HAL Id: tel-00451443 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00451443 Submitted on 29 Jan 2010 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. SIMULATION AUX GRANDES ECHELLES DES ECOULEMENTS REACTIFS NON PREMELANGES Albouze Guillaume To cite this version: Albouze Guillaume. SIMULATION AUX GRANDES ECHELLES DES ECOULEMENTS REAC- TIFS NON PREMELANGES. Sciences de l’ingénieur [physics]. Institut National Polytechnique de Toulouse - INPT, 2009. Français. tel-00451443
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SIMULATION AUX GRANDES ECHELLES DES ......Resum´ ´e La Simulation aux Grandes echelles (LES) est de plus en plus pr´ esent´ ee comme un outil´ `a part enti`ere dans le d eveloppement
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Submitted on 29 Jan 2010
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SIMULATION AUX GRANDES ECHELLES DESECOULEMENTS REACTIFS NON PREMELANGES
Albouze Guillaume
To cite this version:Albouze Guillaume. SIMULATION AUX GRANDES ECHELLES DES ECOULEMENTS REAC-TIFS NON PREMELANGES. Sciences de l’ingénieur [physics]. Institut National Polytechnique deToulouse - INPT, 2009. Français. tel-00451443
Les equations de conservation d’un ecoulement multi especes reactif s’ecrivent :
∂w
∂t+∇ · F = s (2.1)
ou w = ( ρu, ρv, ρw, ρE, ρk)T est le vecteur des variables conservatives avec respectivement ρ, u, v, w,
E, ρk la densite, les trois composantes du vecteur vitesse ~V = (u, v, w)T , l’energie totale et ρk = ρYk
avec Yk la fraction massique de l’espece k, k variant de 1 a N , N etant le nombre d’especes. Une
decomposition classique en parties visqueuse et non visqueuse est utilise pour le tenseur des flux :
F = F(w)I + F(w,∇w)V (2.2)
Les trois composantes du tenseur non visqueux F(w)I sont :
Termes non visqueux :
f I =
ρu2 + Pρuvρuw
(ρE + P )uρku
, gI =
ρuvρv2 + P
ρvw(ρE + P )v
ρkv
, hI =
ρuwρvw
ρw2 + P(ρE + P )w
ρkw
(2.3)
ou la pression hydrostatique P est determinee par l’equation d’etat des gaz parfaits (Eq. 2.15).
EQUATIONS DE CONSERVATION POUR LES FLUIDES REACTIFS
Termes visqueux : Les trois composantes du tenseur visqueux F(w,∇w)V sont :
fV =
−τxx
−τxy
−τxz
−(uτxx + vτxy + wτxz) + qx
Jx,k
gV =
−τxy
−τyy
−τyz
−(uτxy + vτyy + wτyz) + qy
Jy,k
hV =
−τxz
−τyz
−τzz
−(uτxz + vτyz + wτzz) + qz
Jz,k
(2.4)
Le tenseur des contraintes τ est defini par :
τij = 2µ(Sij −1
3δijSll), i, j = 1, 3 (2.5)
Sij =1
2(∂uj
∂xi+
∂ui
∂xj), i, j = 1, 3 (2.6)
avec µ la viscosite dynamique explicitee en section 2.5. Ji,k est le flux diffusif de l’espece k suivant idefini en section 2.4 (Eq. 2.26) et qi est le flux de chaleur defini en section 2.6 (Eq. 2.32).
2.2 Variables thermodynamiques
L’etat de reference est pris a la pression P0 = 1 bar et a la temperature T0 = 0 K. Les enthalpies hs,k
et entropies sk sensibles de chaque espece sont tabulees tous les 200 K de 0 a 5000 K et sont definies par
les Eq. 2.7 et 2.8. Le symbole ˜ correspond aux valeurs tabulees et l’exposant m correspond aux valeurs
molaires. hms,k, sm
k et la masse molaire Wk sont determinees a partir de la table JANAF [150]. L’energie
sensible de chaque espece est egalement definie a l’aide de l’Eq. 2.9.
hs,k(Ti) =
∫ Ti
T0=0KCp,kdT =
hms,k(Ti)− hm
s,k(T0)
Wk, i = 1, 51 (2.7)
sk(Ti) =smk (Ti)− sm
k (T0)
Wk, i = 1, 51 (2.8)
es,k(Ti) =
∫ Ti
T0=0KCv,kdT = hs,k(Ti)− rkTi i = 1, 51 (2.9)
34
2.3 Equation d’etat des gaz parfaits
Les capacites calorifiques a pression constante Cp,k et volume constant Cv,k sont supposes constantes
entre Ti et Ti+1 = Ti + 100. Elles sont respectivement determinees par les Eq. 2.10 et 2.11. L’energie
sensible est definie par une interpolation lineaire via la temperature (Eq. 2.12). L’energie sensible et
l’enthalpie sensible du melange sont respectivement definies par les Eq. 2.13 et 2.14.
L’equation d’etat d’un melange de gaz parfaits s’ecrit :
P = ρRW
T (2.15)
1
W=
N∑
k=1
Yk
Wk(2.16)
ou W est la masse molaire du melange. La constante du melange variable en temps et en espace r et les
capacites calorifiques dependent des fractions massiques :
r =RW
=N∑
k=1
Yk
WkR =
N∑
k=1
Ykrk (2.17)
Cp =N∑
k=1
YkCp,k (2.18)
Cv =N∑
k=1
YkCv,k (2.19)
ouR = 8.3143 J/mol.K est la constante universelle des gaz parfaits. L’exposant polytropique du melange
est donne par γ = Cp/Cv. Donc, la constante du melange, les capacites calorifiques et l’exposant po-
lytropique dependent de la composition local du melange definie par les fractions massiques locales
Yk(x, t) :
r = r(x, t), Cp = Cp(x, t), Cv = Cv(x, t), et γ = γ(x, t) (2.20)
35
EQUATIONS DE CONSERVATION POUR LES FLUIDES REACTIFS
A partir de l’energie sensible, on deduit la temperature en utilisant les Eq. 2.12 et 2.13. Enfin, les condi-
tions limites font intervenir la vitesse du son du melange c definie par l’Eq. 2.21.
c2 = γrT (2.21)
2.4 Conservation de la masse en multi-especes
Dans un ecoulement multi-especes, la conservation totale de la masse implique que l’Eq. 2.22 soit
satisfaite. V ki represente la composante dans la direction i (i=1,2,3) de la vitesse de diffusion de l’espece k
(k=1,...,N). Afin d’exprimer cette vitesse de diffusion, l’approximation d’Hirschfelder-Curtis est utilisee.
Cette fonction, definie par l’Eq. 2.23, utilise les gradients des fractions molaires Xk definies par Xk =YkW/Wk. En terme de fraction massique, l’Eq. 2.23 devient l’Eq. 2.24.
N∑
k=1
Yk V ki = 0 (2.22)
Xk V ki = −Dk
∂Xk
∂xi, i = 1, 2, 3 (2.23)
Yk V ki = −Dk
Wk
W
∂Xk
∂xi, i = 1, 2, 3 (2.24)
En sommant les k Eq. 2.24, la conservation de la masse totale exprimee par l’Eq. 2.22 n’est pas
necessairement respectee. Pour assurer la conservation globale de la masse, une vitesse de diffusion
corrective ~V c est ajoutee. Cette vitesse est definie par l’Eq. 2.25 [111]. Le flux de diffusion des especes
Ji,k est alors defini par l’Eq. 2.26.
V ci =
N∑
k=1
DkWk
W
∂Xk
∂xi, i = 1, 2, 3 (2.25)
Ji,k = −ρ
(Dk
Wk
W
∂Xk
∂xi− YkV
ci
), i = 1, 2, 3 (2.26)
ou Dk est la diffusivite de l’espece k dans le melange (voir section 2.5).
2.5 Coefficients de transport
Dans la plupart des codes de mecanique des fluides utilisant un melange de plusieurs especes, la
viscosite dynamique µ est supposee independante de la composition du melange et proche de celle de
l’air1. La loi puissance, definie par l’Eq. 2.27, est utilisee pour determiner la viscosite dynamique.
µ = c1(T
Tref)b (2.27)
1Les erreurs liees a cette hypothese sont faibles par rapport aux proprietes thermodynamiques
36
2.6 Flux de chaleur
ou b est typiquement dans la plage 0.5-1.0 (air : b = 0.76). La conductivite thermique du melange est
definie, en utilisant un nombre de Prandtl Pr supposee constant en temps et en espace, par l’Eq. 2.28.
λ =µCp
Pr(2.28)
La diffusivite moleculaire Dk est exprimee a l’aide des coefficients binaires Dij obtenus a l’aide de la
theorie cinetique des gaz [57]. La diffusivite moleculaire Dk est definie par l’Eq. 2.29 [10].
Dk =1− Yk∑N
j 6=k Xj/Djk
(2.29)
Les coefficients binaires Dij sont des fonctions complexes dependant des integrales de collision et des
variables thermodynamiques. Dans un code DNS utilisant une chimie complexe, utiliser l’Eq. 2.29 a un
sens. Cependant, dans la plupart des codes DNS, un schema simplifie est utilise et la modelisation de la
diffusivite n’a pas besoin d’etre aussi precise. En consequence, une approche plus simplifiee est utilisee.
En faisant l’hypothese que les nombres de Schmidt de chaque espece Sc,k sont constants, la diffusivite
moleculaire Dk est definie par l’Eq. 2.30.
Dk =µ
ρ Sc,k(2.30)
ou Sc,k est le nombre de Schmidt de l’espece k suppose constant en temps et en espace. Pr et Sc,k
modelisent la diffusion laminaire thermique et moleculaire. Les valeurs sont obtenues a l’aide du logiciel
PREMIX, inclus dans le package CHEMKIN [63] en calculant leur valeur dans les gaz brules pour une
flamme de premelange laminaire monodimensionnelle.
2.6 Flux de chaleur
Dans le cas d’ecoulements multi-especes, le flux de chaleur total qi est la somme de deux termes : le
flux de chaleur par conduction et le flux de chaleur du a la diffusion des especes. Ces deux termes sont
detaillees dans l’Eq. 2.32.
qi = −λ∂T
∂xi+
N∑
k=1
Ji,khs,k, i = 1, 2, 3 (2.31)
qi = −λ∂T
∂xi︸ ︷︷ ︸conduction
−ρN∑
k=1
(Dk
Wk
W
∂Xk
∂xi− YkV
ci
)hs,k
︸ ︷︷ ︸diffusion des especes
(2.32)
ou λ est la conductivite thermique du melange (voir section 2.5).
37
EQUATIONS DE CONSERVATION POUR LES FLUIDES REACTIFS
2.7 Cinetique chimique
Le terme source s de l’Eq. 2.1 est defini par : s = ( ωu, ωv, ωw, ωT ,−ωk)T avec ωT le taux de
degagement de chaleur et ωk le taux de reaction de l’espece k. Les termes sources ωu, ωv, ωw sont utilises
pour imposer des contraintes sur les composantes de l’equation de conservation de la quantite de mouve-
ment. Par exemple, un gradient de pression est impose dans le cas d’un ecoulement avec periodicite.
Cependant, dans la plupart des cas, ωu = ωv = ωw = 0. Le modele de combustion implemente
dans AVBP est une loi d’Arrhenius ecrite pour N reactifsMkj et M reactions. Les reactions se mettent
sous la forme definie par l’Eq. 2.33. Le taux de reaction ωk, defini par l’Eq. 2.34, est la somme des taux de
reaction de l’espece k durant la reaction j ωkj pour j variant de 1 a M. Les coefficients stoechiometriques
des reactifs ν ′kj et des produits ν ′′
kj permettent de calculer les coefficients globaux νkj = ν ′′kj − ν ′
kj . Qj
est la variable d’avancement de la reaction j definie par l’Eq. 2.35. Kf,j et Kr,j sont les constantes des
reactions ”forward” et ”reverse” respectivement definis par les equations 2.36 et 2.37. Af,j est le facteur
pre-exponentiel et Ea,j est l’energie d’activation. Kr,j se deduit de l’hypothese d’equilibre.
N∑
k=1
ν ′kjMkj
N∑
k=1
ν ′′kjMkj , j = 1, M (2.33)
ωk =M∑
j=1
ωkj = Wk
M∑
j=1
νkjQj (2.34)
Qj = Kf,j
N∏
k=1
(ρYk
Wk)ν′
kj −Kr,j
N∏
k=1
(ρYk
Wk)ν′′
kj (2.35)
Kf,j = Af,j exp(−Ea,j
RT) (2.36)
Kr,j =Kf,j
Keq(2.37)
Keq est la constante d’equilibre [68] definie par l’Eq. 2.38. La pression de reference est egale a p0 = 1bar. ∆H0
j est la variation d’enthalpie (sensible + chimique) definie par l’Eq. 2.39 et ∆S0j la variation
d’entropie pour la reaction j definie par l’Eq. 2.40. ∆h0f,k est l’enthalpie de formation de l’espece k a la
temperature T0 = 0 K. Le degagement de chaleur ωT est defini par l’Eq. 2.41.
Keq =
(p0
RT
)∑N
k=1νkj
exp
(∆S0
j
R −∆H0
j
RT
)(2.38)
∆H0j = hj(T )− hj(0) =
N∑
k=1
νkjWk(hs,k(T ) + ∆h0f,k) (2.39)
∆S0j =
N∑
k=1
νkjWksk(T ) (2.40)
ωT = −N∑
k=1
ωk∆h0f,k (2.41)
38
2.8 Modelisation des pertes radiatives
2.8 Modelisation des pertes radiatives
Lorsque les transferts radiatifs jouent un role dans la physique des ecoulements reactifs, le terme
source de chaleur s’ecrit :
S = ωT + Qr (2.42)
ou Qr est la perte de chaleur par radiations et ωT est le terme source de chaleur des reactions chimiques
exposees dans la section 2.7.
Considerant que les gaz sont optiquement fins et que l’environnement froid a une temperature
constante Ts, la perte de chaleur radiative par unite de volume Qr est calculee [5] :
Qr = 4σ(T 4 − T 4s )∑
i
(pi ap,i) (2.43)
ou σ = 5.669·10−8 W/m2K4 est la constante de Stefan-Boltzmann, T est la temperature locale du gaz, pi
est la pression partielle de l’espece i, et ap,i est le coefficient d’absorption moyen de Planck de l’espece
i. Les coefficients d’absorption moyen de Planck sont calculees par une formule polynomiale :
Les coefficients de l’Eq. 2.44 sont donnes dans [52]. Ils correspondent aux valeurs donnees par le pro-
gramme RADCAL [53]. Notons que cette approche n’est valable que pour des gaz fins et un environne-
ment froid de temperature constante Ts.
39
EQUATIONS DE CONSERVATION POUR LES FLUIDES REACTIFS
40
Chapitre 3
Equations pour la LES
3.1 La Simulation aux Grandes Echelles (SGE ou LES)
La Simulation aux Grandes Echelles [118, 131] est reconnue comme une approche complementaire
de la traditionnelle approche RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes). Bien que conceptuellement tres
differentes, ces deux approches ont pour but de produire de nouveaux systemes d’equations de conser-
vation permettant de reproduire et comprendre les ecoulements turbulents.
En appliquant des operateurs au systeme d’equations de conservation d’un ecoulement turbulent com-
pressible, de nouvelles equations de conservation sont obtenues. Les termes non modelises apparaissent
et necessitent la creation de modeles specifiques pour pouvoir assurer la fermeture des equations. Les
principales differences entre les deux approches proviennent du choix de l’operateur employe :
Approche RANS L’operateur est une moyenne temporelle ou une moyenne d’ensemble sur un certain
nombre de realisations du champ fluide [24, 118].
Les termes a fermer sont representatifs de la physique pour toutes les echelles de la turbulence.
Approche LES L’operateur est un filtre local, de taille fixee , independant du temps, applique a une
seule realisation du champ fluide. De ce moyennage spatial resulte une separation entre les grandes
et les petites echelles de la turbulence.
Les termes a fermer sont representatifs de la physique pour les echelles de la turbulence plus
petites qu’une echelle de coupure. Cette echelle de coupure entre les grandes echelles resolues et
les petites echelles modelisees est liee a la taille du filtre.
La difference fondamentale entre ces deux approches reside dans la plage d’echelles resolues qui
represente toutes les echelles dans le cas du RANS et seulement les grandes echelles dans le cas de
la Simulation aux Grandes Echelles. Le concept LES avec sa frequence de coupure est illustre sur le
spectre d’energie d’une Turbulence Homogene Isotrope (THI) sur la figure 3.1.
Grace a l’utilisation du filtre pour separer petites et grandes echelles, la LES permet une representation
dynamique des tourbillons de plus grande taille dont les contributions sont critiques en geometrie com-
plexe. Les predictions sur la physique des ecoulements turbulents sont ameliorees avec l’utilisation de
la LES puisque des phenomenes a grande echelle, comme la propagation des ondes acoustiques, sont
EQUATIONS POUR LA LES
Pente -5/3
Partie résolue
Partie
Modélisée
E(k)
kL kc !
FIG. 3.1 - Spectre d’energie d’une THI : concept LES
intrinsequement presents dans les equations de conservation [111].
Pour toutes ces raisons, la LES a un potentiel evident pour la prediction des ecoulements turbulents
reactifs rencontres dans les applications industrielles. Cependant, cette utilisation est limitee par les hy-
potheses introduites pour construire les modeles de la LES.
Les equations de conservation LES sont decrites en section 3.2, les modeles de sous-maille en sec-
tion 3.3 et le modele d’interaction combustion/turbulence TF en contexte LES en section 4.1.2.
3.2 Equations LES
La quantite filtree f est la quantite resolue par la simulation numerique. La quantite de sous-maille
non resolue est f ′ = f − f . Dans le cas d’un ecoulement a densite variable, une moyenne de Favre est
definie par l’Eq. 3.1.
ρf = ρf (3.1)
Les equations de conservation d’un ecoulement turbulent reactif en approche LES (Eq. 3.2) sont obtenues
par filtrage des equations DNS (Eq. 2.1).
∂w
∂t+∇ · F = s (3.2)
Le tenseur des flux est defini par F = (f ,g,h)T . Le terme source est defini par s. Les flux f , g et h sont
divises en trois contributions :
fI,gI ,h
Icontribution non visqueuse (3.3)
42
3.2 Equations LES
fV
,gV ,hV
contribution visqueuse (3.4)
ft,gt,h
tcontribution de sous-maille (3.5)
et peuvent s’ecrire : f = fI+ f
V+ f
t(3.6)
g = gI + gV + gt (3.7)
h = hI+ h
V+ h
t(3.8)
Dans le code AVBP, l’echelle de coupure entre petites et grandes echelles correspond a la taille de la
maille. De plus, on utilise l’hypothese de commutation entre l’operateur de filtrage et la derivee partielle.
3.2.1 Termes non visqueux
Les trois composantes du tenseur non visqueux sont definies par l’Eq. 3.9.
fI
=
ρu2 + Pρuvρuw
ρEu + P uρku
, gI =
ρuvρv2 + P
ρvw
ρEv + P vρkv
, hI
=
ρuwρvw
ρw2 + P
ρEw + P wρkw
(3.9)
3.2.2 Termes visqueux en non reactif
Les trois composantes du tenseur visqueux sont definies par l’Eq. 3.10.
fV
=
−τxx
−τxy
−τxz
−(u τxx + v τxy + w τxz) + qx
Jx,k
gV =
−τxy
−τyy
−τyz
−(u τxy + v τyy + w τyz) + qy
Jy,k
hV
=
−τxz
−τyz
−τzz
−(u τxz + v τyz + w τzz) + qz
Jz,k
(3.10)
D’apres Poinsot et Veynante [111] Chap. 4, les termes de diffusion en LES s’ecrivent :
43
EQUATIONS POUR LA LES
le tenseur des contraintes τij
τij = 2µ(Sij −1
3δijSll), (3.11)
approximation : τij ≈ 2µ(Sij −1
3δijSll), i, j = 1, 3 (3.12)
avec : Sij =1
2(∂uj
∂xi+
∂ui
∂xj), i, j = 1, 3 (3.13)
le tenseur de diffusion des especes Ji,k
en non reactif : Ji,k = −ρ
(Dk
Wk
W
∂Xk
∂xi− YkVi
c
)(3.14)
approximation : Ji,k ≈ −ρ
(Dk
Wk
W
∂Xk
∂xi− YkVi
c
), i = 1, 2, 3 (3.15)
le flux de chaleur qi
qi = −λ∂T
∂xi+
N∑
k=1
Ji,khs,k (3.16)
approximation : qi ≈ −λ∂T
∂xi+
N∑
k=1
Ji,k hs,k, i = 1, 2, 3 (3.17)
Les variations spatiales des flux de diffusion moleculaire sont negligeables et un modele de gradient
suffit pour les modeliser. Les equations de conservation font apparaıtre des termes de sous-maille dont
les modelisations sont presentees dans la section 3.2.3.
3.2.3 Termes de sous-maille
Les trois composantes du tenseur de sous-maille sont definies par l’Eq. 3.18.
ft
=
−τxxt
−τxyt
−τxzt
qxt
Jx,kt
, gt =
−τxyt
−τyyt
−τyzt
qyt
Jy,kt
, ht
=
−τxzt
−τyzt
−τzzt
qzt
Jz,kt
(3.18)
Les differents termes s’ecrivent :
le tenseur des contraintes τijt
τijt = −ρ(uiuj − uiuj), i, j = 1, 3 (3.19)
modele : τijt = 2 ρ νt(Sij −
1
3δijSll), i, j = 1, 3 (3.20)
La modelisation de νt est detaillee en section 3.3.
44
3.3 Les modeles de sous-maille disponibles dans AVBP
le tenseur de diffusion des especes Ji,kt
Ji,kt
= ρ (uiYk − uiYk), i = 1, 2, 3 (3.21)
modele : Ji,kt
= −ρ
(Dk
t Wk
W
∂Xk
∂xi− YkVi
c,t
), i = 1, 2, 3 (3.22)
avec : Dtk =
νt
Stc,k
(3.23)
Le nombre de Schmidt turbulent Stc,k = 1 est le meme pour toutes les especes.
le flux de chaleur qit
qit = ρ(uiE − uiE), i = 1, 2, 3 (3.24)
modele : qit = −λt
∂T
∂xi+
N∑
k=1
Ji,kths,k, i = 1, 2, 3 (3.25)
avec : λt =µtCp
P tr
et P tr = 0.9 (3.26)
Les vitesses de correction sont obtenues a partir de l’Eq. 3.27.
V ci + V c,t
i =N∑
k=1
(µ
ρSc,k+
µt
ρStc,k
)Wk
W
∂Xk
∂xi, i = 1, 2, 3 (3.27)
3.3 Les modeles de sous-maille disponibles dans AVBP
Les trois modeles de sous-maille disponibles dans AVBP sont :
section 3.3.1 le modele de Smagorinsky
section 3.3.2 le modele Wall Adapting Linear Eddy (WALE)
section 3.3.3 le modele de Smagorinsky filtre
Ces trois modeles de sous-maille s’appuient sur la meme hypothese theorique d’invariance spatiale et
temporelle du filtre LES. Des variations dans la taille du filtre dues a un maillage non uniforme ou a
un maillage mobile ne sont pas directement prises en compte. Le changement de topologie de la cellule
n’est pris en compte que dans le calcul local du volume de la cellule : = V1/3
cell . En theorie et sauf dans
les modeles comme MILES [45] qui utilisent la dissipation du schema comme modele LES, l’utilisation
de viscosite artificielle en LES (voir section 5.3) est prohibee. Dans la pratique, son utilisation doit se
faire avec la plus grande attention et ne doit pas depasser la contribution du modele de sous-maille. Les
equations de conservation d’un ecoulement compressible turbulent filtrees font apparaıtre des tenseurs et
des vecteurs de sous-maille (notee SGS1) qui decrivent l’interaction entre petites echelles modelisees et
grandes echelles resolues. L’influence de la sous-maille sur les echelles resolues est prise en compte au
travers d’un modele SGS utilisant une viscosite turbulente νt defini par l’Eq. 3.28. Une telle approche
1SGS : Sub-Grid Scale
45
EQUATIONS POUR LA LES
suppose l’effet de la sous-maille uniquement d’ordre dissipatif. Cette hypothese n’est valide qu’en appli-
quant la theorie de la cascade energetique de Kolmogorov [67].
τijt = −ρ (uiuj − uiuj) (3.28)
modele : τijt = 2 ρ νt Sij −
1
3τll
t δij , i, j = 1, 3 (3.29)
avec : Sij =1
2
(∂ui
∂xj+
∂uj
∂xi
)− 1
3
∂uk
∂xkδij , i, j = 1, 3. (3.30)
Dans ces equations, τijt est le tenseur des contraintes a modeliser, νt est la viscosite turbulente de sous-
maille, ui est le vecteur vitesse filtre et Sij est le tenseur des deformations resolu. Les trois modeles
different par la definition de la viscosite turbulente de sous-maille νt.
3.3.1 Le modele de Smagorinsky
La viscosite turbulente est ecrite :
νt = (CS)2√
2 Sij Sij , i, j = 1, 3 (3.31)
avec : CS = (0.1− 0.18) suivant l’ecoulement (3.32)
Le modele de Smagorinsky [143], developpe dans les annees 1960, fait l’objet de tres nombreux tests
dans la litterature sur de multiples types d’ecoulement. Il est tres utilise du fait de sa simplicite. Cette
fermeture a la particularite, dans le cas d’une THI, de fournir le bon niveau de dissipation de l’energie
cinetique. Ce modele est connu pour etre trop dissipatif, specialement pres des murs et son utilisation
pour des regimes de transition vers la turbulence n’est pas recommandee [131].
3.3.2 Le modele WALE
Le tenseur sij est ecrit :
sdij =
1
2(g2
ij + g2ji)−
1
3g2kk δij , i, j = 1, 3 (3.33)
νt = (Cw)2(sd
ijsdij)
3/2
(SijSij)5/2+(sdijs
dij)
5/4, i, j = 1, 3 (3.34)
avec : Cw = 0.4929 (3.35)
Dans l’Eq. 3.33, gij est le gradient de vitesse resolu. Le modele WALE [95] fut developpe pour les
ecoulements en proche paroi.
3.3.3 Le modele de Smagorinsky filtre
Dans le modele filtre [33], la viscosite turbulente est :
νt = (CSF)2
√2 HP (Sij) HP (Sij), i, j = 1, 3 (3.36)
46
3.3 Les modeles de sous-maille disponibles dans AVBP
avec : CSF= 0.37 (3.37)
Dans l’Eq. 3.36, HP (Sij) est le tenseur des deformations resolu obtenu a partir d’un champ de vitesse
filtre au travers d’un filtre passe-haut. Ce modele fut developpe afin d’ameliorer la representation de
phenomenes locaux typiques des ecoulements turbulents [33]. Avec le modele de Smagorinsky filtre, la
transition vers la turbulence est mieux predite.
47
EQUATIONS POUR LA LES
48
Chapitre 4
Modeles cinetiques et modeles
d’interaction flamme/turbulence en LES
Deux modeles de combustion turbulente ont ete developpes et testes dans cette these : le modele de
flamme epaissie et le modele a PDF presumees PCM, presentes respectivement dans les sections 4.1 et
4.2.
De meme, deux methodes de cinetique chimique peuvent etre utilisees : la reduction des cinetiques
chimiques et la methode FPI, presentees respectivement dans les sections 4.3 et 4.4.
4.1 Le modele de flamme epaissie
4.1.1 Le modele de flamme epaissie en DNS
Pour le calcul d’un front de flamme en DNS, il peut etre utile de simuler la propagation du front sans
resoudre exactement sa structure. Deux methodes sont alors envisagees :
– La flamme est traitee comme une interface d’epaisseur nulle : modele G-equation [99]
– La flamme est epaissie de facon a pouvoir la resoudre : modele Thickened Flame (TF)
Dans le code AVBP utilise dans cette these et pour certaines des simulations realisees, le modele
TF [2,3,20,29,73,74,111,136,138] est utilise pour resoudre la zone de reaction d’une flamme laminaire
en utilisant une loi d’Arrhenius. En utilisant les Eq. 2.25 et 2.26, l’equation de conservation de la fraction
massique Yk de l’espece k est definie par :
∂ρYk
∂t+
∂
∂xi
(ρ(ui + V c
i )Yk
)=
∂
∂xi
(ρDk
Wk
W
∂Xk
∂xi
)+ ωk (4.1)
ou ωk est le taux de reaction de l’espece k.
MODELES CINETIQUES ET MODELES D’INTERACTION FLAMME/TURBULENCE EN LES
Dans le cas d’une flamme laminaire, les termes diffusifs ∇Jk compensent les termes reactifs ωk.
Une analyse dimensionnelle classique [162] montre que la vitesse du front de flamme laminaire S0L et
l’epaisseur de la flamme laminaire δ0L sont controlees par la diffusivite thermique Dth et la constante
pre-exponentielle A (voir section 2.7).
S0L ∝
√DthA (4.2)
δ0L ∝ Dth
S0L
=
√Dth
A(4.3)
Dans le cas d’une flamme laminaire epaissie, les diffusivites thermique Dth et moleculaire Dk sont
multipliees par F et le taux de reaction ωF est divise par F , F etant le facteur d’epaississement :
Dthepaississement⇒ FDth (4.4)
Dk ⇒ FDk (4.5)
ωF ⇒ ωF
F(4.6)
L’Eq. 4.1 s’ecrit alors :
∂ρYk
∂t+
∂
∂xi
(ρ(ui + V c
i )Yk
)=
∂
∂xi
(ρFDk
Wk
W
∂Xk
∂xi
)+
ωk
F(4.7)
avec V ci =
n∑
k=1
FDkWk
W
∂Xk
∂xi(4.8)
La vitesse du front de flamme est inchangee (voir l’Eq. 4.2) mais l’epaisseur du front de flamme est
multipliee par F (voir l’Eq. 4.3). Ce facteur F est determine de maniere a pouvoir resoudre le front de
flamme sur un maillage DNS. L’extension du modele TF a l’etude LES d’ecoulements turbulents reactifs
est discute en section 4.1.2.
4.1.2 Le modele de flamme epaissie en LES
Un point delicat de la Simulation aux Grandes Echelles des flammes est lie a l’epaisseur tres fine du
front de flamme, typiquement de l’ordre de 0.1 mm, qui est bien plus petite que la taille standard ∆x
des maillages utilises en LES. Afin de contourner cette difficulte, le modele de flamme epaissie TF a ete
developpe pour resoudre le front de flamme sur un maillage typique d’un calcul LES. La section 4.1.1 a
presente comment le front d’une flamme laminaire a pu etre epaissi d’un facteur F : δ0l ⇒ δ1
l = Fδ0l .
Dans le cas d’une flamme turbulente, l’interaction entre turbulence et chimie est alteree. En effet, les
tourbillons plus petits que Fδ0l n’interagissent que peu avec la flamme dans le cas epaissi alors qu’ils
jouent sur la flamme reelle. En conclusion, epaissir la flamme equivaut a reduire l’influence des petits
tourbillons sur le plissement de la flamme : la surface de flamme est reduite et le taux de reaction estime
est trop faible. Afin de pallier a ce probleme, une fonction d’efficacite E fut developpee par Colin [29] a
partir de resultats DNS (voir figure 4.1).
50
4.1 Le modele de flamme epaissie
a) b)
FIG. 4.1 - DNS d’interactions flamme/turbulence [3, 111]. a) flamme non epaissie, b) flamme epaissie d’un
facteur F = 5
L’ensemble des equations resolues pour realiser la simulation aux grandes echelles d’un ecoulement
reactif avec le modele de flamme epaissie est donc le suivant :
∂ρ ui
∂t+
∂
∂xj(ρ ui uj) = − ∂
∂xj
[P δij − 2 (µ + µt) (Sij − 1/3 Sll δij)
], (4.9)
∂ρ E
∂t+
∂
∂xj(ρ E uj) = − ∂
∂xj
[ui P δij − 2 µ ui (Sij − 1/3 Sll δij)
]
+∂
∂xj
[Cp E F
µ
Pr
∂T
∂xj
]
+∂
∂xj
[N∑
k=1
(E F µ
Sc,k
Wk
W
∂Xk
∂xj− ρ Yk (V c
j + V c,tj )
)hs,k
]
+E ωT
F , (4.10)
∂ρ Yk
∂t+
∂
∂xj(ρ Yk uj) =
∂
∂xj
[E F µ
Sc,k
Wk
W
∂Xk
∂xj− ρ Yk (V c
j + V c,tj )
]
+E ωk
F , (4.11)
4.1.2.1 La fonction d’efficacite E
Une description complete de la fonction d’efficacite E est disponible dans l’article de Colin et al. [29].
La methodologie de ce modele peut se decomposer en trois etapes principales :
1. Le facteur de plissement de la surface de flamme Ξ est estime a partir de la densite de surface de
51
MODELES CINETIQUES ET MODELES D’INTERACTION FLAMME/TURBULENCE EN LES
flamme Σ, en supposant l’equilibre entre la turbulence et la surface de flamme de sous-maille :
Ξ ≃ 1 + α∆e
s0l
〈aT 〉s (4.12)
ou 〈aT 〉s est le taux d’etirement de sous-maille, ∆e est la taille du filtre et α est la constante du
modele.
2. Le taux d’etirement de sous-maille 〈aT 〉s est defini, a partir de la taille du filtre ∆e et de la
fluctuation de vitesse de sous-maille u′∆e
, par l’Eq. 4.13. La fonction Γ, definie par l’Eq. 4.14,
correspond a la prise en compte du taux d’etirement lie a toutes les echelles influencees par
l’epaississement, c’est-a-dire toutes les echelles comprises entre l’echelle de Kolmogorov et la
taille du filtre ∆e [90]. Finalement, la fonction d’efficacite E est definie par l’Eq. 4.15 comme le
rapport entre le plissement de la flamme non epaissie et le plissement de la flamme epaissie.
〈aT 〉s = Γ u′∆e
/∆e (4.13)
Γ
(∆e
δ1l
,u′
∆e
s0l
)= 0.75 exp
− 1.2
(u′
∆e/s0
l
)0.3
(
∆e
δ1l
) 2
3
(4.14)
E =Ξ(δ0
l )
Ξ(δ1l )
=1 + αΓ
(∆e
δ0
l
,u′
∆e
s0
l
)u′
∆e
s0
l
1 + αΓ
(∆e
δ1
l
,u′
∆e
s0
l
)u′
∆e
s0
l
(4.15)
s0l est la vitesse de propagation du front de la flamme non epaissie et δ0
l son epaisseur. L’epaisseur
de la flamme epaissie est definie par : δ1l = Fδ0
l .
On peut montrer que E varie entre 1 (faible niveau de turbulence) et Emax ≃ F 2/3 (plissement
important a l’echelle de la sous-maille). Dans le cas de flammes turbulentes premelangees, la
fonction d’efficacite est telle que la vitesse turbulente de propagation soit correctement predite :
E S0L = ST . En fait, specifier une vitesse turbulente de sous maille ST est exactement equivalent
a specifier une efficacite E.
Une longueur de coupure δcl est definie par l’equation 31 dans Colin et al. [29] de telle facon
que les tourbillons plus petits que cette taille n’affectent pas le plissement de la flamme. Donc la
fonction d’efficacite est utilisee si la taille caracteristique d’un tourbillon r est telle que :
dans le cas d’une flamme non epaissie δ0l > r > δc
l
dans le cas d’une flamme epaissie δ1l = βFδ0
l > r > δcl
β est une constante de la fonction d’efficacite de l’ordre de grandeur de 2.
3. La taille du filtre ∆e correspond a la plus grande echelle influencee par l’epaississement δ1l . En
pratique, ∆e = 10∆x avec ∆x = 3√
Vcell.
Les fluctuations de vitesse de sous-maille u′∆e
sont estimees en utilisant l’operateur OP2 base
sur le rotationnel du champ de vitesse pour supprimer la contribution en dilatation qui n’est pas
considere comme de la turbulence.
Un operateur Laplacien, defini par l’Eq. 4.16, est directement applique au champ de vitesse.
u′∆e
= c2∆3x|∇2(∇× u)|, c2 ≈ 2 (4.16)
52
4.1 Le modele de flamme epaissie
4.1.2.2 Estimation de la constante α
La constante α est estimee de facon a retrouver le comportement asymptotique du facteur de plisse-
ment Ξ en fonction des fluctuations de vitesse u′ dans le cas de flammes fines telles que ∆e tend vers
l’echelle integrale lt. Dans ce cas, le plissement Ξ tend vers un plissement maximum Ξmax defini par
l’Eq. 4.17. l’Eq. 4.18 qui definit α se deduit de l’Eq. 4.17.
Ξmax = 1 + βu′/s0l (4.17)
α = β2 ln(2)
3cms[Re1/2
t − 1](4.18)
avec : Ret =u′ltν
et cms = 0.28 (4.19)
Il existe plusieurs methodes pour calculer les constantes α et β, notamment celles proposees par Colin et
al. [29] ou Charlette et al. [23].
4.1.2.3 Implementation
Dans le cas d’ecoulements reactifs, les equations pour la conservation des fractions massiques et
la conservation de l’energie sont modifiees. Les termes visqueux modifies sont le tenseur de diffusion
des especes Ji,k (Eq. 4.20) et le flux de chaleur qi (Eq. 4.22). Le nouveau terme source est defini par
l’Eq. 4.23.
On a donc le tenseur de diffusion des especes :
Ji,k = −EFµ
Sc,k
Wk
W
∂Xk
∂xi+ ρkV
ci , i = 1, 2, 3 (4.20)
avec
V ci = EF
N∑
k=1
µ
ρSc,k
Wk
W
∂Xk
∂xi, i = 1, 2, 3 (4.21)
Le flux de chaleur :
qi = −EFµCp
Pr
∂T
∂xi+
N∑
k=1
Ji,k hs,k, i = 1, 2, 3 (4.22)
Et le terme source de l’Eq. 3.2 :
s = ( 0, 0, 0,EωT
F,−Eωk
F)T (4.23)
53
MODELES CINETIQUES ET MODELES D’INTERACTION FLAMME/TURBULENCE EN LES
4.1.3 Le modele de flamme epaissie Dynamique
4.1.3.1 Principe de fonctionnement
Le modele de flamme epaissie est approprie pour le calcul de flammes parfaitement premelangees
mais pour des flammes partiellement premelangees, ce modele doit etre ajuste pour deux principales
raisons :
1. Dans le cas d’ecoulements non reactifs ou seul le melange se produit, les diffusions thermiques
et moleculaires sont surestimees d’un facteur F . Dans ces zones, le facteur d’epaississement doit
donc valoir F = 1.
2. Dans la flamme, l’epaississement permet de resoudre les termes diffusifs et les termes sources.
Ainsi, les termes de sous-maille doivent etre annules dans la flamme.
En d’autres termes, le modele TF peut demeurer inchange dans la zone de la flamme mais doit
etre adapte hors de cette region. Le modele Dynamically Thickened Flame (DTF) a ete developpe
pour prendre en compte ces deux points importants [74]. Dans ce modele schematise sur la Fig. 4.2,
l’epaississement F n’est plus une constante mais vaut Fmax dans la zone de reaction et F = 1 ailleurs.
COLD GAS BURNT GAS
FIL
TE
RE
D D
OM
AIN
:
• S
tandar
d f
ilte
red e
quat
ions
of
LE
S a
pply
.
• N
o t
hic
ken
ing o
f an
y t
erm
.
No-reaction zone :
(convection/diffusion)
S = 0
F = 1
E = 1
Reaction zone :
(non zero Rrate)
S = 1
1 > F > Fmax
E = 1
Reaction zone :
(non zero Rrate)
S = 1
1 > F > Fmax
E = 1
Transition zone :
S goes from 0 to 1
F goes from 1 to Fmax
E increases up to F2/3
Transition zone :
S goes from 1 to 0
F goes from Fmax to 1
E decreases to 0
FIL
TE
RE
D D
OM
AIN
:
• S
tandar
d f
ilte
red e
quat
ions
of
LE
S a
pply
.
• N
o t
hic
ken
ing o
f an
y t
erm
.
Thic
ken
ed D
OM
AIN
:
• In
side
the
flam
e zo
ne,
the
thic
ken
ed f
lam
e eq
. ap
ply
.
• N
o t
urb
ule
nt
flux h
ere.
No-reaction zone :
(convection/diffusion)
S = 0
F = 1
E = 1
FLAME
Thic
ken
ed D
OM
AIN
:
• In
side
the
flam
e zo
ne,
the
thic
ken
ed f
lam
e eq
. ap
ply
.
• N
o t
urb
ule
nt
flux h
ere.
FIG. 4.2 - Principe de fonctionnement de l’epaississement dynamique DTF
L’epaississement dynamique F est defini par l’Eq. 4.24. Le senseur S, defini par l’Eq. 4.25, depend
localement des fractions massiques et de la temperature. Ce senseur evalue si la zone est reactive ou pas a
54
4.2 Le modele a PDF presumees PCM
l’aide de la fonction de presence Ω. Cette fonction utilise des parametres similaires a ceux de la cinetique
chimique.
F = 1 + (Fmax − 1)S (4.24)
S = tanh(β′ Ω
Ω0
), β′ = 500 (4.25)
Ω = Yν′
F
F Yν′
O
O exp(−ΓEa
RT) (4.26)
Le parametre Γ est utilise pour enclencher la fonction d’epaississement avant la reaction et vaut ty-
piquement : Γ = 0.68. Le senseur S varie entre 0 dans les zones non reactives et 2 dans la flamme.
Ω0 est determine en calculant le maximum de Ω dans le cas d’une flamme laminaire premelangee stœ-
chiometrique 1D non epaissie.
4.1.3.2 Facteur d’epaississement dependant de la resolution locale
Il est aussi possible d’adapter optimalement le facteur d’epaississement au maillage local. Pour cela,
on evalue Fmax selon l’expression suivante :
Fmax = nδ0L
∆(4.27)
avec ∆ la taille locale de la maille. Afin d’avoir un front de flamme epaissi correctement resolu, et
ainsi eviter toute erreur numerique due a la raideur du front, nous prendrons n de l’ordre de 5 en general.
4.2 Le modele a PDF presumees PCM
4.2.1 Fermeture des taux de reaction par une approche statistique
Le modele a PDF presumees PCM est un filtrage des taux de reaction des especes [31, 32, 42, 124,
157]. Le taux de reaction filtre d’une espece k s’ecrit comme l’integrale du produit du taux de reaction
laminaire par la fonction de densite de probabilite (PDF) jointe [111] :
˜ωk
(Y1, ..., Ynspec , T
)=
∫...
∫ωk
(Y ∗
1 , ..., Y ∗nspec
, T ∗)
P(Y ∗
1 , ..., Y ∗nspec
, T ∗)
dY ∗1 ...dY ∗
nspecdT ∗
(4.28)
La PDF definit pour chaque Y1, ..., Ynspec , T la probabilite que simultanement Y1, ..., Ynspec , T soient
respectivement egales a Y ∗1 , ..., Y ∗
nspec, T ∗. La determination d’une telle fonction est un defi. C’est la
raison pour laquelle on suppose que le taux de reaction laminaire ω depend de deux parametres :
55
MODELES CINETIQUES ET MODELES D’INTERACTION FLAMME/TURBULENCE EN LES
– Une variable de progres c, decrivant l’avancement des reactions chimiques et variant de 0 dans les
gaz frais a 1 dans les gaz brules a l’equilibre.
– La fraction de melange Z, definie comme une richesse normalisee, evoluant de 0 en presence de
comburant pur a 1 en presence de carburant pur.
Plusieurs suppositions sont faites tour a tour :
– L’hypothese de flammelette, impliquant la representation de la structure spatiale de sous-maille de
la flamme turbulente par une flamme elementaire.
– La PDF conditionnee P (C∗|Z∗) peut etre approximee par P (c∗), c’est-a-dire que la fraction de
melange est independante de la variable d’avancement,
Ainsi, l’equation 4.28 devient :
˜ωk =
∫
Z∗
∫
c∗ωk (c∗, Z∗) P (Z∗) P (c∗) .dc∗.dZ∗ (4.29)
4.2.2 Determination de la PDF P (Z∗)
La PDF P (Z∗) est modelisee par β-PDF determinee a partir de la fraction de melange filtree Z et de
S(Z)
, la fluctuation de sous-maille normalisee aussi appelee facteur de segregation [160].
Trois formes caracteristiques de β-PDF peuvent etre distingues :
– S(Z)≃ 0 : la β-PDF est un pic centre sur la valeur moyenne Z. Ce cas correspond a un
ecoulement laminaire ou un ecoulement turbulent dont toutes les echelles de l’ecoulement sont
resolues (DNS).
– S(Z)≃ 1 : la PDF a deux pics centres en 0 et en 1 et traduit l’intermittence en sous-maille entre
carburant et oxydant.
– 0 ≤ S(Z)≤ 1 : la PDF a une forme de gaussienne centree sur la valeur moyenne Z.
La fraction de melange filtree et sa fluctuation normalisee, necessaires pour presumer la P (Z∗) sont
estimees a l’aide d’equations de transport de scalaires passifs. L’equation de transport de la fraction de
melange filtree s’ecrit :
∂ρZ
∂t+∇.
(ρuZ
)= ∇.
[ρ (D + Dt)∇Z
]+ ρ ˜ωZ (4.30)
Le terme ˜ωZ est un terme source du a l’evaporation du liquide. Il est donc nul dans le cadre de ce
manuscit.
La fluctuation normalise de sous-maille de la fraction de melange, aussi appelee facteur de
segregation, est definie comme le rapport entre la variance de sous-maille reelle Zv et son maximum :
S(Z)
=Zv
Z(1− Z
) (4.31)
56
4.2 Le modele a PDF presumees PCM
La variance de sous-maille Zv, dans l’equation precedente, quantifie l’energie du scalaire en sous-
maille et est definie par Zv = Z2 − ZZ. L’equation de transport de Zv s’ecrit :
∂ρZv
∂t+∇. (ρuZv) = ∇. [ρ (D + Dt)∇Zv]
+ 2ρ (D + Dt) |∇Z|2
− 2ρD|∇Z|2
+ 2ρ(ZωZ − Z ˜ωZ
)− ρ
(Z2ωZ − Z2 ˜ωZ
)(4.32)
4.2.3 Determination de la PDF P (c∗)
P (c∗) est egalement modelisee a l’aide d’une β-PDF presumee a partir de la variable de progres
normalisee c et de son facteur de segregation S (c). L’avancement normalise c est calcule a partir de la
variable d’avancement Yc selon la relation suivante :
c =Yc
Y eqc
(4.33)
La variable d’avancement Yc est une somme de fractions massiques d’especes majoritaires. La va-
riable Y eqc est la valeur de l’avancement Yc a l’equilibre.
La variable d’avancement Yc est determinee par une equation de transport :
∂ρYc
∂t+∇.
(ρuYc
)= ∇.
[ρ (D + Dt)∇Yc
]+ ρ˜ωYc (4.34)
ou ˜ωYc est un terme source du a la chimie.
Le facteur de segregation S (c) est le rapport entre la variance de sous maille reelle et son maximum,
qui est obtenu lorsqu’il y a une intermittence entre gaz frais et brules :
S (c) =cv
c (1− c)(4.35)
Dans l’equation precedente, la variance cv, definie par cv = c2 − (c)2, s’ecrit a partir des variables
non-normalisees :
cv =Ycv
Y eq2
c
+ Yc2
1
Y eq2
c
− 1
Y eqc
2
(4.36)
57
MODELES CINETIQUES ET MODELES D’INTERACTION FLAMME/TURBULENCE EN LES
avec Y eq2
c obtenu par integration a travers P (Z∗) :
Y eq2
c =
∫
Z∗
Y eqc (Z∗)Y eq
c (Z∗) P (Z∗) .dZ∗ (4.37)
La variance de sous maille Ycv est calculee a l’aide d’une equation de transport :
∂ρYcv
∂t+∇. (ρuYcv) = ∇. [ρ (D + Dt)∇Ycv]
+ 2ρ (D + Dt) |∇Yc|2
− 2ρD|∇Yc|2
+ 2ρ(˜YcωYc − Yc
˜ωYc
)(4.38)
Le terme 2ρ(˜YcωYc − Yc
˜ωYc
)est une contribution chimique et χYc = 2ρD|∇Yc|2 est la dissipation
scalaire.
Le facteur de segregation S (c), defini par l’equation 4.35, s’ecrit en fonction des variables trans-
portees :
S (c) =cv
c (1− c)(4.39)
=
(Ycv
Y eqc
2
Y eq2
c
+ Yc2
(Y eq
c
2
Y eq2
c
− 1
))
(Yc
(Y eq
c − Yc
)) (4.40)
4.2.4 Fermeture des dissipations scalaires χYcet χZ par relaxation lineaire
Dans les equattions de transport des variances Zv (4.32) et Ycv (4.38), les dissipations scalaires χZ =2ρD|∇Z|2 et χYc = 2ρD|∇Yc|2 sont a fermer. Le modele utilise est celui de Domingo et al. [31], et
s’ecrit :
χZ = ρD|∇Z|2 + ρCZv
d
Dt
∆2Zv et χYc = ρD|∇Yc|2 + ρCYcv
d
Dt
∆2Ycv (4.41)
Le modele de Domingo et al. repose sur une hypothese de relaxation lineaire vers une variance nulle.
Le temps de relaxation caracteristique est un temps turbulent de sous-maille, τsgs = ∆2
CdDt. L’interet
de cette approche est sa simplicite et la possibilite d’utiliser un modele dynamique pour determiner la
constante CZv
d .
58
4.3 Reduction de cinetique chimique
En introduisant les modeles 4.41 dans les equations de transport de Zv (4.32) et Ycv (4.38), elles se
Il existe d’autres methodes permettant de calculer les termes sources sur les especes et l’energie. Il
s’agit, entre autres, de toute une gamme de methodes qui ne resolvent pas explicitement le transport
des especes ni de l’energie dans le code LES. Les fractions massiques Yk, les taux de reaction ωk et
la temperature T sont calculees a partir de tables ou bibliotheques preetablies. Les entrees sont reduites
a une ou deux variables qui sont en general la fraction de melange z pour les flammes de diffusion
(parametre par le taux de dissipation scalaire ξ suivant les hypotheses simplificatrices) et une variable
d’avancement c pour les flammes premelangees. Les modeles qui veulent prendre en compte la com-
bustion partiellement premelangee utilisent les deux. Les bibliotheques Yk (z, c) , ωk (z, c) et T (z, c)sont construites le plus souvent sur des structures de flamme laminaire (diffusion ou premelange). Le
principal avantage de ces methodes reside dans la precision dont les bibliotheques de flammelettes
peuvent beneficier si elles sont construites a partir de cinetiques complexes. Elles recourent alors a des
procedure de reduction de dimensionnalite de la bijection de type ILDM (Intrinsic Low Dimensional
Maniflold) [81, 115, 163]. Cette technique est basee sur l’analyse des temps caracteristiques chimiques.
Un anneau (une hypersurface) de faible dimension peut etre obtenue, generalement pour des conditions
operatoires donnees (φ, P, T ), en calculant les vecteurs et valeurs propres du systeme chimique. Apres
avoir calcule l’anneau, on peut le parametrer a l’aide d’un nombre restreint de coordonnees, i.e. operer
une projection dans un sous-espace de dimension inferieure. Les coordonnees du sous-espace sont en
general a choisir arbitrairement parmi les fractions massiques de produits de combustion (Fig. 4.8). Ce
nombre peut etre encore reduit mais pose des restrictions au niveau de la validite de l’approche. La
procedure est tres precise pour les zones chaudes de la flamme ou proches de l’equilibre. Par contre la
zone de prechauffage est souvent mal modelisee car elle necessite une dimensionnalite assez importante
pour etre decrite correctement. Les temps caracteristiques courts associes a cette zone sont par definition
negliges dans l’approche ILDM. Cette zone est donc souvent approximee lineairement dans l’espace des
phases (Fig. 4.8), induisant par exemple une mauvaise estimation de la vitesse de flamme. L’approche
FPI (Flame Prolongation of Ildm [39–41, 50, 124, 125]) propose une modification de l’ILDM afin de
a un melange donne, puis le complete par un anneau bidimensionnel correspondant a la trajectoire d’une
flamme de premelange stationnaire dans l’espace des phases. Dans FPI, les entrees de la table sont donc
reduites a deux variables i.e. z ou/et c, s’apparente donc a un ILDM de dimension deux. La table FPI
est construite a l’aide de calcul de flamme laminaire 1D premelangee. L’approche n’est donc pleinement
valide que pour les regimes de combustion premelangee ou partiellement premelangee. C’est d’ailleurs
cette hypothese sur la structure de flamme qui permet une telle reduction de dimensionnalite. FPI suppose
que toute structure de flamme de premelange peut etre cartographiee dans le sous espace (z, c).
Si l’on s’attache a noter les defauts inherents a ces methodes, on peut noter en premier lieu, que
l’implementation des acces aux tables peut necessiter des techniques logicielles speciales afin de limiter
l’impact des requetes en termes de performance. Des outils de pretraitement (CHEMKIN par exemple)
sont necessaires afin de generer la table. Alternativement, la table peut etre construite au fur et a me-
sure du calcul. Le gain provient alors de la reutilisation des informations stockees lors des requetes
precedentes [117]. Mais leur limitation principale tient dans les hypotheses posees pour definir z en par-
ticulier, puisque cela devient impossible des lors que le carburant et oxydant sont injectes par plus de
deux entrees, a des temperatures differentes, ce qui est tres limitant pour des configurations industrielles.
67
MODELES CINETIQUES ET MODELES D’INTERACTION FLAMME/TURBULENCE EN LES
FIG. 4.8 - Projection d’une flamme premelangee turbulente (DNS) CO/H2/air en chimie complexe dans le
sous-espace (YCO2, YH2O). () : etat d’equilibre, (•) : Trajectoire Flamme Laminaire 1D dans les memes
conditions, (–) : approximation lineaire de la zone froide. Source : [50]
En particulier, le fait d’utiliser des lois du type Yk (z, c) fait qu’en pratique, l’ensemble des especes
chimiques ne depend plus que de deux parametres, z et c.
Il est clair que la validite de telle methodes reste limitee a des cas ou la topologie de la flamme est
connue et correspond aux hypotheses de construction des lois Yk (z, c). Traiter dans le meme calcul, un
allumage, une propagation , ou une extinction, peut alors devenir delicat. Enfin, la resolution du transport
de z et c ne dispense pas des problemes numeriques de propagation de front raides sur maillages laches,
ni du traitement de la raideur des termes sources de combustion.
Deux methodes peuvent etre utilisees pour donner les taux de reactions des especes au code CFD.
La premiere methode (4.4.1) est de tabuler les taux de reaction des k especes en fonction de z et c. La
seconde methode (4.4.2) est de tabuler les fractions massiques des especes et de reconstruire, dans le
code de calcul, les taux de reactions des k especes.
4.4.1 Tabulation des taux de reaction
Il s’agit de la methode la plus simple : les taux de reaction issus de la chimie detaillee sont directement
stockes dans la base de donnees. Les interets de cette approche sont a la fois la simplicite et l’accord
du degagement de chaleur avec celui de la chimie detaillee. En effet, comme les taux de reactions des
especes et les enthalpies de formation sont tabules, le degagement de chaleur peut uniquement prendre les
valeurs predites par la table chimique. Le principal point faible de cette approche est que la determination
du taux de reaction d’une espece ne tient pas compte de la quantite locale de celle-ci, de sort que des
fractions massiques negatives peuvent localement apparaıtre. De la meme facon,une derive numerique a
travers la flamme est possible et la composition des especes transportees obtenue a l’equilibre peut etre
68
4.4 La methode tabulee FPI
differente de celle de la chimie detaillee.
4.4.2 Tabulation des fractions massiques
Cette methode, proposee par O. Colin [28], consiste a reconstruire les taux de reactions des especes
a partir des fractions massiques tabulees. Elle evite les derives liees a l’utilisation simple des ωk tabules
dans le code LES observee par J. Galpin [47]. La relation entre les deux s’ecrit :
˜ωk =Y tab
k
(ct+τ
)− Yk (t)
τ(4.53)
ou Yk est la fraction massique filtree de l’espece k, qui est determinee par une equation de transport. Y tabk
est la fraction massique tabulee et evaluee a c = ct+τ . Le parametre de ralaxation τ quantifie le temps de
retour vers la trajectoire FPI. Il est de l’ordre de quelques pas de temps : τ = n.∆t avec n ≃ 5.
La variable d’avancement a l’instant t + τ est determinee a partir de la variable d’avancement c de
l’instant t et du taux de reaction ˜ωc (c (t)) :
ct+τ = c (t) + τ ˜ωc (c (t)) t (4.54)
Le principal interet de cette approche est la possibilite d’assurer la coherence entre les fractions mas-
siques transportees et celles de la chimie detaillee. Les fractions massiques negatives disparaissent, et la
composition des gaz brules a l’equilibre est controlee. Un autre avantage concerne la taille memoire des
tables. En effet, les fractions massiques necessitent moins de points en avancement pour etre discretisees
par rapport aux taux de reaction, car les gradients des especes dYi/dYc sont moins raides que ceux des
taux de reaction dωi/dYc = d2Yi/(dYc.dt), homogenes a une derivee seconde.Si on s’interesse unique-
ment a l’etat gaz brule, l’approche de tabulation des fractions massiques est efficace meme avec tres peu
de points de discretisation.
Malgre des avantages evidents, la methode de reconstruction peut induire localement des comporte-
ments non physiques :
– La resolution de forts gradients par les schemas centres peut induire l’apparition d’oscillations
ou wiggles en amont et en aval des gradients. Dans une flamme, ces faibles oscillations peuvent
alors apparaıtre dans les gaz frais et brules. En consequence, des fractions massiques peuvent etre
localement negatives ou depasser l’equilibre. La methode induit alors des taux de reaction non nuls
dans les zones non-reactives, ce qui n’a pas de sens physique.
– Le taux de degagement de chaleur resulte de la reconstruction des especes par relaxation, il n’est
donc pas directement controle, ce qui peut se reveler etre un desavantage.
Un autre inconvenient de la methode de tabulation des fractions massiques est la necessite d’interpoler
en avancement deux fois dans la base de donnee : une premiere fois pour ˜ωYc (c (t)) et une seconde pour
les fractions massiques Y tabk
(ct+τ
). Le cout CPU de cette approche est quasiment le double de celui de
69
MODELES CINETIQUES ET MODELES D’INTERACTION FLAMME/TURBULENCE EN LES
la tabulation directe des taux de reaction.
4.5 Comparaison des schemas a 2 etapes et de FPI sur des flammes de
premelange laminaires
Les chimies reduites et tabulees decrites dans le chapitre 3 sont testees sur des flammes monodimen-
sionnelles en premelange. Les tests sont realises a l’aide de COSILAB (http ://www.softpredict.com),
CANTERA (http ://www.cantera.org) ou AVBP. Le schema complet GRI-MECH est considere comme
la reference.
La valeur de richesse presentee (Φ = 0.83) correspond a la richesse a laquelle sont realises l’essentiel
des calculs PRECCINSTA presentes par la suite (chapitres 7 et 8) et s’approche de la valeur du melange
global de la configuration TECFLAM (Φg = 0.808, chapitre 9). La temperature des gaz frais est de 300
K et la pression atmospherique de 1 atmosphere.
Les valeurs des vitesses de flamme obtenues avec les differentes methodes de cinetique chimique
sont regroupees dans la table 4.5. La modelisation FPI avec tabulation des taux de reaction donne une
valeur de vitesse de flamme assez largement sous-estimee par rapport au GRI-MECH, pris en reference.
La modelisation FPI avec tabulation des fractions massique donne une valeur de vitesse de flamme bien
meilleure que la precedente. La vitesse de flamme etant un critere fondamentale a respecter, ce resultat
donne un avantage indeniable a la tabulation des fractions massiques. Les cinetiques chimiques reduites
a 2 etapes CM2 et CM2-PEA donnent de bonnes vitesses de flamme. Bien que la fonction PEA ne soit
pas active en regime pauvre, la valeur obtenue avec la PEA est legerement moins bonne que sans PEA,
du fait de l’hypothese Le = 1 prise pour realiser la PEA.
TAB. 4.5 - Vitesses de flamme des differentes methodes de cinetique chimique.
Vitesse de flamme [m/sec] Erreur relative [%]
GRI-MECH 0.3003 -
FPI Wi 0.2314 22.94
FPI Yi 0.2842 5.36
CM2 0.2956 1.57
CM2 - PEA 0.2938 2.17
Les resultats des temperatures et fractions massiques a l’equilibre sont disponibles dans les tables
4.6 et 4.7. La temperature de fin de combustion obtenue a l’aide du schema complet GRI-MECH est
de 2042 K (figs. 4.9 et 4.15). Les temperatures de fin de combustion obtenues avec les autres methodes
de cinetique chimique sont en adequation avec le resultat du schema complet, l’erreur relative restant
inferieure a 1,15 %.
Les resultats pour chacune des fractions massiques transportees sont presentes en fonction de la va-
riable de progres c = (YCO + YCO2)/(YCO + YCO2
)eq dans les figures 4.9 a 4.14, et 4.15 a 4.20. La
70
4.5 Comparaison des schemas a 2 etapes et de FPI sur des flammes de premelange laminaires
methode FPI reste systematiquement tres proche des resultats du GRI-MECH, les cinetiques reduites
donnant des resultats moins bons.
L’espece CO est presentee sur les figures 4.14 et 4.20. Les resultats obtenus via la methode FPI
(Fig. 4.14) sont tres proches des resultats du schema complet, meme si la valeur a l’equilibre de COdiffere de 5,7 % par rapport au GRI-MECH (table 4.7) . Les valeurs intermediaires obtenues avec le
schema a deux etapes sans PEA (CM2) sont eloignees des resultats du schema complet (Fig. 4.20) : elles
sont largement sous-estimees. La valeur a l’equilibre (table 4.7) presente une erreur relative de 12,3 %
par rapport au schema complet.
Les resultats pour la temperature et les fractions massiques de O2, H2O et CO sont representes
spatialement sur les figures 4.21 a 4.24 pour deux cinetiques chimiques : FPI avec tabulation des fractions
massiques et schema reduit a deux etapes avec PEA (CM2-PEA). La forme du front de flamme est tres
proche entre FPI et le schema complet GRI-MECH. Des differences apparaissent entre le schema reduit a
deux etapes avec PEA et le GRI-MECH, particulierement sur la fin du front de flamme : le schema reduit
semble arriver trop rapidement a la valeur d’equilibre. Ces differences sont tres probablement dues aux
effets complexes de la chimie complete tels que les dissociations. Ces effets sont pris en compte dans la
methode FPI, mais ne le sont pas tous dans la cinetique chimique reduite.
En conclusion, la methode FPI avec tabulation des fractions massiques semble etre la meilleure : la
vitesse de flamme et la temperature de fin de combustion sont respectes, tout comme les profils et valeurs
a l’equilibre des especes principales. Mais cette etude permet aussi de noter que, a la richesse concernee
(Φ = 0.83), le schema reduit a 2 etapes avec PEA (CM2-PEA) donne de tres bons resultats, pour une
implementation relativement simple dans le code de calcul.
TAB. 4.6 - Valeurs a l’equilibre et erreurs relatives de temperature et de fractions massiques des differentes
CM2 - PEA 0.1254 1.08 0.1038 0.39 0.9250.10−3 12.28
72
4.5 Comparaison des schemas a 2 etapes et de FPI sur des flammes de premelange laminaires
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
Temperature [K]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.9 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de temperature. ( )
GRI-MECH; ( ) FPI, tabulation des taux de
reaction; ( ) FPI, tabulation des fractions
massiques.
0.20
0.15
0.10
0.05
O2 mass fraction [-]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.10 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YO2. ( ) GRI-MECH;
( ) FPI, tabulation des taux de reaction;
( ) FPI, tabulation des fractions massiques.
40x10-3
30
20
10
0
CH4 mass fraction [-]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.11 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YCH4. ( ) GRI-MECH;
( ) FPI, tabulation des taux de reaction;
( ) FPI, tabulation des fractions massiques.
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
CO2 mass fraction [-]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.12 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YCO2. ( ) GRI-MECH;
( ) FPI, tabulation des taux de reaction;
( ) FPI, tabulation des fractions massiques.
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
H2O mass fraction [-]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.13 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YH2O. ( ) GRI-MECH;
( ) FPI, tabulation des taux de reaction;
( ) FPI, tabulation des fractions massiques.
30x10-3
25
20
15
10
5
0
CO mass fraction [-]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.14 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YCO. ( ) GRI-MECH;
( ) FPI, tabulation des taux de reaction;
( ) FPI, tabulation des fractions massiques.
73
MODELES CINETIQUES ET MODELES D’INTERACTION FLAMME/TURBULENCE EN LES
2000
1500
1000
500
Temperature [K]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.15 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de temperature. ( )
GRI-MECH; ( ) Schema 1 etape avec PEA;
( ) CM2; ( ⋄ ) CM2 - PEA.
0.20
0.15
0.10
0.05
O2 mass fraction [-]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.16 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YO2. ( ) GRI-MECH;
( ) Schema 1 etape avec PEA; ( ) CM2;
( ⋄ ) CM2 - PEA.
40x10-3
30
20
10
0
CH4 mass fraction [-]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.17 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YCH4. ( ) GRI-MECH;
( ) Schema 1 etape avec PEA; ( ) CM2;
( ⋄ ) CM2 - PEA.
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
CO2 mass fraction [-]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.18 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YCO2. ( ) GRI-MECH;
( ) Schema 1 etape avec PEA; ( ) CM2;
( ⋄ ) CM2 - PEA.
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
H2O mass fraction [-]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.19 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YH2O. ( ) GRI-MECH;
( ) Schema 1 etape avec PEA; ( ) CM2;
( ⋄ ) CM2 - PEA.
30x10-3
25
20
15
10
5
0
CO mass fraction [-]
1.00.80.60.40.20.0
Yc [-]
FIG. 4.20 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YCO. ( ) GRI-MECH;
( ) Schema 1 etape avec PEA; ( ) CM2;
( ⋄ ) CM2 - PEA.
74
4.5 Comparaison des schemas a 2 etapes et de FPI sur des flammes de premelange laminaires
FIG. 4.21 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de temperature. ( + )
GRI-MECH; ( ) FPI, tabulation des
fractions massiques; ( ) CM2 - PEA.
FIG. 4.22 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YO2. ( + ) GRI-MECH;
( ) FPI, tabulation des fractions massiques;
( ) CM2 - PEA.
FIG. 4.23 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YH2O. ( + ) GRI-MECH;
( ) FPI, tabulation des fractions massiques;
( ) CM2 - PEA.
FIG. 4.24 - Flamme monodimensionnelle premelangee
Φ = 0, 83 : profil de YCO. ( + ) GRI-MECH;
( ) FPI, tabulation des fractions massiques;
( ) CM2 - PEA.
75
MODELES CINETIQUES ET MODELES D’INTERACTION FLAMME/TURBULENCE EN LES
76
Chapitre 5
Approche numerique
5.1 Discretisation Cell-Vertex
Le code de mecanique des fluides AVBP utilise un solveur aux volumes finis pour discretiser les
equations de conservation d’un ecoulement turbulent diphasique reactif. Deux techniques sont dispo-
nibles pour les methodes volumes finis :
1. la formulation Cell-Vertex : les valeurs des solutions discretes sont stockees aux noeuds de la
cellule consideree et les valeurs moyennes des flux sont obtenues en moyennant le long des aretes
limitant la cellule
2. la formulation Cell-Centered : les valeurs des solutions discretes sont stockees au centre des vo-
lumes de controle (les cellules du maillage) et les valeurs des elements voisins sont moyennees au
travers des limites de la cellule pour calculer les flux
La discretisation Cell-Vertex est utilisee dans le code AVBP.
5.1.1 Approche des residus ponderes
Considerons d’abord les equations de Navier-Stokes d’un ecoulement laminaire monophasique non
reactif dans leur formulation conservative :
∂w
∂t+∇ · ~F = 0 (5.1)
ou w est le vecteur des variables conservatives et ~F est le tenseur de flux correspondant. Ce tenseur
est decompose en une partie visqueuse et une partie non visqueuse au travers de l’equation 5.2. Les
termes spatiaux sont approches dans chaque volume de controle pour en deduire le residu RΩjdefini par
l’equation 5.3.
~F = ~FI(w) + ~FV (w, ~∇w) (5.2)
RΩj=
1
VΩj
∫
∂Ωj
~F · ~n dS (5.3)
APPROCHE NUMERIQUE
ou ∂Ωj est la projetee de Ωj le long de la normale ~n. L’approche Cell-Vertex est applicable a des types
de cellules quelconques et apparaıt donc tres utile pour des maillages hybride. Le residu RΩjdefini
par l’equation 5.3 est d’abord calcule pour chaque cellule en utilisant une loi d’integration simple ap-
pliquee aux faces. Pour des faces triangulaires, les composantes individuelles du flux sont supposees
varier lineairement. Pour des faces quadrilateres, ou les noeuds peuvent ne pas etre coplanaires, afin d’as-
surer l’exactitude de l’integration pour des elements quelconques, chaque face est divisee en triangles et
integree sur chaque triangle. La valeur du flux est obtenue apres moyennage des quatre triangles ( deux
divisions le long des deux diagonales). Cette propriete qui permet de conserver la linearite joue un role
important car elle assure une bonne precision meme sur des maillages irreguliers. Il est utile d’ecrire le
residu RΩjdefini par l’equation 5.3 au travers d’une cellule quelconque. L’equation 5.3 devient alors
l’equation 5.4.
RΩj=
1
NdVΩj
∑
i∈Ωj
~Fi · ~dSi, (5.4)
ou ~Fi est une approximation de ~F aux nœuds, Nd represente le nombre de dimensions de l’espace
et i ∈ Ωj sont les sommets de la cellule. Dans cette formulation, l’information geometrique a ete
factorisee en termes ~dSi qui sont associes aux noeuds individuels de la cellule et non a ses faces. ~dSi est
la moyenne des normales ponderees par les surfaces des faces triangulaires d’un nœud commun i, i ∈ Ωj .
Pour assurer la consistance,∑
i∈Ωj~dSi = ~0. La linearite de l’operateur de divergence est preservee si le
volume VΩjest defini par l’equation 5.5.
VΩj=
1
N2d
∑
i∈Ωj
~xi · ~dSi, avec ∇ · ~x = Nd (5.5)
Une fois les residus calcules, le schema semi-discret est defini par l’equation 5.6.
dwk
dt= − 1
Vk
∑
j|k∈Ωj
DkΩj
VΩjRΩj
, (5.6)
ou DkΩj
est la matrice de distribution qui fait une projection ponderee du centre Ωj vers le noeud k(scatter) et Vk est le volume de controle associe a chaque noeud k. La conservation est garantie si∑
k∈ΩjDk
Ωj= I . Dans le contexte present, l’equation 5.6) est resolue, en utilisant une methode explicite
Euler ou une methode Runge-Kutta a plusieurs etapes en temps, afin d’obtenir une solution stationnaire.
La matrice de distribution est definie par l’equation 5.7.
DkΩj
=1
nn(I + C
δtΩj
VΩj
~AΩj· ~dSk), (5.7)
Le nombre de noeuds de Ωj est nn et ~A est la matrice jacobienne du tenseur des flux. Le schema classique
centre, obtenu en choisissant C = 0, est stable combine avec des pas de temps Runge-Kutta. Un schema
de type Lax-Wendroff est obtenu en choisissant la constante C dependante du nombre de dimensions du
probleme et du type de cellule. Une forme simple de C est definie par : C = n2n/2Nd.
78
5.2 Schemas numeriques
5.1.2 Calcul des gradients
Afin de determiner les valeurs des gradients ~∇w aux nœuds, une approximation de sa valeur liee
a la cellule Ωj est d’abord calculee puis distribuee aux nœuds k. Le gradient a la cellule, defini par
l’equation 5.8, suit une description identique a celle utilise pour definir la divergence a l’equation 5.4.
Une approximation de ce gradient a la cellule est ainsi obtenue et definie par l’equation 5.9. Une ap-
proximation de ce gradient au nœud, definie par l’equation 5.10, est obtenue en utilisant une moyenne
ponderee par le volume de la cellule.
(∂w
∂x
)
C≈ 1
VC
∫ ∫
∂ΩC
w · ~n∂S (5.8)
(~∇w
)Ωj
=1
VΩj
∑
i∈Ωj
wi~dSi (5.9)
(~∇w
)k
=1
Vk
∑
j|k∈Ωj
VΩj(~∇w)Ωj
(5.10)
5.2 Schemas numeriques
Les schemas numeriques utilises lors de cette these ne sont pas presentes en detail et le lecteur se
referera aux publications originelles . Cependant, les points essentiels caracterisant ces trois schemas
sont presentes :
schema Runge-Kutta 3 [56] De type volumes finis, d’ordre 3 en temps avec une integration Runge-
Kutta trois etapes, centre d’ordre 2 en espace, moins precis que le schema TTGC et a peu pres
aussi rapide.
schema Lax-Wendroff [72] De type volumes finis, d’ordre 2 en temps avec une integration Runge-
Kutta une etape, centre d’ordre 2 en espace, moins precis que le schema TTGC mais environ deux
fois plus rapide
schema TTGC [29] De type elements finis, d’ordre 3 en temps, d’ordre 3 en espace, tres precis sur des
maillages non structures, approprie a l’etude LES en geometrie complexe
5.3 Modeles de viscosite artificielle
5.3.1 Introduction
Les schemas de discretisation spatiale disponibles dans AVBP sont des schemas centres. Ces types
de schemas sont connus pour etre naturellement sujets a des oscillations hautes frequences (wiggles)
dans les regions de forts gradients. Une methode efficace pour pallier a ce probleme est l’utilisation d’un
terme de Viscosite Artificielle (VA) pour adoucir les fronts trop raides. Cette section decrit les senseurs
(section 5.3.2) et les operateurs (section 5.3.3) de la VA.
79
APPROCHE NUMERIQUE
5.3.2 Senseurs
Un senseur ζΩjest un parametre compris entre 0 et 2 defini pour chaque cellule Ωj . Dans le cas ou la
solution est bien resolue, le senseur est egal a 0 alors que dans le cas ou la solution a de fortes variations
locales, le senseur est egal a 2 et la VA est appliquee. Ce senseur est obtenu en comparant differentes
evaluations du gradient d’un scalaire comme la pression, l’energie totale ou la fraction massique. Si les
evaluations sont identiques, le senseur est fixe a 0. Par contre, si les deux evaluations donnent des valeurs
differentes, le senseur est declenche. Le point crucial est de trouver une fonction pour le senseur qui
soit differente de zero seulement dans les zones utiles. Deux senseurs differents sont disponibles dans
AVBP : le senseur de Jameson ζJΩj
[60] et le senseur de Colin ζCΩj
[29] qui est derive du senseur de
Jameson.
Notation l’indice k designe les variables liees a un sommet k de la cellule consideree et l’indice Ωj
designe les variables liees a la cellule Ωj .
5.3.2.1 Senseur de Jameson
Le senseur de Jameson ζJΩj
lie a la cellule Ωj (defini par l’Eq. 5.11) est le maximum de tous les
senseurs ζJk lies aux sommets k (definis par l’Eq. 5.12). S est le scalaire evalue par le senseur et (∆k
1 ,
∆k2) sont des evaluations differentes du gradient definies par l’Eq. 5.13. ∆k
1 mesure la variation de S au
sein de la cellule Ωj . ∆k2 est une estimation de la meme grandeur en utilisant (~∇S)k, le gradient de S
au nœud k. Ce senseur varie proportionnellement a l’amplitude de la deviation par rapport a l’evolution
lineaire. Ce senseur a une evolution douce d’un point de vue numerique et s’applique parfaitement pour
des cas quasi-stationnaires.
ζJΩj
= maxk∈Ωj
ζJk (5.11)
ζJk =
|∆k1 −∆k
2||∆k
1|+ |∆k2|+ |Sk|
(5.12)
∆k1 = SΩj
− Sk ∆k2 = (~∇S)k.(~xΩj
− ~xk) (5.13)
5.3.2.2 Senseur de Colin
Dans le cas d’ecoulements turbulents fortement instationnaires, il est necessaire de se munir d’un sen-
seur plus precis, c’est-a-dire plus faible lorsque l’ecoulement est suffisamment resolu et presque maxi-
mum dans les zones de non-linearites fortes : le senseur de Colin, defini par les Eq. 5.14 a 5.18.
– ζCΩj
est tres petit lorsque ∆k1 et ∆k
2 sont petits compares a SΩj. Ceci correspond a des erreurs
numeriques de faible amplitude (si ∆k1 et ∆k
2 sont de signes opposes) ou a des faibles gradients
bien resolus par le schema (si ∆k1 et ∆k
2 sont de meme signe).
– ζCΩj
est petit lorsque ∆k1 et ∆k
2 sont du meme signe et du meme ordre de grandeur (meme si cet
ordre de grandeur est grand). Ceci correspond a des gradients raides bien resolus par le schema.
– ζCΩj
est grand lorsque ∆k1 et ∆k
2 sont de signes opposes et qu’un des deux est beaucoup plus grand
que l’autre. Ceci correspond a une oscillation numerique de grande amplitude.
80
5.4 Maillages
– ζCΩj
est grand si ∆k1 ou ∆k
2 est du meme ordre de grandeur que SΩj. Ceci correspond a une situation
non physique resultant d’un probleme numerique.
Il est a noter que les definitions de Ψ et ǫk changent pour l’equation de conservation des fractions mas-
siques : la valeur de reference n’est plus Sk mais 2, valeur maximum de la fraction massique.
Les modeles de viscosite artificielle utilisent deux operateurs dont les proprietes sont :
2eme ordre cet operateur agit comme une viscosite classique. Il adoucit les gradients et introduit de la
dissipation artificielle. Il est associe a un senseur. Ainsi, le schema numerique garde son ordre de
precision dans les zones a faible gradient et assure la stabilite et la robustesse du schema dans les
zones critiques. A l’origine, il etait utilise pour les chocs mais peut en fait adoucir n’importe quel
gradient trop fort.
4eme ordre cet operateur est utilise pour diminuer les wiggles.
Les contributions a la cellule de l’operateur du 2eme ordre (Eq. 5.20) et de l’operateur du 4eme ordre
(Eq. 5.21) sont reportees sur les nœuds de cette cellule Ωj (Eq. 5.19).
dwk =∑
j
R2k∈Ωj
+∑
j
R4k∈Ωj
(5.19)
avec : R2k∈Ωj
= − 1
Nv
VΩj
∆tΩj
smu2 ζΩj(wΩj
− wk) (5.20)
avec : R4k∈Ωj
=1
Nv
VΩj
∆tΩj
smu4
[(~∇w)Ωj
· (~xΩj− ~xk)− (wΩj
− wk)]
(5.21)
Notation smu2 et smu4 sont des coefficients sans dimension fixes par l’utilisateur.
5.4 Maillages
Dans les calculs de mecanique des fluides numerique avec les methodes RANS, on cherche souvent
a obtenir des resultats independants du maillage. La LES etant concue pour degenerer vers la DNS au
81
APPROCHE NUMERIQUE
fur et a mesure du raffinement du maillage, on peut dire que la LES n’est pas independante du maillage.
Raffiner apporte ainsi de la precision aux resultats en permettant de resoudre des echelles de plus en
plus petites. Ainsi, il apparaıt dans la strategie de maillage une alternative fondamentale qui va dicter
l’organisation meme du code :
– soit utiliser des maillages structures
– soit utiliser des maillages non-structures (hybrides ou non)
Maillages structures Maillages non-structures
• Efficacite de l’algorithme de calcul sur les
hexahedres (travail sequentiel).
• Rapidite / facilite de la generation du maillage
sur des geometries complexes.
• Volume plus grand de la maille hexahedrique
qu’une maille tetrahedrique a iso-resolution, per-
mettant des pas de temps plus grands (explicite).
• Possibilite de raffiner a loisir dans les zones
d’interet (zone de flamme, zone de melange, pa-
nache d’un jet transverse...).
• Precision reelle plus grande du schema
numerique (ordre effectif [29]).
• Pas de direction preferentielle pouvant pertur-
ber l’ecoulement.
TAB. 5.1 - Avantages respectifs des maillages structures et non-structures
La Tab. 5.1 donne un panorama des avantages respectifs des deux strategies. Dans notre etude, on
peut identifier clairement les zones ou la resolution revet un caractere critique1 :
– Les jets de gaz naturel dans l’ecoulement transverse.
– La zone de melange situee entre les jets de fuel et la chambre de combustion.
– La region ou la flamme va se stabiliser.
Des lors, la necessite de raffiner efficacement le maillage dans ces zones, tout en preservant une bonne
qualite du maillage2, oriente clairement vers le choix d’un maillage non-structure.
5.5 Parallelisation et ”speedup”
Les calculs de simulation aux grandes echelles sont assez gourmands en termes de temps de calcul.
Pour obtenir des resultats dans un temps acceptable, la parallelisation (utilisation de plusieurs processeurs
simultanement) est necessaire.
Cette parallelisation doit etre efficace pour etre pleinement utilisable. Dans AVBP, la librairie MPI est
utilisee pour la communication entre processeurs. Des tests de performance (”speedup”) ont ete effectues
notamment par Staffelbach [145,146] qui demontrent la capacite du code AVBP a utiliser parallelement
un grand nombre de processeurs sans perdre d’efficacite. La Figure C.1 (voir Annexe C) montre clai-
rement l’accroissement quasi ideal de la vitesse de calcul du code AVBP en fonction du nombre de
processeurs employes.
1Les zones proches des parois ne sont pas ici considerees comme critiques car elles sont prises en compte par la loi de paroi.2Rapports d’aspects, taille minimum, etirement et cisaillement des mailles, etc...
FIG. A.1 - Cours du brent de janvier 1990 a mai 2008 [ dollar / baril ]
Les effets de l’augmentation des prix du petrole se ressentent a «l’ordre 1» :
– augmentation du prix du combustible automobile
– augmentation des prix de l’energie (electricite, gaz, fuel domestique, ....)
– augmentation des prix des transports (les surcharges carburants, dans le cas du transport aerien, en
sont l’exemple marquant)
Cette augmentation se ressent aussi a des ordres superieurs, parfois inattendus :
– augmentation des prix des produits agricoles1
– changement des habitudes touristiques 23
– augmentation des actes de vandalisme 4
1Cette augmentation est biaisee dans le cas des cereales : ne partie de l’agriculture mondiale s’est retournee vers la produc-
tion de biocarburants, provoquant un deficit de production mondiale et donc une augmentation des prix.2L’institut des voyages de Voyages-sncf.com a realise une etude sur les vacances des Francais pour l’ete 2008, publiee le 07
juillet 2008. 48% des personnes interrogees estiment que l’augmentation du prix de l’essence va avoir une incidence sur leur
choix de mode de transport pour les vacances d’ete.3L’association internationale du transport aerien (Iata) table pour 2008 sur un benefice net cumule de 4,5 milliards de
dollars, et non plus sur 5 milliards comme annonce en decembre ou encore 7,8 milliards en septembre 2007. L’Iata met en avant
le rencherissement du prix du petrole et le ralentissement de l’economie mondiale.4Une enquete menee en juillet/aout 2007 par Data-deliver, cabinet d’etudes et de conseil en transport & logistique aupres des
transporteurs francais a montre que 99% des entreprises de transport sont victimes de vols de carburant, et que un transporteur
sur deux considere que c’est un probleme important pour son entreprise !
208
A.2 Aspect ecologique
A.2 Aspect ecologique
La notion de pollution de l’air (ou atmospherique) decrit, comme les autres pollutions, une alteration
de la qualite et de la purete de l’air par une ou plusieurs substances ou particules presentes a des
concentrations et durant des temps suffisants pour creer un effet toxique ou ecotoxique. Le terme ”pol-
luant” designe un alteragene, biologique, physique ou chimique, biodegradable, degradable ou stable.
On compte aujourd’hui des dizaine de milliers de molecules differentes, polluants averes ou suspectes,
et qui pour beaucoup agissent en synergies entre eux et avec d’autres parametres (UV solaire, ozone,
humidite de l’air, acides,...). Les effets de ces synergies sont encore tres mal connus. La pollution est
locale (voitures, transport aerien, usines, ....) ou globale (effet du CO2 sur l’effet de serre).
A.2.1 Histoire
FIG. A.2 - C’est avec la revolution industrielle que la
pollution de l’air est devenue la plus visible et manifeste. FIG. A.3 - Pollution : le smog a Moscou
La pollution de l’air a quelques sources anciennes. On sait par exemple que l’air interieur de nom-
breuses habitations traditionnelles, enfume par des feux de bois mal concus, nuit a la sante. De meme,
les poussieres, fumees et vapeurs emises par les mines de plomb, de cuivre et de mercure de la Rome
antique ont laisse des traces jusque dans la glace du pole nord.
Mais c’est au XIXe siecle qu’une pollution importante et chronique a recouvert les villes de la
revolution industrielle.
A.2.2 Principales sources de pollution
La pollution de atmospherique resulte principalement des gaz et particules rejetes dans l’air par les
vehicules a moteur, les installations de chauffage, les centrales thermiques et les installations indus-
trielles : oxydes de carbone, de soufre et d’azote, poussieres, particules radioactives, produits chimiques,
. . .
On distingue deux types de sources : anthropiques (emissions des chaudieres, moteurs, usines, ....)
et naturelles (volcanisme, erosion eolienne, emissions naturelles de methane ou d’ozone,...). Cette dis-
209
QUELQUES ENJEUX DE LA RECHERCHE EN COMBUSTION
tinction est parfois difficile a etablir : la degradation anthropique des sols peut favoriser des emissions
de methane qu’on jugera ou non naturel. De meme, l’aridification anthropique induite par le drainage, le
surpaturage, la salinisation et la degradation des sols favorise des envols de poussiere qu’il est difficile
de differencier des envols naturels a partir des deserts originels.
A.2.2.1 Les vehicules a moteur
Les vehicules a moteur, de plus en plus nombreux, rejettent des gaz toxiques (gaz carbonique, mo-
noxyde de carbone,. . .) jusque dans la haute atmosphere (avions et fusees). La plupart des moteurs
font appel aux energies fossiles (petrole, houille, gaz naturel), a l’origine d’une pollution qui s’est
considerablement aggravee dans le monde depuis le debut du XXe siecle.
A.2.2.2 La production d’energie
Les besoins en energie augmentent et leur satisfaction entraıne une pollution croissante sur la planete,
notamment en Chine qui est devenue en 20065 le pays le plus emetteur de CO2 avec la delocalisation
d’une grande partie de la production des pays riches. En effet, la chine utilise le charbon a 69 % pour
sa production energetique, ce qui est un taux 42 fois plus eleve que la moyenne mondiale. Elle reste
cependant derriere les USA en terme de CO2 emis par habitants. En 2007, une centrale au charbon y
serait mise en route tous les 3 jours, chacune developpant la puissance d’un reacteur nucleaire.
A.2.2.3 Les industries
La fabrication de la plupart des articles domestiques entraıne la liberation de substances chimiques
toxiques dans l’atmosphere. C’est le cas, notamment pour la fabrication d’objets en matieres plastiques.
A.2.3 Les produits polluants
La majorite des polluants atmospheriques sont cites dans les paragraphes suivants. Ils sont d’origines
diverses, et ne sont donc pas tous en rapport avec le sujet de cette etude, mais beaucoup sont lies avec la
combustion de carburants fossiles (petrole, gaz, charbon, houille, ...).
A.2.3.1 Precurseurs de l’ozone
L’ozone est dit polluant ”secondaire” : il n’est pas emis directement dans l’air mais resulte d’une
reaction photochimique impliquant des precurseurs. Il est une des causes du smog (Fig. A.3) et se
5Selon une etude du « Netherlands Environmental Assessment Agency » publiee le 22 juin 2007 ; En 2006 la chine a produit
6. 200 mmillions de tonnes of CO2, plus que les 5.800 millions de tonnes produites par les USA
210
A.2 Aspect ecologique
developpe plus intensement en periode de temps chaud et ensoleille : les concentrations en ozone sont
ainsi plus elevees durant la periode estivale.
– Les oxydes d’azote, notes d’une facon generale par le sigle NOx regroupent le monoxyde d’azote
(NO) et le dioxyde d’azote (NO2). Les NOx sont essentiellement produits par les combustions a
haute temperature et a haute pression, de deux origines principales :
– les moteurs d’automobile, et en particulier les moteurs diesel qui, du fait de leur fonctionnement
a plus haute pression, emettent 2 a 3 fois plus de NOx que les moteurs a essence.
– les moteurs d’avion : un avion qui decolle produit en moyenne 14 kg d’oxyde d’azote,
l’equivalent de 2000 voitures diesel qui font 25 km.
– Les composes organiques volatils sont des hydrocarbures qui peuvent etre emis par des facteurs
anthropogeniques (production d’essence, emanation de solvant,...) et aussi par la vegetation.
A.2.3.2 Gaz a effet de serre
– Gaz issus de la combustion de carburants fossiles
– Dioxyde de carbone : Bien que le gaz carbonique ne soit pas toxique en soi, et favorise en fait
la croissance des plantes, les environnementalistes ont mis en evidence dans les annees 1990
que l’exces de dioxyde de carbone est une forme de pollution, en raison de son action dans le
processus de rechauffement climatique. C’est notamment pourquoi le Protocole de Kyoto de
1999 a etabli un calendrier de reduction des emissions de ce gaz.
– Monoxyde de carbone (CO) : C’est un des produits de la combustion incomplete. Il est dangereux
pour les animaux car il se fixe sur l’hemoglobine du sang, empechant le transport d’oxygene dans
l’organisme. De plus, il est inodore, le temps de ressentir un leger mal de tete et il est deja trop
tard sans intervention exterieure. Il se dilue tres facilement dans l’air ambiant, mais en milieu
ferme, sa concentration le rend toxique, voire mortel ; chaque annee, on releve des dizaines de cas
d’intoxication mortelle, a cause d’appareils de combustion (ou de groupes electrogenes) places
dans une piece mal aeree (manque d’oxygene entrant, manque de sortie pour le CO).
– Dioxyde de soufre (SO2) : C’est l’un des principaux dechets rejetes lors de la combustion d’ori-
gine fossile. Ces origines peuvent etre anthropiques (chauffage domestique, transports, industrie,
metallurgie) mais egalement naturelles : marecages, oceans, volcanisme. Il est un agent irritant
du tractus respiratoire. Le dioxyde de soufre est aussi un composant de la formation des pluies
acides, nuisibles aux ecosystemes tels que les forets et les lacs. En 2006, la Chine est le premier
pays du monde pour les emissions de dioxyde de soufre, qui ont progresse de 27 % entre 2000
et 20056.
– CFC et assimiles
Des les annees 1980, il a ete demontre que les chlorofluorocarbones (CFC, dits « freons ») ont des
effets potentiellement negatifs : destruction de la couche d’ozone dans la stratosphere ainsi qu’im-
portante contribution a l’effet de serre. Le protocole de Montreal a mis un terme a la production de
la grande majorite de ces produits.
Les sources de pollution au CFC sont les suivantes :
– utilises dans les systemes de refrigeration et de climatisation pour leur fort pouvoir caloriporteur,
6« 2006 : annee de la pollution en Chine », dans L’Express du 10/01/2007
211
QUELQUES ENJEUX DE LA RECHERCHE EN COMBUSTION
ils s’en echappent a l’occasion de fuites des appareils ou sont liberes lors de la destruction des
appareils hors d’usage.
– utilises comme propulseur dans les bombes aerosols, une partie est liberee a chaque utilisation.
Les bombes aerosols utilisent desormais comme gaz de propulsion de l’air comprime, ou du
dioxyde de carbone (CO2).
– Methane
Le methane (CH4) est nuisible par sa grande contribution a l’effet de serre. Il a un potentiel de
retenir la chaleur de pres de 300 fois celle du CO2.
Les sources de pollution au methane sont les suivantes :
– Fermentation (biogaz)
– Gaz de digestion des animaux d’elevage (ruminants notamment)
– Culture de riz
– Gaz naturel
A.2.3.3 Particules
Les particules solides en suspension dans l’air sont principalement constituees :
– de poussiere (provenant de l’erosion des sols ou d’activite volcanique)
– de pollen (a certaines periodes de l’annee)
– de residus de combustion incomplete (dues aux moteurs Diesel, a l’activite industrielle, au chauf-
fage au bois residentiel, ...)
– des procedes industriels, comme le sciage du bois d’œuvre
Le poids de ces particules et leur taille, de l’ordre du micrometre a la centaine de micrometres de
diametre, leur permettent de se diffuser au gre des vents. Une fois emises, elles peuvent rester en sus-
pension pendant plusieurs jours. Elles peuvent penetrer profondement dans les poumons d’autant plus
facilement que leur taille est reduite (particules fines, de taille inferieure a 2,5 µm). Dependant de leur
constitution, de leur concentration et des durees d’exposition, les particules peuvent causer des allergies,
des difficultes respiratoires ou des lesions pouvant occasionnellement entraıner des cancers.
La pluie, en lessivant l’atmosphere, ramene de nombreux polluants au sol. Mais une partie pourra,
une fois deshydratee, repartir dans l’air. Certains polluants plus legers que l’eau, ou liposolubles, sont
provisoirement fixes par les oceans, dans le biofilm. Ils peuvent neanmoins repasser dans le compartiment
atmospherique par evaporation ou par les embruns emportes par le vent.
A.2.4 Synthese sur les grandes sources de pollution aerienne
La principale cause est l’activite anthropique, mais certains evenements naturels peuvent perturber la
composition de l’air de facon non negligeable et durable (eruption volcanique ou certains feux naturels
a tres grande echelle).
La pollution due aux activites humaines se decompose principalement en :
212
A.2 Aspect ecologique
– rejets de l’industrie : les industries de la chimie et de la petrochimie rejettent de nombreux types
de produits, residus de processus de transformation. Les installations du secteur de la siderurgie et
de la metallurgie emettent egalement de nombreux polluants en grande quantite, notamment dans
des processus de combustion incomplete (cokeries, agglomerations,...) ou de refonte de materiaux
utilises (acieries electriques)
– rejets lies a l’incineration et a la degradation naturelle ou controlee (compostage, fermentation,. . .)
des ordures ou d’autres produits
– rejets lies a la production d’energie, de chaleur et de froid
– rejets lies aux activites agricoles et d’elevage
– rejets lies aux transports.
A.2.5 Reglementation
La plupart des pays se sont dotes de lois sur l’air concernant les emissions polluantes. A titre
d’exemple, le reglement europeen prevoit que les emissions de CO2 des automobiles soient, en moyenne
par constructeur, ramenees a 130 g/km en 2012, grace a l’amelioration des rendements moteurs. Des
mesures supplementaires sont envisagees sur d’autres segments (climatisation, pneus) pour atteindre les
120 g/km a cette date. Cette mesure contraignante se justifie d’autant plus qu’en 1998, les principales
associations de constructeurs avaient signe un accord volontaire avec les autorites europeennes pour at-
teindre la norme de 140 g/km en 2008 et 120 g/km en 2010. De meme, L’annexe VI de la convention
marpol traite de la pollution de l’air par les navires7.
7Convention Marpol, http ://www.imo.org/
213
QUELQUES ENJEUX DE LA RECHERCHE EN COMBUSTION
A.3 Aspect geopolitique
La geopolitique du petrole est intimement liee aujourd’hui a la perception de l’atteinte du pic petrolier
par les grandes puissances, ce qui inclut la prise de conscience des limites geologiques de la ressource.
Durant le XXe siecle, les motivations ont ete differentes, compte tenu de la nature politique des deux
premiers chocs petroliers.
Ce theme est crucial puisqu’a la fois international et multinational :
– Il est inherent aux relations internationales depuis que les efforts de prospection menes durant la
fin du XIXe siecle ont revele des gisements mirifiques au Moyen-Orient. 8 9 10
– L’economie mondiale, dont cinq compagnies petrolieres figurent parmi le top 1011, est desormais
liee au sort de multinationales qui ont place leurs interets concernant l’or noir en competition.
A.3.1 Les enjeux
FIG. A.4 - Carte etablie en 2003 par BP Statistical Review des reserves petrolieres mondiales .
8Les difficultes de transport liees au gaz confinent cet hydrocarbure a des considerations de geostrategies locales, telle celle
de la Russie, par exemple.9La montee de la consommation de petrole de la Chine confirme l’arrivee du dernier acteur parmi les participants deja
connus du Grand Jeu reactive sur les ensembles geographiques du Moyen-Orient et d’Asie centrale ou se trouve le gisement de
Bakou.10Les enjeux ne se restreignent pas au Moyen-Orient, la peninsule de Bakassi ayant ete cedee par le Nigeria au Cameroun
a l’issue du reglement d’une revendication territoriale soulignee par la presence de pas moins de huit compagnies petrolieres
ayant assure la prospection offshore.11ces cinq figurent parmi les six (en) supermajors du marche energetique.
214
A.3 Aspect geopolitique
A.3.1.1 Le controle des gisements
Le petrole est une donnee largement prise en compte par les strateges geopolitiques. En effet, la
dependance des pays envers ce produit est telle qu’une difficulte d’approvisionnement (cout, diminution
de la production, . . .) peut, en soi, justifier un conflit. D’autre part, une guerre qui rompt des approvi-
sionnements en petrole peut ainsi forcer l’implication de puissances, qui seraient restees neutres sinon.
Par ailleurs, l’approvisionnement en petrole des belligerants a plusieurs fois influe sur le sort des armes,
comme pendant les deux guerres mondiales.
A.3.1.2 Le controle des detroits
La geostrategie des detroits par lesquels passent les petroliers constitue le second enjeu, celui du
transport petrolier.
FIG. A.5 - Carte des principaux flux de petrole dans le monde en 2003 (en millions de tonnes).
Le detroit d’Ormuz est a la fois dans la zone d’influence de l’Iran comme dans celle des pays de la
peninsule arabique, pour lesquels les Etats-Unis ont delegue une flotte mouillant en permanence dans
le golfe Persique, la cinquieme de l’US Navy (Fig. ??). La tension est si palpable que meme les ılots
bordant le detroit font l’objet de conflits d’integrite territoriale.
Les approvisionnements de l’Occident dependent tres largement du canal de Suez ; ceux de
l’Amerique du canal de Panama.
Enfin ceux du Japon et de la Chine passent par le detroit de Malacca, pour lequel les voies maritimes
se sont averees peu sures puisque ces eaux sont parmi les dernieres du globe ou se pratique la piraterie.
Par ailleurs, ce detroit debouche sur la mer de Chine meridionale, pour laquelle un conflit territorial
a episodes implique six riverains pour l’acces aux ressources naturelles (le petrole fait partie de ces
interets).
215
QUELQUES ENJEUX DE LA RECHERCHE EN COMBUSTION
A.3.1.3 La securisation de l’approvisionnement
Nombre de pays disposent de reserves strategiques de petrole et/ou de produits raffines, pour subvenir
aux besoins de leurs forces armees en cas de conflit.
216
Annexe B
Conditions aux limites
B.1 Generalites
Les conditions limites sont un point crucial dans tout code de mecanique des fluides. Elles deviennent
critiques en LES dans les codes resolvant l’acoustique [105, 134].
L’integration temporelle Runge-Kutta multi-etapes est utilisee dans AVBP. Cependant, pour des rai-
sons de simplicite, l’exemple illustratif decrit une integration une etape. Connaissant le vecteur solution
Un au temps t, la solution Un+1 au temps t + ∆t s’ecrit de facon generale :
Un+1 = Un −R∆t (B.1)
L’exposant n est utilise pour rappeler que le code explicite ne se sert que des donnees a l’iteration n.
En chaque noeud du bord, le residuR calcule par le schema est corrige par les conditions aux limites. Il
est important de noter que, pour que le probleme soit mathematiquement bien pose, le nombre necessaire
et suffisant de variables a corriger est dicte par le type de conditions aux limites (traitement d’entree ou
de sortie, voir [111] - Chap.9). Le residu peut l’etre de deux facons differentes :
Methode non caracteristique : En imposant directement les variables conservatives cibles au travers
des residus.
Methode caracteristique : En effectuant une decomposition en ondes pour modifier les residus [149].
C’est le principe de la methode NSCBC1 developpee par Poinsot et Lele [108] et etendue aux
ecoulements multi-especes par Moureau et Lartigue [92].
Nous allons nous attacher a expliquer plus en detail comment est construite cette deuxieme methode
dans le chapitre B.2. Nous ne detaillerons pas la premiere methode. Le lecteur qui chercherait de plus
amples informations est invite a se reporter au ”Handbook” d’AVBP2.
1NSCBC pour Navier-Stokes Characteristic Boundary Condition2http ://www.cerfacs.fr/∼avbp/AVBP V5.X/HANDBOOK/handbook.pdf
CONDITIONS AUX LIMITES
B.2 Conditions aux limites caracteristiques
The underlying key concept of characteristic boundary conditions is the following : waves that are
leaving the domain are well-computed by the numerical scheme (in a sense, they only contain “upwind”
information) and must be left unchanged, while waves entering the domain cannot be computed by the
numerical scheme (they transport “downwind” information) and must therefore be replaced by user-
defined values. These values are given by the physics of the boundary conditions.
The procedure of Boundary Condition treatment is summarised on Fig. B.1. This sketch will help to
understand all implementation details exposed in sections B.2.1 to B.2.3.
Predicted values
Boundary conditions
INLET_WAVE_UVW_T_Y
INLET_RELAX_UVW_T_Y
OUTLET_RELAX_P
…..
Compute waves
amplitude
Prediction of the
numerical scheme
Specify incoming vs.
outgoing waves.
Same approach for all
formulations
Apply corrected
residuals to advance
the solution in time
Redistribute corrected
incoming waves to
residuals
iwave =1 iwave =3 iwave =2
strengthP= "LU#
$U
$n%t strength
P = LU RP Rt
P( )
Contribution of «!wrong!»
incoming waves
Un+1
=Un"#t R
BC
P" R
BC
in,P R
BC
in,C R
U
P( )
RBC
in,P= RU " strength(in)
P
strengthP= LUR
P
RBC
in,C= RU strength(in)
C
FIG. B.1 - Scheme of the global procedure for characteristic boundary conditions.
B.2.1 Building the characteristic boundary condition
The explicit time advancement scheme of AVBP leads to the predicted value Un+1pred :
∂U = Un+1pred − Un = −RP ∆t (B.2)
The total residualRP can be split into two parts :
∂U = −∆t(RPBC +RP
U ) (B.3)
218
B.2 Conditions aux limites caracteristiques
RPBC which will be modified by the BC treatment and RP
U which will be left unchanged. The objective
of the BC treatment is to construct the final value of U at time n + 1 : Un+1
Un+1 = Un −∆t(RCBC +RP
U ) (B.4)
where RCBC is the part of the residual which has been corrected using RP
U , Un, the type of BC and the
target values. The correction is made in the following way :
RCBC = RP
BC −Rin,PBC +Rin,C
BC (B.5)
i.e. by substituting the contribution on the residuals of the predicted ”wrong” (see section B.1) incoming
wavesRin,PBC by their correct values given by the boundary conditionRin,C
BC . A fondamental issue is now :
how to choose the residual part to updateRPBC ?
In AVBP there are two main methods to update RPBC linked to the spatial and temporal formulation
described in the next sections. Other ways to choose the part of update do exist, using :
– the advection terms of the bicharacteristic equations [56].
– a Fourier decomposition of the solution at the boundary [51]
– viscous and reacting terms [151]
– a decomposition between the convective and the acoustic part to build the waves [121, 122]
They won’t be presented here because they are not used in AVBP now. More details and comparisons
between these methods can be found in [97] and in AVBP handbook.
B.2.2 Spatial formulation3
In the spatial formulation, which is the initial form of the NSCBC method [113], the ∂W are defined
from spatial gradients :
∂W = strength = −λ∂W
∂n∆t (B.6)
where λ is a vector containing the eigenvalues of the normal jacobian, i.e. the propagation speed of the
waves. This means that the variations of characteristic variables in the spatial formulation are proportio-
nal to normal gradients of variables. Following the development of Poinsot [113] we can introduce the
L notation :
L = λ∂W
∂n(B.7)
To build the boundary condition, as detailed in section B.2.1, variations of characteristic variables ∂Wmust be obtained from residuals. The computation of the strength from the residuals RP is then
performed using the normal residual approach. This corresponds to the NSCBC formulation [113] in
which spatial derivatives normal to the boundary are used to update RPBC . To do this, the residual RP
3iwave = 1 or 3
219
CONDITIONS AUX LIMITES
must be split in two parts :
RP =
normal part︷︸︸︷RP
n +
non normal part︷ ︸︸ ︷RP
t +RPDiffusion +RP
Chemistry (B.8)
The NSCBC method assumes that only the normal part must be updated :
RPBC = RP
n (B.9)
while the non normal part is unchanged :
RPU = RP
t +RPDiffusion +RP
Chemistry (B.10)
So variations of conservative variables linked to the normal residual can be written as
∂U = −RPn ∆t (B.11)
The normal part of the residuals can be defined in the following way :
RPn = NU
∂U
∂n(B.12)
where NU = AUnx + BUny + CUnz is the normal jacobian in conservative variables. Thanks to the
wave decomposition, NU is :
NU = RUDLU (B.13)
where, as usual, D is the eigenvalues diagonal matrix. The values of predicted strength are obtained by :
strengthP = ∂W = −LU∂U = −LURUDLU
∂U
∂n∆t = −LUλi
∂U
∂n∆t (B.14)
Characteristic variables variations are therefore calculated using spatial normal derivates of conserved
variables. The BC are applied to impose the ingoing waves strength(in)C and the solution is pro-
jected back to the residuals according to eq. B.5 :
RCBC∆t = (RP
BC −Rin,PBC +Rin,C
BC )∆t (B.15)
where :
∆tRPBC = RUstrength
P
∆tRin,PBC = RUstrength(in)
P (B.16)
∆tRin,CBC = RUstrength(in)
C
The final value for Un+1 is then :
Un+1 = Un −∆tRCBC −∆t
[RP
t +RPDiffusion +RP
Chemistry
]
220
B.2 Conditions aux limites caracteristiques
Note that this method does not enforce strictly the value of Un on the boundary since the tangential,
viscous and chemical terms are not accounted for when assessing the corrected value of the incoming
waves.
O. Colin in his PhD thesis [26] developed an alternative method for calculating the normal part of the
residuals (iwave = 3). The idea is to subtract the transverse part of the residual from the total residual.
RPBC = RP
n = RP −RPt (B.17)
This transverse residualRPt can be calculated on the boundary using the ”complete” centered numerical
scheme. On the contrary, gradients normal to the wall used for iwave = 1, are calculated with a ”trunca-
ted” and less precise scheme, since, on the boundary, we have access only to cells inside the domain.
B.2.3 Temporal formulation4
In the NSCBC method of the previous section, wave computations require spatial derivatives and
computing them can be difficult and noisy. An alternative solution is to use time variations to evaluate
RPBC : in the temporal formulation originally introduced by Thompson [152], the ∂W are defined as
∂W =∂W
∂t∆t = strength (B.18)
Characteristic variables variations are then calculated as a temporal variation (not a temporal deriva-
tive) of primitive (or conserved) variables. The computation of the variations of characteristic variables
strength from the residualsRP (as detailed in section B.2.1) is then performed using the full residual
approach. In this case the total residual RP is used for RPBC so that RP
U = 0 in eq. B.3. The predicted
variations in conservative variables are now
∂U = −RP ∆t (B.19)
where RP is the actual residual calculated by AVBP before the application of boundary conditions.
This means that only time changes are used to compute waves and there is no need for normal spatial
gradients. Now predicted variations of characteristic variables can be computed from the variations of
conservative variables using the left passage matrix LU .
strengthP = ∂W = LU∂U = −LURP ∆t (B.20)
All waves going out of the domain are left unchanged in strengthP while corrected incoming
waves strength(in)C are computed. Having modified strength(in)P , the corrected RCBC is
obtained, as for the spatial formulation, by :
RCBC∆t = (RP
BC −Rin,PBC +Rin,C
BC )∆t (B.21)
4iwave = 2
221
CONDITIONS AUX LIMITES
where :
∆tRPBC = RUstrength
P
∆tRin,PBC = RUstrength(in)
P (B.22)
∆tRin,CBC = RUstrength(in)
C
and Un+1 can finally be obtained by Eq. B.4 :
Un+1 = Un −RCBC∆t (B.23)
B.3 Lois de paroi
Le principe de fonctionnement des lois de paroi adiabatiques et non-adiabatiques sont presentes res-
pectivement dans les Chap. B.3.1 et B.3.2. Pour plus de detail, nous invitons le lecteur a se reporter a
la these de Patrick Schmitt [132] qui a implemente et teste ce traitement, ainsi qu’a l’article paru dans
J. Fluid. Mech. [133]. Il s’agit d’une loi basee directement sur les approches RANS classiques. Cette loi
a ete testee en detail dans des canaux turbulents en termes de frottements, de flux de chaleur et de profils
de vitesse [132].
B.3.1 Lois de parois adiabatiques
La loi de paroi adiabatique fonctionne selon le principe suivant. Le cisaillement a la paroi τwall = ρu2τ
est calcule de facon iterative sur chacune des faces du mur avec :
– La hauteur de la cellule ywall perpendiculaire au mur.
– La vitesse moyenne u2 des premiers point dans l’ecoulement5.
– La viscosite νwall et la densite ρwall au mur.
Les variables adimensionnees par la distance au mur et la vitesse dans la couche limite sont definies
par :
y+ =ywall uτ
νwallu+ =
u2
uτ(B.24)
Ensuite, la vitesse de frottement est calculee suivant la valeur de y+, soit par une relation lineaire
(Eq. B.25), soit par une loi de paroi logarithmique (Eq. B.26).
y+ ≤ 11.445 : u+ = y+ (B.25)
y+ > 11.445 : u+ = κ−1ln(Ey+) (B.26)
avec κ = 0.41 et E = 9.2
5La vitesse u2 est en fait la moyenne de tous les points de la cellule collee contre le mur qui ne sont pas sur le mur lui-meme.
222
B.3 Lois de paroi
De plus, le flux de chaleur normal et la vitesse normale au mur sont fixes a zero. Ainsi, la partie
”Dirichlet” de cette condition limite est equivalente a un mur glissant, ce qui implique un traitement
particulier des coins [132].
B.3.2 Lois de parois non adiabatiques
On peut faire evoluer la condition de loi de paroi adiabatique presentee au chapitre B.3.1 afin d’im-
poser des pertes thermiques. La temperature au mur Twall permet tout d’abord de calculer les proprietes
thermodynamiques (νwall, ρwall, Cp,wall). Ensuite, en utilisant la temperature moyenne T2 des premiers
points dans l’ecoulement6, on peut definir la temperature adimensionnee :
T+ =ρwall Cp,wall uτ (Twall − T2)
qwall(B.27)
avec qwall =Tref − Twall
Rwall(B.28)
Ayant deja determine la vitesse de frottement uτ , la temperature au mur est calculee suivant la valeur
de y+ selon une loi similaire a celle pour la vitesse (Eq. B.25 & B.26).
y+ ≤ 11.445 : T+ = Pr y+ (B.29)
y+ > 11.445 : T+ = κ−1Prt ln(Fy+) (B.30)
avec κ = 0.41 et F = 2.96
Il est important de noter que lorsque Rwall → ∞, le comportement de la loi de paroi tend vers la
loi adiabatique, et lorsque Rwall → 0, il tend vers une loi isotherme. Cette approche permet d’eviter de
specifier la temperature aux parois et constitue une premiere approche vers un calcul dual combustion /
thermique dans les parois.
6La temperature T2 est en fait la moyenne de tous les points de la cellule collee contre le mur qui ne sont pas sur le mur
lui-meme.
223
CONDITIONS AUX LIMITES
224
Annexe C
Images en couleur
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
Equiv
ale
nt
Perf
orm
ance
120001000080006000400020000
Cores
Ideal /L
CINES, GENCI, SGI Altix ICE - AVBP GR (*)
Thomas Watson, Bluegene /L (1)
CCRT, Novascale Itanium (2)
CINES, GENCI, SGI Altix ICE (4)
CERFACS, BlueGene /L(5)
ARNL, INCITE, BlueGene /P (5)
(1) 40M cells case / AVBP
(2) 18M cells case / AVBP
(3) 10M cells case / AVBP
(4) 75M cells case /AVBP
(5) 37M cells case /AVBP
(*) 29M cells case/ AVBP GR
FIG. C.1 - Speedup du code AVBP sur deux maillages a respectivement 5 millions et 40 millions de
cellules [145, 146].
IMAGES EN COULEUR
FIG. C.2 - Version couleur de la figure 8.8.
226
FIG. C.3 - Averaged LES (left) and experimental (right) temperature fields.
227
IMAGES EN COULEUR
FIG. C.4 - Experimental temperature fields. Instantaneous (left) and averaged (right).