186 n I diversi tipi di sistemi di numerazione n Cambiamenti di base n Operazioni aritmetiche nei sistemi non decimali n I diversi tipi di sistemi di numerazione 1 Introduzione Non sappiamo con certezza quali popoli si servirono, per primi, dei numeri; e ` certo, tuttavia, che passo ` molto tempo tra l’uso verbale dei numeri e la loro scrittura. Molti popoli giunsero quasi contemporaneamente a rappresentare con simboli grafici, in forme diver- se, i numeri e a stabilire delle leggi per poter operare con essi. Nacquero cosı` modi diversi per rappresentare i numeri, anche quelli ai quali non era associato diret- tamente un simbolo, e per poter eseguire con essi le varie operazioni. Nacquero, cioe `,i sistemi di nu- merazione. n Un sistema di numerazione e ` un insieme di simboli, detti cifre, e di regole per combinarli, per mezzo del quale e ` possibile rappresentare qualunque numero. n I piu ` antichi sistemi di numerazione furono per lo piu ` sistemi additivi, nei quali a ogni simbolo e ` associato un valore numerico prefissato. Tali sistemi si dicono additivi (o addizionali ) perche ´ il valore del numero rappresentato si ottiene sommando (o sottraendo) i valori numerici dei singoli simboli che costituiscono la scrittura del numero. I Romani, per esempio, usavano un sistema additivo. Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi – & 2010 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara
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186
n I diversi tipi di sistemi di numerazione
n Cambiamenti di base
n Operazioni aritmetiche nei sistemi non decimali
n I diversi tipi di sistemi di numerazione
1 Introduzione
Non sappiamo con certezza quali popoli si servirono, per primi, dei numeri; e certo, tuttavia, che passo
molto tempo tra l’uso verbale dei numeri e la loro scrittura.
Molti popoli giunsero quasi contemporaneamente a rappresentare con simboli grafici, in forme diver-
se, i numeri e a stabilire delle leggi per poter operare con essi.
Nacquero cosı modi diversi per rappresentare i numeri, anche quelli ai quali non era associato diret-
tamente un simbolo, e per poter eseguire con essi le varie operazioni. Nacquero, cioe, i sistemi di nu-
merazione.
n Un sistema di numerazione e un insieme di simboli, detti cifre, e di regole per combinarli, per
mezzo del quale e possibile rappresentare qualunque numero.
n I piu antichi sistemi di numerazione furono per lo piu sistemi additivi, nei quali a ogni simbolo e
associato un valore numerico prefissato. Tali sistemi si dicono additivi (o addizionali) perche il
valore del numero rappresentato si ottiene sommando (o sottraendo) i valori numerici dei singoli
simboli che costituiscono la scrittura del numero.
I Romani, per esempio, usavano un sistema additivo.
Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi – & 2010 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara
Per affrontare lo studio di questa unita e sufficiente la conoscenza delle operazioni aritmetiche e delle potenzenell’insieme dei numeri naturali (UNITA 1).
Conoscenze
n Differenza tra un sistema additivo e un sistema posizionale
n Rappresentazione dei numeri naturali nei sistemi di numerazione posizionali
Abilita
n Trasformare la scrittura di un numero da una base a un’altra
n Operare con numeri in base diversa dalla base 10, calcolando somme, differenze e prodotti
PR
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OB
IET
TIV
I
ESEMPIO
Nella numerazione romana si hanno dei simboli fondamentali, che sono
I1
V5
X10
L50
C100
D500
M1000
Per rappresentare gli altri numeri si usano gli stessi simboli con alcuni accorgimenti, come puoi dedurre
dalle seguenti scritture:
II ¼ 1þ 1 III ¼ 1þ 1þ 1 IV ¼ 5� 1 VI ¼ 5þ 1
IX ¼ 10� 1 XI ¼ 10þ 1 XL ¼ 50� 10 LX ¼ 50þ 10
XXXIV ¼ 10þ 10þ 10þ 5� 1 DCL ¼ 500þ 100þ 50
Cosı, MCDLXIV¼ 1000þð500�100Þþ50þ10þð5�1Þ corrisponde a 1000þ400þ50þ10þ4¼ 1464.
Il sistema di numerazione romano e dunque un sistema additivo.
Nei sistemi additivi risultava complicato sia rappresentare numeri piuttosto grandi sia eseguire calcoli
di un certo impegno.
Furono gli Indiani, forse nel VI sec. d.C., a ideare il sistema di numerazione decimale, di cui ancor oggi
ci serviamo, che fu diffuso dagli Arabi e divulgato in Italia verso il 1200 da Leonardo Pisano, detto
Fibonacci, con il suo Liber Abaci.
n Il sistema di numerazione decimale, che e quello da noi comunemente usato, e un sistema posi-
zionale: in esso il valore numerico associato a ogni cifra varia a seconda della posizione che essa
occupa nella scrittura del numero.
187Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi – & 2010 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara
2 Sistema decimale
Il nostro sistema di numerazione si serve di dieci simboli, detti cifre, che rappresentano i primi dieci
numeri naturali. Tutti gli altri numeri naturali si rappresentano mediante una sequenza di tali simboli.
n Si chiama ordine di una cifra il posto che essa occupa in
tale sequenza, contando, a partire da zero, dall’ultima cifra
a destra verso sinistra.
ESEMPIO
1 Nel numero 5028
� 8 e la cifra di ordine 0 e rappresenta 8 unita;
� 2 e la cifra di ordine 1 e rappresenta 2 decine;
� 0 e la cifra di ordine 2 e rappresenta 0 centinaia;
� 5 e la cifra di ordine 3 e rappresenta 5 migliaia.
5028
Il sistema di numerazione posi-
zionale a base 10, che oggi uti-
lizziamo, fu introdotto per la
prima volta nel VI secolo in In-
dia. Tale sistema e possibile so-
lo mediante l’adozione di una
cifra, il nostro zero, da utilizzare
per rappresentare una posizio-
ne vuota. Fu cosı che fu intro-
dotto lo zero, che in preceden-
za non era considerato un nu-
mero. Dalla parola sanscrita
sunya, che significa «vuoto»,
deriva la parola araba s.ifr, da
cui a sua volta derivano le paro-
le italiane zero e cifra.
Questo sistema di numerazione si chiama decimale perche dieci unita di un ordine formano
un’unita dell’ordine immediatamente superiore. Percio la cifra di ordine zero indica il numero
di unita, la cifra di ordine 1 indica il numero di decine, essendo una decina uguale a dieci unita, la cifra
di ordine 2 indica le centinaia, essendo un centinaio uguale a 10 decine, e cosı via. In altre parole, il
valore numerico associato a ogni cifra si ottiene moltiplicando tale cifra per una potenza di 10, il cui
esponente e dato dall’ordine della cifra stessa.
ESEMPIO
2 Nel numero 5028
� la cifra 8, di ordine 0, e associata al valore 8 � 100 ¼ 8 � 1 ¼ 8;
� la cifra 2, di ordine 1, e associata al valore 2 � 101 ¼ 2 � 10 ¼ 20;
� la cifra 0, di ordine 2, e associata al valore 0 � 102 ¼ 0 � 100 ¼ 0;
� la cifra 5, di ordine 3, e associata al valore 5 � 103 ¼ 5 � 1000 ¼ 5000.
Percio il numero 5028 si puo scrivere in forma polinomiale in questo modo:
5028 ¼ 5 � 103 þ 0 � 102 þ 2 � 101 þ 8 � 100
Infatti 5028 ¼ 5000þ 20þ 8
3 Sistemi non decimali
Il sistema di numerazione decimale, cioe a base 10, e stato universalmente adottato per la sua grande
praticita: il numero delle cifre e 10, quindi un numero ne troppo grande ne troppo piccolo. E ovvio
pero che il problema della numerazione (che poi, in pratica, e quello di contare) potrebbe benissimo
essere risolto anche se, invece del 10, si assumesse come base qualsiasi altro numero naturale mag-
giore o uguale a 2. Si potrebbe, ad esempio, creare un sistema a base 3, nel quale
� le cifre usate per scrivere tutti i numeri sono 0, 1, 2;
� le unita si raggruppano a tre a tre;
� tre unita di un certo ordine formano un’unita dell’ordine immediatamente superiore.
Quindi anche in questo sistema ogni numero puo essere espresso in forma polinomiale, cioe median-
te un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti della base, che nel caso specifico e 3.
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Cosı il numero 1201 scritto in forma abbreviata nel sistema ternario, cioe a base 3, equivale, nel siste-