SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA SKRIPSI Disusun Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika Oleh RISYA RADHIANTI 208700551 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2012
103
Embed
SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL · PDF fileSIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN ... KATA PENGANTAR ... 4.13 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN
MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI
VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA
SKRIPSI
Disusun Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
di Jurusan Matematika
Oleh
RISYA RADHIANTI
208700551
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI
BANDUNG
2012
HALAMAN PENGESAHAN
SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN
MODEL MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI
VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA
Oleh :
RISYA RADHIANTI
208700551
Menyetujui :
Pembimbing I,
Diny Zulkarnaen, M.Si
NIP.198212132011011008
Pembimbing II,
Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom
NIP.197206091999031003
Lulus diuji tanggal 30 Agustus 2012
Penguji I,
Siti Julaeha, M.Si
NIP.198301202006042002
Penguji II,
Rini Cahyandari, M.Si
NIP.198201152009122003
Mengetahui :
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,
Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., MP
NIP.1985404241985031004
Ketua Jurusan Matematika,
Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT
NIP.197301122000032001
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI
Saya yang bertandatangan di bawah ini :
Nama : Risya Radhianti
NIM : 208700551
Fakultas/Jurusan : Sains dan Teknologi/Matematika
Judul Penelitian : SIMULASI DAN ANALISA KESTABILAN MODEL
MATEMATIKA MENGENAI PROSES TRANSMISI
VIRUS DENGUE DI DALAM TUBUH MANUSIA
Menyatakan sebenar-benarnya bahwa hasil penelitian saya ini tidak terdapat
unsur-unsur penjiplakan karya ilmiah yang pernah dilakukan atau dibuat oleh
orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan
dalam daftar pustaka. Apabila ternyata hasil terbukti terdapat unsur jiplakan, saya
bersedia mempertanggungjawabkannya serta diproses sesuai peraturan yang
berlaku.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.
Bandung, 30 Agustus 2012
Yang membuat pernyataan
Risya Radhianti
NIM. 208700551
“Hidup adalah soal keberanian,
menghadapi jang tanda tanja
tanpa kita bisa mengerti, tanpa kita bisa menawar
terimalah, dan hadapilah”
-Soe Hok Gie-
Setiap orang pernah melewati kesulitan,
begitupun dengan saya..
Skripsi ini dipersembahkan untukSkripsi ini dipersembahkan untukSkripsi ini dipersembahkan untukSkripsi ini dipersembahkan untuk
Mamah Mamah Mamah Mamah dan Bdan Bdan Bdan Bapak tercinta yang ada di taman Firdausapak tercinta yang ada di taman Firdausapak tercinta yang ada di taman Firdausapak tercinta yang ada di taman Firdaus
Bunda, Teh Dhita dan De AlamBunda, Teh Dhita dan De AlamBunda, Teh Dhita dan De AlamBunda, Teh Dhita dan De Alam tersayangtersayangtersayangtersayang
ABSTRAK
2007, Nuning et al membangun sebuah model matematika mengenai
proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia. Model ini menceritakan
tentang fenomena virus dengue yang menginfeksi sel rentan di peredaran darah
manusia. Dimana pada model ini, populasi sel rentan akan bertambah karena
adanya kelahiran murni dari populasi tersebut. Selain adanya kelahiran, populasi
ini juga dipengaruhi oleh kematian murni dan banyaknya virus dengue yang
menginfeksi populasinya sehingga menyebabkan populasi sel rentan ini
berkurang. Berkurangnya populasi sel rentan karena penginfeksian yang
dilakukan oleh virus dengue menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah.
Populasi sel terinfeksi ini juga dipengaruhi kematian murni yang mengakibatkan
berkurangnya populasi pada sel terinfeksi. Sedangkan virus dengue dipengaruhi
oleh duplikasi virus-virus baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi yang
menyebabkan populasi virusnya bertambah. Virus dengue juga dipengaruhi oleh
kematian murni dan kematian yang disebabkan oleh sel T yang mengakibatkan
populasinya berkurang. Virus dengue juga berkurang karena adanya partikel virus
yang menginfeksi sel rentan. Hasil dari analisis yang telah dilakukan terhadap
model ini diperoleh dua titik equilibrium yaitu pada keadaan bebas virus dan pada
keadaan terdapat virus bebas. Adapun hasil dari simulasi yang diperoleh dari
model ini dengan menggunakan metode Euler menghasilkan bahwa pada model
yang titik equilibriumnya bebas dari virus, mulai dari hari ke-26 sampai
seterusnya populasi virus dengue ini kemungkinan akan menghilang dari
peredaran darah manusia.
Kata Kunci : Model Matematika, DBD, Titik Equilibrium, Basic
Reproductive Ratio, Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz, Metode Euler.
ABSTRACT
2007, Nuning et al built the mathematical model transmission of dengue
virus in the human body. The model tell about the phenomenon of dengue virus
infects susceptible cells in the human circulatory system. Where on this model,
the susceptible cell population will increase because of the pure birth of the
population. In addition to the birth, the population is also influenced by the pure
death and the number of dengue virus that infects the population, causing
vulnerable cell population is reduced. Reduced cell populations vulnerable
because it was infected by dengue virus causes infected cell population increases.
Population of infected cells is also influenced by the pure death resulting
reduction in the population in infected cells. While dengue virus is influenced by
the duplication of new viruses are produced by cells infected with the virus that
causes the population to grow. Dengue virus is also influenced by the pure death
and death caused by T cells resulting in reduced population. Dengue virus is also
reduced because of the virus particles to infect susceptible cells. The results of the
analysis has been done on this model gained two points of equilibrium. The
results of the simulations obtained from this model using Euler's method produces
a point that the model of virus free equilibrium, from day 26 onwards dengue
virus population is likely to disappear from the human circulatory system.
Dalam persamaan (2.1) dan (2.2) fungsi tak diketahui yang dinyatakan
dengan � dan � dianggap sebagai satu peubah bebas, yaitu � = %(�). Lambang �′ dan �′′ dalam persamaan (2.1) dan (2.2) berturut-turut menyatakan turunan
pertama dan kedua dari fungsi �(�) terhadap �. Persamaan (2.1) dan (2.2) memuat
turunan biasa dan karenanya disebut persamaan diferensial biasa. Sedangkan
untuk persamaan (2.3) fungsi yang tidak diketahui & dianggap sebagai fungsi dua
peubah bebas dan �, yaitu & = &( , �), !" #! dan !" $! berturut-turut adalah turunan
parsial dan karenanya disebut persamaan diferensial parsial.
8
Persamaan diferensial biasa umumnya berbentuk [14]: () , �, �*, … , �(,)- = 0.(2.4) Persamaan diferensial tersebut dikatakan linear jika ( adalah linear dalam
variabel-variabel �, �*, … , �(,). Definisi tersebut juga berlaku untuk persamaan
diferensial parsial. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear orde .
berbentuk :
/�( )�, + /�( )�,0� +⋯+ /,( )� = 2( ). (2.5) Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear bila memenuhi 3 hal
berikut [5]:
1. Variabel-variabel terikat dan turunannya berderajat satu.
2. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan
variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya,
atau variabel terikat dengan sebuah turunan.
3. Variabel terikatnya bukan merupakan fungsi tresenden.
Sebagai contoh, �(3) + � = 0 merupakan persamaan diferensial linear orde 3.
Selanjutnya persamaan diferensial yang bukan persamaan linear disebut
persamaan diferensial tak linear. Dengan demikian persamaan diferensial () , �, �*, … , �(,)- = 0 merupakan persamaan diferensial tak linear, jika salah satu
dari berikut dipenuhi oleh ( [5].
1. Variabel-variabel terikat dan turunannya berderajat lebih dari satu.
2. Mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan
variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya,
atau variabel terikat dengan sebuah turunan.
3. Variabel terikatnya merupakan fungsi trasenden.
Sebagai contoh, �** + 24#�* + ��* + �� = 5 merupakan persamaan diferensial tak
linear karena suku ��*dan �� [14].
Beranjak ke sistem persamaan diferensial. Jika berbicara tentang sistem,
sistem berarti sejumlah tertentu sehingga yang dimaksud dengan sistem
9
persamaan diferensial adalah sebuah sistem yang didalamnya memuat . buah
persamaan diferensial, dengan . buah fungsi yang tidak diketahui, dimana . ≥ 2.
Bentuk umum dari suatu sistem persamaan diferensial orde pertama
mempunyai bentuk sebagai berikut : 8��8 = 2�( , ��, ��, … , �,) 8��8 = 2�( , ��, ��, … , �,)(2.6) ⋮ 8�,8 = 2,( , ��, ��, … , �,) Dengan ��, ��, … , �, adalah variabel bebas dan adalah variabel terikat, sehingga
�� = ��( ), �� = ��( ), … , �, = �,( ) dimana :$;:# merupakan turunan fungsi �,
terhadap , dan 2< adalah fungsi yang tergantung pada variabel ��, ��, … , �, dan .
2.2 Persamaan Diferensial Autonomous
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut. �= = %(�), �>ℜ,(2.7) dengan % merupakan fungsi kontinu bernilai real dari � dan mempunyai turunan
parsial kontinu. Persamaan (2.7) disebut persamaan diferensial mandiri
(autonomous) karena tidak memuat secara eksplisit didalamnya [6].
2.3 Titik Equilibrium
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut. 8�8 = �= = %(�)(2.8) Titik equilibrium merupakan titik gerak dari vector keadaan konstan. Atau dengan
kata lain, titik equilibrium merupakan solusi yang tetap konstan walaupun waktu
berganti. Maka titik equilibrium dari persamaan (2.8) didapat jika :$:# = 0. Adapun
istilah lain dari titik equilibrium adalah titik tetap, titik stasioner, rest point,
singularity, critical point atau steady state [15]. Tetapi, dalam tugas akhir ini akan
10
menggunakan istilah titik equilibrium. Untuk lebih jelasnya, tinjau contoh di
bawah ini.
Misal %(�) = �� − � − 6, maka untuk mencari titik equilibriumnya adalah
dengan cara %(�) = 0 atau me-nol-kan turunan pertamanya, sehingga diperoleh %(�) = �� − � − 6 = 0
(� − 3)(� + 2) = 0
Sehingga diperoleh titik equilibriumnya yaitu � = 3 atau � = −2.
2.4 Pelinearan
Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial tak linear dilakukan
melalui pelinearan. Untuk mencari hasil pelinearan dari sistem persamaan
diferensial tak linear digunakan matriks Jacobi.
@(�) = A BC $C BC $! …⋮ ⋮ … BD $C BD $! … BD $;⋮ BD $;
E
@(�) merupakan matriks Jacobi yang berukuran F × .. Matriks ini sering juga
ditulis sebagai matriks H BI $JK<.L. Contoh sederhananya [1], %(��, ��) = )��3 − ��3, 3�����, 2�����- Maka matriks Jacobinya adalah
MNNNNNOP%�P�� P%�P��P%�P�� P%�P��P%3P�� P%3P��QR
RRRRS = T 3��� −3���6���� 3���4��� 4���� U.
11
2.5 Stabilitas
Misal diberikan sistem Autonomous linear sebagai berikut. �= = /� + V�dan�= = W� + 8� (2.9) dengan /, V, W, 8 konstanta. Dari persamaan (2.9) dapat diperoleh penyelesaian
secara eksplisit sehingga tidak mengherankan bahwa sifat stabilitas dari titik
equilibrium (0,0) dari sistem di atas mudah dipelajari.
Misal, /8 − VW ≠ 0 maka titik (0,0) adalah satu-satunya titik equilibrium
dari persamaan (2.9). Bentuk penyelesaian dari sistem (2.9) adalah � = Y4Z# , � = [4Z# dimana merupakan akar dari persamaan karakteristik \� − (/ + 8)\ + /8 − VW = 0 (2.10) maka sifat stabilitas titik equilibrium (0,0) dari persamaan (2.9) hampir
seluruhnya tergantung pada akar-akar persamaan (2.10). Dengan kata lain
kestabilan suatu titik equilibrium dapat diperiksa dari nilai eigen sistem itu
sendiri.
Sifat stabilitas titik equilibrium ada 3, yaitu stabil, stabil asimtotik atau
stabil atraktif dan tidak stabil. Secara kasar, titik equilibrium dikatakan stabil jika
setiap solusi dari sistem mulai dekat dengan titik equilibrium pada waktu tertentu.
Sedangkan yang disebut stabil asimtotik adalah jika solusi didekatnya tidak hanya
dekat, tetapi juga konvergen ke titik equilibrium sampai waktu menuju tak hingga.
Dan jika titik equilibrium yang tidak memenuhi sifat stabil dan stabil asimtotik
maka disebut tidak stabil [15]. Berikut akan diperlihatkan perbedaannya secara
jelas [3]:
1. Stabil
Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan stabil, jika dan hanya
jika kedua akar dari persamaan (2.10) adalah real dan negatif atau
mempunyai bagian tak positif.
2. Stabil Asimtotik atau Stabil Atraktif
Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan stabil asimtotik atau
stabil atraktif, jika dan hanya jika kedua akar dari persamaan (2.10) adalah
12
real dan negatif atau mempunyai bagian real negatif. Asimtotik terbagi
menjadi dua yaitu asimtotik lokal dan asimtotik global.
3. Tidak Stabil
Titik equilibrium (0,0) dari sistem (2.9) dikatakan tidak stabil jika salah
satu atau kedua akar dari persamaan (2.10) real positif atau jika paling
sedikit satu akar mempunyai bagian real positif.
Untuk memudahkan pemahaman, tinjau beberapa contoh di bawah ini.
Contoh 1
Misal diberikan sistem �= = −� dan�= = �. Periksa kestabilan sistem
tersebut!
Penyelesaian
Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk \� + 1 = 0 karena disini nilai / = 0, V = −1, W = 1, 8 = 0. Maka akar dari
persamaan karakteristiknya adalah real yaitu ±^, maka menurut sifat stabilitas titik
equilibrium, titik equilibrium dari contoh 1 adalah stabil.
Contoh 2
Misal diberikan sistem �= = −� dan �= = −�. Periksa kestabilan sistem
tersebut!
Penyelesaian
Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk \� + 2\ + 1 = 0 karena disini nilai / = −1, V = 0, W = 0, 8 = −1. Maka akar dari
persamaan karakteristiknya adalah \� = \� = −1,karena ini mempunyai bagian
real negatif maka menurut sifat stabilitas titik equilibrium, titik equilibrium dari
contoh 2 adalah stabil asimtotik.
Contoh 3
Misal diberikan sistem �= = −3� + 4� dan �= = −2� + 3�. Periksa
kestabilan sistem tersebut!
Penyelesaian
Dari soal di atas, dapat diperoleh persaman karakteristiknya berbentuk \� − 1 = 0 karena disini nilai / = −3, V = 4, W = −2, 8 = 3. Maka akar dari
13
persamaan karakteristiknya adalah \� = 1dan\� = −1,karena karena salah satu
akarnya ada yang positif, maka menurut sifat stabilitas titik equilibrium, titik
equilibrium dari contoh 3 adalah tidak stabil.
Secara praktisnya, sifat stabilitas titik equilibrium dapat dilihat dalam tabel
dibawah ini [7].
Tabel 2.1 Sifat Stabilitas Titik Equilibrium
Tipe Kestabilan _ = \� + \� ` = \�\� a. Stabil _ ≤ 0 ` > 0
b. Stabil Asimtotik atau Stabil Atraktif _ < 0 ` > 0
c. Tidak Stabil _ > 0 ` < 0
2.6 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz dipakai apabila nilai eigen dari
persamaan karakteristik sistem, sulit ditentukan. Karena kriteria kestabilan Routh-
Hurwitz ini tidak melihat tanda bagian real dari nilai eigen atau akar-akar
persamaan karakteristik secara langsung melainkan melihat koefisien dari
persamaan karakteristik.
Teorema 1
Diberikan persamaan karakteristik
a(\) = \b + /�\b0� + /�\b0� +⋯+ /b = 0
Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz cL sebagai berikut [6].
cL =def /� 1 0/3/g⋮/�L0�
/�/5⋮/�L0�/�/3⋮/�L03
0 … 00/�⋮/�L05
…………00⋮/Lhij
dengan cL = (ℎlm) dan ℎlm = n/�l0m,1,0, o&. &p0 < 2q − F < p&. &p2q = F&. &p2q < F/ /&2q > p +F
14
semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang
negatif jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu 84 cr > 0,untuks = 1,2,… , p. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk p = 2,3,4, disebutkan bahwa
Untuk lebih jelasnya, tinjau 2 contoh di bawah ini.
Contoh 1 a(\) = \3 + 6\� + 3\ − 6 = 0
Selidiki apakah persamaan karakteristik diatas termasuk kriteria Routh-Hurwitz.
Penyelesaian
Dari persamaan a(\) = \3 + 6\� + 3\ − 6 = 0, maka /� = 6, /� = 3, dan /3 = −6. Kemudian, nilai s dari persamaan karateristik diatas adalah 3. Maka 2s − 1 = 2(3) − 1 = 5. Sehingga matriks Hurwitznya hanya sampai /g.
Akan dibuktikan semua matriks Hurwitznya adalah positif.
Untuk c� = (/�) = (6), karena 6 positif, sehingga didapat detc� = |6| > 0.
Untuk c� = x/� 1/3 /�y = z 6 1−6 3{, sehingga didapat
Karena detc3 < 0, maka persamaan karakteristik diatas tidak memenuhi kriteria
Routh-Hurwitz.
15
Contoh 2 a(\) = \3 + 6\� + 3\ + 2 = 0
Selidiki apakah persamaan karakteristik diatas termasuk kriteria Routh-Hurwitz.
Penyelesaian
Dari persamaan a(\) = \3 + 6\� + 3\ + 2 = 0, maka /� = 6, /� = 3, dan /3 = 2. Kemudian, nilai s dari persamaan karateristik diatas adalah 3. Maka 2s − 1 = 2(3) − 1 = 5. Sehingga matriks Hurwitznya hanya sampai /g.
Akan dibuktikan semua matriks Hurwitznya adalah positif.
Untuk c� = (/�) = (6), karena 6 positif, sehingga didapat detc� = |6| > 0.
Untuk c� = x/� 1/3 /�y = z6 12 3{, sehingga didapat
detc� = |6 12 3| = 16 > 0.
Untuk c3 = }/� 1 0/3 /� /�/g /5 /3~ = }6 1 02 3 60 0 2~, sehingga didapat
detc3 = �6 1 02 3 60 0 2� = 32 > 0.
Karena semua matriks Hurwitznya positif, maka persamaan karakteristik diatas
memenuhi kriteria Routh-Hurwitz.
2.7 Metode Numerik Untuk Persamaan Diferensial Biasa
Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam
berbagai disiplin ilmu, misalnya bidang fisika, kimia, teknik mesin, teknik sipil,
elektro dan lain-lain. Kadang kala, model matematika tersebut rumit dan tidak
dapat diselesaikan dengan metode analitik, dimana metode analitik adalah metode
penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah lazim.
Metode analitik disebut juga metode eksak yang menghasilkan solusi eksak
(solusi sejati). Metode analitik ini lebih unggul untuk sejumlah persoalan yang
terbatas. Padahal kenyataannya, persoalan matematika banyak yang rumit,
sehingga tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Kalau metode analitik
16
tidak dapat diterapkan, maka solusi dapat dicari dengan metode numerik. Metode
numerik merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan
matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+,−,÷,×). Suatu persamaan diferensial mempunyai bentuk umum 8�8 = %( , �), / ≤ ≤ V, ��( �) = ��(2.11)
dimana �� merupakan nilai awal pada waktu �. Dengan kata lain, pada persamaan
ini mengandung syarat awal untuk memperoleh penyelesaiannya. Metode numerik
untuk menentukan penyelesaian dari persamaan diferensial biasa dapat dilakukan
dengan metode Euler, Metode Taylor, dan metode Rungge Kutta. Adapun metode
numerik yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode Euler. Berikut
adalah penjelasannya.
Metode Euler merupakan metode yang paling sederhana dalam
menyelesaikan initial value problem (IVP). Tahap awal solusi pendekatan
numerik adalah dengan menentukan point-point dalam jarak yang sama di dalam
interval [/, V], yaitu dengan menerapkan < = / + ^ℎ, ^ = 0,1,2,… , � (2.12) Jarak antar point dirumuskan sebagai
ℎ = V − /� (2.13) ini disebut step size.
Metode Euler diturunkan dari daret Taylor. Misalnya fungsi �( ) adalah
fungsi yang kontinu dan memiliki turunan dalam interval [/, V]. Maka dalam deret
Dari penjabaran di atas, dapat ditemukan Teorema untuk equilibrium ��.
Teorema 4
Titik equilibrium �� ada jika �� > 1, dan dikatakan stabil asimtotik lokal
jika dan hanya jika memenuhi kondisi (3.12) [10].
41
BAB IV
SIMULASI MODEL TRANSMISI VIRUS DENGUE
DI DALAM TUBUH MANUSIA
Seperti yang telah disebutkan di awal tulisan ini, salah satu tujuan
penelitian ini adalah mengetahui dinamika virus dengue di dalam tubuh manusia
lewat simulasinya. Berikut ini akan dijelaskan simulasi dengan dua keadaan
berbeda, yaitu saat keadaan bebas virus dan saat keadaan terdapat virus bebas.
4.1 Simulasi dalam Keadaan Bebas Virus
Simulasi dalam keadaan ini menggunakan syarat awal bahwa terdapat
sejumlah sel rentan dan virus dengue. Nilai awal pada sel rentan �(0) = 400, sel
yang terinfeksi �(0) = 0, virus dengue �(0) = 5. Dengan melakukan pencarian
secara komputasi, diperoleh parameter yang menyebabkan �� pada model ini
tidak lebih dari satu, dimana parameter tersebut disajikan dalam tabel di bawah
ini.
Tabel 4.1 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan �� < 1
Simbol Definisi Parameter Nilai � Laju kelahiran murni sel rentan per hari 0.1553 � Peluang perpindahan virus dengue ke rentan 0.005 � Laju kematian murni sel rentan per hari 0.018 � Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari 0.5 � Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue
baru
0.1
. Banyaknya duplikasi virus dengue baru per hari 100 �� Laju kematian murni virus dengue per hari 6 �� Laju kematian virus dengue dengan sel T per hari 9
42
Dari nilai parameter tersebut menghasilkan �� = 0.0546. Dan dari
parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium yang bersesuaian
pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan bebas virus, populasi sel
rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (8.6278, 0, 0) pada
saat → ∞. Adapun asumsi mengenai simulasi pada keadaan ini, yaitu jika � < 1
maka dapat diartikan tidak terdapat virus dengue. Simulasi pada model ini
dilakukan dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik
seperti di bawah ini.
Gambar 4.1 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30
Gambar 4.2 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755
43
Pada gambar 4.1 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi sel rentan di
dalam tubuh manusia mengalami penurunan. Berkurangnya populasi ini
dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil dari laju infeksi yang menyebabkan
sel rentan ini menjadi sel terinfeksi. Dimana laju infeksi itu adalah peluang
perpindahan virus dengue dikalikan banyaknya sel rentan dikalikan dengan
banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 755,
maka pada gambar 4.2 akan terlihat lebih jelas pergerakan sel rentan di dalam
tubuh manusia. Dari sana terlihat, populasi ini akan terus berkurang hingga
menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada
populasi tersebut sudah tidak terjadi lagi penambahan virus dengue yang
menginfeksi populasinya. Berdasarkan hasil numerik yang terpapar pada
lampiran, populasi sel rentan ini akan mencapai 8.6278 pada saat → ∞ dan
konstan pada titik tersebut.
Gambar 4.3 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30
44
Gambar 4.4 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755
Pada gambar 4.3 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi sel terinfeksi di
dalam tubuh manusia awalnya naik turun, kurang lebih sampai hari kedua.
Kemudian mengalami kenaikan. Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel
rentan yang menjadi sel terinfeksi sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi
bertambah. Setelah itu laju pertumbuhannya kembali mengalami penurunan
karena laju kematian sel terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel
terinfeksi. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 755, maka pada gambar 4.4
akan terlihat lebih jelas pergerakan sel terinfeksi di dalam tubuh manusia. Dari
sana terlihat, populasi ini akan terus berkurang hingga menuju suatu titik dan
stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah
tidak ada lagi penambahan populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi.
Berdasarkan hasil numerik yang terpapar pada lampiran, populasi sel terinfeksi ini
akan mencapai 0 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga
dengan kata lain, populasi sel terinfeksi ini lama-lama akan habis.
45
Gambar 4.5 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 30
Gambar 4.6 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 0.0546 < 1 dan 0 ≤ ≤ 755
Dari gambar 4.5 jelas terlihat laju pertumbuhan populasi virus dengue di
dalam tubuh manusia awalnya naik turun, kurang lebih sampai hari kedua.
Kemudian mengalami kenaikan. Hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue
baru yang dihasilkan dari sel terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue
baru tersebut. Setelah itu laju pertumbuhannya kembali mengalami penurunan
seiring dengan penurunan jumlah sel terinfeksi. Jika -nya diperpanjang hingga
mencapai 755, maka pada gambar 4.6 akan terlihat lebih jelas pergerakan virus
dengue di dalam tubuh manusia. Dari sana terlihat, populasi ini akan terus
46
berkurang hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini
artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan duplikasi virus
dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang
terpapar pada lampiran, mulai dari hari ke 26 sampai seterusnya virus dengue ini
akan menghilang dari peredaran darah manusia. Sehingga dapat disimpulkan,
populasi virus dengue ini akan mencapai 0 pada saat → ∞ dan konstan pada titik
tersebut. Atau dengan kata lain, populasi ini lama-lama akan habis.
Sehingga dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat
disimpulkan bahwa jika pada saat �� < 1 maka tidak akan terjadi endemik.
Artinya, tidak akan terjadi penyebaran virus di dalam tubuh. Kalaupun ada
kenaikan pada � dan �, kenaikan itu tidak signifikan. Kemudian � dan � tersebut
lama-lama menuju angka 0 dan konstan di angka tersebut sampai → ∞. Dengan kata
lain, populasi mereka akan habis. Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil
numerical ternyata hal tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik
equilibrium yang bebas dari virus, untuk hal ini �� = (8.6278, 0, 0), akan stabil
asimtotik lokal jika �� < 1 dan tidak stabil untuk lainnya.
4.2 Simulasi dalam Keadaan Terdapat Virus Bebas
Dalam simulasi ini, akan diuji dua �� berbeda. Tujuannya adalah melihat
pengaruh �� terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue itu
sendiri. Adapun nilai �� diperoleh dari parameter yang menyebabkan nilainya
akan lebih dari satu. Untuk simulasi pada keadaan ini akan digunakan syarat awal
bahwa terdapat sejumlah sel rentan, sel yang terinfeksi dan virus dengue itu
sendiri. Nilai awal pada sel rentan �(0) = 400, sel yang terinfeksi �(0) = 5, virus
dengue �(0) = 10. Adapun nilai parameter yang menyebabkan �� = 8.0220 > 1
adalah sebagai berikut.
47
Tabel 4.2 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan �� = 8.0220 > 1
Simbol Definisi Parameter Nilai � Laju kelahiran murni sel rentan per hari 0.1785� Peluang perpindahan virus dengue ke sel rentan 0.0018� Laju kematian murni sel rentan per hari 0.00051� Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari 0.45 � Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue
baru
0.5
. Banyaknya duplikasi virus dengue baru per hari 402 �� Laju kematian murni virus dengue per hari 5 �� Laju kematian virus dengue dengan sel T per hari 30
Dan dari parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium
yang bersesuaian pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan terdapat virus
bebas, populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (43.6300, 0.3472, 1.9896) pada saat → ∞. Simulasi pada model ini dilakukan
dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik seperti di
bawah ini.
Gambar 4.7 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30
48
Gambar 4.8 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000
Pada gambar 4.7, jelas terlihat laju pertumbuhan sel rentan pada mulanya
turun tajam hingga mencapai angka 0.28938 pada = 6 (lihat pada gambar 4.13).
Berkurangnya populasi ini dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil dari laju
infeksi yang menyebabkan sel rentan ini akan menjadi sel terinfeksi. Dimana laju
infeksi itu adalah peluang perpindahan virus dengue dikalikan banyaknya sel
rentan dikalikan dengan banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -nya
diperpanjang hingga mencapai 3000, maka pada gambar 4.8 akan terlihat lebih
jelas pergerakan sel rentan di dalam tubuh. Dapat dilihat pada gambar 4.8, laju
pertumbuhan sel rentan yang awalnya turun tajam akan kembali naik dikarenakan
berkurangnya virus dengue yang menginfeksi sel rentan. Kemudian laju
pertumbuhan populasi ini kembali mengalami penurunan dikarenakan besarnya
laju infeksi yang dilakukan oleh virus dengue. Keadaan naik turun pada laju
pertumbuhan sel rentan ini akan berjalan terus menerus hingga menuju suatu titik
dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah
tidak ada lagi penambahan virus dengue yang menginfeksi populasinya.
Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi sel rentan
ini akan mencapai 43.6300 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut.
49
Gambar 4.9 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30
Gambar 4.10 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000
Pada gambar 4.9, terlihat bahwa laju pertumbuhan sel terinfeksi awalnya
naik tajam sampai angka teratas yaitu 265.51 pada = 2 (lihat pada gambar 4.13).
Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel rentan yang menjadi sel terinfeksi
sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Kemudian laju
pertumbuhan sel terinfeksi ini perlahan mengalami penurunan karena laju
kematian sel terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel terinfeksi. Jika
dilihat secara kasat mata pada gambar 4.10, laju sel terinfeksi ini akan terlihat
konstan di titik 0 pada saat 1200 ≤ ≤ 1500. Tetapi jika gambar itu sedikit
50
diperbesar, maka akan terlihat laju sel terinfeksi ini naik turun kemudian terlihat
konstan lalu naik turun dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di
titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada
lagi penambahan populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi. Berdasarkan hasil
numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi sel terinfeksi ini akan
mencapai 0.3472 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga
dengan kata lain, populasi sel terinfeksi ini masih tetap eksis di dalam tubuh.
Gambar 4.11 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30
Gambar 4.12 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 8.0220 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000
51
Pada gambar 4.11, terlihat bahwa laju pertumbuhan virus dengue awalnya
naik tajam sampai angka teratas yaitu 1519.5 pada = 2 (lihat pada gambar 4.13).
Hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue baru yang dihasilkan dari sel
terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue baru tersebut. Kemudian laju
pertumbuhan virus dengue ini perlahan mengalami penurunan seiring dengan
penurunan jumlah sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.12,
laju pertumbuhan virus dengue ini akan terlihat konstan di titik 0 pada saat 1500 ≤ ≤ 2000. Tetapi jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan terlihat
laju pertumbuhan virus dengue ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik
turun dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan
duplikasi virus dengue baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil
numerik yang terdapat pada gambar 4.13, populasi virus dengue ini akan
mencapai 1.9896 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga
dengan kata lain, populasi virus dengue ini masih tetap eksis di dalam tubuh.
Dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat disimpulkan bahwa
jika pada saat �� > 1 maka akan terjadi endemik. Artinya, akan terjadi penyebaran
virus dengue di dalam tubuh. Karena nilai � dan �, pada hasil simulasinya
berturut-turut akan mendekati angka 0.3472 dan 1.9896. Kemudian konstan di
titik tersebut sampai → ∞. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis
di dalam tubuh. Berikut akan ditunjukan hasil perhitungan numerik dari model ini
dengan keadaan terdapat virus bebas.
52
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
Gambar 4.13 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas
Dimana �� = 8.0220 > 1
53
Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil numerical ternyata hal
tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang
terdapat virus bebas dengan parameter pada tabel 4.2 yaitu �� = (43.6300, 0.3472, 1.9896), akan stabil asimtotik lokal jika �� > 1.
Untuk nilai parameter yang menyebabkan �� = 35.3888 > 1 adalah
sebagai berikut.
Tabel 4.3 Nilai-Nilai Parameter yang Menyebabkan �� = 35.3888 > 1
Simbol Definisi Parameter Nilai � Laju kelahiran murni sel rentan per hari 0.1670� Peluang perpindahan virus dengue rentan 0.005� Laju kematian murni sel rentan per hari 0.00051� Laju kematian murni sel yang terinfeksi per hari 0.35 � Peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue
baru
0.5
. Banyaknya duplikasi virus dengue baru per hari 500 �� Laju kematian murni virus dengue per hari 8 �� Laju kematian virus dengue dengan sel T per hari 25
Dan dari parameter itu pula, diharapkan menghasilkan titik equilibrium
yang bersesuaian pada bahasan sebelumnya yaitu pada saat keadaan terdapat virus
bebas, laju sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue berturut-turut adalah (9.2530, 0.46366, 3.5077) pada saat → ∞. Simulasi pada model ini dilakukan
dengan metode Euler menggunakan matlab. Sehingga didapatkan grafik seperti di
bawah ini.
54
Gambar 4.14 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30
Gambar 4.15 Grafik Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000
Pada gambar 4.14, jelas terlihat laju pertumbuhan sel rentan pada mulanya
turun tajam hingga mencapai angka 0.017665 pada = 2 (lihat pada gambar
4.20). Berkurangnya populasi ini dikarenakan laju kelahiran selnya lebih kecil
dari laju infeksi yang menyebabkan sel rentan ini akan menjadi sel terinfeksi.
Dimana laju infeksi itu adalah peluang perpindahan virus dengue dikalikan
banyaknya sel rentan dikalikan dengan banyaknya virus dengue itu sendiri. Jika -nya diperpanjang hingga mencapai 3000, maka pada gambar 4.15 akan terlihat
55
lebih jelas pergerakan sel rentan di dalam tubuh. Dapat dilihat pada gambar 4.15,
laju pertumbuhan sel rentan yang awalnya turun tajam akan mengalami kenaikan.
Hal ini dikarenakan berkurangnya virus dengue yang menginfeksi sel rentan.
Kemudian laju pertumbuhan populasi ini kembali mengalami penurunan
dikarenakan besarnya laju infeksi yang dilakukan oleh virus dengue. Keadaan laju
pertumbuhan sel rentan ini perlahan akan naik turun hingga menuju suatu titik dan
stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah
tidak ada lagi penambahan virus dengue yang menginfeksi populasinya.
Berdasarkan hasil numerik yang terdapat pada gambar 4.20, populasi sel rentan
ini akan mencapai 9.2530 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut.
Gambar 4.16 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30
56
Gambar 4.17 Grafik Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000
Pada gambar 4.16, terlihat bahwa laju pertumbuhan sel terinfeksi awalnya
naik tajam. Hal ini dikarenakan berkurangnya populasi sel rentan yang menjadi
sel terinfeksi sehingga menyebabkan populasi sel terinfeksi bertambah. Kemudian
laju pertumbuhan sel terinfeksi ini turun tajam hingga karena laju kematian sel
terinfeksi lebih besar dari pada laju pertambahan sel terinfeksi. Jika dilihat secara
kasat mata pada gambar 4.17, laju sel terinfeksi ini akan terlihat konstan di titik 0
pada saat 100 ≤ ≤ 500. Tetapi jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan
terlihat laju sel terinfeksi ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun
dan konstan lagi hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya, pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan
populasi sel rentan yang mejadi sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang
terdapat pada gambar 4.20, populasi sel terinfeksi ini akan mencapai 0.46366 pada
saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi sel
terinfeksi ini masih tetap eksis di dalam tubuh.
57
Gambar 4.18 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 30
Gambar 4.19 Grafik Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia
Saat �� = 35.3888 > 1 dan 0 ≤ ≤ 3000
Pada gambar 4.18, terlihat bahwa laju pertumbuhan virus dengue awalnya
naik tajam, hal ini dikarenakan banyaknya virus dengue baru yang dihasilkan dari
sel terinfeksi dikalikan dengan duplikasi virus dengue baru tersebut. Kemudian
laju pertumbuhan virus dengue ini turun tajam seiring dengan penurunan jumlah
sel terinfeksi. Jika dilihat secara kasat mata pada gambar 4.19, laju pertumbuhan
virus dengue ini akan terlihat konstan di titik 0 pada saat 100 ≤ ≤ 500. Tetapi
jika gambar itu sedikit diperbesar, maka akan terlihat laju pertumbuhan virus
dengue ini naik turun kemudian terlihat konstan lalu naik turun dan konstan lagi
58
hingga menuju suatu titik dan stabil di titik tersebut sampai → ∞. Ini artinya,
pada populasi tersebut sudah tidak ada lagi penambahan duplikasi virus dengue
baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi. Berdasarkan hasil numerik yang terdapat
pada gambar 4.20, populasi virus dengue ini akan mencapai 3.5077 pada saat → ∞ dan konstan pada titik tersebut. Sehingga dengan kata lain, populasi virus
dengue ini masih tetap eksis di dalam tubuh.
Dari penjabaran yang telah disampaikan di atas, dapat disimpulkan bahwa
jika pada saat �� > 1 maka akan terjadi endemik. Artinya, akan terjadi penyebaran
virus dengue di dalam tubuh. Karena nilai � dan �, pada hasil simulasinya
berturut-turut akan mendekati angka 0.46366 dan 3.5077. Kemudian konstan di
titik tersebut sampai → ∞. Dengan kata lain, populasi mereka masih tetap eksis
di dalam tubuh. Berikut akan ditunjukan hasil perhitungan numerik dari model ini
dengan keadaan terdapat virus bebas.
59
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮ ⋮
Gambar 4.20 Hasil Numerik dari Model dengan Keadaan Terdapat Virus Bebas
Dimana �� = 35.3888 > 1
Setelah dilakukan analisis dan melihat hasil numerical ternyata hal
tersebut sama seperti bahasan sebelumnya yaitu untuk titik equilibrium yang
terdapat virus bebas dengan parameter pada tabel 4.3 yaitu �� = (9.2530, 0.46366, 3.5077), akan stabil asimtotik lokal jika �� > 1.
60
Seperti yang telah dipaparkan pada awal bagian penjelasan simulasi dalam
keadaan terdapat virus bebas, bahwa pada bagian ini akan diperlihatkan pengaruh
nilai �� terhadap populasi sel rentan, sel terinfeksi dan virus dengue. Dimana nilai
awal untuk dua keadaan �� ini adalah sama.
�( )� �( )� 0 400 400
1 311.86 0.024572
30 3.9779 2.7739
100 16.113 14.124
205 33.523 12.262
550 38.129 9.2357
1300 48.560 9.2528
2500 42.865 9.2530
3000 43.534 9.2530
(a) (b)
Gambar 4.21 Dinamika Sel Rentan di dalam Tubuh Manusia
Saat 0 ≤ ≤ 3000 dimana �( )� merupakan sel rentan dengan �� = 8.0220 > 1 dan �( )� merupakan sel rentan dengan �� = 35.3888 > 1
(a). Dalam Bentuk Grafik (b). Dalam Bentuk Data
Gambar 4.21 (a) merupakan grafik dinamika sel rentan di dalam tubuh
manusia, yang mana untuk garis berwarna merah merupakan banyaknya populasi
sel rentan ketika �� = 8.0220 > 1 sedangkan garis berwarna merah putus-putus
menunjukan �� = 35.3888 > 1. Pada gambar 4.21 (b) menunjukan dinamika sel
rentan di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada
gambar 4.21 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk sel rentan dengan keadaan ��
berbeda ini adalah sama, yaitu sebanyak 400. Kemudian, pada hari pertama dapat
dilihat, populasi sel rentan untuk �� = 35.3888 sangat turun drastis menjadi 0.024572 hal ini disebabkan besarnya laju infeksi virus dengue terhadap sel rentan
yang menyebabkan sel rentan ini menjadi sel terinfeksi sehingga populasi sel
rentan mengalami penurunan. Sedangkan populasi sel rentan untuk �� = 8.0220,
walaupun sama-sama mengalami penurunan total populasi, tetapi penurunan
tersebut tidak terlalu jauh dengan total populasi sebelumnya. Ini berarti, nilai ��
sangat mempengaruhi keadaan populasi sel rentan. Jadi, dapat disimpulkan,
61
semakin besar nilai �� maka semakin besar pula penurunan yang dialami oleh
populasi sel rentan atau dengan kata lain, semakin besar nilai �� maka semakin
sedikit total populasi sel rentannya. Sehingga hal ini sama seperti bahasan
sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan �� terhadap populasi
sel rentan.
�( )� �( )� 0 5 5
1 8.1286e+001 3.3854e+002
30 1.5310e-003 3.4259e-002
115 6.9605e-016 1.1564e-001
205 6.6147e-023 3.8386e-001
300 5.4723e-024 7.3627e-001
450 1.9057e-013 4.6961e-001
500 8.1373e-007 4.2969e-001
600 4.2523e-004 4.4977e-001
(a) (b)
Gambar 4.22 Dinamika Sel Terinfeksi di dalam Tubuh Manusia
Saat 0 ≤ ≤ 600 dimana �( )� merupakan sel terinfeksi dengan �� = 8.0220 > 1 dan �( )� merupakan sel terinfeksi dengan �� = 35.3888 > 1
(a). Dalam Bentuk Grafik (b). Dalam Bentuk Data
Gambar 4.22 (a) merupakan grafik dinamika sel terinfeksi di dalam tubuh
manusia, yang mana untuk garis berwarna biru merupakan banyaknya populasi sel
terinfeksi ketika �� = 8.0220 > 1 sedangkan garis berwarna biru putus-putus
menunjukan �� = 35.3888 > 1. Pada gambar 4.22 (b) menunjukan dinamika sel
rentan di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada
gambar 4.22 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk sel terinfeksi dengan keadaan ��
berbeda ini adalah sama, yaitu sebanyak 5. Kemudian, pada hari pertama dapat
dilihat, populasi sel rentan untuk �� = 35.3888 mengalami kenaikan yang sangat
tajam menjadi 338.54 hal ini disebabkan besarnya laju infeksi virus dengue
terhadap sel rentan yang menyebabkan sel rentan menjadi sel terinfeksi sehingga
populasi sel terinfeksi mengalami pertambahan populasi. Sedangkan populasi sel
terinfeksi untuk �� = 8.0220, walaupun sama-sama mengalami kenaikan total
populasi sel terinfeksi, tetapi kenaikan tersebut tidak terlalu jauh dengan total
62
populasi sebelumnya. Ini berarti, nilai �� sangat mempengaruhi keadaan populasi
sel terinfeksi. Jadi, dapat disimpulkan, semakin besar nilai �� maka semakin besar
pula kenaikan yang dialami oleh populasi sel terinfeksi. Sehingga hal ini sama
seperti bahasan sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan ��
terhadap populasi sel terinfeksi.
�( )� �( )� 0 10 10
1 4.2134e+002 2.5828e+003
30 8.8943e-003 2.6137e-001
75 5.0246e-010 2.2090e-003
90 4.4011e-012 6.9871e-003
115 4.0229e-015 8.6713e-001
205 3.8034e-022 2.8928e+000
240 2.7939e-023 3.4244e+000
300 3.1304e-023 5.5666e+000
(a) (b)
Gambar 4.23 Dinamika Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia
Saat 0 ≤ ≤ 300 dimana �( )� merupakan virus dengue dengan �� = 8.0220 > 1 dan �( )� merupakan virus dengue dengan �� = 35.3888 > 1
(a). Dalam Bentuk Grafik (b). Dalam Bentuk Data
Gambar 4.23 (a) merupakan grafik dinamika virus dengue di dalam tubuh
manusia, yang mana untuk garis berwarna hijau merupakan banyaknya populasi
virus dengue ketika �� = 8.0220 > 1 sedangkan garis berwarna hijau putus-putus
menunjukan �� = 35.3888 > 1. Pada gambar 4.23 (b) menunjukan dinamika virus
dengue di dalam tubuh manusia dalam bentuk data dengan waktu tertentu. Pada
gambar 4.213 (b) jelas terlihat, nilai awal untuk virus dengue dengan keadaan ��
berbeda ini adalah sama, yaitu sebanyak 10. Kemudian, pada hari pertama dapat
dilihat, populasi virus dengue untuk �� = 35.3888 mengalami kenaikan yang
sangat tajam menjadi 2582.8 hal ini disebabkan banyaknya duplikasi virus dengue
baru yang dihasilkan oleh sel terinfeksi sehingga populasi virus dengue
mengalami pertambahan populasi. Sedangkan populasi virus dengue untuk �� = 8.0220, walaupun sama-sama mengalami kenaikan total populasi virus
63
dengue, tetapi kenaikan tersebut tidak terlalu jauh, sejauh kenaikan total populasi
virus dengue saat �� = 35.3888. Ini berarti, nilai �� sangat mempengaruhi
keadaan populasi virus dengue. Jadi, dapat disimpulkan, semakin besar nilai ��
maka semakin besar pula kenaikan yang dialami oleh populasi virus dengue.
Sehingga hal ini sama seperti bahasan sebelumnya yaitu pada persamaan (3.10) mengenai hubungan �� terhadap populasi virus dengue bebas.
64
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau
lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk
merepresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi di kehidupan sehari-hari pada
interval waktu kontinu dalam suatu model matematika.
Dalam hal ini, proses terbangunnya model matematika mengenai transmisi
virus dengue di dalam tubuh manusia dilihat dari hal-hal yang mempengaruhi
model tersebut. Karena hanya terdapat 3 kompartemen, maka akan diperlihatkan
hal-hal yang mempengaruhi ketiga kompartemen tersebut. Dimana pada model
ini, populasi sel rentan akan bertambah karena adanya kelahiran murni dari
populasi tersebut. Selain adanya kelahiran, populasi ini juga dipengaruhi oleh
kematian murni dan banyaknya virus dengue yang menginfeksi populasinya
sehingga menyebabkan populasi sel rentan ini berkurang. Berkurangnya populasi
sel rentan karena penginfeksian yang dilakukan oleh virus dengue menyebabkan
populasi sel terinfeksi bertambah. Populasi sel terinfeksi ini juga dipengaruhi
kematian murni yang mengakibatkan berkurangnya populasi pada sel terinfeksi.
Sedangkan virus dengue dipengaruhi oleh duplikasi virus-virus baru yang
dihasilkan oleh sel terinfeksi yang menyebabkan populasi virusnya bertambah.
Virus dengue juga dipengaruhi oleh kematian murni dan kematian yang
disebabkan oleh sel T yang mengakibatkan populasinya berkurang. Virus dengue
juga berkurang karena adanya partikel virus yang menginfeksi sel rentan.
Sehingga, didapatlah model matematika dari fenomena di atas pada sistem (3.1) sebagai berikut.
:°(#):# adalah laju sel terinfeksi persatuan waktu
:±(#):# adalah laju virus dengue persatuan waktu
� adalah kelahiran murni sel rentan � adalah peluang perpindahan virus dengue � adalah kematian murni sel rentan � adalah kematian murni sel yang terinfeksi � adalah peluang sel terinfeksi yang menghasilkan virus dengue . adalah banyaknya duplikasi virus dengue baru �� adalah kematian murni virus dengue �� adalah kematian virus dengan sel T