SIMULATION - SYSTÈMES DE PRODUCTION RÉSEAUX DE PETRI - ARENA “All models are wrong but some are useful” Georges E.P. Box, statisticien 1919-2013 Si le problème que vous rencontrez à une solution, il ne sert à rien de s’inquiéter. Mais s’il n’en a pas, alors s’inquiéter ne change rien. Adage tibétain Jean-Louis Boimond Table des matières I INTRODUCTION À LA SIMULATION ........................................................................................................... 4 I.1 L’ÉTAPE DE MODÉLISATION ............................................................................................................. 5 I.2 LES LIMITES DE LA SIMULATION .................................................................................................... 6 I.3 LES SYSTÈMES À ÉVÉNEMENTS DISCRETS ................................................................................... 6 I.4 LA SIMULATION DES SYSTÈMES DE PRODUCTION .................................................................... 7 I.5 UTILISATION DE L’INFORMATIQUE ................................................................................................ 8 II RAPPELS DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES ..................................................................................... 8 II.1 VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES........................................................................................ 10 II.2 LOIS DE DISTRIBUTION STANDARD ............................................................................................. 11 II.3 VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES ......................................................................................... 13 III DONNÉES D'ENTRÉE DU SYSTÈME ........................................................................................................ 15 III.1 CONNAISSANCE PARTIELLE DES DONNÉES ............................................................................ 15 III.2 DONNÉES EXISTANTES (accessibles à la mesure) ......................................................................... 16 IV VÉRIFICATION ET VALIDATION DES MODÈLES ................................................................................. 17 IV.1 VÉRIFICATION ................................................................................................................................... 17 IV.2 VALIDATION ....................................................................................................................................... 18 V INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS ........................................................................................................ 19 V.1 ANALYSE DES SYSTÈMES FINIS ..................................................................................................... 21 V.2 ANALYSE DES SYSTÈMES QUI NE SE TERMINENT PAS .......................................................... 22 VI NOTIONS ELÉMENTAIRES SUR LES RÉSEAUX DE PETRI ................................................................. 23 VI.1 GÉNÉRALITÉS .................................................................................................................................... 23 VI.2 GRAPHES D'ÉVÉNEMENTS ............................................................................................................. 25 VI.3 EXEMPLES ........................................................................................................................................... 25 VI.4 AUTRES CLASSES DE RÉSEAUX DE PETRI ................................................................................ 27 VII LE LANGAGE DE SIMULATION ARENA ............................................................................................... 28 VII.1 NOTIONS DE BASE ........................................................................................................................... 28 VII.2 BLOCS PERMETTANT LA CONSTRUCTION D’UN MODÈLE................................................ 31 VII.3 BLOCS PERMETTANT L’ANALYSE D’UN MODÈLE................................................................ 43 VII.4 ANIMATION GRAPHIQUE .............................................................................................................. 47 VII.5 DONNÉES D'ENTRÉES ..................................................................................................................... 50 VII.6 ANALYSE DES RÉSULTATS ........................................................................................................... 51
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SIMULATION - SYSTÈMES DE PRODUCTION
RÉSEAUX DE PETRI - ARENA
“All models are wrong but some are useful” Georges E.P. Box, statisticien 1919-2013
Si le problème que vous rencontrez à une solution, il ne sert à rien de s’inquiéter. Mais s’il n’en a pas, alors s’inquiéter ne change rien.
Adage tibétain
Jean-Louis Boimond
Table des matières
I INTRODUCTION À LA SIMULATION ........................................................................................................... 4
I.1 L’ÉTAPE DE MODÉLISATION ............................................................................................................. 5 I.2 LES LIMITES DE LA SIMULATION .................................................................................................... 6 I.3 LES SYSTÈMES À ÉVÉNEMENTS DISCRETS ................................................................................... 6 I.4 LA SIMULATION DES SYSTÈMES DE PRODUCTION .................................................................... 7 I.5 UTILISATION DE L’INFORMATIQUE ................................................................................................ 8
II RAPPELS DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES ..................................................................................... 8
II.1 VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES ........................................................................................ 10 II.2 LOIS DE DISTRIBUTION STANDARD ............................................................................................. 11 II.3 VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES ......................................................................................... 13
III DONNÉES D'ENTRÉE DU SYSTÈME ........................................................................................................ 15
III.1 CONNAISSANCE PARTIELLE DES DONNÉES ............................................................................ 15 III.2 DONNÉES EXISTANTES (accessibles à la mesure) ......................................................................... 16
IV VÉRIFICATION ET VALIDATION DES MODÈLES ................................................................................. 17
V INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS ........................................................................................................ 19
V.1 ANALYSE DES SYSTÈMES FINIS ..................................................................................................... 21 V.2 ANALYSE DES SYSTÈMES QUI NE SE TERMINENT PAS .......................................................... 22
VI NOTIONS ELÉMENTAIRES SUR LES RÉSEAUX DE PETRI ................................................................. 23
VI.1 GÉNÉRALITÉS .................................................................................................................................... 23 VI.2 GRAPHES D'ÉVÉNEMENTS ............................................................................................................. 25 VI.3 EXEMPLES ........................................................................................................................................... 25 VI.4 AUTRES CLASSES DE RÉSEAUX DE PETRI ................................................................................ 27
VII LE LANGAGE DE SIMULATION ARENA ............................................................................................... 28
VII.1 NOTIONS DE BASE ........................................................................................................................... 28 VII.2 BLOCS PERMETTANT LA CONSTRUCTION D’UN MODÈLE ................................................ 31 VII.3 BLOCS PERMETTANT L’ANALYSE D’UN MODÈLE ................................................................ 43 VII.4 ANIMATION GRAPHIQUE .............................................................................................................. 47 VII.5 DONNÉES D'ENTRÉES ..................................................................................................................... 50 VII.6 ANALYSE DES RÉSULTATS ........................................................................................................... 51
2
Bibliographie
▪ Discrete Event Systems - Modeling and Performance Analysis, Christos G. Cassandras, Aksen Associates
Incorporated Publishers, ISBN 0-256-11212-6.
▪ Handbook of Simulation: Principles, Methodology, Advances, Applications, and Practice, J. Bank, Wiley
Interscience, 1998.
▪ Introduction to Simulation Using SIMAN. Second Edition, C. Dennis Pegden, R.E. Shannon, R.P. Sadowski,
Ed. Mc Graw-Hill.
▪ Simulation Modeling and Analysis with ARENA. T. Altiok, B. Melamed, Elsevier, 2007.
▪ Optimisation des flux de production : Méthodes et simulation, A. Ait Hssain, Ed. Dunod, 2000.
▪ Du Grafcet aux réseaux de Petri. R. David, H. Alla, Hermès, 1989.
▪ Cours de « Simulation informatique des systèmes de production », P. Castagna, A. L'Anton, N. Mebarki,
97/98 - IUT OGP Nantes.
▪ Cours de « Réseaux de files d'attente et simulation », J. P. Chemla, 96/97 - Université de Tours.
▪ Probabilités et statistiques. 3ème édition, A. Ruegg, Presses Polytechniques Romandes.
bloc MATCH ....................................................................................................................................................... 39
bloc PROCESS .................................................................................................................................................... 41
bloc RECORD ..................................................................................................................................................... 43
bloc SEPARATE ................................................................................................................................................. 41
bloc STATION .................................................................................................................................................... 48
loi DISCrete ......................................................................................................................................................... 14
loi EXPOnential .................................................................................................................................................. 12
loi NORMal .......................................................................................................................................................... 13
loi TRIAngular .................................................................................................................................................... 11
loi UNIFform ....................................................................................................................................................... 10
variable NR .......................................................................................................................................................... 45
4
I INTRODUCTION À LA SIMULATION
La simulation est un processus qui consiste à :
- Concevoir un modèle du système (réel) étudié,
- Mener des expérimentations sur ce modèle (et non pas des calculs),
- Interpréter les observations fournies par le déroulement du modèle et formuler des
décisions relatives au système.
Le but peut être de comprendre le comportement dynamique du système, de comparer des
configurations, d’évaluer différentes stratégies de pilotage, d’évaluer et d’optimiser des
performances.
La simulation est une technique permettant d'étudier le comportement d'un système dynamique
en construisant un modèle logiciel de celui-ci.
Les domaines d'application sont divers. Sont listés ci-dessous quelques classes d’applications
et quelques exemples de problèmes typiques rattachés à ces classes :
▪ Systèmes de flux de production
- équilibrage de lignes d’assemblage,
- conception de systèmes de transfert entre des postes,
- dimensionnement des stocks d’un atelier,
- comparaison de pilotage de lignes de production.
▪ Flux logistiques et systèmes de transport
- conception et dimensionnement d’entrepôts,
- dimensionnement d’une flotte de camions,
- étude de procédures de contrôle des flux de véhicules en circulation.
▪ Production des services
- étude de transactions bancaires,
- gestion de cantines, de restaurants,
Calendrier SCHEDULES
CREATE
Operateur SEIZE
10 DELAY
DISPOSE
Date de sortie VARIABLES
Date de sortie ASSIGN
NR(Machine) NR(Operateur)
DSTATS
Operateur RELEASE
1
DELAY
1
DELAY
Modélisation Analyse des
résultats
5
- comparaisons de politiques de maintenance des avions.
▪ Systèmes informatiques et télécommunications
- étude de la file d’attente mémoire d’un serveur,
- étude des comportements des utilisateurs,
- conception et dimensionnement de hubs.
▪ Autres classes d’applications
- domaine militaire (support logistique, coordination des opérations, …),
- gestion d’hôpitaux (personnel, lits, service d’urgence, …),
- le nucléaire, la météo, les jeux, ...
➢ Méthodologie générale
Quatre phases sont classiquement considérées durant le processus de simulation : La
modélisation (représenter le comportement du système), la programmation, l'expérimentation
et l'interprétation des résultats (accompagnée d’actions).
(a) Expérimentation : Il s'agit de construire des théories, d’émettre des hypothèses, qui
prennent en compte le comportement observé.
Dans ce cours, les modèles conceptuels seront représentés par des réseaux de Petri, cf. chp. VI ;
les programmes/modèles de simulation, ainsi que les expérimentations à même d’extraire des
résultats, se feront dans le cadre du logiciel Arena, cf. chp. VII.
I.1 L’ÉTAPE DE MODÉLISATION
L’étape de modélisation est une phase essentielle à la simulation au sens où la qualité des
résultats fournis à l’issue des expérimentations est principalement liée à la qualité de la
modélisation.
Différents points doivent être abordés :
• Définir l'objectif de la modélisation (lié au cahier des charges) : Pourquoi modélise-t-on ?
Qu'étudie-t-on ? Que veut-on faire ou améliorer ?
Figure 1 : Méthodologie d'une simulation.
Résultats
Modèle conceptuel
(conditionné par l’objectif de l’étude)
Programme de simulation
Analyse & Modélisation
Interprétation
& Action
Correction
Correction
Vérification
Programmation
Expérimentation(a)
Validation Système (réel)
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• Définir les limites du système (les entrées, les sorties) et les éléments (via la réalisation d'une
fonction, ou d'un processus) qui le composent.
• Définir les interactions entre ces éléments (hiérarchie).
I.2 LES LIMITES DE LA SIMULATION
La simulation n'est pas une technique d'optimisation au sens propre. Elle ne peut qu'établir les
performances d'une solution conçue et imaginée par l'utilisateur. C'est une technique itérative
qui ne propose pas de solution finale mais qui permet seulement à l'utilisateur d'envisager des
choix possibles. En tout état de cause, c'est lui qui devra décider de ce qui répond le mieux aux
problèmes posés.
Les résultats de simulation sont souvent complexes à interpréter. On étudie des phénomènes
aléatoires et les techniques d'analyse demandent de la rigueur ; il est souvent difficile de faire
la part du crucial et de l'anecdotique (le modèle doit être ni trop grossier, ni trop précis), ceci
dans un temps de réalisation souvent contraint.
I.3 LES SYSTÈMES À ÉVÉNEMENTS DISCRETS
Les systèmes que nous allons considérer, notamment les systèmes de production, sont dits à
événements discrets. Un tel système est représenté par un modèle à événements discrets.
L’espace d'état est régi par des événements discrets au sens où les transitions entre états sont
associées à l'occurrence d'événements discrets asynchrones. Les changements d’état de tels
systèmes s’opèrent instantanément, à des moments discrets dans le temps. Par exemple, si une
variable représente le nombre de pièces présentes dans un stock alors ses valeurs varient
seulement aux instants où des pièces entrent, ou sortent, du stock.
Les systèmes de trafic (aérien, ferroviaire, naval, …), les systèmes de communication, les
systèmes informatiques sont d'autres exemples de systèmes dynamiques dont l'activité est due
à des événements discrets, dont certains sont provoqués (départ d’un train, appui sur une touche
d'un clavier) et d'autres pas (panne d'un équipement).
Le modèle reproduit l'évolution au cours du temps de l'état1 du système sous l'effet des activités
qui y sont réalisées. L’évolution d'une simulation événementielle se fait à travers la gestion
d’un échéancier : Le modèle du système passe au cours du temps d'un état à un autre état suite
au déclenchement d'un événement. A chaque événement est associée une fonction à exécuter
laquelle peut modifier l'état du système à travers le déclenchement d'un, ou de plusieurs
événements.
1 L’évolution de l’état est régie par des événements discrets contrairement aux systèmes continus (régis par des
équations différentielles) où l’état évolue continûment au cours du temps.
7
I.4 LA SIMULATION DES SYSTÈMES DE PRODUCTION
Un système de production est constitué d'un système opérant (physique), d'un système de
conduite (partie commande) et d'un système d'informations reliant ces deux derniers. Il est
traversé par un flux d'informations (présence d'une pièce, état d'une machine) et un flux physique
(matière première, pièces). Le système à simuler peut être existant, à modifier ou non encore
construit.
Les systèmes automatisés de production - à l'initiative de l'Homme - sont caractérisés par une
forte complexité et flexibilité. La simulation de ces systèmes nécessite souvent d’avoir une
approche globale prenant en compte, à la fois, les aspects techniques (caractéristiques des
ressources de production, des capacités de stockage, géométrie du réseau de transport, ...) et
humains (contraintes sociales, travail en équipe, heures supplémentaires, ...).
Le modèle décrit le fonctionnement du système (sa structure et son comportement dynamique)
avec le degré de détail nécessaire à la résolution du problème posé. C'est une représentation de
la circulation des flux de produits :
- Le flux est ralenti par des activités qui mobilisent des ressources (après avoir attendu
leur disponibilité) pendant un certain temps (durées opératoires, temps de transfert, ...),
- Le flux est contraint par des règles opératoires (gammes, contraintes technologiques),
- Le flux est dirigé par les règles de conduite (système de contrôle).
L'historique et les statistiques portent sur les déplacements (temps de séjour des pièces, temps
de transports des pièces d'un lieu à un autre, ...), les taux d'engagements des ressources, les
longueurs des files d'attente, ...
Historique, statistiques
Evaluation de performances
Système de production
Modèle
Programme
Événement X
Événement C
Événement B
Événement A
Événements
datables
Échéancier
Moteur : Exécution de
l’événement dont
la date
d’occurrence est la
plus proche du
temps courant de
la simulation
8
L'évaluation de performances2, en termes de circulation de produits, exploite ces données pour :
- Déterminer des performances absolues (volume de production, temps de cycle
maximum),
- Prédire des performances dans certaines conditions (présence de pannes),
- Faire une analyse de sensibilité (parmi des choix semblables),
- Comparer des alternatives (parmi des choix possibles).
Ces indicateurs de performances sont ensuite agrégés pour des prises de décisions relatives à
l'aide à la conception, à la conduite, ...
I.5 UTILISATION DE L’INFORMATIQUE
Trois approches sont habituellement utilisées pour réaliser une simulation : 1. Ecrire le programme correspondant au problème et au système donnés. Les moyens
informatiques sont les langages de programmation généraux (C, Fortran, Pascal, ...). La mise
en œuvre peut être longue, par contre on dispose d’une grande flexibilité. 2. Le développement d'un modèle de simulation est réalisé au travers d'un programme écrit par
l'utilisateur à partir de primitives de modélisation offertes par le langage (les langages de
simulation). Ce type de logiciel offre une grande flexibilité mais avec des coûts de
développement parfois importants. Certains langages, comme ARENA (un des principaux
logiciels standards de simulation en France), proposent des primitives de modélisation
particulièrement adaptées aux systèmes de production (primitives de modélisation des
ressources et fonction de transport). 3. Utiliser un logiciel, appelé simulateur, dédié à un type de systèmes et un type de problème.
Le modèle est donné et il suffit de le paramétrer pour l'adapter au cas étudié. Cette alternative
présente l’avantage de ne pas programmer (seules des données sont à entrer), par contre il
n’est pas toujours simple de trouver le logiciel dédié adapté au système et au problème
concernés.
II RAPPELS DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES
Sachant qu'il est impossible – quelle que soit la puissance des ordinateurs - de simuler toutes
les déviations possibles d'un système, l'outil statistique est une alternative pour prendre en
compte, étudier et maîtriser les conséquences des variations aléatoires des systèmes.
La théorie des probabilités, branche des mathématiques, permet de modéliser et d'étudier des
phénomènes aléatoires. On parle alors d'événements aléatoires, de lois de probabilité, de
variables aléatoires, ...
Dans un système de production, de nombreux phénomènes ont un caractère aléatoire, par
exemple :
- La durée opératoire d'une opération manuelle,
2 L’évaluation de performances se base souvent sur le taux de production (nombre moyen de pièces par unité de
temps), le WIP (Work In Process, nombre total de pièces dans le système à chaque instant), le makespan (intervalle
de temps entre le début et la fin de la production des pièces).
9
- La durée de vie d'un outil,
- L'absentéisme des opérateurs,
- La période d'arrivée des ordres de fabrication déclenchant une production.
La statistique repose sur l'observation de phénomènes concrets. Le but est de recueillir des
données d'observation, de les traiter et de les interpréter. On parle alors de population
d'individus, de variables caractéristiques, d'échantillons, de moyennes, ...
Les modèles probabilistes permettent de représenter approximativement les données observées
(imprécision, erreurs, répartition dans la population) comme des variables aléatoires suivant
une certaine loi de probabilité → modèles simplificateurs.
L'échantillon étant tiré au hasard, les caractéristiques des données à traiter sont des variables
aléatoires → application de théorèmes de probabilités (par exemple, le théorème central
limite3).
La simulation utilise les résultats des probabilités-statistiques essentiellement pour :
- Approcher des données empiriques par des distributions de probabilités
→ des fonctions intégrées dans le modèle de simulation (lois de distributions),
- Interpréter statistiquement les données générées par le modèle
→ moyennes, intervalles de confiance, ...
Définition de la probabilité
On considère l'ensemble Ω des éventualités possibles résultant d'une épreuve (expérience,
observation ou simulation), chacune de ces éventualités étant appelée événement élémentaire.
Un événement quelconque est défini comme un sous-ensemble 𝐴 de Ω contenant tous les
événements élémentaires de Ω composant l'événement 𝐴. La probabilité attachée à un
événement 𝐴 est un nombre 𝑃(𝐴) compris entre 0 et 1, obéissant à certaines règles
axiomatiques, en particulier :
- L'événement de l'ensemble vide a une probabilité nulle.
- L'événement Ω a une probabilité égale à 1.
- ∀ 𝐴 ⊆ , on a 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1.
- ∀ 𝐴, 𝐵 ⊆ , on a 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
Le problème de l'attribution de probabilités à un ensemble d'événements peut être résolu dans
un certain nombre de cas de la façon suivante :
- Si les événements élémentaires sont en nombre fini, on peut procéder à une série de
répétitions de l'épreuve : La fréquence d'apparition de chaque événement permet de
disposer d'une estimation de sa probabilité.
- Si les événements sont en nombre infini, on peut définir sur cet ensemble une densité
de répartition de probabilité.
3 La moyenne d'un échantillon de taille 𝑛 extrait d'une population quelconque de moyenne 𝜇 et d'écart type 𝜎 est
distribuée selon une loi pratiquement normale de moyenne 𝜇 et d'écart type 𝜎
√𝑛 quand la taille de l'échantillon est
suffisamment grande. Pour une population de départ de distribution normale, le théorème centrale limite est valable
pour tout 𝑛. Pour les distributions rencontrées dans la pratique courante, plus la taille de l'échantillon est grande,
plus la loi se rapproche de la loi normale. On peut considérer qu'à partir de 𝑛 égale à 30, la moyenne d'un
échantillon est distribuée de façon sensiblement normale.
10
II.1 VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES
Une variable aléatoire continue 𝑋 est une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble Ω
(ensemble des événements possibles) telle que l'ensemble des valeurs prises par 𝑋, noté 𝑋(Ω), est un intervalle fini ou infini. Soit par exemple Ω un intervalle [𝑎, 𝑏] représentant l’ensemble
des valeurs possibles du diamètre des pièces en sortie d’un tour d’usinage.
Exemple de la loi uniforme (UNIF) continue : Soit 𝑋 une variable aléatoire susceptible de
prendre toutes les valeurs d'un intervalle fini [𝑎, 𝑏], sans privilégier aucune région de [𝑎, 𝑏] (on
parle d'événements équiprobables). Aussi, la probabilité que 𝑋 prenne une valeur appartenant
à l'intervalle [𝑢, 𝑣] (⊂ [𝑎, 𝑏]) est proportionnelle à la longueur de [𝑢, 𝑣], d'où
𝑃(𝑢 ≤ 𝑋 ≤ 𝑣) = (𝑣 − 𝑢)/(𝑏 − 𝑎),
soit 𝑃(𝑢 ≤ 𝑋 ≤ 𝑣) = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥 𝑣
𝑢 où 𝑓𝑋(𝑥) = {
1/(𝑏 − 𝑎) si 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏0 sinon
.
La fonction 𝑓𝑋(𝑥), appelée densité de probabilité, définit le comportement aléatoire
(stochastique) de la variable aléatoire 𝑋 et permet ainsi de caractériser sa loi de probabilité
(distribution).
La loi uniforme (distribution of maximum ignorance) est utilisée lorsque l'on a aucune
information exceptée la connaissance du domaine [𝑎, 𝑏].
𝑓𝑋(𝑥) est une densité de probabilité de la variable aléatoire 𝑋 si, et seulement si,
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅2, 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥. 𝑏
𝑎
Remarque : Pour une variable aléatoire continue, considérer un événement du type « 𝑋 = 𝑥 »
n'a pas de sens (en effet, on a : 𝑃(𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) = 0).
La densité de probabilité 𝑓𝑋(𝑥) est telle que :
{𝑓𝑋(𝑥) ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑅,
∫ 𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥+∞
−∞= 1 (correspondant à la probabiité de l'événement certain = 1).
Remarque : 𝑓𝑋(𝑥) est continue sur 𝑅 sauf (éventuellement) en un nombre fini de points (par
exemple, la densité de la loi uniforme est continue, exceptée en 2 points).
On définit la moyenne 𝑀, aussi appelée espérance mathématique 𝐸(𝑋), par :
𝑀 = ∫ 𝑥 𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥 +∞
−∞.
On définit la variance 𝜎2 (𝜎2 ≥ 0), aussi notée 𝑉𝑎𝑟(𝑋), par :
𝜎2 = (∫ 𝑥2𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥 +∞
−∞) − 𝑀2, encore égale à ∫ (𝑥 − 𝑀)2𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥
+∞
−∞.
1
𝑏 − 𝑎
𝑓𝑋(𝑥)
0 a u v b x
aire =𝑃(𝑢 ≤ 𝑋 ≤ 𝑣)
11
Rappel (Moyenne, variance) : La moyenne constitue un paramètre de position qui renseigne
sur l'ordre de grandeur des valeurs prises par la variable aléatoire 𝑋. La variance est une mesure
de la dispersion de ces valeurs autour de leur moyenne. Plus la variance est faible (≥ 0), plus
les valeurs prises par 𝑋 sont concentrées autour de la moyenne.
Exemple : Dans le cas de la loi uniforme précédente, on a :
𝑀 = ∫ 𝑥
𝑏−𝑎 𝑑𝑥 =
𝑎+𝑏
2
𝑏
𝑎 et 𝜎2 = ∫
𝑥2
𝑏−𝑎
𝑏
𝑎 𝑑𝑥 − (
𝑎+𝑏
2)2
=(𝑏−𝑎)2
12.
On définit l'écart type (standard deviation) par 𝜎=√𝜎2.
La plus grande partie des phénomènes aléatoires rencontrés dans la pratique peut être étudiée
via un nombre restreint de lois de distribution. Nous allons à présent voir les principales lois de
distributions.
II.2 LOIS DE DISTRIBUTION STANDARD
a) LOI TRIANGULAIRE (TRIA)
{
𝑓𝑋(𝑥) =
2(𝑥−𝑎)
(𝑚−𝑎)(𝑏−𝑎) si 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑚,
𝑓𝑋(𝑥) =2(𝑏−𝑥)
(𝑏−𝑚)(𝑏−𝑎) si 𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,
𝑓𝑋(𝑥) = 0 sinon.
𝐷 = [𝑎, 𝑏] ; 𝑀 =𝑎+𝑚+𝑏
3 ; 𝜎2 =
𝑎2+𝑚2+𝑏2−𝑎𝑚−𝑎𝑏−𝑚𝑏
18.
Application : On utilise cette loi lorsqu'on dispose d'une estimation du minimum, du maximum
Application : Cette loi est souvent utilisée en pratique. Par exemple, dans le cas de temps
séparant les arrivées de 2 « clients » successifs dans l'étude d'un phénomène d'attente, ou dans
le cas d'une durée de bon fonctionnement d'un équipement technique.
La loi exponentielle est la seule loi continue à permettre la prise en compte de phénomènes sans
mémoire ou sans vieillissement ou sans usure. En effet, la probabilité que 𝑋 soit supérieure, ou
égale, à 𝑥 + 𝑥0, sachant que 𝑋 est supérieure, ou égale, à 𝑥0, dépend de la valeur de 𝑥, et est
indépendante de la valeur de 𝑥0, soit : 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥 + 𝑥0 | 𝑋 ≥ 𝑥0) = 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥). Par exemple, il est souvent admis que la durée de vie 𝑇 d'un dispositif électronique obéit à une
loi exponentielle. Aussi la probabilité de bon fonctionnement du dispositif dans un intervalle
de temps [Δ0, Δ0 + Δ], c'est-à-dire, 𝑃(𝑇 ≥ Δ + Δ0| 𝑇 ≥ Δ0), dépend uniquement de la
longueur de cet intervalle, et non de sa position par rapport à l'axe des temps, soit :
𝑃(𝑇 ≥ Δ + Δ0 | 𝑇 ≥ Δ0) = 𝑃(𝑇 ≥ Δ)).
Démonstration : Soient l'événement 𝐴 correspondant au fait que 𝑋 ≥ 𝑥0 et l'événement 𝐵
correspondant au fait que 𝑋 ≥ 𝑥0 + 𝑥. On a 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥0) = ∫ 𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥 +∞
𝑥0 et 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥0 + 𝑥) =
∫ 𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥 +∞
𝑥0+𝑥. Aussi 𝑃(𝐵 | 𝐴) équivaut à 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥0 + 𝑥 | 𝑋 ≥ 𝑥0).
Sachant que 𝑃(𝐴 | 𝐵) équivaut à 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥0 | 𝑋 ≥ 𝑥0 + 𝑥) = 1, on a 𝑃(𝐵 | 𝐴) =𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴).
Ainsi 𝑃(𝐵 | 𝐴) =𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴)=
𝑃(𝑋≥𝑥0+𝑥)
𝑃(𝑋≥𝑥0)=
∫1
𝛽 𝑒− 𝑢𝛽 𝑑𝑢
+ ∞ 𝑥0+𝑥
∫1
𝛽 𝑒− 𝑢𝛽 𝑑𝑢
+ ∞ 𝑥0
=
− [𝑒− 𝑢𝛽] 𝑥0+𝑥
+ ∞
− [𝑒− 𝑢𝛽] 𝑥0
+ ∞ =𝑒− (𝑥0+𝑥)𝛽
𝑒− 𝑥0𝛽
= 𝑒− 𝑥
𝛽 qui est
fonction de 𝑥 uniquement (indépendant de 𝑥0).
𝑓𝑋(𝑥)
0 x
1
𝛽
13
c) LOI NORMALE (NORM)
𝐷 = ]−∞, +∞[ ; moyenne = 𝑀 ; variance = 𝜎2.
Application : Cette loi s'applique dans le cas de processus dont la distribution est symétrique et
pour lesquels la moyenne et l'écart type sont estimés. Exemple : Variations de la longueur de
pièces fabriquées en série.
Cette loi permet de modéliser une donnée qui est la somme d'un grand nombre de données
aléatoires (théorème central limite).
Rappel : A la place de la densité de probabilité 𝑓𝑋(𝑥), on peut utiliser la fonction de répartition
𝐹𝑋(𝑥) pour caractériser la distribution d'une variable aléatoire 𝑋.
On a : 𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓𝑋(𝑢) 𝑑𝑢 𝑥
− ∞ pour −∞ < 𝑥 < +∞.
𝐹𝑋(𝑥) est une fonction continue, monotone croissante, telle que 𝐹𝑋(− ∞) = 0 et 𝐹𝑋(+ ∞) = 1,
𝐹𝑋′ (𝑥) = 𝑓𝑋(𝑥). Elle permet de calculer des probabilités de la forme 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) sans
effectuer une intégration (ce qui est le cas en utilisant 𝑓𝑋(𝑥)) ; en effet 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) =𝐹𝑋(𝑏) − 𝐹𝑋(𝑎).
II.3 VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
Une variable aléatoire est discrète si elle ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs (par
exemple : Ω ={pile, face} dans le cas du lancer d'une pièce de monnaie). Pour chaque valeur
𝑥𝑖, on associe la probabilité 𝑝(𝑥𝑖) d'apparition de cette valeur.
Pour 𝑁 valeurs, l'ensemble des probabilités associées est tel que :
∑ 𝑝(𝑥𝑖) 𝑁𝑖=1 = 1 si 𝑁 couvre l'ensemble des valeurs.
Exemple : On définit un système capable de produire quatre types de produits notés 1, 2, 3, 4.
Lors de l'arrivée des ordres de fabrication, on sait que la probabilité d'avoir un produit 1 est
égale à 1 6⁄ , celle d'avoir un produit 2 est égale à 1 3⁄ , celle d'avoir un produit 3 est égale à 1 3⁄
et celle d'avoir un produit 4 est égale à 1 6⁄ .
𝑓𝑋(𝑥)=1
𝜎√2𝜋 𝑒− (𝑥−𝑀)
2/2𝜎2
points d'inflexion
1
𝜎√2𝜋
𝑓𝑋(𝑥)
0 𝑥 𝑀 − 𝜎 𝑀 𝑀 + 𝜎
𝑀 𝑥
𝑓𝑋(𝑥)
68% des valeurs
𝜎2 petit
𝜎2 grand
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La loi est représentée soit par le diagramme en bâtons suivant indiquant 𝑝(𝑥𝑖) en fonction de
𝑥𝑖 :
soit par un histogramme4 :
Définitions
La moyenne (arithmétique) 𝑀 est égale à ∑ 𝑥𝑖𝑝(𝑥𝑖)𝑁𝑖=1 .
Exercice : Calculer la moyenne considérée dans l'exemple précédent.
La variance 𝜎2 est égale à (∑ 𝑥𝑖2𝑝(𝑥𝑖)) − 𝑀
2𝑁𝑖=1 .
On définit la probabilité cumulée (notion utilisée dans le logiciel ARENA) par
𝑝𝑐(𝑥𝑖) = ∑ 𝑝(𝑥𝑙)𝑖𝑙=1 .
Dans l'exemple précédent, on a : 𝑝𝑐(𝑥1) =1
6, 𝑝𝑐(𝑥2) =
1
2, 𝑝𝑐(𝑥3) =
5
6, 𝑝𝑐(𝑥4) = 1.
Soit 𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛 un ensemble de 𝑛 valeurs discrètes possibles, la distribution empirique discrète
DISC(𝑝𝑐(𝑥1), 𝑥1, ⋯ , 𝑝𝑐(𝑥𝑖), 𝑥𝑖 , ⋯ , 𝑝𝑐(𝑥𝑛), 𝑥𝑛) est telle qu’elle retourne la valeur 𝑥𝑖 avec une
probabilité cumulée égale à 𝑝𝑐(𝑥𝑖)5. Par exemple, la loi DISC(0.3,1, 0.4,2, 1,4) retourne : la
valeur 1 avec une probabilité égale à 0.3 ; la valeur 2 avec une probabilité égale à 0.1(= 0.4 −0.3) ; la valeur 4 avec une probabilité égale à 0.6(= 1 − 0.4).
4 Ensemble de rectangles de même largeur dont les surfaces sont proportionnelles aux probabilités 𝑝(𝑥𝑖). 5 Par construction, on a : 𝑝𝑐(𝑥1) = 𝑝(𝑥1) et 𝑝𝑐(𝑥𝑛) = 1.
𝑝(𝑥𝑖)
1/3
1/6
𝑥𝑖 0 1 2 3 4
1/3
1/6
1 2 3 4 0
𝑝(𝑥𝑖)
𝑥𝑖
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Application : Les variables aléatoires discrètes s'appliquent dans le cas d'injection directe de
données empiriques dans le modèle. Exemples : Types de pièces, taille des lots.
III DONNÉES D'ENTRÉE DU SYSTÈME
La qualité des données est aussi importante que la qualité du modèle (garbage in - garbage
out) ; ceci concerne, par exemple dans le cas d'un système de production, les temps opératoires,
les temps de bon fonctionnement, les taux de rebut, ...
→ lecture directe des données empiriques ou tirage à partir d'une distribution
théorique associée ?
Les sources possibles de données sont de nature différente :
- Enregistrement du passé → bases de données à interroger (problèmes de mise à jour).
- Observation du système → ressources humaines (erreurs, négligence des extrêmes et
oubli du passé).
- Systèmes similaires → attention aux inférences.
- Affirmation des fournisseurs de matériel (souvent optimistes).
- Estimation des concepteurs (à vérifier).
Deux cas sont à considérer : les données du système (moyenne, minimum, maximum, ...) sont
disponibles ou partiellement connues.
III.1 CONNAISSANCE PARTIELLE DES DONNÉES
C'est le cas des systèmes qui n'existent pas encore, ou pour lesquels il est impossible de disposer
des données désirées (temps, ressources). On doit se baser sur l'estimation des opérateurs, des
concepteurs, des fournisseurs de matériel, ...
Trois cas se présentent souvent : On dispose seulement de la moyenne, on dispose seulement
du minimum et du maximum, ou on dispose seulement du minimum, de la valeur la plus
probable ( de la moyenne, voir la loi triangulaire) et du maximum.
1. Seule la moyenne 𝑴 est disponible
On peut alors utiliser (si cela est justifié) :
- Directement 𝑀 comme valeur constante de la variable si la dispersion (écart type) est petite,
- Une distribution exponentielle (grande dispersion : forte variabilité) de paramètre 𝑀 si la
nature du phénomène le justifie.
2. 𝑴𝒊𝒏 et 𝑴𝒂𝒙 sont disponibles
On peut alors utiliser (si cela est justifié) :
- Une distribution uniforme de paramètres 𝑀𝑖𝑛 et 𝑀𝑎𝑥, c'est la distribution de l'ignorance
(il n'y a pas de raison de penser que les probabilités ne sont pas équiprobables),
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- Si les données sont centrées autour de la moyenne 𝑀 = (𝑀𝑖𝑛 + 𝑀𝑎𝑥) 2⁄ , on peut appliquer
une distribution normale centrée autour de 𝑀 ; à partir de l'étendue des données
(𝐸𝑡𝑒𝑛𝑑𝑢𝑒 = 𝑀𝑎𝑥 −𝑀𝑖𝑛), on peut calculer l'écart type : Si les données sont nombreuses,
𝜎 = 𝐸𝑡𝑒𝑛𝑑𝑢𝑒/6, sinon 𝜎 = 𝐸𝑡𝑒𝑛𝑑𝑢𝑒/4.
3. 𝑴𝒊𝒏, 𝑴𝒂𝒙 et la valeur la plus probable 𝒎 sont disponibles
On peut alors utiliser (si cela est justifié) une distribution triangulaire de paramètres
𝑀𝑖𝑛,𝑚,𝑀𝑎𝑥.
III.2 DONNÉES EXISTANTES (accessibles à la mesure)
Le problème P2 n'ayant pas de réponse claire, les logiciels de simulation proposent souvent les
deux possibilités.
Il est souvent intéressant, pour des raisons théoriques et pratiques, de pouvoir décrire une loi de
probabilité par une distribution théorique. Ceci revient à exprimer sous forme analytique les
probabilités 𝑝(𝑥𝑘) en fonction de l'indice 𝑘. On peut alors appliquer au calcul des probabilités
des méthodes bien connues d'analyse mathématique, évitant ainsi des calculs numériques
fastidieux.
- Si les données empiriques sont directement utilisées, elles sont entrées sous forme de
distributions empiriques cumulatives (histogramme des fréquences : regroupement des
observations en classes, nombres de classes = (O√𝑛𝑏𝑟𝑒 𝑑′𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠)). - Si on veut faire des tirages à partir des distributions théoriques, il faut :
a) Choisir une distribution en fonction de sa forme (et celle de l'histogramme des données),
b) Estimer ses paramètres,
c) Tester l'hypothèse (la distribution correspond-elle bien aux données ?).
L'étape a) est effectuée, connaissant les caractéristiques des distributions courantes et en
comparant visuellement la distribution théorique et la distribution empirique (histogramme des
fréquences).
L'étape b) implique l'utilisation des estimateurs classiques.
L'étape c) peut s'effectuer visuellement, ou en utilisant des tests statistiques d'hypothèses (Khi-
deux, Kolmogorov-Smirnov).
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Exemple : On s'intéresse au temps de traitement d'une machine. On dispose d'un ensemble de
500 valeurs représentant l'intervalle de temps (obtenu à l'aide d'un chronomètre) entre chaque
apparition d'une pièce en sortie de la machine. L'entrée de la machine est toujours
approvisionnée. On considère 21 classes pour construire l'histogramme des fréquences.
REAL data Data pts =500 intervals = 21 Range : -1 to 12
Mean = 5,02 StdDev = 1,88 Min = -0,4531 Max = 11,3