
congelamento de formo a atingirem uma determinada temperatura
contnua na sua superfcie exterior;
O sistema de ar quente recorre ao ar sangrado dos motores. Uma
parte do ar comprimido pelo motor (que extremamente quente)
desviado atravs de uma vlvula e passa, posteriormente, por dentro
de tubos localizados atrs dos slats (ou apenas no interior do bordo
de ataque da asa no caso de avies que no possuem slats). Esses
dutos possuem uns furos calibrados que deixam o ar quente escapar,
aquecendo o alumnio por dentro evitando assim que o gelo se forme
no bordo de ataque da asa.
Existe ainda uma outra forma de prevenir a formao de gelo, que
se designa de sistema passivo. Este mtodo recorre aplicao de
superfcies hidrofbicas caracterizadas por um elevado nvel de
resistncia gua e efeito repelente natural que impedem a formao de
gelo. Este sistema tambm inclui as caractersticas da superfcie e
formato das asas ou empenagem.
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O aquecimento eltrico recorre a resistncias incorporadas na
fuselagem que geram calor quando a corrente aplicada.
Sistemas de degelo
Os sistemas de degelo podem utilizar:
Borrachas pneumticas, em que uma estrutura em borracha sinttica
reforada instalada na superfcie suscetvel a congelamento e infla
periodicamente em condies de acreo de gelo, quebrando qualquer
camada de gelo que se tenha formado sobre essa zona.
Aquecimento eltrico, que tambm pode ser usado em modo degelo,
ligando periodicamente durante a exposio a condies de congelamento
e apresenta um princpio de funcionamento igual ao que foi descrito
no caso do sistema antigelo.
Sistemas electro expulsivo, que utiliza correntes induzidas por
condutores integrados numa superfcie flexvel (ex.: borracha) para
criar um moimento relativo que provoque rutura da camada de
gelo.
Ilustrao do sistema de ar quente: o ar quente provm dos motores
e transportado ao longo do circuito marcado a vermelho at ao
interior do bordo de ataque.
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Os sistemas pneumticos so usados sobretudo no bordo de ataque
das asas que, por corresponderem a uma zona de estagnao, so
suscetveis acumulao de gelo. O princpio de funcionamento dos
sistemas pneumticos bastante simples de perceber. Tal como descrito
anteriormente estes sistemas permitem a formao do gelo quebrando-o
em seguida, atravs da expanso de uma borracha localizada, ento, no
bordo de ataque. Por trs desta borracha passam micro tubos de ar,
que fazem a borracha inflar e desinflar alternadamente, e esse
movimento suficiente para quebrar qualquer camada de gelo que se
tenha formado no bordo de ataque da asa. Este sistema foi criado e
desenvolvido inicialmente pela Goodrich Corporation.
O sistema electro expulsivo funciona de forma semelhante ao
mecanismo pneumtico com a diferena de que o movimento da material
flexvel provocada por correntes induzidas. Este sistema foi criado
pela United States Rubber Company em 1943 e o material utilizado
era, naturalmente, borracha.
Um quarto sistema semelhante, desenvolvido pela NASA, deteta
gelo sobre a superfcie atravs de uma alterao na frequncia de
ressonncia. Uma vez que o mdulo de controlo eletrnico determina que
ocorreu formao de gelo, um grande pico de corrente descarregado
para os transdutores para gerar um choque mecnico afiado,
provocando fissuras na camada de gelo e fazendo com que ele seja
destacada pelo vento.
Em cima: Borracha que constitui o sistema de degelo ainda
desativada.
Em baixo: Borracha inflada aps o sistema ter sido ativado.
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Para alm dos mtodos descritos, existe um outro com efeitos anti
gelo e degelo: fludos qumicos. Os fluidos de degelo, podem tambm
ser denominados de fludos Newtonianos devido ao comportamento
viscoso similar ao da gua, so constitudos base de glicol aquecido e
facilitam a remoo do gelo da superfcie do avio devido as suas
propriedade de degelo muito boas. O fludo anti gelo, por sua vez,
no aquecido e constitudo por fluidos base de glicol propileno. So
considerados fluidos no-newtonianos. A sua aplicao tem por objetivo
retardar a formao de gelo.
A aplicao destes fludos normalmente aplicada em terra, podendo
at aplicar-se os dois produto, primeiro o fluido de degelo para
remover vestgios de gelo e em seguida o fluido anti gelo para
evitar que o gelo de forme no s enquanto est aterrado, mas tambm no
voo seguinte. Isto usualmente denominado de procedimento a dois
passos.
O metanol tem sido, durante anos, o fluido aplicado para remover
geadas e camadas de gelo leves das asas e empenagens das
aeronaves.
Aplicao de fluidos de degelo numa aeronave na pista de um
aeroporto.
Detalhe do sistema de degelo / anti gelo atravs de fluidos.
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Vantagens e limitaes
Vantagens/desvantagens
As vantagens da utilizao de sistemas de degelo e anti gelo so
bvias e muito variadas. A principal vantagem que habilita as
aeronaves dotadas destes equipamentos a voarem em condies de
congelamento no mximo moderados o que possibilita viagens mais
longas e sem a necessidade de alterar a rota.
No entanto, podem ser referidas vantagens dos sistemas anti gelo
relativamente aos sistemas de degelo e vice-versa.
Numa perspetiva mais geral, podemos identificar como vantagem
dos sistemas anti gelo o facto de estes terem na maioria dos casos
uma ao contnua ao longo do voo dispensando desta forma a interveno
do piloto. Tambm impede que o gelo alguma vez se venha a formar,
isto se as condies de congelamento no ultrapassarem os limites para
os quais a aeronave est habilitada a voar, oferecendo uma maior
garantia de segurana. Por outro lado, esta ao contnua tambm
representa uma desvantagem, uma vez que para sistemas de anti gelo
e sistemas de degelo com princpios semelhantes (ex.: aquecimento
eltrico) o modo de degelo permite uma maior poupana de energia uma
vez que o sistema apenas ativado na presena de condies de
congelamento.
Relativamente ao sistema de anti gelo atravs do ar quente
sangrado dos motores, destaca-se a vantagem de este sistema ter uma
fonte de energia praticamente gratuita uma vez que aproveita o ar
quente que ser sempre emitido pelos motores, necessitando apenas de
energia para alimentar o sistema de controlo.
A aplicao de fludos apresenta tambm algumas desvantagens. Uma
delas prende-se com o facto do processo de aplicao requerer algum
tempo o que pode eventualmente provocar atrasos no voo. Outras
desvantagens relacionam-se com a eficincia e o impacto ambiental
provocado, que ser analisado de seguida.
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Limitaes
Tal como foi indicado na descrio das condies de congelamento, a
eficincia dos sistemas est dependente da severidade dessas condies.
Em condies severas, os sistemas so insuficientes para impedir uma
acreo de gelo que coloque a segurana do voo em causa, e a nica
alternativa mesmo a alterao da rota.
No caso dos fludos qumicos, a eficincia avaliada pelo holdover
time (HOT) que corresponde ao perodo de tempo que uma aeronave pode
esperar aps o degelo at antes de descolar. Se a aeronave no cumprir
a descolagem antes deste perodo terminar deve-se cumprir o
procedimento outra vez. Isto constitui naturalmente uma limitao
deste mtodo.
Impacto ambiental
Um aspeto muito positivo dos sistemas anti gelo e degelo o facto
de a maioria no apresentar ameaas para o ambiente, uma vez que
utilizam essencialmente eletricidade e ar para provocar aquecimento
das superfcies ou movimentos mecnicos como o caso das borrachas
pneumticas.
No entanto, os fludos utilizados para degelo ou para conferir
propriedades anti gelo s aeronaves, como o glicol propileno, podem
contaminar fontes de gua potvel ou afetar a vida em meios aquticos.
Para combater este problema, alguns aeroportos j iniciaram
processos para recolher e tratar os escoamentos superficiais
resultantes da aplicao destes produtos antes que estes atinjam
aquferos.
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Concluses
Considerando todos os aspetos apresentados h vrias concluses que
podem ser registadas.
Primeiramente, conclumos que este sistema semelhana da maioria
de outros sistemas em diversas reas, no infalvel. O piloto deve
evitar condies severas onde os sistemas de anti gelo e degelo podem
ser insuficientes. Em ltima anlise, a deciso do piloto ser sempre o
parmetro mais decisivo em qualquer situao e importante relembrar
que os sistemas apenas servem para o auxiliar.
Verificamos tambm que este sistema pode assumir diversas formas
e que pode mesmo assumir modos de funcionamento distintos.
Relativamente aos modos de funcionamento, entendemos que o sistema
anti gelo mais seguro uma vez que ao impedir que o gelo alguma vez
se venha a formar evita qualquer perturbao mnima que este possa
eventualmente provocar. No entanto, os sistemas de degelo em geral
podem representar uma alternativa mais econmica uma vez que o seu
funcionamento intermitente.
positivo verificar que este tipo de sistema (excluindo o caso
particular dos produtos qumicos) praticamente no tem impacto sobre
o ambiente, tendo como fontes principais eletricidade e ar.
Parte II
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MODELAO E ANLISE DE SISTEMAS DE AERONAVES ESTABILIZADOR
HORIZONTAL
Parte II
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Parte II
Introduo
.................................................................................................................
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Estabilizador horizontal
.............................................................................................
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Estabilidade Dinmica Longitudinal de uma Aeronave
............................................ 18
Funo de transferncia
...........................................................................................
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Introduo
Para descrever as equaes dinmicas de um avio necessrio conhecer
os parmetros de maior importncia, como as caractersticas
geomtricas, informaes sobre as condies de voo, massa e peso da
aeronave, momentos de inrcia e os coeficientes de estabilidade.
Geralmente para determinar os coeficientes de estabilidade
aerodinmicos de uma aeronave so realizados trabalhos experimentais
por meio de pequenos prottipos que possuem caractersticas
proporcionais s de um avio real.
Para esta parte do projeto vamo-nos centrar nos movimentos
longitudinais, ou seja, no sistema do estabilizador horizontal e
iremos, para alm de descrever este sistema, estabelecer a sua funo
de transferncia bem como analisar a estabilidade da dinmica do
mesmo. Para tal foi escolhido como modelo de aeronave um Cessna
182.
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Estabilizador horizontal
Na maioria dos avies, existem trs eixos de movimentao:
Eixo Longitudinal - Linha imaginria que cruza o avio desde a
cauda ao nariz; Eixo Lateral ou Transversal- Linha imaginria que
cruza o avio de uma
extremidade outra da asa; Eixo Central - Linha imaginria que
atravessa o avio verticalmente de cima para
baixo;
O leme de profundidade (designado em ingls por elevator), uma
estrutura mvel fixada na empenagem horizontal que controla o
movimento do avio para cima ou para baixo, ou seja, responsvel pelo
movimento do avio sobre seu eixo lateral, aumentando ou diminuindo
o ngulo de ataque da aeronave. O controlo deste estabilizador
efetuado empurrando (movimento de descida do avio) ou puxando
(movimento de subida do avio) a manche. O aumento no ngulo de
ataque causa aumento na sustentao produzida pelo perfil da asa, bem
como reduo da velocidade de voo. Uma reduo do ngulo de ataque
provoca aumento da velocidade.
Localizao do estabilizador horizontal na aeronave Estabilizador
horizontal em pormenor
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Estabilidade Dinmica Longitudinal de uma Aeronave
A estabilidade longitudinal atua sobre o eixo lateral no
movimento de arfagem. Para que uma aeronave seja estvel
longitudinalmente necessrio existir uma tendncia de retornar ao seu
ponto de atitude de arfagem aps sofrer algum distrbio. Por exemplo,
se um fenmeno atmosfrico como uma rajada de vento aumentar o ngulo
de ataque as foras produzidas tendem a diminuir o ngulo de ataque
para que a aeronave volte ao seu estado de equilbrio. Grande parte
da estabilidade longitudinal atribuda localizao do centro de
gravidade em relao ao centro de sustentao.
As equaes de movimento longitudinal para pequenas perturbaes
podem ser descritas em funo do ngulo de arfagem . Utilizando as
derivadas de estabilidade dimensionais para o movimento
longitudinal, as equaes para o movimento perturbado longitudinal
podem ser escritas da seguinte forma:
Aplicando a transformada de Laplace:
As variveis de sada, u(s), (s) e (s) so as transformadas de
Laplace para u(t), (t) e (t) e a varivel e(s) a transformada de
Laplace para e(t). Dividindo as equaes por e(s) obtm-se um sistema
de trs equaes para as trs variveis de sada. Assim tem-se u(s)/e(s),
(s)/e(s) e (s)/e(s) que so as funes de transferncia em malha aberta
para a aeronave. Elas podem ser obtidas resolvendo o seguinte
sistema:
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A primeira matriz do sistema, a segunda representa a matriz de
funes de transferncia e a terceira matriz, por sua vez, contm as
potncias de controlo. Daqui resultam as funes de transferncia para
a velocidade horizontal, ngulo de ataque e o ngulo de arfagem em
relao ao elevador:
Nos prximos passos vamo-nos focar no ngulo de arfagem e na sua
funo de transferncia em funo de e.
Funo de transferncia
No caso de sistemas lineares determinsticos, aplicando a
transformada de Laplace s equaes, com condies iniciais nulas:
sX(s) = AX(s) + BU(s) obtm-se a soluo para o estado
X(s) = (sI A) 1BU(s) e logo para a sada
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Esta frmula corresponde a uma matriz de transferncia:
G (s) = C sI A !!B + D
ou a um conjunto de funes de transferncia para os diversos pares
entrada/sada
=
Os polos do sistema so:
as singularidades da matriz de transferncia ou
os valores prprios da matriz da dinmica A
razes da equao caracterstica
Para determinar a funo de transferncia longitudinal relativa ao
ngulo de arfagem do Cessna 182 utilizada a equao obtida
anteriormente:
O ngulo de deflexo e representa a entrada do sistema, uma vez
que a deflexo do profundor que ir provocar a correo da posio. O
ngulo de arfagem corresponde sada do sistema pois a manipulao da
deflexo do profundor corrige este ngulo.
Recorrendo s tabelas que se seguem s derivadas de estabilidade,
possvel calcular os valores estimados dos coeficientes dos
polinmios do numerador e do denominador da funo de
transferncia.
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Substituindo na equao os coeficientes pelas respetivas expresses
e substituindo tambm as derivadas longitudinais pelos respetivos
valores, a funo de transferncia para (s)/e(s) resulta em:
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As caractersticas de estabilidade dinmica longitudinal da
aeronave so determinadas pelas razes dos polinmios e so obtidas
igualando o denominador a zero. A equao caracterstica, geralmente,
constituda por um par de polos complexos conjugados.
! + 8.9432! + 28.2021! + 1.4859 + 0.8133 = 0
Analisando os polos desta funo de transferncia verificamos que
todos eles apresentam parte real negativa o que, por definio, nos
permite concluir que o sistema estvel.
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PROJETO DE CONTROLADOR PID NO SISTEMA CONSIDERADO
Parte III
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Parte III
Introduo terica
............................................................................................
25
Projeto do PID
....................................................................................................
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Introduo terica
Num sistema sujeito a perturbaes, por vezes as performances
especificadas no podem ser satisfeitas por um sistema de malha
aberta.
Para resolver este entrave, a soluo passa pela colocao de
dispositivos de controlo, como reguladores e compensadores. O
controlador proporcional integral derivativo, ou PID, o algoritmo
de realimentao mais comum de ser encontrado em plantas industriais
devido sua simplicidade. O seu objetivo principal manipular a
varivel controlada por meio de trs aes de controlo: a ao
proporcional, integral e derivativa, fazendo assim com que o sinal
de erro seja minimizado pela ao proporcional, anulado pela ao
integral e obtido com uma velocidade antecipada pela ao derivativa,
combinando, deste modo, as vantagens de cada uma das aes de
controlo.
O sinal de controlo que sai do regulador PID definido por:
-
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A partir desta equao, e pela transformada de Laplace, calcula-se
a funo de transferncia do PID:
No entanto, verifica-se que como tem um grau relativo negativo,
esta funo aplica-se apenas a um PID ideal/terico. Isto porque, na
eventualidade de tal condio ser possvel, teria os seguintes
inconvenientes:
A componente de derivao no teria sinais de controlo no caso de o
erro ser constante;
A componente de derivao seria muito sensvel s perturbaes e
rudos. De facto, contrariamente componente de integrao, esta no tem
capacidade para atenuar o sinal de erro no caso de se tratarem de
frequncias altas.
Na situao real/prtica, teremos que ter em conta uma constante de
tempo suficientemente pequena na componente de derivao, tal
que:
com 10-5
< < 10-3
Kp,Ki,Kd so os ganhos do PID, chamados respectivamente: ganho
proporcional, ganho integral, e ganho derivativo.
Ser sob este pressuposto que iremos proceder ao projeto do
PID.
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Em aplicaes prticas alguns cuidados devem ser tomados na
utilizao destes controladores, de forma que se obtenha o desempenho
desejado. Devem ser levados em considerao os efeitos da saturao do
sinal atuante, da limitao do ganho derivativo em altas frequncias e
da escolha do sinal de referncia.
A maior parte dos controladores PID so ajustados em campo,
utilizando diferentes mtodos de ajuste, como o mtodo de Cohen e
Coon, Astrom e Hagglund, e Ziegler-Nichols - que iremos utilizar a
seguir este o mtodo emprico in loco mais simples e tradicional. Por
meio destas regras de ajuste possvel melhorar os efeitos nos
parmetros dos controladores, desde que o modelo matemtico do
processo seja conhecido.
Nesta sequncia, iremos ento mostrar, nos passos seguintes, o
procedimento para projetar e dimensionar um PID para controlo
longitudinal do estabilizador horizontal (profundor) no Cessna 182
considerado da parte II do Mini-Projeto, recorrendo ao mtodo de
Ziegler-Nichols.
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Projeto do PID
Como vimos, a funo de transferncia para (s)/e(s), no sistema
considerado, :
Iremos ento comear por calcular os ganhos do PID com recurso aos
mtodos de Zieger e Nichols, considerando critrios de desempenho
como a soma dos valores absolutos dos erros ao longo do tempo:
Este mtodo consiste em determinar o ganho crtico, Kcr e a
frequncia (angular) crtica cr do sistema realimentado (sem o PID).
O ganho crtico Kcr o valor mximo do ganho a partir do qual o
sistema de malha fechada sem PID comea a ser instvel quando
multiplicar a sua funo de transferncia de malha aberta para este
valor do ganho.
A relao entre o ganho critico e a frequncia crtica definida
por:
Visto que o ganho crtico dever ser positivo, reescrevendo a
relao anterior teremos de verificar que:
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Considerando um nmero complexo zk ,w definido por:
pela igualdade pretendida e pela relao entre o ganho crtico e a
frequncia crtica, verificamos que:
Para isto acontecer, ter que se ter:
Considerando os seguintes igualdades,
podemos ento reescrever de forma equivalente o anterior conjunto
de equaes:
-
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Para obter a frequncia crtica, cr , resolveremos a seguinte
equao com recurso mquina calculadora:
Pelo que, primeiro, teremos que definir as funes de
transferncia:
Ramo direto:
Ramo de realimentao:
Pelo que a funo de transferncia em malha aberta :
Ficando:
-
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Definida a funo transferncia (), introduziremos, na mquina, a
seguinte equao:
!!,!"#$(!!!")!!!",!"##!!!"!!,!"#$
(!!!")!!!,!"#$(!!!")
!!!",!"!#(!!!")!!!,!"#$!!!"!!,!"##
. !!!!"!!
=0
Que, resolvendo, devolve os seguintes valores:
cr = 4,42528 ou cr = 0 ou cr = -4,42528
Pelo que iremos considerar que cr = 4,42528 (rad/s)
De seguida, procederemos ao clculo do ganho crtico, Kcr , pela
expresso:
Kcr =
= 1
5,0297 . 4,42528! 10,3466. 4,42528 0,5920
. 4,42528 ! + 8,9432 . 4,42528 ! + 28,2021 . 4,42528 ! + 1,4859.
4,42528 + 0,8133 .1
. 4,42528 + 1
Obtendo Kcr = 33,017942
Por fim, iremos calcular os parmetros do sistema assim como os
ganhos do controlador PID associados, com recurso s equaes de Ti ,
Td e tabela seguinte:
Kp Ti Td Tp
P 0,5Kcr 0 Tcr
PI 0,45Kcr 0,8Tcr 0 1,4Tcr
PID 0,6Kcr 0,5Tcr 0,125Tcr 0,85Tcr
-
Joo Cardoso, 30259 Nuno Rafael Valente, 30298 32
Perodo crtico: Tcr = 2 / 4,42528 = 1,41984 segundos
Tempo de integrao: Ti = 0,5 x 1,41984 = 0,70992 segundos
Tempo de derivao: Td = 0,125 x 1,41984 = 0,17748 segundos
Ganho proporcional: Kp = 0.6 x 33,017942 = 19,8108
Ganho integral: Ki = 19,8108 / 0,70992 = 27,9057
Ganho derivativo: Kd = 0,17748 x 19,8108 = 3,51602
Consideramos importante referir que, aps anlise dos resultados
obtidos, estes nos parecem desfasados dos valores habituais neste
tipo de controlador. Sabemos, nomeadamente, que quanto maior a
constante Kp, maior ser o ganho do erro e mais instvel ser o
sistema, o que levanta preocupaes relativamente sustentabilidade do
controlador projetado.