Sinus i kosinus-prosper

Grafik i tok trigonometrijskihfunkcija: sinus i kosinus

Student: Nirmana Spahic

Grafik i tok trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus – p. 1/12

Podsjetimo se zajedno:

bb



Trigonometrijska kružnica je - kružnica sa centrom ukoordinatnom pocetku i poluprecnika 1.

bb



Trigonometrijska kružnica je - kružnica sa centrom ukoordinatnom pocetku i poluprecnika 1.Na trigonometrijskoj kružnici broju u nacrtaj i oznaci sinusa broju v njegov kosinus.

bb




x

sinu

y

cosv

uvbb




x

sinu

y

cosv

uvbb

Odredi u kojim kvadrantima jefunkcija sinus pozitivna a ukojim je negativna. Isto uraditii za funkciju kosinus!




x

sinu

y

cosv

uvbb

Odredi u kojim kvadrantima jefunkcija sinus pozitivna a ukojim je negativna. Isto uraditii za funkciju kosinus!

++-+

-- +-


Osobine funkcija najbolje posmatramo s njihovih grafova.

bb

b

b



Prije nego što nacrtamo grafik poželjno je napraviti tabeluza cesto korištene uglove kao i ekvivalenciju izmedjustepena i radijana.

bb

b

b




Ikvadr. 0o = 0rad 30o = π

645o = π

460o = π

390o = π

2

sinus 0 1

2

√

2

2

√

3

21

kosinus 1√

3

2

√

2

2

1

20

bb

b

b




Ikvadr. 0o = 0rad 30o = π

645o = π

460o = π

390o = π

2

sinus 0 1

2

√

2

2

√

3

21

kosinus 1√

3

2

√

2

2

1

20

x

y

x

y

(√

22 ,

√2

2 ) (√

22 ,

√2

2 )(−√

22 ,

√2

2 )

(√

22 ,−

√2

2 )

bb

b

b


Posmatrajmo grafike funkcija sinus i kosinus i uocimo njihove osobine:



1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14−4.71−6.28

1

−1

y = cos xy = sin x



1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14−4.71−6.28

1

−1

y = cos xy = sin x

y = sinx y = cosx

• Domen: (−∞,∞) Domen: (−∞,∞)

• Kodomen: [−1, 1] Kodomen: [−1, 1]

• Period: 2π Period: 2π



1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14−4.71−6.28

1

−1

y = cos xy = sin x

y = sinx y = cosx

• Domen: (−∞,∞) Domen: (−∞,∞)



• Amplituda: 1 Amplituda: 1



1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14−4.71−6.28

1

−1

y = cos xy = sin x

y = sinx y = cosx

• Domen: (−∞,∞) Domen: (−∞,∞)




• Neparna: sin(−x) = − sinx Parna: cos(−x) = cos x



1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14−4.71−6.28

1

−1

y = cos xy = sin x

y = sinx y = cosx

• Domen: (−∞,∞) Domen: (−∞,∞)





• Nule funkcije: x = kπ Nule funkcije: x = π

2+ kπ



1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14−4.71−6.28

1

−1

y = cos xy = sin x

y = sinx y = cosx

• Domen: (−∞,∞) Domen: (−∞,∞)






2+ kπ

• Tacke maksimuma: π

2+ 2kπ Tacke maksimuma: 2kπ



1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14−4.71−6.28

1

−1

y = cos xy = sin x

y = sinx y = cosx

• Domen: (−∞,∞) Domen: (−∞,∞)






2+ kπ

• Tacke maksimuma: π

2+ 2kπ Tacke maksimuma: 2kπ

• Tacke minimuma: 3π

2+ 2kπ Tacke minimuma: (2k − 1)π, k ∈ Z


Funkcije sinus i kosinus u opcem slucaju zadane su sa:

y = A sin(Bx + C) + D i y = A cos(Bx + C) + D




Pri rješavanju koristimo sljedecu tabelu:

amplituda period pomak nule f-je t.maksimuma t.minimuma

|A| P = 2π

|b| x0 = −c

bf(x) = 0 f(x) = A f(x) = −A






|A| P = 2π

|b| x0 = −c

bf(x) = 0 f(x) = A f(x) = −A

Amplituda sužava ili proširuje graf po vertikali:






|A| P = 2π

|b| x0 = −c

bf(x) = 0 f(x) = A f(x) = −A

Amplituda sužava ili proširuje graf po vertikali:

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

2

−1

−2

y = 2 sinx

y = sinx


Period sužava ili proširuje graf po horizontali.



1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

−1

y = sin 2xy = sinx



1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

−1

y = sin 2xy = sinx

Pomak je broj za koji treba translatirati sinusoidu duž apscise (x-ose).Ako je pomak pozitivan broj translacija se vrši udesno (u pozitivnomsmjeru) a ako je negativan broj translacija se vrši ulijevo (u negativnomsmjeru).


1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

−1

y = sin(x + π

2) y = sinx

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

−1

y = cos x y = cos(x − π

2)


1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

−1

y = sin(x + π

2) y = sinx

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

−1

y = cos x y = cos(x − π

2)

Na graficima vidimo da je sinx = cos(x − π

2) i cos x = sin(x + π

2).


U zavisnosti od broja D (da li je D< 0 ili D> 0) grafik funkcijey = A sin(Bx + C) translatiramo duž y-ose u pozitivnom ili negativnomsmjeru, tj po vertikali:


U zavisnosti od broja D (da li je D< 0 ili D> 0) grafik funkcijey = A sin(Bx + C) translatiramo duž y-ose u pozitivnom ili negativnomsmjeru, tj po vertikali:

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

2

−1

y = sinx + 1 y = sinx


Zadatak 1:

Data je funkcija f(x) = 2 sin(3x − π

2). Odrediti amplitudu, period,

pomak, nule funkcije, tacke minimuma i tacke maksimuma, popunititablicu i nacrtati funkciju!


Zadatak 1:




amplituda period pomak nule f-je t. max t. min

2 P = 2π

3x0 = π

6−π

6, π

6, π

2, .. −π

3, π

3, π, .. 0, 2π

3, ..


Zadatak 1:





2 P = 2π

3x0 = π

6−π

6, π

6, π

2, .. −π

3, π

3, π, .. 0, 2π

3, ..

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57

1

2

−1

−2

y = 2 sin(3x − π

2)


Zadatak 2:

Data je funkcija f(x) = cos( 2

3x + π




Zadatak 2:


3x + π



amplituda period pomak nule f-je t.max t.min

1 P = 3π x0 = −3π

8

−9π

8, 3π

8, 15π

8

−3π

8, 21π

8

−15π

8, 9π

8


Zadatak 2:


3x + π



amplituda period pomak nule f-je t.max t.min

1 P = 3π x0 = −3π

8

−9π

8, 3π

8, 15π

8

−3π

8, 21π

8

−15π

8, 9π

8

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14−4.71−6.28

1

−1

y = cos( 2

3x + π

4)


Zadatak 3:

Data je funkcija f(x) = − sin(x − π

2) + 1. Odrediti amplitudu, period,

pomak i prepoznati graf!

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

2

−1

a)

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

−1

b)

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

2

−1

c)


Zadatak 3:




1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

2

−1

a)

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

−1

b)

1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

2

−1

c) Amplituda: A = | − 1| = 1

Period: P =2π|b| = 2π

Pomak: x0 =−cb

=π2


Zadatak 3:




1.57 3.14 4.71 6.28−1.57−3.14

1

2

−1

a)


Domaca zadaca:

Odredi amplitudu, period, pomak, nule funkcija, tacke minimuma itacke maksimuma datih funkcija i popuni tablicu. Nacrtaj grafike!

• f(x) = 1

2sin(3x − π)

• f(x) = 2 cos(2x + π)



Sinus i kosinus-prosper

Documents