5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque Aula 21 1 Ondas sonoras harmônicas Na aula passada deduzimos a equação de onda para ondas sonoras propagando-se em uma dimensão. Vimos que ela pode ser escrita em termos de três variáveis medidas em relação ao equilíbrio: deslocamento, variação da pressão e variação da densidade. As equações de onda unidimensionais para essas três variáveis são (lembre-se que elas são válidas para a mesma onda sonora): 2 2 2 2 2 1 : to Deslocamen t u v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ , (1) ( ) 2 2 2 2 2 1 ) ( : Pressão t v x P ∂ ∂ = ∂ ∂ δρ δ , (2) ( ) 2 2 2 2 2 ) ( : Densidade x v t ∂ ∂ = ∂ ∂ δρ δρ . (3) Note que elas são idênticas à equação de onda unidimensional que obtivemos antes para a corda vibrante. Portanto, todos os fenômenos vistos quando estudamos ondas na corda vibrante também ocorrerão para ondas sonoras propagando-se em uma dimensão. Por causa disso, nesta aula vamos estudar apenas alguns aspectos ondulatórios peculiares ao som.
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Ondas sonoras harmônicas
Na aula passada deduzimos a equação de onda para ondas sonoras
propagando-se em uma dimensão. Vimos que ela pode ser escrita
em termos de três variáveis medidas em relação ao equilíbrio:
deslocamento, variação da pressão e variação da densidade.
As equações de onda unidimensionais para essas três variáveis são
(lembre-se que elas são válidas para a mesma onda sonora):
2
2
22
2 1 :toDeslocamen
t
u
vx
u
∂
∂=
∂
∂, (1)
( )2
2
22
2 1)( :Pressão
tvx
P
∂
∂=
∂
∂ δρδ, (2)
( )2
22
2
2 )( :Densidade
xv
t ∂
∂=
∂
∂ δρδρ. (3)
Note que elas são idênticas à equação de onda unidimensional que
obtivemos antes para a corda vibrante. Portanto, todos os fenômenos
vistos quando estudamos ondas na corda vibrante também ocorrerão
para ondas sonoras propagando-se em uma dimensão.
Por causa disso, nesta aula vamos estudar apenas alguns aspectos
ondulatórios peculiares ao som.
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Vamos considerar inicialmente a equação (1), em que a onda sonora
é descrita como uma onda de deslocamento.
Para facilitar a descrição matemática, vamos tomar a solução de (1)
dada por uma onda sonora harmônica propagando-se para a direita1
( )ϕω +−= tkxUtxu cos),( . (4)
Nesta equação, U é a máxima amplitude que o deslocamento u de
uma partícula do meio pode atingir. O comprimento de onda é dado
por
k
πλ
2= (5)
e a frequência é dada por
Tf
1
2==
π
ω, (6)
onde T é o período. A frequência e o comprimento de onda estão
relacionados por
vf =λ , (7)
onde v é a velocidade de propagação do som no meio, dada por
0
∂
∂=
ρ
Pv
. (8)
1 Como a equação (1) é uma equação de onda, sabemos que a onda harmônica da equação (4) é uma solução
de (1). Da mesma forma, uma onda harmônica propagando-se para a esquerda também é solução.
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Vamos agora considerar a onda sonora em termos das suas
representações como onda de pressão e como onda de densidade.
Comecemos com a representação como onda de pressão.
A questão de interesse aqui é: se a onda de deslocamento é a onda
harmônica dada por (4), qual será a expressão para a onda de
pressão correspondente? Sabemos que ela também será uma onda
harmônica, pois fisicamente não faz sentido o comportamento ser
harmônico em termos do deslocamento e não ser harmônico em
termos da pressão. Porém, será que a onda harmônica de pressão
terá a mesma fase que a onda harmônica de deslocamento? E a
amplitude, qual será o seu valor? Estas são as perguntas que
queremos responder a seguir.
Para responder às perguntas acima, vamos obter uma expressão para
a onda sonora harmônica de pressão diretamente da equação (4) para
a onda harmônica de deslocamento. Para tal, lembremos que na aula
passada, deduzimos as seguintes expressões (equações 5 e 12 da
aula 20):
0
=
ρδρδ
d
dPP
(9)
e
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4
),(0 txx
u
∂
∂−= ρδρ
. (10)
Substituindo (10) em (9):
),(0
0 txx
u
d
dPP
∂
∂
−=
ρρδ
. (11)
Lembrando que a velocidade de propagação da onda é (equação 8)
0
∂
∂=
ρ
Pv
,
podemos escrever
),(2
0 txx
uvP
∂
∂−= ρδ
. (12)
Derivando a equação (4) em relação a x:
( )ϕω +−−=∂
∂tkxkU
x
usen
e substituindo em (12) obtemos a expressão desejada:
( ) ( )ϕωδϕωρδ +−≡+−= tkxPtkxkUvP sensen max
2
0 , (13)
onde
kUvP2
0max ρδ = (14)
é a amplitude da onda harmônica de pressão (o valor máximo que a
variação da pressão em relação ao equilíbrio pode atingir).
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Portanto, a onda harmônica de pressão está defasada de π/2 em
relação à onda harmônica de deslocamento (dizemos que elas estão
em quadratura).
Podemos entender fisicamente a origem da defasagem de 90o entre
as ondas de pressão e de deslocamento analisando a figura abaixo.
No gráfico de cima, temos como o deslocamento u varia com a
distância x no instante t = 0 (equação 4). No gráfico de baixo, temos
a variação da pressão δP em função da distância x também para o
instante t = 0 (equação 13).
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Note que a variação da pressão está defasada em relação ao
deslocamento por 90o.
No desenho entre os dois gráficos, temos, na parte de cima, as
posições de algumas partículas do meio no equilíbrio, antes da
ocorrência da onda (bolinhas brancas). Na parte de baixo do
desenho, as mesmas partículas da parte de cima são mostradas
deslocadas conforme o deslocamento determinado pelo gráfico de u
(bolinhas negras). Setas foram desenhadas para ilustrar por quanto
cada partícula foi deslocada.
Observe que as partículas nas posições em que u = 0 não sofrem
qualquer deslocamento e que as partículas nas posições em que u é
máximo ou mínimo sofrem os maiores deslocamentos.
Correspondentemente, vemos pelo gráfico da variação da pressão
que os casos em que u = 0 podem ser: o de máxima pressão (quando
as partículas se deslocam em direção à partícula parada) ou o de
mínima pressão (quando as partículas se afastam da partícula
parada). Já os casos em que u é máximo ou mínimo correspondem
às situações em que a pressão está no valor de equilíbrio, pois o
afastamento das partículas para um lado é compensado pela
aproximação das partículas pelo outro.
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Poderíamos também descrever a onda harmônica em termos da onda
de densidade. Isto, no entanto, é desnecessário, pois pela equação (9)
vemos que as variações de pressão e de densidade são diretamente
proporcionais,
2
2
v
PvP
δδρδρδ =⇒=
,
de maneira que o comportamento da onda de densidade é igual ao da