i Tese apresentada à Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa do Instituto Tecnológico de Aeronáutica, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências do Programa de Estudos de Mestrado no Curso de Engenharia Aeronáutica e Mecânica – Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia. Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE UMA EQUAÇÃO Tese aprovada em sua versão final pelos abaixo assinados Prof. Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Jr. Orientador Prof. Dr. Celso Massaki Hirata Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Campo Montenegro São José dos Campos, SP – Brasil. 2009
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Tese apresentada à Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa do Instituto
Tecnológico de Aeronáutica, como parte dos requisitos para obtenção do título de
Mestre em Ciências do Programa de Estudos de Mestrado no Curso de Engenharia
Aeronáutica e Mecânica – Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia.
Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE
AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE
UMA EQUAÇÃO
Tese aprovada em sua versão final pelos abaixo assinados
Prof. Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Jr.
Orientador
Prof. Dr. Celso Massaki Hirata Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Campo Montenegro São José dos Campos, SP – Brasil.
2009
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Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
Divisão Biblioteca Central do ITA/CTA Souza, Marco Antonio Sampaio Ferraz de Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação / Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza. São José dos Campos, 2009. 125f. Tese de mestrado – Curso de Engenharia Aeronáutica e Mecânica, Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia--Instituto Tecnológico de Aeronáutica, 2009. Orientador: Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Júnior. 1. Dinâmica dos Fluidos Computacional. 2. Método de Volumes Finitos. 3. Modelo de Turbulência. I. Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Engenharia Aeronáutica. II. Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA SOUZA, Marco Antonio Sampaio Ferraz de. Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação. 2009. 125 f. Tese de mestrado, Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos.
CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza TÍTULO DO TRABALHO: Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese de Mestrado / 2009
_________________________________ Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza Rua Jaime Ribeiro, 84 apto. 01 – Aparecida – SP. [email protected]
É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópias desta tese e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem a sua autorização (do autor).
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SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE
AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE
UMA EQUAÇÃO
Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza
Composição da Banca Examinadora:
Prof. Amilcar Porto Pimenta Presidente - ITA Prof. Nide G. C. R. Fico Jr. Orientador - ITA Prof. Ézio Castejon Garcia Membro Interno - ITA Prof. Breno Moura Castro Membro Externo - IAE
ITA
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AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus. Aos meus pais Sonia e José Antonio, minha irmã Soninha, meus
sobrinhos Lívia Maria, João Vitor e Luis Otávio e um agradecimento especial a minha tia Wanda
que no alto de sua experiência me ajudou a chegar aqui.
A meu professor e orientador Nide, pelos detalhes precisos em suas orientações. Aos amigos do
ITA em especial a José Cáceres e Oscar Arias que tantas horas se dedicaram ao desenvolvimento
do programa. Ao João Falcão do IAE que contribuiu de forma decisiva para a implementação do
modelo de turbulência a partir da versão do Breno Castro. Aos Mestres e Doutores do Grupo de
Simulação e Transferência de Calor – GSET, Flávia, Rosiane, Valdirene, Jéferson, Capitão Porto.
A todos do Laboratório de Computação em Fenômenos de Transporte - LCFT e ao Professor
Marcelo Lemos sempre com contribuições de alto nível. Um agradecimento final a todos os
funcionários do ITA, dos Professores aos bibliotecários muito obrigado pela fineza no
tratamento.
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Eu sou um homem velho atualmente, e quando eu morrer e for para o céu há duas
coisas em que eu espero por esclarecimentos. Uma é eletrodinâmica quântica e a outra
é o movimento turbulento dos fluidos. E sobre a anterior eu sou mais
otimista.
SIR HORACE LAMB
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RESUMO
Simulações numéricas foram realizadas utilizando-se um código computacional
desenvolvido para resolver o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds que
modela o escoamento compressível turbulento em torno de um aerofólio NACA 0012. Foram
utilizadas malhas estruturadas tipo O geradas algebricamente e diversos refinamentos puderam
ser feitos. O método de volumes finitos foi empregado para a discretização do sistema de
equações diferenciais parciais e os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson foram
implementados. Termos de viscosidade artificial foram adicionados explicitamente através de um
modelo não-linear. O modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi
implementado para resolver o problema de fechamento da turbulência. Inicialmente, a
formulação de Euler foi usada e resultados para a distribuição de pressão e coeficientes
aerodinâmicos foram obtidos para quatro casos de escoamentos transônicos não-viscosos sobre o
aerofólio. As soluções foram comparadas com os resultados de outros métodos numéricos
disponíveis na literatura. Em seguida, um dos casos foi utilizado para avaliar a influência dos
parâmetros numéricos como a viscosidade artificial e o refinamento da malha. Outro caso foi
utilizado para comparar os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson. Por último, o modelo
de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi utilizado para a formulação de Navier-
Stokes e as soluções foram comparadas com os dados experimentais de Harris e outros resultados
numéricos obtidos com o modelo de turbulência algébrico de Baldwin e Lomax.
vii
ABSTRACT
Numerical simulations were performed using a computer code developed to solve the Reynolds
averaged Navier-Stokes equations system that models the compressible turbulent flow over a
NACA 0012 airfoil. An “O” type, algebraic, structured mesh was used and various refinements
were made. The finite volume method was used for discretization of the system of partial
differential equations and the explicit schemes of MacCormack and Jameson were implemented.
Artificial viscosity terms were added explicitly using a non-linear model. The one equation
turbulence model of Spalart and Allmaras was implemented to resolve the turbulence closing
problem. Initially, the formulation of Euler was used to obtain the distribution of pressure and
aerodynamic coefficients for four cases of transonic inviscid flow over the NACA 0012 airfoil.
The solutions were compared with results of other numerical methods available in the literature.
Then, one of the cases was used to assess the influence of numerical parameters such as artificial
viscosity and the mesh refinement. Another case was used to compare the explicit schemes of
MacCormack and Jameson. Finally, the one equation turbulence model of Spalart and Allmaras
was used for the Reynolds-averaged Navier-Stokes equations and the solutions were compared
with experimental data of Harris and other numerical results obtained with the algebraic
turbulence model of Baldwin and Lomax.
viii
SUMÁRIO Lista de figuras xi Lista de tabelas xiv Lista de abreviaturas e siglas xv Lista de símbolos xvi 1. Introdução 1.1 Objetivo 1.2 Motivação 1.3 Posicionamento do Trabalho 1.4 Organização do Trabalho 2. Formulação Teórica
2.1 Equações fundamentais 2.1.1 Equação da continuidade
2.1.2 Equação de quantidade de movimento
2.1.3 Equação da energia 2.1.4 Equação de estado
2.2 Equações de Navier-Stokes
2.3 Equações de Navier-Stokes na forma conservativa
2.4 Equações de Reynolds para escoamentos turbulentos
2.5 Forma vetorial das equações
2.6 Adimensionalização das equações de Navier-Stokes
3. Implementação Numérica 3.1 Introdução 3.1.1 Formulação do volume de controle
19
22
22
24
29
30
30
30
31
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33
34
37
37
42
44
46
46
46
ix
3.1.2 O método de volumes finitos 3.2 Equações de Navier-Stokes na forma integral 3.3 Cálculo dos volumes e áreas das células 3.4 O esquema de MacCormack 3.5 O esquema de Jameson 3.6 Condições iniciais 3.7 Condições de contorno 3.7.1 Parede 3.7.2 Fronteira remota 3.7.3 Fronteira simétrica
3.8 Termos de viscosidade artificial
3.9 Cálculo das derivadas
3.10 Modelagem da turbulência
3.10.1 Introdução
3.10.2 Modelo de Spalart-Allmaras
3.11 Verificação do código computacional
3.11.1 Escoamentos transônicos sobre o aerofólio NACA 0012
3.11.1.1 Caso 1, Mach=0.63 e α=2.0°
3.11.1.2 Caso 2, Mach=0.8 e α=0°
3.11.1.3 Caso 3, Mach=0.8 e α=1.25°
3.11.1.4 Caso 4, Mach=0.85 e α=1.0°
3.11.2 Influência dos parâmetros numéricos 3.11.2.1 Coeficientes de dissipação artificial
47
47
48
51
54
55
55
55
58
59
60
61
62
62
64
67
68
69
73
76
80
83
83
x
3.11.2.2 Influência do refinamento da malha 3.11.3 Comparação entre os esquemas de Jameson e MacCormack 4. Resultados
A última simulação foi realizada para um escoamento próximo ao regime transônico com número
de Mach 0.74M∞ = , ângulo de ataque α =-0.14° e com um número de Reynolds igual a 69 10× .
A corda para estes números de Reynolds e de Mach é 0.56 m. A distribuição de pressão,
mostrada na figura 48, é comparada com os resultados experimentais de Harris[45] e as soluções
98
numéricas obtidas por Arias Garcia utilizando o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Como
mostra a figura 48, a distribuição do coeficiente de pressão ao longo do aerofólio usando o
modelo de turbulência de Spalart e Allmaras está em boa concordância com os dados
experimentais de Harris e do modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Comparando com os dados
experimentais, Cn =-0.020, mais uma vez o modelo de Spalart e Allmaras obteve o mesmo valor
para o coeficiente de força normal. As curvas de pressão e número de Mach para uma região
próxima ao aerofólio são comparadas com o trabalho de Arias Garcia nas figuras 49 e 50 e
novamente apresentaram boa concordância entre os resultados. A figura 51 mostra a curva de
convergência numérica onde o critério de parada do programa foi alcançado em 38332 iterações.
Figura 48: Distribuição do coeficiente de pressão para M ∞ =0.74 e α = -0.14.
99
Figura 49: Contornos de pressão para M ∞ =0.74 e α =-0.14. (a) Presente trabalho e (b) Arias
Garcia[31].
Figura 50: Contornos do número de Mach para M ∞ =0.74 e α = -0.14. (a) Presente trabalho e (b)
Arias Garcia[31].
Figura 51: Curva de convergência numérica para M ∞ =0.74 e α =-0.14.
100
5 Conclusão
O modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi implementado
numericamente para fechar o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds que
modela o escoamento compressível turbulento em torno de um perfil de aerofólio NACA 0012.
Apesar de ser mais oneroso que os modelos algébricos, o modelo de uma equação de Spalart e
Allmaras possui um conjunto mais amplo em termos de complexidade do escoamento e da malha.
Os resultados para a distribuição do coeficiente de pressão ao longo do aerofólio usando o
modelo de turbulência de Spalart e Allmaras mostraram estar mais próximos dos dados
experimentais de Harris do que os do modelo algébrico de Baldwin e Lomax. O coeficiente de
força normal obtido com o modelo de Spalart e Allmaras ficou muito próximo dos resultados
experimentais, chegando a ter os mesmos valores em alguns casos. O método de volumes finitos
foi empregado para discretizar o sistema de equações diferenciais parcias e os esquemas
explícitos de MacCormack e Jameson foram implementados. Nas comparações feitas entre os
dois esquemas, o método de Jameson apresentou melhores resultados tanto para a qualidade da
solução quanto para a convergência numérica. O autor tentou utilizar os esquemas explícitos de
MacCormack e Jameson desenvolvidos para resolver a equação de transporte turbulento do
modelo de Spalart e Allmaras, mas devido às características não-conservativas da equação, só foi
possível obter sucesso implementando um esquema implícito na rotina do modelo de turbulência.
Inicialmente, a formulação de Euler foi usada e resultados para a distribuição de pressão e
coeficientes aerodinâmicos foram obtidos para diversos casos de escoamentos transônicos não
viscosos sobre o aerofólio. As soluções foram comparadas com outros métodos numéricos
101
disponíveis na literatura e apresentaram boa concordância entre os resultados. Em seguida, um
dos casos foi utilizado para avaliar a influência dos parâmetros numéricos. Foram feitas
modificações nos valores dos coeficientes de viscosidade artificial não-linear e observou-se que
para escoamentos transônicos, o aumento dos valores dos coeficientes aumenta a taxa de
convergência numérica. Outro caso foi utilizado para analisar a sensibilidade dos resultados
quanto ao refinamento da malha. Como era de se esperar, o uso de malhas mais refinadas
contribue diretamente na convergência numérica. Por último, o modelo de turbulência de uma
equação de Spalart e Allmaras foi utilizado para a formulação de Navier-Stokes e as soluções
foram comparadas com os dados experimentais de Harris e outras soluções numéricas obtidas
com o modelo de turbulência algébrico de Baldwin e Lomax. Devido a um conjunto mais amplo
em termos de complexidade do escoamento, os resultados obtidos usando o modelo de
turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras mostraram estar mais próximos dos dados
experimentais de Harris do que o modelo algébrico de Baldwin e Lomax.
Este trabalho foi um segundo passo na busca por um código de volumes finitos capaz de
resolver processos aerodinâmicos de forma robusta e confiável. Um dos próximos passos nesta
área seria trabalhar com um segundo elemento no aerofólio, os casos tridimensionais e a condição
não-reflexiva na fronteira remota.
Os pacotes comerciais disponíveis atualmente têm uma ampla faixa de aplicação e o
analista numérico pode resolver problemas complexos com o auxílio destas ferramentas. Porém,
para dominar realmente as técnicas numéricas é fundamental que o analista desenvolva seus
próprios programas computacionais, entenda o que esta por traz destes pacotes, saiba escolher
entre os métodos e esquemas disponíveis para poder usar estas poderosas ferramentas de forma
correta e segura.
102
REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA
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106
APÊNDICE A
Equações de Navier-Stokes com média de Reynolds
Neste apêndice, o procedimento de média de Reynolds é tratado de maneira mais
detalhada do que no capítulo 2.
A.1 Equações de Reynolds para escoamentos turbulentos
Dada uma variável genérica φ , a definição de um valor médio φ sobre o período de
integração T∆ é:
1.
t T
tT
dtφ φ+∆
≡∆
∫
É necessário que T∆ seja pequeno com respeito à escala de tempo das variações das
quantidades médias, mas grande comparado ao período das flutuações associadas com a
turbulência.
Portanto, pode-se escrever que o valor instantâneo de φ é dado por:
'.φ φ φ= +
Deve-se observar que φ ′ é o valor da flutuação turbulenta cujo valor médio φ ′ é igual a
zero:
10,
t T
tT
dtφ φ+∆
′ =∆
′ ≡∫
e a restrição que:
(A.1)
(A.2)
(A.3)
107
0.t
φ∂=
∂
Na decomposição convencional de Reynolds as variáveis do escoamento são escritas da
seguinte forma:
',i i iu u u= +
',ρ ρ ρ= +
( ) ',i i iu u uρ ρ ρ= +
',p p p= +
( ) 'ij ij ijτ τ τ= +
( ) 'e e e= +
'i i iq q q= +
',h h h= +
( ) ',h h hρ ρ ρ= +
'.T T T= +
Os termos de flutuações em outras propriedades do fluido tais como viscosidade,
condutividade térmica e calor específico são normalmente pequenos e serão desconsiderados.
Aplicando a técnica de Reynolds à forma compressível das equações de Navier-Stokes,
aparecem novos termos envolvendo produtos de flutuações chamados momentos turbulentos.
Para evitar isto, e simplificar a forma final das equações, utiliza-se o conceito de média
ponderada pela massa introduzido por Favre onde,
(A.4)
(A.5)
108
,ρφ
φρ
=
de forma que as variáveis do escoamento passam a ser escritas como:
,ii
uu
ρ
ρ= ,
hh
ρ
ρ= .
TT
ρ
ρ=
Somente as componentes de velocidade e variáveis térmicas são médias ponderadas pela
massa. Propriedades do fluido tais como densidade e pressão são tratadas como antes.
Para substituir nas equações de conservação, é necessário separar as variáveis dependentes
outra vez em partes média e flutuação,
,i i i
u u u ′′= + ,h h h′′= + .T T T ′′= +
É importante notar que as médias das flutuações i
u ′′ e ih′′ não são iguais a zero. Em vez disso, a
média no tempo das flutuações multiplicada pela densidade é igual a zero:
0 .ρ φ ′′ ≡
Finalmente, pode-se substituir cada variável dependente pelas suas duas parcelas nas
equações de Navier-Stokes e tirando-se a média de cada equação, resulta o sistema de equações
de Navier-Stokes com média de Reynolds:
Equação da continuidade:
A equação da continuidade em um sistema de coordenadas cartesianas na forma
conservativa é:
( ) ( ) ( ) 0.u v wt x y z
ρρ ρ ρ+ +
∂ ∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂ ∂
Pode-se decompor as variáveis dependentes nas componentes média no tempo mais flutuação
como dadas pelas equações (A.5) e substituindo-se na equação (A.1) obtém-se a equação:
(A.10)
(A.6)
(A.7)
(A.8)
(A.9)
109
( ) ( ) ( ) ( ) 0.u u u uj j j j
j j j jt t x x x x
ρ ρ ρ ρρ ρ
′ ′ ′ ′+ + + +′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Como a média de uma flutuação é zero a equação (A.11) torna-se:
( ) 0,u u jjj
t xρ ρ
ρ′ ′+
∂ ∂+ =
∂ ∂
que é a forma da equação da continuidade na decomposição convencional de Reynolds.
Substituindo-se as variáveis médias ponderadas pela massa mais as flutuações dadas pelas
equações (A.8) na equação (A.1) e tirando-se a média da equação inteira, obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( ) 0.u u u uj j j j
j j j jt t x x x x
ρ ρ ρ ρρ ρ
′ ′′ ′ ′′+ + + +′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Os termos com média de uma flutuação tornam-se zero. Além disso, os dois últimos termos
podem ser combinados da seguinte forma:
( ) ( ) ,u u uj j j
j j jx x x
ρ ρ ρ′′ ′ ′′ ′′+ =∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
que é igual a zero pela equação (A.9). Dessa forma, a equação da continuidade em variáveis
ponderadas pela massa pode ser escrita como:
( ) 0.u j
jt x
ρρ
+∂ ∂
=∂ ∂
(A.11)
(A.12)
(A.13)
(A.14)
(A.15)
110
Equação de quantidade de movimento:
O desenvolvimento da forma de Reynolds das equações de quantidade de movimento começa
com as equações na forma conservativa. No sistema de coordenadas cartesianas bidimensional as
equações são escritas da seguinte forma:
( ) ( )2 ,x xx xy
uf u p uv
t x y
ρρ ρ τ ρ τ
∂ ∂ ∂= − + − − −
∂ ∂ ∂
( ) ( )2 .y xy yy
vf uv v p
t x y
ρρ ρ τ ρ τ
∂ ∂ ∂= − − − + −
∂ ∂ ∂
Pode-se decompor as variáveis dependentes nas componentes média no tempo mais flutuação
como dadas pelas equações (A.5). Substituindo-se na equação (A.16) e desconsiderando forças de
campo, obtêm-se a componente x da equação de quantidade de movimento:
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 0.u u u u u u p p u u v vxx yxt x y
O desenvolvimento da forma de Reynolds da equação da energia começa com a equação na
seguinte forma:
. . . .tt
E QE U q f U U q
t tρ τ
∂ ∂ + ∇ = − ∇ + + ∇ ⋅ ⋅ − ∂ ∂
O termo de geração de calor, /Q t∂ ∂ , será desconsiderado. Assumindo que a energia total é
compreendida somente de energia interna e energia cinética, e substituindo t
E por H pρ − ,
pode-se escrever a equação (A.25) em notação indicial de Einstein como:
( ) .j j i ij
j
pH u H q u
t x tρ ρ τ
∂ ∂ ∂+ + − =
∂ ∂ ∂
Para obter a equação da energia de Reynolds em variáveis médias convencionalmente,
substituem-se as variáveis dependentes na equação (A.26) com a decomposição indicada pelas
equações (A.5). Tira-se a média no tempo e a equação torna-se:
( ) j j j j j
j j
T
t x xH H u H u H u H u H u H kρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
∂ ∂ ∂+
∂ ∂ ∂
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + + −
2 2.
3 3
u uu u uj jk i iuku u u ui ij i i iijuix x x x xk i j i jxkj
p
t xµδ µ µδ µ
′∂ ∂ ′∂ ∂ ∂′∂ ′ ′ + − + + − + + ′ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂=
Para desenvolver a forma de Reynolds da equação da energia em variáveis ponderadas pela
massa, substituem-se as variáveis dependentes na equação (A.26) com a decomposição indicada
pelas equações (A.8) e tira-se a média da equação inteira. O resultado pode ser escrito:
( ) ( ) ,j j u ui ij i ij
j j j
T p
t x x t xH u H u H k τ τρ ρ ρ ′′+ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
′′ ′′+ − =
onde
ijτ pode ser avaliado pela equação (A.24) em termos de variáveis ponderadas pela massa.
(A.25)
(A.26)
(A.27)
(A.28)
113
APÊNDICE B
O Método de Volumes Finitos
Neste apêndice, a obtenção das equações de discretização pelo método de volumes finitos
é tratada de maneira mais detalhada do que no capítulo 3.
B.1 Equações de Navier-Stokes na forma integral
A partir das equações de Navier-Stokes com média de Reynolds, na forma conservativa,
bidimensional em coordenadas cartesianas escritas da seguinte forma:
0,Q E F
t x y
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
onde Q é o vetor das variáveis conservadas e E e F são os vetores de fluxo nas direções x e y,
respectivamente, dados por:
,v
uQ
e
ρ
ρ
ρ=
( )
2
,
u
u pxx
Eu v
xy
e p u u v qxx xy x
ρ
ρ τ
ρ τ
τ τ
+ −
=−
+ − − +
(B.1)
(B.2)
(B.3)
114
( )
,2
v
u vxy
Fv p
yy
e p v v u qyy xy y
ρ
ρ τ
ρ τ
τ τ
−
=+ −
+ − − +
define-se um vetor, P
, como:
,x yP Ei Fi= +
onde xi
e yi
são os vetores unitários cartesianos. A equação (B.1) pode então ser escrita como:
. 0Q
Pt
∂+ ∇ =
∂
onde
.x yi ix y
∂ ∂∇ ≡ +
∂ ∂
Integrando a equação (B.6) sobre um volume de controle V, obtém-se:
( ). ,V V
QdV P dV
t
∂= − ∇
∂∫ ∫
e usando o teorema da divergência, tem-se a igualdade:
( ) ( ). ,V S
P dV P n dS∇ =∫ ∫ i
onde S é a superfície de controle e n
é o vetor normal à S. Substituindo a equação (B.9) na
equação (B.8), obtém-se:
( ) .V S
QdV P n dS
t
∂= −
∂∫ ∫
i
Analisando o termo da esquerda da equação (B.10) e considerando volumes de controle
estacionários, pode-se trocar os sinais de diferenciação e integração e escrever:
(B.6)
(B.7)
(B.8)
(B.9)
(B.10)
(B.5)
(B.4)
115
.V V
QdV Q dV
t t
∂ ∂=
∂ ∂∫ ∫
Um valor médio de Q pode ser definido como:
1,
VQ Q dV
V= ∫
assim,
,V
Q dV QV=∫
e então, tem-se:
.V
QdV QV
t t
∂ ∂ = ∂ ∂∫
Como foram considerados volumes estacionários,
,Q
QV Vt t
∂ ∂ = ∂ ∂
e,
.V
Q QdV V
t t
∂ ∂=
∂ ∂∫
Substituindo a equação (B.13) na equação (B.10), obtém-se:
( )1.
S
QP n dS
t V
∂= −
∂ ∫
i
A equação (B.14) escrita para todos os volumes de controle elementares é:
( ),
,
,
1,
i j
i j
Si j
QP n dS
t V
∂= −
∂ ∫ i
onde ,i jV é volume de uma célula e ,i jS é a superfície do volume de controle correspondente.
(B.11)
(B.12)
(B.13)
(B.14)
(B.15)
(B.16)
(B.17)
(B.18)
116
APÊNDICE C
Implementação das condições de contorno
A seguir, o desenvolvimento das condições de contorno na parede sólida é tratado de
forma mais detalhada do que no capítulo 3.
Na parede, há dois tipos de condições de contorno para os componentes de velocidade,
uma para escoamentos não-viscosos e outro para escoamentos viscosos. A condição de contorno
para a formulação de Euler é a condição de escorregamento, isto é, o escoamento é tangente à
parede.
Na figura C.1 o vetor de velocidade 1V
na célula (i, 1) próximo à parede é formado pelas
componentes 1tV
e 1nV
tangente e normal à parede, respectivamente. O vetor de velocidade 0V
da
célula fantasma (i, 0) correspondente à célula (i, 1) é formado pelas componentes 0tV
e 0nV
tangente e normal à parede, respectivamente.
Admite-se que o vetor de velocidade na parede, pV
, é a média aritmética da soma
(1V
+0V
),
.1 0 1t 0t 1n 0np
V V V V V VV
2 2 2
+ + += = +
Como a parede é impermeável, a componente de pV
normal à parede tem que ser zero, isto
é:
1n 0nV V 0+ =
,
(C.1)
(C.2)
117
Figura C.1: Vetores de velocidade próximos à parede.
e
.0n 1nV V= −
Faz-se então
,0t 1tV V=
e obtém-se
.p 1tV V=
Dessa forma, a condição de escorregamento é satisfeita.
Para obter o vetor de velocidade 0V
para a célula fantasma (i, 0) é necessário implementar
as condições (C.3) e (C.4).
(C.3)
(C.4)
(C.5)
118
Na figura C.1, n
é o vetor unitário normal à superfície (i, 1-1/2) contida entre os vértices
(i, 1) e (i+1, 1). O vetor de área , /i 1 1 2s −
é dado pela equação:
( ) ( ), / , / , /,i 1 1 2 x yi 1 1 2 i 1 1 2
s s i s j− − −= +
onde
( ) ( ), ,, /,x i 1 1 i 1i 1 1 2
s y y+−= − −
( ) ( ), ,, /.
y i 1 1 i 1i 1 1 2s x x+−
= −
A magnitude d do vetor de área é dada por:
( ) ( )/
, / , /,
1 222
x yi j 1 2 i j 1 2d s s
− −
= +
as componentes do vetor unitário normal à superfície n
são dadas por:
( ), / ,i 1 1 2x
x
sn
d
−
=
( ), / .i 1 1 2y
y
sn
d
−
=
e as componentes do vetor unitário tangente à superfície t
são dadas por:
,x yt n= .
y xt n= −
Pode-se então, calcular 1nV
e 1tV
. O comprimento de 1nV
é dado por:
( ) ( ) ,. .1n 1 1 1 x y 1 x 1 y
V V n u i v j n i n j u n v n= = + + = +
e 1nV
é
(C.6)
(C.7)
(C.8)
(C.9)
(C.10)
(C.11)
(C.12)
119
( ) ( ) ( ) ( ). . .1n 1n 1 x 1 y x y 1 x 1 y x 1 x 1 y yV V n u n v n n i n j u n v n n i u n v n n j= = + + = + + +
O comprimento de 1tV
é dado por:
( ) ( ) ,. .1t 1 1 1 x y 1 x 1 y
V V t u i v j t i t j u t v t= = + + = +
e 1tV
é
( ) ( ) ( ) ( ). . .1t 1t 1 x 1 y x y 1 x 1 y x 1 x 1 y y
V V t u t v t t i t j u t v t t i u t v t t j= = + + = + + +
Das equações (C.3) e (C.13) obtém-se:
( ) ( ) ,0n 1 x 1 y x 1 x 1 y y
V u n v n n i u n v n n j= − + − +
e das equações (C.4) e (C.15),
( ) ( ) .0t 1 x 1 y x 1 x 1 y y
V u t v t t i u t v t t j= + + +
Somam-se as equações (C.16) e (C.17) e obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( ) .0 1 x 1 y x 1 x 1 y x 1 x 1 y y 1 x 1 y yV u t v t t u n v n n i u t v t t u n v n n j = + − + + + − +
Substitui a (C.11) e produz:
( ) ( ) .2 2 2 2
0 1 y x 1 x y 1 x y 1 x yV u n n 2v n n i v n n 2u n n j = − − + − −
Escreve-se 0 0 0V u i v j= +
, e o resultado final é:
( ) ,2 2
0 1 y x 1 x yu u n n 2 v n n= − −
( ) .2 2
0 1 x y 1 x yv v n n 2u n n= − −
Para a formulação de Navier-Stokes a condição de não-escorregamento é necessária, isto
é, a velocidade deve ser zero na superfície sólida. Portanto, p pu v 0= = . Esta condição é obtida
(C.13)
(C.14)
(C.15)
(C.16)
(C.17)
(C.18)
(C.19)
(C.20)
(C.21)
120
fazendo o vetor de velocidade 0V
na célula fantasma (i, 0) igual ao vetor de velocidade 1V
da
célula (i, 1), mas em direções contrárias, assim:
.0 1V V= −
Escrevendo 0 0 0V u i v j= +
, tem-se:
, , ,i 0 i 1u u= − , , .i 0 i 1v v= −
Para a condição da pressão na parede pode-se admitir que a derivada da pressão na direção
normal à parede é nula. Dessa forma,
.p
p0
n
∂ =
∂
Portanto,
, .p i 1p p=
Admite-se que a pressão na parede é a média aritmética entre ,i 1p e ,i 0p , então:
, , ,i 1 i 0
p
p pp
2
+=
E o resultado para ,i 0p é:
, , .i 0 p i 1p 2 p p= −
Como ,p i 1p p= , então:
, , .i 0 i 1p p=
A última condição é de parede adiabática, isto é,
.p
T0
n
∂ =
∂
Portanto, , , .i 0 i 1T T=
(C.22)
(C.23)
(C.24)
(C.25)
(C.26)
(C.27)
(C.28)
(C.29)
(C.30)
121
APÊNDICE D
Implementação da rotina de Spalart e Allmaras
Neste apêndice, a implementação numérica da rotina do modelo de turbulência de uma
equação de Spalart e Allmaras é descrita com mais detalhes do que no capítulo 3. Esse apêndice
tem a colaboração do especialista João Falcão do túnel de vento transônico do IAE.
O modelo de turbulência de Spalart-Allmaras surgiu no início da década de 90 a partir de
um arrazoado empírico sobre um modelo de turbulência que, com uma única equação, fosse
capaz de resolver, diretamente, a questão do principal parâmetro representativo do
comportamento turbulento: a viscosidade turbulenta, sem passar pelos cálculos da energia
turbulenta nem da dissipação ou vorticidade, em modelos em que são necessários dois parâmetros
característicos para definir o comportamento turbulento. Assim, o modelo de Spalart e Allmaras,
embora sendo um modelo de uma equação, consegue refletir com um único parâmetro o
comportamento turbulento, sendo classificado como um modelo fechado.
No modelo de Spalart e Allmaras, uma equação de transporte para viscosidade turbulenta é
montada, usando empirismo e argumentos de análise dimensional, invariância de Galilean, e uma
seletiva dependência na viscosidade molecular. A equação inclui um termo de destruição não
viscosa que depende da distância para a parede. Diferentemente de modelos algébricos e os
primeiros modelos de uma equação o modelo é local, no sentido que a equação em um ponto não
depende na solução em outros pontos. Ela é, portanto, compatível com malhas de qualquer
estrutura. A solução próxima à parede é menos difícil. As condições de parede e escoamento não-
perturbado são triviais. O modelo produz transição laminar-turbulenta relativamente suave, em
pontos especificados pelo usuário. Um simples índice de turbulência é fornecido para determinar
as regiões da camada limite em que o modelo é ativado. O modelo, vai sendo montado a partir de
122
uma série de fenômenos físicos presentes no processo turbulento, a partir de uma equação,
chamada de básica, para um escoamento homogêneo, consistindo do Lagrangiano da viscosidade
turbulenta, de um termo de produção de turbulência e de um termo difusivo, idealizados para
ajustes em seus parâmetros (o "b" subscrito destaca as constantes da equação básica):
A partir da equação básica, são introduzidas novas parcelas e funções como termos fontes
para o modelo, para melhor descrever a presença da parede - função de destruição de atividade
(denotadas com o subscrito "w" de wall), os fenômenos viscosos próximos à parede - a lei
logarítmica (denotadas com o subscrito "v") e a definição da região de transição (denotadas com
o subscrito "t").
O modelo de turbulência de Spalart-Allmaras empregado foi desenvolvido a partir da
versão do modelo empregada no trabalho de Castro.
A versão utilizada aqui não contempla os termos de transição, pois o problema a ser
estudado é considerado plenamente turbulento. Na versão original de Spalart e Allmaras, tem-se
que:
A viscosidade turbulenta é dada por:
1,t vfν ρν=
onde
3
1 3 31
,v
v
fc
χ
χ=
+ ,
νχ
ν≡
ν é a viscosidade molecular e ρ é a densidade local. A variável de Spalart e Allmaras,ν ,
obedece a seguinte equação de transporte:
( )[ ] ( )( ) ( )
2 211 2 2 1 2 12
11 . .
j bb t b w w t t
j
u cc f S c c f f f U
t x k d
νν νν ν ν ν ν
σ
∂∂ + = − + ∇ + ∇ + ∇ − − + ∆ ∂ ∂
(D.1)
(D.3)
(D.2)
123
Sendo que:
11 22
bw w t
cc f f
k d
ν −
,
é o termo de destruição que depende da distância para a parede,
[ ]1 21b tc f Sν− ,
é o termo de produção viscosa e
( )j
j
u
x
ν∂
∂
e ( )( ) ( )2
2
1. bcν ν ν ν
σ ∇ + ∇ + ∇
,
são os termos convectivos e difusivos.
Os termos de transição dados por:
22 2 2
1 1 2 2exp t
t t t t t
wf c g c d g dt
U
= − + ∆
e ( )22 3 4exp ,t t tf c c χ= −
são desativados nesta versão, pois o problema a ser estudado é considerado plenamente
turbulento. O termo de produção na versão original trata S~
, enquanto que a versão de Castro trata
S, assim também como na definição da função r. Assim, o modelo empregado, com suas funções
e constantes, é o seguinte:
( )( ) ( )2
2
1 2 1 3
1b b w w v
Dc S c c f f
Dt d
ν νν ν ν ν ν
σ
= + ∇ + ∇ + ∇ −
.
Sendo que d é a distancia para a parede mais próxima e S é a magnitude da vorticidade dada por:
( )1
2, ,2 ,i j i jS ≡ Ω Ω
onde
,
1.
2ji
i j
j i
uu
x x
∂∂Ω = − ∂ ∂
(D.9)
(D.10)
(D.7)
(D.8)
(D.4)
(D.5)
(D.6)
124
A função wf é dada por:
16 6
36 6
3
1,w
w
w
cf g
g c
+=
+
onde
( )62wg r c r r= + − e
2 2.r
Sk d
ν≡
A função 3vf é dada por:
4 43
41v w
v
w
f cf
c
+=
+
onde
41
,1v
v
ff
χ
χ=
+
As constantes usadas no modelo são:
1
2
1
2,
30.1355,
0.622,
0.41,
7.1,
b
b
v
c
c
k
c
σ =
=
=
=
=
( )
( )
211 2
2
3
22
41
12.763,
0.3,
2,
13,018
bbw
w
w
b
w
b
ccc
k
c
c
cc
c
σ
κ
σ
+= + =
=
=
+= =
1
2
3
4
1,
2,
1.1,
2.
t
t
t
t
c
c
c
c
=
=
=
=
As condições de contorno são estabelecidas definindo valores de ν . A condição de parede
é 0ν = . A distância à parede mais próxima na rotina atual é calculada uma só vez no programa
principal e guardada em uma posição. Na versão de Castro, é recalculada a cada nova chamada
da subrotina de Spalart e Allmaras porque a malha lá é móvel.
A recomendação para o uso da rotina de Spalart e Allmaras é que o ponto mais próximo da
parede seja tal que se tenha y+ = 1 em j = 2. O intervalo de tempo pode ser variado para cada tipo
de problema e, em geral, a rotina é bastante robusta.
(D.11)
(D.12)
(D.15)
(D.13)
(D.14)
125
Como o código do modelo de Spalart e Allmaras está bastante otimizado, com "Vector
Splitting Method", podendo alcançar passos temporais bastante altos, não é necessário usar a
rotina a cada passo do programa principal. Assim, após uma investigação, foi constatada uma boa
razão de convergência chamando o modelo de turbulência 1 vez a cada 10 passos do programa
principal. Para a rotina do modelo de turbulência, o passo no tempo adimensional foi de 10. O
tempo gasto para a rotina de Spalart e Allmaras é 20% do tempo gasto no programa principal,
não sendo necessária uma economia maior em termos de chamadas da rotina.
A rotina está em coordenadas curvilíneas generalizadas. Depois da atribuição das
constantes do modelo adotado, do número de passos e intervalo de tempo é calculado os termos
difusivos e convectivos nas direções η e ξ e os termos de produção e destruição do modelo
como descrito anteriormente. A seguir é apresentada a estrutura da subrotina que resolve a
equação de transporte da viscosidade turbulenta para ser usada na solução do sistema de equações
de Navier-Stokes com média de Reynolds.
ESTRUTURA DA SUBROTINA
1. Atribuição das constantes do modelo de Spalart e Allmaras adotado,
2. Atribuição do número de passos e intervalo temporal,
3. Cálculo dos coeficientes para a matriz de inversão e termos explícitos para
os termos difusivos e convectivos,
4. Cálculo dos termos fonte do modelo de Spalart e Allmaras adotado,
5. Preparação e chamada das inversões das matrizes nas direções η e ξ ,
6. Cálculo da viscosidade turbulenta a partir da viscosidade turbulenta de trabalho.
FOLHA DE REGISTRO DO DOCUMENTO
1. CLASSIFICAÇÃO/TIPO
DM
2. DATA
13 de julho de 2009
3. DOCUMENTO N°
CTA/ITA/DM-036/2009
4. N° DE PÁGINAS
125 5. TÍTULO E SUBTÍTULO:
Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio usando modelo de turbulência de uma equação.
6. AUTOR:
Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza 7. INSTITUIÇÃO/ÓRGÃO(S) INTERNO(S)/DIVISÃO(ÕES): Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA 8. PALAVRAS-CHAVE SUGERIDAS PELO AUTOR:
1. Dinâmica dos fluidos computacional; 2. Método de volumes finitos; 3. Modelo de turbulência; 4. Escoamento compressível 5. Escoamento transônico. 9.PALAVRAS-CHAVE RESULTANTES DE INDEXAÇÃO:
Dinâmica dos fluidos computacional; Método de volumes finitos; Modelos de turbulência; Escoamento compressível; Escoamento transônico; Equações de camada limite; Aerofólios; Mecânica dos fluidos; Física 10. APRESENTAÇÃO: X Nacional Internacional
ITA, São José dos Campos. Curso de Mestrado. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Aeronáutica e Mecânica. Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia. Orientador: Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Júnior. Defesa em 08/07/2009. Publicada em 2009. 11. RESUMO:
Simulações numéricas foram realizadas utilizando-se um código computacional desenvolvido para resolver o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds que modela o escoamento compressível turbulento em torno de um aerofólio NACA 0012. Foram utilizadas malhas estruturadas tipo O geradas algebricamente e diversos refinamentos puderam ser feitos. O método de volumes finitos foi empregado para discretizar o sistema de equações diferenciais parciais e os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson foram implementados. Termos de viscosidade artificial foram adicionados explicitamente através de um modelo não-linear. O modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi implementado para resolver o problema de fechamento da turbulência. Inicialmente, a formulação de Euler foi usada e resultados para a distribuição de pressão e coeficientes aerodinâmicos foram obtidos para quatro casos de escoamentos transônicos não-viscosos sobre o aerofólio. As soluções foram comparadas com os resultados de outros métodos numéricos disponíveis na literatura. Em seguida, um dos casos foi utilizado para avaliar a influência dos parâmetros numéricos como a viscosidade artificial e o refinamento da malha. Outro caso foi utilizado para comparar os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson. Por último, o modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi utilizado para a formulação de Navier-Stokes e as soluções foram comparadas com os dados experimentais de Harris e outros resultados numéricos obtidos com o modelo de turbulência algébrico de Baldwin e Lomax. 12. GRAU DE SIGILO: