perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB oleh NURUL KOMIYATUN M0110063 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2014
10
Embed
SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE … · fungsi-fungsi eigen, ditunjukkan dengan hasil kali dalam dari dua fungsi eigen bernilai nol. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE
FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB
oleh
NURUL KOMIYATUN
M0110063
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE
FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB
oleh
NURUL KOMIYATUN
M0110063
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
i
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Gambar 0.1.
ii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Nurul Komiyatun. 2014. SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB. FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Masalah Sturm-Liouville klasik dapat ditulis sebagai
Ly = −(p(x)y′)′ + q(x)y = λw(x)y
dengan syarat batas k1y(a) + k2y′(a) = 0 dan l1y(b) + l2y
′(b) = 0. Dalam per-kembangannya muncul masalah Sturm-Liouville fraksional, yaitu masalah Sturm-Louville yang menggunakan derivatif berorde fraksional (berupa bilangan non-integer). Salah satu pengembangan dari masalah Sturm-Liouville fraksional ada-lah masalah Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb yang didefini-sikan sebagai
Lα[C]y(x) + λwα(x)y(x) = 0
dengan Lα[C] = Dαπ,−p(x)
CDα0,+ +
(Ax+ q(x)
)dan α merupakan bilangan non
integer.Penelitian ini bertujuan untuk menentukan sifat-sifat spektral dari masalah
Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb. Penurunan sifat spektraldari masalah tersebut di atas adalah dengan menyelidiki sifat operatornya, yangditunjukkan melalui hasil dari ⟨Lα[C]ψ, ϕ⟩ dan ⟨ψ,Lα[C]ϕ⟩, dengan ϕ dan ψ adalahfungsi eigen. Jenis nilai eigen dapat diselidiki melalui hubungan antara nilai eigendengan konjugat dari nilai eigen itu sendiri. Sedangkan untuk ortogonalitas darifungsi-fungsi eigen, ditunjukkan dengan hasil kali dalam dari dua fungsi eigenbernilai nol. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa sifat spektral dari masalahSturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb adalah operatornya bersifatself-adjoint, nilai eigennya real, dan fungsi eigen yang sesuai dengan nilai eigenbersifat ortogonal terhadap suatu fungsi bobot.Kata kunci : masalah Sturm-Liouville, fraksional, sifat spektral, Coulomb
iii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRACT
Nurul Komiyatun. 2014. SPECTRAL PROPERTIES OF FRACTIONALSTURM-LIOUVILLE PROBLEM FOR COULOMB POTENTIAL. Faculty ofMathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
The classical Sturm-Liouville problem is defined by
Ly = −(p(x)y′)′ + q(x)y = λw(x)y
with boundary conditions k1y(a) + k2y′(a) = 0 and l1y(b) + l2y
′(b) = 0. For lastdecades, some researchers start to put their interest to fractional Sturm-Liouvilleproblem. Fractional Sturm-Liouville problem is Sturm-Liouville problem withfractional order derivation or we can say that the second derivation in classicalSturm-Liouville problem is replaced by fractional order derivation. An exampleof fractional Sturm-Liouville problem is fractional Sturm-Liouville problem withCoulomb potential which is defined by
Lα[C]y(x) + λwα(x)y(x) = 0
where Lα[C] = Dαπ,−p(x)
CDα0,+ +
(Ax+ q(x)
)and α is a non-integer order.
The aim of this research is to determine the spectral properties of fractio-nal Sturm-Liouville problem with Coulomb potential. Before giving the mainresults, we mention some properties of fractional integral Riemann-Liouville andfractional derivative in Riemann-Liouville and Caputo sense. Spectral propertiesof Sturm-Liouville fractional problem with Coulomb potential is to investigate itsoperator, which is indicated by the result of ⟨Lα[C]ψ, ϕ⟩ and ⟨ψ,Lα[C]ϕ⟩, with ϕand ψ is an eigenfunction. Eigenvalues types can be investigated through the ei-genvalues and its conjugate. As for the orthogonality of eigenfunctions, indicatedby the results of inner product of two distict eigenfunctions is equal to zero. Wewill show that the spectral properties of fractional Sturm-Liouville problem withCoulomb potential are the operator is self-adjoint, its eigenvalues are real, andits eigenfunctions corresponding to distinct eigenvalues are orthogonal respect toa weight function.