Faculdade de Engenharia Sinais e Sistemas SS – MIEIC 2007/2008 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 -34 -32 -30 -28 -26 -24 -22 -20 -18 -16 -14 Frequency (kHz) Power/frequency (dB/Hz) Power Spectral Density Hamming kaiser Chebyshev Double Pendulum Two coupled planar pendulums with gravity and sine wave forcing in the upper Revolute joint. Sine Wave B F Revolute1 B F Revolute Env Joint Sensor1 Joint Sensor Joint Actuator Ground CS1 Body1 CS1 CS2 Body Angle Revolute1 Revolute SS 0708 SinSist 2 Faculdade de Engenharia Programa de SS Sinais e Sistemas 5 aulas Sistemas Lineares e Invariantes 4 aulas Análise de Fourier (tempo contínuo) 8 aulas Análise de Fourier (tempo discreto) 6 aulas Amostragem de Sinais Contínuos 2 aulas
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1
Faculdade de Engenharia
Sinais e Sistemas
SS – MIEIC 2007/2008
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-34
-32
-30
-28
-26
-24
-22
-20
-18
-16
-14
Frequency (kHz)
Pow
er/fr
eque
ncy
(dB
/Hz)
Power Spectral Density
Hamming
kaiserChebyshev
Double PendulumTwo coupled planar pendulums withgravity and sine wave forcing in the
upper Revolute joint.
Sine Wave
BF
Revolute1
B F
Revolute
Env
Joint Sensor1
Joint Sensor
Joint Actuator
Ground
CS1
Body1
CS1 CS2
Body
Angle
Revolute1
Revolute
SS 0708SinSist 2
Faculdade de EngenhariaPrograma de SS
Sinais e Sistemas à 5 aulas
Sistemas Lineares e Invariantes à 4 aulas
Análise de Fourier (tempo contínuo) à 8 aulas
Análise de Fourier (tempo discreto) à 6 aulas
Amostragem de Sinais Contínuos à 2 aulas
2
SS 0708SinSist 3
Faculdade de EngenhariaSinais e Sistemas
Sinais em tempo contínuo e em tempo discreto
Operações elementares com sinais
Transformação de variável independente
Decomposição de sinais
Características de sinais
Sinais fundamentais
Sistemas e sua interligação
Propriedades de sistemas
SS 0708SinSist 4
Faculdade de EngenhariaSinais
• Utilizados para descrever fenómenos
• Exemplos
• altitude de um avião ao longo de um voo
• temperatura da água do mar em função da profundidade
• precipitação total diária registada por uma estação meteorológica
• variação espacial da intensidade de uma imagem monocromática
t
h
z
T
d
p
x
y
3
SS 0708SinSist 5
Faculdade de EngenhariaSinais
• Descritos por funções de uma ou mais variáveis independentes
• Apenas iremos tratar sinais com uma única variável independente
• Por facilidade iremos considerar como variável independente o tempo
• No caso geral podemos ter sinais que tomam valores complexos
SS 0708SinSist 6
Faculdade de EngenhariaSinais em tempo contínuo
Variável independente é contínua, tomando todosos valores num dado intervalo de números reais
Notação: x(t), y(t), v(t), …
variável independente
designação do sinal
Nota: Os sinais em tempo contínuo podem ser funções descontínuas da variável independente
Habitualmente não importa o valor do sinalnos instantes de descontinuidade, mas sóos limites à esquerda e à direita
t
x(t)
4
SS 0708SinSist 7
Faculdade de EngenhariaSinais em tempo discreto
Variável independente toma apenas um conjuntodiscreto de valores, por convenção inteiros
Notação: x[n], y[n], v[n], …
variável independente
designação do sinal
Nota: Podem resultar de amostragemde sinais em tempo contínuo
n0 1 2 3-1-2-3
Variável independente discretaà instante seguinte e instante anterior
n0 1 2 3-1-2-3
y[n]
SS 0708SinSist 8
Faculdade de EngenhariaOperações elementares com sinais
Multiplicação por um escalar )()()( txatytx =→
)(tx
t1
1
)(5.0)(1 txty =
t1
5.0
)(2)(2 txty =
t1
2
t
1
5.1−
)(5.1)(4 txty −=
Exemplos
)()(3 txty −=
t
1
1−
5
SS 0708SinSist 9
Faculdade de EngenhariaOperações elementares com sinais
Operações algébricas (soma, multiplicação, …)
)(tx
t1
1
][][][ nbnanc ⋅=
Exemplo 1
)(ty
t1
1
)()()( tytxtz +=
t1
1
n0 1 2 3-1-2-3
][na
n0 1 2 3-1-2-3n0 1 2 3-1-2-3
][nb
1
Exemplo 2
SS 0708SinSist 10
Faculdade de EngenhariaOperações elementares com sinais
Outras operações (derivação, integração, acumulação, …)
∑−=
=n
m
mxnz3
][][
Exemplo 1
Exemplo 2
n0 1 2 3-1-2-3
1
n0 1 2 3-1-2-3
][nx
1
)(tx
t1
1
2− t1
1
2−
dttdx
ty)(
)( =
6
SS 0708SinSist 11
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Translação
)(tx
t0
)()( 0ttxty −=
t0 0t
)( 0ty )( 00 ttx −= )0(x=
)()()( 0ttxtytx −=→
][][][ 0nnxnynx −=→
SS 0708SinSist 12
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Translação )()()( 0ttxtytx −=→
][][][ 0nnxnynx −=→
)0(0 00 >> nt atraso do sinal
)0(0 00 << nt avanço do sinal
)2()( −= txty)(tx
1
1
2− t
n0 1 2 3-1-2-3
][nx
1
n0 1 2-4 -1-2-3
1
)]1([]1[][ −−=+= nxnxny
t0
1
3
7
SS 0708SinSist 13
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Mudança de escala )()()( atxtytx =→
)(tx
t1
)/1( ay )/1( aax ⋅= )1(x=
)0( >a
)()( atxty =
ta/1
SS 0708SinSist 14
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Mudança de escala )()()( atxtytx =→
1>a contracção da escala temporal
expansão da escala temporal
)2()( txty =)(tx
1
1
2− t
)0( >a
10 << a
)(tx
1
1
2− t
)2/()( txty =
2
1
4− t
21
1
1− t
8
SS 0708SinSist 15
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Mudança de escala ][][][ anxnynx =→
1>a
corresponde sempre a uma “amostragem”
)0( >a
No caso discreto apenas tem sentido se a for inteiro
n0 1 2-4 -1-2-3
1
][nx
-5-6 3 4
]2[][ nxny =
n0 1 2-1-2-3
1
Exemplo
SS 0708SinSist 16
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Rebatimento )()()( txtytx −=→
][][][ nxnynx −=→
)0(0 == ntcorresponde a uma reflexão do gráfico do sinal na recta
)()( txty −=)(tx
1
1
2− t
n0 1 2 3-1-2-3
][nx
1
2
1
1− t
][][ nxny −=
n0 1 2 3-1-2-3
1
9
SS 0708SinSist 17
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Mudança de escala )()()( atxtytx =→
)(tx
t1
)0( <a
corresponde a um rebatimento e a uma contracção/expansão definida por |a|
)()( atxty =
0<a
não importa a ordem por que são realizados o rebatimento e a contracção/expansão!
)()( atxty =
ta/1
)|(| tax
t||/1 a
)( tx −
1− t
)||( tax −=
|| aa −=
|| aa −=
SS 0708SinSist 18
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Caso geral )()()( batxtytx −=→
][][][ banxnynx −=→
Combina uma translação com uma contracção/expansão e com eventual rebatimento
)(tx
t10
)()( batxty −=
tab+1
ab
( )aby ( )bax a
b −= ( )bbx −= ( )0x=
( )aby +1 ( )bax a
b −= +1 ( )bbx −+= 1 ( )1x=
)()( batxty −= pode ser obtido de duas formas: translação seguida de mudança de escala
mudança de escala seguida de translação
10
SS 0708SinSist 19
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Caso geral )()()( batxtytx −=→
][][][ banxnynx −=→
Realizando primeiro a translação
)(tx
t10
)()( batxty −=
tab+1
ab
)()( btxtxb −=
tb+1b
)()( btxtxb −=
e depois a mudança de escala )()( atxty b= )( batx −=
atraso de b
escalamento de a
SS 0708SinSist 20
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Caso geral )()()( batxtytx −=→
][][][ banxnynx −=→
Realizando primeiro a mudança de escala
)(tx
t10
)()( batxty −=
tab+1
ab
e depois a translação ( )ab
a txty −=)(
)()( atxtxa =
)()( atxtxa =
ta10
( )( )abtax −⋅=
)( batx −=atraso de b/a
escalamento de a
11
SS 0708SinSist 21
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
n0 1 2-4 -1-2-3
1
][nx
-5-6 3 4
Exemplo: Dado x[n], determinar x[2n+2]
]2[][1 += nxnx
n-2 -1 0-6 -3-4-5
1
][1 nx
-7-8 1 2
1. obter ]22[]2[1 += nxnx2. obter
n-1 0 1-2-3-4
1
]22[ +nx
SS 0708SinSist 22
Faculdade de EngenhariaTransformação de variável independente
Exemplo: Dado x(t), determinar
( )21 )( txtx −=1. obter ( ) ( )21
21
1 )1( tt xxtx −− =−=−2. obter
)(tx
1
1
2− t
−
21 t
x
)(1 tx
4
1
2− t
Nota: ( )121
21
21
−−=−
−=−
ttt
( )21 tx −
5
1
1− t
12
SS 0708SinSist 23
Faculdade de EngenhariaExercício 1
)()( tytx +
><<−
−<=
1111||
10)(
ttt
ttx
)(ty
1
1− t1−
Dados os sinais
determine e esboce
SS 0708SinSist 24
Faculdade de Engenharia
e determine
Exercício 2
Considere o sinal
)(ty
1
1− t1−
2 ( ) )1(1 tyty −−+
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