SINTONIZACION DE CONTROLADORES
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SINTONIZACIN DE CONTROLADORES A lo largo de este trabajo de
investigacin se describirn dos mtodos de ajuste de las ganancias de
un controlador PID, el Mtodo de Oscilacin o Mtodo de Respuesta en
Frecuencia y el Mtodo Basado en la Curva Reaccin o Mtodo de
Respuesta al Escaln. El primero se basa en un lazo de control slo
con ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para
que el sistema empiece a oscilar y al perodo de esas oscilaciones,
podemos establecer las ganancias del controlador PID. El otro mtodo
se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escaln
unitario, se calculan algunos parmetros, como la mxima pendiente de
la curva y el retardo, y con ellos establecemos las ganancias del
controlador PID. Estos mtodos fueron propuestos por Ziegler y
Nichols (Z-N) en 1942, quienes se basaron en la prctica para
desarrollarlos.
*Curva de Reaccin En este mtodo la respuesta de la planta al
aplicar un escaln unitario debe tener el aspecto de una curva en
forma de S (imagen 1), en el caso en que la curva no presente esta
dicha forma, no es posible aplicar el mtodo. Si la planta incluye
integrador(es) o polos dominantes complejos conjugados, la
respuesta al escaln unitario no ser como la requerida y no podr
utilizarse el mtodo.
La curva en forma de S se puede caracterizar con dos parmetros,
el tiempo de atraso L y la constante de tiempo T. El tiempo de
atraso y la constante de tiempo se denominan trazando una lnea
tangente a la curva en forma de S en el punto de inflexin, se
determinan las intersecciones de esta lnea tangente con el eje del
tiempo de transferencia de la lnea c(t)=k.
Muchas plantas, pueden ser descritas satisfactoriamente por el
modelo siguiente
Donde debe ser mayor que cero. Una versin cuantitativa lineal
del modelo presentado puede ser obtenida mediante un experimento a
lazo abierto, utilizando el siguiente procedimiento:
Con la planta a lazo abierto, llevar a la planta a un punto de
operacin normal. Se puede decir que la salida de la planta se
estabiliza en ()=0 para una entrada constante ()=0.
En el instante inicial 0, aplicar un cambio en la entrada
escaln, desde 0 a , es decir, un rango de 10 al 20% de rango
completo.
Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de
operacin. Se puede suponer que la curva que se obtiene es la que se
muestra en la imagen 1. Esta curva se llama curva de reaccin del
proceso.
Los parmetros se calculan mediante las ecuaciones que se
muestran a continuacin, las cuales corresponden a la imagen 2.
El modelo obtenido puede ser utilizado para varios mtodos de
ajuste de controladores PID. Uno de estos tambin fue propuesto por
Ziegler y Nichols. El objetivo de diseo es alcanzar un
amortiguamiento tal que existe la relacin 4:1 para el primer y
segundo pico de la respuesta a una referencia escaln. Los parmetros
sugeridos por Z-N son los que se muestran en la tabla 1.
*Ejemplo de sintonizacin de un sistema mediante el mtodo de la
curva de reaccin de Z-N 1.- Para la imagen 3 mostrada ms adelante,
la cual describe el control nivel para el cual la funcin de
transferencia del proceso G(s) es completamente desconocida. Es
necesario que ante una entrada escaln su tiempo muerto no exceda 1
segundo y que su sobreimpulso sea menor que el valor inicial antes
de cambiar parmetro en lazo abierto. Para realizar el ejercicio
solo se dispone de la grfica mostrada en la imagen 3.
Solucin Para la grfica de la imagen 3 mostrada se demuestra que
cuenta con la forma indicada para poder aplicar el mtodo de la
curva de reaccin de Z-N. Es necesario obtener el punto de inflexin,
ya que es el nico punto donde una recta tangente toda a la curva,
esto con el fin de determinar sus parmetros, es decir, el tiempo de
atraso L y la constante de tiempo T.
Los parmetros que se obtienen son =0.5 =3.4=3.40.5=2.9
*Ahora es posible calcular los parmetros para sintonizar los
controladores, en primera instancia se har para el controlador PID,
el cual arroja los siguientes resultados con base en la tabla
1.
Con la informacin obtenida se disea el controlador, es decir,
(), el cual debe de arrojar una salida mejor que a la de la funcin
de la planta en lazo abierto.
Entonces, con los valores obtenidos y la funcin del controlador
diseada se arroja una salida como la mostrada en la imagen 5. Se
puede observar que se elimin el error en estado estable y que
presenta muy ocas oscilaciones.
*Se necesita observar el comportamiento para cada controlador,
por ello se ha procedido con calcular los parmetros para un
controlador proporcional integral (PI). Los valores son los
siguientes
Para el controlador PI se calcular una nueva funcin, pero esta
vez solo intervendr un integrador y un proporcional, por lo que le
funcin se determina de la siguiente manera
El comportamiento de la salida gracias al controlador PI resulta
ser como en la imagen 6, donde se puede observar que presenta ms
oscilaciones que un controlador PID, pero logra eliminar el error
en estado estable y dar mayor velocidad de respuesta al
sistema.
Imagen 6.- Controlador PI
*Por ltimo nos queda por analizar el comportamiento de la salida
usando un controlador proporcional (P). Para este controlador solo
es necesario calcular la ganancia, ya que es la nica que
interviene, por lo que el resultado es
Entonces podemos determinar de manera muy sencilla la funcin del
controlador a actuar sobre la funcin de la planta. Su
comportamiento se ilustra en la imagen 7, y es de una construccin
fcil, pues como ya se dijo, solo acta la ganancia proporcional. Ver
imagen 7.
Es difcil observar la diferencia entre los controladores, por lo
cual se colocar la imagen 8, demostrando el comportamiento de las
salidas, de todos y cada uno de los tipos de controladores
aplicados a la funcin de transferencia en lazo abierto de la
planta.
A continuacin se coloca una tabla indicando el color y el tipo
de controlador, para un mejor entendimiento. Ver tabla 2.
*Oscilacin Continua En este mtodo, primero se hace Ti = y Td = 0
y usando solamente la accin del controlador proporcional, tal como
muestra en la imagen 9, se incrementa Kp desde cero hasta un valor
critico Kcr en el cual la salida exhiba por primera vez
oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones
sostenidas con periodo para cualquier valor que pueda tomar Kp,
entonces no se puede aplicar este mtodo, se puede observar que
presenta una respuesta que oscila continuamente (imagen 10) para un
valor especfico de su ganancia en lazo abierto, es decir, el
sistema a lazo cerrado tiene una ganancia crtica, la cual
corresponde con el lmite de estabilidad del sistema del lazo
cerrado.
El procedimiento que debe seguirse es el siguiente: Aplicar a la
planta slo control proporcional con ganancia Kp pequea. Aumentar el
valor de Kp hasta que el lazo comience a oscilar. La oscilacin debe
ser lineal y debe detectarse en la salida del controlador (u(t)).
Registrar la ganancia crtica Kp = Kc y el perodo de oscilacin Pc de
u(t), a la salida del controlador. Ajustar los parmetros del
controlador PID de acuerdo a la tabla 3.
Adicionalmente, si se conoce la funcin de transferencia del
proceso los valores de la ganancia y del periodo crticos podrn ser
obtenidos tericamente utilizando el criterio de estabilidad de
Routh-Hurwitz. Al igual que en el primer mtodo, los parmetros
determinados a travs de la tabla servirn como inicio a partir de
los cuales se ajustarn los mismos hasta lograr la respuesta
deseada.
*Ejemplo de sintonizacin de un sistema mediante el mtodo de
oscilacin de Z-N 2.- Considerar el modelo de una planta dado por la
siguiente funcin, la cual se representa con la imagen 11 obtenida
mediante simulink.
Determinar los parmetros de un controlador PID, PI Y P
utilizando el mtodo de oscilacin Z-N. Obtener un grfico de la
respuesta a una entrada escaln unitario y una perturbacin de
entrada escaln unitario. *Primero debemos calcular la ganancia
crtica y la frecuencia crtica . Mediante el mtodo de Routh-Hurwitz
(tabla 4) ya que se identifica la ecuacin caracterstica, despus de
desarrollar el producto del denominador de la funcin del
sistema.
*Al hacer los despejes necesarios y al examinar los coeficientes
de la primera columna en la tabla de Routh, se determina que la
relacin se puede mantener siempre y cuando =48, por lo que el valor
crtico de la ganancia es
Por lo que la ecuacin caracterstica resulta ser
3+62+8+48=0
*Para hallar la frecuencia de la oscilacin sostenida se remplaza
s= jw en la ecuacin caracterstica anterior, tal y como se muestra a
continuacin
Para observar el cambio del comportamiento del controlador, se
hace uso nuevamente de simulink, para graficar la nueva funcin de
transferencia resultante. Donde se muestra que el mtodo ha
proporcionado un punto de partida para una sintona ms fina. Sin
embargo, es necesario verificar que el aumento de accin derivativa
no amplifique ruido excesivamente. La imagen 12 muestra el diagrama
bloques del controlador PID en conjunto con la grfica
resultante.
Por lo que la funcin de transferencia resultante resulta
obtenerse de la siguiente manera
Se puede observar que las oscilaciones resultan ser mayores,
caso contrario al controlador PID, pero la velocidad del sistema es
lenta. *Por ltimo, es importante decir que un controlador solamente
proporcional solamente arroja como resultado un parmetro, el cual
es el siguiente =0.5=0.5(48)=24
Por lo que la funcin de transferencia resultante obtiene la
siguiente forma, y su comportamiento se observa en la imagen 14
Su comportamiento resulta ser muy parecido al del controlador
PID, en cuanto a sus oscilaciones, con la diferencia de que tiene
ms oscilaciones aunque un sobrepaso mximo menor que el PID. Para
observar mejor cada una de las respuestas con su respectivo
controlador, se coloca una grfica con todas las respuestas
controladas. Ver imagen 9.
Para entender cada una de las salidas es importante indicar cual
color corresponde a cada respuesta, por lo que se ha colocado la
tabla 5 indicando el color y la salida respectiva.
Conclusin Existen tres tipos de controladores principales, y se
dicen principales ya que son los ms utilizados en la industria, es
decir, el controlador proporcional integrador derivativo (PID), el
controlador integrador (PI) y el controlador nicamente proporcional
(P). Cada uno de los antes mencionados tiene caractersticas
propias, las cuales resultan ser esenciales para aumentar la
velocidad de respuesta, disminuir el sobrepaso mximo y eliminar el
error en estado estable por mencionar algunas. Los mtodos de
sintonizacin se utilizan principalmente para ajustar los parmetros
de cada controlador a su forma ms ideal, esto es, ajustan la
ganancia proporcional, la constante de tiempo integral y la
constante de tiempo derivativa. En fin, el controlador PID resulta
ser en muchos casos el tipo ms utilizado en la industria debido a
que contiene las caractersticas de todo controlador, el cual
resulta ser mucho mejor cuando se sintonizan sus parmetros para
lograr una salida lo ms favorable posible para una planta.
Referencias [1]Ogata, Katsuhiko. Ingeniera de control moderna.
Cuarta Edicin Madrid, Pearson Educacin, 2003. [2]
http://prof.usb.ve/montbrun/sintonizacion%20controladores%20sep07.pdf
[3]
http://www.eng.newcastle.edu.au/~jhb519/teaching/caut1/Apuntes/PID.pdf