Sind reguläre Bäume immer Tief- oder Flachwurzler?

Sind regulare Baume immer

Tief- oder Flachwurzler?

Fragen und Ideen uber die mittlere Hohevon regularen Baumsprachen

Raphael Reitzig @ FORMAT 2014

tuftelt mit Eric Noeth (Universitat Siegen)

FACHBEREICHINFORMATIKFACHBEREICHINFORMATIK

&Algorithmen Komplexität

Die Frage

Gibt es unendliche regulare Baumsprachen mit mittlerer Hohe

Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?

Die Frage


Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?

≈Syntaxbaumevon CFGs

Die Frage


Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?


Mitteln uber alleBaume mit n Knoten

Die Frage


Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?



z. B. Binarbaumeund viele

”simple varieties“

Die Frage


Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?





z. B. lineare Liste u. a.

Die Frage


Hn 6∈ Θ(√

n)∪Θ(n) ?





z. B. lineare Liste u. a.

Nota bene: Random Permutation auf BSTs ist nicht uniform;Hohenbalancierung ist nicht regular.

Warum die Frage?

I Baume sind ein”naturlicher“ Formalismus.

Hohe ist ein naturlicher, interessanter Parameter.

I Regulare Baume verallgemeinern viele”klassische“ Familien.

I Mittlere Hohe bisher nur fur Spezialfalle bekannt.

I Enger Zusammenhang zur mittleren Kompressionsgute vonBaumen via DAGs.

Warum die Frage?






Warum die Frage?






Warum die Frage?






Regulare Baumgrammatiken

Eine Baumgrammatik G = (S ,N,Σ,R)

ist regular, wenn alleRegeln r ∈ R eine dieser Formen haben:

A→a

A1. . . Ak

oder A→ a

normalisierte

Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ublich.

Reduziertheit, Normalform und Eindeutigkeit gibt es o. B. d. A.


Eine Baumgrammatik G = (S ,N,Σ,R) ist regular, wenn alleRegeln r ∈ R eine dieser Formen haben:

A→a

A1. . . Ak

oder A→ a

normalisierte





A→a

A1. . . Ak

oder A→ a

normalisierte





A→a

A1. . . Ak

oder A→ a

normalisierte



Beispiel: Binarbaume

Die Grammatik G = (S , S, ,R) mit

S →

S S

∣∣∣ erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Binarbaume.

S ⇒

S S

S

⇒

S S

S ⇒

S S ⇒

S

⇒

Nota bene: L(G ) = Lsg[B = Σ× B × B + Σ

]



S →

S S


S ⇒

S S

S

⇒

S S

S ⇒

S S ⇒

S

⇒


]



S →

S S


S ⇒

S S

S

⇒

S S

S ⇒

S S ⇒

S

⇒


]

TREG vs. CFDT

I CFDT ⊆ TREG.

I yield(TREG) ⊆ CFL.

I TREG \ CFDT 6= ∅.Denn: in CFDT erzwingt gleiches Label gleiches Nichtterminal.

TREG vs. CFDT

I CFDT ⊆ TREG.



TREG vs. CFDT

I CFDT ⊆ TREG.



TREG vs. CFDT

I TREG \ CFDT 6= ∅:

S →s

A BA→

c

aB →

c

b

L =

s

c

a

c

b

s → cc c → a | b

|L′| = 4

Macht das hier einen Unterschied?

TREG vs. CFDT


S →s

A BA→

c

aB →

c

b

L =

s

c

a

c

b

s → cc c → a | b

|L′| = 4


TREG vs. CFDT


S →s

A BA→

c

aB →

c

b

L =

s

c

a

c

b

s → cc c → a | b

|L′| = 4


TREG vs. CFDT


S →s

A BA→

c

aB →

c

b

L =

s

c

a

c

b

s → cc c → a | b

|L′| = 4


TREG vs. CFDT


S →s

A BA→

c

aB →

c

b

L =

s

c

a

c

b

s → cc c → a | b

|L′| = 4


Mehr Beispiele

Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von Baumen gemaß

T = T × SEQΩ(T )

ist regular!

Beweis:

S →a

S . . . S

k ×

⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω

Wissen: hier ist Hn ∈ Θ(√n) ∪Θ(n).

Mehr Beispiele


T = T × SEQΩ(T )

ist regular! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| <∞.

Beweis:

S →a

S . . . S

k ×

⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω


Mehr Beispiele


T = T × SEQΩ(T )


Beweis:

S →a

S . . . S

k ×

⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω


Mehr Beispiele


T = T × SEQΩ(T )


Beweis:

S →a

S . . . S

k ×

⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω


Probleme

I Beweis zu SV nicht direkt ubertragbar.

I Hohe ist immer unangenehm – keine additive Große!

I Nichtterminale konnen sich beliebig vermischen– wie ihre Beitrage zur Hohe isolieren?

Probleme




Probleme




Idee

Zerlegen Baume nach den Beitragen der Nichtterminale:

a

a

a

a a a

a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a a a a

Idee


a

a

a

a a a

a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a a a a

Idee


a

a

a

a a a

a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a a a a

Das sind gerade (A- bzw. B-) Minoren!

Idee

Wir beobachten:

I Die Sprache der A-Minoren ist stets eine”smooth simple

variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N

HA,n ≤ Hn ≤∑A∈N

HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n

)fur n→∞, da N endlich.

Also ist das Problem gelost

Idee

Wir beobachten:


variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N


HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n



Idee


a

a

a

a a a

a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a a a a

≥ 3

≤ 3 + 2 = 5

Idee

Wir beobachten:


variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N


HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n



Idee

Wir beobachten:


variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N


HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n



Idee

Wir beobachten:


variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N


HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n



Idee

Wir beobachten:


variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N


HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n


Also ist das Problem gelost!

Idee

Wir beobachten:


variety“ SVA.

I maxA∈N

HA(t) ≤ H(t) ≤∑A∈N

HA(t)

=⇒ 1

|N|·maxA∈N


HA,n.

I∑A∈N

HA,n ∈ Θ

(1

|N|·maxA∈N

HA,n


Also ist das Problem gelost?

Probleme mit der IdeeI Verschiedene

”Mittel“ bei SVA und HA

– uniform uber SVA 6= uniform uber L(G )!

S = A→a

A A

∣∣∣ a

A

∣∣∣ a

BB → a | b

I Nicht jede Minorensprache dominiert:

S →s

A BA→ Σ1

A A

∣∣∣ Σ1 B → Σ2

B

∣∣∣ Σ2

– Hohe in Θ(√

n)

oder Θ(n)?

I Und selbst wenn:

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b




S = A→a

A A

∣∣∣ a

A

∣∣∣ a

BB → a | b


S →s

A BA→ Σ1

A A

∣∣∣ Σ1 B → Σ2

B

∣∣∣ Σ2

– Hohe in Θ(√

n)

oder Θ(n)?

I Und selbst wenn:

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b




S = A→a

A A

∣∣∣ a

A

∣∣∣ a

BB → a | b


S →s

A BA→ Σ1

A A

∣∣∣ Σ1 B → Σ2

B

∣∣∣ Σ2

– Hohe in Θ(√

n)

oder Θ(n)?

I Und selbst wenn:

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

Ausflug: Knotenzahlen

Den Hohenbeitrag von A hangt von mehreren Großen ab:

HA,n ←→ HA nA . . .

– lohnt es sich, nA zu untersuchen?

nA =An

WA,n=

# A-Knoten in Ln# A-Minorenbaume in Ln

Damit konnen wir umgehen!



HA,n ←→ HA nA . . .


nA =An

WA,n=





HA,n ←→ HA nA . . .


nA =An

WA,n=




Technik: Erzeugendenfunktionen

S(a, z) =∑t∈L

a|t|Az |t|

=∑n≥0

∑i≥0

(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· aizn

∂∂a A(a, z) =

∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· ai−1zn

A(1, z) =∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· zn

[zn]A(1, z) = An



S(a, z) =∑t∈L

a|t|Az |t|

=∑n≥0

∑i≥0

(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· aizn

∂∂a A(a, z) =

∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· ai−1zn

A(1, z) =∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· zn

[zn]A(1, z) = An



S(a, z) =∑t∈L

a|t|Az |t|

=∑n≥0

∑i≥0

(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· aizn

∂∂a A(a, z) =

∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· ai−1zn

A(1, z) =∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· zn

[zn]A(1, z) = An



S(a, z) =∑t∈L

a|t|Az |t|

=∑n≥0

∑i≥0

(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· aizn

∂∂a A(a, z) =

∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· ai−1zn

A(1, z) =∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· zn

[zn]A(1, z) = An



S(a, z) =∑t∈L

a|t|Az |t|

=∑n≥0

∑i≥0

(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· aizn

∂∂a A(a, z) =

∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· ai−1zn

A(1, z) =∑n≥0

∑i≥0

i ·(#t ∈ Ln : |t|A = i

)· zn

[zn]A(1, z) = An


Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)

mit weiteren Argumenten


Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

A = azA2 + azB

B = bzB + bz

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)



Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

S(a, b, z) =1− bz −

√(1− bz)(1− bz − 4a2bz3)

2az(1− bz)

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)



Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

S(1, 1, z) =1− z −

√(1− z)(1− 2z)(1 + z + 2z2)

2z(1− z)

A(1, 1, z) =2z2

(1− 2z)(1 + z + 2z2) +√

(1− z)(1− 2z)(1 + z + 2z2)

B(1, 1, z) =z2

(1− z) ·√

(1− z)(1− 2z)(1 + z + 2z2)

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)



Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

. . . Singularitatenanalyse . . .

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)



Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

. . . Singularitatenanalyse . . .

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)



Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

An ∼ 1/2 · n

WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n

Bn ∼ 1/2 · n

WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)



Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

An ∼ 1/2 · n WA,n = 1

nA ∼ 1/2 · n

Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n

nB ∼ 2

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)



Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n

Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)



Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n

Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)



Beispiel

S = A→a

A A

∣∣∣ a

BB → b

B

∣∣∣ b

An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n

Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2

HA,n ∈ Θ(√

n)

und HB,n ∈ O(1)

Hn ∈ Θ(√

n)



Mussen unangenehme Falle ausschließen (oder finden):

HA ∼√n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2

HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5

Was fur HA, nA und Verknupfungen derer kann es geben?



HA ∼√n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2

HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5




HA ∼√n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2

HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5




HA ∼√n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2

HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5



Wissen von Banderier/Drmota (2014):

|Ln| ∼ α · βn · nγ fur alle γ ∈ −1− 2−kk≥1

∪ m · 2−k − 1k≥0,m≥1

moglich

Aber ist An vielleicht”passend“ unangenehm und An ”

hubsch“?

Andererseits: was sind nA und nB in

S →s

A B,

wenn|LA,n| ∼ . . . · nγ1 und |LB,n| ∼ . . . · nγ2 ?




∪ m · 2−k − 1k≥0,m≥1

moglich – also”beliebig“ unangenehm!


hubsch“?


S →s

A B,





∪ m · 2−k − 1k≥0,m≥1



hubsch“?


S →s

A B,





∪ m · 2−k − 1k≥0,m≥1



hubsch“?


S →s

A B,


Protoidee: Simple Varieties erweitern

Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch

φΩ(z) =∑k∈Ω

zk .

Konnen wir die Beweise sinnvoll etwa auf

φn(z) =∑k≥0

# Knoten in Ln mit Grad k

n · Tn· zk

ubertragen? Was passiert dann fur n→∞?

Protoidee: Simple Varieties erweitern

Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch

φΩ(z) =∑k∈Ω

zk .

Konnen wir die Beweise sinnvoll etwa auf

φn(z) =∑k≥0

# Knoten in Ln mit Grad k

n · Tn· zk

ubertragen? Was passiert dann fur n→∞?

Protoidee: Nichtterminale eliminieren

Induktion uber |N|?

I. A. |N| = 1: simple variety X

I. S. |N| = k + 1: konstruiere

I hohen-Θ-aquivalente Grammatik mitI k Nichtterminalen.

Protoidee: Nichtterminale eliminieren

Induktion uber |N|?

I. A. |N| = 1: simple variety X

I. S. |N| = k + 1: konstruiere

I hohen-Θ-aquivalente Grammatik mitI k Nichtterminalen.

Protoidee: Symbolische Methode fur Baume

Konnen wir eine

I Basis von Sprachen und

I Operationen

finden, die TREG erzeugen?Es gibt

”regular tree expressions“ in TATA!

Konnten wir dann die symbolische Methode darauf erweitern?

Welchen Effekt hatten diese Operationen auf die mittlere Hohe?


Konnen wir eine


I Operationen






Konnen wir eine


I Operationen





Sind reguläre Bäume immer Tief- oder Flachwurzler?

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