Simulink I

8/18/2019 Simulink I

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SIMULINK ISIMULACIÓN DE SISTEMAS

Melanio A. Coronado H. I.Q.

Universidad del Atlántico 2014


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Melanio A. Coronado H. 2


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Contenido

SECCIÓN I ESTRUCTURA DE SIMULINK 5Lección 1. Estructura de Simulink 7

SECCIÓN II SISTEMAS LINEALES - DOMINIO TIEMPO 33

Lección 2. Sistemas de Primer Orden SISO 35

Lección 3. Sistemas de Segundo Orden SISO 47

Lección 4. Sistemas de Orden Mayor SISO 65

Lección 5. Sistemas en Serie no Interactuantes 77

Lección 6. Sistemas en Serie Interactuantes 89

Lección 7. Espacio de los Estados 97

SECCIÓN III SISTEMAS LINEALES - DOMINIO LAPLACE 117

Lección 8. Sistemas de Primer Orden SISO 119

Lección 9. Sistemas de Segundo Orden SISO 131

Lección 10. Sistemas en Serie no Interactuantes 145

Lección 11. Sistemas en Serie Interactuantes 155

Lección 12. Sistemas con Tiempo Muerto 167

Bibliografía 179


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SECCIÓN I ESTRUCTURA DE SIMULINK


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Lección 1. ESTRUCTURA DE SIMULINK

1.1 INTRODUCCIÓN

Simulink es un software que funciona bajo la plataforma de Matlab muy útil paramodelar, simular y analizar sistemas lineales o no lineales, tanto en lazo abierto

como en lazo cerrado. Simulink permite realizar estudios dinámicos de sistemas

tanto en el dominio del tiempo como el de Laplace, aplicar las funciones de

transferencia en la forma estándar, la de zeros y polos y la del espacio de los

estados. Lo anterior hace de Simulink una herramienta útil para simular dinámica y

control de sistemas.

1.2 ACCESO A SIMULINK

Para acceder a Simulink se requiere abrir el espacio de trabajo de Matlab y presionar

el icono “Simulink” que aparece en la barra de herramientas o digitar la palabra

clave “simulink” con letras minúsculas en el editor de comandos. Con lo anterior se

despliega la interfaz gráfica titulada “Simulink Library Browser” (Ver Figura 1.1)

que despliega los nombres de un conjunto de librerías que reúnen, cada una de ellas,

los bloques que han de instalarse dentro del ambiente de simulación para realizar

con ellos las operaciones matemáticas que exige la solución del modelo objeto de la

simulación.

Figura 1.1. Simulink Library Browser


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Se hace necesario desplegar el espacio de trabajo de Simulink ya sea presionando el

icono “Create a new model ” que se encuentra en la barra de herramientas de la

ventana “Simulink Library Browser” o desplegando el menú “File” y seleccionando

sucesivamente “New” y “Model” (Ctrl + N). En la Figura 1.2 se muestra

desplegada la ventana espacio de trabajo de Simulink que por defecto se denomina

“untitled” a la derecha de la ventana “Simulink Library Browser ”

Figura 1.2. Simulink Library Browser y Espacio de trabajo de Simulink

1.3 LIBRERÍAS DE SIMULINK

Al accesar a Simulink se despliega una ventana que en su sección izquierda muestra

un árbol de opciones de trabajo. La primera rama del árbol es la básica de Simulink

y, generalmente por defecto, aparecen desplegadas las librerías incluidas. A la

derecha de dicho árbol se observan bloques con los mismos nombres de las librerías

de Simulink . Los nombres de las librerías son: Continuous, Discontinuities, Discrete,

Logic and Bit Operations, Look-Up Tables, Math Operations, Model Verification,

Model-Wide Utilities, Ports & Subsystems, Signal Attributes, Signal Routing, Sinks,

Sources y User-Defined Functions y Additional Math & Discrete . El despliegue delos bloques contenidos en cada una de las librerías se consigue haciendo clic

izquierdo sobre el nombre que aparece en el árbol izquierdo o doble clic sobre el

bloque que aparece en la sección derecha. Por ejemplo, al hacer clic sobre el nombre

“Continuous” se despliega en la sección derecha los correspondientes bloques

operacionales como se observan en la Figura 1.3. En forma similar, se pueden

observar los bloques incluidos en cada una de las otras librerías.


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Figura 1.3 Bloques operacionales de la librería Continuous

Instalación, Conexión y Especificación de un bloque operacional

Para la instalación de un bloque en el espacio de trabajo de Simulink se selecciona

de la librería con un clic izquierdo del mouse y en forma sostenida se arrastra hasta

el espacio de trabajo de Simulink . Las conexiones entre dos bloques se realizan

acercando el puntero del mouse a uno de los topes (entrada o salida) hasta observar

un cambio en su forma de cruz, se presiona el botón izquierdo del mouse y en formasostenida se arrastra hasta el otro tope. La conexión es correcta cuando el puntero

del mouse tome la forma de una cruz de doble trazo. Se debe observar una línea con

una saeta en el tope del bloque de entrada. Las especificaciones mínimas requeridas

en un bloque se relacionan con la operación que realizan dentro del diagrama que

representa el proceso de solución del modelo matemático del sistema.

1.4 LIBRERÍA “CONTINUOUS” (CONTINUO)

La Figura 1.3 muestra la ventana que se despliega al hacer doble clic sobre lalibrería “Continuous”. Los nombres de los bloques son: Derivative (Derivada),

Integrator (Integrador), Integrator Limited, Integrator Second Order, Integrator

Second Order Limited, PID Controller, PID Controller (2DOF), State-Space

(Espacio de los Estados), Transfer Fcn (Función de Transferencia estándar),

Transport Delay (Tiempo Muerto), Variable Time Delay, Variable Transport Delay

(Tiempo Muerto Variable), Zero-Pole (Transferencia Muerto en la forma de zeros y

polos). Los bloques de la librería “Continuous” representan unidades que se


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alimentan de una información de entrada y que al desarrollar sobre esta un proceso

matemático transmite el resultado como una información de salida. En la librería

“Continuous” se incluyen los bloques para realizar operaciones matemáticas

continuas en el tiempo. A continuación se explican algunos de ellos

Bloque Integrador (“Integrator”)

El bloque “Integrator” desarrolla la operación de integrar la información de entrada

desde un tiempo inicial hasta un tiempo final que se especifica como uno de los

parámetros de la simulación. Se observa en la ventana de especificaciones del

bloque integrador mostrada en la Figura 1.4 que se requiere la especificación de la

condición inicial de la variable que se suma (integra).

Figura 1.4 Bloque Integrator

Es común a todas las ventanas de especificaciones de bloques operacionales, la

inclusión de la barra de título seguido de un pequeño cuadro con el nombre del

bloque y una breve descripción de la función de éste. De igual manera, en la parte

inferior se incluyen los botones “OK”, “Cancel”, “Help” y “Apply”.


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Bloque Derivada (“Derivative”)

El bloque “Derivative” desarrolla la derivada con respecto al tiempo de la variable

de entrada para lo cual no se necesita especificación. La Figura 1.5 muestra la

ventana que se despliega al hacer doble clic sobre el bloque Derivative.

Figura 1.5 Bloque Derivative

Bloques Funciones de Transferencia (“Transfer Fcn” y “Zero- Pole”)

La Figura 1.6 muestra las ventanas de especificaciones para las funciones de

transferencia en la forma estándar y en la forma de zeros y polos.

(a)

Forma estándar (b) Forma zeros y polos

Figura 1.6 Bloques Funciones de Transferencia

En la Figura 1.6a, se observan los cuadros donde se especifican en forma matricial el

numerador y el denominador de la función de transferencia, mientras que en la

Figura 1.6b los cuadros donde se incluyen en forma matricial los zeros, los polos y

las ganancias de la función de transferencia


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Bloque Tiempo Muerto (“Transport Delay”)

La Figura 1.7 muestra las ventanas de especificaciones para los bloques que simulan

un atraso por tiempo muerto dentro de la dinámica de un sistema. A continuación se

explica el bloque “Transport Delay”.

Figura 1.7 Bloque Tiempo Muerto

Se observa el cuadro denominado “Time delay” donde se especifica el tiempo

muerto.

Bloque Espacio de los Estados (“State- Space”)

El conjunto de las ecuaciones diferenciales que constituye un modelo lineal

multivariable suele organizarse en una escritura explícita para cada una de las

derivadas que de tal manera que se agrupan los términos en vectores (derivadas,

variables de estado) y matrices (coeficientes de las variables de entrada y salida) lo

que se conoce como la escritura del modelo en la forma del espacio de los estados.

Resultan entonces dos matrices A y B y se agrega un sistema algebraico deecuaciones para expresar las salidas de la solución del modelo que introduce dos

matrices adicionales C y D. La Figura 1.8 muestra la ventana de especificaciones

para el bloque que desarrolla un modelo lineal en la forma del Espacio de los

Estados. Se observan los cuadros para especificar las matrices A, B, C y D y las

condiciones iniciales.


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Figura 1.8 Bloque Espacio de los Estados

Bloque Controlador PID (“PID Controller”)

El bloque “PID Controller” se aplica para simular controladores proporcional –

integral y derivativo dentro de un lazo cerrado de control. En la Figura 1.9 se

muestra la ventana de especificaciones y se observa el cuadro denominado

“Controller” donde se seleccionan las acciones que se le asignan al controlador. A

continuación aparecen los radio botones que permiten seleccionar el dominio de

tiempo continuo o discreto y la forma en paralelo o en serie de las acciones. Y

seguidamente los cuadros donde se especifican los valores de los parámetros

dinámicos del controlador de acuerdo a las acciones especificadas en el cuadro

“Controller”.

Un recurso nuevo e importante adicionado en las nuevas versiones de Simulink es el

botón “Tune” que al presionarlo facilita los valores de los parámetros dinámicos delcontrolador y algunas características de la respuesta del sistema tanto en lazo abierto

como en lazo cerrado.

Algunos bloques, dentro de esta librería, no se explican dentro de este instructivo

considerando que es una iniciación y que el desarrollo de un curso de dinámica de

sistemas va mostrando la necesidad de conocer su utilidad y sus especificaciones.


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Figura 1.9 Bloque Controlador PID

1.5 LIBRERÍA “MATH OPERATIONS” (MATEMÁTICA)

La Figura 1.10 muestra la ventana que se despliega al hacer doble clic sobre la

librería “Math Operations”.

Los bloques de la librería “Math Operations” se utilizan en la simulación de la

dinámica de un sistema como operadores matemáticos sobre su información de

entrada. Entre otros muy utilizados se encuentran: Add, Sum, Substract, Product,

Divide, Gain, Math Function, Sqrt, Trigonometric Function, MinMax. A

continuación se describe la especificación de algunos de ellos

Bloque Suma (“Sum”)

El bloque “Sum” realiza la suma algebraica de las informaciones de entradas

alimentadas al bloque. La Figura 1.11 muestra la ventana de especificaciones de este

bloque y se observa el cuadro desplegable donde se selecciona la forma del icono


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Figura 1.10 Bloques operacionales de la librería Math Operations

Figura 1.11. Bloque de Suma


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El bloque “Sum” se especifica introduciendo en el cuadro “List of signs” los signos

de cada uno de las informaciones de entrada o el número de ellas. En el primer caso

los signos de suma o resta se despliegan a un lado de los topes de entrada del icono

que representa al bloque. Para mas ilustración léase la leyenda que aparece debajo

de la barra de título de la ventana de especificaciones.

El bloque “Add” también se utiliza para sumar algebraicamente varias entradas y el

bloque “Substract”, por defecto realiza una diferencia pero puede especificarse para

que haga sumas algebraicas de varias entradas.

El bloque “Sum of Elements” también se emplea para sumar varias entradas. En

todos estos bloques se pueden explicar los signos de cada entrada o el número de

entradas si todas son positivas.

Bloques Ganancia (“Gain” y “Slider Gain”)

El bloque “Gain” aplica un factor multiplicador constante a la información de

entrada y el producto lo transmite como la información de salida. El factor

multiplicador es la ganancia. La Figura 1.12 muestra la ventana de especificaciones

del bloque Gain. En el cuadro Gain se introduce la ganancia como un valor

constante.

Figura 1.12. Bloque Ganancia

El bloque “Slider Gain” realiza la misma operación del bloque “Gain” permitiendo

la variación del valor de la ganancia asignada, mediante el botón deslizable, desde

un valor mínimo hasta un máximo. La Figura 1.13 muestra la ventana de

especificaciones del bloque “Slider Gain”


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Figura 1.13 Bloque Slider Gain

Bloque Producto (“Product”)

El bloque “Product” realiza el producto o la división entre las informaciones de

entrada. Esto se especifica introduciendo, ya sea, el número de corrientes a

multiplicar o los signos producto o división para cada una de las informaciones de

entrada en el cuadro “Number of inputs” de la ventana de especificaciones que semuestra en la Figura 1.14

Figura 1.14 Bloque Producto

Al especificar los signos, estos se despliegan con los símbolos de producto o

división a un lado de los topes de entrada del icono que representa al bloque. Otros

bloques que desarrollan productos y divisiones son el “Dot Product” y “Divide”.


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Bloque Función Matemática - “Math Function”

El bloque “Math Function” aplica a la información de entrada una función

matemática que se selecciona en el cuadro desplegable “Function”. Por defecto, al

abrir la ventana de especificaciones (Figura 1.15) se muestra seleccionada la función

exponencial, si se despliega el cuadro se observan las otras funciones incluidas en el bloque como la función logaritmo y antilogaritmo, la función potencia, la función

raíz cuadrada y otros funciones modulares. El bloque “Trigonometric Function”

aplica, a la información de entrada funciones trigonométricas y funciones

hiperbólicas.

Figura 1.15 Bloque Función Matemática

En la Figura 1.16 se puede observar que en su ventana de especificaciones en el

cuadro Function aparece desplegada, por defecto, la función seno.

El bloque “Sine Wave Function” aplica a la información de entrada una función

sinusoidal. La Figura 1.17 muestra los cuadros donde se introducen lasespecificaciones de amplitud, frecuencia y fase requeridas.

El bloque “Sqrt” aplica la raíz cuadrada a la información de entrada y el resultado

es lo que trasmite como información de salida. La Figura 1.18 muestra la ventana de

especificaciones del bloque “Sqrt” haciendo notar las tres opciones de uso del

bloque.


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Figura 1.16 Bloque Función Trigonométrica

Al observar el conjunto de bloques incluidos en la librería Math Operations seencuentra el denominado “Signed Sqrt” y el llamado “Reciprocal Sqrt”, ambas son

opciones incluidas dentro del bloque “Sqrt”. “Signed Sqrt” reporta la raíz cuadrada

con signo y “Reciprocal Sqrt” desarrolla el inverso de la raíz cuadrada de la

información de entrada

Figura 1.17 Bloque Función Seno


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Figura 1.18 Bloque Raíz cuadrada

Bloque Minimo y Maximo (“MinMax”)

El bloque “MinMax” selecciona el valor mínimo o el máximo entre los

correspondientes a las informaciones de entrada. En su ventana de especificaciones

(Ver Figura 1.19) se encuentra el cuadro donde se elige la función del bloque, es

decir, “min” o “max” y un cuadro adicional donde se especifica el número de

entradas al bloque. Después de introducir lo anterior, se observa en el icono del

bloque un número de topes de entrada igual al especificado

Figura 1.19 Bloque MiniMax


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1.6 LIBRERÍA “SOURCES” (ENTRADAS)

La Figura 1.20 muestra la ventana que se despliega al hacer doble clic sobre la

librería “Sources”, ésta contiene un conjunto de bloques de donde emergen señales

que representan los cambios en las variables de entrada. Estos bloques solo tienen

puertos de salida, es decir, no tienen puertos de entrada. A continuación se describenlos bloques Step (Paso), Ramp (Rampa), Sine Wave (Seno), Constant, Clock,

Digital Clock, Signal Generator, From Workspace, From File.

Figura 1.20. Librería Sources

Bloque Paso (“Step” )

La Figura 1.21 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Step” (Función

cambio paso). En el cuadro “Step Time” se introduce el tiempo transcurrido para

que la variable de entrada cambie desde un valor inicial que se introduce en el

cuadro “Initial value” hasta un valor final que se introduce en el cuadro “Final

value”.


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Por defecto, el “Step time” se despliega con un valor de 1 pero el concepto de

cambio step aplicado al análisis dinámico usualmente es el de un salto que se realiza

en un tiempo cero.

Figura 1.21 Bloque Step

Bloque Rampa ( “Ramp”)

La Figura 1.22 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Ramp”. En el

cuadro “Slope” se introduce la pendiente de la rampa y en el cuadro “Start time” se

introduce el tiempo de iniciación del cambio rampa. Los otros cuadros de

especificaciones se dejan con sus valores por defecto.

Bloques Seno (“Sine Wave” )

La Figura 1.23 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Sine Wave”. La

Amplitud, el umbral, la frecuencia y la fase de la onda sinusoidal se introducen en

los cuadros de nombres “Amplitude”, “Bias”, “Frequency” y “Phase”,

respectivamente.


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Figura 1.22 Bloque Ramp

Figura 1.23 Bloque Sine Wave


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Bloque Generador de Señal ( “Signal Generator”)

La Figura 1.24 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Signal

Generator”. En el cuadro “Wave from” se especifica si la onda periódica de entrada

es sinusoidal, cuadrada, diente de sierra o al azar. La amplitud y la frecuencia se

introducen en los cuadros de nombres “Amplitude” y “Frequency”, respectivamente. En la librería “Sources” se encuentran otros bloques similares por

su periodicidad como son: “Pulse Generator”, “Repeating Sequence”, etc.

Figura 1.24 Bloque Signal Generator

Bloque Reloj (“Clock” y “Digital Clock”)

La Figura 1.25 muestra la ventana de especificaciones para el bloque “Clock” que

se utiliza para mostrar el tiempo de simulación. Si se verifica el cuadro “Display

time” se despliega el tiempo sobre el icono. El bloque “Digital Clock” se puede

utilizar como otra opción para ingresar tiempos de simulación.


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Figura 1.25 Bloque Clock

Bloque Constante (“Constant”)

La Figura 1.26 muestra la ventana de especificaciones para el bloque “Constant”

que se utiliza para entrar un valor constante en el diagrama de bloques que simula la

dinámica de un sistema.

Figura 1.26 Bloque Constante


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1.7 LIBRERÍA “SINKS” (SALIDAS)

La librería “Sinks” contiene un conjunto de bloques receptores de señales de salida

y, por lo tanto, solo tienen puertos de entrada. Mediante estos bloques se observan

los resultados de las simulaciones en diferentes formas, por ejemplo, gráfica o

numérica. La Figura 1.27 muestra la ventana que se despliega al hacer doble clicsobre la librería “Sinks”.

Figura 1.27 Librería Sinks

Los botones “Scope”, “Floating Scope” y “XY Graph” despliegan la información

de salida de la simulación en función del tiempo, en forma gráfica. El botón“Scope” no requiere especificaciones. Al hacer doble clic sobre el bloque se

despliega la ventana donde se muestra el gráfico de la respuesta de la simulación en

función del tiempo. La Figura 1.28 muestra la ventana donde se despliega el perfil

gráfico de la respuesta capturada en el bloque “Scope” y la ventana de

especificaciones del mismo abierta después de presionar el icono “Parameters”

de la barra de herramientas


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Figura 1.28 Bloque Scope

El bloque “Floating Scope” se utiliza para representar los perfiles de cada una de las

informaciones de salida en gráficos separados, para lo cual se hace doble clic sobreel icono, se presiona el cuadro “Parameters” de la barra de herramientas y se

introducen el número de gráficos en el cuadro “Number of axes”. La Figura 1.29

muestra la ventana donde se despliega el perfil gráfico de la respuesta captura en el

bloque “Floating Scope” y la ventana de especificaciones del mismo

.

Figura 1.29 Bloque Floating Scope

El botón “XY Graph” se utiliza para representar gráficamente la relación entre una

variable independiente X y una variable dependiente Y. Requiere de las

especificaciones de los valores límites en los ejes de representación de las variables

“X” e “Y”. La Figura 1.30 muestra la ventana de especificaciones del bloque “XY

Graph”.


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Figura 1.30 Bloque XY Graph

Los bloques “Display” y “To Workspace” despliegan la información de salida en

forma numérica. El primero lo muestra en forma digital sobre el mismo icono

mientras que el segundo lo hace sobre el espacio de trabajo de Matlab asignándole

un símbolo a las variables que se quieren desplegar. La Figura 1.31 muestra la

ventana de especificaciones del bloque “Display”

Figura 1.31 Bloque Display


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El bloque “Display” permite la selección del formato numérico para el despliegue

de la información de salida. Por defecto, aparece desplegado el formato short .

Además contiene los formatos long, short_e, long_e y bank .

El bloque “To Workspace” asigna, por defecto, la palabra simout al nombre de la(s)

variable(s) capturada(s). El formato de salvamento, por defecto, es “Structure” perose hace necesario seleccionar la opción “Array” para manipular la serie de datos

capturados. La Figura 1.32 muestra la ventana de especificaciones del bloque “To

Workspace”

Figura 1.32 Bloque To Workspace

El bloque “To File” captura la información en forma similar al bloque “To

Workspace” pero lo guarda como un archivo de extensión mat .

1.8 LIBRERÍAS “SIGNAL ROUTING” Y “PORTS & SUBSYSTEMS”

La Figura 1.33 muestran las ventanas que se despliegan al abrir las librerías “Signal

Routing” y “Ports & Subsystems” que contienen bloques de enrutamiento de

señales y definición de puertos y subsistemas.


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Figura 1.33 Librerías Signal Routing y Signal Attributes

La librería “Signal Routing” contiene un conjunto de bloques de enrutamiento de

señales como interruptores, mezcladores, divisores, etc. Estos bloques tienen puertos

de entrada y de salida

La librería “Ports & Subsystems” contiene un conjunto de bloques que definen puertos de entradas y de salidas o subsistemas con los que desarrollan lazos de

control de flujo como if, switch, while, for , etc.

1.9 OTRAS LIBRERÍAS

En el árbol de herramientas en donde se incluye la de Simulink se observan otras que

en este instructivo no se han incluido pero que para las necesidades de simulación

dinámica de sistemas son muy útiles. Por ejemplo, la librería denominada “Simulink

Extras” contiene varios formularios adicionales denominados Additional Discrete, Additional Linear, Additional Sinks, Flip Flops, Linearization y Transformations. Si

se despliega el formulario denominado “Additional Linear” se encuentran bloques

que desarrollan funciones de transferencia con considerandos adicionales como el

State-Space (with initial outputs), Transfer Fcn (with initial outputs), Transfer Fcn

(with initial states), Zero-Pole (with initial outputs) y Zero-Pole (with initial states).


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En el formulario “Control System Toolbox” se encuentra el bloque denominado

“LTI System” que también desarrolla una función de transferencia especificada con

los comandos y argumentos utilizados en Matlab para escribir una función de

transferencia.

Figura 1.34 Bloque LTI System

Por defecto, el bloque LTI System especifica una función de transferencia en la

forma estándar con el comando tf de Matlab pero también permite la especificaciónen la forma de zeros y polos y en la forma del espacio de los estados.

En cuanto a herramientas útiles en la simulación de sistemas de control se

encuentran, entre otras, la de control de modelo predictivo (Model Predictive

Control), la de control robusto (Robust Control Toolbox), la de control difuso (Fuzzy

Logic Toolbox) y la de redes neurales (Neural Network Toolbox).

En la herramienta “Signal Processing Blockset” se incluyen varias ramas o

herramientas con las denominaciones de Estimation, Filtering, Math Functions y

Signal Management.

En la herramienta Estimation se encuentran bloques para realizar predicciones

lineares (Linear Prediction), estimación paràmetrica (Parametric Estimation) y

estimaciones de espectros de potencia (Power Spectrum Estimation).

En la herramienta denominada “Math Functions” se encuentran tres conjuntos de

bloques denominados Math Operations, Matrices and Linear Algebra y Polynomial

Functions. En la herramienta Math Operations se encuentran bloques que realizan

algunas operaciones matemáticas como suma acumulada (Cumulative Sum),

producto acumulado (Cumulative Product), exponencial de cantidades complejas

(Complex Exponential), diferencias finitas (Difference), normalización(Normalization), ganancia en decibeles (db Gain) y conversión del valor de una

ganancia a decibles (db Conversion).

En la herramienta denominada Matrices and Linear Algebra se encuentran cuatro

conjuntos de bloques denominados Linear System Solver (solucionadores de

sistemas de ecuaciones lineales), Matrix Factorizations (factorización de matrices),


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Matrix Inverses (determinación de la inversa de una matriz) y Matrix Operations

(operaciones entre matrices).

En la herramienta Polynomial Functions se encuentran bloques que realizan

operaciones importantes como el ajuste polinomial de un conjunto de datos

mediante el método de los mínimos cuadrados (Least Squares Polynomial Fit), laevaluación de un polinomio (Polynomial Evaluation) y la estimación o prueba de la

estabilidad de una ecuación polinomial (Polynomial Stability Test).


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SECCIÓN II

SISTEMAS LINEALESSIMULACIÓN DOMINIO TIEMPO


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Lección 2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN SISO

2.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL – FORMA ESTÁNDAR

La ecuación diferencial que expresa el modelo matemático de la dinámica de un

sistema lineal de primer orden SISO en su forma estándar tiene la siguiente forma:

)()()(

t KX t Y dt

t dY (2.1)

Siendo Y(t) y X(t) las variables desviación de salida y de entrada, respectivamente.

La constante de tiempo

y la ganancia estacionaria K son parámetros con

significado dinámico que caracterizan al sistema. El parámetro tiene unidades de

tiempo y se conoce como el atraso dinámico y el parámetro K puede ser

adimensional o con unidades de acuerdo con el análisis de la ecuación (2.1).

Para la solución de la ecuación (2.1) se requieren las especificaciones de los

parámetros dinámicos del sistema y el tipo de cambio que se ejerce a la variable de

entrada. Es importante anotar que por expresarse la ecuación (2.1) en términos de las

variables desviación, los valores iniciales de cada una de ellas es cero.

La ecuación diferencial (2.1) es de fácil solución tanto en forma analítica como enforma numérica. Una solución analítica es la que se alcanza siguiendo un método

como el del factor integrante o mediante una transformación de Laplace. Una

solución numérica es la que se desarrolla mediante procedimientos que aproximan el

término derivada por equivalentes finitos como el método de Euler y los de Runge-

Kutta.

La solución de la ecuación diferencial (2.1) en forma analítica en cualquier dominio

analítico (tiempo o Laplace) o mediante algún procedimiento numérico, permite

analizar el cambio de la variable desviación de salida en el tiempo ante un

determinado tipo de cambio en la variable desviación de entrada, es decir, la

dinámica del sistema cuyo fenómeno físico se expresa mediante dicha ecuación. El

análisis dinámico de un sistema es el conocimiento del comportamiento en estado

no estacionario y de las condiciones de estabilidad que se pueden alcanzar.


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2.2 MODELOS SIMPLIFICADOS

Cuando un sistema lineal de primer orden SISO en su modelo dinámico no presenta

atraso dinámico o no incluye el término variable desviación de salida se considera

que es un sistema simplificado del modelo completo. En el primero de los casos se

denomina “Sistema de ganancia pura” y el segundo se denomina “Sistema de

capacid ad pura” ó “Sistema integrante” o “Sistema no auto regulante”.

Sistema de Ganancia Pura

Para un sistema lineal de primer orden SISO sin atraso dinámico, el modelo

matemático que lo explica es la siguiente ecuación algebraica

)()( t KX t Y (2.2)

Los sistemas de ganancia pura se caracterizan por el parámetro ganancia y se

encuentran, siempre, en estado estacionario. Se desplazan, instantáneamente, de un

estado estacionario a otro sin desarrollar un comportamiento no estacionario entre

los dos estados. Se puede entender que la variable de salida es la variable de entrada

amplificada, atenuada o igual a la variable de entrada según que K sea mayor, menoro igual que 1.

Sistema de capacidad pura o integrantes

Un sistema de primer orden de Capacidad Pura es aquel en el que la rapidez de

cambio de la señal de salida del sistema es directamente proporcional al valor de la

señal de entrada, siendo la ganancia del proceso la constante de proporcionalidad. La

ecuación diferencial característica de un sistema de capacidad pura es:

)()(

t KX dt

t dY (2.3)


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La ecuación (2.3) al escribirla en forma inversa es equivalente a la ecuación

dt t X K t Y t

0

)()( (2.4)

La ecuación (2.4) permite definir (en forma inversa) a un proceso de capacidad pura

como aquel cuya respuesta es la sumatoria en el tiempo de los valores de la señal de

entrada multiplicados por el valor de la ganancia. Como la variable de salida de este

proceso se calcula con una integral de la función de entrada, los procesos de

capacidad pura, a menudo, son denominados procesos “ Integradores Puros”

2.3 SIMULINK: Diagrama de Bloques

En la Figura 2.1 se muestra un diagrama de bloques para la simulación dinámica de

sistema lineal de primer orden SISO en el dominio del tiempo dentro de la

plataforma de Simulink.

2.3.1 Entradas y Salidas

A la izquierda se observan dos bloques “Constant”, de color rojo, con los cuales se

introducen los parámetros físicos del sistema, es decir, la ganancia estacionaria y el

atraso dinámico.

Adicionalmente, se incluyen tres bloques de la librería “Sources”, también de color

rojo, para considerar el cambio paso (“Step”), el cambio seno (“Sine Wave”) y el

cambio rampa (“Ramp”) en la variable de entrada.

El botón constante de color negro cumple la función de asignar al interruptor

múltiple (“Multiport Switch”) el tipo de cambio en la variable de entrada que sedesea transmitir. Es fácil entender que el interruptor múltiple se especifica con el

número de entradas y una primera entrada, que aparece por defecto, es la

información que requiere el interruptor del número correspondiente a la variable de

entrada del sistema para permitir su transmisión. El bloque interruptor múltiple se

encuentra en la librería “Signal Routing”.


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Figura 2.1. Diagrama de bloques - Sistema lineal de primer orden SISO


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Melanio A. Coronado H 39

A la derecha se observan tres bloques “Scope”, de color rojo, para mostrar en forma

gráfica el cambio de la variable de salida con el tiempo. El denominado Y(t) solo

muestra el perfil gráfico de la variable de salida, el denominado Y(t) – X(t) muestra

superpuestas, a través de un bloque “Mux” (Librería “Signal Routing”) las

variaciones de tanto la variable de salida como la variable de entrada y eldenominado Ganancia Pura muestra la respuesta del sistema para cuando se quiera

observar su comportamiento para este caso simplificado. El bloque “Scope” se

encuentra en la librería “Sinks”.

2.3.2 Solución numérica de la ecuación diferencial – Forma estándar

La sección del diagrama de bloques que aparece de color magenta corresponde al

ciclo requerido para resolver numéricamente la ecuación diferencial lineal de primerorden SISO.

El bloque “Product” multiplica la ganancia del sistema por el cambio en la variable

de entrada y el resultado lo transmite al bloque “Sum” (+ -) donde se calcula la

diferencia entre el anterior producto y la variable de salida y este resultado se

transmite al bloque “Divide” en donde se desarrolla la división por el valor del

atraso dinámico. El resultado anterior es igual a la derivada con respecto al tiempo

de la variable de salida y, por lo tanto, dicha información debe alimentarse a un

bloque “Integrator” para que estime los sucesivos valores de la variable de salida

para los correspondientes tiempos de acuerdo al método numérico de solución

elegido. Se hace necesario especificar el límite inferior de la integración, pero en

este caso es el valor cero que se observa por defecto en la ventana de

especificaciones porque la variable de salida es variable desviación.

La variable de salida generada en el integrador se captura en el “Scope” llamado

Y(t) y se transmite el botón “Sum”, conexión pendiente de instalar.

2.3.3 Solución numérica de la ecuación diferencial – Modelo simplificado

Sistema de Ganancia Pura

Se observa en el “Scope” denominado Ganancia Pura que recibe, a través de un

bloque “Mux”, la información correspondiente al producto de la ganancia del

sistema por el cambio en la variable de entrada y el cambio en la variable de entrada.


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Es decir, que se muestra el perfil de la respuesta del sistema cuando el atraso

dinámico sea cero o lo que se conoce como un sistema de ganancia pura.

Sistema de Capacidad PuraEn la señal que recircula la información de la variable de salida generada por el

integrador se observa la introducción de un interruptor manual (“Manual Switch”)

conectado a un bloque “Constant4” con un valor de cero. Esto es para interrumpir la

transmisión de la señal y de esta forma simular la solución de la ecuación diferencial

lineal de primer SISO sin incluir el término correspondiente a la variable de salida,

es decir, simular un modelo de capacidad pura. La respuesta se observa en el bloque

“Scope” denominado Y(t) – X(t)

2.3.4 Operaciones adicionales

El interruptor múltiple denominado “Multiport Switch1” permite tres entradas (1, 2,

3) tomadas del mismo bloque constante denominado Entrada. Para las entradas 1

(cambio paso) y 2 (cambio seno) permite la transmisión del número 1 asignado al

bloque constante denominado “Constant3” y para la entrada 3 permite la

transmisión del valor de la ganancia asignada como parámetro de entrada. El bloque

“Divide1” que recibe dicha información, para los primeros dos valores (1 y 2)

transmite la misma información de entrada pero para el valor 3 (cambio rampa)

transmite la variable de salida dividida por el valor de la ganancia. Lo anterior se

hace, específicamente, para cuando se simule la respuesta rampa el perfil observado

en el “Scope” Y(t) – X(t) sea el de la respuesta dividido por la ganancia y de esta

manera se observe un paralelismo con la rampa de entrada.

2.3.5 Menú “Simulation”

El menú “Simulatión” además de mostrar la opción “Start” que al presionarla

ejecuta la simulación del diagrama de bloques elaborado, incluye otras opciones

como “Stop” para detener la simulación y “Configuration Parameters…”.

La Figura 2.2 muestra la ventana que se despliega al presionar esta opción.


41/180


Figura 2.2 Ventana “Configuration Parameters…”

En una lista vertical a la izquierda de la ventana se observa un árbol de opciones

para definir parámetros de la simulación y el que aparece seleccionado por defecto

cuando se despliega ésta ventana es la opción “Solver” donde se definen por el

usuario como el tiempo de simulación, el tipo de método que se desea aplicar en la

solución de la ecuación diferencial, el tamaño mínimo y máximo del paso a utilizar

en el procedimiento de solución, la tolerancia relativa y absoluta y otros. En especial

se llama la atención en el cuadro “Solver” que al desplegarlo se observan los

diferentes métodos disponibles para resolver la ecuación diferencial. Se nota en la

Figura 2.2 que para la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden

SISO de este instructivo se ha seleccionado el método “ode23s(stiff/Mod.

Rosenbrock)” que corresponde al método de Runge-Kutta 2 y 3 de procedimiento

riguroso ( stiff ) debido a Rosenbrock .

2.3.6 Ejecución de la simulación

La simulación se ejecuta seleccionando la opción “Start” del menú “Simulatión” o

presionando el icono con forma de triángulo denominado “Start Simulation”


42/180


y que aparece en la barra de herramientas. A la derecha del triángulo

anterior se localiza un pequeño rectángulo que al presionarlo detiene la simulación y

más a la derecha del anterior se observa un cuadro donde se puede digitar el tiempo

de la simulación. Antes de ejecutar la simulación se deben definir los parámetros de

la simulación explicados en el inciso anterior.

2.3.7 Resultados de la simulación

En el diagrama de bloques de la Figura 2.1 se han colocado bloques “Scope” para

capturar los resultados de la simulación en forma gráfica. Se pueden simular los tres

casos descritos de sistemas lineales de primer orden SISO: el modelo estándar, el

modelo de ganancia pura y el modelo integrador. A continuación se muestran los

resultados de las respuestas paso unitario, rampa unitaria y seno de un modeloestándar cuyos parámetros dinámicos son 5 minutos para el atraso dinámico y 2 para

la ganancia estacionaria. Se fija un tiempo de simulación de 50 minutos

Respuesta Paso Unitario

Para simular la respuesta paso, se especifica con el valor de 1 el botón “Entrada” y

el interruptor manual se conecta para dejar pasar la señal correspondiente a la

respuesta paso. Después de presionar el icono “Start Simulation” y una vezterminado el tiempo de simulación especificado se presiona dos veces seguidas el

botón “Scope” para desplegar la ventana que muestra la respuesta gráfica. El perfil

obtenido con los parámetros dinámicos expresados en el planteamiento del problema

es el observado en la Figura 2.3

Se observa el comportamiento característico de la dinámica de un sistema lineal de

primer orden SISO. Siendo la ganancia estacionaria de un valor de 2 y el cambio

paso unitario en la variable de entrada, entonces se cumple que el valor último de la

variable de salida es el producto de la ganancia por el cambio paso unitario, es decir,

2.

El perfil gráfico de tipo monotónico estable está de acuerdo con el modelo

exponencial correspondiente a este tipo de respuesta y el tiempo necesitado de,

aproximadamente, 25 minutos (5 veces el atraso dinámico) es lo que se espera. Para

un tiempo de simulación igual al atraso dinámico (5 minutos) se puede leer que el


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valor de la respuesta es, aproximadamente, el 62.3 % del valor último de la

respuesta, es decir, 1.25.

Figura 2.3 Respuesta Paso Unitario – Sistema de Primer Orden Lineal SISO

Respuesta Rampa Unitaria

Para simular la respuesta rampa, se especifica con el valor de 3 el botón “Entrada” y


respuesta rampa. El perfil obtenido con los parámetros dinámicos expresados en el

planteamiento del problema es el observado en la Figura 2.4.

Se muestra la respuesta del sistema con la rampa de la variable de entrada. Se

observa una respuesta de perfil monotónico inestable durante un breve tiempo inicial

y posteriormente un perfil lineal paralelo con la rampa de entrada (esto debido a quese grafica la respuesta dividida por el valor de la ganancia estacionaria del sistema).

El atraso que muestra el perfil de la respuesta con respecto al perfil de la variable de

entrada es exactamente el valor del atraso dinámico del sistema (5 minutos)


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Figura 2.4 Respuesta Rampa Unitaria – Sistema de Primer Orden Lineal SISO

Respuesta Seno (Amplitud: 1 y Frecuencia: 1 radian/segundo)

Para simular la respuesta seno, se especifica con el valor de 2 el botón “Entrada” y


respuesta seno. El perfil obtenido con los parámetros dinámicos expresados en el planteamiento del problema es el observado en la Figura 2.5. Superpuestos el perfil

sinusoidal de la variable de entrada (oscilatorio de amplitud constante, color

magenta) con el perfil de la respuesta del sistema (color amarillo) se observa que

durante un breve tiempo inicial la respuesta no tiene la misma amplitud observada

posteriormente.

Se nota un atraso en la respuesta con respecto a la variable de entrada tal que se

puede afirmar que la definición sinusoidal de la respuesta se alcanza en un tiempo

aproximadamente 5 veces el atraso dinámico del sistema.

2.4 EJERCICIOS

1.

Con respecto a la respuesta sinusoidal anterior, calcule:


45/180


a.

La amplitud del perfil sinusoidal

b.

La fase del perfil sinusoidal

Figura 2.6 Respuesta Seno – Sistema de Primer Orden Lineal SISO

2.

Simule la dinámica de un sistema de primer orden y describa las

características de la respuesta.

a.

Paso unitario para diferentes valores de la constante de tiempo

manteniendo constante el valor de la ganancia

b.

Paso unitario para diferentes valores de la ganancia manteniendo

constante el valor de la constante de tiempo

3. Simule la dinámica del sistema integrador y describa las características de la

respuesta:

a. Paso unitario

b.

Rampa unitaria

c.

Seno de amplitud 1 y frecuencia 1 rad/min

4.

Simule la dinámica del sistema de ganancia pura y describa las características

de la respuesta:

a. Paso unitario


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b.

Rampa unitaria

c.

Seno de amplitud 1 y frecuencia 1 rad/min


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Lección 3. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN SISO

3.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL – FORMA ESTÁNDAR

La ecuación diferencial que expresa la dinámica de un sistema lineal de segundo

orden SISO, se puede expresar con la siguiente forma:

oo bt xbt yadt

t dya

dt

t yd a )()(

)()(112

2

2 (3.1)

Siendo )(t y la variable de salida, )(t x la variable de entrada y oo b ybaaa ,,, 112

parámetros característicos del sistema. La ecuación 3.1 en términos de las variablesdesviación suele escribirse con el siguiente arreglo:

)()()()( 11

2

2

2 t X a

bt Y

dt

t dY

a

a

dt

t Y d

a

a

ooo

(3.2)

Las relaciones entre los parámetros físicos del sistema que se observan en la

ecuación (3.2) suelen sustituirse por símbolos que expresan parámetros de

significado dinámico como son la constante de tiempo , el factor de

amortiguamiento y la ganancia estacionaria K , resultando la ecuación

diferencial característica de un sistema lineal de segundo orden SISO así:

)()()(

2)(

2

22

t KX t Y dt

t dY

dt

t Y d (3.3)

Siendooa

a2


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2

11

2

1

2

1

aa

a

a

a

oo

oa

b K 1

Las anteriores ecuaciones expresan que estos tres parámetros se calculan con

ecuaciones en función de características físicas del sistema. La constante de tiempo

expresa un atraso dinámico, el valor del factor de amortiguamiento determina el tipo

de respuesta del sistema y la ganancia tiene el mismo significado definido para un

sistema de primer orden.

La ecuación diferencial (3.3) es la forma estándar completa que expresa la dinámica

de un sistema lineal de segundo orden SISO. Para la solución de la ecuación (3.3) se

requieren las especificaciones de los parámetros dinámicos o en su defecto los

parámetros físicos y el tipo de cambio que se ejerce a la variable de entrada. Es

importante anotar que por expresarse la ecuación (3.3) en términos de las variables

desviación, los valores iniciales de cada una de ellas es cero. Para el cálculo de los

parámetros dinámicos es posible que se requieran los valores iniciales de las

variables de entrada y salida los que se calculan considerando la ecuación (3.1) en el

estado estacionario. La solución de la ecuación diferencial (3.3) permite analizar la

variación en el tiempo de la variable desviación de salida ante un determinado tipo

de cambio en la variable desviación de entrada, es decir, la dinámica del sistema

cuyo fenómeno físico se expresa mediante dicha ecuación.

Ecuación característica de un sistema lineal de segundo orden SISO

A partir de la parte homogénea de la ecuación 3.3 se escribe la denominada

Ecuación característica o Ecuación auxiliar del sistema cuyas raíces determinan el

tipo de respuesta del sistema ante un determinado cambio en su variable de entrada y

que se puede escribir de la siguiente forma:

01222 r r (3.4)


49/180


Siendo r las raíces de dicha ecuación. Para un sistema de segundo orden la ecuación

característica es de segundo grado y las raíces solución se hallan con la siguiente

ecuación:

12 r (3.5)

La ecuación (3.5) muestra que la naturaleza de sus raíces depende del factor de

amortiguamiento, es decir, que este factor determina el comportamiento del sistema

modelado matemáticamente con la ecuación diferencial (3.3). Cuando las dos raíces

de la ecuación característica (3.4) sean reales se definen dos atrasos dinámicos

21 y como los inversos negativos de cada una de las raíces lo que permite

escribir que:

1

1

21

1

r (3.6)

1

1

2

2

2

r (3.7)

3.2 COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

Según el valor que le corresponde al factor de amortiguamiento, los diferentes tipos

de respuesta de un sistema lineal de segundo orden SISO son los siguientes:

Comportamiento monotónico estable o sobreamortiguado estable

Si 1 , las raíces son reales diferentes y negativas y la respuesta del sistema es unasuma de términos exponenciales con signos negativos. Esto se define como un

Comportamiento monotónico estable o Sobreamortiguado


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Comportamiento monotónico estable crítico o amortiguado crítico

Si 1 , las raíces son reales iguales y negativas y la respuesta del sistema es unaexpresión exponencial con signo negativo. Esto muestra un Comportamiento

monotónico estable crítico o Amortiguado crítico porque si se disminuye el valor

del coeficiente de amortiguamiento la respuesta es de tipo subamortiguado y si, por

lo contrario, se aumenta el sistema es más sobreamortiguado.

Comportamiento monotónico estable o subamortiguado estable

Si 10 , las raíces son complejas conjugadas con parte real negativa y larespuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal decreciente. Esto

muestra un Comportamiento oscilatorio estable o Subamortiguado estable

Comportamiento oscilatorio sostenido

Si 0 , las raíces son cantidades imaginarias iguales de signo contrario y larespuesta del sistema es una expresión sinusoidal. Esto muestra un Comportamiento

oscilatorio sostenido

Comportamiento oscilatorio inestable o subamortiguado inestable

Si 01 , las raíces son complejas conjugadas con parte real positiva y larespuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal creciente. Esto

muestra un Comportamiento oscilatorio inestable o Subamortiguado inestable, es

decir con oscilaciones de amplitud creciente

Comportamiento monotónico inestable o sobreamortiguado inestable

Si 1 , las raíces son reales positivos y la respuesta del sistema es una expresiónexponencial con signos positivos. Esto muestra un Comportamiento monotónico

inestable o Sobreamortiguado inestable.


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3.3 SOLUCIÓN NUMÉRICA - SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

Una ecuación diferencial de segundo orden se puede transformar en un sistema de

dos ecuaciones diferenciales de primer orden mediante la introducción de dos

variables que sustituyan a la variable de salida de la siguiente manera:

)1()( Y t Y

)2()1()(

Y dt

dY

dt

t dY

dt

dY

dt

t Y d )2()(2

2

En términos de Y(1), Y(2), la ecuación diferencial de segundo orden (3.3) se

transforma en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

)2()1(

Y dt

dY (3.8)

)()1()2(2)2(2 t KX Y Y dt

dY (3.9)

Un análisis de las ecuaciones (3.8) y (3.9) permite observar que la solución de una

ecuación diferencial lineal de segundo orden requiere de dos integraciones en serie.

La integración resolutiva de la ecuación (3.9) requiere de la información de los

parámetros dinámicos del sistema y del resultado de la integración resolutiva de la

ecuación (3.8) es decir de Y(1). El resultado de la primera integración, es decir Y(2)

se requiere en la integración resolutiva de la ecuación (3.8) y esto facilita comosolución a Y(1), es decir Y(t). Se deduce de la simultaneidad de las ecuaciones, por

ejemplo, en que la segunda ecuación requiere de la respuesta de la primera y

viceversa.


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3.4. SIMULINK: Diagrama de Bloques


sistema lineal de segundo orden SISO en el dominio del tiempo dentro de la

plataforma de Simulink.


A la izquierda se observan tres bloques “Constant”, de color rojo, con los cuales se

introducen los parámetros físicos del sistema, es decir, la ganancia estacionaria, el

atraso dinámico y el factor de amortiguamiento. Adicionalmente, se incluyen tres

bloques de la librería “Sources”, también de color rojo, para considerar el cambio

paso (“Step”), el cambio seno (“Sine Wave”) y el cambio rampa (“Ramp”) en la

variable de entrada.

El botón constante de color negro cumple la función de asignar al interruptor

múltiple (“Multiport Switch”) el tipo de cambio en la variable de entrada que se

desea transmitir. Es fácil entender que el interruptor múltiple se especifica con el

número de entradas y una primera entrada, que aparece por defecto, es la

información que requiere el interruptor del número correspondiente a la variable de

entrada del sistema para permitir su transmisión. El bloque interruptor múltiple se

encuentra en la librería “Signal Routing”.

A la derecha se observan un bloque “To Workspace” (Librería “Sinks”) , de color

rojo, para capturar los valores de la variable de salida calculados para el conjunto de

valores de tiempo definidos de acuerdo al método de solución de la ecuación

diferencial escogido. Además de la variable de salida también se captura la variable

de entrada.

Se observa un bloque “Clock” de la librería “Sources” conectado como entrada al

bloque “To Workspace” para incluir dentro del almacenamiento los respectivos

valores del tiempo a cada uno de los valores de las variables capturadas. Con este

bloque, la matriz de valores capturada es almacenada en la memoria de Matlab con

un nombre que por defecto es denominada “simout”. Dentro de la ventana de

especificaciones de este bloque debe seleccionarse la opción “Array” incluida

dentro del cuadro titulado “Save format”.


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Figura 3.1. Diagrama de bloques para la simulación de un sistema lineal de segundo orden SISO


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La sección del diagrama de bloques que aparece de color magenta corresponde al

ciclo requerido para resolver numéricamente la ecuación diferencial lineal de

segundo orden SISO. El bloque “Product” multiplica la ganancia del sistema por el

cambio en la variable de entrada y el resultado lo transmite al bloque “Sum” (+-)

donde se calcula la diferencia entre el anterior producto y la variable de salida y este

resultado se transmite al bloque “Add” en donde se desarrolla la diferencia entre el

resultado anterior y el producto que resulta de multiplicar al número dos por el valor

del factor de amortiguamiento por el valor del atraso dinámico y por el valor de la

primera derivada de la variable de salida. El resultado anterior es igual al producto

del cuadrado del atraso dinámico multiplicado por la segunda derivada con respecto

al tiempo de la variable de salida, razón por la cual dicho resultado se alimenta a un

bloque “Divide2” para desarrollar la división del resultado anterior por el cuadrado

del atraso dinámico y obtener como resultado, de éste último bloque, la segunda

derivada con respecto al tiempo de la variable de salida. La información que emerge

del bloque “Divide2”, es decir, la segunda derivada se alimenta a un bloque

“Integrator” (Condición Inicial = 0) y éste transmite como información de salida la

primera derivada, la que a su vez se alimenta a un segundo bloque “Integrator1”

donde se obtienen los valores de la variable de salida. Las salidas de cada uno de los

bloques integradores se requieren en los bloques “Sum” y “Add” localizados

anteriormente lo que hace que se observen dos lazos de recirculaciòn dentro del

diagrama de bloques.

3.4.3 Operaciones adicionales

El interruptor múltiple denominado “ Multiport Switch1” permite tres entradas (1, 2,

3) tomadas del mismo bloque constante denominado Entrada. Para las entradas 1

(cambio paso) y 2 (cambio seno) permite la transmisión del número 1 asignado al

bloque constante denominado “Constant3” y para la entrada 3 permite la

transmisión del valor de la ganancia asignada como parámetro de entrada. El bloque

“ Divide1” que recibe dicha información, para los primeros dos valores (1 y 2)

transmite la misma información de entrada pero para el valor 3 (cambio rampa)

transmite la variable de salida dividida por el valor de la ganancia. Lo anterior se

hace, específicamente, para cuando se simule la respuesta rampa, el perfil observado

en el bloque “To Workspace” sea el de la respuesta dividida por la ganancia y de

esta manera se observe un paralelismo con la rampa de entrada.


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En la Figura 3.1 se observa un diagrama de bloques para la solución de una ecuación

diferencial lineal de segundo orden SISO asignándole a la ganancia un valor de 8 y

al atraso dinámico un valor de 5 minutos. Se plantean, a continuación, varias

simulaciones para diferentes valores para el factor de amortiguamiento, el tiempo de

simulación es de 300 minutos y el método de solución de la ecuación diferencial es

el ode23s (stiff/Mod. Rosenbrock). Con la definición de los anteriores parámetros

para la dinámica del sistema y de la simulación se ejecuta la simulación presionando

el icono con forma de triángulo denominado “Start Simulation” y que aparece en la

barra de herramientas.

3.4.5. Resultados de la simulaciónA continuación se muestran los resultados de las respuestas paso unitario, rampa

unitaria y rampa (de amplitud = 1 y frecuencia = 1 rad/minuto) para

comportamientos sobreamortiguado, subamortiguado y oscilatorio de amplitud

constante. Las simulaciones para las respuestas seno se desarrollan como parte del

trabajo grupal de los estudiantes.

Respuesta Paso UnitarioPara simular la respuesta paso unitario, se especifica con el valor de 1 el botón

“Entrada” y el interruptor manual se conecta para dejar pasar la señal

correspondiente a la respuesta paso. Después de presionar el icono “Start

Simulation” y una vez terminado el tiempo de simulación especificado se despliega

el espacio de trabajo de Matlab y en el editor de comandos se digita la siguiente

orden:

plot(simout(:, 1), simout(:, 2))

El comando “ plot ” grafica la variable de salida Y(t) (simout(:, 2)) en función del

tiempo (simout(:, 1)). “simout ” es una matriz con 3 columnas, la primera es la de los

valores de la variable tiempo (primera conexión al bloque “Mux”), la segunda es la


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variable de salida (segunda conexión al bloque “Mux”) y la tercera es la variable de

entrada (tercera conectada al bloque “Mux”). Por lo tanto, la sintaxis simout(:, 1) se

entiende como todos los valores de la columna 1 de la matriz simout , la sintaxis

simout(:, 2) se entiende como todos los valores de la columna 2 de la matriz simout

y así sucesivamente. La adición del título del gráfico, las leyendas en los ejes y laedición, en general, del gráfico mostrado en las siguientes figuras se hacen con la

ayuda del asistente gráfico.

Respuesta Paso Unitario Sobreamortiguada

Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 5 (mayor que 1) y se espera un

perfil monotónico estable como se observa en la Figura 3.2

Figura 3.2 Respuesta Paso Unitario Sobreamortiguada

Se nota que el perfil es exponencial estable y el valor último que alcanza la

respuesta es de 8, lo que está de acuerdo con el valor de 8 asignado a la ganancia


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estacionaria del sistema y con el cambio paso unitario aplicado a la variable de

entrada.

Respuesta Paso Unitario SubamortiguadaSe asigna al factor de amortiguamiento un valor de 0.3 (menor que 1) y se espera un

perfil oscilatorio de amplitud decreciente como se observa en la Figura 3.3

Figura 3.3 Respuesta Paso Unitario Subamortiguada

Se nota que el perfil es oscilatorio decreciente y el valor último que alcanza la

respuesta es de 8, lo que está de acuerdo con el valor de 8 asignado a la ganancia

estacionaria del sistema y con el cambio paso unitario aplicado a la variable de

entrada. Es claro el sobrepaso máximo en el perfil gráfico y un decaimiento en la

amplitud de las sucesivas oscilaciones. La respuesta se estabiliza en un tiempo entre

100 y 150 minutos.


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Respuesta Paso Unitario Oscilatoria Sostenida

Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 0 y se espera un perfil oscilatorio

de amplitud constante como se observa en la Figura 3.4.

Figura 3.4 Respuesta Paso Unitario Oscilatoria Sostenida

Los casos anteriormente simulados han mostrado respuestas estables u oscilatoria

sostenida porque el factor de amortiguamiento asignado en cada uno de los dos

primeros casos es positivo y en el caso de la respuesta oscilatoria sostenida, el factor

de amortiguamiento asignado es de cero.

Si se asignan valores negativos al factor de amortiguamiento, las respuestas serán

inestables. La Figura 3.5 muestra la respuesta gráfica del sistema considerado para

un factor de amortiguamiento de -0.3

Respuesta Rampa Unitaria

Para simular la respuesta rampa unitaria, se especifica con el valor de 3 el botón

“Entrada” y el interru ptor manual se conecta para dejar pasar la señal

correspondiente a la respuesta rampa. Después de presionar el icono “Start


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Simulation” y una vez terminado el tiempo de simulación especificado se despliega

el espacio de trabajo de Matlab y en el editor de comandos se digita la siguiente

orden:

plot(simout(:, 1), simout(:, 2), ‘k’, simout(:, 1), simout(:, 3), ‘k’)

Figura 3.5 Respuesta Paso Unitario Subamortiguada Inestable

(Amortiguamiento = -0.3)

El comando “plot” grafica en una misma ventana las variable de salida y entrada

(simout(:, 2)) y simout(:, 3) en función del tiempo (simout(:, 1)) Las gráficas se

despliegan de color negro por la orden ‘k’.

La adición del título del gráfico, las leyendas en los ejes y la edición, en general, del

gráfico mostrado en las siguientes figuras se hacen con la ayuda del asistente

gráfico.

Respuesta Rampa Unitaria Sobreamortiguada

Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 5 (mayor que 1) y se espera un

perfil monotónico inestable creciente como se observa en la Figura 3.6


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Figura 3.6 Respuesta Rampa Unitaria Sobreamortiguada Inestable

Se observa, inicialmente, un perfil exponencial creciente y posteriormente una

tendencia lineal paralela con la rampa de entrada (linea roja) con un atraso

Respuesta Rampa Unitaria Subamortiguada

Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 0.3 (menor que 1) y se espera un

perfil oscilatorio de amplitud decreciente aproximándose a la rampa de entrada

como se observa en la Figura 3.7. Se fija un tiempo de 60 minutos para una

observación mejor del perfil de la respuesta del sistema.

Respuesta Rampa Unitaria Oscilatoria Sostenida

Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 0 y se espera un perfil oscilatorio

de alrededor de la rampa de entrada como se observa en la Figura 3.8


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Figura 3.7 Respuesta Rampa Unitaria Subamortiguada

Figura 3.8 Respuesta Rampa Unitaria Oscilatoria Sostenida

Respuesta Seno Sobreamortiguada

A la función seno para la variable de entrada se le asigna a la amplitud un valor de 1

y a la frecuencia un valor de 1 rad/minuto. Se asigna al factor de amortiguamiento


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un valor de 5 (mayor que 1) y un tiempo de simulación de 60 minutos, se espera un

oscilatorio como se observa en la Figura 3.9. Inicialmente se nota una respuesta

oscilatoria cuya amplitud aumenta hasta alcanzar un valor constante después de un

cierto tiempo y, además, es visible el atraso del perfil respuesta con respecto al

cambio sinusoidal de entrada.

Figura 3.9 Respuesta Seno Sobreamortiguada

Respuesta Seno Subamortiguada

Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 0.3 (menor que 1) y se espera un

perfil oscilatorio que inicialmente es de amplitud decreciente y posteriormente

adquiere un perfil oscilatorio de amplitud constante como se observa en la Figura

3.10. Se fija un tiempo de 160 minutos para una observación mejor del perfil de la

respuesta del sistema.

3.5. EJERCICIOS

1.

Con respecto a la respuesta rampa sobreamortiguada anterior, calcule el valor

del atraso que muestra la respuesta con respecto a la rampa de entrada.


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2.

3.

Figura 3.10 Respuesta Seno Subamortiguada

2.

Con respecto a la respuesta rampa subamortiguada anterior, calcule los

siguientes valores:

a.

El atraso dinámico de la respuesta cuando muestre una tendencia lineal

b.

La frecuencia en radianes por minuto del perfil oscilatorio

c.

La fase en radianes del perfil oscilatorio

3.

Con respecto a la respuesta seno sobreamortiguada anterior, calcule los

siguientes valores:

a.

La amplitud del perfil sinusoidal de amplitud constante

b.

La fase de dicho perfil en radianes

4.

Con respecto a la respuesta seno subamortiguada anterior, calcule los

siguientes valores:

a.

La fase con respecto al término sinusoidal de la respuesta

b.

La fase con respecto al término sinusoidal exponencial

c.

La frecuencia del perfil oscilatorio sinusoidal exponencial.


64/180


5.

Fije los parámetros requeridos para simular una repuesta seno amortiguada

crítica y calcule las características de dicha respuesta


65/180


Lección 4. SISTEMAS DE ORDEN MAYOR SISO

4.1 INTRODUCCIÓN

Los sistemas lineales SISO cuyo modelo matemático es una ecuación diferencial de

orden mayor que dos se clasifican como de orden mayor. La forma general queexpresa a un modelo de este tipo es:

oom

m

mm

m

m

on

n

nn

n

n

ct xbdt

t dxb

dt

t dxb

dt

t xd b

t yadt

t dya

dt

t dya

dt

t yd a

)()(

.....)()(

)()(

.....)()(

11

1

1

11

1

1

(4.1)

Siendo )(t y la variable de salida y )(t x la variable de entrada. Los coeficientes

pueden ser constantes o funciones lineales o no lineales con el tiempo. La ecuación

(4.1) expresada con las respectivas variables desviación es:

)()(

.....)()(

)()(

.....)()(

11

1

1

11

1

1

t X bdt

t dX b

dt

t dX b

dt

t X d b

t Y adt

t dY a

dt

t dY a

dt

t Y d a

om

m

mm

m

m

on

n

nn

n

n

(4.2)

Siendo )(t Y la variable desviación de salida y )(t X la variable desviación de entrada.

Si la ecuación diferencial (4.2) los términos derivadas de la variable de entrada son

iguales a cero se simplifica a:

)()()(

.....)()(

11

1

1 t X bt Y adt

t dY a

dt

t dY a

dt

t Y d a oon

n

nn

n

n

(4.3)

Ecuación diferencial homogénea

Las ecuaciones diferenciales homogéneas de orden n tienen la siguiente forma:


66/180


0)()(

.....)()(

11

1

1

t Y adt

t dY a

dt

t dY a

dt

t Y d a on

n

nn

n

n (4.4)

Considerando que los coeficientes de la ecuación diferencial (4.4) son constantes, su

solución se puede hallar remplazando los términos derivadas ii dt t dY /)( por i con

lo cual resulta la llamada ecuación característica:

0..... 11

1

on

n

n

n aaaa (4.5)

Las n raíces de la ecuación característica son denominadas los valores

característicos. Estos valores se utilizan para la solución de la ecuación diferencial y

su naturaleza determina las características de la solución en cuanto a su estabilidad

monotónica u oscilatoria.

4.2 SOLUCIÓN NUMÉRICA - SISTEMA DE ORDEN n

Una ecuación diferencial de orden n se puede transformar en un sistema de n

ecuaciones diferenciales de primer orden mediante la introducción de n variables

que sustituyan a la variable de salida de la siguiente manera:

)1()( Y t Y

)2()1()(

Y dt

dY

dt

t dY

)3()2()(

2

2

Y dt

dY

dt

t Y d

--------------------------

)()1()(

1

1

nY dt

ndY

dt

t Y d n

n

dt

ndY

dt

t Y d n

n)()(

Una ecuación diferencial de orden 3 con el tipo de la (4.3) se puede transformar al

siguiente sistema de tres ecuaciones diferenciales (4.6), (4.7) y (4.9) lineales así:


67/180


)1()( Y t Y

)2()1()(

Y dt

dY

dt

t dY (4.6)

)3()2()(

2

2

Y dt

dY

dt

t Y d (4.7)

dt

dY

dt

t Y d )3()(3

3

(4.8)

)()1()2()3()3(

123 t X bY aY aY adt

dY a oo (4.9)

Un análisis de las ecuaciones (4.6) a (4.9) permite observar que la solución de una

ecuación diferencial lineal de tercer orden requiere de tres integraciones en serie. La

integración resolutiva de la ecuación (4.9) requiere de la información de los

parámetros dinámicos del sistema y el resultado es el perfil para Y(3), es decir lasegunda derivada de Y(t). La integración de la ecuación (4.7), previo conocimiento

de Y(3) obtiene como resultado a Y(2), es decir, la primera derivada de Y(t) y

finalmente la integración de la ecuación (4.6) obtiene como resultado la variación de

Y(t).

4.3. SIMULINK: Diagrama de Bloques


sistema lineal de tercer orden SISO en el dominio del tiempo dentro de la plataforma de Simulink. La ecuación diferencial se plantea en la siguiente forma:

)()()(

.....)()(

12

2

23

3

3 t X bt Y adt

t dY a

dt

t dY a

dt

t Y d a oo (4.10)

Siendo Y(t) y X(t) variables desviación de salida y entrada, respectivamente, las

condiciones iniciales de ellas y de sus derivadas son iguales a cero.


A la izquierda se observan seis bloques “Constant”, de color rojo, con los cuales se

introducen los parámetros del sistema, que en este caso son los coeficientes de la

ecuación diferencial, a3 , a2 , a1 , ao y bo. Adicionalmente, se incluyen un bloque de la

librería “Sources”, también de color rojo, para considerar el cambio paso (“Step”),


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Figura 4.1 Diagrama de bloques – Sistema lineal de tercer orden SISO


69/180


A la derecha se observan un bloque “Scope” (Librería “Sinks”) , de color rojo, para

capturar los valores de la variable de salida.


La sección del diagrama de bloques que aparece de color magenta corresponde a los

ciclos requeridos para resolver numéricamente la ecuación diferencial lineal de

tercer orden SISO. El bloque “Product” desarrolla el producto boX(t) y el resultado

lo trasmite al bloque “Add1” (+-) donde se calcula la diferencia boX(t) – aoY(t) y

cuyo resultado es transmitido al bloque “Add2” donde se calcula la diferencia

boX(t) – aoY(t) - a1dY(t)/dt y, finalmente, este resultado es transmitido al bloque

“Add3” donde se calcula la diferencia boX(t) – aoY(t) - a1dY(t)/dt – a2d 2Y(t)/dt 2. Esta

última diferencia se alimenta al bloque “Divide4” para dividirse por el valor de a3 lo

que equivale a dejar en forma expresa la tercera derivada de Y (t) con respecto al

tiempo d 3

Y (t)/dt 3

. A continuación se desarrollan las tres integrales que se requieren para obtener la respuesta Y (t). Se utiliza un primer bloque “Integrator” con

condición inicial cero (d 2Y (t)/dt 2 = 0) y cuyo resultado es la segunda derivada. Las

dos integrales que siguen a continuación se desarrollan con el bloque “Integrator,

Second-Order” de la librería “Continuous” y con el cual se realizan dos integrales

simples. Los bloques “Divide1”, “Divide2” y “Divide3” realizan las

multiplicaciones anteriores, en su orden, aoY (t), a1dY (t)/dt y a2d 2Y (t)/dt

2.

Bloque “Integrator, Second- Order”

El bloque “Integrator, Second -Order” se puede emplear en remplazo de dos

bloques “Integrator” en serie, es decir, para hacer la integración de una segunda

derivada. La ventana de especificaciones es la que se muestra en la Figura 4.2.

Se lee en la leyenda debajo de la barra de título de la ventana de especificaciones la

función que desarrolla el bloque dentro de una simulación. Seguidamente, se

observan tres pestañas: x, dx/dt y Attributes, siendo la primera la que se despliega

por defecto.

En el cuadro desplegable denominado “Initial condition source x” se elige si la

condición inicial para x, en este caso, es interna o externa, y en el cuadro digitable

“Initial condition x:” se escribe el valor inicial de x.

A continuación debe seleccionarse la pestaña “dx/dt” para introducir las

especificaciones correspondientes. La Figura 4.3 (a) muestra la ventana de

especificaciones con la pestaña “dx/dt” seleccionada.


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Figura 4.2 Bloque “Integrator, Second -Order” de la librería “Continuous” -

Simulink

(a) (b)

Figura 4.3 Bloque “Integrator, Second -Order”.

(a) Pestaña “dx/dt”, (b) Pestaña “Attribute”

En la pestaña “Attribute” (Figura 4.3 (b)) se encuentra el cuadro desplegable “Show

output” que selecciona por defecto la opción “both”, con la cual el bloque despliega

ambas salidas, la de x y la de dx/dt.

Las otras dos opciones son cada una de las mencionadas anteriormente.


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4.3.3 Solución algebraica de la ecuación característica

Anexo al diagrama de bloques que resuelve la ecuación diferencial lineal de tercer

orden SISO de la Figura 4.1 se colocan en color azul los bloques necesarios para

solucionar la ecuación algebraica característica del sistema caracterizada

dinámicamente por la ecuación diferencial considerada. Se utiliza el bloque “VectorConcatenate” de la librería “Math Operations” y el bloque “MATLAB Fcn” de la

librería “User - Defined Functions”.

Bloque “Vector Concatenate”

El bloque “Vector Concatenate” se emplea para organizar varios números en

arreglos vectoriales o multidimensionales. La Figura 4.4 muestra la ventana de

especificaciones de este bloque, basta con especificar el número de entradas (4, en

este caso) y el modo del arreglo (Vector, en este caso). En esta simulación sealimentan los coeficientes a3 , a2 , a1 y ao y el vector correspondiente es alimentado a

un bloque “MATLAB Fcn” donde a la entrada se le puede aplicar una función

definida dentro de la plataforma de Matlab.

Figura 4.4 Bloque “Vector Concatenate”

Bloque “MATLAB Fcn”

El bloque “MATLAB Fcn” se emplea para aplicar una función, definida dentro del

código de Matlab, a la información de entrada. En este caso se utiliza la función

“roots” con la cual se determinan las raíces de una ecuación polinómica con

coeficientes constantes que es el tipo correspondiente a la ecuación característica de


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tercer grado que se simula en el diagrama de bloques de la Figura 4.1. La sintaxis

requerida para dicha función es el vector de los coeficientes de la ecuación. La

Figura 4.5 muestra la ventana de especificaciones de este bloque, basta con

especificar el número de salidas (3, en este caso) porque la ecuación algebraica de

tercer grado tiene tres raíces solución. Los valores de estas raíces son capturados en

un bloque “Display” que se ha denominado “Raíces”.

Figura 4.5 Bloque “MATLAB Fcn”

En la Figura 4.5 se observa que en el cuadro titulado “MATLAB function” aparece la

palabra clave “roots”, en el cuadro digitable “Output dimensions” se especifica el

número 3 (tres raíces) y en el cuadro desplegable “Output signal type” se selecciona

la opción “complex” porque las raíces pueden ser reales o complejas conjugadas.


Para la ejecución de la simulación se aplica el método ode23s (stiff/Mod.

Rosenbrock) y el tiempo de simulación asignado es de 12 minutos Con la definición

de los anteriores parámetros se ejecuta la simulación presionando el icono con forma

de triángulo denominado “Start Simulation” y que aparece en la barra de

herramientas.


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4.3.5. Resultado de la simulación

La ecuación diferencial que se resuelve en el diagrama de bloques de la Figura 4.1

es la siguiente (coeficientes 1, 6, 9, 10 y 1):

)()(10)(

9)(

6)(

2

2

3

3

t X t Y dt

t dY

dt

t dY

dt

t Y d

Respuesta paso unitario subamortiguada estable

A continuación se muestra, en forma gráfica, el resultado de la respuesta paso

unitario del sistema con la ecuación diferencial lineal de tercer orden considerada.

Es una respuesta subamortiguada estable con un sobrepaso con respecto a su valor

último que es de 0.1 (bo /ao). Se aprecia en el bloque “Raíces” que los valores queresultan al resolver la ecuación algebraica característica son: -4.492, -0.754 + 1.288 i

y -0.754 – 1.288 i. Una raíz real negativa y dos raíces complejas conjugadas con

parte real negativa son características de una respuesta subamortiguada estable

Figura 4.6 Respuesta paso unitario subamortiguada estable

Sistema lineal de tercer orden SISO


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Respuesta paso unitario sobreamortiguada estable

Modificando la ecuación diferencial que se resuelve en el diagrama de bloques de la

Figura 4.1 a la siguiente (coeficientes 1, 3, 3, 1 y 1):

)()()(

3)(

3)(

Simulink I

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