Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam

8/17/2019 Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam

1/14

SISTEM-SISTEM KHUSUS

Perihal Gaya sebagai Fungsi Posisi: F = F(x)

Hukum kekekalan energi mekanik:

T + V = E = konstan

dengan V(x) berkaitan dengan F(x)melalui F(x) = -(dV/dx)

sehingga: v = v(x) = (2/m)(E-V) *)

dengan v(x) = (dx/dt), maka dapat ditulis

(dx/v(x)) = dt


2/14

Apabila v(x) kita substitusikan pada pers. *) dan

pilihan tanda dilakukan berdasarkan arah

gerak sistem pada saat tersebut, maka pers.Terakhir menghasilkan:

t = t(x) yang dapat diinversikan menghasilkan:

x = x(t)

Soal:

Bahaslah gerak suatu benda yang massanya m di

bawah pengaruh gaya pegas F = - kx

m


3/14

Solusi:

Suatu benda yang massanya m di bawah

pengaruh gaya pegas F = - kx, karenanyaenergi potensialnya V(x) = (1/2) kx2. Sistem ini

menjalani gerak harmonis dan disebut “ osilator

harmonis”

F = -(dV/dt), V = (1/2) kx2

sehingga

F = -d/dx (1/2) kx2

F = -kx = m(d2x/dt2)

(d2x/dt2) = -(k/m)x (1)


4/14

Untuk getaran harmonis:

x = Aept

(dx/dt) = Apept

(d2x/dt2) = Ap2ept (2)

dari (1) dan (2) diperoleh:-(k/m)x = Ap2ept

-(k/m) Apept = Ap2ept

p2 = -(k/m)

p = i(k/m) (k/m) =

Jadi x = Aeit + Be-it


5/14

dengan eit = cos t + i sin t

e-it = cos t - i sin t


6/14

OSILATOR TEREDAMPerihal Gaya sebagai Fungsi Posisi dan

Kecepatan: F = F(x,v) Sebagai salah satu contoh F = F(x,v) adalah osilator

teredam, dengan redaman linier –bv. Sifat ini didekati oleh

suatu osilator yang bergetar di dalam fluida.

Kehadiran gaya hambat tersebut membuat sistem tak lagikonservatif, bahkan energinya turun terus dengan waktu.

Konstanta b mewakilkan taraf redaman yang dialami.

Gerak sistem tsb bergantung pada taraf redamannya.

Untuk redaman kecil sifatnya masih osilasi, namun denganamplitudo yang mengecil (karena E nya menurun), dan

frekuensi juga menurun (karena sifat redaman yang

memperlambat).


7/14

Apabila fluida itu kental, maka hambatannya cukup tinggi

sehingga geraknya hanya berupa gerak balik menuju titik

keseimbangannya secara asimtotis.

Hasil penalaran fisik ini memang benar, kita lihat dari yangberikut.

Karena gaya resultan pada massa m sekarang adalah

– kx – bv, maka hk.II Newton baginya adalah:

ma + bv + kx = 0 atau(d2x/dt2) + 2 (dx/dt) + 02x = 0

dengan = b/2m dan 02 = k/m

Persamaan tersebut adalah p.d. linier homogen dengan

koefisien-koefisien konstan, dengan mencobakan

x = ept diperoleh p2 + 2p + 02 = 0

yang akar-akarnya adalah:

p1,2

= – 2 – 0

2


8/14

Perihal 0> atau < 0 : teredam kurang

Dalam hal ini, persamaan terakhir di atas dapat dituliskan

p1,2 = – i1dengan 12 = 02 – 2

Maka solusi umum dari p.d. linier homogen di atas berupa

kombinasi linier dari ep1t dan ep2

t

misalnya

e-t (Cei1t + De-i1

t)

mengingat x real, maka lebih sesuai ditulis dalam bentuk:

x(t) = Ae-t

Cos(1t + )dengan A dan adalah konstanta-konstanta yang dapatditentukan dari kondisi awal. Bentuk gerak ini adalah:

getaran harmonis dengan amplitudo yang menurun.


9/14

Amplitudo di sini adalah Ae-t yang secara asimtotis menuju

0 dengan waktu. Frekuensi getarannya adalah 1 yang

< 0 menurut persamaan 12 = 02 – 2. Semuanya inimenunjukkan, dugaan kita tentang sifat “redaman kecil”adalah benar adanya.

Grafik x(t) untuk hal teredam kurang adalah sebagai

berikut.

Ae-t teredam lebih

teredam kurang t

teredam kritis


10/14

Bagi energi mekanis sistem, yaitu E, untuk redaman kecil

( 0 : teredam lebih

Akar-akar persamaan karakteristik di sini adalah

p1,2 = – 2 – 02 = – 1,2

sehingga solusi umum dari p.d. linier homogen di atas

adalah

x(t) = Ce-

1

t

+ De-

2

t


11/14

dengan C dan D adalah konstanta-konstanta. Kita lihat

geraknya merupakan superposisi dua gerak yang masing-

masing berupa gerak secara asimtotis ke titik

keseimbangan. Namun, karena 2>>1 maka suku keduadi ruas kanan lebih cepat menghilangnya dengan waktu,sehingga untuk t >>

x(t) ~ e-1t

Perihal = 0 : teredam kritis

Dalam hal ini terdapat satu akar p tunggal, yaitu = –,sehingga suatu solusinya adalah e-t . Solusi lainnyaadalah te-t, sehingga solusi umumnya adalah

x(t) = (C1 + C2t) e-t

Sifatnya yang pada t besar ~ e-t menunjukkan, ia juga


12/14

mendekati titik keseimbangannya secara asimtotis, namun

dengan cara yang lebih cepat dari perihal teredam lebih

(karena >1).Perihal teredam kritis ini merupakan transisi dari teredam

lebih dan teredam kurang. Sifat yang paling cepat kembali

ke titik keseimbangannya tanpa overshoot menunjukkan

banyak dikehendaki, misalnya pada jarum penunjuk alat-alat pengukur, pegas penutup pintu, shock absorber, dll.


13/14

x (t )

t

overdamped

critical damping

underdamped

Critical damping

provides the fastest

d iss ipat ion o fenergy .


14/14

TERIMA KASIH

Sistem - Sistem Khusus - Osilator Teredam

Documents