Curso Básico de Controle Regulatório e Sintonia de Controladores PID SENAI/PÓS-GRADUAÇÃO
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ÍNDICE
1. Revisão de Controle em feedback .................................................................................. 4
1.1. Estrutura Básica:..................................................................................................... 4 1.2. Definições:.............................................................................................................. 4 1.3. Revisão de Conceitos: ............................................................................................ 5 1.4. Domínio de Laplace S ............................................................................................ 5 1.5. Domínio Discreto Z.............................................................................................. 11
2. Estratégias de Controle Aplicadas em Projetos............................................................ 16 2.1. Controle simples ................................................................................................... 16 2.2. Controle Antecipatório: ........................................................................................ 16
2.2.1. Controle em Cascata:.................................................................................... 16 2.2.2. Controle Antecipatório Propriamente Dito: ................................................. 17
2.3. Controle Razão: .................................................................................................... 18 2.4. Controle em Override: .......................................................................................... 18 2.5. PID Gap e Banda Morta: ...................................................................................... 20 2.6. PID com compensação de tempo morto (“Smith Predictors”) ............................. 21 2.7. PID Hold............................................................................................................... 23 2.8. Controle em split range ........................................................................................ 23
3. O controlador PID ........................................................................................................ 25 3.1. Controlador Proporcional ..................................................................................... 25 3.2. Controlador Proporcional e Integral ..................................................................... 28 3.3. Controlador Proporcional, Integral e Derivativo.................................................. 32
4. Dinâmica do Processo .................................................................................................. 35 4.1. Simulação Dinâmica............................................................................................. 39
5. Resposta Dinâmica do Processo com o Controlador PID ............................................ 42 6. Sintonia de controladores do tipo PID.......................................................................... 47
6.1. Critério de Estabilidade de Bode.......................................................................... 48 6.2. Método Heurístico do CENPES ........................................................................... 53 6.3. Método heurístico de Ziegler&Nichols, 1942 ...................................................... 53
6.3.1. Curva de Reação do Processo: ..................................................................... 53 6.3.2. Método do Ganho Último ou Ganho Crítico ou Método de Oscilações Contínuas...................................................................................................................... 55
6.4. Método Cohen-Coon ............................................................................................ 65 6.5. Método heurístico 3C ........................................................................................... 66 6.6. Método da Integral do Erro .................................................................................. 67 6.7. Método do Modelo Interno (IMC) ....................................................................... 70 6.8. Método dos relés em malha fechada..................................................................... 74 6.9. Método de tentativas e erros................................................................................. 76 6.10. Método heurístico baseado em simuladores..................................................... 77 6.11. Método heurístico de sintonia de controladores de nível ................................. 79
7. Aspectos Práticos da Malha de Controle...................................................................... 80 8. Estratégias de controle regulatório avançadas.............................................................. 82
8.1. Sintonia de controle em cascata............................................................................ 82 8.2. Sintonia de controle antecipatório ........................................................................ 84
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8.3. Sintonia de controle multivariável........................................................................ 86 8.4. Sintonia de controle não-linear............................................................................. 89
9. Conclusões.................................................................................................................... 90 10. Referências Bibliográficas........................................................................................ 92
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1. Revisão de Controle em feedback Utiliza como principio básico a leitura da variável controlada e sua comparação com o valor de referência (set point) de forma a conduzir a ação do controlador sobre o processo.
1.1. Estrutura Básica:
Figura 1a
1.2. Definições: Variável Controlada: Variável objetivo do controlador Variável Manipulada: Variável a ser manipulada pelo controlador
para obter controle da variável controlada Elemento primário: Sensor de medição Elemento final de controle: Válvula, variador de freqüência. Perturbação: Variável medida que interfere no valor da variável
de controle Algoritmo PID: Algoritmo responsável pela execução da equação
do controlador. Erro: Diferença entre set point e variável
Controlador Planta∑ +
-
Variável Manipulada
Variável Controlada
Set Point
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1.3. Revisão de Conceitos:
1.3.1. A ação do controlador só ocorre após o desvio da variável controlada.
1.3.2. O controle em feedback reduz a variabilidade na variável controlada
a custo de um aumento na variabilidade da variável manipulada.
1.3.3. Modelo de função de transferência Normalmente utilizamos, para representar o modelo do processo ou do controlador, funções de transferência no domínio da freqüência (Laplace, domínio contínuo) ou no domínio discreto (transformada Z).
1.4. Domínio de Laplace S Nesse domínio, a função de transferência pode ser representada por:
Figura 1b
)()()(
sUsYsG =U(s) Y(s)
))(()( 1
ssGLty −= , resposta a um degrau unitário
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Tabela 1a:Tabela de Transformadas de Laplace
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1.4.1. Observações:
i. Podemos obter a função de transferência de um processo a partir da resposta ao degrau. Um sistema de primeira ordem, por exemplo, poderia ser representado como:
θ
σse
sksG −
+1)(
onde k: ganho estático do processo, σ constante de tempo de resposta do processo e θ tempo morto do processo.
ii. Ordem do sistema: É a ordem do denominador ou o número de raízes do denominador (maior potência do denominador).
iii. Pólos do sistema: São as raízes do denominador. Para um sistema estável, devem estar localizadas no lado negativo do eixo
X ( rtAetyrs
AsY =⇒−
= )()( , r<0 para que a exponencial seja
decrescente). iv. Zeros do sistema: São as raízes do numerador. v. A ordem do denominador é sempre maior que a do numerador
pois, caso contrário, o sistema não seria causal (Na natureza, todo sistema físico é causal).
vi. Ganho Estático do Processo: SS
SS
UYGanho
∆∆
= . Pelo teorema do
valor final, ( )( )sUssGtyst
*)(lim)(lim0→∞→
= . Se for conhecida a função
de transferência do processo, facilmente obtemos o ganho estático.
vii. A transformada de Laplace pressupõe que estamos trabalhando com sistemas lineares. Se o sistema não for linear, podemos linearizá-lo em torno do ponto de operação através, por exemplo, da série de Taylor truncada na primeira ordem:
( )000
)()( tttgtgtg
tt
−∂∂
+==
viii. Outra forma de se indicar uma função de processo seria pela notação em freqüência onde:
jws = Nesse caso, ao invés de obtermos uma resposta ao degrau, obteríamos a resposta do processo a freqüência. Um sistema de primeira ordem, por exemplo, pode ser representado como:
1)(
+=
sksG
σ
Substituindo s:
1)(
+=
σjwksG
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( )222222 111
111
1)(
σσ
σσσ
σσ
σ wkwj
wk
wjwk
jwjw
jwksG
+−
+=
+−
=
−−
+=
O módulo de G(s), definido como Ar (razão entre a amplitude de saída e de entrada) , será:
22
2222 1
11
)(σ
σσ w
kwwksGAr
+=+
+==
A fase de G(s) será:
)()())(Re)(Im( σσφ warctgwarctg
jwGjwGarctg −=−==
O diagrama de Bode consiste em plotar módulo e fase da função de transferência em função da freqüência, sendo o módulo representado como dB=20log(Ar):
Figura 1c
No Matlab: sys=tf([num], [den]). No caso de primeira ordem: sys=tf([k], [σ 1]). Em seguida: Bode(sys).
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ix. Sistema com tempo morto: Seja o seguinte sistema simplificado:
Figura 1d
∫∞
−−=⇒−=
=⇒=
0
)0())(()0()(
1)(1)(
stettutyLttuty
ssutu
00
0
)0())(( ststst eeettutyL −∞
−∫ −=
sesuedteetutyL
tttdteettutyL
stststst
sttts
000
0
)'
'0
0
)0(
)(')'())((
0)0())((
−−−
∞−
−∞
−−
===
−=⇒−=
∫
∫
( )s
esYst0−
=
O tempo morto altera a resposta do processo com relação a fase. O ganho crítico do processo se torna maior pois a freqüência crítica acontece mais cedo. Com um ganho crítico maior, o ganho máximo do controlador para manter estabilidade diminui.
t=0 t0
u(s)
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x. Diagrama em blocos de uma malha de controle completa
Figura 1e
Na prática, simplificamos colocando sensor e válvula junto ao bloco de processo. O sensor aparece também no bloco Gd.
Figura 1f A função de transferência do controlador quando em automático (malha fechada) faz parte da nova função de transferência entre set point e variável controlada.
xi. Um controlador com ação apenas proporcional não aumenta a ordem do denominador de G(s) em malha fechada (ou seja, o denominador de Gcl(s) tem a mesma ordem que o denominador de G(s)):
)*1(*
)()(
kpkcskpkc
SSPsy
++=σ
xii. Um controlador com ação integral aumenta a ordem do sistema em malha fechada:
kpkcTisTiskpkc
SSPsy
**
)()(
2 ++=σ
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Um sistema de 2a ordem pode apresentar respostas mais oscilatórias.
1.5. Domínio Discreto Z 1.5.1. Nesse domínio operamos com o operador Z.
Figura 1g
Figura 1h Principio Básico:
Figura 1i
( ) ( )kTfkTttF −= ς)(*
onde
)()()(
zUzYzG =U(z) Y(z)
Retentor H(s)
( )sesH
Ts−−=
1F(t) F*(t) FH(t)
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( )
=⇒=⇒∞
≠⇒
=∫+
−
10
00)( 0
0
dttt
tt
ςς
Função mais comum para o retentor: Integrador com tempo morto:
( )sesH
Ts−−=
1 → ( ) ( ) ( ) ( )TtututHs
es
sHsT
−−=⇒−=−1
Figura 1j
1.5.2. Teorema da Amostragem de Shannon:
“Para poder recuperar todas as características de um sinal através da sua amostragem, a freqüência de amostragem tem que ser no mínimo duas vezes a máxima freqüência presente no sinal.”
Figura 1h - ωS=2*ωmáx
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Figura 1i - ωS<2*ωmáx
1.5.3. Transformada Z:
1.5.3.1. Equivalente a transformada de Laplace para sistemas
discretos.
1.5.3.2. Definição Matemática:
)()())((0
zFzkTftfZk
k ==∑∞
=
−
OBS: Definição similar a transformada de Laplace:
( ) ∫∞
− ==0
)()()( sFdtetftfL st
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1.5.3.3. Tabela de Transformadas:
Tabela 1a
1.5.3.4. Exemplo: Seja a função degrau:
<⇒=≥⇒=
=0001
)(tt
tu
1000 1
11)())((−
∞
=
−∞
=
−∞
=
−
−==×== ∑∑∑ z
zzzkTftuZk
k
k
k
k
k
OBS: Soma de uma PG r
aS
−=
10
1.5.3.5. Efeito do tempo morto:
Vamos imaginar que mT=θ , ou seja, o tempo morto equivale a m vezes o scan do processador.
[ ]∑∑∞
=
−∞
=
− −=−=−00
)()())((k
k
k
k zTmkfzmTkTftfZ θ
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Fazendo k-m=n, vem k=m+n. Portanto:
[ ] [ ] m
mn
n
k
nm zzTnfzTmkftfZ −∞
−=
−∞
=
−− ∑∑ =−=− )()())((0
θ
[ ] )()())((0
zFzzzTnftfZ mm
n
n −−∞
=
− ==− ∑θ
O tempo morto aparece como uma potência de Z, o que facilita pois trabalhamos apenas com polinômios em Z. 1.5.3.6. Teorema do valor final:
Da mesma forma que para as funções de transferência em Laplace, é possível, a partir de uma função de transferência em Z, obter o valor final da variável de saída:
( ) )(1lim)(lim)(lim 1
10zFzssFtf
zst
−
→→∞→−==
1.6. Importância do Controle: Redução da variabilidade do processo
Figura 1L
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2. Estratégias de Controle Aplicadas em Projetos
2.1. Controle simples Controlador que funciona a base de realimentação negativa a partir da medição da variável de processo, conforme visto na revisão de controle.
2.2. Controle Antecipatório: Tem como objetivo antecipar-se à perturbação do processo, evitando desvio na variável controlada.
2.2.1. Controle em Cascata:
Figura 2a
O controlador que manipula a variável de processo é chamado de controlador secundário ou escravo enquanto que o controlador que controla a variável controlada é chamado de controlador primário ou mestre.
FT
FIC
GÁS
LICLT
Malha Secundária ou Escravo
Malha Primária ou Mestre
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2.2.2. Controle Antecipatório Propriamente Dito: Nesse tipo de controle, a ação da perturbação age imediatamente sobre a saída do controlador da variável controlada, dispensando um controle específico para a perturbação (nem sempre a perturbação pode ser controlada em função da variável de controle). Essa ação pode ser feita através da adição ou multiplicação do sinal de saída do controlador da variável controlada.
Figura 2b
Figura 2c
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2.2.2.1. Estrutura básica para configuração do controle antecipatório:
Figura 2d
2.2.3. Os principais cuidados durante a configuração e implementação de controles “feedforward” nos Sistemas Digitais são os seguintes:
Ler e filtrar a variável de perturbação. Enviar para o bloco de “lead-lag” não o valor atual da
perturbação, mas sim a sua variação (normalmente uma saída de variação de um bloco de indicação). Na inexistência deste parâmetro, deve-se criar um algoritmo para determiná-lo a cada ciclo de "scan" do Sistema Digital.
2.3. Controle Razão: Algoritmo PID que mantém constante a razão entre duas variáveis, manipulando uma delas (variável manipulada) em função de outra (variável selvagem ou não controlada):
Função Executada: bias * K PV * K *R = SP 2wild1SP + onde: RSP: Razão desejada PVwild: Variável não controlada SP: Valor de set point para a variável manipulada Veja exemplo na figura 2e.
2.4. Controle em Override: Controle por override é uma estratégia utilizada para se lidar com uma variável controlada sujeita a restrições de processo, a fim de se maximizar
FY 001E
TIC
FY 001D
FY 001C
FY 001B
FY 001A
+
HIC
x DT
FFW Gain
><L/L
FY-001
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a eficiência de uma unidade de processo ou garantir a segurança pessoal e de equipamentos. O controle por override envolve tipicamente uma variável primária e um conjunto de variáveis de restrição, que estão associadas a malhas de controle PID, um seletor de sinais e apenas um elemento final de controle (ou controlador escravo). Os set points das malhas PID de restrição são os limites de controle (alto ou baixo) das variáveis de restrição. A malha PID primária e as malhas PID de restrição enviam seus sinais de saída para o seletor de sinais. Enquanto as variáveis de restrição permanecem dentro de seus limites de controle, a variável primária é controlada e mantida próxima ao seu set point, e as malhas das variáveis de restrição são ignoradas. Se uma variável de restrição se aproxima ou ultrapassa um limite de controle, a saída do controlador correspondente é priorizada pelo seletor de sinais e enviada para o elemento final de controle (ou controlador escravo), e a variável de restrição violada passa a ser a variável controlada. Veja exemplo na figura 2e.
figura 2e
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2.5. PID Gap e Banda Morta: Esse tipo de PID cria uma faixa (banda) onde sua atuação é fraca (PID Gap) ou nula (banda morta). Equação para o PID gap:
GW e if ,k GW
e = k np
nin ≤×
GWe if ,k= k npout ≥ onde: GW: Gap ou Banda kin: Ganho interno do controlador (no caso da banda morta, esse valor será sempre nulo). kout: Ganho fora da banda ou faixa en: erro (PV-SP)
Figura 2f
Outra forma de implementação:
Ganho
Erro
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Figura 2g
2.6. PID com compensação de tempo morto (“Smith Predictors”) O tempo morto ocorre em alguns processos industriais devido, por exemplo,
a tempos de transporte ou tempos associados com análise de composição (analisadores). Um exemplo de processo com tempo morto seria um controle de pressão em uma extremidade de um oleoduto, que atua em uma bomba na outra extremidade. Após uma atuação na bomba, a pressão só começaria a variar após um certo tempo. Este tempo é chamado de tempo morto.
A presença do tempo morto em um processo limita o desempenho do
sistema de controle convencional, pois o controlador não poderá ser ajustado muito rápido, já que deve esperar a resposta de processo. Conseqüentemente, o ganho do controlador deve ser reduzido a um valor abaixo do que poderia ser usado se o tempo morto não estivesse presente, e a resposta do sistema da malha fechada será lenta comparada com uma malha de controle sem tempo morto.
Para melhorar o desempenho de sistemas com tempo morto, devem ser
empregadas estratégias de controle especiais visando compensar este tempo. A técnica do preditor de Smith é a uma das estratégias utilizadas e é baseada em um modelo do processo.
O Algoritmo de PID que possui um modelo de primeira ordem do processo
(ganho estático do processo e um constante de tempo) permitindo que o controlador faça a predição da variável controlada. Muito empregado em processos com um grande tempo morto.
( ) ( ) ( )( ) ( )suesGsysy s*
1** θ−−+= onde: u: saída do controlador PID
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Figura 2h
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )suesGsGesGsy ss **** θθ −− −+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )suesGsGsuesGsy ss **** θθ −− −+=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )suesGsuesGsy ss *
1** θθ −− −+= ( ) ( ) ( )( ) ( )suesGsysy s*
1** θ−−+=
Se o modelo for bom: y* ≈ G*(s).u, onde y* é a PV do controlador, sem tempo morto. Senão, vejamos:
)()()()()()()()()()()( ***** suesGsusGesGsuesGsusGsysy sss θθθ −−− −+=−+= )()()( ** susGsy =
A função G*(s) é normalmente uma primeira ordem. O preditor de Smith é muito sensível a erros no modelo considerado, logo
se deve sintonizar o PID de uma forma robusta. Isto significa que não se deve considerar que esta estratégia eliminou completamente o tempo morto.
y*
yu
+
+
-
+
PID G(s) e-θs
G*(s) e-θ*s
G*(s) Modelo
Modelo
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2.7. PID Hold
O controlador PI por amostragem é usado para aplicações de controle em processos com tempo morto elevado ou quando são usados analisadores de processo baseado em amostragem.
Uma maneira de ajustar controladores PID com ganhos altos em processos com estas características é utilizar um algoritmo PID especial denominado PID-HOLD, no qual existe um parâmetro especificado na sintonia que interrompe a execução do algoritmo durante um certo tempo.
No caso de malhas de controle com analisadores de processo, este tipo de controlador executa uma ação de controle e em seguida espera até o resultado desta ação se manifestar, antes de proceder com uma nova ação. Este tempo de espera é associado à resposta do processo, e deve considerar a estabilização do sistema em um novo regime permanente.
O período completo da ação de controle por amostragem corresponde ao tempo de controle, durante o qual a ação do controlador PI é calculada, mais um tempo no qual a saída fica constante até o final do período, quando irá ser calculada a nova ação de controle.
2.8. Controle em split range O sistema de controle por “split range” é empregado para aplicações onde
existem múltiplos elementos finais de controle (válvulas) e apenas um controlador. No caso do controle por “split range”, diversas variáveis manipuladas são usadas para controlar uma única variável de processo. Um módulo de “split range” distribuí a saída de um controlador para dois ou mais destinos com escalas diferentes. Existirá um bloco para converter a escala do sinal de saída do controlador para a escala de cada destino (válvula ou “set point” de outro controlador).
Atualmente, como o custo de um algoritmo de controle PID é marginal,
antes de se utilizar um controle “split range” deve-se verificar se não é possível colocar dois controladores PID, um para cada válvula. A vantagem do uso de dois controladores é a possibilidade de se ter sintonias diferentes e otimizadas. Outra vantagem é a flexibilidade de se poder atuar na abertura de uma válvula, independente da posição da outra válvula.
Os principais cuidados durante a configuração e implementação de controle
por “split range” nos sistemas digitais são os seguintes:
Quando os destinos são elementos finais de controle, o “split range” (isto é, os blocos conversores) deve ser implementado internamente pelo sistema digital, e não no elemento final de controle;
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Implementar os blocos conversores como estações manuais, de forma que no modo manual, cada válvula possa ser manipulada de forma independente.
O gráfico abaixo mostra um exemplo de aplicação para o turbo expansor.
Figura 2i
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3. O controlador PID O controlador PID é certamente o algoritmo de controle mais tradicional em industrias químicas e petroquímicas. Existem inúmeras referências disponíveis sobre as diversas maneiras de sua implementação [Isermann, 1989], [Morari e Zafiriou, 1989], [Luyben, 1990], etc. Um controlador de processo calcula o erro entre uma variável medida do processo com o seu valor desejado, e em função deste “erro” gera um sinal de controle de forma a eliminar este desvio. Esta função do erro [f(erro)], que produz a saída do controlador é conhecida como “lei de controle”.
Os principais controladores encontrados na prática são os seguintes: Controlador Proporcional (P); Controlador Proporcional e Integral (PI); Controlador Proporcional, Integral e Derivativo (PID).
3.1. Controlador Proporcional O controlador proporcional (P) gera a sua saída proporcionalmente ao erro.
O fator multiplicativo (Kc) é conhecido como o ganho do controlador. A seguir, mostra-se a equação do algoritmo de posição do controlador P:
U(t) = KC * Erro(t) + Valor Inicial Onde valor inicial é o valor da saída no instante da transição do controlador
para o modo automático menos KC*e(0). Com esse valor inicial, a transição do modo manual para o modo automático é bumpless. Se e(0) = 0, a saída do controlador será o próprio valor ajustado pelo operador. Se e(0)≠ 0, a saída do controlador será o valor ajustado pelo operador menos KC*e(0) para evitar que a ação proporcional já atue sobre a válvula nesse instante zero, “assustando” o operador.
Como atualmente a maioria dos controladores são digitais, utiliza-se
normalmente a implementação do algoritmo em velocidade ou incremental, que apresenta a vantagem de não necessitar de inicialização:
∆U(n) = KC * ∆Erro (n)
Esse controlador não necessita de inicialização porque a transição do modo manual para o modo automático é sempre bumpless, senão vejamos:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )101)( −−×=−−×=∆×=∆ eekkekekeknU CCC
Mas e(0)=e(-1). Logo, 0=∆U e ( ) biasU =0 onde bias é o último valor ajustado pelo operador antes da comutação para o modo automático.
A figura 3a mostra a estrutura de um controlador do tipo P. Pode-se observar que quanto maior o ganho, maior será a ação do controlador para um
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mesmo desvio ou erro na variável de processo. Alguns fabricantes de controladores industriais usam a banda proporcional (BP) ao invés do ganho, que é definida como sendo 100% dividido pelo ganho (BP=100/KC). A banda proporcional equivale ao erro que provoca uma variação de 100% na saída do controlador:
eBP
keout 100==∆ → o erro que seja igual a BP fará com que a variação da
saída seja de 100%
PLANTA Saída
MEDIDOR SENSOR
-
SP ∆ + Erro
Kc U
Figura 3a
Em função do fabricante o “erro” do controlador também pode ser definido como SP-PV ou como PV-SP (mais comum em PLC). Além disto, existe normalmente um fator multiplicativo do erro, conhecido como ação do controlador, que permite na prática inverter o cálculo do erro.
Erro (n) = Erro (n) * Ação onde: Ação = 1 ou -1 (mais comum em SDCD) A ação pode ser direta ou reversa. No controlador com ação direta, quando
a variável de processo (PV) aumenta, a saída do controlador também aumenta. No caso de ação reversa quando a variável de processo (PV) aumenta, a saída do controlador diminui. A ação do controlador deve ser escolhida corretamente em função do processo para que o controlador funcione adequadamente.
A ação é função do ganho do processo. Se kc*kp>0, a realimentação é positiva, instabilizando a malha fechada.
O controlador proporcional gera offset, ou seja, não é capaz de eliminar
totalmente o erro, senão vejamos:
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Figura 3b
kkskk
GcGpGcGp
sSPsY
c
c
++=
+=
11)()(
τ
Se for aplicado um degrau no set point:
skkskk
sYs
sSPc
c 11
)(1)( ×++
=⇒=τ
Para encontrarmos o valor de y no tempo tendendo a infinito:
kkkk
kkskk
skkskk
sssYtyc
c
c
c
sc
c
sst +=
++
=×
++
==→→→∞→ 11
lim11
lim)(lim)(lim000 ττ
Valor de erro permanente: 01
11
11
1 ≠+
=+
−+=
+−
kkkkkkkk
kkkk
cc
cc
c
c . y(t) não
alcançará o valor do degrau unitário, gerando offset. Para eliminarmos o erro totalmente, necessitamos da ação integral. Resposta ao degrau unitário de um controlador P puro com três ganhos
distintos: Podemos observar que:
1. Em todos os casos temos offset na variável controlada. 2. O offset diminui com o aumento de Kc. 3. Quando Kc aumenta, a malha fica mais oscilatória (na verdade o que
está acontecendo é que os pólos da função de transferência da malha fechada está se aproximando da parte positiva – “menos negativo”).
Gc=kc Gp = 1+s
kτ
SP(s) Y(s)
+
-
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Figura 3c: Resposta ao degrau unitário de um controlador P
3.2. Controlador Proporcional e Integral O controlador proporcional e Integral (PI) gera a sua saída
proporcionalmente ao erro e a integral do erro. O fator multiplicativo (1/TI) é conhecido como o ganho integral do controlador (ou número de repetições por segundo). O termo (TI) é o tempo integral. Alguns fabricantes preferem que o termo a ser ajustado durante a sintonia seja o tempo integral (TI – tempo da ação integral se igualar à ação proporcional) e outros escolhem o “reset” (repetições por segundo ou por minuto - 1/TI). A seguir esta mostrada a equação do algoritmo de posição do controlador PI não interativo:
U(t) = Kc * Erro(t) + (1/TI) * [ ∑Erro(t)*dt ] + Valor Inicial
O controlador PI posicional também pode ser do tipo interativo, onde, variando o ganho, variamos ação proporcional e integral.
U(t) = Kc * Erro(t) + (Kc/TI) * [ ∑Erro(t)*dt ] + Valor Inicial
Como atualmente a maioria dos controladores são digitais, utiliza-se normalmente a implementação do algoritmo em velocidade (ou incremental),
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que apresenta a vantagem de não necessitar de uma inicialização e permite eliminar a saturação do termo integral (reset windup) de uma maneira mais simples:
∆U(n) = Kc * ∆Erro (n) + (1/TI) * Erro(n) (no caso não interativo)
∆U(n) = Kc * ∆Erro (n) + (Kc/TI) * Erro(n) (no caso interativo)
OBS: )1()()( −−=∆ nununu
∑∑−=
=
=
=
−−−+=∆1
11
)(1)1()(1)()(nk
kc
nk
kc ke
TineKke
TineKnu
)(1)( neTi
eKnu c +∆=∆
O tipo de implementação do algoritmo PI é importante pois influencia a
sintonia do controlador. Um cuidado que deve ser considerado ao se usar o controlador PI é evitar a saturação do mesmo pela ação integral (reset windup).
O que vem a ser o reset windup? Esse problema só acontece nos controladores posicionais.
Pela equação do controlador ( )
++ ∫ dt
deTdedtTi
tekC1 , se o erro for
persistente em um sentido (positivo, por exemplo), o termo da ação integral poderia assumir valores muito altos, ou seja, na memória do computador ficaria armazenado um valor muito acima de “20mA” em digital. Quando o erro mudasse o sentido (negativo), o termo da integral levaria um bom tempo até chegar ao batente máximo da válvula de “20mA” em digital.
O “Anti reset Wind up” procura limitar a ação da integral no batente do valor máximo de saída para a válvula.
Figura 3d
KC
Limitador 4-20 mA
11+sTi
+
+
MV*(s) MV(s)
X(s)
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Para a implementação acima, dois casos podem ser observados: 1. Caso 1 – Caso não saturado: MV*=MV
)()()( sXsEKsMV C +=
)(1
1)()( sMVsT
sEKsMVi
C ++=
[ ] [ ]
[ ] [ ])(11)(
1)(1)()(
)(1)(1)(
sEsT
KsEsTsTK
sMVsTsEKssMVT
sMVsTsEKsTsMV
iC
i
iCiCi
iCi
+=
+=⇒+=
++=+
que é a equação de um PI. 2. Caso 2 – MV saturado → MV* constante
)(1)()(1
1)( ** tMVetXsMVsT
sX Tit
i
−=⇒
+=
−
Para ∞→t , X(t)=MV*(t) que é constante.
Portanto,
)()()()()( * tMVtEKtXtEKtMV CC +=+= onde o último termo está limitado.
O controlador integral é capaz de eliminar o offset, conforme demonstração abaixo:
Figura 3e
kksTsTkk
GcGpGcGp
sSPsY
cii
c
++=
+= 21)(
)(τ
Se for aplicado um degrau no set point:
Gc=sT
k
i
c Gp =
1+sk
τSP(s)
Y(s) +
-
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skksTsTkk
sYs
sSPcii
c 1)(1)( 2 ×++
=⇒=τ
Para encontrarmos o valor de y no tempo tendendo a infinito:
1lim1lim)(lim)(lim 20200=
++
=×
++
==→→→∞→ kksTsT
kkskksTsT
kksssYty
cii
c
scii
c
sst ττ
Portanto, y(t) alcançará o valor do degrau unitário, eliminando o offset. Resposta a um degrau unitário para um controlador P+I: Kc = -0.5
Figura 3f: Resposta ao degrau unitário de um controlador PI
Podemos observar que:
1. Quanto maior o tempo integral, mais suave a resposta. 2. Quanto menor o tempo integral, mais rápida a resposta (maior a
ação integral). 3. Diminuindo o tempo integral, o pólo aproxima-se da parte real
positiva.
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3.3. Controlador Proporcional, Integral e Derivativo O controlador Proporcional, Integral e Derivativo (PID) gera a sua saída
proporcionalmente ao erro, a integral do erro e a derivada do erro. O fator multiplicativo (TD) é conhecido como o tempo derivativo do controlador. A seguir esta mostrada a equação do algoritmo de posição do controlador PID paralelo com implementação não interativo:
U(t) = Kc * Erro(t) + (1/TI) * [∑Erro(t)*dt ] + TD * dErro/dt + Valor Inicial
Muitos fabricantes preferem a implementação do PID série, cuja equação é a seguinte, usando a notação de transformada de Laplace:
)(11 11)( sErro
sTsTsTKsU
ID
DP
+
++
=α
Ação (P+I)(Derivativo com lead/lag)
α: filtro aplicado apenas à ação derivativa. O filtro é função de TD, quanto
maior a ação derivativa, maior o filtro para um mesmo α.
sTD+1 : O termo 1 aparece para não anular a ação do PID para um TD nulo.
Como atualmente a maioria dos controladores são digitais, utiliza-se normalmente a implementação do algoritmo em velocidade (ou incremental), que para o caso do PID paralelo não interativo terá a seguinte equação:
∆U(n) = Kc*∆Erro (n) + (1/TI)*Erro(n)*TA + TD*[Erro(n)-2*Erro(n-1)+Erro(n-2)]/TA
OBS: )1()()( −−=∆ nununu
))2()1(()(1)1())1()(()(1)()(1
11
−−−−−−−−−++=∆ ∑∑−=
=
=
=
neneTkeTi
neKneneTkeTi
neKnu D
nk
kcD
nk
kc
))2()1()1()(()(1)()( −+−−−−++∆=∆ neneneneTneTi
neKnu Dc
))2()1(2)(()(1)()( −+−−++∆=∆ neneneTneTi
neKnu Dc onde TA=1
O termo TA é o tempo de amostragem do controlador. A função de
transferência do processo no domínio discreto é função de TA. Portanto, alterando o TA (scan do SDCD), alteramos a função de transferência e, por conseguinte, a sintonia adequada.
Na implementação do algoritmo PID de alguns fabricantes utiliza-se o
ganho proporcional multiplicando o termo integral e o termo derivativo, e a equação seria (PID paralelo interativo):
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∆U(n) = KC*∆Erro(n) + (KC/TI)*Erro(n) + KC*TD*[Erro(n)-2*Erro(n-1)+Erro(n-2)]/TA
Resposta ao degrau unitário em um controlador PID: Kc = -0.5 Ti = 0.1
Figura 3g: Resposta ao degrau unitário para um controlador PID
Podemos observar que:
1. O modo derivativo reduz as oscilações que são observadas na malha com o controlador PI com os mesmos valores de parâmetros (P e I).
2. Existe pouca diferença quando aumentamos Td, a não ser no começo da curva.
3. Em malhas lentas, não ruidosas, o derivativo estabiliza a malha de controle.
Regra Prática: Na escolha dos parâmetros de um controlador PID, podemos optar pelo uso
do controlador proporcional puro se o offset for tolerado (raro). Se o offset não é
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tolerado (mais comum), utilizamos o PI. Se a resposta do PI for lenta, passamos para o controlador PID (uso dos três parâmetros).
O tipo de implementação do algoritmo PID (interativo ou não, paralelo ou
série) é importante pois influencia a sintonia do controlador [Corripio, 1990]. O PID iterativo tem a característica do ganho proporcional (Kc ) ser o principal fator que controla a resposta ou velocidade da malha. Ainda existem outras variações do algoritmo PID, por exemplo o termo derivativo pode atuar na variável de processo e não no erro como nas equações anteriores. A vantagem seria que qualquer mudança no “set-point” não perturbaria a saída do controlador em função do termo derivativo (rápida variação no erro). Em verdade, esse deve ser o padrão nas configurações de controle. Da mesma forma, existem SDCD’s que permitem que a atuação do ganho proporcional se faça apenas sobre as variações da PV sobre o set point, e não ao contrário. Dessa forma, se ocorrer um degrau no set point, apenas a ação integral atuaria sobre o erro para levar a PV ao valor de referência (set point). Esse tipo de opção, não é muito utilizado.
O algoritmo de velocidade apresenta certas vantagens sobre o de posição: • Não precisa de valor inicial. Ao passar o controle de manual para
automático, o algoritmo de posição requer o valor inicial da variável manipulada, conhecida como “bias”. O algoritmo de velocidade calcula ∆u’s. Portanto, independe da posição da válvula.
• Evita problemas de saturação na ação integral (“Integral wind-up”), que podem na prática gerar sobre-elevação (“overshoot”), e oscilações.
o Como )(1)( neTi
eKnu c +∆=∆ , assim que o erro ficar constante, a
ação integral pára.
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4. Dinâmica do Processo Uma vez projetado o controle, definido o controlador (algoritmo PID, por exemplo), o próximo passo antes da sintonia da malha de controle, é obter uma “idéia” da dinâmica do processo. A dinâmica do processo influência muito a sintonia como será visto a seguir. Alguns métodos de sintonia necessitam de um modelo do processo, sendo que existem duas maneiras de se obter este modelo: • Modelagem do processo em termos de leis físicas (modelo rigoroso ou
fenomenológico);
• Modelagem baseada em padrões de redes neurais
• Identificação do sistema.
A modelagem fenomenológica [Seborg et al., 1989], usa as leis físicas para descrever os estados do sistema. O problema passa a ser encontrar estes estados que são caracterizados pelas variáveis de estado que descrevem a quantidade de massa, energia e momento linear do sistema. As variáveis típicas que são escolhidas são: posições e velocidades (sistemas mecânicos), voltagens e correntes (sistemas elétricos), níveis e vazões (sistemas hidráulicos), e temperaturas, pressões e concentrações (sistemas térmicos e de reação). A relação entre os estados é determinada usando-se balanços (princípios de conservação) de momento linear, massa, energia e também outras equações constitutivas.
A vantagem dos modelos físicos é que eles podem dar informações pormenorizadas do sistema dependendo do grau de descrição dos fenômenos físicos, e que os seus parâmetros têm interpretações físicas. A desvantagem é que pode ser difícil construir modelos físicos dinâmicos de processo complexos, como certas colunas de destilações e certos conversores, ou, então, geram-se modelos extremamente complexos e de pouco valor prático, pois não se conhecem com precisão os parâmetros destes modelos.
A modelagem baseada em padrões de redes neurais treina, a partir de um banco de dados da planta em questão, uma rede neural. Essa rede neural, uma vez treinada, é validada a partir de outro banco de dados da mesma planta, coletado com esse objetivo. Após a validação, a rede é capaz de “simular” a resposta do processo às diversas variações na entrada. A identificação de sistemas tem por objetivos construir modelos matemáticos de processos dinâmicos a partir de dados experimentais observados na planta. Ela inclui os seguintes passos:
• planejamento experimental;
• seleção da estrutura do modelo (linear ou não);
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• estimação dos parâmetros do modelo;
• validação do modelo.
Na prática o procedimento para a identificação é iterativo.
A seguir iremos estudar a obtenção da dinâmica de um processo simples, de forma a exemplificar tanto a modelagem fenomenológica, quanto à identificação. O sistema escolhido será um trocador de calor de casco e tubo, que está mostrado na figura 4a. Pelos tubos passa um fluido “A”, com uma vazão não controlada (MA1), e com uma temperatura de entrada TA1. O objetivo é controlar a temperatura de saída (TA2), manipulando a vazão do fluido do casco “B”, que possui uma temperatura de entrada TB1 .
TA1MA1
TA2
TB1MB1
TB2
TICA - FrioB - Quente
Figura 4a
Primeiramente, iremos fazer uma modelagem fenomenológica deste trocador de calor, de maneira a elaborar um simulador dinâmico desta parte do processo. Obviamente, existem vários graus de precisão na modelagem mas o importante é não aumentar a complexidade do modelo se o problema a ser tratado não necessitar de uma grande complexidade. Isto é, o modelo deve ser o mais simples possível, para resolver o problema em questão. Por exemplo, no caso acima o modelo mais simples seria:
• Considerar que a quantidade de calor (Q) fornecida pelo fluido quente “B”, é proporcional a abertura da válvula. (Q = K * saída do TIC).
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• Considerar que as dinâmicas da válvula e da troca térmica podem ser agrupadas em uma única função de transferência.
• Considerar que a temperatura de saída do fluido frio “A”, que se deseja controlar, pode ser calculada por:
TA2 = TA1 + [ Q / ( MA1 * CP ) ] TCpmQ ∆=⇒.
Logo, desta maneira simplificada, o modelo dinâmico do trocador de calor seria o seguinte:
TIC Q = K * U
TA2 = TA1 + Q/MA1*CP
U
TA1 , MA1 , CP , K
TA2 - Temperatura na saída do trocador de calor
Figura 3b
As premissas deste modelo dinâmico nem sempre são válidas. Por exemplo, a influência das temperaturas do fluido frio na troca de calor nem sempre podem ser desconsideradas, a dinâmica de troca de calor em alguns casos necessita ser considerada de forma mais rigorosa, etc. Entretanto, este modelo será usado com o objetivo didático de se elaborar um simulador dinâmico. Outro exemplo simples para modelagem fenomenológica seria o controle de nível em um tanque onde não ocorre reação: Pelo Balanço de Massa: Acumulado = entra – sai
se qqdtdm ρρ −=
HAVm ρρ ==
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( )sese qqAdt
dHqqdt
dHA −=⇒−=1ρρρ
Supondo que KHqs =
ee qKHdt
dHAKHqdt
dHA =+⇒−=
Levando para o domínio da freqüência (Laplace):
( ) )(1
1)()()()()()()( sqsK
AK
KAssqsHsqKAssHsqsKHsAsH e
eee
+=
+=⇒=+⇒=+
)(1
)( sqsK
sH ep
+=τ
Figura 4c
qe
qs
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4.1. Simulação Dinâmica Existem várias possibilidades de se elaborar um programa de simulação
dinâmica, desde o uso de linguagens padrões de programação, como o C++, o FORTRAN, etc, como através de ambientes particulares de programação, como o MATLAB, o SIMNON, etc. Neste curso nós iremos usar o MATLAB.
A implementação do modelo do trocador de calor em um simulador dinâmico no MATLAB seria:
Figura 4d
De posse de um simulador dinâmico nós podemos testar as várias possibilidades de sintonia de um controlador. A vantagem do simulador é permitir uma maior flexibilidade nos teste, e nas perturbações do sistema de controle, já que estas análises não afetam a produção. A desvantagem é o número de parâmetros que precisam ser avaliados (Ex: CP do fluido, fator K, etc.), e a escolha e validação do modelo utilizado.
Como já foi dito, a outra possibilidade de se obter a dinâmica do processo é através da identificação. Neste caso, por exemplo, seria solicitado ao operador
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de colocar o controlador TIC em manual, e variar a saída do mesmo de ± 5 ou 10%. Seria registrada a evolução da temperatura (que é a PV do controlador). Esta curva permitiria de obter o ganho, a constante de tempo (tempo para atingirmos 63,2% do valor da temperatura de estabilização) e o tempo morto do controlador (tempo para que o processo, após degrau na saída, passe a variar a variável controlada que nesse exemplo é a temperatura).
Figura 4e- Identificação da dinâmica do processo (Kp=0.4 , Tp≅10).
Vejamos a identificação da dinâmica encontrada nesse degrau aplicado ao controlador de temperatura (supondo range do TIC de 0 a 500C):
4,010
10050
4042
=×
−
=Pk
( ) sP 103,41402632,0 ⇒≈=+×⇒τ
Em muitos trabalhos tenta-se modelar a dinâmica do processo como sendo
um tempo morto mais um modelo de primeira ordem (ganho mais constante de tempo). O modelo de primeira ordem é o seguinte:
1)()()()()(
+=⇒=+⇒=+
sK
sUsTsKUsTssTKUT
dtdT
τττ
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A solução no tempo para um degrau : T(t) = K*(1-e-t/τ)
Os parâmetros a serem identificados são os seguintes, no caso deste
modelo:
• ganho do processo : K = ∆T/∆U
• constante de tempo é tempo necessário para a temperatura atingir 63%
do seu valor final.
• tempo morto é o tempo a partir do degrau que a temperatura começa a
variar.
e-TMs K
τ s + 1
Tempo Morto PrimeiraOrdem
Figura 4f - Modelo identificado do processo.
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5. Resposta Dinâmica do Processo com o Controlador PID Uma vez obtido o modelo da dinâmica do processo, pode-se elaborar um simulador dinâmico para avaliar o desempenho e obter a sintonia ideal do controlador. Segue o exemplo de um simulador dinâmico com controlador.
Figura 5a Primeiramente iremos obter a sintonia do controlador tipo P. A figura 5b mostra o desempenho do controlador para uma mudança no “set-point”. Como já visto, pode-se observar que este tipo de controlador não consegue eliminar o erro, isto é, existe sempre um “off-set”. Quanto maior for o ganho, menor será este desvio em regime permanente, entretanto a malha tenderá a instabilizar.
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Figura 5b - Desempenho do controlador P (Kc=-10 /-20 /-30).
Iremos agora analisar a sintonia do controlador tipo PI. A figura 5c mostra o desempenho do controlador PI para uma mudança no “set-point”. Pode-se observar que este tipo de controlador consegue eliminar o erro, isto é, não existe um “off-set”. Quanto maior for o ganho e quanto menor o tempo integral, mais rápida será a resposta do controlador mas a malha tenderá a instabilizar.
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Figura 5c - Desempenho do controlador PI (Kc=-10, Ti=5 s ).
A figura 5d mostra o desempenho do controlador PID para uma mudança no “set-point”. Pode-se observar que com a inclusão do termo derivativo (Td=5 s) a resposta da malha ficou menos nervosa (comparar a figura 5c com a 5d). Em geral o termo derivativo tende a deixar a malha mais estável, desde que a variável de processo não seja muito ruidosa. Quanto maior for o tempo derivativo, a resposta tenderá a ser mais rápida para processos lentos, pois o controlador tenderá a se antecipar.
A ação derivativa é utilizada normalmente em variáveis lentas (temperatura e nível. Em alguns casos, controladores de pressão com grande capacitância). Alguns SDCD’s permitem configuração de um filtro dedicado apenas ao termo derivativo.
Nunca utilizar ação derivativa em medições ruidosas. E, quando utilizar, valores muito próximos do scan do SDCD só amplificam ruídos.
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Figura 5d - Desempenho do controlador PID (Kc=-10, Ti=5 s, Td=5 s).
A tabela 5a mostra um resumo das aplicações típicas dos algoritmos do tipo
PID na industria.
Controlador Características Aplicação
P Tem desvio do SP em regime Muito pouco usado.
PI Não tem desvio do SP em
regime
Sistema mais “nervoso”
Controles de vazão, nível e
pressão.
PID Antecipa a resposta e mais
estável em malhas lentas, sem
ruídos, e sem grandes tempos
mortos.
Controles de composição,
temperatura, nível e pressão
com grande capacitância.
Tabela 5a
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A tabela 5b mostra alguns valores usuais para a sintonia dos controladores conforme o processo:
Processo Ganho Integral (rep/min) Derivativo (min)
Pressão,
Vazão
O,2 a 1 2 a 5 0
Temperatura,
Nível, Pressão
com
capacitância
1 a 5 0,1 a 0,005 0,5 a 2
Tabela 5b
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6. Sintonia de controladores do tipo PID
Como já foi dito, depois de definido o controlador e obtida a dinâmica do processo, o próximo passo é definir o critério de desempenho desejado para a malha. Obviamente, o primeiro e principal critério é a estabilidade da malha.
A sintonia de um controlador é a escolha dos parâmetros KC, Ti e Td. Uma vez em malha fechada, o controlador afeta a estabilidade dessa malha.
Poderíamos ir arbitrando valores para kc, Ti e Td até obtermos valores de performances adequadas (aceitáveis). No entanto, existem métodos direcionados para se atingir esses resultados, embora terminemos, de uma forma ou de outra, fazendo pequenos ajustes no método tentativa e erro.
A figura 6a, a seguir, mostra uma resposta dinâmica desejada para uma variável.
0 500 1000 1500 2000 25000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6 A C
0 500 1000 1500 2000 25000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Resposta do sistemaValor de referência
B
Figura 6a A seguir, estão listados alguns critérios de desempenho que podem ser usados para a sintonia de controladores do tipo PID:
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48
• Desvio do “set-point” mínimo;
• Sobrevalor (“overshoot”, que é igual a A/B) mínimo;
• Razão de declínio ou decaimento, que é igual a C/A, mínima.
• Tempo de ascensão (TA) mínimo.
• Tempo de assentamento ou estabilização (desvio < 5%) mínimo.
• Erro Integral
o ISE – Integral Square Error
o IAE – Integral Absolute Error
o ITAE – Integral Time Absolute Error
o ITSE– Integral Time Square Error
• Variabilidade - Corresponde a uma avaliação de quão próximo a variável controlada se mantém do valor de referência, independentemente de perturbações aleatórias. Ela é uma medida estatística da variação ou dispersão da variável controlada com respeito ao valor de referência.
• Margens de ganho e de fase
• Índice de Harris (comparação com o controlador de mínima variância – Desvio
padrão da MV e da PV)
• Magnitude da variável controlada para uma perturbação senoidal
Obviamente, nem todos os critérios podem ser satisfeitos simultaneamente. Logo, na prática, deve existir uma solução de compromisso.
6.1. Critério de Estabilidade de Bode Vejamos o que diz o critério de estabilidade de Bode (análise de resposta em freqüência):
“Na freqüência crítica da malha fechada, o produto das razoes de amplitudes dos elementos internos da malha deve ser menor que 1”.
1)()( <× jwGpjwGc
A freqüência crítica é a menor freqüência onde a soma dos atrasos de fase
das componentes da malha é igual a -1800.
( ) ( ) 0180)()( −=+ ωφωφ jGpjGc
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49
onde
ℜ
=)()(Im
ωωφ
jGjGarctg
Exemplo:
Seja um sistema de 1a ordem com tempo morto: ( )1+
=−
sek
sGpp
sp
τ
θ
e um
controlador P onde Gc = kc.
( )1
)()cos(1
)(+
−=
+=
−
ωτωθωθ
ωτω
ωθ
jjsenk
jek
jGpp
p
p
jp
221)(
ωτω
p
pkjGp
+= ⇒ o tempo morto não altera o módulo da função de
transferência do processo.
( ))()
)cos()((
)1())()cos((
)( ωτωθωθ
ωτφωθωθφ
ωφ pp
p arctgsenarctgj
jsenkjp −−=
+
−=
)()( ωτωθωφ parctgjp −−= ⇒ o tempo morto altera a fase da função de transferência do processo.
0)0()( ==Ck
arctgjc ωφ
Na freqüência crítica:
( ) 180)()( −=−−=+ ωτωθωφωφ parctgjcjp
O ganho do controlador que corresponde ao limite da estabilidade:
1)()( =× jwGpjwGc
11
)()(22=
+=×
ωτωω
p
pckkjGpjGc
pc k
k p
221 ωτ+= ⇒ esse kc corresponde ao limite de estabilidade da malha
fechada. Margem de ganho (MG): Corresponde a uma margem de segurança em
relação ao kc de limite de estabilidade. Margem de fase (MF): Corresponde a uma margem de segurança em
relação a freqüência crítica.
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50
MFjcjp +−=+ 180)()( ϖφϖφ
Exemplo do uso da margem de fase para cálculo de kc e Ti: Seja a seguinte função de transferência de um
processo: ( )( )( )131211)(
+++=
ssssGp e seja o seguinte controlador PI:
( )TisTisk
sGc c 1)(
+= .
Na freqüência crítica:
180)()( −=+ cc jcjp ωφωφ
( ) ( ) ( ) 900
)1
( −=
−=
+= Tiarctg
TiarctgTiarctg
TijTijk
cc cc
cc
cc ωω
ωωω
φφ ⇒ a
freqüência crítica depende de Ti.
( )( )( ) )3()2()(13121
1)( cccccc
arctgarctgarctgjjj
jp ωωωωωω
ωφ −−−=+++
=
180)()( −=+ cc jcjp ωφωφ
( ) 18090)3()2()( −=−+−−− Tiarctgarctgarctgarctg cccc ωωωω
Se escolhermos um Ti de 2 minutos:
( ) 180902)3()2()( −=−+−−− cccc arctgarctgarctgarctg ωωωω
min/5774,0 radc =ω
Próximo passo: Determinar kc para uma dada margem de ganho:
1)()( =× jwGpjwGc
( ) ( ) ( )c
cc
c
cc
c
cc kjjk
TijTijkjwGc
ωω
ωω
ωω
214
2121)(
2 +=
+=
+=
( )( )( ) 222 91411
113121
1)(cccccc
c jjjjGp
ωωωωωωω
+++=
+++=
( )1
91411
12
14222
2
=+++
×+
cccc
cck
ωωωωω
Substituindo o ωc calculado, vem:
666,2=ck .
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51
Se MG = 0,5 : 333,15,0666,2 =×=ck
Aplicando um degrau a esse modelo controlador-processo obtido:
Figura 6b: Resposta ao degrau unitário utilizando critério da margem de
ganho A figura 6b também mostra uma margem de ganho de apenas 0,9 onde observamos a proximidade com a instabilidade gerada no processo. Poderíamos, também, ao invés de definir uma margem no ganho, escolher uma margem na fase. Para uma margem de fase de 300, temos:
15030180)()( −=+−=+ ϖφϖφ jcjp
( ) 15090)3()2()( −=−+−−− Tiarctgarctgarctgarctg ϖϖϖϖ
Para um Ti de 2 minutos:
( ) 150902)3()2()( −=−+−−− ϖϖϖϖ arctgarctgarctgarctg
min/309,0 rad=ϖ
Próximo passo: Determinar kc para essa margem de fase:
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52
1)()( =× jwGpjwGc
( )1
91411
12
14222
2
=+++
×+
ϖϖϖϖϖck
Substituindo o ϖ calculado, vem:
8819,0=ck .
Gerando um degrau para esse valor:
Figura 6c: Resposta a um degrau unitário com margem de fase de 300
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53
6.2. Método Heurístico do CENPES O método heurístico do CENPES baseia-se no cálculo do ganho crítico e
com o uso de margem de fase através de um tempo de integral mais longo visto que esse tempo baseia-se no tempo de estabilização do processo à resposta ao degrau.
Se utilizarmos um controlador PI, temos que a fase do controlador é dada pela equação abaixo:
( ) ( ) ( ) 900
)1
( −=
−=
+= Tiarctg
TiarctgTiarctg
TijTijk
cc cc
cc
cc ωω
ωωω
φφ
Se utilizarmos um Ti longo, estamos aumentando a margem de fase, garantindo a estabilidade do processo com controlador com o valor do ganho crítico.
Nesse método, o ganho do controlador é o inverso do ganho do processo. O tempo de integral é o tempo de estabilização a perturbação imposta na saída do controlador.
Normalmente pode se fazer necessário um ajuste no tempo de integral, reduzindo-a.
6.3. Método heurístico de Ziegler&Nichols, 1942 Supondo que o processo possui uma entrada e uma saída, e que a dinâmica pode ser modelada por um tempo morto mais uma primeira ordem (KP, τP, TM), esse método propõe uma tabela para a sintonia do controlador do tipo PID, usando como critério de desempenho a razão de declínio igual a ¼ (C/A na figura 6d, que costuma ser agressiva para os nossos processos).
6.3.1. Curva de Reação do Processo: Sua aplicação acontece apenas em sistemas auto-regulados (não
integradores). O método heurístico de Ziegler&Nichols procurou uma resposta ótima do controlador para uma perturbação na malha (problema regulatório e não servo, ou seja, perturbações alterando o valor da PV em relação ao set point e não para uma mudança no “set-point”).
O procedimento de levantamento da curva de reação do processo é o seguinte:
6.3.1.1. Passar o controlador para o modo manual 6.3.1.2. Esperar o processo estabilizar 6.3.1.3. Variar a posição da válvula em 5%, por exemplo 6.3.1.4. Verificar o ganho do processo (variação da PV após
estabilização (em %) pela variação da saída), Kp. 6.3.1.5. Verificar inclinação da reta tangente ao ponto de inflexão da
curva de resposta do processo 6.3.1.6. Verificar o tempo morto (TM), tempo que o processo leva para
começar a responder à perturbação na entrada.
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54
Degrau aplicado ∆MV Resposta a degrau Ponto de inflexão ∆PV
S
TM τp
0 1 2 3 4 5 6 7 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo t (seg)
b(t)
Saída do processo b(t) Valor de referência r(t)
Figura 6d
( )( )%%
MVPVKp
∆∆
=
tgSPV
p∆
=τ
A tabela 6a quantifica os valores propostos de sintonia, conforme os valores
obtidos na identificação do processo em malha aberta (controlador em manual):
Controlador KC TI TD
P τP / (KP*TM)
PI 0.9*τP / (KP*TM) 3*TM
PID 1.2*τP / (KP*TM) 2*TM 0.5*TM
Tabela 6a – Sintonia em malha aberta segundo [Ziegler&Nichols, 1942] – Método da Curva de Reação do processo, onde τP é a constante de tempo do processo,
KP é o ganho do processo e TM é o tempo morto.
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55
6.3.2. Método do Ganho Último ou Ganho Crítico ou Método de Oscilações Contínuas
Caso o processo seja instável em malha aberta (uma malha integradora,
por exemplo), [Ziegler&Nichols, 1942] sugerem um método de sintonia em malha fechada. Deve-se aumentar o ganho do controlador proporcional (só o termo P ativo, ficando as ações integral e derivativa anuladas) até obter uma resposta oscilatória com amplitude constante. Neste ponto determina-se o ganho último ou ganho crítico (KU) e o período de oscilação (PU). A tabela 6b mostra a sintonia proposta em função desses valores.
Controlador KC TI TD
P 0.5 * KU
PI KU/2.2 PU/1.2
PID KU/1.7 PU/2 PU/8
Tabela 6b - Sintonia segundo Ziegler&Nichols pelo método de oscilações contínuas.
Utilizando o modelo do processo anterior, vejamos como se comporta essa
sintonia:
( )( )( )131211)(
+++=
ssssGp
Período último:
( )( )( ) 18013121
1−=
+++ sss
φ
( )( )( ) 180)3()2()(13121
1)( −=−−−=+++
= uuuuuu
arctgarctgarctgjjj
j ωωωωωω
ωφ
min/1 radc =ω
Portanto:
πωπ 22==
u
Pu
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56
O ganho último será:
( )( )( ) 222 91411
113121
1)(uuuuuu
u jjjjGp
ωωωωωωω
+++=
+++=
222
222
91411
91411
11
uuu
uuu
uk ωωω
ωωω
+++=
+++
=
10=uk
Proposta de Z&N para um controlador PI:
54,42,2
10==ck
236,52,1
2==
πTi min
Proposta de Z&N para um controlador PID:
88,57,1
10==ck
416,32
2==
πTi min
7854,08
2==
πTd
Vejamos a performance para cada controlador proposto:
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57
Figura 6e
A sintonia proposta pelo método de Ziegler&Nichols serve como referência
inicial mas pode instabilizar algumas malhas. Isto é função dos erros de modelagem (processo é geralmente MIMO), do PID analógico utilizado no trabalho, do critério de razão de declínio igual a ¼ que é rigoroso em alguns casos, etc. Logo, sugere-se inicialmente diminuir os ganhos propostos no trabalho de Ziegler&Nichols e ir aumentando, posteriormente, estes ganhos observando-se o comportamento do processo.
Análise da sintonia Z&N em malha aberta no exemplo do trocador: No caso do nosso exemplo anterior do simulador do trocador de calor, nós
identificamos uma dinâmica do processo com KP=0.4 (normalizando de 0-50ºC), TM=1 s, e τP=10 s. Logo pelo método de Z&N a sintonia do PID seria KC=30, TI=2 s, TD=0.5.
3014,0
102,12,1=
××
==TMk
kP
PC
τ
22 == TMTi
5,05,0 == TMTd
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58
A figura 6f mostra que esta sintonia instabiliza o sistema.
Figura 6f- Sintonia pelo método de Z&N.
A figura 6g mostra o desempenho de uma nova sintonia, utilizando-se um fator de folga “f” de 50% (f=2), na sintonia proposta pelo método de Z&N. Neste caso, os ganhos do controlador (KC=KC
Z&N/f, TI=TIZ&N*f, TD=TD
Z&N/f) serão KC=15, TI=4 s, TD=0.25. Pode-se observar que o sistema em malha fechada ficou estável.
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59
Figura 6g - Desempenho do PID com KC=15, TI=4 s, TD=0.25 (50% do Z&N).
A figura 6h mostra o desempenho da sintonia anterior (figura 6g), quando a vazão de carga do sistema é reduzida instantaneamente, no tempo igual a 200 segundos em 50.0%. Pode-se observar que a não-linearidade do sistema, instabiliza o controle após esta redução na carga.
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60
Figura 6h - No tempo 200s a carga é reduzida em 50%
Para estudar um outro aspecto da sintonia de controladores PID, vamos
supor um processo multivariável de uma coluna de destilação [Wood e Berry, 1973]. As variáveis manipuladas são a vazão de refluxo e a vazão do “reboiler”, e as controladas são as composições de topo e fundo (Xd e Xb). A figura 6i mostra o sistema simulado no SIMULINK / MATLAB.
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61
Figura 6i – Modelo dinâmico de uma coluna de destilação [Wood e Berry, 1973]
A figura 6j mostra a dinâmica (curva de reação do processo após um degrau na variável manipulada) da malha (Composição do destilado (Xd) x vazão de Refluxo) da coluna de destilação [Wood e Berry, 1973]. Baseado neste modelo (KP=127.4, TP=20m, TM=1m), a sintonia segundo Z&N será KC=0.188, TI=2 s, TD=0.5. Esta sintonia proposta por Z&N instabiliza o processo. A figura 6k mostra o desempenho do controle a uma mudança no “set-point” da composição do topo da coluna quando se usa um fator de folga de 50% da sintonia proposta por Z&N, e quando o controle de fundo esta em manual. A figura 6L mostra o desempenho da malha de composição do fundo (Xb).
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62
Figura 6j - Dinâmica da coluna de destilação (Xd x Refluxo)
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63
Figura 6k – Desempenho do controle de topo após uma mudança no SP com fator de folga de 50% em relação a sintonia proposta por Z&N.
Figura 6L – Desempenho do controle de fundo da coluna.
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64
A figura 6m mostra o desempenho da malha de topo da torre, com a mesma sintonia da figura 6k, mas desta vez com o controlador de fundo em automático. Pode-se observar que o sistema ficou instável.
Este exemplo mostra o segundo grande desafio da sintonia de controladores que é a interação entre malhas de controle que ocorre em sistemas multivariáveis.
Figura 6m – Sistema instável em função da interação entre malhas.
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65
6.4. Método Cohen-Coon
Este método é aplicável para o seguinte modelo de processo+elemento final de controle+ medidor:
τθ
⋅+
⋅⋅=
s1
s-eKG(s)
Mostram-se as relações deste método na tabela 6c (COHEN& COON, 1953).
Controlador CK IT DT
P
+⋅
31
K1
θτ --- ---
PI
+
⋅⋅
1219,0
K1
θτ
τ
τθ
θ
θ⋅
+
+⋅
209
103 ---
PD
+
⋅⋅
6125,1
K1
θτ ---
τ
τθ
θ
θ⋅
+
−⋅
322
32
PID
+
⋅⋅
⋅41
34
K1
θτ
τ
τθ
θ
θ⋅
+
⋅+
813
632
τθ
θ⋅
+
⋅211
4
Tabela 6c: Ajustes propostos pelo método de Cohen-Coon
Este método foi concebido para também prover taxa de decaimento de ¼.
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66
6.5. Método heurístico 3C Este método é baseado no trabalho de Cohen-Coon, mas onde se acrescentam outros critérios (por exemplo, área da resposta de controle mínima) além da razão de declínio igual a ¼. Isto é possível em função do grau de liberdade do controlador PID (3 parâmetros a serem ajustados). A tabela 6d a seguir mostra a sintonia sugerida por este método. Este método também supõe que a dinâmica do processo pode ser adequadamente representada por um modelo de primeira ordem ( KP, τP ), em série com um tempo morto (TM). Controlador KC TI TD
P 1.208(TM/τP)-0.956 KP
PI 0.928(TM/τP)-0.946 KP
0.928τP (TM/τP)0.583
PID 1.370(TM/τP)-0.950 KP
0.740τP (TM/τP)0.738 0.365τP (TM/τP)0.950
Tabela 6d - Sintonia segundo o método 3C [Smith e Murrill, 1966].
No caso do nosso exemplo anterior do simulador do trocador de calor, a sintonia proposta por este método seria KC=30.5, TI=1.35 s, TD=0.4 que é mais nervosa do que a proposta por Z&N, e também instabiliza a malha.
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67
6.6. Método da Integral do Erro
Um enfoque alternativo é desenvolver relações para sintonia dos controladores baseadas em um índice de desempenho que considere a resposta inteira em malha fechada. Foram desenvolvidas relações de sintonia para controladores PID que minimizam os seguintes critérios de erro integrado: IAE, ISE e ITAE.
Relembrando as definições de IAE, ISE e ITAE:
IAE = Integral Absoluta do Erro: ∫∞
=0
)( dtteIAE
ISE = Integral do Erro ao Quadrado: ∫∞
=0
2 )( dtteISE
ITAE = Integral Absoluta do Erro ponderado no Tempo: ∫∞
×=0
)( dttetITAE →
pondera mais os erros permanentes, desprezando o erro inicial. Essas relações de sintonia são aplicáveis a modelos simples de processos
e a mudanças na carga (ação regulatória) ou no valor desejado (ação servomecanismo). Em geral, o critério ITAE é o preferido por resultar no ajuste mais conservativo, enquanto ISE o menos conservativo.
Os ajustes dos parâmetros do controlador PID com base nos critérios de
erro integrado são mostrados a seguir [LOPEZ et al., 1967], considerando-se as seguintes hipóteses:
o modelo simplificado do processo corresponde a um atraso de primeira ordem mais um tempo morto;
o controlador PID utiliza o seguinte algoritmo: ( )[ ]sTsT11K)s(G DICC ⋅+⋅+⋅= → controlador interativo
os ajustes do controlador são diferentes, dependendo do tipo de perturbação considerada: variação no valor desejado (set point) ou na carga O método considera que o principal parâmetro que representa a dinâmica
do processo e que deve ser usado para a obtenção da sintonia do controlador PID é a razão entre o tempo morto e a constante de tempo do processo (TM/τP).
Neste método, uma vez definido o critério (IAE, ISE ou ITAE), obtém-se as constantes A e B (tabela 6e e 6f a seguir), que são usadas para obter a sintonia do controlador PID:
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68
B
PC
TMkAk
=τ
DTMDCTi
+=τ
τ FTMETd
=ττ
Técnica Modo A B C D E F IAE P 0,9023 -0,985 ------ ------ ------ ------ ISE P 1,411 -0,917 ------ ------ ------ ------
ITAE P 0,4897 -1,085 ------ ------ ------ ------ IAE PI 0,984 -0,986 0,608 -0,707 ------ ------ ISE PI 1,305 -0,960 0,492 -0,739 ------ ------
ITAE PI 0,859 -0,977 0,674 -0,680 ------ ------ IAE PID 1,435 -0,921 0,878 -0,749 0,482 1,137 ISE PID 1,495 -0,945 1,101 -0,771 0,560 1,006
ITAE PID 1,357 -0,947 0,842 -0,738 0,381 0,995
Tabela 6e : Constantes A e B para sintonia do PID para variações na carga
Técnica Modo A B C D E F IAE PI 0,758 -0,861 1,02 -0,323 ------ ------
ITAE PI 0,586 -0,916 1,03 -0,165 ------ ------ IAE PID 1,086 -0,869 0,74 -0,13 0,348 0,914
ITAE PID 0,965 -0,85 0,796 -0,1465 0,308 0,929
Tabela 6f: Constantes A e B para sintonia do PID para variações no set point
Na prática, sintonizamos o PID para perturbações no set point por ser mais
conservativo. No caso do nosso exemplo anterior do simulador do trocador de calor, a
sintonia proposta por este método da integral do erro (ITAE, que é o critério mais seletivo) seria KC=17.27, TI=8.96 s, TD=0.36 que é bem mais suave do que a proposta por Z&N, e conforme a figura 6n a seguir não instabiliza a malha.
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69
Figura 6n – Sintonia do método da integral do erro (ITAE).
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70
6.7. Método do Modelo Interno (IMC)
Este método também requer um modelo do processo, que é obtido através da identificação experimental (curva de reação do processo após um degrau na variável controlada). A metodologia de identificação é a seguinte: • Introduzir perturbações iniciais em degrau na variável manipulada de forma a
garantir o condicionamento do sistema (evitar bandas mortas, histereses, etc.),
isto é, efetuar uns dois ciclos de degraus para cima e para baixo.
• Introduzir o degrau para cima na variável manipulada, e calcular os parâmetros
do modelo do processo (Ex. ganho, constante de tempo e tempo morto),
introduzir um degrau para baixo e calcular novamente os parâmetros.
• Repetir pelo menos três vezes este ciclo, e considerar como modelo do
processo a média dos valores obtidos.
Uma vez obtido o modelo, o próximo passo é obter a função de transferência em malha fechada do sistema (figura 6p). O método IMC deseja obter a sintonia do controlador de tal forma que a resposta do sistema a um degrau no “set-point” tenha uma dinâmica conhecida (trajetória de referência) e fornecida como critério de ajuste. Isto é, deseja-se que a função de transferência do sistema seja:
Y / SP = 1 / (λ s + 1)
Igualando as duas expressões (equação da figura 6o e a anterior), a função de transferência do controlador (GC) será função do modelo do processo (GP) e da constante de tempo desejada para o sistema (λ):
GC = 1 / (GP * λ * s)
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71
SP
Controlador
PLANTA Saída
Y/SP = GC * GP / ( 1 + GC * GP )
Figura 6o – Função de transferência em malha fechada.
Por exemplo, se o processo pode ser identificado como um modelo de primeira ordem, então o controlador seria:
+=
+=
+
=×+
==sksks
sksk
ssGp
GcPPPP τλτ
λλτ
λτ
λτ
λ111111111
Esta é a equação de um controlador PI, onde a sintonia recomendada é a seguinte:
KC = {τ/(KP * λ) }
TI = τ
Caso o processo em questão puder ser modelado por uma função de transferência de segunda ordem (GP = KP /[(τ1s +1)*(τ2s +1)]), onde τ1 é o tempo para atingir 63,2% do valor de regime, e onde τ2 é o tempo para atingir 10% do valor de regime, então o controlador obtido pelo método será um PID com a seguinte sintonia:
( )( ) ( )11111112
21 +
+=×
++== s
skskss
sGpGc
PP
ττλ
τλ
ττλ
KC = {τ1/(KP * λ) }
TI = τ1
TD = τ2
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72
Na sintonia pelo método IMC, o único parâmetro a ser ajustado é o ‘λ’, que de uma maneira conservativa pode ser escolhido como:
λ ≅ 3 * τ1 Quanto maior for as não-linearidades do sistema (tempo mortos, histereses, banda mortas, saturação, tempo de amostragem, etc), ou quanto maior forem os erros do modelo do processo, mais conservativa deve ser a sintonia (λ maiores) de forma a manter a robustez e a estabilidade do sistema. Uma não-linearidade do tipo “tempo morto” tende a amplificar as perturbações, aumentando a variância das variáveis controladas em relação ao “set-point”. De forma a incluir no método IMC uma não-linearidade do tipo “tempo morto”, pode-se modificar as equações anteriores acrescentando-se à razão (λ/τ1) um termo dependente do tempo morto (TM).
KC = { τ1/[KP * (λ+TM)] }
TI = τ1
TD = τ2
No caso do nosso exemplo anterior do simulador do trocador de calor, a sintonia proposta por este método IMC com λ igual a constante de tempo do processo (τ1 ) seria KC=2.27, TI=10.0 s, TD=5 s que é bem mais suave do que todos os outros métodos anteriores. A figura 6p a seguir mostra o desempenho do sistema.
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73
Figura 6p – Desempenho da sintonia com o método IMC considerando tempo morto.
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74
6.8. Método dos relés em malha fechada O método proposto por [Luyben, 1987] usa “relés” em malha fechada de forma a provocar oscilações limitadas e controladas no processo. Em função da amplitude e do período das oscilações, pode-se ter uma estimativa do ganho último e do período último do processo. Com estas informações sobre a dinâmica do processo, pode-se usar um método como o de Z&N para obter uma sintonia dos controladores. A figura 6q a seguir mostra a metodologia do método.
Pua h
SP PROCESSO
Yu
uY
Figura 6q – Método do “relé” em malha fechada.
Este método supõe o conhecimento da estrutura do controle (pares de variáveis manipuladas e controladas) e do sinal dos ganhos do processo. Em função deste conhecimento, define-se a amplitude da oscilação do relé “h” (2 a 10% do valor de regime permanente atual), e implementa-se este relé. Esta ação no processo irá provocar oscilações contínuas na variável controlada (‘Y’), e poderemos medir a amplitude da oscilação (“a”) e o seu período (“Pu”). A partir destas informações pode-se estimar o ganho último e o período último da malha, conforme as equações a seguir:
KU ≅ 4*h / (π *a) onde π = 3,1415 → o ganho último real seria um pouco acima do obtido pela relação h/a.
PU ≅ Pu;
A identificação do ganho e período último da malha pelas fórmulas acima pode resultar em erros da ordem de 5 a 20% [Li, Eskinat e Luyben, 1991]. Logo, deve-se considerar esta possível imprecisão na hora de usar os resultados propostos pelo método.
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75
Apesar de se poder utilizar o método de Z&N para se obter a sintonia do controlador, [Luyben, 1994] sugere utilizar um fator de folga ou “detuning” “f” igual a 2.5 e as seguintes equações:
KC = KCZ&N / (f/2)
TI = TIZ&N * f;
Este método tem a vantagem de propor uma metodologia para o caso multivariável (MIMO). Neste caso, além do conhecimento necessário anterior, seria interessante se ter uma idéia de quais são as malhas rápidas e lentas do sistema. A metodologia proposta é a seguinte:
• Começar a sintonia pelas malhas rápidas, com as outras em manual.
• Executar o método do relé para a primeira malha, e sintonizar a mesma.
• Colocar a malha sintonizada em automático e executar o método do relé
para a próxima malha, sintonizando a mesma. Continuar o método até
terminar todas as malhas.
• Voltar à primeira malha, mas desta vez executar o método do relé com
as outras malhas em automático. Re-sintonizar a malha e passar para a
próxima malha.
Continuar este processo iterativamente até convergir, isto é, parar quando a sintonia dos controladores de uma iteração para outra não variar significativamente. As figuras 6r e 6s mostram este tipo de procedimento.
G11
G12
G21
G22
SP
U2
Y1
Y2
Figura 6r – Primeira iteração do método dos “relés” para o caso multivariável.
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76
G11
G12
G21
G22
SP Y1
Y2
PID
SP
Figura 6s – Segunda iteração do método do “relés”.
Outros autores aperfeiçoaram o método, colocando um tempo morto em série com o relé de forma a obter um novo ponto identificado no diagrama de Nyquist, e minimizar os erros de modelagem. [Li et col., 1991] [Huang et col., 1996] [Tan et col., 1996].
6.9. Método de tentativas e erros Um método prático, e muito usado é o de tentativas e erros. A metodologia é ir alterando a sintonia de um controlador, e observando o desempenho do mesmo até atingir uma resposta satisfatória. Obviamente é importante ter uma boa inicialização dos parâmetros de sintonia. O valor inicial poderia ser baseado em qualquer dos métodos descritos anteriormente, por exemplo, no proposto por [Ziegler&Nichols, 1942], ou de forma mais conservativa pela tabela 6g.
Controlador KC TI TD
P 0.7*τP / (KP*TM)
PI 0.5*τP / (KP*TM) TM+τP
PID 0.6*τP / (KP*TM) TM+τP 0.3*TM
Tabela 6g - Proposta inicial de sintonia pelo método de tentativas e erros (Z&N com folga).
Uma vez escolhida uma sintonia, altera-se o “set-point” para avaliar o
desempenho da malha. Obviamente, a aplicação deste método em malhas lentas é muito complicado, pois consome muito tempo.
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77
Uma outra metodologia de tentativa e erro é descrita por [SEBORG et al., 1989] e consiste dos seguintes passos:
o passo 1: eliminar as ações integral e derivativa, colocando DT e 1/ IT em seu mínimo valor;
o passo 2: ajustar CK em um valor baixo (por exemplo 0,5) e colocar o controlador em automático;
o passo 3: aumentar o ganho CK do controlador lentamente, até que oscilações contínuas (com amplitude constante) ocorram, após uma pequena mudança no valor desejado ou na carga – ganho crítico;
o passo 4: reduzir CK à metade;
o passo 5: diminuir IT lentamente até que as oscilações contínuas ocorram novamente. Ajustar IT igual a três vezes esse valor, e
o passo 6: aumentar DT até que oscilações contínuas ocorram. Ajustar DT em um terço desse valor.
Ao realizar os testes experimentais, é importante que a saída do controlador não sature. Se a saturação ocorrer, então uma oscilação sustentada pode resultar mesmo se CK > CUK , o que resultaria em um controle ineficiente, pois o ganho do controlador calculado no passo 4 seria muito grande.
6.10. Método heurístico baseado em simuladores Um outro método, muito útil em malhas com constante de tempo elevada, onde os métodos anteriores como o de tentativa e erros pode ser muito demorado, e muitas vezes impraticável em função das perturbações existentes nas plantas, é o método heurístico que usa simuladores dinâmicos simplificados, como o que foi desenvolvido neste trabalho para o trocador de calor ou para o controlador de nível. O modelo pode ser usado associado a uma rotina de otimização de forma a obter a sintonia ótima para um determinado critério (ISE, ITAE, etc.). [Arulalan e Deshpand, 1986] mostraram que para sistemas monovariáveis, o projeto feito a partir da otimização dos parâmetros para uma variação no “set-point” costuma funcionar de forma satisfatória também frente a uma perturbação na carga, o mesmo não sendo garantido no caso contrário. Para sistemas multivariáveis ainda não existe uma análise conclusiva. Mas em geral deve-se procurar uma sintonia ótima para mudanças no “set-point” por ser mais conservativa.
Existem controles de níveis, como o tubulão de caldeiras, com dinâmicas de várias horas, o que dificulta a análise do desempenho de uma sintonia. Neste
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caso uma solução seria o uso de simuladores. A seguir será exemplificado este método para um controle de nível, conforme a figura 6t a seguir.
Um modelo simplificado para este sistema seria:
ρ * A * dL/dt = (Vazão mássica de entrada - Vazão mássica de saída)
Onde: A - Área = 2*sqrt(R2 -[R-L]2) * Comprimento ρ - Densidade.
Vazão parao processo
VASO
Vazão deEntrada
FIC
LIC
Figura 6t - Sintonia de controladores de nível.
Elabore no MATLAB um simulador para os seguintes dados do sistema de controle: ρ - 760 kg/m3, comprimento - 4188 mm, raio - 500 mm, Vazão de saída quando a válvula esta toda aberta - 0.416 kg/s, range do medidor de nível - (80 mm a 426 mm). O “set-point” desejado é 50%.
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6.11. Método heurístico de sintonia de controladores de nível Um outro método heurístico para sintonia de controladores de nível foi apresentado por [Friedmann, 1994]. O ponto básico da sua abordagem é o fato de que se deveria usar a capacitância dos vasos para se diminuir a propagação de uma perturbação. Isto é, ao sintonizar uma malha de nível deveríamos permitir que o nível variasse dentro de uma faixa de forma que a variável controlada que é normalmente uma vazão de carga de uma torre permanecesse o mais estável e constante possível. Ele propõe usar sempre o controlador PI para níveis, e o algoritmo proposto é o seguinte:
• Sintonia inicial do ganho proporcional: Definir uma perturbação esperada máxima de vazão: FD (valor típico é de
20% da vazão de projeto). Definir o limite máximo desejado para variação do nível: LMAX . O ganho proporcional proposto: KC = FD / ( LMAX – LSP ) Considerar os ranges para obter o ganho do controlador normalizado:
KC (%) = ( FD / FRANGE ) / [( LMAX – LSP )/LRANGE ]
• Sintonia inicial do tempo integral: Estimar o tempo de residência no vaso para a perturbação considerada:
TR = Volume / FD . O tempo integral será considerado igual a: TI = 4 * TR (normalmente na
prática esta ação de “reset” fica da ordem de grandeza de horas).
• Testar a sintonia proposta: Sistemas com grandes tempos mortos ou com muita interação com outras
malhas pode resultar em respostas oscilatórias. Se a resposta for oscilatória, verificar:
Se não é devido a uma perturbação oscilatória no sistema e não devido a uma má sintonia.
Em seguida analisar o processo como um todo para ver se a estratégia de controle adotada é realmente a mais indicada.
Se a estratégia for mantida, considerar primeiro uma alteração no tempo integral que deve ser ajustado para um valor igual ao dobro do período de oscilação (PO): TI = 2 * PO.
Se o sistema continuar oscilando então diminuir o ganho proporcional até obter uma resposta satisfatória. Obviamente, esta nova sintonia não será capaz de suportar a perturbação inicialmente prevista (FD) respeitando a faixa desejável de variação do nível.
Outras conclusões do trabalho de [Friedmann, 1994] são que a geometria do vaso não compromete significativamente a metodologia proposta, e que o uso de bandas mortas em geral tende a prejudicar o objetivo de minimizar as variações de vazões do processo.
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7. Aspectos Práticos da Malha de Controle 7.1. Alterando o range do instrumento, devemos, rigorosamente re-sintonizar a
malha de controle: Seja o seguinte transmissor:
Figura 7a
Como KS faz parte da função de transferência do processo, GP é alterado.
7.2. Filtragem da PV
O filtro elimina componentes com freqüências que não seriam controladas pela malha de controle.
Figura 7b
onde fτ é um parâmetro de sintonia.
KS=16/100 0~1000C 4~20 mA
KS=16/200 0~2000C 4~20 mA
GP(s)
Gs(s) 1
1)(+
=s
sGffτ
PV
PV medida
PV filtrada
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Figura 7c: Resposta em freqüência de um filtro: Para freqüências baixas, o ganho do filtro é unitário. Para freqüências altas, o filtro tem grande atenuação.
Para eliminar ruídos a partir de Nω , sugere-se N
F ωτ 5
> .
Atenção: Deve-se lembrar que o filtro retarda o tempo de resposta do processo, alterando sua função de transferência (GS associada a GP). Portanto, ao alterarmos o valor de um filtro, nova sintonia deve ser feita ou a sintonia antiga deve ser reavaliada.
7.3. Limitações na performance de um controlador PID São dois aspectos de um processo que podem limitar a performance de um controlador: o tempo morto (como já mencionado) e a resposta inversa. Como já vimos, existem controladores com compensação de tempo morto. Da mesma forma, existem controladores com compensação de resposta inversa.
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8. Estratégias de controle regulatório avançadas
8.1. Sintonia de controle em cascata
A figura 8a mostra o esquema de um controle em cascata. A variável de processo controlada é a PV do controlador mestre, que varia o “set-point” da malha escrava de forma a manter a planta no ponto de operação desejado. As vantagens desta estratégia de controle são as seguintes:
• Qualquer perturbação que afete a variável de processo da malha escrava é rapidamente detectada e corrigida antes de alterar e perturbar a malha mestre (ação antecipatória).
• As não-linearidades do processo visto pela malha mestre podem ser compensadas pelo controlador escravo.
TIC
FIC
ESCRAVO
PROCESSO
SP
MESTRE
Figura 8a – Estratégia de controle em cascata.
As desvantagens do controle em cascata são basicamente os custos relativos aos instrumentos da malha escrava, e que só podem ser justificados se a malha escrava for mais rápida e eliminar os efeitos das perturbações. Desta forma o sensor da malha escrava deve ser rápido e confiável (boa repetibilidade). Outra justificativa possível para o controle em cascata pode ser o aumento da flexibilidade do controle (se desejarmos operar apenas a malha secundária em automático, por exemplo).
Algumas sugestões para a sintonia de malhas cascatas são as seguintes:
O controlador escravo deve ter um ganho proporcional atuando no erro, para transmitir para a sua saída rapidamente qualquer mudança no seu
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“set-point”, e o seu ganho deve ser alto (podendo ser até um controlador com apenas ação proporcional). A ação integral deve ser lenta para não forçar uma redução significativa do ganho proporcional. Mas, se a malha escrava estiver sujeita a grandes perturbações, pode ser interessante aumentar a ação integral e eliminar rapidamente o “off-set” não perturbando a malha mestre.
Se a malha escrava for rápida (sensores rápidos e sem grandes tempos mortos), não é interessante colocar a ação derivativa, que não trará grandes ganhos e é mais um parâmetro a ser ajustado.
Se a malha escrava for um controlador de vazão (FIC), deve-se usar preferencialmente um PI, com tempo integral da ordem de grandeza da constante de tempo da válvula e com o maior ganho possível. Se a malha escrava for um controlador de temperatura (TIC), deve-se usar preferencialmente um PID, com o tempo derivativo da ordem de grandeza da constante de tempo da medição e com ação derivativa atuando na PV e não no erro.
Regra Prática para sintonia de controles em cascata:
o Sintonizar a malha escrava primeiro e, só depois, com o escravo em automático, sintonizar a malha mestre.
o Sintonizar da forma mais rápida possível as malhas escravas, mas sempre procurando o menor “overshoot” possível.
o O controlador da malha escrava pode ser proporcional puro, desde que o controlador primário tenha ação integral.
o Se o sistema puder operar com a malha secundária aberta e a primária fechada, essa configuração deve ser testada quanto a estabilidade.
Os principais cuidados durante a configuração e implementação de controles em cascatas são os seguintes:
Evitar balançar o processo durante a transferência de modo: manual ⇒ automático ⇒ cascata. Logo, deve-se por exemplo fazer com que a saída do controlador mestre siga o “set-point” do controlador escravo enquanto este último estiver em manual ou em automático, de forma que, quando o escravo for colocado em cascata, a transferência seja suave.
Evitar o “wind-up”, que ocorre quando o controlador escravo atinge um batente na sua saída, e o controlador mestre continua integrando o erro, e acaba também ficando saturado.
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8.2. Sintonia de controle antecipatório
Quando a razão entre o tempo morto e a constante de tempo do processo for grande (ou seja, o tempo morto do processo em relação a perturbação é muito maior que a constante de tempo de resposta desse processo), o controle com realimentação não é capaz de evitar grandes desvios do “set-point” em função das perturbações – o tempo morto é uma não linearidade que prejudica a performance do controle. Logo, com o objetivo de minimizar estes desvios, pode ser interessante medir as principais perturbações e implementar um controle antecipatório ou “feedforward”.
A estratégia de controle é medir a perturbação e calcular uma compensação na variável manipulada da malha de retro-alimentação de forma a compensar os efeitos desta perturbação na variável controlada. A figura 8b mostra o esquema de um controle antecipatório ou “feedforward”.
Variável Manipulada
PROCESSO
Perturbação
F(*)
Saída doControlador
+ TIC
Figura 8b – Estratégia de controle antecipatório.
A vantagem do controle antecipatório é que ele permite compensar os efeitos das perturbações antes dela perturbar efetivamente e consideravelmente o processo. O controle antecipatório necessita de um modelo explícito do processo, mas que não precisa ser perfeito pois o controle com retro-alimentação compensa os erro do modelo. O controle em “feedback” também compensa os efeitos das outras perturbações que não são tão importantes. A desvantagem seria o custo da medição da perturbação, e a necessidade de um modelo explícito do processo. Um exemplo simples do controle antecipatório é o controle de razão.
Algumas sugestões para a sintonia do controle antecipatório são as seguintes:
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Se a malha do controle de retro-alimentação puder ser colocada em manual, ajustar o ganho da função de transferência do controle antecipatório (Ganho de FeedForward) até que, após uma perturbação, a variável controlada da malha principal volte ao valor anterior a ocorrência da perturbação.
Se a malha do controle de retro-alimentação não puder ser colocada em manual, mantê-la em automático e ajustar o ganho da função de transferência do controle antecipatório até que, após uma perturbação, a variável manipulada da malha principal volte ao valor anterior a perturbação.
A função de transferência do controle antecipatório (GFF da figura 8c) pode ser obtida de forma a eliminar o efeito da perturbação na variável controlada:
Y = F1 * G2 + ( F1 * GFF + U1 ) * G1
Y = F1 * ( G2 + GFF * G1 ) + G1 * U1
Para que Y só dependa de U1:
G2 + GFF * G1 = 0 ⇒ GFF = -G2/G1 ⇒ onde G2 é a função de transferência da perturbação em relação a variável controlada e G1 é a função de transferência da variável manipulada sobre a variável controlada.
Supondo que as funções de transferência entre a perturbação e a variável controlada (G2) e a entre a variável manipulada e a controlada (G1) possam ser modeladas por uma primeira ordem com tempo morto:
G1 = K1 * e-TM1*s / (τ1 s + 1) e G2 = K2 * e-TM2*s / (τ2 s + 1)
Então a função de transferência do controle antecipatório seria composta de um ganho, de um “lead-lag”, e de um termo de compensação do tempo morto:
GFF = (-K2/K1) * [(τ1 s + 1)/ (τ2 s + 1)] * (e-(TM2 – TM1)*s)
Em muitos casos a utilização apenas do ganho (compensação estática) já permite uma grande melhoria do controle. O termo de compensação do tempo morto quase nunca é necessário pois o “lead-lag” já permite uma boa compensação dinâmica. Ele só se faz necessário quando o tempo morto for bastante significativo.
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F1 G2(s)
G1(s)U1 ++
GFF(s)
Y
Figura 8c – Diagramas de bloco do controle antecipatório
8.3. Sintonia de controle multivariável Na prática, a sintonia de um controlador pode ser muito afetada quando outros controladores do processo são colocados em automático. A interação entre malhas de controle é um assunto muito importante, e justifica o fato de muitos controladores estarem em manual em muitas plantas industriais. A interação entre malhas de controle pode ser classificada como: “interação positiva” quando as duas malhas vão na mesma direção, por exemplo, aumentando a variável controlada. E “interação negativa” quando as malhas “brigam” entre si, por exemplo uma malha tende a aumentar e a outra a diminuir a variável controlada. A interação negativa é a mais difícil de ser compensada. Exemplo de interação negativa seria o controle de temperatura no topo de uma desbutanizadora e o controle de temperatura no fundo da mesma.
A figura 8d mostra um processo multivariável 2x2. Supondo que as duas malhas estão em manual e os ganhos estáticos são todos positivos, um aumento na variável manipulada U1 irá aumentar tanto Y1 como Y2. Agora, se a malha 2 for colocada em automático (ainda com a ação crescente de U1), o controlador irá trazer Y2 para o seu valor anterior. Para isto ela terá que diminuir U2, que irá diminuir Y1. Logo existe uma “interação negativa” entre estas malhas, pois a primeira tende a aumentar Y1 e a segunda, em automático, tende a diminuir Y1. Logo, o ganho do processo da malha 1 diminui quando a malha 2 esta em automático. Isso levaria a um levantamento de ganho estático do processo 1 menor que o correto, acarretando em valores de ganho de controlador maiores que o necessário, o que poderia instabilizar a malha de controle.
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G11
G21
G12
G22
+
+
U1 Y1
U2 Y2
Figura 8d – Interação entre malhas no caso de sistema multivariável.
No caso multivariável, a escolha dos pares de variáveis controladas e manipuladas é muito importante para o bom funcionamento dos controladores. Isto é, deve-se procurar uma estratégia que minimize a interação entre as malhas. Um dos métodos mais antigos para a análise e escolha das malhas foi desenvolvido por [Bristol, 1966]. Este método é conhecido como o da “Matriz de Ganhos Relativos”. Para um processo 2x2 como o da figura 8d, calcula-se os ganhos em malha aberta (KIJ) e os ganhos em malha fechada com os outros controladores em automático (K’IJ). Por exemplo:
K11 = ( ∆Y1 / ∆U1 ) com U2 = Constante → Ganho com todas as malhas
abertas
K’11 = ( ∆Y1 / ∆U1 ) com Y2 = Constante (malha em automático) →
Ganho com todas as demais malhas fechadas
O ganho relativo entre a variável I e J será: λIJ = (KIJ) / (K’IJ). O ganho relativo mede o quanto o ganho da malha IJ muda quando as outras malhas estão em automático. Deve-se escolher o par de variável manipulada e controlada cujo ganho relativo seja o mais próximo de 1. Ganho relativo negativo ou maior do que 1, indicam uma “interação negativa” e ganho relativo entre 0 e 1, indica uma “interação positiva”. Por exemplo se a matriz de ganhos relativos for a seguinte:
λ11 = 0.8 λ12 = 0.2
λ21 = 0.2 λ22 = 0.8 Deveria ser escolhida a malha cuja variável de processo 1 é controlada
manipulando a variável 1. Pois o ganho da malha só mudaria de um fator de 1.2
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(1/0.8), ao se colocar a malha 2 em automático. Caso a variável 1 fosse controlada pela variável manipulada 2, o ganho mudaria de um ordem de 5 vezes (1/0.2), quando a outra malha fosse para automático. Obviamente, neste segundo caso seria muito difícil de sintonizar o PID e de manter esta malha em automático, pois o ganho do processo mudaria muito quando a outra malha mudasse o seu modo de operação.
A análise método da “Matriz de Ganhos Relativos” tem a desvantagem de não considerar a dinâmica do processo, e pode dar um resultado que não é o ótimo quando o processo apresenta uma resposta inversa, ou tempo mortos consideráveis, etc.
Algumas sugestões para a sintonia de controles multivariáveis são as seguintes:
Antes de sintonizar deve-se analisar o processo e priorizar as malhas mais importantes.
Em seguida sintonizar a malha mais importante da forma mais rápida possível.
Pegar a malha com segunda prioridade, que deve ser sintonizada de uma forma mais lenta. Quanto mais distante λIJ for de 1, mais lenta devem ser as malhas não prioritárias.
Se a interação entre as malhas ainda for considerável e a malha prioritária estiver com um desempenho não satisfatório, deve-se, então, incluir desacopladores (D2 na figura 8e), sempre interligando as variáveis manipuladas não prioritárias (malha 2 na figura 8e) em direção da malha prioritária (malha 1 na figura 8e).
U1 Y1
U2 Y2
G11
G21
G12
G22
+
+
D2
Figura 8e – Exemplo de desacoplador.
O desacoplador é projetado como se fosse um controle antecipatório, com a diferença que o uso de desacopladores muda a dinâmica e a estabilidade de outras malhas de controle PID. Por exemplo, no caso da figura 8e, o desacoplador D2 seria:
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D2 = -G12 / G11 (resultado semelhante ao obtido para o FFW)
8.4. Sintonia de controle não-linear Existem muitas não-linearidades no processo que dificultam o uso de controladores do tipo PID. Por exemplo, o ganho do processo de malhas, como de temperatura ou composições, pode ser inversamente proporcional a carga da unidade. Este ganho pode variar da ordem de 2 ou mais, o que prejudica o uso deste controlador.
As não-linearidades também afetam a dinâmica (constante de tempo e tempos mortos), mas geralmente em uma ordem de grandeza menor do que o ganho.
As estratégias para compensar as não-linearidades e continuar usando controladores PID são basicamente duas:
⇒ Colocar na saída do PID uma curva de linearização que compense todas as não-linearidades do processo (válvulas, processo, medição). Esta curva poderia ser obtida na prática obtendo o ganho do processo para varias saídas do controlador (dados históricos ou testes). O problema com esta estratégia é que a curva deve ser “bypassada” com o controlador em manual.
⇒ Uso de estratégias de controle mais elaboradas, como cascatas, razões, etc. Uso de funções atuando nas variáveis de processo que linearizem o sistema.
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9. Conclusões
A sintonia dos controladores PID é um assunto muito importante na área de controle e otimização de processos. Caso estes controladores não estejam bem sintonizados, todas as outras estratégias de automação mais avançadas que dependam deste controle regulatório funcionarão de forma inadequada. O efeito de uma má sintonia é o aumento da variância das variáveis controladas do processo, gerando perdas econômicas que podem ser consideráveis. Obviamente, o desvio padrão da variável controlada em relação ao seu “set-point” não pode ser explicada apenas pela sintonia do controlador PID, ela também depende:
• Da estratégia de controle utilizada, como por exemplo o uso de desacopladores, de forma a minimizar a interação entre malhas de controle;
• Da qualidade da instrumentação utilizada, por exemplo, dos sensores, dos atuadores das válvulas, etc. Se uma válvula possui um posicionador que, em função dos atritos, folgas, histerese e de outras não-linearidades, não consegue mantê-la em uma posição com precisão, o controle que utiliza esta válvula será prejudicado.
Em relação aos métodos descritos neste trabalho, pode-se fazer um resumo da qualidades e problemas da seguinte forma:
• O método de Z&N tende a produzir uma sintonia “nervosa”, e a amplificar as perturbações, podendo instabilizar a malha. Logo, sugere-se aplicar um “fator de folga” e testar o desempenho da malha. O valor final deste “fator de folga” pode, em muitos casos, ser maior do que 4. Vale a pena comparar com o método da integral dos erros (ITAE) que tende a apresentar uma resposta mais suave. Outra desvantagem deste método é que ele considera apenas o caso SISO.
• O método IMC também considera apenas o caso mono-variável (SISO).
• O método dos “relés” possui uma metodologia de sintonia para o caso multivariável, e é de fácil implementação. Este método é sensível ao ruído, que pode ser minimizado com o uso de filtros e de relés com histerese. O método que usa duas identificações é mais robusto e preciso, pois os erros de modelagem são menores.
• O método de tentativa e erros, deve ser sempre utilizado de forma a validar e afinar os resultados de outros métodos.
• O método heurístico baseado em simuladores, permite uma análise e uma pré-sintonia de malhas lentas e críticas ainda na fase de projeto. Ele permite também considerar uma otimização do PID usando qualquer critério (ISE, ITAE, mínimo ‘overshoot’, etc.).
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Este curso apresentou uma série de metodologias de sintonia de controladores PID, e mostrou os cuidados que devem ser tomados na hora de utilizá-las. Principalmente, mostrou que se deve ter uma visão sistêmica para sintonizar os controladores, e levar em consideração a estratégia de controle proposta, o tipo de implementação do PID, a interação com outras malhas, pois os processos são multivariáveis, e as não-linearidades da instrumentação e do processo, como por exemplo as decorrentes de uma redução da carga.
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10. Referências Bibliográficas APOSTILA DO CURSO DE SINTONIA DE CONTROLADORES Autor: Mário Campos, Dr.ECP
NOTAS DE AULA DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO DA USP Professor: Darci Odloak _ USP – Engenharia Química Controle Básico de Processos Professor: Cláudio Garcia – USP – Engenharia Elétrica
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SOFTWARES DE SINTONIA
ExperTune da ExperTune Inc. – Vendido também pela Honeywell.
ExperTune Inc. , 4734 Sonseeahray Dr., Hubertus WI 53033
www.expertune.com
INTUNE da ControlSoft Inc.
ControlSoft Inc. 14077 Cedar Road – Suite 200, Cleveland, Ohio 44118
USA
www.controlsoftinc.com