-
1BAB 3:Sifat Gelombang dari
partikel
Bab 3Sifat gelombang dari partikel
Pendahuluan
Einstein memperkenalkan kepada kita sifat partikel darigelombang pada thn 1905 (efek photoelektrik). Teori Einstein ini diperkuat oleh hamburan Compton
Tapi, apakah kebalikannya berlaku ? Apakah partikel memilikisifat gelombang?
1923, ketika masih sebagai mhspasca sarjana University of Paris, Louis de Broglie mempublikasikan tulisan ringkasdalam journal Comptes rendusyang berisi ide yang revolutionorterhadap pemahaman fisika padalevel yang paling fundamental: yaitu bahwa partikel memilikisifat gelombang intrinsic
Prince de Broglie
Werner Heisenberg dankemudian Erwin Schrdinger mengembangkan teoriberdasarkan sifat gelombangdari partikel.
Heisenberg Schrdinger
Pada 1927, Davisson dan Germer mengkonfirmasi sifatgelombang dari partikel dengan diffraksi elektron dari kristaltunggal nikel.
-
2De Broglie mempostulatkan bahwa persamaan diatas berlakujuga untuk partikel. Secara khusus, partikel dengan masa m dan momentum p memiliki panjang gelombang de Broglie
h= .p
3.1 Gelombang de Broglie
Ingat bahwa photon memiliki energi E=hf, momentum p=h/, dan panjang gelombang =h/p.
Persamaan diatas untuk gelombang, persamaan dibawah adalah ide baruuntuk partikel.
Jika partikel bergerak cukup cepat sehingga perhitunganrelativistik diperlukan, maka gunakan persamaan relativistikmomentum:
h= .mv
Apa yang diusulkan de Broglie, sepertinya hanya sebuahpermulaan bahwa partikel memiliki panjang gelombang?
Partikel dgnmomentum linear p
Gelombang partikeldgn panjanggelombang de Broglie = p/h
partikel dgn momentum pDigambarkan sbg gelombang
Usulan sifat gelombang dari partikel keluar dari suatu hipotesisyang berani dari seorang mahasiswa Ph.D fisika yang masihmuda.*
h h= =p mv
Sekarang kita memiliki persamaan yang mengatakan bahwapartikel memiliki panjang gelombang. Lalu kenapa selama initdk dapat diamati dan apa yang harus kita lakukan untukmembuktikannya?
Verifikasi dengan Eksperimen! Agar kita dapat mengamati sifat gelombang dari partikel, panjang gelombang de Broglie harus dapat dibandingkandengan sesuatu yang berinteraksi dengan partikel; misalnyajarak antara dua slit, atau jarak antara susunan atom dalamkristal. *Postulat ini membawa dia mendapat 1929 Nobel Prize.
Contoh: cari panjang gelombang 46 g bola yang bergerakdengan kecepatan 30 m/s.
Dengan kecepatan seperti diatas kita dpt menghitung tanparelativistik. h h= =
mv mv non-relativistic: =1
( )-34
-3
6.6310 J s=(4610 kg) 30 m/s
-34= 4.810 m
Adakah sesuatu yang memiliki dimensi fisik sekitar 10-34 m, dimana gelombang bola golf dapat berinteraksi dengannya?
Dapatkah kita melakukan eksperimen yang dapat mendeteksigelombang bola golf?
-
3Contoh: cari panjang gelombang elektron yang bergerakdengan kecepatan 107 m/s.
Kecepatan elektron sekitar 1/30 c, sehingga perhitungannonrelativistik sudah cukup.
h=mv
( )-34
-31 7
6.6310 J s=(9.1110 kg) 10 m/s
-11=7.310 m
Panjang gelombang cukup kecil dan dapat dibandingkandengan dimensi atomic, sehingga kita dapatmempertimbvangkan untuk mengamati sifat gelombang darielektron jika elektron bergerak cepat melewati zat padat.
Gelombang Matter adalah fenomena quantum
jika h 0, menjadi sangat kecil sekali yang berartiperilaku gelombang dari partikel secara effektif akanberhenti dan akan kehilangan sifat gelombangnyaapabila momentum partikel tidak sebanding dengan h ~ 10-34 Js
Efek gelombang partikel sulit diobservasi secaramakroskopik (kecuali jika dibantu alat khusus)
Konstanta h yg kecil pada = h/p membuat karakteristikgelombang dari partikel susah untuk diobservasi
Dengan kata lain, sifat gelombang partikel hanya akanmuncul jika skala momentum p sebanding dengan hargah
Sesuatu yang harus kita pikirkan :
Tumbukan akan terjadi seketika, shg partikel betul-betul adadisana dan gelombang yang berhubungan dengan partikelbukan partikel yang terhambur.
Lalu kita akan melihat bagaimana gelombang dari partikelmemiliki kecepatan fasa yang lebih besar dari kecepatancahaya, c. Sehingga, kecepatan fasa tidak memilikiinterpretasi secara fisik.
Beberapa persamaan yg dapat kita gunakan:
E = hf p = h/ = 2f k = 2/ = h/2 E = p = k
Jika benda memiliki panjang gelombang, maka akan ada suatufungsi fungsi gelombangyang menjelaskan sifatgelombang dari benda tsb.
Apakah anda pikir jika kita dapat menemukan fungsigelombang, dan hukum matematika apa yang dia patuhi, lalukemudian barangkali kita bisa belajar tentang partikel yang dijelaskannya?
Artinya kita akan meluangkan waktu untuk memikirkantentang matematika gelombang dan fungsi yang menjelaskannya.
-
43.2 Apa Jenis Gelombang Partikel ?
Dengan kata lain, apa yang secara fisik berubah dalamgelombang partikel?
Gelombang air terdiri dari ketinggian air yang berbeda, gelombang suara terdiridari perbedaan tekanan didalam medium, gelombang E&M terdiri dari osilasi medanlistrik dan magnet. Bagaimana dengangelombang partikel?
Sesuatu dimana variasinyamembentuk gelombang partikeladalah fungsi gelombang function, ("psi", biasa dibaca "si").
Fungsi gelombang dari partikel bukan sesuatu yang dapatdilihat atau dirasakan. Dia tidak memiliki arti fisik yang langsung.
Adalah solusi Schrdinger. Seperti telahdisinggung didepan, Schrdinger mengembangkan teori untuk sifatgelombang partikel. Kita akanmempelajarinya pada bab 5.
adalah pd umunya bilangan komplek, dan tidak dapat diukursecara langsung. Rata-rata waktu dan/atau ruang dari = 0. (ingat- Rata-rata waktu/ruang dr gelombang sinus = 0 tapigelombang sinus tdk sama dgn 0)
Akan tetapi, dapat mengatakan kepada kita sesuatu tentanpartikel yang dia representasikan.
Secara umum, adalah fungsi dari posisi (x,y,z) dan waktu. Probabilitas untuk menemukan objek yang dinyatakan dengan pada posisi (xyz) pada waktu t adalah sebanding denganharga * disana.
* mengatakan kepada kita probabilitas menemukan bendayang direpresentasikan dengan .
jika complex, maka * = 2 adalah real (dan positif).
Jika *=0 pada suatu posisi dan waktu , maka objek tidakada disana. Jika *=1 pada suatu posisi dan waktu , objekpasti ada disana. Di bab berikutnya kita akan menemukanbahwa ada batasan yang fundamental pada bagaimanadengan tepat kita dapat meletakan objek.
Secara umum, harga * adalah antara 0 dan 1. Harga yang kecil pada suatu posisi dan waktu artinya probabilitasmenemukan objek disana kecil; sebaliknya angka yang besarmenunjukan probabilitas yang besar.
-
5Catatan : perbedaan antara probabilitas kejadian dan kejadianitu sendiri.
Jika kita mendeteksi elektron, artinya elektronada disana, tdk berarti 50% ada disana.
Jika kita memiliki koleksi partikel identik, maka *proporsional dengan densitas aktual dari partikel. Kita seringmenyebut * sebagai probability density meskipun kitabicara tentang satu partikel.*
Jika probabilitas menemukan elektron pada(xyzt) = 50%, tidak berarti bahwa elektron50% ada disana. Ini berarti daripengukuran kita akan menemukan elektrondisana, dan nya lagi tidak menemukanelektron.
Mari kita lihat lebih jauh lagi
Untuk sistem partikel yang dijelaskan oleh fungsi gelombang, *dV adalah probabilitas menemukan partikel (atausistem) dalam elemen volume dV.
Untuk mencari probabilitas menemukan partikel disuatutempat di dlm ruang, kita integrasikan probabilitas seluruhruang.
Kita assumsikan bahwa probabilitas menemukan partikeldisuatu tempat di dlm ruang adalah 1 , sehingga
*
all space
dV = 1 .Fungsi gelombang yang dinormalisasi.
Ingat, fungsi gelombang menceritakan kepada kitakemungkinan menemukan partikel pada titik tertentu di dalamruang dan waktu, tetapi partikel tidak tersebar dalambeberapa gelombang.
Menentukan secara benar biasanya suatu masalah sulit. Kita akan sering mengasumsikan suatu fungsi gelombang tanpamemasuki bagian detil dari mana itu datang.
Ini menyimpulkan diversi yang ringkas ke dalam duniamekanika kwantum yang akan kita bahas pada bab 5.
Jika kita mengklaim bahwa partikel adalah gelombang(tepatnya, memiliki sifat gelombang) maka kita lebih baikmempelajari gelombang lebih detail.
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
Pada sisi lain, de Broglie mengatakan bahwa benda yang bergerak memiliki momentum dan panjang gelombangyang dihubungkan oleh p = h/
momentum benda bergerak dihubungkan dengankecepatan yang terukur lewat p = mv
Maka secara logika kecepatan gelombang de Broglie (sebut saja vp) harus sama dengan v
Mari kita lihat apakah hal tsb betul
-
6 kecepatan gelombang de Broglie dihubungkan dgnfrekuensi gelombang dan panjang gelombang lewatvp= f
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
Dimana panjang gelombang de Broglie dihubungkandengan kecepatan benda yang terukur lewat = h/(mv)
Energi yang dibawa oleh quantum gelombang de Broglie adalah E=hf
Energi E harus sama dengan energi relativistik daribenda bergerak, E = mc2
vp=(h/mv)(mc 2/h) =c 2/v
Sehingga diperoleh, hf = mc 2
f = mc 2/h
Substitusikan frekuensi de Broglie ke dlm vp= f , kitaperoleh
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
vp=c 2/v
Ada sesuatu yang salah disini
Tapi karena partikel tsb bermasa maka akan selaluc2/v > csuatu hasil yg secara fisik tdk dapat direalisasikan, yaitukecepatan gelombang de Broglie vp tdk hanya tdk sama dgnv tapi juga > c
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
Persamaan diatas tidak masalah jika partikel adalah photon yang bergerak dgn kecepatan c, sehingga vp= c
photon: faster than aspeeding bullet
matter wave: faster thana speeding photon?
Kita harus memikirkan lagi apa yang dimaksud dengankecepatan gelombang. Mari kita lihat kembali apa itugelombang.
Beiser menggunakan getaran tali untuk mendemontrasikanpenurunan persamaan gelombang.
Ambil tali, ikat satu ujungnya dan pegang satunya lagi laluayunkan.
Jika tangan digerakan ke atas, pulsa dikirimkan ke tali:
Gerakan tangan Ikatkan tali disini
-
7pulsa
penjalaran gel tali
refleksi (& inverts)
bertemu pulsa lainnyapd perjalanan pulang
Jika kita lakukan terus menggerakan tangan maka akanterbentuk gelombang berdiri.
Beiser menurunkan beberapa bentuk persamaan yg ekivalenuntuk gelombang ini, yang memberikan simpangan y padasuatu titik pada tali (i.e., pd suatu posisi x) sepanjang waktu.
p
xy = A cos 2 f (t - )
v
f adl frekuensi danvp adl kecepatangelombang
xy = A cos 2 (f t - )
Dgn menggunakan vp = f , = 2f, and k = 2/, Kita dapatkan
y = A cos ( kx - t ) , or
y = A cos ( k r - t ) in 3 dimensions.rrr r
Pada bagian berikutnya kita akan mendefinisikan arti fisis"group velocity."
vp
Ini adalah gelombang tranversal. Gelombang terpolarisasipada arah y.
Pada Bab 2 kita menurunkan kecepatan fasa dgn cara yang berbeda, tapi merupakan cara yang ekuivalen.
y
x
Gelombang menjalar dgn kecepatan fasa, yg tdkmerepresentasikan kecepatan aktual partikel bermasa.
-
8vp
Gelombang ini menjalar di dalam ruang. Panjang gelombang(and juga momentum) gelombang terdefinisi dengan baik (adaharganya disetiap tempat). Dimana partikel yang direpresentasikan oleh gelombang tsb? Kita tdk dapat menemukannya. Mungkin berada disuatutempat disepanjang sumbu x.
Untuk membuat gelombang yg merepresentasikan partikel, kita harus memodulasinya dengan menjumlahkan banyakgelombang dgn panjang gelombang dan/atau frekwensi yang berbeda. Kemudian fungsi gelombang akan mempunyaipanjang gelombang dan spatial "length" yg jelas.
y
x
3.4 Kecepatan Fasa dan Group
Group gelombang adalah superposisi dari gelombang-gelombang yg berbeda.
Gelobang berinterferensi untuk menghasilkan suatu bentukdari grup. Karena kecepatan gelombang de Broglie bervariasi thd , maing-masing gelombang bergerak dgn kecepatan berbedadgn kecepatan group.
Beiser menghitung kecepatan penjalaran, vg, dari grupsederhana yang dibuat dari dua gelombang sinus.
1 = A cos (t - kx)y
[ ]2 = A cos (+d) t - (k +dk) xyDua gelombang adalah jumlah minimal yang dibolehkan untukmembuat gelombang "paket" atau "grup."
Dengan sedikit trigonometri, dan menggunakan fakta bahwad dan dk adalah kecil dibanding dan k, Beisermenunnjukan : [ ]1 2 d dk + = 2A cos (t - kx) cos ( t - x) .y y 2 2 Gelombang dinyatakanoleh y1+y2 dibangun darigelombang dgn frekuensisudut dan bilangangelombang k, danmempunyai superposisipada suatu modulasifrekwensi d/2 danbilangan gelombang dk/2.
y1
y2
y1+y2
Kecepatan fasa gelombang menjalar adalah vp=/k, sedangkan group (modulasi) bergerak dgn kecepatanvg=(d/2)/(dk/2)=d/dk.
p
v = k g
dv =
dk
Gambar ini sedikit tak memuaskan, sebabini merupakan suatu snapshot pada suatuwaktu dari gelombang yang h bergerakpada ruang dan waktu.
Gelombang pd gb adalah y=sin(t) dan y=sin(1.2t).
[ ]1 2 d dk + = 2A cos (t - kx) cos ( t - x) .y y 2 2
-
9p
v = k g
dv =
dk
vg dapat > vp atau < vp.
Jika kecepatan fasa vp sama untuk seluruh panjanggelombang, seperti untuk cahaya dlm vacuum, makakecepatan fasa dan group adalah sama.
Tetapi apa pertalian ini dengan partikel ? Di mana dlm rumusmatematis adalah kecepatan partikel? Apakah itu adalah vg?
Apakah vg konsisten dengan ide kita tentang kecepatanpartikel?
Frekuensi sudut : 2 2
22
2 mc 2 mc = 2 f = = .h vh 1-
c
Bilangan gelombang: 2
2
2 2 mv 2 mvk = = = .
h vh 1-c
Gunakan pers. Diatas untuk menghitung
p
v = k g
dv =
dk
Hasilnya: vp=c2/v (kita sudah tahu ini) dan vg=v (kecepatanpartikel).
( )
( )( )
22
0
20 0
3/ 22 2
03/ 22 2
22 2
2 2
1 /
22 2
1 /
/
g
g
dvdk
mcf m ch h
m c m vd ddv h dv h v c
mmv dkkh dv h v c
d d dkv vdk dv dv
= = = =
= = = = =
= = =
Pertanyaan: kita sudah menunjukkan bahwa kecepatan fasagelombang dapat lebih besar dari c. Apakah ini berarti kitadapat menemukan suatu jalan untuk memancarkan informasilebih cepat dari kecepatan cahaya c?
Menurut relatifitas: kita tdk dapat mempercepat partikel atauenergi ke suatu kecepatan lebih cepat dari c. Juga, kita tdkdapat mengamati hasil dari suatu kejadian sebelum kejadianitu terjadi
Relatifitas tdk benar-benar menunjukan transmisi informasi, tetapi dalam penafsiran ini, informasi ada di dalam modulasi, yang menjalar pada suatu kecepatan yang sama dengan vg, maka kita tidak mentranmisikan informasi pada suatukecepatan lebih besar dari c
-
10
Ini adalah gambar gelombang paket yang terlihat lebihmerepresentasikanpartikel:
Gelombang grup de Broglie diidentifikasi dengan partikel ygbergerak dgn kecepatan v
Cara lain untuk menuliskan gelombang adalah y=A ej( kx -t ) . Ingat relasi Euler mengatakan ej dibentuk dari sinus dancosinus.
Coba plot gelombang ini menggunakan Mathcad atau yglainnya : (x) = exp(-x2/0.2) exp(10jx).
Coba plot vs. x. Juga perhatikan bagian real dan imajiner.
Tidak ada t pd fungsi diatas, shg tdk menjalar: Gelombangbervariasi dlm ruang tapi tdk dlm waktu. Untuk membuat diamenjalar, kita harus menambahkan ketergantungan waktu.
ossillasimodulasi
3.5 Diffraksi Partikel
Penjelasan diffraksi partikel denganmenggunakan cara klasik sangatlahsulit. Diffraksi partikel hanya dapatdijelaskan dengan mekanika kuantum.
Diffraksi adalah perilaku gelombang.
-
11
Eksperimen Davisson and Gremer
DG mengkonfirmasi perilakugelombang dari elektron yang mengalami diffraksi Bragg
Elektron Thermionik yang dihasilkan oleh hot filamendipercepat dan difokuskan ketarget pada kondisi vacuum.
Menurut mekanika klasikseharusnya elektron akandihamburkan kesegala arah
Tapi kenyataannya elektrondihamburkan pada sudut kedetektor yang dapat digerakan
Davisson dan Gremer
Bagaimana menginterpretasikan hasil dari DG?
Elektron didifraksikan oleh atom pd permukaan (yg bertindak sbggrating) logam seperti elektronberperilaku sebagai gelombang
Elektron berperilaku sebagaigelombang seperti yang dipostulatkan oleh de Broglie
Puncak yg tajamdr interferensikonstruktif antaragelombang elek-tron yg diham-burkan oleh atom yg berbeda pd permukaan kristal Elektron didifraksikan oleh atom
pd permukaan (yg bertindak sbggrating) logam seperti elektronberperilaku sebagai gelombang
Elektron berperilaku sebagaigelombang seperti yang dipostulatkan oleh de Broglie
Diffraksi konstruktif Bragg
Puncak pola diffraksi adalah orde ke 1 interferensi konstruktif : dsin = 1
dimana = 50o untuk V = 54 V
Dari eksperimen diffraksi Bragg x-ray yang dilakukan terpisah, kitamengetahui bahwa d = 2.15 A
Sehingga panjang gelombang elektronadalah = dsin = 1.65 A
1.65 A adalah hasil yg diperoleh darieksperimen dan harus dicek denganharga yang diprediksi secara teoritisoleh de Broglie
-
12
Nilai teoriti elektron
Potensial eksternal V mempercepat elektron melaluiEV=EK
Pada percobaan DG energi kinetik elektron diakselerasi keEK = 54 eV (non-relativistic)
Menurut de Broglie, panjang gelombang elektron yang deakselerasi ke EK = p2/2me = 54 eV memiliki pajanggelombang ekuivalen = h/p = h/(2Kme)-1/2 = 1.67 A
Dalam bentuk potensial eksternal , = h/(2EVme)-1/2
Prediksi Teori cocok dgn pengukuran
Hasil percobaan DG (1.65 Angstrom) hampir miripdengan perkiraan de Broglie (1.67 Angstrom)
Perilaku gelombang dari elektron secara eksperimentelah dikonfirmasi
Sebagai fakta, perilaku gelombang dari partikelmikroskopik diobservasi tdk hanya dlm elektron saja tapijuga dlm partikel lain (misalnya neutron, proton, molekule dsb)
Applikasi gelombang elektron: Mikroskop Elektron, Nobel Prize
1986 (Ernst Ruska) Panjang gelombang
elektron de Broglie dapatdiatur lewat
= h/(2EVme)-1/2
Mikroskop elektron dapatmemiliki perbesaransampai x500000 (EV 30kV) resolusi 0.1 nm
-
13
Manifestasi lainnya dari perilaku gelombangelektron
Secara eksperimental juga dapat diperoleh gambar poladiffraksi
3.6 partikel dlm Box
Sekarang kita percaya bahwa partikel memiliki perilakugelombangApa artinya perilaku gelombang dari partikel?
Apakah hanya partikel yang nyata, dan gelombang hanyasesuatu yang ditemukan fisikawan?
Apakah seperti pertama kali yang dipercaya Schrdinger bahwa gelombang itu nyata, bukan partikel?
Apakah elektron itu gelombang atau partikel?
Ini yang disebut sebagaidualitas gelombang-partikel
elektron sbgpartikel
elektron sbggelombang
Kedua-duanya ada, tapi tidaksimultan.
Pada beberapa eksperimen(atau pengamatan empirik) hanya satu aspek gelombangatau partikel saja yang dapatteramati.
Seperti coin dgn dua muka. Tapi kita hanya dapat melihatsalah satu sisinya saja padasuatu waktu
Mari kita kembali pada gelombang berdiri yang telah kitabahas didepan.
Kita medapatkan gelombang berdiri pada tali yang diikat kuatpd satu ujung karena interferensi antara gelombang datangdan gelombang pantul yang berbeda fasa 180 ketikamencapai ujung terikat.
Gelombang berdiri terdiri dari deretan pulsa tali yang bergeraknaik turun. Ketika pulsa-pulsa bersuperposisi pada fasa yang sama, maka akan kita peroleh gelombang maximum tapi jikaberbeda fasa 180 akan diperoleh minimum.
-
14
Kita hanya dapat melihat gelombangberdiri pada kecepatan dan panjanggelombang tertentu.
Pada box dgn panjang L diatas, keberadaan partikeldirepresentasikan oleh gelombang. Gelombang partikelbergerak dengan partikel dan akan dipantulkan ketikamencapai dinding box.
Misalnya gelombang berdiri padapartikel di dalam box sebelah ini.
Jika box cukup kecil (dibandingkan dgn panjang gelombangpartikel), gelombang partikel terlipat dan terlipat lagi" setiapdipantulkan dinding.
Segmen gelombang partikel dan pantulannya akanberinterferensi. Jika interferensinya konstruktif, maka partikeldapat berada didalam box, jika destruktif maka partikel tdkdapat eksis didalam box.
visualisai
Interferensi konstruktif terjadi bilapanjang box adalah kelipatan integer dari panjang gelombang darigelombang partikel (L=n/2), sehinggapanjang gelombang Broglie dari partikelyang terkrung adalah :
n2L = , n = 1,2,3...n
Karena KE = mv2/2 dan = h/mv, batasan pada jugamerupakan batasan pada energi partikel yg diijinkan:
2 2
n 2
n hE = , n = 1,2,3...
8mL
Energi yg diijinkan ini disebut tingkat energi dan n disebutsebagai bilangan kuantum.
n2L = , n = 1,2,3...n
2 2
n 2
n hE = , n = 1,2,3...
8mL
Pikirkan box sebagai sumur potensial, dimana didlmnya terdapat partikel.
partikel bebas, diluar box, dapat memilikisembarang energi dan panjanggelombang.
Jika kita simpan partikel dlm box, hanya panjang gelombangdan energi tertentu yang diijinkan (0 tdk termasuk energi yd diijinkan). Kita harus mengurangkan atau menambahkanenergi untuk dapat meletakan partikel bebas kedalam box.
-
15
10 gram marble dlm 10 cm box : 2 2
n 2
n hE =
8mL
( )( )( )
22 -34
n 2-3 -1
n 6.6310E =
8 1010 10
-64 2nE = 5.510 n Joules
energi dan kecepatan minimum tdk sama dgn 0, dan marble pd kecepatan tertentu memilki bilangan kuantum pada orde1030. Dengan kata lain, kita tdk dapat merasakan perilakukuantum marble dalam box.
CONTOH
elektron dlm 0.1 nm (10-10 m) (ukuran atom) box :
2 2
n 2
n hE =
8mL
( )( )( )
22 -34
n 2-31 -10
n 6.6310E =
8 9.1110 10
-18 2 2nE = 6.010 n Joules = 38 n eV
energi minimum adalah 38 eV, cukup signifikan, dan tingkatenergi cukup terpisah shg dapat terukur.
3.7 prinsip ketidak pastian I penurunanberdasarkan sifat gelombang partikel
Misalkan partikel dinyatakan dgngrup gelombang disamping ini.
Dimana partikel?Berapa panjang gelombangnya?
Karena itu ada ketidak pastian yang besar pada momentum partikel (ingat-panjang gelombang dan momentum salingberhubungan).
Posisi dapat didefinisikan dgnbaik, tapi panjang gelombangtdk terdefinisi dengan baik.
Sekarang partikel dinyatakandgn grup gelombang disampingini.
panjang gelombang kelihatannya lebih terdefinisi dibandingposisi partikel. Ada ada ketidak pastian yang besar padaposisi partikels.
Untuk mengetahui kuantitas ketidak pastian dalam posisi danmomentum group gelombang, kita perlu melihat lebih detail pada transformasi Fourier dan representasi group gelombangdgn menjumlahkan masing-masing gelombang.
Dimana partikel?
Berapa panjang gelombangnya?
-
16
grup gelombang dibentuk oleh penjumlahan banyakgelombang yang berbeda dan k-nya sebesar dank (atau ekuivalen dgn )
x k = 2/, maka k/k = /
A1, k1
A4, k4
A3, k3
A2, k2
.
.
.
Hubungan ketidak pastian pada gelombang klasik
Paket gelombang harus menuruti prinsip hubungan ketidakpastian untuk gelombang klasik (yg diturunkan secaramatematis dgn beberapa pendekatan)
2~
2
~>> xkx 1 t
Akan tetapi perlakuan matematis yg lebih kaku (tanpapendekatan) memberikan relasi yg eksak
2/14
2
xkx 4
1 t
Untuk menjelaskan partikel dgn gelombang paket yang beradapd daerah sempit x memerlukan rentang bilangan gelombangyang besar, yaitu k besar. Kebalikannya, rentang sempitbilangan gelombang tidak dapat menghasilkan paketgelombang pada lokasi jarak yang sempit.
gelombang partikel harus mengikuti relasiketidak pastian yg sama
Untuk gelombang partikel, dimana momentum (energi) danpanjang gelombang (frekuensi) dihubungkan oleh p = h/(E = h), hubungan ketidak pastian gelombang klasik diterjemahkan menjadi
2h xpx 2
h tE
Buktikan sendiri (hint: mulai dr p = h/, p/p = /)
2/h=hdimana
Hubungan Ketidakpastian Heisenberg
2h xpx 2
h tE Perkalian ketidakpastian
momentum (energi) dan posisi(waktu) sedikitnya sebesarkonstanta Planck
-
17
Apa artinya Penetapan batas terendah mungkin ada pada
ketidak-pastian dalam mengetahui nilai-nilai pxdan x, tidak peduli bagaimana baiknya suatueksperimen dilakukan.
Adalah mustahil untuk menetapkan secaraserempak dan dengan ketepatan yang tanpabatas momentum linear dan posisi suatu partikelyang bersesuaian.
2h xp x Apa artinya
Jika suatu sistem ada dalam keadaan energi E pada suatu periode terbatas t, maka energi iniadalah tidak-pasti dengan ketidakpastiansedikitnya sejumlah h/(4t)
oleh karena itu, energi suatu objek atau sistemdapat diukur dengan ketepatan tanpa batas( E=0) hanya jika objek sistem ada pada suatuwaktu tak batas (t)
2h tE
Variabel Konjugat
{px,x}, {E,t} adalah konjugatvariables
Konjugat variabel pada prinsipnyatidak bisa diukur (atau diketahui) dengan ketepatan tanpa batassecara serempak
CONTOH
SOLUSI v = 5.00 103 m/s; (v)/v = 0.003% Dart definisi, p = mev = 4.56 x 10-27 Ns; p = 0.003% x p = 1.37x10-27 Ns maka, x h/4p = 0.38 nm
x
p = (4.561.37)10-27 Nsx = 0.38 nm
0
x
Kecepatan elektron diukur dengan tingkat akurasi 0.003%. Memiliki harga 5.00 x 103 m/s Cari ketidakpastian pada posisielektron
-
18
CONTOH SOAL
Solusi E = mc2 = 140 MeV, = 26 ns. E h/4 = 2.0310-27J
= 1.2710-14 MeV; E/E = 1.2710-14 MeV/140 MeV = 910-17
Sekarangkita melihat
Sekarang??
eksis untuk = 26 nsE E
Muatan meson memiliki energi diam 140 MeV danlifetime 26 ns. Hitung ketidak pastian energi meson, dalam MeV dan juga sbg fungsi energi diamnya
Contoh : estimasi efek quantum pada partikel macroskopik
SolusiUntuk x ~ 1 m, we havep h/4x = 5.3x10-35 Ns,
Shg v = (p)/m 5.3x10-34 m/s v = 5.3x10-34 m/s (sangat kecil) adalah kecepatan bola
billard setiap saat yg disebabkan oleh efek kuantum Dalam teori kuantum, tdk ada partikel yg secara absolut
benar-benar diam akibat dari prinsip ketidak pastian
panjang1 m meja billard
100 g bola billardukuran ~ 2 cm
v = 5.3 x 10-34 m/s
Estimasi ketidakpastian kecepatan minimum dari bola billard(m ~ 100 g) yg terkurung pd meja billard ukuran 1 m
partikel yang berada pd daerah tertebatas harusmemiliki minimal EK
Salah konsekuensi yang daramatis dari prinsipketidak pastian adalah partikel yang diletakan padasuatu region yg kecil dgn lebar tertentu tidak dapatsecara eksak pada keadaan diam.
Kenapa ???, karena .
Jika dia betul-betul diam, momentumnya harussecara pasti = 0, artinya p = 0, yang menyalahiprinsip ketidakpastian.
Berapa EKave partikel dlm box karena prinsipketidak pastian?
( )2
2
~
2
~ave
2
ave 822 mamp
mpEK h>>
=
pp ||
Kita dapat mengestimasi minimal EK partikel yg berada dlmbox
prinsip ketidakpastian mensyaratkan p (h/4 a)
maka, besarnya p, secara rata-rata, harus sedikitnya samadengan pShg EK, harus rata-rata berada disekitar
-
19
Zero-point energy
( )2
2
~
2
~
2
ave 822 mamp
mpEK
av
h>>
=
Ini adalah zero-point energy, energi kinetik minimal yang mungkin dimiliki partikel kuantum yg berada pada daerahselebar a
Kita akan menurunkan persamaan diatas secara formal ketika membahas persamaan Schrodinger untukpartikel dalam box.
a
Solusi :
( )25
; ;2
2
1.32 10 m2 4
p x p mv
mv x m v x
hxm v m v
=
=
= =
h
h
h
Misalkan Vx dari benda bermasa 2x10-4 kg diukur denganakurasi10-6m/s. Berapa batas akurasi dimana kita dapatmeletakan partikel sepanjang sumbu x?
LATIHAN SOAL
JAWAB: A
Assumsikan bahwa ketidak pastian dlm posisi partikelsama dengan panjang gelombang de Broglie. Berapaminimal ketidak pastian kecepatan, vx?
A. vx/4p B. vx/2p C. vx/8pD. vx E. vx/p
Example 3.6
Pada pengukuran posisi proton dengan akurasi 1.00x10-11 m.Cari ketidak pastian pd posisi proton 1s kemudian. Assumsikan v
-
20
t detik kemudian, ketidak pastian posisi x2 adalah
2 x1
t x = t v2m x
h
( ) ( )( ) ( )
-34
2 -27 -11
1 1.05410x
2 1.6710 1.0010
32x 3.1510 m , or 1.96 miles.
proton tdk menyebar, krn pasti ada disuatu tempat, tapi gelombangnyapasti menyebar
Contoh 3.7
Typical inti atom memiliki radius 5x10-15 m. Gunakan prinsipketidak pastian untuk mencari batas terendah energy yg harusdimiliki elektron jika dia harus menjadi bagian dari inti atom.
Soal menanyakan tentang energi elektron yg diletakan padadaerah ber-radius 5x1015 m. Maka langkah awal kita adalah
.Et 2
h
Bukan!
Kita hanya punya informasi tentang x elektron. Yaitu x = 2x5x10-15 m. Shg kita harus menggunakan
.xxp 2 h xp 2 x
h
Jika kita setuju bahwa
, hx,min xp = p 2 xMaka momentum elektron minimum adalah
.xp = 2 xh
Secara klasik, EK = p2 / 2m, sehingga
( )( ) = .
h
h2
2 2x
2
p 2 xEK = = 2m 2m 8 m x
x
( ) .h2
2EK = 8 m x
Sehingga minimum energi (kinetik) elektron adalah
( )( ) ( ) ( )
2-34
2-31 -15
1.05510EK = .
8 9.1110 1010
-11EK = 1.5310 joules .
-
21
EK=1.53x10-11 joules. Ada komentar?
Seberapa besar energi ini untuk elektron?
1.53x10-11 joules x 1 eV / (1.6x10-19 joules) = 9.55x107 eV.
9.55x107 eV = 95.5 MeV.
Energi elektron diam = 0.511 MeV/c2.
( ) 22 2 2 2E = mc +p c .KE = p2 / 2m
Untuk energi dan kecepatan yg secara ekstrim besar,pc >> mc2 sehingga
( ) 22 2 2 2E = mc +p c 0
cE =
2 xh
( ) ( )( )
-34 8
-14
1.05510 310E =
2 110
-12E = 1.5810 joules = 9.89 MeV
Untuk energi yang cukup besar, Epc.
p
Example 3.9
Atom yang tereksitasi memberikan kembali kelebihanenerginya dengan cara mengemisikan photon. Periode wakturata-rata antara eksitasi atom dan emisi photon adalah 10-8 s. Cari ketidak pastian frekuensi photon.
Kita punya waktu, yg dicari f, tapi E dan f memiliki relasi, shg
E = hf E = hf
hEt 4
h
h f t 4
1f
4 t
( ) -81f
4 10
6f 7.9610 HzJika kita mengukur intensitas vs. frekuensi cahaya yang diemisikan oleh atom ini, spektrum akan memiliki sedikitnyaintrinsic linewidth seperti dibawah ini.
Applikasi: Biasanya diinginkan garis laser yang sangat tajam, yaitu laser hanyamemiliki satu warna. Lebar spektrum laser ditentukan oleh disain laser. Tapi sepandai-pandainya kita mendisain tidak akan pernahdapat lebih sempit dari yang ditentukan olehprinsip ketidak pastian.
frequency
i
n
t
e
n
s
i
t
y
