i SIMULASI PELUANG RUIN DENGAN SUKU PREMI TIDAK KONSTAN MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS SKRIPSI Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang matematika oleh: BINTANG FAJAR 135090407111010 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2017
60
Embed
SIMULASI PELUANG RUIN DENGAN SUKU PREMI TIDAK …repository.ub.ac.id/4782/1/Bintang Fajar.pdf · MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS Disusun Oleh: BINTANG FAJAR 135090407111010 Setelah
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
i
SIMULASI PELUANG RUIN
DENGAN SUKU PREMI TIDAK KONSTAN
MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS
SKRIPSI
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains dalam bidang matematika
oleh:
BINTANG FAJAR
135090407111010
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2017
ii
iii
LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI
SIMULASI PELUANG RUIN
DENGAN SUKU PREMI TIDAK KONSTAN
MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS
Disusun Oleh:
BINTANG FAJAR
135090407111010
Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji
pada tanggal 07 Agustus 2017
dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains dalam bidang Matematika
Pembimbing
Dra. Endang Wahyu Handamari, M. Si
NIP. 196611121991032001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Universitas Brawijaya
Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si.,M.Si.,Ph.D
NIP. 197509082000031003
iv
v
LEMBAR PERNYATAAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Bintang Fajar
NIM : 135090407111010
Jurusan : Matematika
Judul Skripsi : SIMULASI PELUANG RUIN
DENGAN SUKU PREMI TIDAK
KONSTAN MENGGUNAKAN DUAL
DARI FUNGSI SURPLUS
Dengan ini menyatakan bahwa:
1. isi Skripsi yang saya buat adalah benar-benar karya sendiri
dan tidak menjiplak karya orang lain, selain nama- nama
yang termaktub di isi dan tertulis di Daftar Pustaka dalam
Skripsi ini.
2. Apabila di kemudian hari ternyata Skripsi yang saya tulis
terbukti hasil jiplakan, maka saya bersedia menanggung
segala risiko yang akan saya terima.
Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.
Malang,
Yang menyatakan,
Bintang Fajar
NIM. 135090407111010
vi
vii
SIMULASI PELUANG RUIN
DENGAN SUKU PREMI TIDAK KONSTAN
MENGGUNAKAN DUAL DARI FUNGSI SURPLUS
ABSTRAK
Mengestimasi peluang ruin dimana terdapat faktor bunga yang
bekerja pada premi, dapat digunakan dual dari fungsi surplus yaitu
fungsi kerugian. Fungsi kerugian dibuat dengan cara menegatifkan
fungsi surplus. Untuk mengestimasi peluang ruin dapat dilakukan
dengan cara mensimulasikan fungsi kerugian. Nilai dari fungsi
kerugian dibuat selalu positif atau bernilai nol saat nilainya negatif.
Melalui metode ini peluang ruin dapat dicari tanpa khawatir nilai dari
proses kerugian menuju ke negatif tak hingga. Peningkatan bunga
tidak mengakibatkan penurunan nilai peluang ruin. Penambahan nilai
modal awal memiliki pengaruh yang signifikan dalam penurunan
peluang ruin.
Kata kunci : Peluang ruin, fungsi surplus, dual.
viii
ix
THE SIMULATION OF RUIN PROBABILITY
WITH UNCONSTANT PREMIUM RATE
USING DUAL OF SURPLUS FUNCTION
ABSTRACT
Estimating the ruin probability which there is interest working on the
premium, dual function of the surplus function, loss function, can be
used. Loss function is formed from the negation of the surplus
function. Estimating the ruin probability can be done by simulating
the loss function. The amount of loss function is always positive, in
the other hand the amount is zero when its amount becomes negative.
Using this methods, the ruin probability can be found without
worrying that the amount of loss function goes to minus infinity. The
increasing of the intereset rate don’t affect in decreasing the ruin
probability. Initial fund gives significant effect in decreasing the
HALAMAN JUDUL ........................................................................ i LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ........................................... iii LEMBAR PERNYATAAN ............................................................. v ABSTRAK ..................................................................................... vii ABSTRACT ..................................................................................... ix KATA PENGANTAR .................................................................... xi DAFTAR ISI ................................................................................. xiii DAFTAR GAMBAR ..................................................................... xv DAFTAR TABEL ........................................................................ xvii BAB I ................................................... Error! Bookmark not defined.
1.1 Latar Belakang ...................... Error! Bookmark not defined.
1.2 Rumusan Masalah ................. Error! Bookmark not defined.
1.3 Asumsi .................................. Error! Bookmark not defined.
1.4 Tujuan ................................... Error! Bookmark not defined.
BAB II ................................................. Error! Bookmark not defined. 2.1 Peubah Acak .......................... Error! Bookmark not defined.
2.1.1 Ekspektasi.......................... Error! Bookmark not defined.
2.1.2 Variansi .............................. Error! Bookmark not defined.
2.1.3 Fungsi pembangkit momen. Error! Bookmark not defined.
2.2 Proses Stokastik ..................... Error! Bookmark not defined.
2.2.1 Proses Poisson ................... Error! Bookmark not defined.
2.2.2 Proses Poisson majemuk.... Error! Bookmark not defined.
2.2.3 Rantai Markov ................... Error! Bookmark not defined.
2.2.3.1 Distribusi stasioner ....... Error! Bookmark not defined.
2.2.3.2 Rata-rata kunjungan pada keadaan stasioner ...... Error!
Bookmark not defined.
2.3 Hukum Bilangan Besar (Kuat)Error! Bookmark not defined.
2.4 Model Risiko Kolektif ........... Error! Bookmark not defined.
2.5 Model Ruin Klasik ................ Error! Bookmark not defined.
2.5.1 Model ruin untuk waktu diskrit ........ Error! Bookmark not
defined.
2.6 Force of Interest .................... Error! Bookmark not defined.
xiv
2.7 Dualitas ................................. Error! Bookmark not defined.
2.7.1 Dualitas pada fungsi surplusError! Bookmark not defined.
2.8 Penentuan Distribusi StasionerError! Bookmark not defined.
2.9 Relative Security Loading ...... Error! Bookmark not defined.
BAB III ................................................ Error! Bookmark not defined. 3.1 Jenis Penelitian ...................... Error! Bookmark not defined.
3.2 Sumber Data .......................... Error! Bookmark not defined.
3.3 Metode Penelitian .................. Error! Bookmark not defined.
3.4 Analisis Data ......................... Error! Bookmark not defined.
3.5 Diagram Alir.......................... Error! Bookmark not defined.
BAB IV ................................................ Error! Bookmark not defined. 4.1 Fungsi Surplus dengan Premi Tidak Konstan .............. Error!
Bookmark not defined.
4.2 Fungsi Surplus dan Fungsi Sediaan ..... Error! Bookmark not
defined.
4.3 Pembuktian Dualitas .............. Error! Bookmark not defined.
4.4 Simulasi ................................. Error! Bookmark not defined.
BAB V ................................................. Error! Bookmark not defined. 5.1 Kesimpulan ............................ Error! Bookmark not defined.
5.2 Saran ...................................... Error! Bookmark not defined.
DAFTAR PUSTAKA ......................... Error! Bookmark not defined.
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi surplus ............................................... 15
Gambar 2.2 Grafik untuk mendefinisikan ..................... 17
Gambar 2.3 Ilustrasi grafik H(t) dan L(t) ............................................... 21
Gambar 3.1 Diagram alir penelitian ....................................................... 25
Gambar 4.1 Ilustrasi grafik U(t) dan X(t) ............................................... 28
xvi
xvii
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Hasil simulasi perhitungan peluang ruin dengan tingkat
bunga berbeda............................................................... 32
Tabel 4.2 Hasil simulasi perhitungan peluang ruin dengan modal
awal berbeda ................................................................. 33
Tabel 4.3 Prosentase penurunan peluang ruin dengan tingkat bunga
berbeda ......................................................................... 34
Tabel 4.4 Prosentase penurunan peluang ruin dengan modal awal
berbeda ......................................................................... 34
18
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari hari sering dihadapi hal-hal yang
tidak pasti. Ketidakpastian tersebut seringkali menyebabkan suatu
kerugian pada kehidupan, misalnya adalah terjadinya kecelakaan
atau kematian. Maka dari itu, diperlukan rencana antisipasi untuk
mengurangi dampak yang ditimbulkan apabila timbul suatu kerugian.
Salah satu cara untuk mengantisipasi kerugian tersebut adalah
dengan mengikuti suatu asuransi.
Dengan mengikuti program asuransi berarti seseorang setuju
untuk membayarkan sejumlah uang kepada pihak asuransi dan
menyetujui kontrak asuransi dan menjadi pemegang polis. Suatu
dana santunan akan diberikan oleh pihak asuransi apabila terjadi
suatu kerugian yang menimpa pemegang polis. Saat hal tersebut
terjadi, maka pemegang polis berhak untuk mengajukan klaim
kepada pihak asuransi atas dana sesuai dengan kontrak asuransi yang
telah disetujui.
Dari sudut pandang pihak perusahaan asuransi, dengan
menyetujui kontrak asuransi dengan pemegang polis berarti
perusahaan asuransi setuju untuk menanggung risiko yang mungkin
dialami pemegang polis. Perusahaan asuransi akan menerima
pemasukan dari premi yang dibayarkan pemegang polis, dan
perusahaan asuransi harus memberikan santunan jika terdapat
pemegang polis yang mengajukan klaim. Jumlah dan waktu dari
klaim yang diajukan oleh pemegang polis tidak dapat diketahui
dengan pasti.
Untuk meminimalkan risiko pada perusahaan asuransi, sangat
penting untuk mengetahui peluang ruin. Ruin adalah keadaan dimana
perusahaan asuransi mengalami kerugian untuk pertama kali.
Terdapat beberapa cara menghitung peluang ruin, metode yang
paling dasar adalah dengan metode ruin klasik. Anugerah Rizki I
pada tahun 2007 melakukan penelitian tentang perhitungan peluang
ruin dengan menggunakan fungsi surplus, atau menggunakan model
ruin klasik. Francois Dufrense dan Hans U. Gerber menuliskan tiga
metode perhitungan ruin pada artikelnya yang berjudul Three
2
Methods to calculate the Probability of Ruin. Metode yang
dijelaskan antara lain metode upper and lower bound, metode
dengan distribusi kombinasi eksponensial, serta yang terakhir adalah
dengan simulasi. Arif Edi Nugroho pada tahun 2009, berdasarkan
artikel dari Gerber dan Dufrense melakukan penelitian tentang
perhitungan peluang ruin menggunakan metode batas atas dan batas
bawah. Selain itu pada tahun 2014, Karmila dkk. Melakukan
penelitian tentang perhitungan peluang ruin menggunakan metode
kombinasi eksponensial. Metode-metode yang diajukan oleh Gerber
dan Dufrense digunakan untuk menghitung peluang ruin dengan
asumsi premi yang diterima pihak asuransi bernilai konstan. Pada
kenyataannya sistem keuangan menerapkan sistem bunga, hal ini
menyebabkan nilai premi tidak konstan.
Skripsi ini akan mengulas kembali pengaruh bunga dan
modal awal terhadap pendekatan peluang ruin melalui simulasi.
Rujukan utama yang digunakan dalam skripsi ini adalah artikel oleh
Frederic Michaud pada tahun 1996 dengan judul Estimating the
Probability of Ruin for Variable Premiums by Simulation. Pada
artikel tersebut dibahas dual dari fungsi surplus yang menyerupai
fungsi sediaan dan digunakan untuk mengestimasi nilai peluang ruin.
Estimasi dilakukan dengan cara melakukan simulasi dengan satu
tingkat bunga. Terdapat dua ilustrasi yang menyebabkan nilai
preminya tidak konstan, yaitu saat bunga dikenakan pada fungsi
surplus, dan nilai premi dihitung per layer.Pada skripsi ini akan
digunakan beberapa nilai tingkat bunga dan beberapa nilai modal
awal untuk mengestimasi peluang ruin.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah pada skripsi ini adalah:
1. Bagaimana mengestimasi peluang ruin dengan nilai premi tidak
konstan menggunakan metode dual melalui metode simulasi?
2. Bagaimanakah pengaruh bunga terhadap peluang ruin melalui
metode simulasi?
3. Bagaimanakah pengaruh modal awal terhadap peluang ruin
melalui metode simulasi?
3
1.3 Asumsi
Asumsi yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah:
1. Diasumsikan pada perusahaan asuransi hanya terjadi pembayaran
premi dan pengajuan klaim.
2. Diasumsikan premi yang diinvestasikan pada perusahaan asuransi
mendapatkan bunga.
3. Diasumsikan Model waktu yang digunakan adalah model waktu
diskrit.
4. Diasumsikan besar klaim dan waktu antar klaim berdistribusi
Poisson.
1.4 Tujuan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Menjelaskan metode mengestimasi peluang ruin dengan nilai
premi tidak konstan menggunakan metode dual melalui metode
simulasi.
2. Mengetahui pengaruh bunga terhadap peluang ruin melalui
metode simulasi.
3. Mengetahui pengaruh modal awal terhadap peluang ruin melalui
metode simulasi.
4
1
BAB II
DASAR TEORI
2.1 Peubah Acak
Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai riil yang
didefinisikan pada suatu ruang sampel. Contohnya pada suatu
percobaan, maka akan terdapat fungsi dari hasil percobaan dan hasil
percobaan sebenarnya. Karena nilai dari suatu peubah acak
ditentukan dari hasil percobaan, maka dibentuk peluang-peluang
kemungkinan dari nilai-nilai peubah acak.
Suatu peubah acak memiliki fungsi kepadatan peluang,
dinotasikan p(x), yaitu menyatakan besarnya peluang pada suatu
ruang sampel. Selain itu juga terdapat fungsi distribusi kumulatif
( ) * +
Menyatakan untuk semua nilai riil x, peluang nilai dari peubah acak
adalah kurang dari sama dengan x.
2.1.1 Ekspektasi
Salah satu konsep penting dalam teori peluang adalah nilai
ekspektasi. Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan fungsi
kepadatan peluang p(x), maka nilai ekspektasinya dinotasikan
dengan E[X] didefinisikan sebagai
, - ∑ ( ) ( ) ,
untuk peubah acak diskrit, dan untuk peubah acak kontinu
didefinisikan sebagai berikut
, - ∫ ( )
.
Nilai ekspektasi dari X adalah rata rata nilai kemungkinan yang
dapat dimuat oleh X.
2
2.1.2 Variansi
Diberikan suatu peubah acak X dengan fungsi distribusi F.
Untuk mengetahui sifat-sifat dari peubah acak dibutuhkan suatu
ukuran yang cocok. Ekspektasi merupakan salah satu ukuran yang
dapat digunakan untuk mengetahui sifat peubah acak, namun
ekspektasi tidak menjelaskan tentang variasi atau sebaran data dari
suatu peubah acak.
Variansi digunakan untuk mengetahui seberapa jauh sebaran
nilai-nilai X dari nilai rata ratanya. Variansi didefinisikan sebagai
( ) ,( ) - atau
( ) , - , - ,
dengan X merupakan suatu peubah acak dengan rata-rata .
2.1.3 Fungsi pembangkit momen
Fungsi pembangkit momen ( ) dari peubah acak X, jika ada
didefinisikan untuk setiap nilai riil dari t sebagai berikut
( ) , - . (2.1)
( ) disebut fungsi pembangkit momen karena semua momen dari
X dapat diperoleh dengan menurunkan ( ) dan mengevaluasi
hasilnya pada .
(Ross, 2010)
2.2 Proses Stokastik
Proses stokastik * ( ) + merupakan kumpulan dari
peubah acak, yaitu untuk setiap t pada indeks T, G(t) merupakan
peubah acak. Biasanya diinterpretasikan t sebagai waktu, dan G(t)
adalah keadaan proses pada waktu t. Indeks T dibedakan menjadi dua,
jika T merupakan deretan yang dapat dihitung maka G disebut
proses stokastik waktu diskrit, dan jika T merupakan suatu deretan
yang kontinu maka G disebut proses stokastik waktu kontinu.
Dalam proses stokastik terdapat kenaikan bebas dan kenaikan
stasioner. Kenaikan bebas yaitu bila kejadian-kejadian yang terjadi
3
pada interval yang berbeda dan tidak beririsan pada suatu proses
stokastik dengan parameter kontinu * ( ) + adalah bebas.
Suatu proses stokastik berparameter kontinu * ( ) + memiliki
kenaikan stasioner bila ( ) ( ) memiliki distribusi
yang sama dengan ( ) ( ) untuk setiap nilai s dan t, namun
tidak pada suatu nilai tertentu s.
(Ross, 1996)
2.2.1 Proses Poisson
Suatu fungsi f dikatakan sebagai ( ) jika
( )
Yaitu untuk nilai h yang kecil, nilai dari ( ) lebih kecil. Diketahui
suatu kejadian terjadi pada suatu waktu yang acak, dan ( ) merupakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu interval , -. Kumpulan peubah acak * ( ) + merupakan Proses Poisson
dengan parameter , , jika
i. ( ) .
ii. Kejadian yang terjadi pada interval waktu yang tidak
beririsan saling bebas.
iii. Distribusi banyaknya kejadian pada suatu interval waktu
hanya bergantung pada lamanya interval waktu tersebut,
tidak bergantung pada letaknya.
iv. Peluang kemunculan tepat satu kejadian dalam interval h
adalah ( ) , yaitu bahwa , ( ) - ( ) .
v. Peluang kemunculan lebih dari satu kejadian dalam suatu
interval h adalah ( ), yaitu bahwa , ( ) - ( ). Poin (i) menyatakan bahwa proses dimulai pada waktu . Poin
(ii) menyatakan kenaikan bebas, dan poin (iii) menyatakan kenaikan