Sistem Dinamiği Bölüm 9- Frekans Domeninde Sistem Analizi Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN
Sistem Dinamiği
Bölüm 9- Frekans Domeninde Sistem Analizi
Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Sunumlarda kullanılan semboller:
2
YorumEl notlarına bkz.
Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No
Denklem numarasıŞekil No
Şekil numarası Dikkat
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Bölüm içeriği:
3
Birinci derece sistemlerin frekans cevabı
Yüksek dereceli sistemlerin frekans cevabı
Frekans cevabı uygulamaları
Genel periyodik girişler için sistem cevabı
Frekans cevabından sistem tanımlama
MATLAB ile frekans cevabı analizi
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Frekans cevabı: Periyodik girişlere sistemin verdiği cevaptır.
Periyodik giriş f(t+T)=f(t)
Örnekler: Periyodik tork işareti, periyodik kuvvet işareti, hidrolik ve pnömatik sistemlerdeki tahrik sinyalleri.
Tüm periyodik giriş işaretleri sinusoidal olmayabilir. Bu durumda FOURIER dönüşümlerinden yararlanılır.
Transfer fonksiyonundan elde edilen faz-frekans ve kazanç-frekans eğrileri bize sistem cevabı hakkında önemli bilgiler sağlar.
4
Giriş:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Bant genişliği, basamak cevaptaki zaman sabiti gibi, frekans cevabının kısa sayısal (quantitatif) bir tanımını sağlar.
5
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
9.1.Birinci derece sistemlerin frekans cevabı:
6
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 7
Kompleks sayılar ve formları:
Genlik
Kompleks Sayı
Kompleks Konjuge
Kompleks Eksponansiyel Form
Kompleks Konjuge
Şekil 9.1.1 (a)
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 8
9.1.1.Kompleks sayıların bölünmesi ve çarpılması:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 9
Örnek:
Şekil 9.1.1.(b)
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 10
9.1.2.Frekansın bir fonksiyonu olarak kompleks sayılar:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Burada kararlı ve lineer zamanla değişmeyen(LTI) sistemler üzerinde duracağız.
11
9.1.3.Frekans Cevabı Özellikleri
9.1.2
Tabl
o 9.
1.1
Kara
rlı L
TI s
iste
m fr
.cev
abı
Şekil 9.1.2 Kararlı lineer sistem frekans cevabı
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 12
9.1.4. ‘nın frekans cevabı:
9.1.1 9.1.2
9.1.3
9.1.4
9.1.5
9.1.6
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 13
Tablo 9.1.2. ‘nın frekans cevabı
Tablo 9.1.2. den görüldüğü üzere birinci derece sistemlerde kararlı hal cevabını elde etmede transfer fonksiyonu çok kullanışlı ve kolay bir yol olarak kullanılabilmektedir.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 14
Örnek 9.1.1.
Şekil
9.1.39.1.1
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 15
Cevap 9.1.1
Şekil 9.1.3.
w=15 w=60
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 16
Örnek 9.1.2.
Şekil
9.1.5 ve 9.1.6
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 17
9.1.5. Logaritmik Eğriler:
Şekil 9.1.4
Bode plots Bode diyagramları
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 18
9.1.6. için logaritmik eğriler:
Şekil 9.1.4
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 19
Asimptotlar:
Şekil 9.1.6
arc tan(1)=45o
-10log(1+(WT)^2)=-3,01
dB
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 20
Örnek 9.1.3.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 21
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 22
9.2.Yüksek dereceli sistemlerin frekans cevabı:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Tablo 9.2.1. transfer fonksiyonunda ortak faktörler verilmiştir. Buna göre biz şu ana kadar 3 nolu formu inceledik.
1 nolu formda K>0 olduğu müddetçe faz eğrisi değişmez. K
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Tablo 9.2.1’deki 3 nolu forma benzetelim:
24
9.2.2.Aşırı sönümlü durum:
Zaman sabitleri:
9.2.6
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Aşağıda verilen transfer fonk.’nun m(w) ve ‘yı bulunuz
25
Örnek 9.2.1
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 26
Şekil 9.2.1
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
f(t)=14 sin3t için kararlı hal cevabını bulunuz.
27
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 28
9.2.3. Az sönümlü durum:Örnek 9.2.2:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 29
Şekil 9.2.3
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 30
Kompleks konjuge kökler durumu:
kökler kompleks
4 nolu form
s yerine jw koyalım
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 31
9.2.4.Rezonans:Tablo 9.2.2. İkinci derece sistemler için rezonans frekansı
Rezonans frekansında (Wr) genlik (M) maksimum değerini alır ancak burada sönüm oranı 0.707 eşit veya küçüktür.
Sönüm oranı 0.707 den büyük olur ise tepe meydana gelmez.
w=0’da M=1 olur.
Az sönümlü bir sistemin köklerinin sadece imajiner kısmı var ve sönüm oranı 0 ise doğal frekans rezonans frekansına eşittir.
Rezonans durumu, doğal frekans rezonans frekansına yakın ise meydana gelir. Sönüm az ise çıkış genliği sistemin dayandığı yere kadar artacaktır.
Faz açısı -90’a yakın, hız terimi dx/dt girişle uyumlu ise bu durum yüksek genliğe yol açar. Devre tasarımcıları için bu avantaj, mekanik ve süspansiyon tasarımcıları için ise dezavantajdır.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
9.3. Frekans cevabı uygulamaları:
32
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 33
9.3.1. Doğal kararlı DurumAz sönümlü sistem
Zorlanmamış cevap:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 34
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 35
9.3.2.Beating
Şekil 9.3.2.
Şekilde görülen periyodik olarak azalan ve artan sinyallerden oluşan sistem cevabına “BEATING” denir
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 36
9.3.4. Rezonansta sistem cevabı:
Şekil 9.3.3
Rezonans civarında az sönümlü sistem cevabı
Rezonans civarında aşırı sönümlü sistem cevabı
Şekil 9.3.4
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 37
9.3.7. Frekans Cevabının Yorumu:
Şekil 9.3.10
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 38
Frekans Cevabının Yorumu
Şekil
Şekil 9.3.11
Tekerlek
Şase
Tekerlek
Şase
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
9.4. Dinamik Sistemlerin Filtreleme Özellikleri
39
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 40
9.4.1. Elektrik Devrelerinin Frekans Cevabı:
Şekil 9.4.1.
Şekil 9.1.6
T(s)=V0(s)/Vs(s)=1/(RCs+1)
Zaman sabiti: Tao=RC
Alçak geçiren filtre
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 41
Yüksek geçiren filtre:
Şekil 9.4.2
Şekil 9.4.3.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Yarım güç noktaları
Köşe frekansları
3dB noktaları
42
9.4.2. Bandgenişliği (bandwidth):
9.4.1.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 43
Örnek 9.4.4.Birinci derece sistem bant genişliği:
Şekil
9.4.1
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 44
Muhtemel frekans cevapları:
Şekil 9.4.5.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 45
9.5.Periyodik girişler için sistem cevabı:Örnek 9.5.1.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 46
Çözüm 9.5.1.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 47
Şekil 9.5.1
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 48
Fourier Serileri:
Şekil 9.5.2
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
9.6.Frekans cevabından sistem tanımlama: Transfer fonksiyonu veya modelin diferansiyel eşitliğinin genel prensiplerden elde edilmesinin zor olduğu durumlarda yada sistem parametrelerinin bilinmediği durumlarda deneysel yöntemler kullanılarak frekans cevabı elde edilebilir. Buradan sistemin transfer fonksiyonuna ve ilgili parametrelerine geçilebilir.
49
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Sinusoidal girişlerin oluşturulma kolaylığı,
İlgili frekanslarda cevabın ölçülmesi
Üretim: Sinyal jeneratörleri, Cevap ölçümü: frekans analizörleri
Elektriksel sinyaller veya elektriksel sinyale dönüştürülebilen mekanik sistem cevapları
Normal çalışma esnasında test sinyallerinin giriş sinyalleri ile birleştirilmesi ve çıkışta ayırt edilebilmesi
50
9.6.1. Test prosedürleri:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 51
9.6.2.Köşe frekansları ve asimptot kullanımı:
Şekil 9.6.1
Giriş:Transfer fonk. bulunuz.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 52
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 53
Örnek 9.6.2. İkinci dereceden sistem tanımlama
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 9
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Frekans cevabına ilişkin bode diyagramları
Rezonans frekansı ve band genişliği
Birinci ve ikinci derece sistemlerde frekans cevabının analizi yorumu
Elektriksel devrelerde frekans cevabı ve filtreleme
Frekans cevabından sistem tanımlama
54
Bölüm özeti:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
GELECEK KONU:
Bölüm X.
55
Referans: System Dynamics, William Palm III, McGraw-Hill Education; 3 edition (March 19, 2013)