Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – 1. Definição 2. Classificação de Sinais 3. Operações Básicas em Sinais 4. Sinais Elementares.

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Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – www.lapolli.pro.br

Sinais e SistemasINTRODUÇÃO

1. Definição2. Classificação de Sinais3. Operações Básicas em Sinais4. Sinais Elementares5. Propriedades dos Sistemas

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1. Definição

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2. Classificação de Sinais

Sinais unidimensionais de valor único, ou seja há apenas um único valor da função para um único valor de tempo.

O valor poderá ser real ou complexo.

O tempo possui valor real.

Pode-se identificar cinco métodos de classificação de sinais baseados em diferentes recursos.

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a) Sinais de Tempo Contínuo e Discreto

a1 Sinal de Tempo ContínuoÉ o sinal x(t) cujo a variável independente (t) faz parte do conjunto R.

a2Sinal de Tempo DiscretoÉ o sinal x[n] cujo a variável independente (n)

faz parte do conjunto Z.n= ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,....t=nT portanto x[n]=x(nT )


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Contínuo

Discreto

a) Sinais de Tempo Contínuo e Discreto

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b) Sinais Pares e Impares

b1 Sinal ParSendo x(t) um sinal contínuo no tempo, pode-se dizer que x(t) é par quando:

x(-t)=x(t)

Ou seja, quando x(t) é simétrico em relação à ordenada (eixo vertical).


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b2 Sinal ImparSendo x(t) um sinal contínuo no tempo, pode-se dizer que x(t) é impar quando:

x(-t)=-x(t)

Ou seja, quando x(t) é antissimétrico em relação à ordenada (eixo vertical).

2. Classificação de Sinaisb) Sinais Pares e Impares

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Um sinal x(t) pode ser descrito pela soma de duas componentes:

xp(t) – par e xi(t) impar

Lembrando: xp(-t)=xp(t) e xi(-t)=-xi(t)

Portanto: x(t)=xp(t)+xi(t)

x(-t)=xp(t)-xi(t)


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A partir das duas expressões pode-se definir os sinais pares e impares com base em x(t) e x(-t).Fazendo-se: x(t)+x(-t)Obtém-se:

)()(2

1)( txtxtxp

Fazendo-se: x(t)-x(-t)Obtém-se:

)()(2

1)( txtxtxi


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Exercício:

Considere xp(t)=cos(x) e xi(t)=sen(x).

Monte as equações x(t) e x(-t) correspondente às componentes par e impar do sinal e prove que xp(t)=cos(x) e xi(t)=sen(x) utilizando o procedimento do parágrafo anterior.


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b) Sinais Pares e Impares

No caso em que x(t) seja complexo, ou seja:

x(t)=a(t)+jb(t)

Rea l

Imaginário

Se: x(-t)=x*(t) então x(t) é conjugado simétrico.

1j

x*(t)=a(t)-jb(t)

Comparando-se, verifica-se que x(t) é conjugado simétrico se:

a(t) é par

b(t) é impar


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c) Sinais Periódicos e não periódicos

São sinais que se repetem de tempos em tempos.

t

T

0 1 2

x(t)

Período: duração de um ciclo completox(t)=x(t+T) para todo t

O valor do sinal se repete para múltiplos de T0

T=T0, 2T0, 3T0 .......

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2. Classificação de Sinaisc) Sinais Periódicos e não periódicos

[f]=s-1=HzT

f1

O recíproco do período é a frequência que corresponde à número de ciclos da onda em um determinado ponto do espaço em um segundo:

Há também a frequência angular:

T

2 [w]=rad/s

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Para o caso dos sinais discretos:

x[n]=x[n+N] para todos os números inteiros n

É inteiro positivo

N=25

N

2 [W]=rad

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O sinal não periódico não se repete em períodos pré determinados. (aperiódicos)

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c) Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios2. Classificação de Sinais

Determinísticos: Podem ser modelados como função do tempo completamente especificados.

Aleatórios: Há incerteza da ocorrência real.Exemplo: Ruído, Eletroencefalograma, etc.

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c) Sinais de Energia e Sinais de Potência2. Classificação de Sinais

São sinais relacionados à sistemas elétricos.

Considerando-se a corrente e a tensão em um resistor R.

Tensão v(t)

Corrente i(t)A potência pode ser definida como:

)()()(

)( 22

tRitPR

tvtP

A potência é proporcional à amplitude elevada ao quadrado.

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Considerando: R= 1 ohm

x(t) pode expressar v(t) ou i(t))()( 2 txtP

A energia total, no tempo contínuo é definida como:

dttxdttxET

TT

)()(lim 22/

2/

2

A Potência média:

dttxTT

EP

T

TT

2/

2/

2 )(1

lim

Para um sinal periódico:

dttxT

PT

T

2/

2/

2 )(1

A raiz quadrada da potência é o valor quadrático médio do sinal x(t) (RMS – root-mean-square)

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Para sinais discretos:x[n]

dttxdttxET

TT

)()(lim 22/

2/

2

][2

1lim 2 nx

NP

N

NnN

][1 1

0

2 nxN

PN

n

Energia:

Potência Média:

Um sinal é chamado de sinal de energia:

Potência Média do sinal periódico x[n] com período N :

E0Por outro lado, ele é chamado de sinal de potência: P0

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A classificação dos sinais de energia e potência são mutuamente exclusivas;

•Um sinal de Energia tem potência média zero

• Sinais não periódicos

• Sinais determinísticos

•Um sinal de Potência tem energia infinita

• Sinais periódicos

• Sinais aleatórios

Exercícios

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3. Operações Básicas em Sinais

Constitui uma questão fundamental por se

tratar da manipulação do sinal pelo sistema.

Há duas classes de operações:• Operações realizadas na variável

dependente

• Operações realizadas na variável independente

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• Operações realizadas na variável dependentea) Mudança de escala de amplitude:

x(t) – sinal de tempo contínuoy(t) – mudança de amplitude

y(t) = C x(t) y[n]=C y[n]

C é o fator de escalaExemplo: Amplificador. Para sinal de corrente RLC.

y(t) é a tensão de saída.

-1 1

1

t

x(t)

C=2

-1 1

2

t

y(t)

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3. Operações Básicas em Sinais•Operações realizadas na variável dependente

b) Adição

x1(t) e x2(t) – são sinais de tempo contínuo

y(t) = x1(t)+x2(t) y[n]=x1[n]+x2[n]

Exemplo: Misturador de Audio: Música + Voz.

Exemplo:

y(t) = x1(t)+x2(t)

-1

1

x1(t)

t -1 1

1 x2(t)

t

-1 1

y(t)

2

t

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c) Multiplicação

x1(t) e x2(t) – são sinais de tempo contínuo

y(t) = x1(t).x2(t) y[n]=x1[n].x2[n]

Exemplo: Sinal de rádio AMx1(t) sinal de corrente contínua (cc)x2(t) sinal senoidal. Onda portadora

-1

1

x1(t)

t -1 1

1 x2(t)

t


Exemplo:

y(t) = x1(t).x2(t)

-1 1

y(t)

1

t

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d) Diferenciaçãox(t) - sinal de tempo contínuo

Exemplo: O indutor realiza diferenciação:

)()( txdt

dty

)()( tidt

dLtv Indutor com v(t) nos seus terminais

induzindo corrente i(t)

e) integraçãox(t) - sinal de tempo contínuo

Exemplo: O capacitor realiza Integração:

dxtyt

)()(

Capacitor com corrente i(t) induzindo tensão v(t) em seus terminais.

diC

tvt

)(1

)(

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• Operações realizadas na variável independente

a) Mudança de escala de tempox(t) - sinal de tempo contínuo

y(t)=x(at)

Compressão estençãoCaso discreto:

Y[n]=x[kn] k>0 e só inteiro

Neste caso alguns valores do sinal de tempo são perdidos

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3. Operações Básicas em Sinais•Operações realizadas na variável independente

b) Reflexãox(t) - sinal de tempo contínuo

y(t)=x(-t)

Reflexão de x em relação ao eixo da amplitude

Para sinais pares obviamente não há mudanças

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c) Deslocamento no tempox(t) - sinal de tempo contínuo

y(t)=x(t-t0)

-1 1

1

t

x(t)

-1 1

1

t

y(t)=x(t-1)t0=1

2 -1

1

t

y(t)=x(t+1)t0=-1

-2

Para o caso do sinal discreto:

Y[n]=x[n-m]

m é inteiro positivo ou negativo

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Obtenção de y(t) deve respeitar a ordem:1. Deslocamento no tempo: t→t-b2. Mudança da escala de tempo: t→at

)0(

)()0()()(

xa

by

bxybatxty

Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo

y(t) – sinal de tempo contínuo derivado de outro sinal de tempo contínuo x(t)

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1. Deslocamento no tempo: t→t-bSinal intermediário: v(t)=x(t-b)

2. Mudança da escala de tempo: t→atSinal de saída: y(t)=v(at)=x(at-b)

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Exemplo: Considere o pulso retangular x(y) de amplitude unitária e duração 2 unidades de tempo descrito na figura abaixo. Encontre y(t)=(2t+3).

Ordem correta:

Ordem incorreta:

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Sinais e Sistemas André Luis Lapolli – 1. Definição 2. Classificação de Sinais 3. Operações Básicas em Sinais 4. Sinais Elementares.

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