Simetria em Mecânica Quântica - UFPRfisica.ufpr.br/bettega/Notas_Simetrias.pdf · Simetria em Mecânica Quântica Márcio H. F. Bettega Departamento de Física Universidade Federal

Simetria em Mecânica Quântica

Márcio H. F. Bettega

Departamento de Física

Universidade Federal do Paraná

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CF703–Física Quântica I – Simetria em Mecânica Quântica

Simetrias e Leis de ConservaçãoI Simetrias em física clássica:

X Lagrangiana: L = L(qi, qi; t) = T − V , onde qi (qi) são as coordenadas(velocidades) generalizadas e qi = dqi/dt.X Equações de Lagrange:

∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)= 0

X Se L não depender de qi (coordenada cíclica ou ignorável), temos:

d

dt

(∂L

∂qi

)= 0→ ∂L

∂qi= constante

Definimos o momento conjugado à coordenada qi, pi, como:

pi =∂L

∂qiComo consequência, pi = constante.X Hamiltoniana: H = H(qi, pi; t) =

∑i piqi − L

X Equações de Hamilton:

qi =∂H

∂pi; pi = −∂H

∂qiX Se L (ou H) não depender explicitamente de qi, então pi é uma constante demovimento⇒ Lei de Conservação.

Simetrias e Leis de Conservação

I Transformação canônica infinitesimal:X transformação identidade: F2(q, P ) = qP

p =∂F2(q, P )

∂q= P,Q =

∂F2(q, P )

∂P= q

X transformação infinitesimal: F2(q, P ) = qP + εG(q, P ), (ε� 1)

p =∂F2(q, P )

∂q= P + ε

∂G(q, P )

∂q,Q =

∂F2(q, P )

∂P= q + ε

∂G(q, P )

∂P

X fazendo ε = dt,H(q, P ) ≈ H(q, p) temos (evolução temporal)

P = p− dt∂H(q, p)

∂q= p+ dt p = p(t+ dt)

Q = q + dt∂H(q, p)

∂p= q + dt q = q(t+ dt)


I Teorema de Noether: (de forma bastante simplificada) simetrias na Lagrangianalevam a constantes de movimento:X p→ translaçãoX L→ rotaçãoX H → evolução temporalX Simetria (escondida) no problema de Kepler: vetor de Laplace-Runge-Lenz

M =p× L

m− Ze2 r

r

Em mecânica quântica, a simetria associada ao operador

M =p× L− L× p

m− Ze2 r

r

é uma simetria SO(4) associada a uma rotação em 4 dimensões e explica adegenescência acidental (E = En) no átomo de hidrogênio


I Simetria em mecânica quântica (H é o Hamiltoniano do sistema):X S: operador unitário definido como:

S = 11− iε

~G; G† = G

onde G é um operador gerador de simetria. Se [H,S] = 0→ S†HS = H. Issoimplica em: (

11 +iε

~G

)H

(11− iε

~G

)= H +

iε

~[G,H] +O(ε2)

Como consequência, se [H,G] = 0→ dG/dt = 0 (equação de Heisenberg), ouseja, G é uma constante de movimento (vimos os casos em que G = p, G = J eG = H).

I Vamos considerar os autokets de G, |g′〉: G|g′〉 = g′|g′〉. No tempo t:

|g′, t0; t〉 = U(t, t0)|g′〉

Se [H,G] = 0→ [G,U ] = 0, |g′〉 são autokets de energia e portantoG|g′, t0; t〉 = g′|g′, t0; t〉 e H|g′, t0; t〉 = Eg′ |g′, t0; t〉


I Degenerescências: [H,S] = 0; |n〉 são os autokets de energia, H|n〉 = En|n〉.Neste caso S|n〉 também é um autoket de energia:

S|n〉 → HS|n〉 = SH|n〉 = EnS|n〉

Supondo que |n〉 6= S|n〉, |n〉 e S|n〉 são autokets de energia associados ao mesmoautovalor En ⇒ degenerescência.

I Se S = S(λ), onde λ é um parâmetro contínuo, temos:X rotação: S(λ) = D(R)

[D(R), H] = 0→ [J, H] = 0, [J2, H] = 0

Neste caso |n; j,m〉 são autokets simultâneos de H,J2, Jz. D(R)|n; j,m〉 sãoautokets de H com mesmo autovalor En:

D(R)|n; j,m〉 =∑m′

|n; j,m′〉〈n; j,m′|D(R)|n; j,m〉 =∑m′

D(j)

m′m(R)|n; j,m′〉

Neste caso há (2j + 1) valores possíveis para m′, o que acarreta umadegenerescência de ordem (2j + 1). Exemplo: V (r) + VLS(r)L · S. No caso dapresença de campos externos a degenerescência pode ser removida (total ouparciamente). Veremos isso em CF704–Física Quântica II (teoria de perturbação).


I Vamos agora considerar simetrias discretas, como paridade (inversão espacial).Chamos de Π o operador paridade, exigindo que:

|α〉 → Π|α〉 : 〈α|Π†xΠ|α〉 = −〈α|x|α〉

Com isto:

Π†xΠ = −x→ {x,Π} = 0

Vamos considerar os autokets de posição |x′〉. Proposta: Π|x′〉 = exp(iδ)| − x′〉.Para provar isso fazemos:

xΠ|x′〉 = −Πx|x′〉 = (−x′)Π|x′〉 → Π|x′〉 ∝ | − x′〉

Adotamos exp(iδ) = 1. Π2 = 11, de tal forma que seus atovalores ±1.


J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison Wesley.


I O que acontece com o operador p sob paridade? (p = mdx/dt, ímpar?). Sabemosque p é um gerador de translação. Podemos ver pela figura que translação +paridade = paridade + translação no sentido contrário. Isso se traduz comoΠT (dx′) = T (−dx′)Π→ ΠT (dx′)Π† = T (−dx′). Temos então que:

Π

(11− ip · dx

′

~

)Π† =

(11 + i

p · dx′

~

)ou

ΠΠ† − i

~ΠpΠ† · dx′ = 11 +

i

~p · dx′

Comparando: ΠΠ† = 11, {Π,p} = 0.O que acontece com o operador J sob paridade? Dica: L = x︸︷︷︸

ímpar

× p︸︷︷︸ímpar

→ par.

Traduzimos isso como [Π,L] = 0. Isso vale para S? A resposta é sim. A matriz querepresenta uma operação de paridade é R = −11, que comuta com as matrizes derotação 3× 3. Postulamos então que: ΠD(R) = D(R)Π, onde D(R) é o operadorde rotação infinitesimal. Com isso [Π,D(R)] = 0→ [Π,J] = 0→ Π†JΠ = J


I Comentários:X x e J se transformam da mesma maneira sob rotação: vetores (ou tensoresesféricos de ordem 1);X x e p são ímpares sob paridade (vetores polares);X S · x: se transforma sob rotação como escalar, assim como S · L e x · p. Sobparidade temos: Π−1S · xΠ = −S · x (pseudoescalar) e Π−1S ·LΠ = S ·L (escalar)

I Funções de onda sob paridade:

|α〉 → 〈x′|α〉 = ψα(x′)

Π|α〉 → 〈x′|Π|α〉 = 〈−x′|α〉 = ψα(−x′)

Se Π|α〉 = ±|α〉 temos:

〈x′|Π|α〉 = ±〈x′|α〉 = ±ψα(x′) = ψα(−x′)

Logo:ψα(−x′) = +ψα(x′) (par); ψα(−x′) = −ψα(x′) (ímpar). Exemplo:Y m` (θ, φ)→ (−1)`Y m` (θ, φ)→ Π|α; `,m〉 = (−1)`|α; `,m〉.


I Teorema: “Suponha que [H,Π] = 0 e que |n〉 é um autoket de energia nãodegenerado com autovalor En. Então |n〉 também é um autoket de paridade.

Note que (11±Π)/2|n〉 é um autoket de paridade (Π2 = Π). Logo:

H

[1

2(11±Π) |n〉

]= En

[1

2(11±Π) |n〉

]


I Vamos considerar como exemplo o poço duplo simétrico de potencial, como mostraa figura. Neste caso V (−x′) = V (x′) e portanto [H,Π] = 0. Assim temos:X H|S〉 = ES |S〉: estado fundamental (simétrico),X H|A〉 = EA|A〉: primeiro estado excitado (antissimétrico),Podemos definir os estados |R〉 e |L〉, que são estados localizados nos lados direitoe esquerdo do poço como

|R〉 =1√2

(|S〉+ |A〉)

e

|L〉 =1√2

(|S〉 − |A〉)

Os estados |R〉 e |L〉 não são autoestados de paridade. Note que Π|S〉 = |S〉 eΠ|A〉 = −|A〉, e como consequência Π|R〉 = |L〉 e Π|L〉 = |R〉.



Simetrias e Leis de ConservaçãoI Vamos agora olhar a evolução temporal considerando o estado inicial como |R〉.

Assim:

|R, t0 = 0; t〉 = U(t, 0)|R〉 =1√2

(U(t, 0)|S〉+ U(t, 0)|A〉) =

=exp(−iESt/~)√

2{|S〉+ exp[−i(EA − ES)t/~]|A〉}

t =T

2= 2π

~2(EA − ES)

→ |R, t0 = 0; t = T/2〉 = exp(−iEST/2~)|L〉

t = T = 2π~

(EA − ES)→ |R, t0 = 0; t = T 〉 = exp(−iEST/~)|R〉

Ou seja, o sistema fica oscilando estre os estados |R〉 e |L〉 com frequênciaω = (EA − ES)/~.Tornando a barreira infinita, não há mais possibilidade de tunelamento. Neste caso|S〉 e |A〉 são degenerados e |R〉 e |L〉 são autokets de energia. Se agora em t0 = 0o sistema encontra-se no estado |R〉, permanecerá em |R〉 (agora a frequência deoscilação ω é infinita). O estado fundamental agora pode ser antissimétrico, emboraH seja simétrico, o que significa uma quebra de simetria. Quando hádegenerescência os autokets de energia físicos não precisam ser autokets deparidade.




I Vamos discutir agora a regra de seleção de paridade. Considerando queΠ|α〉 = εα|α〉 e Π|β〉 = εβ |β〉, onde εα, εβ = ±1, podemos mostrar que 〈β|x|α〉 = 0a menos que εα = −εβ . Isso significa que o operador x (ímpar sob paridade)conecta apenas estados com paridades opostas. A demostração desta regra deseleção fica como exercício.

I Vamos considerar agora um autoket de energia |n〉, tal que H|n〉 = En|n〉, onde Ené não degenerado. Se [H,Π] = 0, temos que

〈n|{x,Π}|n〉 = 〈n|xΠ|n〉+ 〈n|Πx|n〉 = ±〈n|x|n〉 = 0→ 〈n|x|n〉 = 0


I Vamos considerar agora a simetria de reversão temporal. Antes, vamos consideraruma operação de simetria tal que |α〉 → |α〉 e |β〉 → |β〉 sujeita à condição

〈β|α〉 = 〈β|α〉

Isso pode ser alcançado por um operador unitário U (translação, rotação, paridadeetc), onde |α〉 = U |α〉 e |β〉 = U |β〉, tal que:

〈β|α〉 = 〈β|U†U |α〉 = 〈β|α〉

Vamos considerar uma condição mais fraca para o caso da reversão temporal:

|〈β|α〉| = |〈β|α〉|

a qual é satisfeita pelo operador unitário U . Esta condição também é satisfeita se

〈β|α〉 = 〈β|α〉∗ = 〈α|β〉


I Definimos uma transformação antiunitária θ como

|α〉 = θ|α〉; |β〉 = θ|β〉

tal que

〈β|α〉 = 〈β|α〉∗

onde

θ(c1|α〉+ c2|β〉) = c∗1θ|α〉+ c∗2θ|β〉

e θ é denominado operador antiunitário.I Vamos escrever θ como: θ = UK, onde U é um operador unitário e K é o operador

que forma o complexo conjugado de qualquer coeficiente que multiplica um ket(Kc|α〉 = c∗K|α〉). K não altera os kets de base:

|α〉 =∑a′

|a′〉〈a′|α〉 → K|α〉 = K∑a′

|a′〉〈a′|α〉 =∑a′

〈a′|α〉∗K|a′〉 =∑a′

〈a′|α〉∗|a′〉


I Cuidado, pois o efeito de K muda de acordo com a base escolhida. Para ver isso,vamos considerar spin 1/2:

{|±〉} → |sy,±〉 =1√2

(|+〉 ± i|−〉)

K|±〉 = |±〉 → K|sy,±〉 =1√2

(|+〉 ∓ i|−〉)

No entanto, se considerarmos |sy,±〉 como base temos K|sy,±〉 = |sy,±〉.


I Vamos retornar a θ = UK:

θ(c1|α〉+ c2|β〉) = UK(c1|α〉+ c2|β〉) = c∗1UK|α〉+ c∗2UK|β〉 = c∗1θ|α〉+ c∗2θ|β〉

|α〉 → |α〉 = θ|α〉 = UK|α〉 = UK∑a′

|a′〉〈a′|α〉 =∑a′

〈a′|α〉∗U |a′〉

|β〉 → |β〉 = θ|β〉 = UK|β〉 = UK∑a′

|a′〉〈a′|β〉 =∑a′

〈a′|β〉∗U |a′〉

〈β|α〉 =∑a′′

∑a′

(〈a′′|β〉〈a′′|U†)(〈a′|α〉∗U |a′〉) =

=∑a′′

∑a′

〈a′′|β〉〈α|a′〉〈a′′|U†U︸︷︷︸11

|a′〉

︸︷︷︸δa′a′′′

= 〈α|β〉 = 〈β|α〉∗



Simetrias e Leis de ConservaçãoI Vamos definir agora o operador de reversão temporal Θ:

|α〉 → Θ|α〉

De acordo com a figura temos:X |α〉 = |p′〉 → Θ|p′〉 = | − p′〉X |α〉 = |x′〉 → Θ|x′〉 = |x′〉

t = 0⇒ |α〉 −→δt |α, t0 = 0; t = δt〉 =

(11− iH

~δt

)|α〉

t = 0⇒ Θ|α〉 −→δt |α, t0 = 0; t = δt〉 =

(11− iH

~δt

)Θ|α〉

A simetria sob reversão temporal exige que o ket acima seja o mesmo que:

Θ|α, t0 = 0; t = −δt〉 = Θ

(11 +

iH

~δt

)|α〉

(11− iH

~δt

)Θ|α〉 = Θ

(11 +

iH

~δt

)|α〉

(Θ− iHΘ

~δt

)|α〉 =

(Θ +

ΘiH

~δt

)|α〉


I Isto resulta em:

−iHΘ|α〉 = ΘiH|α〉

ou, para qualquer ket

−iHΘ|〉 = ΘiH|〉

Se Θ for unitário: −HΘ = ΘH

H|n〉 = En|n〉 ⇒ HΘ|n〉 = −ΘH|n〉 = −EnΘ|n〉

Neste caso, Θ|n〉 é um autoket de H com autovalor −En, o que não faz sentido(pense em uma partícula livre). Portanto Θ é um operador antiunitário:

ΘiH|〉 = −iΘH|〉 ⇒ ΘH = HΘ

〈β|Θ|α〉 → 〈β|(Θ|α〉) −−−→não

(〈β|Θ)|α〉

Não vamos definir (〈β|Θ).


I Vamos analisar agora como os operadores lineares ⊗ se comportam sob reversãotemporal.

|α〉 = Θ|α〉; |β〉 = Θ|β〉

Neste caso:

〈β| ⊗ |α〉 = 〈α|Θ⊗† Θ−1|β〉

A prova fica como exercício. No caso em que ⊗ = A;A† = A temos:

〈β|A|α〉 = 〈α|ΘAΘ−1|β〉

No caso em que ΘAΘ−1 = ±A (A pode ser par ou ímpar sob reversão temporal)temos:

〈β|A|α〉 = 〈α|ΘAΘ−1|β〉 = ±〈α|A|β〉 = ±〈β|A|α〉∗

Fazendo |β〉 = |α〉 temos (valor esperado):

〈α|A|α〉 = ±〈α|A|α〉∗


I Exemplos:X A = p

〈α|p|α〉 = −〈α|p|α〉∗ → ΘpΘ−1 = −p

pΘ|p′〉 = (−ΘpΘ−1)Θ|p′〉 = −Θp|p′〉 = −p′(Θ|p′〉)⇒ Θ|p′〉 = | − p′〉

X A = x

〈α|x|α〉 = 〈α|x|α〉∗ → ΘxΘ−1 = x

xΘ|x′〉 = (ΘxΘ−1)Θ|x′〉 = Θx|x′〉 = x′(Θ|x′〉)⇒ Θ|x′〉 = |x′〉


I Vamos olhar agora como ficam as relações de comutação [xi, pj ] = i~δij e[Ji, Jj ] = i~εijkJk sob reversão temporal:

[xi, pj ]|〉 = i~δij |〉 → Θ[xi, pj ]|〉 = Θi~δij |〉 →→ Θ[xi, pj ](Θ

−1Θ)|〉 = −i~δijΘ|〉 →→ [xi,−pj ]Θ|〉 = −i~δijΘ|〉 → [xi, pj ] = i~δij

e a relação é preservada. Para preservar [Ji, Jj ] = i~εijkJk é necessário queΘJΘ−1 = −J.

I Vamos agora considerar uma partícula sem spin, e olhar o comportamento dafunção de onda sob reversão temporal:

t = 0→ |α〉 ⇒ 〈x′|α〉 = ψ(x′)

|α〉 =

∫d3x′|x′〉〈x′|α〉 → Θ|α〉 = Θ

∫d3x′|x′〉〈x′|α〉 =

=

∫d3x′〈x′|α〉∗Θ|x′〉 =

∫d3x′〈x′|α〉∗|x′〉


I Temos assim:X Se ψ(x′, t) = u(x′) exp(−iEt/~)⇒ ψ∗(x′,−t) = u∗(x′) exp(−iEt/~);t = 0→ u(x′) = u∗(x′)X Se ψ(x′) = R(r)Y m` (θ, φ)⇒ Y m ∗` (θ, φ) = (−1)mY −m` (θ, φ)|`m〉 → Θ|`m〉 = (−1)m|`−m〉

I Teorema: “Suponha que o Hamiltoniano seja invariante sob reversão temporal(ΘHΘ−1 = H) e que o autoket de energia |n〉 seja não degenerado; então aautofunção correspondente é real (ou, de forma mais geral, uma função realmultiplicada por um fator de fase independente de x′).

HΘ|n〉 = ΘH|n〉 = EnΘ|n〉

Neste caso |n〉 e Θ|n〉 tem o mesmo autovalor de energia (não degenerado). Logo|n〉 ∝ Θ|n〉 e |n〉 → 〈x′|n〉; Θ|n〉 → 〈x′|n〉∗ ⇒ 〈x′|n〉 = 〈x′|n〉∗

Como fica 〈p′|α〉?

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