-
SIMPSONEN ARAUAK ETA BESTE BATZUK
Funbloa Jakin gabe ballo hatnik aagutzea cta horien bldez
marrapeko azalesa ntuslu behar izatea rnah gwtatzen da. Hona
adibide batzuk:
Bitarte bakarreko azalera. la beti puntuen krtikalarcn muturrak
marra zuzen batean daudela erabakltxen dugu . Orduan azalera
81 bltarlíeko amiera Hiru berlikalcko muturrak parabola batean
daudela crabaldízen dugu. Orduan azapela bI zaff tan kalkulahen
dugu:
-
Ezagunak berükalak izaten dira. Beraz bitarteak b h o bat
gthlago. Homla, bitarftak balna -un bat gehiagoko funtzio bat
aukeratu behar dugu. Funtzlo hori pohomlo bat h n g o da,
-
Sistema honetatik
23 = ( Y O + Y ~ ) - ( Y O + Y Z ~ 8r
2D = 9/91 + Y Z ) - ( Y O + Y ~ ) a
lorhn difugu.
-
Arau hont Stmpiwcn Bigmm csan ohi zalo.
-
Hau ongi zegoenik ezin sinetslrlk, lau ddiz haslera-hasieratik
be& kalkulatu eta befl krdin atera zait.
Beraz. arau hau pz da erabiltzekoa. Izan ere bertikd haundIagoak
azalera txlkíagoak ernango lil&guke. Hona adibide bat:
-
Orah bcste mama bt :
Yo=YisY3=Y5=Y?=Ys '2 ; ~ 2 ' r 4 ~ ~ 6 = 3
4 4 Sg = -1989.4 + 5888.4 -928.6 + 10496.4 -4-i40.3)= - 5P3M =
14.19513
14 175 14175
Argí eta garbi dago azalerarik tdkitnari handienarl baino baiio
hruidia#aa eman diola. Gauza zeharo a.r#&eko beste arau batzuen
bidez neurtuko ditugu:
-
Blen artcan ktl' 2 . 8 . 2 = 32 ematen dute, baIno horretaz
kanpo aIde hand1a.k atera 7aizkrgu.
RIni bltarteko upru bl nl¿Ix rtu bitarte b r h k o r ere M ddia
[ u l t l L Wtpl
Homnbesteko alddtak nula sortzen dira d o zek sortzen dltu? Horl
garbl ikusteko azalera- -neurketarako arau hodek nola sortu dlrtn
gogosatzea aski dugu.
-
Bertlkal baten buniUk beste baten burura zuzen-zuzen do= krrak,
eta tz y = flx) pollnomio bakkin gertatzen den bexala; alegia,
puntarik ez duen marra sostuz. Hemen zazpl angelu sortu dha.
Hemen lehenengo hiru puntuetatik igarotzen den parabola bat
sortzen dugu. gero 3.. 3. cta 5. puntuetatlk igarotzen dena eta
horrela jarraitzen da. Horrela marra Jarral baten ordez lari
parabola egiten ditugu, eta baten bukaerak eta hurrengoaren
hasierak angelu bat swtzen dute: maiz angelu mrrotza. Hcrnen hlru
angelu ditugu.
H m l a k o angtlu zonotzak galtrazteko, zorW bltarteko
azalcraren neurkeia-arma wstel atem d g u n n gero, btstc zerbait
egin dltekeela dlrudi: hu bitxtekoaren ordez luzeagoko b t MU
bstekoa, seha, nahiz zazpikoa) eta erdlko bertikalean 'planto" e a
: gem beste berdina eskulnetlk ezkerrera manatu eta horrekln ese
erdlko bertlkal-buruan gelditu. B1 lersoak
-
a u m g o k o puntu batetllr, edo bllik d o b h t i k
pasatzekoak dirrncz, erdiko bcrtlkd-buman (id1 angelu karnutsa
sortuks luke. Baha azplko d e r a rtnbat den jaklteko integrahran
mugak cz llratckc arauak eriden genltucnean aukeratu zlrenak Pango,
e2a beste arau batzuk bilalu beharko genbtuakc: Simpwnen b/ 12 (5yo
+ Byl - ya] arauaren kldekoak. Oraingoz bega homtan.
-
9r Bertikal guztiak y, = 1 izanik S9 = -44800 = 9r ateratzen da.
44800
idaw behar da.
Ncwtonek hasl cta Costes-ek jarraitutako bideaz Iorlutako arauen
zehtasunak neurtu Uattko. polinomio btdez nin idatz daitekcen marra
batez mugalutako azalera neurtu
beharko dugu. Zirkulu-kudena egoki imdi tu 7ait; ordenatuak cta
benetako w.era erraz eta
-
zehazki kalkula balt geneizake. Galnera zirkuiu-laurden osoaren
azaIera eta zirkuIu- -zor(ziremn segmentuaren &era neurtuko
ditugu.
Imdlan, OC = Ok = 2 delartk. zirkulu-iaurdenaren azalera E =
m2/4 dugu.
Hon-i OABC l a u h n n azalera kentzen badiogu, AB eta BC
segmentupeka bi azaleren neurria aterako migu:
la2 0 B . K E=--- 4 2
%=o A D C) E=---=-- m2 r rJZ la2 r2
4 2 4 3
Sirnpconen arauak ematen dituguna:
-
42 E4 = ir- = 12,56637 1
4
-
Ikusfen dena: matra gehlcnik okerlzen denean Sirnpsonen
Iehentngo aarua erabllkea hobe d a
-
Hmcn Simpsantn lehenbizlko arauak bigarrenak baino % 20 inguni
errore txlkiagoak sortzen ditu.
-
6 = 38,22742 - 34,64823 = 3,5791 1
Diimntzia 6 = - 0,25709
c~ 4- ; EL =m Shpsonen arauen bidu
7 6 5 4 3 2 1 0
-
ZorW bftartckaa gakkl ateratzen dmm fiero: lau biMtko m u a bl
aldlz crabilika dugu:
-
S, + S, + s.; +S,, = l [ o + 4 f i + 2 ~ j 2 + 4 ~ 4 i + z ~ 3 6
+ 4 ~ + ~ r z ] + 3
-
Gogora dm.agun bi bitarteko arana: y = AX2 + Bx + C
Orah bost bitarteko &era neurtzeko, Iehenengo eta mkeneko
bit&& o& atera zaigun arauaren bid= neurlzen baditugu.
eta erdiko hiru bitarteak Sirnpconen bigarren arauaren bidcz. h d o
h u aterako zai y:
-
Lehenengo bitartearen azalera, bigarrenmna, tta abarrena
b yo S #-32 - ( ~ Y O + ~ Y ~ -y23
I II I I I IV Y Vi muaren bidez neurturlk
Baina hau dago; Izan ere y, = 1 egingo bagenu. azalcrak & =
6 x b x 1 a t m bthar lu- ke. baina i [b/ 12).7h atemtzen zd@.
HorregaWt noski, Durandek 14 y3 ordQ 12 y 3 j e n ditu:
Sei btiateko beste a a u bat ere bada, ez daht nola sortua:
Wtddle-ren m u a
-
lkusten dugunez, Slrnpconen bost bitarteko nahasi horrek,
Slmpsonen lehenengo eta bigaren araua erabiltzeak bafno errore
handiagoak cortzen ditu.
Sel bltartekwtan berriz, Duranden asauak Slmpsonen lehenengoak
baino erdi ba t gehlagoko errorea sortzen du, eta Sirnpsanen
bigarrcnak balno laurden bat handiagoa. Weddlerenak Slmpsonenek
baino sei bider handiagoko emreak egiten ditu.
-
Newtonen bldee mrtutako arauek Simpsonen arauek baino errore
txikiagoak sortzen dltuzte, bata ere bitarte asko direnean, baina
Símpsonen arauak ongi esab& gero [ m p e k o &era o d
neurtzeko erabiltzen direnean alegial eta bihrkak ugari samar
erabiiiz, ehuenko bat ingunika errorea mrtzen dute. Gafnera osa
erabiikomak dira, eta gehienetan aski zthatz gertatu ko dira.
Untzlghtzarako kalkulu J egitesakoan, irudi batzuen d e r a k
neuriu beharra gertatzen da. H o r r e W o erabili ohi diren
neurketa-amuerl b u m hona hemen Baxter-ek zer dioen:
Untzi baten urpeko imra halako marra egokl batzuen bidez
itxuratzen da, (Baxter-ek "by fair curvec" dio) eta marra horien
funtzioa ~aguna balitz, d e r a eta blumena kalkuhtzea sarnurra
gertatuka Utiraiguke. Integral zehatzak egitea aski litzake. Omkmká
funtzioa y = f h) baldln bada, azalera:
dugu. Baina gehienetan m horien funtzioa ez dugu ezagutzen, eta
horien b m k o azaZerak
neurtzeko, neurhta-arau berezi batzuk erabili beheman gertatzen
gara, eta untzi-inidíak mamutean ere tKit zehafz jokaberik ez
dugunez, neurketa-arau hodek behar halnbat zekiatz izatea a&
dugu.
Bdtainia Handian sortutako neurketa-arauak, orain ere k i t
erabiIiak direnak, gehl& bi kalkuktzafIek asmatuak dítugu:
Icaac Newton, 1642. urtean jaíoak eta Thomas Smpson, 17 10. urtean
jaíoak. Newtonek zenbait mailako parabolapeko azalerak
I t m i h funtzioen bidez kalkuhtu zituen; +,al, . .. a,
konsbnteak d h . Homla kakulatutako azaleren bidez, berlikal
batzuen koefltlenteak erab& zituen. Asmoa batezbesteko bertíkai
baten luzera eridetea zen, oinarriaren luzera eta bertiMeen
batezbestekoa biderkatuz neurtu nahi genuen azalera akra zedin. Bi
bertikal direnean. azalera A = h / 2 ] bo + y ,) (1) gertafzen
da.
Bigarren rnailako paral>oIa amtatentzat
y =a,,+a,x + azxa eta A = h / 3 bo + +y21 121
(2) eta (3) neurketa-arauak Nmtmek 17 1 1, u r t m a t a r a t u
zituen, eta malla handiagoko parabolentzat geroago, Roger Cotes-ek,
Newtonen adlskfde batek, kallruhtu zituen.
Baba Slmwnek, 1743. urtean agertutako k r e 'Matherrratid
Dtscertatfons"en, Newtonen arauak harlurík, edozein m.rmpetako
azalertd kalkulatzeko, bitarte tldkiak dlrenem, parabola
arruntekoak balira b a ; . ari ghtezkeela Jdatzi zuen.
-
B. Baxter 'Naval krchitectu~; Examples and Theory", Charles
Grilfin & Company Ltd. Lwidon an Hlgh Wycombe. 1967.
Chcbyshw-ck k t e ncurketa-bidc bar asmatu zuen: bertlkalak non
ncurtu behar d i ~ n mW,. Honi b u m 'Intesnaüonal DieUonary o1
applld Mathemaucs" (Van Nostrand 1960) libuniak h o h bu dio:
Chebyshwen azalera-neurkctarako araua.
Itxumh araua: har 0x1 ahaiik cta maih handltmko pbhomioa denean
d e r a zehatz a t a dalteke. 5 puntuak n d h k e pdlhomio baten c
r d dím, bafna nc7 cdo n=9 ez dknean nnirketa-mugetaiik kanpra
gertatzen dha.
Hori Lretkurrl nuenwn, mrki 'blhteko araua gaízkí ateratzm
knbakl negatibo baízuekln gertatzta] ncronek tgindaka okerra ez
zela sinetsi nuen. Eta Meratzi bitarteko araua ongi atcra
zaldanean, Aranh nert alahak emandaka Ralston f ntrdluccibn al
Anátisls Numérico" bimusa-Wlcy Mudm 19701 Ilbunian Tbrmulas de
cuadratura de Newton-Cotes* delako g a l a honako tauk hau Lkusí
dut: Tabla 4.6 Pesos y coeficientes de error para formulas de
Newton- -cotesm.
Weratzi bltartekorik ez dauka). Cero honako hau dio:
'Observt que algunos de los pesos para n=8 son ncgatfvos. De
hecho puede drmostrarst que finkmente para M 7 y n=9 son positivos
idos los pcsos, Cama b suma de los pcscw cs siempre la longitud del
intmaio kpor quk?], si algunos de los p o s son negativos, se a t a
m forma adversa el error de redondeo. "
Hor eglten duen galderasi erantzuteko, askl da y guztiak yl=l
direla egitea. Orüuan gaEnmabk zaMmn nb du cta altuera 1.
M e r a E, nb I Koehicnte bawu k negat IM izatearen ondortna,
lehenago íkusl dugu: horrelako arauek
tz dute ezertarako W o .