SigmaR1LosKap4

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R1 kapittel 4A4.70c) Vi løser andregradslikningen og finner at Da blir faktoriseringen

B4.72b) Vi faktoriserer telleren ved å bytte rekkefølge og sette –3 utenfor en parentes:

Her lønner det seg å sjekke at faktoriseringen er riktig ved å multiplisere ut igjen. Vi faktoriserer nevneren ved å løse andregradslikningen og bruke den vanlige faktoriseringsformelen.

A4.75b)

B4.78a)

b) Fra a vet vi at Nå fullfører vi faktoriseringen ved å faktorisere andregradsuttrykket.

Så finner vi svaret:

A4.80a) Vi setter inn og får at Da forteller nullpunktsetningen at er delelig med . Vi utfører divisjonen og finner at Da vet vi at For å fullføre faktoriseringen, løser vi andregradslikningen og finner Den fullstendige faktoriseringen blir

B4.82Vi prøver oss fram og finner at uttrykket er lik null når for eksempel . Da sier nullpunktsetningen at uttrykket er delelig med . Den fullstendige faktoriseringen utfører vi på samme måte som vist i oppgave 4.80 a) ovenfor.

B4.83a) Nullpunktsetningen forteller at dersom uttrykket skal være delelig med , må uttrykket være lik null når , det vil si når . Dette gir

C4.84Nullpunktsetningen forteller at må ha faktorene , og . Da må faktoriseringen av tredjegrads-funksjonen være på formen

Nå kan vi bestemme konstanten a ved å bruke at . Dette gir Funksjonen er derfor

1

A4.86a) Vi setter inn og får at Da forteller nullpunktsetningen at er delelig med . Vi utfører divisjonen og finner at Da vet vi at

Nå kan vi løse likningen:

eller

eller eller

b) Resultatet i a gjør at vi kan faktorisere ulikheten: Vi overfører nullpunktene til fortegnslinja og setter en x-verdi i hvert område inn i det faktoriserte uttrykket. Da finner vi denne fortegnslinja.

Vi leser av løsningen på x-aksen. Da nullpunktene ikke skal være med i svaret i denne ulikheten, får vi at

B4.89Vi prøver oss fram og finner at uttrykket er lik null når . Da sier nullpunkt-setningen at uttrykket er delelig med . Vi utfører polynomdivisjonen, og finner at det vil si at

Da likningen ikke har noen løsning, kan vi ikke faktorisere uttrykket mer enn det som er angitt ovenfor. Når vi setter uttrykket lik null, får vi

eller

Ingen løsning eller

Vi finner denne fortegnslinja:

Vi leser av løsningen på x-aksen. Da nullpunktene skal være med i svaret i denne ulikheten, får vi at

A4.93a) Vi substituerer . Da får vi gir , dvs. . gir , som ikke har noen løsning.b) Vi substituerer . Da får vi gir , dvs. . gir , dvs. .

B4.94a) Vi faktoriserer nevnerne slik at vi ser hva fellesnevneren blir:

Da ingen av nevnerne kan være lik null, må vi ha at og . Fellesnevneren er . Vi multipliserer over alt med felles- nevneren og forkorter. Da får vi

Vi multipliserer ut og ordner likningen. Da får vi

2

Vi kan ikke bruke verdien i den opprinnelige likningen. Svaret blir derfor at .d) Før vi faktoriserer nevnerne, bytter vi rekkefølgen og fortegnet til nevneren i brøken etter likhetstegnet ved å multi- plisere med i telleren og nevneren.

Nå faktoriserer vi nevnerne slik at vi ser hva fellesnevneren blir:

I den siste brøken oppdager vi at vi kan forkorte med 2. Da får vi

Da ingen av nevnerne kan være lik null, må vi ha at og . Fellesnevneren er . Vi multipliserer over alt med felles- nevneren og forkorter. Da får vi

Vi multipliserer ut og ordner likningen. Da får vi

Vi kan bruke denne verdien i den opprinnelige likningen.

Svaret blir altså at .

A4.97

b) Telleren lik null: gir .

Nevneren lik null: gir . Vi setter inn en x-verdi i hvert område, og får denne fortegnslinja:

I denne ulikheten skal x-verdien som gjør at brøken er lik null være med i svaret. Den x-verdien som gjør nevneren lik null, kan aldri være med i svaret.

Når vi husker dette, ser vi at svaret blir:

B4.99c) Vi ordner ulikheten, det vil si at vi flytter over slik at det blir null på høyre side og setter på felles brøkstrek:

Telleren lik null: gir . Nevneren lik null: gir . Vi setter inn en x-verdi i hvert område, og får denne fortegnslinja:

I denne ulikheten skal x-verdien som gjør at brøken er lik null være med i svaret. Den x-verdien som gjør nevneren lik null, kan aldri være med i svaret. Når vi husker dette, ser vi at svaret blir:

B4.100a) Her er det ingen x i nevneren. Da løser vi ulikheten ved å multipliserer med nevneren og regne rett fram:

c) Vi ordner ulikheten, det vil si at vi flytter over slik at det blir null på høyre side og

3

setter på felles brøkstrek:

I den siste overgangen faktoriserte vi telleren ved å bruke faktoriserings- formelen for andregradsuttrykk. Telleren lik null gir eller . Nevneren lik null gir . Vi setter inn en x-verdi i hvert område, og får denne fortegnslinja:

I denne ulikheten skal x-verdien som gjør at brøken er lik null være med i svaret. Den x-verdien som gjør nevneren lik null, kan aldri være med i svaret. Når vi husker dette, ser vi at svaret blir:

A4.102

a)

c)

d)

A4.103

b)

B4.104

a)

B4.105a) Vi substituerer . Da får vi:

gir , dvs. .

gir , dvs. .

b) Vi skriver likningen slik:

Vi multipliserer over alt med og får: Vi substituerer . Da får vi:

gir , dvs. .

gir , som ikke gir løsning.c) I likningen er grunntallene like. Da må også eksponentene være like. Vi får , dvs. .

A4.107b)

A4.108a) Vi bruker andre logaritmesetning bak- lengs og får

4

Da denne x-verdien kan brukes i den opprinnelige likningen, er den svaret på oppgaven.b) Vi bruker første logaritmesetning bak- lengs og får Vi løser andregradslikningen og får eller . Her kan vi ikke bruke i den opprinnelige likningen da det gir logaritmen av et negativt tall. Svaret blir derfor at .d) I den oppgitte likningen må x være større enn null. Da kan vi bruke logaritme- setningene uten å være redd for å miste løsninger.

B4.109b) Vi substituerer . Da får vi: gir , dvs. . gir , dvs. .

A4.110a) b)

c)

d)

e)

B4.112

a)

b) Vi kan for eksempel løse oppgaven slik:

A4.113a)

c)

A4.114a) Vi substituerer . Da får vi: gir , dvs. . gir , dvs. .b) Vi bruker produktregelen: eller eller eller eller

B4.115a) Vi bruker første logaritmesetning bak- lengs og får Vi løser andregradslikningen og får eller . Her kan vi ikke bruke i den opprinnelige

5

likningen da det gir logaritmen av et negativt tall. Svaret blir at .b) Vi bruker første logaritmesetning bak- lengs. På høyre side av likhetstegnet bruker vi tredje logaritmesetningen baklengs: Vi kan ikke bruke i den opprinnelige likningen da det gir logaritmen av et negativt tall. Svaret blir at .c) Vi bruker andre logaritmesetning bak- lengs og får

Da denne x-verdien kan brukes i den opprinnelige likningen, er den svaret på oppgaven.B4.116c) I den oppgitte likningen må x være større enn null. Her er det enklest å bruke logaritmesetningene baklengs slik:

Da x må være større enn null, må vi utelukke den negative verdien. Svaret blir altså at .

A4.117c)

A4.118a) Vi substituerer . Da får vi:

gir .

har ingen løsning.

A4.119b)

B4.120a)

B4.121a) Vi skriver likningen slik:

Vi multipliserer over alt med og får: Vi substituerer . Da får vi:

gir . gir .

A4.122b) Denne ulikheten kan vi løse rett fram: gir dvs. c) Da ulikheten inneholder , må x være større enn null. Dette må vi huske når vi skriver svaret. gir dvs.

6

Svaret blir at .d) Da ulikheten inneholder , må x være større enn null. Dette må vi huske når vi skriver svaret. Her lønner det seg å faktorisere uttrykket på venstre side. Vi setter produktet lik null: gir , dvs. . gir , dvs. . Vi får denne fortegnslinja:

Svaret blir at .e) Igjen lønner det seg å faktorisere uttrykket på venstre side. Vi setter produktet lik null: har ingen løsning. gir . Vi får denne fortegnslinja:

Svaret blir at .

B4.123a) Telleren lik null gir , som ikke har noen løsning. Telleren er alltid større enn null.

Nevneren lik null gir , det vil si

Vi finner denne fortegnslinja:

Svaret blir at .

d) Da ulikheten inneholder , må x være større enn null. Før vi lager fortegnslinje, må vi ordne ulikheten:

Telleren lik null:

gir dvs.

Nevneren lik null: gir dvs. Vi finner denne fortegnslinja:

I denne ulikheten skal x-verdien som gjør brøken lik null være med i svaret. Verdien av x som gjør nevneren lik null, kan aldri være med i svaret. Når vi husker dette, ser vi at svaret blir at .

4.124a) . Da vet vi at er delelig med .b) Vi utfører polynomdivisjonen:

Nå kan vi løse likningen: eller

7

eller eller c) Dersom skal være delelig med , må være lik null når , det vil si når . Dette gir eller

4.128b) Vi setter . Da skal være delelig med , får vi . Dette gir: dvs. . Da også skal være delelig med , får vi . Dette gir: dvs. . Vi får to likninger med to ukjente a og b. Av likningen får vi . Innsatt i gir det Da gir at .c) . Da vet vi at er delelig med . Vi utfører divisjonen og finner at For å løse ulikheten, vil vi fullføre faktoriseringen. Da løser vi andregradslikningen og finner at Vi får derfor at Nå kan vi skrive ulikheten slik: Vi finner denne fortegnslinja:

Svaret er at .

d) For å se hva vi kan forkorte med, faktoriserer vi nevneren:

Dersom vi skal kunne forkorte med må telleren være delelig med , det vil si at telleren må være lik null når . Dette gir Dersom vi skal kunne forkorte med

må telleren være delelig med , det vil si at telleren må være lik null når . Dette gir

4.129c) Vi faktoriserer nevneren ved å bruke faktoriseringsformelen for andregradsuttrykk. Da får vi: Dersom vi skal kunne forkorte brøken, må eller være faktorer i telleren. Da må telleren være lik null når eller når . gir Altså er faktor i telleren, det vil si at vi kan forkorte med . gir Altså er ikke faktor i telleren, det vil si at vi ikke kan forkorte med . Vi utfører polynomdivisjonen og får Da vet vi at Nå kan vi fullføre forkortingen:

4.130a) Vi gjør om til felles nevner og setter på felles brøkstrek. I den siste brøken bruker vi først at .

8

4.134a)

b)

d)

4.135b) Da ulikheten inneholder , må vi huske at x må være større enn null. Vi finner når uttrykket er lik null. Vi substituerer . Da får vi: gir , dvs. . gir , dvs. .

Svaret blir at .c) Da ulikheten inneholder , må vi huske at x må være større enn null. Telleren lik null: gir dvs. Nevneren lik null: gir dvs. Vi finner denne fortegnslinja:

Svaret blir at .d) eller eller eller eller eller eller

f) Vi skriver ulikheten slik: For å finne fortegnslinja, må vi finne når uttrykket er lik null. Da skriver vi:

Vi multipliserer over alt med og får: Vi substituerer . Da får vi: gir . gir .

Svaret blir .

g) Telleren lik null: gir . Nevneren lik null: gir .

Svaret blir at .4.138a) Da oppgaven inneholder både og , må både x og y være større enn null. Vi tar naturlig logaritme på begge sider av , og får at , det vil si . Da er . Når vi setter inn i , får vi

Da gir at .

4.140a) Vi finner når uttrykket er lik null:

9

eller Vi finner denne fortegnslinja:

Svaret blir at .b) Da likningen inneholder , må x være større enn null. eller eller Da vi ikke kan bruke i den opprinnelige likningen, blir svaret at .c) eller eller eller

e) Vi substituerer . Da får vi:

gir , dvs. .

gir , dvs. .

4.142a) 1 Det var 1500 da næringen ble tilført. 2 Etter 6 timer er det 9074 stykker.b) Vi lager tabell på lommeregneren for x mellom 0 og 10, og får denne grafen:

c) Grafisk: Avlesningen på figuren viser at antallet er 7000 etter litt over 5 timer. Regning: Vi skal ha . Her dividerer vi med 1500 og får

Det tar 5,1 timer.

1