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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECNICA Y ELCTRICA
SISTEMA DE CONTROL DE NIVEL APLICANDO UN PID EN UN MODELO DE UN DISTRIBUIDOR DE COLADA
CONTINUA
TESIS
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRNICA
PRESENTA
ALEJANDRO SANDOVAL RAMOS
ASESORES:
ING. CARLOS BARROETA ZAMUDIO M.C. JUAN FRANCISCO NOVOA COLN
MXICO, D.F. JUNIO 2009
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Agradecimientos
AGRADECIMIENTOS
A Dios por que a pesar de todo nunca me ha abandonado a lo largo de mi vida, me dio una familia que me enseo a ser una buena persona y me permiti formar mi propia familia.
A mi Padre Aureliano por ser mi ejemplo de vida y superacin tanto personal como profesional, eres uno de los pilares de mi vida.
A mi Madre Mara Elena por ser mi gua en los momentos ms difciles y ms felices de mi vida, por haberme enseado a ser una buena persona y todava hoy corregirme, eres el otro pilar de mi vida.
A mi hermana Adriana por ser una buena hermana y amiga con la que puedo contar y confiar en cualquier momento.
A mi esposa Anglica por ensearme que a pesar de todos los inconvenientes que nos pone la vida podemos salir adelante, por tener confianza en mi y en mi capacidad de sacar a nuestra familia adelante. TE AMO.
A mi pequea Andrea acabas de nacer y ya eres una fuente de inspiracin y lucha en mi vida que completa nuestra familia con tu Mami y tu hermano.
A Carlitos espero que este trabajo te sirva de ejemplo para que t tambin acabes algn da tu carrera y me tengas de ejemplo toda tu vida.
A mi primo Jorge Palafox Ramos que mas que mi primo es como mi hermano mayor, por su gua personal y por ser un ejemplo en mi vida profesional y ensearme que ante cualquier situacin un trabajo se debe completar de manera profesional no importando que no reconozcan el valor del mismo.
A mis suegros por brindarnos apoyo en todo momento.
Al Ing. Carlos Barroeta Zamudio y al M. en C. Juan Francisco Novoa Coln por guiarme en la elaboracin de este trabajo, gracias por gua y ayuda.
A toda mi Familia y amigos que he conocido y han estado conmigo a lo largo de mi vida.
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NDICE
Tema Pgina
Introduccin i
Planteamiento del Problema iii
Objetivo v
Metas v
Captulo I. Control automtico de procesos. 1
1.1. El sistema de control de procesos. 1
1.2. Estrategias de control. 4
1.2.1. Control por retroalimentacin. 4
1.2.2. Control por accin precalculada. 6
Captulo II. Fundamentos: Nivel del lquido en un tanque durante un proceso. 8
2.1. Nivel en un tanque. 8
2.2. Tanques en serie-sistema no interactivo 14
Captulo III. Modelos y Simulacin de los sistemas de control de proceso. 24
3.1. Desarrollo de modelos de procesos complejos. 25
3.2. Simulacin por computadora de los modelos de procesos dinmicos. 27
3.2.1. Integracin numrica mediante el mtodo de Euler. 29
3.2.2. Duracin de las corridas de simulacin. 30
3.2.3. Eleccin del intervalo de integracin. 32
3.3. Lenguajes y subrutinas especiales para simulacin. 33
Captulo IV. Obtencin del modelo matemtico. 36
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Captulo V. Resultados. 45
5.1. Simulacin del proceso en Matlab. 45
5.2. Simulacin del proceso en Simulink. 67
VI. Conclusiones 71
Apndice A. Proceso de linealizacin por medio de series de Taylor. 73
Apndice B. Controladores clsicos electrnicos. 79
B.1. Generalidades. 79
B.2. Amplificador de error. 80
B.3. Controladores ON/OFF. 82
B.4. Controlador Proporcional. 84
B.5. Controlador integral. 87
B.6. Controlador proporcional-integral. 90
B.7. Controlador derivativo. 92
B.8. Controlador proporcional-integral-derivativo. PID 96
Bibliografa 101
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1. Intercambiador de calor.
Figura 1.2. Sistema de control del intercambiador de calor.
Figura 1.3. Respuesta del sistema de control del intercambiador de calor.
Figura 1.4. Intercambiador de calor con sistema de control por accin precalculada.
Figura 1.5. Control por accin precalculada del intercambiador de calor con compensacin por
retroalimentacin
Figura2.1. Nivel del proceso
Figura2.2.Diagrama de bloques que representa las variaciones de nivel en un tanque.
Figura 2.3. Sistema de 2 tanques en serie (sistema no interactivo).
Figura 2.4.Diagrama de bloques de dos tanques no interactivos en serie.
Figura 2.5 Sistema de 3 tanques en serie (sistema no interactivo).
Figura 2.6. Diagrama de bloques de tres tanques no interactivos en serie.
Figura 3.1. Respuesta de un reactor a una elevacin de 2 C en el punto de control. a) Corrida
demasiado larga. b) Corrida demasiado corta. c) Corrida con la duracin correcta.
Figura 4.1 Diagrama esquemtico de un modelo fsico de un distribuidor de colada continua de
acero.
Figura 4.2 Diagrama a bloques que representa el sistema.
Figura 4.3 Diagrama a bloques donde se muestra el cambio de variable en K5 y K6.
Figura 4.4 Diagrama a bloques simplificado con el cambio de total de variable.
Figura 4.5 Diagrama a bloques del sistema con un controlador PID.
Figura 5.1 Diagrama del Proceso
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Figura 5.2. Diagrama a bloques del sistema con un controlador PID.
Figura 5.3. Respuesta a un escaln unitario del sistema con los valores del PID Kp=6, Ti= 73.06
y Td=18.265, para un periodo crtico Pcr=146.12.
Figura 5.4. Respuesta a un escaln unitario del sistema con los valores del PID Kp=6, Ti= 0.1556
y Td=0.0389, para un periodo crtico Pcr=0.3112.
Figura 5.5. Respuesta a un escaln unitario del sistema con los valores del PID Kp=6, Ti= 1.5708
y Td=0.3927, para un periodo crtico Pcr=3.1416.
Fig. 5.6 Circuito de un controlador PID con amplificadores operacionales.
Figura 5.7. Respuesta a un escaln unitario del sistema con el PID electrnico.
Figura 5.8 Diagrama a bloques del modelo lineal.
Figura 5.9. Respuesta del sistema a la entrada de escalones en VP1 y Qi.
Figura 5.10. Diagrama de bloques en Simulink con controlador PID.
Figura 5.11. Respuesta del sistema a variaciones en H2 y Rs.
Figura 6.1 Grafico comparativo del PID ideal y electrnico a la entrada de un escaln unitario.
Figura.B.1. Diagrama a bloques de un sistema de control retroalimentado.
Figura B.2. Grfica del error cuando es positivo y cuando es negativo.
Figura B.3. Representacin del amplificador de error.
Figura B.4. Amplificador diferencial.
Figura B.5. Amplificador sumador inversor.
Figura B.6. Curva de la funcin de transferencia del controlador ON/OFF.
Figura B.7. Controlador ON / OFF con amplificadores operacionales.
Figura B.8. Curva de la funcin de transferencia del controlador proporcional (P).
Figura B.9. Controlador proporcional (P) con amplificadores operacionales.
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Figura B.10. Funcionamiento del controlador integral (I).
Figura B.11. Amplificador operacional como integrador.
Figura B.12. Controlador integral (I) con amplificadores operacionales.
Figura B.13. Controlador proporcional-integral (I) con amplificadores operacionales.
Figura B.14. Amplificador operacional como derivador.
Figura B.15. Funcionamiento del amplificador operacional como derivador.
Figura B.16. Amplificador operacional como derivador con filtro pasa bajas de entrada.
FiguraB.17: Funcionamiento del amplificador operacional como derivador con filtro de entrada.
Figura B.18. Circuito completo del controlador PID con amplificadores operacionales.
Figura B.19. Circuito completo del controlador PID con amplificadores operacionales, con filtro
pasa bajas a la entrada del derivador.
Figura B.20. Funcionamiento del controlador PID.
LISTA DE TABLAS
Tabla 3.1 Subrutinas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
Tabla 3.2 Lenguajes de simulacin.
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Introduccin
i
INTRODUCCIN
En la actualidad independientemente del grado de complejidad de algunos procesos
industriales se puede llevar a cabo la automatizacin de dichos procesos mediante la
implementacin con instrumentos de medicin y control. Estos instrumentos han liberado al
operario de su actuacin fsica directa en la planta y al mismo tiempo le han permitido la labor
nica de supervisin y vigilancia del proceso; asimismo, gracias a esto ha sido posible fabricar
productos complejos con altos estndares de calidad que mediante un proceso de control manual
sera difcil de conseguir.
En los procesos industriales se requieren controlar o mantener constantes algunas
variables tales como son: presin, caudal, nivel, temperatura, pH, conductividad, velocidad, etc.
para lo cual se hace uso del control automtico manteniendo dichas variables en las condiciones
ms idneas es decir en un punto de control llamado set point, tal que puede ser: un punto fijo;
un periodo de tiempo de acuerdo con una relacin predeterminada; o guardar una relacin con
otra variable. El sistema de control realiza estas acciones comparado el valor de la variable o
condicin con el set point y toma una accin de correccin de acuerdo con la desviacin
existente sin que el operario intervenga en lo absoluto.
Los objetivos de la automatizacin son los siguientes:
Mejorar la productividad de la empresa reduciendo costos de operacin y la calidad de
los productos.
Mejorar las condiciones de trabajo de personal, suprimiendo los trabajos penosos e
incrementando la seguridad.
Realizar las operaciones imposibles de controlar manualmente.
Proveer cantidades necesarias en el momento preciso.
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Introduccin
ii
Llevar a cabo el control de nivel en un proceso es muy importante tanto desde el punto de
vista del funcionamiento correcto del proceso, como de la consideracin del balance adecuado de
materias primas o productos finales y en este tenor es una variable de inters para evitar el
desperdicio de materia prima que conllevara a incrementar los costos de produccin y en
algunos procesos en especfico tal es el caso de la industria siderrgica que indudablemente
puede influir de manera negativa en la calidad del producto.
La mejor manera de reducir el costo de operacin de las unidades existentes, es mejorar
su eficiencia y operacin mediante la optimizacin y el control del proceso. Para lograr esta
mejora, es esencial comprender con profundidad los principios del proceso, cmo se disean los
sistemas de control del proceso y realizar simulaciones tanto fsicas como matemticas de los
mismos.
Actualmente la tendencia en control de procesos, es la obtencin de modelos
matemticos que represente los proceso lo ms fielmente posible ya sea de manera lineal o no
lineal, una vez que se tiene incorporarle un sistema de control, esto con la finalidad de tener un
modelo que represente el control del proceso automtico, por ltimo se realizan las corridas en
computadora para observar el comportamiento del sistema a diferentes condiciones de operacin
y posibles perturbaciones.
Esto se realiza con el fin de abatir costos ya que no es necesario detener el proceso para
observar si el sistema de control satisface las condiciones de operacin y control, as mismo
sobre el modelo matemtico se pueden realizar las correcciones en caso de ser necesarias sin
afectar el proceso y la calidad del producto final.
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Planteamiento del problema
iii
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El control de nivel en el proceso de colada continua es de vital importancia en la industria
siderrgica ya que si hay variaciones en el mismo pueden provocar que el producto final sea de
mala calidad, por la disminucin del tiempo de residencia del acero fundido en el reactor
(distribuidor de colada continua), por la formacin de vorticidades que conllevan al arrastre de
impurezas o por la reoxidacin de la materia prima.
Por lo descrito anteriormente es de vital importancia implementar un controlador
automtico para este proceso con el fin de evitar y/o minimizar la variacin de nivel en el
reactor. El sistema se muestra en la Figura 1, donde se observa un modelo fsico de una olla y un
distribuidor de colada continua de acero.
Figura. Diagrama esquemtico del proceso a controlar.
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Planteamiento del problema
iv
Descripcin del sistema:
El sistema consta de un modelo de una olla de colada continua con un dimetro de 1 m y
una altura de 1.20 m con un orificio de salida de 1 .
El modelo de distribuidor de colada continua tiene las siguientes medidas 2.33 m de
largo, 0.28 m de ancho y 0.42 m de altura con 2 orificios de salida de 1.
Las vlvulas que se encuentran en el sistema son de compuerta.
El nivel del lquido en el modelo del distribuidor de colada continua es 0.38 m y debe ser
constante.
El modelo del distribuidor de colada continua no acepta ninguna intrusin por lo que
cualquier sensor que se pudiera implementar no debe interferir con el proceso.
Una vez descrito el proceso se busca:
Obtener el modelo matemtico para el nivel en proceso.
Completar el modelo matemtico del proceso con la implementacin de un sistema de
control PID.
Obtener la respuesta del modelo matemtico del sistema a perturbaciones.
Ajustar el modelo matemtico del sistema de control con respecto a la respuesta obtenida
a las perturbaciones en el mismo, es decir realizar la sintonizacin del PID ideal.
Disear el controlador PID electrnico basndose en la modelacin matemtica.
Obtener la respuesta del PID electrnico a perturbaciones.
Comparar las respuestas de los sistemas con el PID electrnico y el PID ideal obteniendo
sus posibles diferencias.
Sintonizar el PID.
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Objetivo
v
OBJETIVO Y METAS
OBJETIVO:
Obtener un modelo matemtico que represente la operacin de un distribuidor de colada
continua de acero para implementar un sistema de control de nivel mediante un PID para realizar
la sintonizacin del mismo.
METAS:
1. Obtener el modelo matemtico lineal del proceso para controlar el nivel mediante un
PID.
2. Calcular los valores ideales para el PID y obtener la respuesta del proceso a una
perturbacin ocasionada por un escaln unitario implementndose el modelo en la
plataforma de Matlab (The MathWorks, Inc.).
3. Ajustar los valores del PID para obtener la mejor respuesta a la perturbacin y con
esto realizar los clculos de los nuevos valores para el diseo del PID electrnico en
el caso bajo estudio.
4. Realizar corridas de simulacin del proceso utilizando la herramienta Simulink
para obtener la respuesta del PID electrnico y contrastar dichos resultados con la
respuesta obtenida del PID ideal analizando las funciones de transferencia.
5. Realizar la sintonizacin del PID.
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Captulo I
1
CAPITULO I. CONTROL AUTOMTICO DE PROCESOS
El control automtico de un proceso se lleva a cabo cuando las variables (tales
como: temperatura, presin, velocidad de flujo msico o bien la concentracin del
componente o componentes de inters) de dicho proceso se mantienen en un valor,
cantidad o condicin deseable. Debido a la naturaleza dinmica de los procesos, dichas
variables deben ser susceptibles de ser medidas para ser comparadas con el valor
deseado, y ejercer una accin para reducir esta diferencia ya que directa o
indirectamente estas variables se relacionan con la calidad del producto, la seguridad y
los ndices de produccin para cumplir con las condiciones de diseo y operacin a
nivel industrial.
1.1. EL SISTEMA DE CONTROL DE PROCESOS
Para explicar las ideas expuestas aqu, consideremos un intercambiador de calor
en el cual el fluido se calienta mediante vapor, como se ilustra en la figura 1.1.
Figura 1.1. Intercambiador de calor.
El propsito de la unidad es calentar el fluido que se procesa, de una temperatura
dada de entrada Ti(t), a cierta temperatura de salida, T(t), deseada. Como se menciono
con anterioridad, el medio de calentamiento es vapor de condensacin y la energa que
gana el fluido en el proceso es igual al calor que libera el vapor, siempre y cuando no
haya perdidas de calor hacia el entorno, esto es, el intercambiador de calor y la tubera
tienen un aislamiento perfecto; en este caso, el calor que se libera es el calor latente en
la condensacin del vapor.
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Captulo I
2
En este proceso existen muchas variables que se pueden modificar, lo cual
ocasiona que la temperatura de salida se desvi del valor deseado, si esto llega a
suceder, se deben emprender algunas acciones para corregir la desviacin; el objetivo es
controlar la temperatura de salida del proceso para mantenerla en el valor deseado.
Una manera de lograr este objetivo es primero, medir la temperatura T(t),
despus comparar esta con el valor que se desea y, con base en la comparacin, decidir
qu se debe hacer para corregir cualquier desviacin. Se puede usar el flujo del vapor
para corregir la desviacin, es decir, si la temperatura esta por arriba del valor deseado,
entonces se puede cerrar la vlvula de vapor para cortar el flujo del mismo (energa)
hacia el intercambiador de calor. Si la temperatura esta por abajo del valor que se desea,
entonces se puede aumentar el flujo de vapor (energa) hacia el intercambiador al abrir
un poco ms la vlvula. Todo esto lo puede hacer manualmente el operador y puesto
que el proceso es bastante sencillo no debe de representar ningn problema. Sin
embargo, en la mayora de las plantas de proceso existen cientos de variables en el
proceso que se deben mantener en algn valor determinado y con este procedimiento de
correccin de intervencin humana se requerira una cantidad enorme de operarios, por
ello, sera preferible realizar el control de manera automtica, es decir, contar con
instrumentos que controlen las variables sin necesidad de que intervenga el operador.
Esto es lo que significa el control automtico de proceso.
Figura 1.2. Sistema de control del intercambiador de calor.
Para lograr este objetivo se debe disear e implementar un sistema de control. En
la figura 1.2 se muestra un sistema de control y sus componentes bsicos. El primer
paso es medir la temperatura de salida de la corriente del proceso, esto se hace mediante
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Captulo I
3
un sensor (termopar, dispositivo de resistencia trmica, termmetros de sistema lleno,
termistores, etc.). El sensor se conecta fsicamente al transmisor, el cual capta la salida
del sensor y la convierte en una seal lo suficientemente intensa como para transmitirla
al controlador. El controlador recibe la seal, que est en relacin con la temperatura, la
compara con el valor que se desea y, segn el resultado de la comparacin, decide que
hacer para mantener la temperatura en el valor deseado. Con base en la decisin, el
controlador enva otra seal al elemento final de control, el cual a su vez, maneja el
flujo de vapor.
Por tanto para el proceso ejemplificado anteriormente se presentan los cuatro
componentes bsicos de todo sistema de control, que son:
1. Sensor, que tambin se conoce como elemento primario.
2. Transmisor, el cual se conoce como elemento secundario.
3. Controlador, que es el cerebro del sistema de control.
4. Elemento final de control, que pueden ser por ejemplo una vlvula de control
una bomba de velocidad variable, los transportadores y motores elctricos6.
La importancia de estos componentes estriba en que realizan las tres operaciones
bsicas que deben estar presentes en todo sistema de control; estas operaciones son1:
1. Medicin (M): la medicin de la variable que se controla se hace
generalmente mediante la combinacin de sensor y transmisor.
2. Decisin (D): con base en la medicin, el controlador decide que hacer para
mantener la variable en el valor que se desea.
3. Accin (A): como resultado de la decisin del controlador se debe efectuar
una accin en el sistema, generalmente esta es realizada por el elemento final
de control.
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Captulo I
4
1.2. ESTRATEGIAS DE CONTROL
En la industria existen diversos tipos de control establecidos para algunos
procesos especficos, los cuales normalmente son implementados sin problema alguno.
A continuacin se enumeran algunos de ellos1,2.:
1. Control por retroalimentacin.
2. Control de razn.
3. Control en cascada.
4. Control por accin precalculada.
5. Control por sobreposicin.
6. Control selectivo.
7. Control de proceso multivariable.
En general la estrategia de control ms utilizada es la de retroalimentacin, ya
que las otras estrategias de control requieren una mayor inversin en el equipo, mano de
obra necesaria para su diseo, implementacin y mantenimiento comparado con el
control por retroalimentacin. Por ello debe justificarse la inversin de capital antes de
implementar algn sistema. El mejor procedimiento es disear e implementar primero
una estrategia de control sencilla, teniendo en mente que si no resulta satisfactoria
entonces se justifica una estrategia ms avanzada, sin embargo, es importante estar
consciente de que en estas estrategias avanzadas aun se requiere alguna
retroalimentacin de compensacin. Por lo anterior solo se har la descripcin de dos
estrategias de control, el control por retroalimentacin que es la base de todo sistema de
control y una accin ms compleja en este caso la accin precalculada.
1.2.1. CONTROL POR RETROALIMENTACION
El esquema de control que se muestra en la figura 1.2 se conoce como control
por retroalimentacin, tambin se le llama circuito de control por retroalimentacin. En
ese procedimiento se toma la variable controlada y se retroalimenta al controlador para
que este pueda tomar una decisin. Para explicar el funcionamiento utilizaremos la
figura 1.2 que presenta el circuito de control del intercambiador de calor.
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Captulo I
5
Si la temperatura de entrada al proceso aumenta y en consecuencia crea una
perturbacin, su efecto se debe propagar a todo el intercambiador de calor antes de que
cambie la temperatura de salida. Una vez que cambia la temperatura de salida, tambin
cambia la seal del transmisor al controlador, en ese momento el controlador detecta
que debe compensar la perturbacin mediante un cambio en el flujo de vapor, el
controlador seala entonces a la vlvula cerrar su apertura y de este modo decrece el
flujo de vapor. En la figura 1.3 se ilustra grficamente el efecto de la perturbacin y la
accin del controlador.
Figura 1.3. Respuesta del sistema de control del intercambiador de calor.
Es interesante hacer notar que la temperatura de salida primero aumenta a causa
del incremento en la temperatura de entrada, pero luego desciende incluso por debajo
del punto de control y oscila alrededor de este hasta que finalmente se estabiliza. Esta
respuesta oscilatoria demuestra que la operacin del sistema de control por
retroalimentacin es esencialmente una operacin de ensayo y error1, es decir, cuando el
controlador detecta que la temperatura de salida aument por arriba del punto de
control, indica a la vlvula que cierre, pero sta cumple con la orden mas all de lo
necesario, en consecuencia la temperatura de salida desciende por abajo del punto de
control; al notar esto, el controlador seala a la vlvula que abra nuevamente un tanto
para elevar la temperatura. El ensayo y error contina hasta que la temperatura alcanza
el punto de control donde permanece posteriormente.
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Captulo I
6
La ventaja del control por retroalimentacin consiste en que es una tcnica muy
simple que compensa todas las perturbaciones.
La desventaja del control por retroalimentacin estriba en que nicamente puede
compensar la perturbacin hasta que la variable controlada se ha desviado del punto de
control2, esto es, la perturbacin se debe propagar por todo el proceso antes de que la
pueda compensar el control por retroalimentacin.
1.2.2. CONTROL POR ACCION PRECALCULADA
El objetivo de control por accin precalculada es medir las perturbaciones y
compensarlas antes de que la variable controlada se desve del punto de control; si se
aplica de manera correcta, la variable controlada no se desviar.
Un ejemplo concreto de control por accin precalculada es el intercambiador de
calor que aparece en la figura 1.1. Supngase ms
temperatura de entrada, Ti(t), y el flujo del proceso, q(t); para establecer el control por
accin precalculada primero se deben medir estas dos perturbaciones y luego se toma
una decisin sobre la manera de manejar el flujo de vapor para compensar los
problemas. En la figura 1.4 se ilustra esta estrategia de control; el controlador por accin
precalculada decide como manejar el flujo de vapor para mantener la variable
controlada en un punto de control, en funcin de la temperatura de entrada y el flujo del
proceso.
Figura 1.4. Intercambiador de calor con sistema de control por accin precalculada.
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Captulo I
7
En un proceso existen varios tipos de perturbaciones como un cambio de
temperatura o nivel; el sistema de control por accin precalculada que se muestra en la
figura 1.4, solo compensa a dos de ellas, si cualquier otra perturbacin entra al proceso
no se compensar con esta estrategia y puede originarse una desviacin permanente de
la variable respecto al punto de control. Para evitar esta desviacin se debe aadir
alguna retroalimentacin de compensacin al control por accin precalculada, esto se
muestra en la figura 1.5. Ahora el control por accin precalculada compensa las
perturbaciones ms serias, Ti(t) y q(t), mientras que el control por retroalimentacin
compensa todas las dems.
Figura 1.5. Control por accin precalculada del intercambiador de calor con compensacin por
retroalimentacin.
Es importante hacer notar que en esta estrategia de control ms avanzada aun
estn presentes las tres operaciones bsicas, Medicin (M), Decisin (D) y Accin (A).
Los sensores y los transmisores realizan la medicin; la decisin la toman el controlador
por accin precalculada y el controlador por retroalimentacin (TIC-10) y la accin la
realiza la vlvula de vapor.
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Captulo II
8
CAPTULO II. FUNDAMENTOS: NIVEL DEL LQUIDO EN UN
TANQUE DURANTE UN PROCESO
2.1. NIVEL EN UN TANQUE.1
Considrese el proceso que se muestra en la figura 2.1, en ste se tiene inters en conocer
cmo responde el nivel, , del lquido en el tanque a los cambios en el flujo de entrada, ,
y a los cambios en la apertura de la vlvula de salida, .
Figura2.1. Nivel del proceso
El flujo de lquido a travs de una vlvula esta dado por
donde:
= flujo, gpm.
= coeficiente de la vlvula, gpm/(psi)1/2
= posicin de la valvula. Este trmino representa la fraccin de apertura de la vlvula; si
su valor es 0, eso indica que la vlvula est cerrada; si su valor es 1, indica que la vlvula est
completamente abierta.
= cada de presin a travs de la valvula, psi.
= gravedad especifica del lquido que fluye a travs de la vlvula sin dimensiones.
qi(t)P
Vp(t)
q0(t)h(t)
P2
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Captulo II
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Para este proceso, la cada de presin a travs de la vlvula est dada por
Donde:
= presin sobre el lquido, psia
= densidad del lquido, lbm/pies3
= aceleracin debida a la gravedad, 32.2 pies/seg2
= factor de conversin 32.2 lbm-pies/lbf-seg2
= nivel en el tanque, pies.
= presin de salida de la valvula hacia adelante, psia
En esta ecuacin se supone que las perdidas por friccin a lo largo del conducto que va
del tanque a la vlvula son despreciables.
La relacin que se desea es posible obtenerla a partir de un balance de masa de estado
dinmico alrededor del tanque:
O
Donde
= area transversal del tanque, pies2
7.48 =factor de conversin de gal a pies 3
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Captulo II
10
Si se supone que la densidad de entrada es igual a la densidad de salida, se tiene
1 ecuacin, 2 incgnitas ( )
Ahora se tiene una ecuacin con dos incgnitas y, por tanto, se debe encontrar otra
ecuacin independiente para describir el proceso; la de la vlvula proporciona la otra ecuacin
que se requiere:
2 ecuaciones, 2 incgnitas
Con este sistema de ecuaciones, (2.5) y (2.6), se describe al proceso. Para simplificar esta
descripcin se puede sustituir la ecuacin (2.6) en la (2.5):
No es posible resolver esta ecuacin de manera analtica, a causa de la naturaleza no
lineal del segundo trmino en el lado izquierdo de la misma. Para resolverla de forma analtica es
necesario linealizar el trmino no lineal; otra forma de resolverla es mediante mtodos numricos
(solucin por medio de computadora).
Para linealizar el trmino no lineal de la ecuacin (2.7) se aplica la tcnica de expansin
de series de Taylor que se explica en el apndice A. Puesto que este trmino se debe linealizar
con respecto a y , la linealizacin se debe hacer alrededor de los valores y , que son los
valores nominales de estado estacionario:
-
Captulo II
11
O
Para simplificar la notacin,
Y
De manera que
Al sustituir esta ultima ecuacin en la ecuacin (2.7), se obtiene una ecuacin diferencial
lineal:
-
Captulo II
12
Ahora que se tiene una ecuacin diferencial lineal, se pueden obtener las funciones de
transferencia que se desean. Al escribir el balance de masa de estado estacionario alrededor del
tanque se tiene que
O
Al sustraer esta ecuacin de la (2.9) se obtiene
Y se definen las siguientes variables de desviacin
Se sustituyen estas variables de desviacin en la ecuacin diferencial linealizada
Y, al reordenar esta ecuacin algebraicamente, se tiene
Donde:
= 7.48 A/C2, minutos
= 1/C2, pies/gpm
= C1/C2, pies/posicin de la vlvula
-
Captulo II
13
Finalmente se obtiene la transformada de Laplace
Y
K1 es la ganancia o sensibilidad de , en relacin a , lo cual da la cantidad de
cambio del nivel en el tanque por unidad de cambio de flujo de entrada al tanque. El cambio
tiene lugar mientras se mantiene una apertura constante en la vlvula de salida; K2 proporciona la
cantidad de cambio de nivel en el tanque por unidad de cambio en la posicin de la vlvula. Lo
anteriormente descrito se observa en el diagrama a bloques de la figura 2.2. Ntese que el signo
de la ganancia es negativo, lo cual indica que conforme la posicin de la vlvula cambia
positivamente y se abre la misma, el nivel cambia negativamente o cae, lo cual tiene sentido
fsicamente.
Figura2.2.- Diagrama de bloques que representa las variaciones de nivel en un tanque.
+
-
-
Captulo II
14
2.2. TANQUES EN SERIE SISTEMA NO INTERACTIVO.1
Un ejemplo tpico de un sistema no interactivo es el sistema de tanques que se muestra en
la figura 2.3; se deben determinar las funciones de transferencia que relacionan el nivel del
segundo tanque con el flujo de entrada al primer tanque, , y el flujo de la bomba, .
Figura 2.3. Sistema de 2 tanques en serie (sistema no interactivo).
Para este ejemplo todos los tanques estn abiertos a la atmosfera y el proceso es
isotrmico. La apertura de las vlvulas permanece constante y el flujo de lquido a travs de las
vlvulas se expresa mediante
Donde
= coeficiente de la vlvula,
7.48 = factor de conversin de gal a pies3
-
Captulo II
15
Al escribir el balance de masa de estado dinmico para el primer tanque se tiene
1 ecuacin, 2 incgnitas
Donde
= densidad del lquido, lbm/pies3
= rea transversal del tanque 1, pies2
De la expresin de la vlvula se obtiene otra ecuacin:
2 ecuaciones, 2 incgnitas
Con las ecuaciones (2.12) y (2.13) se describe el primer tanque; ahora se procede con el
segundo tanque. El balance de estado dinmico para el segundo tanque es:
3 ecuaciones, 4 incgnitas
Nuevamente se obtiene otra ecuacin a partir de la expresin de la vlvula:
4 ecuaciones, 4 incgnitas
Con las ecuaciones (2.12) hasta (2.15) se describe el proceso. Debido a que las
ecuaciones (2.13) y (2.15) no son lineales, la solucin ms exacta se obtiene mediante
simulacin por computadora; sin embargo, puesto que se desea determinar las funciones de
transferencia, se deben linealizar las ecuaciones.
-
Captulo II
16
De las sustituciones de la ecuacin (2.13) en la (2.12), y de las ecuaciones (2.13) y (2.15)
en la (2.14), y la divisin de cada ecuacin resultante entre la densidad, se obtiene
Y
De la ecuacin (2.16), despus de linealizar y definir las variables de desviacin, se tiene
Donde:
Y las variables de desviacin
De la ecuacin (2.17) se tiene
Donde
-
Captulo II
17
Y
De reordenar las ecuaciones (2.18) y (2.19) se tiene
Y
Donde
minutos
minutos
pies-min/pies3
sin dimensiones
De obtener la transformada de Laplace de las ecuaciones (2.20) y (2.21) y reordenar se obtiene
Con la ecuacin (2.22) se relaciona el nivel del primer tanque con los flujos de entrada y
salida; mediante la (2.23) se relaciona el nivel del segundo con el del primero.
Para determinar las funciones de transferencia que se desean, se substituye la ecuacin
(2.22) en la (2.23).
-
Captulo II
18
O sea que las funciones de transferencia individuales son:
Y
Las funciones de transferencia que expresan las ecuaciones (2.25) y (2.26) se conocen
como funciones de transferencia de segundo orden o retardos de segundo orden y a partir de su
desarrollo es bastante simple ver que se forman con dos funciones de transferencia de primer
orden en serie.
Figura 2.4.-Diagrama de bloques de dos tanques no interactivos en serie.
+
-
a)
+
-
b)
+
-
c)
-
Captulo II
19
Como se muestra en la figura 2.4, el diagrama de bloques de este sistema se puede
representar de diferentes formas. El diagrama de bloques de la figura 2.4a se desarrollo mediante
el encadenamiento de las ecuaciones (2.22) y (2.23); en el diagrama se muestra que el flujo de
entrada y salida afecta inicialmente el nivel en el primer tanque ; por lo tanto, el cambio en
este nivel afecta al nivel del segundo tanque, . En las figuras 2.4b y 2.4c se muestran otros
diagramas ms compactos. Aun cuando el diagrama de bloques de figura 2.4a se tiene la mejor
descripcin de cmo ocurren realmente las cosas, los tres diagramas se usan sin ninguna
preferencia.
En la figura 2.5 se muestra una forma de extender el proceso mostrado en la figura 2.3
mediante la adicin de otro tanque; para este nuevo proceso se determinaran las funciones de
transferencia que relacionan el nivel del tercer tanque con el flujo de entrada en el primer tanque
y el flujo de la bomba.
Figura 2.5 Sistema de 3 tanques en serie (sistema no interactivo).
-
Captulo II
20
Puesto que ya se obtuvieron los modelos para los dos primeros tanques, con las
ecuaciones (2.12) a (2.15), ahora se plantea el desarrollo del modelo del tercer tanque. De
escribir el balance de masa de estado dinmico para el tercer tanque, resulta
5 ecuaciones, 6 incgnitas
De la expresin de la vlvula se obtiene la otra ecuacin que se requiere y es la siguiente:
6 ecuaciones, 6 incgnitas
Con las ecuaciones (2.12), (2.13), (2.14), (2.15), (2.27) y (2.28) se tiene el modelo para el
nuevo proceso ( ver figura 2.5).
Al sustituir las ecuaciones (2.15) y (2.28) en la ecuacin (2.27) y dividir la ecuacin
resultante entre la densidad, se obtiene
De la cual se obtiene
Donde
Y la variable de desviacin es
-
Captulo II
21
Al reordenar la ecuacin (2.30) y obtener la transformada de Laplace se tiene
Donde
minutos
sin dimensiones
Finalmente la substitucin de la ecuacin (2.24) en la ecuacin (2.31) da
De la cual se determinan las siguientes funciones de transferencia:
Y
Estas dos funciones de transferencia se denominan funciones de transferencia de tercer
orden o retardos de tercer orden. En la Figura 2.6 se ilustran tres diferentes maneras de
representar la ecuacin (2.32) mediante diagramas de bloques.
La figura 2.6a es particularmente interesante, porque ilustra la manera en que las
funciones de forzamiento afectan a los diferentes niveles.
-
Captulo II
22
Ntese que estas funciones de transferencia se obtienen mediante la multiplicacin de
funciones de transferencia de primer orden; es decir
Figura 2.6.- Diagrama de bloques de tres tanques no interactivos en serie.
Este es el caso de los sistemas no interactivos en serie, cuyo enunciado se puede expresar como
sigue
+
-
b)
+
-
c)
+
-
a)
-
Captulo II
23
Donde
= cantidad de sistemas no interactivos en serie
= funcin de transferencia que relaciona la salida del ltimo sistema, el sistema , con la
entrada del primer sistema
= funcin de transferencia individual para cada sistema
Los procesos que se muestran en las figuras 2.3 y 2.5 se conocen como sistemas no
interactivos, porque no hay interaccin completa entre las variables. El nivel del primer tanque
afecta al del segundo; pero el nivel de este no afecta al del primero; lo mismo es igual para el del
segundo y tercer tanque.
-
Captulo III
24
CAPTULO III. MODELOS Y SIMULACIN DE LOS
SISTEMAS DE CONTROL DE PROCESO
Los modelos matemticos y la simulacin por computadora son indispensables en el
anlisis y diseo de los sistemas de control para procesos complejos no lineales, por lo que
para emplearlos se debe tomar en cuenta algunas consideraciones:
Que tan crtico es el desempeo del sistema de control para la operacin segura y
rentable del proceso.
La confiabilidad del desempeo del sistema de control, lo cual generalmente
depende de la experiencia y familiaridad que se tenga con la aplicacin particular
del control.
El tiempo y esfuerzo que se requiere para llevar a cabo la simulacin, que puede ir
desde algunas horas para un proceso relativamente simple, hasta varios meses-
hombre para un proceso complejo que se simula por primera vez.
Entre otras consideraciones se incluyen la disponibilidad de los recursos de
cmputo, personal con experiencia y suficientes datos acerca del proceso para
realizar la simulacin.
Los tres pasos principales para realizar la simulacin dinmica de un proceso son:
1. Desarrollo del modelo matemtico del proceso y de su sistema de control.
2. Resolucin de las ecuaciones del modelo.
3. Anlisis de los resultados.
-
Captulo III
25
3.1. DESARROLLO DE MODELOS DE PROCESOS COMPLEJOS
La forma general de la ecuacin fundamental de conservacin1 es:
saliendoconservasequecantidadladedeRazn
entrandoconservasequecantidadladeRazn
conservaquecantidadladenacumulacideRazn 3.1)
La cantidad que se conserva puede ser masa total, masa de un componente, energa
y momento. Los trminos de razn de entrada y salida se deben de tomar en cuenta para
todos los mecanismos debido a los cuales la cantidad que se conserva entra o sale del
volumen de control o porcin del universo sobre la que se realiza el balance; por ejemplo
todas las cantidades que se conservan enunciadas pueden fluir hacia adentro o hacia fuera
del volumen de control (conveccin); la energa puede entrar y salir mediante conduccin
de calor y radiacin; los componentes se pueden transferir mediante difusin y el momento
se puede generar o destruir mediante fuerzas mecnicas. En el caso de las reacciones
qumicas, la razn de reaccin se debe de tomar en cuenta como trminos de entrada para
los productos de la reaccin, y como trmino de salido para los reactivos. La razn de la
acumulacin de la ecuacin 3.1 siempre tiene la forma1
controldevolumenelenconservasequetotalCantidad
dtd
conservasequecantidadladenacumulaciodeRazn (3.2)
donde t es tiempo. Esto significa que los modelos matemticos consisten en un sistema de
ecuaciones diferenciales simultneas de primer orden o, en su forma simple, es una sola
ecuacin diferencial de primer orden cuya variable independiente es el tiempo. Adems, en
el modelo puede haber ecuaciones algebraicas que resultan de las expresiones para las
propiedades fsicas y para las razones de entrada y salida, as como de las ecuaciones de
balance en las que se desprecia el trmino de acumulacin.
Para expresar la cantidad total que se conserva y las razones de entrada y salida en
trminos de las variables del proceso (es decir, temperatura, presin, composicin) estas
variables deben ser relativamente uniformes en todo el volumen de control, cuando este
-
Captulo III
26
requerimiento se satisface en un modelo en el que el proceso se divide en cierta cantidad de
Tambin existen los
d que se obtienen cuando las variables del proceso varan continuamente con la
posicin1; en este caso las ecuaciones de balance se deben aplicar a cada punto del proceso
y el modelo matemtico constara de ecuaciones diferenciales parciales cuyas variables
independientes son el tiempo y la posicin; aun en este caso, cada ecuacin es siempre de
primer orden respecto a la variable tiempo. La nica forma en que las ecuaciones pueden
ser de orden superior al primero es cuando se combinan las ecuaciones para eliminar
variables. Sin embargo se hace nfasis en el hecho de que las ecuaciones son de primer
orden respecto al tiempo, porque esto sirve de gua para el diseo de los programas de
computadora con que se simula un proceso.
Para desarrollar un modelo matemtico es importante tener en cuenta la cantidad
mxima de ecuaciones de balance independientes que se aplican a cada volumen de control
(o punto) del proceso; en un sistema con N componentes, estas se expresan con:
N balances de masa
1 balance de energa
1 balance de momentos en cada direccin de inters, que pueden ser hasta tres.
Los N balances de masa independientes pueden ser N balances de componentes o un
balance total de masa y N-1 balances de componentes. Generalmente, el balance de
momentos no se utiliza en la simulacin del proceso, porque con l entran como incgnitas
las fuerzas de reaccin sobre el equipo y las paredes de la tubera, las cuales rara vez son de
inters. Un balance ms til es la ecuacin de Bernoulli4 extendida para incluir la friccin,
el trabajo del vstago y la acumulacin de energa cintica.
Adems de las ecuaciones de balance se escriben otras ecuaciones de manera
separada para expresar las propiedades fsicas (por ejemplo, densidad, entalpa, coeficientes
de equilibrio) y las razones (por ejemplo, de reaccin, de transferencia de calor, de
-
Captulo III
27
transferencia de masa) en trminos de las variables del proceso (por ejemplo, temperatura,
presin, composicin).
El mtodo que se emplea para el desarrollo de un modelo matemtico es el
siguiente:
1. Planteamiento de las ecuaciones de balance.
2. Conteo de las nuevas variables (incgnitas) que aparecen en cada ecuacin, de
manera que se tengan los antecedentes de la cantidad de variables y ecuaciones.
3. Introduccin de nuevas relaciones que involucren a las variables hasta que se
tenga la misma cantidad de ecuaciones y variables.
El orden en que se plantean las ecuaciones de balance es el siguiente:
Balance total de masa
Balance de componentes (o elementos)
Balance de energa
Balance de energa mecnica (si es relevante).
3.2. SIMULACIN POR COMPUTADORA DE LOS MODELOS DE PROCESOS
DINMICOS
Una vez que se obtienen las ecuaciones del modelo, el siguiente paso en la
simulacin de un sistema fsico es la solucin de las ecuaciones. Cuando se utiliza una
computadora para resolver las ecuaciones, se pueden aplicar tres mtodos generales para
programar las ecuaciones del modelo:
1. Se utiliza algn mtodo simple de integracin numrica para resolver las
ecuaciones.
2. Se implementa un paquete de subrutinas de propsito general para resolver las
ecuaciones diferenciales.
3. Se utiliza un lenguaje de simulacin para simular sistemas continuos.
-
Captulo III
28
El modelo dinmico de proceso, aun aquel de los sistemas distribuidos, se puede
transformar en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y
ecuaciones algebraicas auxiliares. En general, las ecuaciones diferenciales se pueden
escribir en la siguiente forma:
niparatxxxfdtdx
nii ,,2,1,...,., 21 (3.3)
Donde:
xi son las variables de estado del modelo, por ejemplo temperaturas, composiciones
fi son las funciones derivadas que resultan de la solucin de las ecuaciones del
modelo por medio de derivadas
n es la cantidad de ecuaciones diferenciales.
En todos los mtodos generales para resolver modelos dinmicos, se supone que las
ecuaciones del modelo son la forma de la ecuacin 3.3. Para resolver estas ecuaciones se
deben conocer los valores inciales de todas las variables de estado, es decir, xi(t0), donde t0es el tiempo inicial; a pesar de que no se indica explcitamente en la ecuacin 3.3, tambin
se necesitan las entradas o funciones de forzamiento que provocan cambios en las variables
del modelo. Cuando las funciones derivadas, fi, son muy complejas, frecuentemente es
conveniente expresarlas como varias ecuaciones algebraicas ms simples, en cuyo caso se
genera una variable auxiliar por cada ecuacin.
Si el propsito de la simulacin es ajustar el controlador a las condiciones de
operacin del diseo, las condiciones inciales se toman en el punto de operacin del
diseo5. Un requisito importante es que con las condiciones inciales se deben satisfacer las
ecuaciones del modelo en estado estacionario; esto es, todas las derivadas que se calculan
con base en las ecuaciones del modelo deben ser exactamente cero en los valores inciales
de las variables de estado. Puesto que se tiene una ecuacin de modelo para cada variable
de estado y auxiliar, el nmero de especificaciones de diseo no debe exceder el de
variables de entrada.
-
Captulo III
29
Una vez que se tienen las ecuaciones del modelo, el valor de los parmetros y las
condiciones inciales, se pueden programar las ecuaciones en la computadora para lo cual
existen varios mtodos como son Integracin numrica mediante el mtodo de Euler,
mtodo de Euler modificado, mtodo de Runge-Kutta-Simpson, o se puede utilizar una
herramienta matemtica poderosa como es Matlab(The MathWorks, Inc.) que es muy
utilizada para resolver y obtener respuestas en la teora de control. A continuacin solo
daremos mencin del primero, solo para dar un ejemplo.
3.2.1. INTEGRACION NUMERICA MEDIANTE EL METODO DE EULER
El mtodo numrico ms simple para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias es
el mtodo de Euler, el cual consiste en suponer que las funciones derivadas son constantes a
resolver ecuaciones de la forma de la ecuacin 3.3 mediante el mtodo de Euler es el
siguiente:
1. Inicializacin: se hace t=t0 y xi=xi(t02. Con las ecuaciones del modelo se calculan todas las funciones derivadas, fi:
niparatxxxff nii ,,2,1,,,, 21 (3.4)
3. Los valores de las variables de estado se calculan despus de un incremento de
calcula:
tfxx ititti (3.5)
ttt (3.6)
4. Si t es menor que tmx, se repite a partir del paso 2; de otro modo, se termina la
corrida.
Una caracterstica esencial de este mtodo es que todas las funciones derivadas se
calculan en el paso 2, antes de incrementar cualquiera de las variables de estado en el paso
3, con lo cual se garantiza que todas las funciones derivadas corresponden al estado del
sistema en el tiempo t, como debe ser.
-
Captulo III
30
Antes de correr el programa, se debe elegir un tiempo inicial t0, un tiempo final tmx y
tambin se debe decidir con qu frecuencia se imprimirn
las variables que son de inters en la simulacin.
3.2.2. DURACION DE LAS CORRIDAS DE SIMULACION
La duracin mx - t0; las
unidades de esta cantidad las determinan las unidades de la razn y las constantes de
tiempo de las ecuaciones del modelo1.
En la mayora de las simulaciones el tiempo inicial t0 se puede fijar a cero, con
excepcin de los casos muy raros donde los parmetros del modelo son funciones del
tiempo.
Una vez que se fija el valor de t0, la duracin de cada corrida de simulacin se
determina con tmx; dicha duracin debe ser lo suficientemente larga como para que se
complete la respuesta del sistema, pero no tanto como para que la respuesta se comprima en
una fraccin muy pequea de la duracin total de la corrida. Por lo tanto el valor correcto
de tmx depende de la velocidad de respuesta del proceso que se simula; para procesos
rpidos se necesita que tmx sea de unos cuantos segundos; en cambio para procesos lentos
puede ser del orden de horas. En la Figura 3.1 se muestran los tiempos de respuesta para
corridas muy largas (comprimido), muy cortas (incompleto) y el apropiado.
La velocidad de respuesta del proceso se determina por medio del eigenvalor
dominante, es decir, el reciproco de la constante de tiempo ms larga del proceso, se
controla el tiempo que se requiere para complementar la respuesta. Desafortunadamente, el
eigenvalor es difcil de determinar en modelos de procesos complejos no lineales. Por otro
lado, algunas veces es posible estimar la constante de tiempo ms larga, ya sea con base en
la familiaridad con procesos similares o en la intuicin ingenieril; Una vez que se tiene la
estimacin de la constante ms larga, la duracin de la corrida se puede fijar en
aproximadamente cinco veces la constante. Esta regla prctica se basa en el hecho de que,
-
Captulo III
31
en un proceso de primer orden, la respuesta se completa en cinco constantes de tiempo; en
procesos de orden superior se puede esperar que se tome ms tiempo, y para los de circuito
cerrado, un tiempo mas corto. En muchos casos no se dispone de un mtodo conveniente
para estimar la duracin de la corrida, la cual se debe elegir mediante ensayo y error; al
seleccionar tmx, se debe recordar que:
Sin importar el mtodo utilizado para estimar la duracin de las corridas de
simulacin, esta se debe ajustar siempre con base en la observacin de las respuestas que
se obtienen en las primeras corridas 1
Figura 3.1. Respuesta de un reactor a una elevacin de 2 C en el punto de control. a) Corrida demasiado
larga. b) Corrida demasiado corta. c) Corrida con la duracin correcta.
-
Captulo III
32
3.2.3. ELECCION DEL INTERVALO DE INTEGRACION
precisin de la integracin numrica
de las ecuaciones diferenciales y el tiempo-maquina que se requiere para realizar los
clculos. El efecto sobre el tiempo-mquina est relacionado con la cantidad de clculos y
es inversamente proporcional al intervalo de integracin esto es, proporcional al nmero de
pasos de integracin, N:
tttN mx 0 (3.7)
Respecto a la precisin de la integracin numrica, un concepto errneo es que,
como se ve a continuacin tericamente es verdad que el error por truncamiento es mayor
para un intervalo de integracin mayor, en la prctica, debido a la precisin limitada de los
clculos por computadora, existe un lmite respecto a lo pequeo que puede ser el intervalo
de integracin; debajo de este lmite, conforme decrece el intervalo de integracin, aumenta
el error de redondeo. El error de redondeo es aquel en el cual se incurre en los clculos por
computadora, debido a que se acarrea un nmero finito de dgitos significativos. Para evitar
ambos errores, se debe seleccionar un intervalo de integracin cercano al mximo
permitido por la precisin que se requiera en los clculos de la integracin numrica1.
Cuando se elige la duracin de las corridas de simulacin, el intervalo de
integracin se debe ajustar con base en la precisin que se observa en las primeras corridas.
Un procedimiento simple es correr el mismo caso con diferentes intervalos de integracin y
revisar que los resultados estn dentro de un error tolerable, es decir, con una cantidad
aceptable de dgitos significativos, por ejemplo, cuatro o cinco. El intervalo mas largo con
el cual se obtengan resultados aceptables es el que se debe elegir.
Para el mtodo de Euler y un modelo de proceso con buen comportamiento, una
estimacin de intervalo de integracin correcta es aquella donde se requieren de 1000 a
-
Captulo III
33
5000 pasos para complementar una corrida de simulacin. Un modelo con un buen
comportamiento es aquel donde todos los eigenvalores (constantes de tiempo) tienen casi el
mismo orden de magnitud; en cambio, un modelo rgido es aquel donde la razn del
eigenvalor mayor al menor (o constante de tiempo) es grande.
3.3. LENGUAJES Y SUBRUTINAS ESPECIALES PARA SIMULACION
Se dispone de varios lenguajes de simulacin y subrutinas de integracin numrica
para propsitos generales, los cuales se pueden utilizar para simular los sistemas de control
de proceso. Con estas subrutinas se substituyen las de Euler, Euler modificado y Runge-
Kutta-Simpson. Las principales ventajas que se tienen con estas son las siguientes:
1. Ajuste automtico del intervalo de integracin para cumplir con una tolerancia
especifica de error por truncamiento.
2. mtodos numricos ms eficientes que el Runge-Kutta-Simpson de cuarto orden.
3. En algunos casos se dispone de mtodos para manejar eficientemente sistemas
rgidos de ecuaciones diferenciales.
El diseo de estas subrutinas de propsito general es similar al de las subrutinas
para Euler Modificado y Runge-Kutta-Simpson; en un programa principal se fijan los
parmetros de la corrida y las condiciones inciales y se llama a la subrutina de integracin,
la cual a su vez llama a una subrutina de modelo para evaluar las funciones derivadas.
Generalmente, el usuario debe ordenar una impresin intermedia de los resultados desde el
programa principal o desde la subrutina de modelo.
En la Tabla 3.1 se presenta una lista de las subrutinas de integracin numrica de las
que se dispone comnmente; para utilizarlos se debe consultar el manual de usuario de cada
paquete particular del que forman parte.
-
Captulo III
34
Tabla 3.1 Subrutinas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
Nombre Caractersticas
DVERK Ajuste automtico del intervalo de integracin
Mtodo Runge Kutta-Verner
LSODE Ajuste automtico del intervalo de integracin
Algoritmo implcito para sistemas rgidos
Se utiliza el mtodo de Gear
LSODI Similar al LSODE, con capacidad adicional para manejar ecuaciones algebraicas implcitas y, a la
vez, las ecuaciones diferenciales.
PDECOL Igual al LSODE, pero para ecuaciones diferenciales parciales con dos variables independientes.
Tambin se desarrollaron varios lenguajes de simulacin de propsito general para
sistemas cuyos modelos se expresan con ecuaciones diferenciales. Algunos de estos
programas se disearon para simular la respuesta dinmica de procesos qumicos y sus
sistemas de control. Adems de las ventajas que se enlistaron para las subrutinas de
integracin con los lenguajes de simulacin se tienen las siguientes:
1. Un conjunto de subprogramas modulares para hacer el modelo de instrumentos
especficos y elementos de respuesta dinmica; por ejemplo, interruptores,
selectores, tiempo muerto y retardos de primer orden.
2. Subprogramas para resolver de manera iterativa las ecuaciones algebraicas del
modelo.
3. Caractersticas para facilitar el control de la corrida y para la impresin y
graficacin de los resultados de la simulacin.
En la tabla 3.2 aparece una lista de los lenguajes de simulacin de que se dispone
comnmente. Como se observa en las caractersticas, el DSS/2 se diseo para manejar
sistemas de ecuaciones diferenciales parciales; En los manuales de estos programas
aparecen las instrucciones especficas para su utilizacin.
-
Captulo III
35
TABLA 3.2 Lenguajes de simulacin.
Lenguaje Caractersticas
CSMP Precompilador FORTRAN
Mdulos para bloques dinmicos y lgicos
Capacidad interconstruida para graficacin
ACSL Mismas que el CSMP
DSS/2 Se pueden resolver ecuaciones diferenciales parciales y ordinarios
DYNSYL Orientado al proceso con mdulos de control y proceso
Operacin interactiva en tiempo real
Salida grafica
Algoritmo de integracin implcito para sistemas rgidos
DYFLO2 Orientado al proceso con mdulos de proceso y control
EPRI-MMS Orientado al proceso con mdulos de planta de fuerza y control.
-
Captulo IV
36
CAPTULO IV. OBTENCION DEL MODELO MATEMTICO
En este captulo se desarrolla el modelo matemtico para implementar un control
de nivel en el proceso que se muestra en la figura 4.1.
Figura 4.1 Diagrama esquemtico de un modelo fsico de un distribuidor de colada continua de acero.
A continuacin se realiza el anlisis del sistema por lo que tomamos en
consideracin los siguientes puntos:
La apertura de la vlvula 1 no permanece constante debido a que la vlvula es la
responsable de controlar el caudal q1 responsable de la altura en el tanque 2 por
lo que el flujo a travs de la vlvula 1 esta dado por
Donde para este proceso tenemos
-
Captulo IV
37
La apertura de la vlvula 2 permanece constante debido a que se trabaja con un
caudal constante en estado estacionario por lo que el flujo a travs de la vlvula
esta dado por :
donde
Despus de tomar en cuenta estas consideraciones, se procede al planteamiento del
balance de masa de estado dinmico para el primer tanque
1 ecuacin, 2 incgnitas
2 ecuaciones 2 incgnitas
Ahora se realiza el balance de masa de estado dinmico para el segundo tanque
3 ecuaciones, 4 incgnitas
De la expresin de la vlvula 2 obtenemos la otra ecuacin
Sustituimos la ecuacin (4.2) en (4.1) y dividimos entre la densidad obteniendo
-
Captulo IV
38
Ahora sustituimos la ecuacin (4.2) y (4.4) en (4.3) y dividimos
obteniendo
De la ecuacin (4.5) despus de linealizar por medio de series de Taylor y definir las
variables de desviacin tenemos (ver Apendice A.)
Donde
Y
Y las variables de desviacin son
De la ecuacin (4.6) despus de linealizar y definir las variables de desviacin tenemos
Donde
Y
-
Captulo IV
39
Reordenando la ecuacin (4.7) obteniendo
Donde
Ahora reordenamos la ecuacin (4.8) para obtener
Donde
-
Captulo IV
40
Obtenemos la transformada de Laplace de la ecuacin (4.9) y (4.10) y despus de
reordenar las ecuaciones obtenemos
Y
La ecuacin (4.11) relaciona el nivel del primer tanque con el flujo de entrada y la
posicin de la vlvula 1, la ecuacin (4.12) relaciona el nivel del tanque 2 con la
posicin de la vlvula 1 y la altura del tanque 1. La figura 4.2 muestra el diagrama de
bloques del sistema donde se observa la relacin antes mencionada.
Figura 4.2 Diagrama a bloques que representa el sistema.
Para encontrar la funcin de transferencia sustituimos la ecuacin (4.11) en la (4.12)
v
+
+
-
-
-
Captulo IV
41
De la ecuacin (4.13) obtenemos las siguientes funciones de transferencia
-
Captulo IV
42
Si proponemos
y
Entonces tenemos:
La otra funcin de transferencia que se tienes es:
Se propone
Con los cambios de variable propuesto el sistema de puede representar mediante los
diagramas de bloques que se muestra en la figura 4.3 y 4.4
Figura 4.3 Diagrama a bloques donde se muestra el cambio de variable en K5 y K6.
v v
v v
+
-
-
Captulo IV
43
Figura 4.4 Diagrama a bloques simplificado con el cambio de total de variable.
Hasta este paso solo tenemos el modelo del sistema, sin ningn controlador, para
proseguir con la elaboracin de este modelo introduciremos un controlador PID2, la
figura 4.5 que nos presenta el diagrama a bloques con el controlador PID , a
partir del cual obtendremos la funcin de transferencia del sistema.
Figura 4.5 Diagrama a bloques del sistema con un controlador PID.
De la figura 4.5 obtenemos la funcin de transferencia:
v
v
+
-
v
v
+-
v+-
-
Captulo IV
44
Si suponemos que el flujo de entrada no vara es decir su variable de desviacin es cero
y obtenemos la funcin de transferencia con estas
condiciones:
Si tomamos como condicin inicial la posicin de la vlvula totalmente abierta tenemos
De la funcin de transferencia anterior obtenemos la ecuacin caracterstica, la cual es
de vital importancia ya que con ella podemos saber si nuestro sistema es controlable por
medio del mtodo de estabilidad de Routh2.
-
Captulo V
45
CAPTULO V. RESULTADOS
En la Figura 5.1 se muestra el diagrama del proceso del cual se obtuvo el modelo
matemtico en el capitulo anterior. A continuacin se describen las condiciones de diseo que se
utilizan para obtener la respuesta del sistema.
Figura 5.1 Diagrama del Proceso
Las dimensiones de los tanques y las vlvulas son las siguientes:
Tanque 1
Tiene un dimetro de 1 m y una altura de de 1.2 m, la altura promedio del agua es de 0.6 m, la
vlvula
-
Captulo V
46
Tanque 2
Tiene las siguientes dimensiones, un largo de 2.33 m por un ancho de 0.28 m con una altura de
0.42m, la altura de trabajo es de 0.38 m, la vlvula
Primero dimensionamos las vlvulas, para lo cual tomamos como base la siguiente
definicin, si
una valvula completamente abierta con una cada de presin de un psi en la seccin transversal1
Primero calculamos el caudal mximo4 :
-
Captulo V
47
De la misma forma se calcula el
Ahora calculamos el rea de los tanques
Tanque 1
Tanque 2
-
Captulo V
48
Ahora para continuar utilizamos los siguientes valores de operacin
; ; ;
Con estas condiciones proseguimos a realizar los clculos para
para
-
Captulo V
49
Y para
Donde
-
Captulo V
50
Ahora tambin calculamos , K1 y K2
De igual forma calculamos , K3 y K4
Obtenemos el valor numrico de K5, K6 y
-
Captulo V
51
Una vez que hemos obtenido los valores numricos de las variables, introducimos un controlador
PID2 . En la figura 5.2 se muestra el diagrama a bloques del sistema con el controlador.
Figura 5.2. Diagrama a bloques del sistema con un controlador PID.
Siendo la funcin de transferencia la siguiente:
v
v
+-
v+-
-
Captulo V
52
Tomamos como base lo obtenido en el captulo IV y utilizamos la siguiente funcin de
transferencia
Si tomamos como condicin inicial la posicin de la vlvula totalmente abierta tenemos
De la ecuacin anterior obtenemos la ecuacin caracterstica del sistema que es:
Realizando la sustitucin de los valores numricos en la ecuacin caracterstica tenemos
Ahora con la ecuacin anterior realizamos el siguiente arreglo de Routh2
Como se ve no tenemos ninguna oscilacin sostenida no importando el valor que se
asigne a ya que el sistema es estable por lo que se propone un valor para para poder
continuar con el anlisis y llegar a los valores adecuados para obtener una buena respuesta en el
sistema.
Se propone un valor de 10 para por lo tanto . Por lo tanto la ecuacin
caracterstica queda de la siguiente manera
-
Captulo V
53
Para encontrar la frecuencia sustituimos en la ecuacin caracterstica
Por lo que nuestra ecuacin caracterstica queda de la siguiente manera
A partir de la cual podemos obtener dos periodos crticos:
-
Captulo V
54
Ahora utilizando los valores de se calcularon los valores del PID basndonos en la
regla de sintonizacin de Ziegler-Nichols basada en la ganancia critica y en el periodo critico
. Como se tienen dos periodos crticos primero se utilizan los siguientes valores:
Por lo tanto, la funcin de transferencia del controlador PID es
El controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en . La funcin de
transferencia del sistema es:
-
Captulo V
55
Suponemos que el flujo de entrada no vara es decir su variable de desviacin
Donde
-
Captulo V
56
Ahora utilizando Matlab(The MathWorks, Inc.) obtenemos la respuesta del sistema a la
entrada un escaln unitario esto se realiza introduciendo el siguiente programa5,7 el cual da como
resultado el grfico mostrado en la figura 5.3.
num=[82359.84 86872.296 813.746 61.67];
den=[82734.4 86910.966 814.746 61.67];
step(num,den);
grid
Figura 5.3. Respuesta a un escaln unitario del sistema con los valores del PID Kp=6, Ti= 73.06 y Td=18.265, para
un periodo crtico Pcr=146.12.
-
Captulo V
57
Ahora se utiliza el otro valor de calculando nuevamente los valores para el PID con el
nuevo valor del periodo crtico.
Por lo tanto, la funcin de transferencia del controlador PID con estos valores es:
El controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en . Ahora
calculamos la funcin de transferencia del sistema aplicando este PID
-
Captulo V
58
Suponemos que el flujo de entrada no vara es decir su variable de desviacin
Donde
-
Captulo V
59
Ahora utilizando Matlab(The MathWorks, Inc.) obtenemos la respuesta del sistema a la
entrada un escaln unitario esto se realiza introduciendo el siguiente programa5,7 el cual da como
resultado el grfico mostrado en la figura 5.4.
num=[175.38 4687.84 33512.51 29000.05];
den=[549.78 4726.51 33513.51 29000.05];
step(num,den);
grid
Figura 5.4. Respuesta a un escaln unitario del sistema con los valores del PID Kp=6, Ti= 0.1556 y Td=0.0389, para
un periodo crtico Pcr=0.3112.
-
Captulo V
60
Analizando los resultados obtenidos en los grficos de las figuras 5.3 y 5.4 en donde las
respuestas del sistema a la variacin de un escaln unitario no son completamente satisfactorias
debido a que en una el tiempo para que el sistema se estabilice es demasiado grande (figura 5.3)
y en el otro donde se obtiene un sobrepaso de ms del 20 % que no es recomendable de acuerdo
con la bibliografa consultada1,2,3 (figura 5.4). se propone una nueva frecuencia =2 dicha
frecuencia se cree optima debida a que el proceso se considera lento a pequeas variaciones en el
nivel cuando est en operacin. Con este nuevo valor de frecuencia se procede al clculo del
periodo crtico, la ganancia crtica se sigue proponiendo igual a 10.
Calculamos los valores del PID con los valores de la frecuencia y periodo crtico:
La funcin de transferencia del controlador PID es la siguiente
-
Captulo V
61
Con esta nueva configuracin el PID tiene un polo en el origen y un doble cero en
. Nuevamente se calcula la funcin de transferencia del sistema con este PID
Ahora introducimos el siguiente programa5,7 en Matlab(The MathWorks, Inc.) para
analizar la respuesta a un escaln unitario en el sistema con los cambios realizados, obteniendo el
grfico mostrado en la figura 5.5.
num=[1772.04 6284.5 7385.16 2872.70];
den=[2146.44 6323.17 7386.16 2872.70];
step(num,den);
grid
-
Captulo V
62
Figura 5.5. Respuesta a un escaln unitario del sistema con los valores del PID Kp=6, Ti= 1.5708 y Td=0.3927, para
un periodo crtico Pcr=3.1416.
Analizando la respuesta del sistema con este ultimo PID donde tanto el tiempo de
estabilizacin del sistema como el sobrepaso se consideran dentro de los parmetros correctos de
acuerdo a la bibliografa consultada1,2,3., se procede a disear el PID electrnico basndonos en la
teora que se explica en el apndice B, para calcular el valor de los componentes tomaremos
como base los valores de la ganancia proporcional (KP), la constante de integracin (KI) y la
constante de derivacin (KD) calculadas para el PID utilizado en la respuesta del grafico 5.3.
Los valores que utilizaremos para el clculo del PID electrnico son los siguientes:
-
Captulo V
63
En la figura 5.6 se muestra el diagrama de un controlador PID electrnico11 construido
con amplificadores operacionales, en base a este calcularemos los componentes que lo
conforman.
Fig. 5.6 Circuito de un controlador PID con amplificadores operacionales.
La salida de este circuito es la siguiente:
Donde:
= Constante derivativa
Voltaje inicial del integrador
-
Captulo V
64
La funcin de transferencia del circuito es:
Para obtener los valores ms aproximados de , y que se obtuvieron del modelo
matemtico, se proponen los siguientes valores para los componentes electrnicos:
Para se proponen los valores de , para ,
y para , , de lo cual obtenemos:
Por lo tanto la funcin de transferencia del PID electrnico es la siguiente:
-
Captulo V
65
Una vez obtenida la funcin de transferencia del PID electrnico se procede a calcular la
funcin de transferencia del sistema completo, es decir el proceso con el controlador.
Donde
-
Captulo V
66
Con esto tenemos la funcin de transferencia del sistema con un PID electrnico, para ver
la respuesta del sistema a un escaln unitario, se introdujo el siguiente programa5,7 en
Matlab(The MathWorks, Inc.) obteniendo el grafico que se muestra en la figura 5.7.
num=[376.038 4640.038 5607.25 1342.98];
den=[750.438 4694.838 5608.25 1342.98];
step(num,den);
grid
Figura 5.7. Respuesta a un escaln unitario del sistema con el PID electrnico.
-
Captulo V
67
5.2. SIMULACION DEL PROCESO EN SIMULINK.
Para comprobar la respuesta del sistema obtenida anteriormente se realiz la simulacin
del proceso en el software de simulacin denominado Simulink (The MathWorks, Inc.), el cual
puede simular sistemas complejos ya sean lineales o no lineales. En este caso se realiz la
simulacin del sistema linealizado, tomando como base las ecuaciones lineales obtenidas en el
desarrollo del modelo matemtico.
Como primer paso se construy el modelo de bloques del proceso en Simulink como se
muestra en la figura 5.8, donde solo se observa los bloques que describen al proceso, todava sin
ningn tipo de controlador, esto para obtener las respuestas de variaciones en el sistema y como
afecta esto la salida del proceso.
Figura 5.8 Diagrama a bloques del modelo lineal.
Para observar la respuesta de sistema se realiz la simulacin con dos entradas escaln para
simular variaciones en la posicin de la vlvula VP1 esto con el escaln 1 y con el escaln 2 una
variacin en el caudal de entrada Qi.
H1(s)
VP1(s)
Q1(s)
H2(s)
K4
T2.s+1Transfer Fcn2
-C-
Q1
Osciloscopio
K3
T2.s+1Funcion 3
K2
T1.s+1Funcion 2
K1
T1.s+1Funcion 1
Escalon 2
Escalon 1
-
Captulo V
68
Figura 5.9. Respuesta del sistema a la entrada de escalones en VP1 y Qi.
En la figura 5.9 se observa como el nivel H2 (Altura de trabajo del sistema) se incrementa desde
el tiempo 0 hasta que se estabiliza en su nivel de trabajo a 38 cm. En el tiempo t=300 la posicin
de la vlvula VP1, sufre una apertura que la pasa de su posicin optima es decir una apertura del
28% a una apertura del 50% reflejndose esto en un incremento en el nivel H2. Nuevamente el
sistema sufre una alteracin esta vez en el caudal de entrada Qi, el cual sufre una cada de 100
litros en el tiempo t=500, esto se refleja nuevamente en una variacin en el nivel H2, ahora el
nivel disminuye a alrededor de un 50%. Con esto se observa que el modelo responde de una
manera eficaz a cualquier variacin en las dos variables de entrada que tiene Qi y VP1.
-
Captulo V
69
Para completar la simulacin de este sistema ahora es necesario integrar el controlador PID al
sistema esto se realiz como se muestra en la figura 5.10. donde el controlador fue construido de
una manera fcil y eficaz a partir de bloques de ganancia y un bloque integrador y un bloque
derivador, ajustando los parmetros del mismo sobre los bloques de ganancia que corresponde a
cada etapa del controlador.
Figura 5.10. Diagrama de bloques en Simulink con controlador PID.
Para comprobar el ptimo funcionamiento de nuestro sistema se realiz la siguiente simulacin
observando la respuesta del sistema en los grficos de la figura 5.11. En el tiempo t=0, nuestro
sistema se encuentra en equilibrio funcionando con un set point ajustado a 38 cm que equivalen a
0 en la salida, en el tiempo t=5, introducimos un escaln negativo de -5 en la salida esto
equivaldra a un descenso en el nivel H2 de 5 cm, aqu se observa como el controlador PID ajusta
rpidamente la posicin de la vlvula VP1 para eliminar dicha variacin en el nivel este ajuste se
realiza en 0.6 segundos. Por ltimo se realiz un cambio en el set point de +5 cm en t=15, en el
grfico se observa la respuesta del controlador para ajustar el sistema al nuevo set point 5
(equivalente a 43 cm) en modelo, el controlador responde nuevamente en 0.6 seg. Para
estabilizar el sistema a las nuevas condiciones.
H1(s)
VP1(s)
Qi(s)
H2(s)
R(s)
6
kp
-K-
ki
-K-
kd
Scope1
1
Qi
Osciloscopio
1s
Integrator
K4
T2.s+1Funcion 4
K3
T2.s+1Funcion 3
K2
T1.s+1Funcion 2
K1
T1.s+1Funcion 1
Escalon 1
Escalon 2
du/dt
DerivativeAdd
-
Captulo V
70
Figura 5.11. Respuesta del sistema a variaciones en H2 y Rs.
Esta simulacin es de vital importancia, ya que adems de validar el modelo matemtico del
proceso y el buen funcionamiento del controlador permitindonos realizar los ajustes necesarios
a los parmetros del controlador, es decir nos permite la sintonizacin de nuestro controlador
dependiendo de las exigencias del sistema.
-
Conclusiones
71
VI. CONCLUSIONES
En la Figura 6.1 se muestran los grficos de la respuesta a la entrada de un escaln unitario en el sistema con un PID ideal obtenido del modelo matemtico y del sistema con un PID electrnico tomando como base los parmetros del modelo matemtico para calcular sus componentes. Obteniendo las siguientes conclusiones:
Figura 6.1 Grafico comparativo del PID ideal y electrnico a la entrada de un escaln unitario.
La deduccin e implementacin de modelos matemticos para describir un proceso es una herramienta extremadamente til que nos ayuda a comprender el funcionamiento de dicho proceso sin necesidad de comprometer la instalacin de la planta industrial o requerir montar una planta piloto para estudiar diversos escenarios que pudieran comprometer los sistemas a una escala real, esto reduce costos ya que la implementacin de nuevos sistemas de control o su optimizacin se pueden realizar matemticamente sin que esto afecte o tenga que detener un proceso para observar su funcionamiento. Sin embargo de un mismo proceso se pueden obtener ms de un modelo matemtico, esto depende de la manera en que fue abordado el problema para obtener el mismo. Por esto los modelos matemticos sern validos solo si se duplican bajos las mismas condiciones en que fueron obtenidos.
-
Conclusiones
72
El modelo matemtico planteado para la descripcin de un control de nivel del modelo
fsico de un distribuidor de colada continua nos permite sintonizar el controlador PID con gran facilidad ya que se pueden ajustar los valores de la ganancia proporcional, integral y derivativa, tantas veces como sea necesario para obtener la mejor respuesta del sistema esto de manera ideal.
Conocer los valores de sintonizacin del PID son de gran utilidad a la hora de realizar el diseo del PID electrnicamente ya que es ms fcil proponer los valores de los componentes electrnicos comerciales que nos proporcionen los valores de salida de la ganancia proporcional, integral y derivativa, y los posibles ajustes que se tengan que realizar sean mnimos para que la respuesta sea lo ms similar a la del PID ideal.
Las diferencias que se observan entre el PID electrnico y el PID ideal son muy pequeas y por esto se considera que nuestro sistema funciona a un 95%, se dice esto ya que el PID ideal muestra un sobrepaso menor al del PID electrnico, sin embargo este ultimo tiende a estabilizarse ms rpido debido a la inercia propia del circuito.
La simulacin realizada en Simulink comprob el modelo matemtico del proceso donde se observo como este se afectaba cuando se sufra alguna perturbacin en las variables VP1 y Qi, esto se observa con total claridad en el grafico presentado en la Figura 5.9 con esto se valida al 100% el modelo matemtico obtenido en este trabajo.
Al llevar a cabo la simulacin del proceso con la implementacin del sistema de control PID en el modelo propuesto para el proceso (Figura 5.11), se pudo observar una respuesta eficiente del sistema de control con un retardo de 0.6 seg lo cual representa un tiempo de respuesta aceptable pues el proceso no sufre alteraciones considerables en este lapso de tiempo.
Por lo tanto de todas las pruebas realizadas se pudo observar un excelente desempeo del modelo obtenido del proceso junto con el sistema de control, el cual se valido con las simulaciones obtenidas en Simulink, por lo que la metodologa presentada en este trabajo puede aplicarse a plantas de la misma naturaleza, o en cualquier otros proceso donde se pueda obtener su modelo matemtico.
-
Apndice A
73
APNDICE A
PROCESO DE LINEALIZACION POR MEDIO DE SERIES DE TAYLOR
Si consideramos ( ) = [ ( )] + (1) La expansin por series de Taylor est dada por la siguiente ecuacin
[ ( )] = ( ) + ( )[ ( ) ] + 12! ( )[ ( ) ] + 13! ( )[ ( ) ] + (2)
La aproximacin lineal consiste en eliminar todos los trminos de segundo orden o superior de la
serie de Taylor,
[ ( )] = ( ) + ( )[ ( ) ] (3)
Y al sustituir la definicin de variable de desviacin (4) en (3) ( ) = ( ) (4) Tenemos
[ ( )] = ( ) + ( ) ( ) (5)
Sustituimos (5) en (1) y obtenemos la funcin linealizada ( ) = ( ) + ( ) ( ) + (6)
-
Apndice A
74
Ahora desarrollamos el proceso de linealizacin de nuestro problema
La vlvula 1 se rige por
( ) = ( ) ( ) Donde
( ) = + ( )144 Realizamos un balance de masa de estado dinmico
( ) ( ) = ( ) O
( ) ( ) = ( ) Si suponemos que la densidad es la misma en la entrada y la salida tenemos
( ) ( ) = ( ) (7) (1 ecuacin 2 incognitas ( ), ( ))
( ) = ( ) + ( )144 (8) Sustituimos (8) en (7)
( ) ( ) + ( )144 = ( ) (9)
-
Apndice A
75
Linealizamos con respecto a , por lo que la linealizacion se debe hacer alrededor de los valores de que son los valores nominales del estado estacionario.
Si la expansin por series de Taylor alrededor de un punto ( , ) esta dada por [ ( ), ( )] = ( , ) + ( , )[ ( ) ] + ( , )[ ( ) ] + 12! ( , )[ ( ) ] + 12! ( , )[ ( ) ] + ( , )[ ( ) ][ ( ) ] +
Y la aproximacin lineal consiste en eliminar los trminos de segundo orden o superior
[ ( ), ( )] = ( , ) + ( , )[ ( ) ] + ( , )[ ( ) ]
Aplicando la aproximacin lineal a ( ) tenemos ( ) = + ( ( ) ) + ( )
Sustituimos el valor de en la ecuacin anterior y tenemos ( ) = +
( ) + 144 ( ( ) )
+ ( ) + 144
( )
-
Apndice A
76
Obtenemos las derivadas parciales:
( ) = + + 144 ( ( ) )+ 288 +
144 / ( )
Para simplificar la notacin realizamos el siguiente cambio de variable
= + 144 Y
= 288 + 144
/
De manera que ( ) + ( ( ) ) + ( ) Sustituimos esta ultima ecuacin en (9) y obtenemos
( ) ( ( ) ) ( ) = ( ) (10) Si escribimos el balance de masa de estado estacionario alrededor del tanque se ve que = 0 O = 0
-
Apndice A
77
Si sustraemos a la ecuacin el balance obtenemos
( ( ) ) ( ( ) ) ( ) = ( ) Definimos las siguientes variables de desviacin ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) Sustituimos estas variables de desviacin y obtenemos nuestra ecuacin linealizada
( ) ( ) ( ) = (11)
Para la segunda parte tenemos
( ) ( ) = ( ) o
( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) + ( )144
Como ( ) ya esta linealizada procedemos a linealizar ( ) ( ) = ( ) ( )
-
Apndice A
78
( ) = + ( )144 Como la apertura de la vlvula 2 permanece constante no hay cada de presin dinmica solo se
considera la presin hidrosttica
( ) = ( )144 Por lo tanto
( ) = ( )144 Linealizamos con respecto a
( ) = + ( ) Sustituimos
( ) = + ( ) 144 ( ) ( ) = + 288 144 ( )
Definimos las siguientes variables de desviacin ( ) = ( ) Sustituimos las variables de desviacin y obtenemos nuestra segunda ecuacin linealizada.
( ) + ( ) ( ) = ( ) (12)
-
Apndice B
79
APNDICE B. CONTROLADORES CLSICOS ELECTRONICOS11
B.1 GENERALIDADES.
Un controlador es el que provee de inteligencia al sistema para hacer que la planta acte
como se requiere. El diagrama a bloques de un sistema de control se muestra en la figura B.1:
Figura.B.1. Diagrama a bloques de un sistema de control retroalimentado.
La clasificacin de los controladores clsicos es:
Controlador ON/OFF, ABIERTO/CERRADO.
Controlador Proporcional (P).
Controlador Integral (I).
Controlador Proporcional-Integral (PI).
Controlador Proporcional-Derivativo (PD).
-
Apndice B
80
Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID).
Si se observa en la figura B.1, el controlador tiene dos entradas, una indica el valor
deseado, a la que se le llama seal de referencia (SR) o set-point (SP). La otra indica el valor real
actual a la salida del proceso, a la que se le llama variable de proceso (VP).
El propsito del controlador es dar una salida que modifique el proceso, de tal manera
que la seal de referencia y la variable de proceso sean iguales. Cualquier cambio en la
referencia o en la carga del proceso causar una cambio en la salida del controlador para lograr
lo anterior.
B.2 AMPLIFICADOR DE ERROR.
Todos los controladores deben empezar por generar una seal de error: = El error es la diferencia entre la SR y la VP; si la VP est por debajo de la SR el error va a ser
positivo, por el contrario el error ser negativo, como se muestra en la figura B.2.
Figura B.2. Grfica del error cuando es positivo y cuando es negativo.
-
Apndice B
81
El smbolo para representar al amplificador de error se muestra en la figura B.3.
Figura B.3. Representacin del amplificador de error.
Existen dos formas de construirlo.
1. Amplificador diferencial como se muestra en la figura B.4.
Figura B.4. Amplificador diferencial.
La salida de este circuito se describe a continuacin:
2. Utilizando el amplificador operacional en configuracin de sumador inversor como se
muestra en la figura B.5.
-
Apndice B
82
Figura B.5. Amplificador sumador inversor.
El funcionamiento de este circuito se describe a continuacin:
= :
Con para asegurar un funcionamiento adecuado B.3. CONTROLADORES ON / OFF
La salida de estos controladores es completamente abierta o completamente cerrada,
como ejemplo: un calentador de agua (boiler).
Un controlador ON/OFF debe tener una banda muerta o histresis, como se muestra en la
figura B.6.
-
Apndice B
83
Figura B.6. Curva de la funcin de transferencia del controlador ON/OFF.
Cuando el error es ampliamente negativo, la VP es mucho mayor que la SR (punto a) y la
seal de salida est apagada; esto correspondera a que la temperatura del agua en un calentador
de agua est demasiado caliente, y solo cuando el error se vuelva positivo (del punto b al d) la
salida del controlador cambiar al 100 % de su salida; esto es que la temperatura del agua haya
