Sistema de Control de Presion

8/16/2019 Sistema de Control de Presion

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PRIMER PARCIAL DE FUNDAMENTOS DE CONTROL

SISTEMA DE CONTROL DE PRESIÓN

JUAN MANUEL GARCÍA FRAGOZO

Ingeniería de Control

CARLOS EDUARDO AGUIRRE EDELIngeniería de Petróleos

JUAN DAVID OCHOA

Ingeniería Química

PRESENTADO A: LINA MARIA GOMEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE MINAS

ESCUELA DE MECATRÓNICA

NOVIEMBRE DE 2012


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1.

DESCRIPCIÓN DEL PROCESO

El proceso se compone de un tanque contenedor de aire, donde los flujos de aire de

entrada y salida presentan una presión, temperatura y densidad ( ) y ( ) respectivamente y cuya descarga se hace a presión atmosférica. Este tanque es de

forma cilíndrica y posee una capacidad de 60 litros.

El objetivo del proceso es el de observar la dinámica de la presión en la planta, la cual se

constituye como una variable de estado. El flujo de aire de entrada y de salida presenta

un comportamiento, debido a las válvulas que permiten su paso a través del tanque. Estas

válvulas son de ⁄ tipo aguja normalmente abierta, con actuador neumático y vástagodeslizable, en donde una es usada como actuador para efectos de control y la otra con

fines didácticos para realizar la perturbación al sistema [2].

El sistema de control contiene un indicador de presión con rango de medida de 0-30 psig,

a través del cual el operador del proceso puede corroborar el estado del mismo [2]. Comoel tanque opera en el rango de 3-15 psig, se emplea un transductor de presión a corriente

(3-15 psig a 4-20 mA) para llevar la medición de la señal de salida al controlador (PLC),

donde se realiza el cálculo de la acción de control, luego esta señal es enviada al proceso y

como el elemento final de control es un actuador neumático, la señal es nuevamente

convertida a presión por medio del transductor de corriente a presión (4-20 mA a 3-15

psig) [2]. Ver figura 1.

Figura1. Sistema de control de presión.


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2.

MODELO FENOMENOLÓGICO

EL modelo fenomenológico del proceso se obtiene partiendo de un balance de masa

aplicado al tanque, no se considera el balance de energía ya que los cambios de presión

que se manejan en el tanque, no ocasionan grandes cambios de temperatura del aire [2].

Por lo tanto se hacen varias suposiciones dadas las condiciones físicas del proceso:

SUPOSICIONES

Temperatura constante,

Comportamiento del aire como gas ideal.

Balance de masa:

̇ ̇

Asumiendo el comportamiento de gas ideal:

Mediante un balance de energía mecánica (ecuación de Bernuolli), se encuentra una

relación en términos del coeficiente de apertura de la válvula (Cv), una función del

desplazamiento del vástago ( ), las presiones de entrada y de salida, además la densidaddel fluido a la entrada de la válvula [1].


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La función depende del desplazamiento total del vástago, que a su vez es dependientede la presión aplicada al diafragma de la válvula [1].

Sabiendo que la fracción de desplazamiento total del vástago en la válvula considera elspan propio del protocolo neumático (3 – 15 psi), se tiene que [1]:

Finalmente se obtiene el modelo completo, al reemplazar (8) en (5), (9) en (6) y (5) y (6)

en (4).

El coeficiente de dimensionamiento de la válvula se obtiene a partir de la siguienterelación: ⁄ donde ⁄ , y la caída depresión a través de la válvula debe ser el 50% de la caída de presión en todo el sistema,

∆ .Escogiendo un factor de sobre diseño igual a 2, se tiene que: = 2* [1].


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TABLA DE PARÁMETROS

Símbolo Valor Unidades Descripción 2.62 g/L Densidad de flujo de entrada

2.6 g/L Densidad de flujo de salida

1.2051 L*Psi/mol*K Constante universal de los gases 298.15 K Temperatura de los flujos de aire 6 L Volumen total del tanque 29 g/mol Peso molecular del aire 0.2425 [L/s] *[Psi-1/2] Coeficiente de apertura de la válvula 1.1 adimensional Coeficiente empírico 12.3740 Psi Presión atmosférica en MedellínTabla 1. Parámetros del modelo.

2.1

LINEALIZACIÓN

El modelo fenomenológico que describe la dinámica de la presión en el tanque es un

modelo altamente no lineal, puesto que presenta funciones exponenciales y funciones de

potenciación que a su vez están en función de la variable de estado y las variables de

entrada. Para llevar a cabo el diseño y sintonía del controlador para este proceso es

necesario aproximar el modelo no lineal a un modelo lineal entorno a un punto de

operación o también llamado estado estacionario. Ver tabla 2.

TABLA DE VARIABLES Y PUNTO DE OPERACIÓN

VARIABLES PUNTO DEOPERACIÓN

UNIDADES

DESCRIPCIÓN

P 17.9837 Psi - absoluta Presión en el tanque 3 Psi- manométrica Presión en la válvula de control 22.6960 Psi - absoluta Presión en flujo de entrada 4 Psi- manométrica Presión en la válvula de perturbaciónTabla 2. Punto de operación.

Para llevar a cabo la linealización se identifica la variable de estado y las variables de

entrada en el proceso.

Variable de estado: “P” siendo esta la salida del proceso “y(t) = P(t)”

Variables de entrada: , y


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Este grupo de variables de entrada se encuentra la acción de control y las perturbaciones.

o Acción de control: o Perturbación de entrada:

o Perturbación de salida: Definiendo así:

La variable de estado y el vector de entradas La linealización se desarrolla por expansión en series de Taylor alrededor del punto de

operación o de estado estacionario del modelo no lineal.

( )

[

]

Obteniendo así, el modelo linealizado en variables de desviación:


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Donde,

Es necesario realizar una comparación entre el modelo linealizado y el modelo no lineal

para validar que tan aproximado es el modelo linealizado alrededor del punto operación

establecido.

Figura 2. Comparación de los modelos.

En la figura 2, se ve como el modelo linealizado se aproxima al modelo no lineal, siendo

aceptable su cercanía en el comportamiento dinámico. Se realizaron variaciones en los

valores del nominales de operación de las entradas del proceso en el orden del 10% parala y y del 5% para . Las funciones de transferencia obtenidas luego de aplicar transformada de Laplace y el

principio de superposición son las siguientes:

0 50 100 150 200 250 300 350 40017.8

17.9

18

18.1

18.2

18.3

18.4

18.5

18.6

18.7

Tiempo [segundos]

R e s p u e s t a

COMPARACION DE LOS MODELOS LINEALIZADO Y NO LINEAL

Modelo no lineal

Modelo linealizado


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Es importante resaltar la relación que existe entre las variables aun cuandose ha considerado a como una variable de perturbación en la entrada del proceso.Considerando a como la acción de control, es decir la variable que podemosmanipular se establece cierta relación directa con la presión que lleva el flujo de entrada

. Si al enviar una acción de control cambiamos directamente la presión deentrada se infiere que es una variable manipulable a lazo abierto y manipulada a lazocerrado. De manera que, basados en el modelo analítico la función de transferencia a

analizar sería la de la ecuación (16), puesto que, se tiene analíticamente la facilidad de

controlar la variable manipulable real del proceso.

2.2

ANALISIS A LAZO ABIERTO – MODELO FENOMENOLÓGICO

La forma canónica de la función de transferencia que representa la planta es:

Con τ = 9.6922 seg y K=

⁄ Teniendo un tiempo de establecimiento

de = 48.4610 seg.La planta es estable dado que presenta un polo con parte real negativa, {Re} < 0,S = -0.1032.


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RESULTADOS DE SIMULACIÓN

Figura 3. Respuesta al escalón de la planta.

En la figura 3, se aprecia la respuesta al escalón de la función de transferencia que

representa a la planta, relacionando la salida con la entrada manipulable . Estarelación es inversa, dado que, ante un aumento o decremento en la presión de control la

presión en el tanque disminuye o aumenta respectivamente. La sensibilidad expresada

para esta relación de variables es de . Esta planta presenta la dinámica de unsistema de primer orden.

Figura 4. Respuesta al escalón de la planta para la .

0 10 20 30 40 50 60-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0Step Response

Time (seconds)

A m p l i t u d e

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Step Response

Time (s econds)

A m p l i t u d e


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En la figura 4, se relaciona la salida con la variable de perturbación mediante larespuesta a un escalón. Su respuesta además de ser la de un sistema de primer orden

también demuestra la relación directa existente entre estas variables del proceso, donde

un cambio en la presión del flujo de entrada provoca un cambio en el mismo sentido a la

presión en el interior del tanque, es decir, un aumento en la

resulta en un aumento en

la presión de salida , en el orden de por unidad de cambio en la magnitud deentrada.

Figura 5. Respuesta al escalón de la planta para

.

En la figura 5, se observa la relación de la salida con la variable de perturbación .Esta representa los cambios en la presión del flujo de salida de la planta y su influencia enla presión en el interior del tanque, siendo esta la salida del proceso. Esta presenta una

relación directa siendo evidente que ante un cambio ya sea en aumento o en decremento

de la presión del flujo de salida, la presión en el interior del tanque se comporta de igual

manera alterando así las condiciones nominales en el proceso. Esta relación presenta la

misma sensibilidad que la demostrada por la salida con la variable con lamagnitud por el hecho de que ambas son la fuente de energía para las válvulasque son usadas para efectos de control y para la perturbación de salida.

0 10 20 30 40 50 600

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Step Response

Time (seconds)

A m p l i t u d e


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3.

IDENTIFICACIÓN EXPERIMENTAL DE LA PLANTA

Para aproximar un modelo experimental que explique el comportamiento de la planta, se

lleva a cabo un proceso de identificación a través del método de curva de reacción. Este

método exige fijar primero un punto de operación sobre el cual se hará la prueba al

escalón con la entrada manipulable del proceso. Para efectos de comparar el modelo

fenomenológico y el modelo experimental se establece el mismo punto de operación para

ambos, esto es:

[ ]

Este punto de operación resulta del modelo fenomenológico, donde al fijar una presión en

el flujo de entrada , en el flujo de salida y la de control se obtiene ladel tanque .Ahora bien, para el modelo experimental se fijan las mismas presiones, teniendo en

cuenta que la de control esta implícita en la de entrada . Es claro que para ellazo abierto no hay acceso directo a la presión de control, pero de cierta manera entre

esta presión y la presión de entrada existe una relación, puesto que, por medio de una se

manipula la otra. Para este trabajo se definió que la válvula de control iniciaría totalmente

abierta, permitiendo adaptar el modelo fenomenológico a las condiciones del

experimento a lazo abierto.

El punto de operación para el modelo experimental resultante de la prueba a lazo abierto

es:

La diferencia entre estos dos puntos de operación (19) y (20) radica en varias razones:

1. Dado que el modelo fenomenológico es una aproximación al comportamiento real

del proceso existe una incertidumbre paramétrica.2. Los valores tomados del experimento a lazo abierto presentan una incertidumbre

ligada a la medición del transductor presión/corriente el cual se encuentra des

calibrado.

3. Los valores de presión del flujo de entrada y de presión del flujo de salida

presentaban variaciones, puesto que, el compresor que alimenta a la planta es

compartido entre varios laboratorios incluido el de operaciones unitarias. Esta


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razón justifica la poca estabilidad en los valores del punto de operación y la poca

precisión de los escalones realizados para observar el comportamiento de la

planta.

Con el punto de operación obtenido (20), se obtuvo la siguiente respuesta al escalón:

Figura 6. Respuesta al escalón de la planta-experimental.

Obteniendo la función de transferencia en su forma canónica:

Esta función relaciona la salida con la entrada manipulable . Anteriormente sehabía dicho que no era posible obtener esta relación en la prueba experimental a lazo

abierto, pero en vista de que las válvulas neumáticas que son empleadas para efectos de

control y de perturbación de salida son las mismas, se tiene que, la variable de entrada de

perturbación y la variable de entrada presentan la misma sensibilidad y portanto la misma función de transferencia, con la diferencia de que una presenta gananciapositiva y la otra negativa.

No se obtuvo la función de transferencia que relaciona salida con la entrada porquedadas las condiciones inestables de la fuente de aire (compresor) no se logró un respuesta

aceptable en las pruebas realizadas.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tiempo [segundos]

d e l t a P r e s i o n [ P s i ]

Salida en lazo abierto - Curva de reaccion


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Figura 7. Respuesta al escalón de la planta- experimental Pe

En la figura 7, se aprecia como la ganancia varia para cambios en la misma entrada K1 =8.5 (para la curva azul) y K2 = 5.3 (para la curva roja). Además se observa como varia el

tiempo de establecimiento para ambos casos y por consiguiente la constante de tiempo

‘’τ’’.

Finalmente, la función de transferencia empleada para el diseño del controlador es la vista

en la ecuación (21), la cual presenta las siguientes características:

Una constante de tiempo τ = 11.4 seg y K= ⁄ Teniendo un tiempo deestablecimiento de

= 57 seg. La planta es estable dado que presenta un polo con parte

real negativa, {Re} < 0, S = - 0.0877.

Figura 8. Comparación de las respuestas de ambos modelos

0 5 10 15 20 25 30 35 4020

25

30

35

40

45

50

55

Tiempo [segundos]

P r e s i o n

d e l t a n q u e

[ p o r c

e n t a j e

d e l s p a n ]

delta U= -3

delta U= 2

0 10 20 30 40 50 60-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Salida en lazo abierto - Curva de reaccion

Tiempo [s egundos] (sec onds)

d e l t a

P r e s i o n

[ P s i ]

Salida experimental

salida fenomenologica


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4.

DISEÑO DEL CONTROLADOR POR UBICACIÓN DE POLOS

El diseño del controlador PI se basó en la asignación de polos. Este método se basa en

conseguir un comportamiento deseado del proceso según las especificaciones en tiempo

de establecimiento y sobre nivel porcentual.

Para este proceso se decidió tener un tiempo de establecimiento de 30 segundos y un

sobre nivel porcentual menor al 1%.

En vista de que hay dos modelos uno experimental y uno fenomenológico, con constante

de tiempo y ganancias distintas, es necesario sintonizar un controlador PI para cada

modelo y analizar sus desempeños.

Función de transferencia del controlador PI:

Donde con : constante proporcional Con : tiempo integralLa ecuación característica de lazo cerrado del sistema se denomina ecuación diophantine.

Esta ecuación contiene la dinámica impuesta en la planta a través del controlador en lazo

cerrado.

Donde:: Denominador de la función de transferencia del controlador PI.: Numerador de la función de transferencia del controlador PI.: Denominador de la función de transferencia de la planta.: Numerador de la función de transferencia de la planta.Y la ecuación que representa el polinomio que contiene la dinámica deseada es :

El cual se obtiene con las especificaciones mencionadas anteriormente:

y √


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Obteniendo (frecuencia de amortiguamiento) y (frecuencia natural del sistema) estos parámetros son representativos en los sistemas de

segundo orden para caracterizar su dinámica, la cual será impuesta en la planta por mediodel lazo de control.

Estableciendo la igualdad entre y resulta la siguienteecuación que se plantea para el diseño del controlador para los modelos fenomenológico

y experimental.

Resolviendo la ecuación (27), para cada caso obtenemos los siguientes parámetros delcontrolador PI:

TABLA DE PARÁMETROS DE SINTONÍA

CONTROLADOR PI

MODELO FENOMENOLÓGICO MODELO EXPERIMENTAL = -3.7124 = -3.4000 = 6.2757 = 6.8691Tabla 3. Parámetros de sintonía del controlador PI.

Funciones de transferencia de los controladores:


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RESULTADOS DE SIMULACIÓN

En las siguientes figuras se observa la respuesta del sistema para cada modelo y el

desempeño de cada controlador diseñado, tanto para seguir referencias como para

rechazar perturbaciones.

SISTEMA EN LAZO CERRADO- MODELO EN SIMULINK

Figura 9. Sistema a lazo cerrado – modelo fenomenológico.

Figura 10. Respuesta del sistema ante cambios en la referencia y perturbaciones.

0 50 100 150 200 250 300 35016.8

17

17.2

17.4

17.6

17.8

18

Tiempo [segundos]

R e s p u e s t a c o n t r o l a d a

Salida del sistema controlada - modelo fenomenologico

salida

referencia


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Figura 11. Acción de control.

En la figura 10, se detalla el modelo no lineal de la planta bajo un lazo de control con la

finalidad de controlar la presión en el tanque. Además se puede observar que el

controlador esta trabajando sobre el modelo no lineal, siendo más preciso en cuanto a los

resultados en el desempeño que son vistos en las figuras 12 y 13.

En la figura 10, se observa el comportamiento del sistema de control cuando se hace un

cambio de referencia en 1 psi con un tiempo de establecimiento menor al provisto, dado

que, el establecimiento se da cuando ya se obtenido una respuesta sobre un margen del

2% de su valor de estado estacionario. Para este caso se logra un tiempo de

establecimiento inferior a 30 segundos que fue la especificación de diseño y un sobre

nivel porcentual menor al 1%.

Este controlador solo admite cambios de referencia inferiores al del punto de operación y

en pasos no mayores a 2 psi. Además se observa como rechaza satisfactoriamente las

perturbaciones de salida, en este caso fue de un 10% del valor nominal de la presión del

flujo de salida. Es importante resaltar que la acción de control no satura el actuador que

va de 3 a 15 psi en los cambios de referencia y rechazo a la perturbación, ver figura 10.

En las figuras siguientes se observan las mismas respuestas y comportamientos analizados

anteriormente, pero para el lazo de control con el modelo experimental y el controlador

PI diseñado para este caso. Es necesario resaltar que este controlador solo esta viendo

como planta un modelo ya linealizado, el cual puede no recoger todas las dinámicas

0 50 100 150 200 250 300 3503

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Tiempo [segundos]

a c c i o n d e c o n t r o l


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naturales del modelo no lineal. En términos generales el lazo de control presenta

resultados similares al obtenido con el modelo fenomenológico.

SISTEMA EN LAZO CERRADO- MODELO EN SIMULINK

Figura 12. Sistema a lazo cerrado – modelo experimental.

Figura 13. Respuesta del sistema ante cambios en la referencia y perturbaciones.

0 50 100 150 200 250 300 35020

20.2

20.4

20.6

20.8

21

21.2

Tiempo [segundos]

R e s p u e s t a c o n t r o l a d a

Salida del sistema controlada

salida

referencia


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Figura 14. Acción de control.

CONCLUSIONES

Los parámetros y el desempeño de los controladores PI diseñados, difieren muy

poco a razón de las diferencias de los modelos encontrados por el camino

fenomenológico y experimental.

Aunque los controladores tienen muy poco campo de acción para hacer cambios

de referencia, esto es resuelto cambiando el punto de operación y consignando

estos valores en las líneas de código realizada para este trabajo ( modelado_

sistema_de_presión.m) el cual arrojará las constantes Kp y Ti.

Existe muchas incertidumbres en ambos modelos, donde las paramétricas del

modelo fenomenológico pueden ser resueltas por la realimentación, esto mismo

no es solucionable para el experimental, puesto que, no hubo mucha fiabilidad en

las curvas de reacción, tomadas del experimento a lazo abierto.

REFERENCIAS

1. Luisa Paulina Gutiérrez González. (s.f.). Modelo de la válvula de flujo. (inf. téc).

Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín.

2. Natalia Velásquez Obando, Diego Alejandro Muñoz Durango. (2004). Manual de

Operaciones para el control de los procesos existentes en el laboratorio de

Operaciones unitarias. (PAE). Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín.

0 50 100 150 200 250 300 3503

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

Tiempo [segundos]

a c c i o n d e c o n t r o l

Sistema de Control de Presion

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