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第6章 真直はりの曲げ応力
6.1 はりの曲げ応力
はりがせん断力を受けない条件は,
0dx
dM
(6.1)
である。この条件を満たすはりは,図
6.1 のように支点から対象に荷重を加
えればよく,単純曲げ(pure bending)
はりという。
☆C-D 間で曲げモーメント xM
は一定,せん断力 0xF
☆中立面(neutral surface):
曲げモーメントを受けても,伸びも
縮みもしない面。 図 6.1 単純曲げはり
☆中立軸(neutral axis):中立面とその垂直横断面との交わる線( z 軸)
6.1.1 はりの曲げひずみと曲率半径 r の関係
図 6.2 に示すように,中立面 00nm から距離 y 離れた円弧 11nm に生じる x 方向
図 6.2 単純曲げはりのモーメントとひずみの関係
○○
P Paa
SFD
BMD
A B
C D
(+)
(-)
X
X
x
b
h
y
z
m n
m0n0
m' n'
m' n'
m0
n0
m ny
dydA
dθ
r
y
n1m1
M M
y
z
y
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ひずみ x は
x =r
y
rd
rddyr
nm
nmnm
)(
00
0011 (6.2)
材料のポアソン比を とすれば, z 方向のひずみ z は式(6.2)から
r
yxz (6.3)
☆真直はりの曲げ応力 x について
フックの法則から曲げ応力 x は
rEyE xx (6.4)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Q1:下記の式(6.4)を使って zy, 断面における応力分布 x を図示せよ。
rEyE xx (6.4)
Q2:式(6.4)から応力 x は曲率半径 r ,ヤング率 E ,はりの中立軸からの距
離 y に対してどのようになるか理解できたか。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
ここで,図 6.3 に示すはりの上面 2ey およびはりの下面 1ey の応力は,式
(6.4)からそれぞれつぎのようになる。
r
Eeeyx
22
;
r
Eeeyx
11 (6.5)
図 6.3 単純はりの応力分布
上面圧縮
下面引張 微小面積bdydA
rEe /2
h2e
dy
z
b
M
y
x
M
1e
rEe /1
y
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したがって,真直はりにかかる曲げモーメントM によってはりの上面は圧縮応
力,下面は引張応力を受けることがわかる。
さて,このはりには, x 方向に力が働いていない(外力=0)から, x 方向の応
力 x をはりの zy, 断面内で積分した値は0となるはずである。したがって,
AA
Ax ydA
r
EdA
r
EydA 0 (6.6)
ところで,中立軸に関するモーメントの総和は,(モーメント=力×距離=応力
×面積×距離)曲げモーメントM に等しいはずであるから,
Mr
EIdAy
r
E Z
A
2 (6.7)
ここで, zI は次式で定義される断面2次モーメントを意味し,その単位は 4m で
ある。
A
dAyIz 2 (6.8)
断面2次モーメント:(moment of inertia of area)
zI : 4m
さらに,式(6.7)を書き換えれば,曲げモーメントとはりの曲
率半径の関係は次式のようになる。
zEI
M
r
1 (6.9)
式(6.9)から constM の時, zEI が大きいほど曲率 r1 は小さくなり,はりは
曲がりにくくなる。そこで, zEI を,
zEI :曲げこわさまたは曲げ剛性(flexural rigidity)という。
さて,式(6.9)を式(6.5)に代入して整理すれば,応力 x は
zz
xI
Ey
EI
MEy
r
Ey (6.10)
となる。
☆最小圧縮応力 min と最大引張応力 max
1
1max
2
2min ,
Z
M
I
Me
Z
M
I
Me
zz
(6.11)
断面2次モーメント
の単位はm4だよ
一定のモーメント M に対し
ては断面係数Zが大きいほど
曲げ応力は小さくなる。
Iz が大きいほ
ど材料は曲が
りにくい。
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ここで,式(6.11)に現れる 1Z または 2Z を断面係数とよび,断面係数はそれぞ
れ次式で定義される。
1
1e
IZ z ;
2
2e
IZ z (6.12)
☆ Z :断面係数(section modulus)の定義
e
IZ Z
までの距離はり材料の図心から端
断面2次モーメント断面係数 (6.13)
6.2 各種物体の重心または図心
ここで,少しはりの曲げ問題からはなれて,図形の重心(図心)や慣性に関係す
る断面1次モーメントおよび断面2次モーメントについて学習しておこう。
6.2.1 重心の定義
最初に,3次元の任意物体
における重心位置を求めるた
め,重心の定義を行う。そこ
で,図 6.4 に示すような任意の
3次元物体の重心位置を定義
することから始める。この場
合,3次元座標系 zyx ,, にお
け る 物 体 の 各 重 心 位 置
GGG zyx ,, は,重力の作用方向
を z と決めて,つぎの定義式
(6.14)から求められる。 図 6.4 3 次元任意物体の重心
m
G xdmm
x1
; m
G ydmm
y1
; m
G zdmm
z1
(6.14)
ここで,式(6.14)における記号m は 3 次元任意物体の全質量で,
vm
dVdmm (6.15)
から求められる。なお,式(6.15)の記号 は密度,V は体積を意味する。
6.2.2 重心,図心および断面1次モーメントの求め方
式(6.14),(6.15)から明らかにしたように,3 次元物体の重心位置 GGG zyx ,,
は,直交座標空間 zyx ,, に物体がどのように質量を分布させているかに依存す
z
x
),,( GGG zyx
y
全質量
密度
全体積
m
V
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る。すなわち,物体の形,物体の幅,奥行き,長さに加えて,物体の密度の場
所的な変化などで重心位置が決まる。そこで,この節以降では,物体の密度 が
一定であることを前提として以下,重心の求め方を説明する。
図 6.5 3 次元物体の重心(重力方向厚さ一定)
まず最初に,図 6.5 に示すように,物体の密度 が一定で,物体の形状が yx,
平面に限定され,重力 z 方向の厚さW が一定場合を考え,この重心位置につい
て,一例として yx, 方向の重心 GG yx , を求める。すなわち,式(6.14)
m
G xdmm
x1
, vm
VdVdmm (6.14)
において,物体全体の質量m は,全体の体積V に密度 をかければよく,重力 z
方向の高さW が一定な場合には,質量m はつぎのようになる。
WAdAWdVdmmv Am
, dxxWbWdAdVdm )(
ここで,微小面積 dAは図 6.6(a)に示されるように, dxxbdA )( で求められる。
重心の定義式(6.14)へこれらの関係を代入すれば,結局,
AAm
G xdAA
WxdAWA
xdmm
x111
(6.15)
同様にして y 方向の重心位置 Gy は
AAm
G ydAA
WydAWA
ydmm
y111
(6.16)
このようにして,式(6.15)または式(6.17)に現れるつぎの物理量を断面 1
dxxWbdVdm )( x dx
GGG zyx ,,
Gx
W
z y
xGy
密度
幅
一定
一定W
Vm
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次モーメントと名づけ,任意の x 軸または y 軸について,次式で定義される。
AA
x dyyybydAJ )( , AA
y dxxxbxdAJ )( (6.18)
y
x
y図全面積A
y
x図全面積A
x dxdy
)(yb
)(xbdyybdA )(
dxxbdA )(
図 6.6(a)断面 1 次モーメント
密度が変化しない任意の 3次元物体の場合,その重心位置は,平面的な図形中
心と一致し,次のように求められる。
A
G xdAA
x1
; A
G ydAA
y1
; A
G zdAA
z1
(6.19)
このように,式(6.19)に示される面積の 1次モーメント,すなわち ydAxdA, の
積分形で求めた任意図形の中心位置を図心と呼ぶ。
つぎに,図 6.6(b)の左側に示す座標系 ),( yx における任意の図形 A の重心
GG yx , を,右側に示す新しい座標系 ),( YX においては, )0,0(),( GG yx の原点
として,
図 6.6(b) 重心と座標軸平行移動
座標系 ),( YX におけるつぎの断面1次モーメント XJ および YJ 考える。すると,
0 A GX AYYdAJ : 0 GA
Y AXXdAJ (6.20)
y
x図全面積A
重心
y
x図全面積A
重心(0,0)
Y
X GG yx ,
Gxx
Gyy
,Gxx
Gyy
0GY
0GX
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である。つまり,座標軸が重心を通るとき,その軸まわりの断面1次モーメン
ト XJ , YJ は当然のことながら0となる。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.2.2 重心の演習問題
1.図 6.7 に示すように,奥行きz方
向の幅 W=一定で,x 方向に板厚
が t=to+ax と直線的に厚くなり,
x=Lで板厚が t=4toとなる台形板
の重心xGを求めよ。ただし a は
板厚の y 方向増加率。to はx=0
における y 方向板厚。
図 6.7 台形板の重心
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.2.3 各種物体の重心
この節では,重心の定義式(6.15)または(6.19)を使い,いくつかの各種物体に
ついて重心を求めてみる。
(1)線要素(丸棒)
最初に,図 6.8(1)に示すような極めて細い線の重心を求める。この場合は
式(6.22)に結論を示すように,単に線の長
さに関する積分で求められる。
L
G xdxL
x0
1 (6.21)
証明:線の直径を d ,全長を Lとし,密度
(一定)と仮定する。微少線要素 dxの質量
dmは密度をおよび全質量m は
dxd
dm
4
2
;4
2 Ldm
(6.22)
である。この関係を重心の定義式(1.4)へ代
入すれば,
LL
G
xdxd
Ldxdm
mx
0
2
0 2 4
4
11
2
10
Lxdx
L
L
(6.23)
という,自明の結論が得られる。 図 6.8 線要素の重心
x dx
奥行きw=一定
L
0tt
04 tt y
x
0taxt
微小質量dm
(2)細長い円弧の線
αr
dθ
θ
dL
cosr
x
y
2sin
2
rxG
(1)細長い線の丸棒
d
dxx
L
x
2LxG
42dxddm
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(2)線要素(円弧)
つぎに,図 6.8(2)に示す円弧線の場合は重心を求めるのに, ,r 座標で計
算した方がより簡単で,分かりやすい。すなわち, rddL ; cosrx である
ことに注意して,線要素積分公式(6.21)を適用すれば,
2
2
2
2
cos11
rdrr
xdLL
xG
2
2
sin
r (6.24)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
☆6.2.3 細い円弧線の重心の演習問題
1.図 6.8(2)に示された細い線で作られた円弧の角度がα=180°のとき
その重心 Gx はいくらとなるか。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
(3)平面板要素・円盤・円錐体・半球の重心
ア)直角定規(スコヤ)の重心
つぎに,板厚が一定な直角定規の重心を求めよう。この場合は,重心の定義に
忠実に積分すれば求められるが,図 6.9 に示すように,直角定規を構成する個々
の要素面積 1A ,面積 2A とその要素の重心が分かっているから,モーメントの釣
り合いの考え方を使えば簡単に重心が求められる。すなわち,
☆重要:全体の面積モーメント=個々の面積モーメントの和 (6.25)
を使う。定規の図形に注目して x方向
の重心位置 Gx は,式(6.26)を使って,
221121 AxAxAAx GGG (6.26)
同様に y 方向の重心位置 Gy は
221121 AyAyAAy GGG
で求められる。
各図形要素の面積 1A および 2A とそ
の各要素の重心座標を代入して,
21
22
111
22
AA
Ab
bAb
xG
(6.27)
図 6.9 直角スコヤ
面積
面積
スコヤ重心
22
11 h,
b重心1
重心2
22
221
h,
bb
111 bhA
222 bhA
x
x GG yx ,
Gy
Gx
1A
2A
L
1b
1h
y
2h
2b
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21
2211
22
AA
AhAh
yG
21
2211
2 AA
AhAh
(6.28)
イ)直角3角定規の重心
続いて,図 6.10 に示す厚さ一定の直角3角定規の重心を求めてみよう。この
場合は,重心の定義に忠実に実行すればよい。一例として y 方向の重心 Gy を求
めてみよう。y 方向の重心 Gy は式(6.19)において,板厚と密度が一定であれば,
AAm
G ydAA
WydAWA
ydmm
y111
で求められる。ここで直角3角形の面積 Aは, 2/bhA で与えられる。
さて,面積モーメント A ydAを求
める際に,横幅 )(yb は,図 6.10 に
示した3角形の相似に注目して
)(:)(: ybyhbh
∴
h
yhbyb
)( (6.29)
で,面積 hdyyhbdyybdA )()(
であるから,したがって,
dy
h
yhyb
AydA
AA
Jy
h
A
xG
0
11
h33
y-
2
hy
h
b
bh
h
0
12 32
=
(6.30)
同様にして, Gx は, 図 6.10 3 角板の重心
3bxG= (6.31)
となる。
ウ)半円板の重心
つぎに,図 6.11 に示す板厚一定の半円板の重心を求めてみる。図において,
微小扇形の面積 dAは,微小扇を三角形と近似して,
重心
x
b
)(yb
dyybdA )(
dy
y
)( yh
h
dxx
y
),( GG yx
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dr2
1rdrdA 2
2
1
で与えられるから,重心 Gx は,
dr2
rr
xdAA
xA
G
22
2
2
1cos
3
221
3
4rsin
r6
r2
2-
2
34 (6.32)
図 6.11 半円板の重心
エ) 円錐体の重心
続いて,図 6.12 に示される底面半径が R で,高さが h である円錐体の重心を
求めてみよう。まず,円錐体の全体積V および微小な幅 dxの円板の体積dV は,
それぞれ,
図 6.12 円錐体の重心
hRV 2
3
1 ; dxrdV 2 (6.33)
さらに,円錐体の図形の相似に注目して, h:xR:r より hRxr となる。
ゆえに,微小体積は dxxh
RdV 2
2
2 で表され,したがって,円錐体の重心は,
dxxh
R
hRxdV
Vx
hh
G
3
0 2
2
0 2
31
円弧の長さ
微少扇面積の図心
cos3
2rx y
微少扇形の面積
drdA 2
2
1
rd
d
x
r
円錐体の全体積V
微小体積dV
r
h
dxx
x
R
dxrdV 2
r
hRV 2
3
1
微小質量dm
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hx
hdxx
hR
Rh
h
4
3
4
33
0
4
30
3
32
2
(6.34)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.2.3 各種物体の重心の演習問題
1.図 6.12 に示したような密度一定で,軸対称な 3 次元物体の重心が体積モー
メント xdV を使って, h
G xdVV
x0
1で求められることを証明せよ。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
オ)半球の重心(重心)
最後に,図 6.13 に示す半球の重心を求めよう。この問題はつぎの演習に取り
組み,自分で理解を深めることとし,結論のみを以下に示す。
83rxG (6.35)
☆半球の重心と解答
図 6.13 に示した半球の重心を求めよ。
1)半球の全体積Vは?
32 3rV
2)体積要素の重心の定義から,
dxyxr
xdVV
xVV
G 2
32
31
ここで, drdsdx sinsin で与えられる
から
drrrr
xG sinsincos2
32
2
03
dsincosrr
32
0
4
32
3
dsincosr 2
0
3
2
3 (6.36) 図 6.13 半球の重心
ここで, tsin とおくと, dtd cos となるから,式(6.36)は,つぎのように
積分され,式(6.35)の結論を証明することができた。
8
3
42
3
2
31
0
41
0
3 rtrdtt
rxG
(6.37)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
第 6 章 2 節 重心の総合演習問題
円弧長
微小要素の体積
半径r
x
d
r
dx
sinry
rdds
y
cosrx
dxydV 2
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1.複合要素,線
図 6.14 に示す複
数の線要素からな
る物体の重心を求
めよ。ただし,細線
で作られた円弧の
重心は既に式(6.25)
で求めたように既
知で /2r が使える
ものとする。 図 6.14 線の複合物体の重心
2.複合要素,平板
図 6.15 に示す3角板と孔ありの長方形板から構成される,板厚一定の平板の
重心を求めよ。
30 20 30
90
4020
x
y
図 6.15 3角板と長方形板から構成される物体の重心
3.複合要素,体積
図 6.16に示す円錐体,円柱および半球から構成される物体の重心を求めよ。
また,特殊な例として hrba の場合の重心 GX はいくらになるか。
y
x
y
a
b
c
d a
r=b
c
x
d
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y
x
ba
直径d
半径r
円錐
円柱 半球円錐
図 6.16 体積物体の重心
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.3 断面2次モーメントについて
この節のの学習目的は
1)断面 2 次モーメントの理解
2)断面係数 Z の理解
である。
6.3.1 長方形断面形状のはりにおける断面2次モーメント
(parallel axis theorem)
まず,図 6.17 に示す長方形断面のはりにおける断面2次モーメントの求め方
を説明しよう。重心G を通る yx, 座標系において, x 軸まわりの断面2次モー
図 6.17 長方形断面形状のはりの断面2次モーメント
bdydA
Gh
b
x
dy
y
XGIX
d
G
yGI
Y
x
hdxdA
b
d
h
x
yy
yGI
xGI
dx
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メント xGI および y 軸まわりの断面2次モーメント yGI は
AGx dAyI 2 ; AyG dAxI 2 (6.38)
で求められる。ちなみに,図 6.17 左側において,重心 G を通る軸まわりの断面
2次モーメントはつぎのようになる。
122
3
2
0
22 bhbdyydAyI
h
AGx (6.39)
一方,図 6.18 右側に示されるように,重心から距離 d 離れた任意の軸 X まわ
りの断面2次モーメント XI は,
AX dAYI 2 (6.40)
ここで,距離 dyY で与えられるから,これを式(6.40)に代入して,
AA
2
AAAX dAddAyddAydAdydAYI 22
22
AdI 2
xG (6.41)
となる。ここで,式(6.41)第2項すなわち A ydAd2 は重心を通る断面1次モーメ
ントであり,この値は0である。式(6.42)を平行軸の定理という。
図 6.18 平行軸の定理
6.3.2 平行軸の定理のまとめ
前節で示したように,任意の X 軸周りの断面2次モーメント XI は,その重心
を通る2次モーメント xGI に軸と重心との距離 d の2乗に図形面積 A をかけた
2
h
2
h
bdydA
Gh
b
x
dy
y
y
xGI
2
h
2
h
d
b
h
Y,y
G
x
X
Y
y
bdydA
dy
XI
xGI
Page 15
- 15 -
和となる。すなわち,これを平行軸の定理とよび,次式で表わされる。
AdII xGX
2 または AdII XxG
2 (6.42)
同様にして, AdII yGY
2' または AdII YyG
2 (6.43)
6.3.3 平行軸の定理の応用
(1)3角形断面のはり
図 6.19 に示す3角形状断面はりにおいて,まず底辺 AB に平行で,重心をG
通る断面2次モーメント xGI は,平行軸の定理,式(6.42),(6.43)から
AdII xxG
2
で与えられる。3角はりの場合,重心と底辺までの距離は 3hd ,三角形の面
積はは 2bhA である。さて,底辺x軸まわりの断面 2 次モーメント xI は
dyydAyIA
h
x 0
22
である。このままでは,x
I を計算で
きないので,先ず,3角形断面はり
の相似に注目する。すると,任意位
置 yy における幅は
:)(: yhbh より
hyhb )( ,したがって,
dyh
yhbydyydAyI
h
A
h
x
0
2
0
22 )(
h
bhbhdyy
h
bdyyb
hh
43
43
0
3
0
2 図 6.19 3角断面はり
1212
34 333 bhbhbh
(6.44)
平行軸の定理から重心G まわり断面2次モーメントは式(6.39 から,
36
bhbhh
12
bhAdII
332
xGx 29
2
(6.45)
となる。
h
A B
C
(h-d)η
b
h-y
y
dy
dA=η dy
IxG
IX
y
x
x
hd3
1
重心G
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- 16 -
(2)円形断面(丸棒)のはり
この場合のように断面形状が円
形の場合は,図 6.20 に示すように,
円筒座標 ,r の断面2次モーメント
を求めた方が計算は簡単になる。つ
まり,任意点 y における幅 )y(b は
cos2)( ryb であり,またその位
置における微少面積 dAは,図に示
さ れ る よ う に ,
dyrdyybdA cos2)( となる。さ
らに sinry を考慮して微分すれ
ば,
cosrd
dy ;
∴ drdy cos 図 6.20 丸棒の断面 2 次モーメント
となる。以上で前準備備が出来たので xGI を求めると,
drdrrrdAyIA
xG 2
0
22422
0
2 cossin4coscos2sin2 (6.46)
ここで,式(6.46)において,
212
12 cossin ; 212
12 coscos より,
2cos14
1cossin 222 4cos1
8
14cos1
2
11
4
1
であり,さらに,半径は 2dr に注意して
dd
I xG 4cos18
1
24 2
0
4
2
0
4
4sin4
1
32
d
640
232
44 dd
(6.47)
となる。
(3)H 型鋼の断面2次モーメント
この場合は,H 形鋼を図 6.21 に示すように,面積 bhA 0 の長方形板材から2
y=rsinθ
θ
dy
b(y)=2rcosθ
dA=b(y)dy =2rcosθ dy
x
y
半径r直径d
xGI
yGI
G
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- 17 -
個の面積,1
1
12
2 hbb
A
の板材を
引いたものと考える。すなわち,重
心をとおる x 軸まわりの断面2次モ
ーメントは, dAyIA
xG 2 で,
dAydAyAA
10
22 2
12
22
12
3
11
3 hbbbh
1212
3
11
3 hbbbh (6.48)
図 6.21 H 形鋼の 2 次モーメント
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
☆断面 2 次モーメントおよび断面係数(演習問題)
1. 図6.21に示すH形鋼の断面2次モーメントおよび断面係数 Z はいくらか?
2.図 6.21 に示す H 形鋼の底辺( x)まわりの断面2次モーメントを平行軸の
定理を使って求めよ。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.4 極断面2次モーメメント PI の紹介
6.3.3 節の例題(2)で求めた円形断
面のように軸対称物体の断面2次モー
メントは以下に解説する極断面2次モ
ーメメント PI を用いたほうが容易に求
められることがある。すなわち, PI は図
6.22 に示すように, yx, 平面上の点と
原点までの距離を r として,次式で定義
される。 図 6.22 極断面2次モーメント
yGxGAA
P IIdAyxdArI 222 (6.49)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
☆極断面 2 次モーメントの演習例題
(1)図 6.23 に示した円形の断面2次モーメントを極断面2次モーメントの PI
の定義式(6.49)から求めなさい。
= -
H形鋼の全面積A
面積A 面積A02(面積A1)
xI
xGI
2h
1h
1b
h
by
x
x
2h
xGI xGI xGI
G
x
y
z
r
点(x,y)
面積dA
PI
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- 18 -
解答:図 6.22 に示すように,半径 r 方向に
微小面積 dAをとれば, rdrdA 2 であり,
さらに PI は,
yGxGAA
P IIdAyxdArI 222
で,この場合,軸対称であるので
エラー! ブックマークが定義されていま
せ ん 。 (6.50)
であることに注意すれば,
2
0
22 22
1
2
12/
d
APxG rdrrdArII
6442
2 42
4 drd
o
(6.51) 図 6.23 円形断面
となり,すでに求められている式(6.47)
の結果がこのように比較的簡単に求
められる。
(2)孔抜き丸棒断面のはり
図 6.24 に示す丸棒(円板)から長方形を切
り出した時の断面2次モーメントを求める。
(いわゆる,銭方平次の6文銭)
dAydAydAyIAAAxG
10
222
)(1264
434
mbhd
(6.52)
図 6.24 穴抜き円形板
6.5 その他の形状の断面2次モーメントの
計算法(演習問題)
1.図 6.25 に示される孔抜き3角板と長方形板から構成される物体の x 軸(底
辺),すなわち,底辺まわりの断面2次モーメントを,以下の設問手順にした
がって求めよう。
Q1;合成板材の全面積 Aはいくらか?
r
直径d
x
y
drxG
I
yGI
G
x
y
直径d
IxG
=
IxG
-
IxG
b
h
面積A 面積A0
面積A1
yGI
xGI
= -
0A
1A
Page 19
- 19 -
Q2;板材の底辺 x軸から測った,
1)板材の重心座標はいくらか?
2)3角板の重心座標は底辺からい
くらか?
3)穴抜き円板の重心座標はいくら
か?
平行軸の定理, AdII xGx
2
を使って,
4)板材の x軸からの断面 2 次モー
メント1x
I はいくらか?
5)3角板の x軸からの断面2次モ
ーメント2x
I はいくらか?
6)穴抜き円板の x軸からの断面2
次モーメント3x
I はいくらか? 図 6.25 三角・四角板と穴抜き円
7)以上の結果を使って, xI を求めよ。
8)この図形の重心座標G
y はいくらか?
3.図 6.26 示すような家の側面図を書いてみました。このような窓付き板材の
x軸まわりの断面2次モーメントを以下の設問手順にしたがって求めよう。
Q1;合成板材の全面積 Aはいくらか?
Q2;底辺 x軸から測った,
1)板材の重心座標はいくらか?
2)三角板の重心座標はい くらか?
3)穴抜き円板の重心座標はいくらか?
さて,平行軸の定理, AdII xGx
2 を使って,
4)板材の x軸からの断面 2 次モーメント1x
I はいくらか?
b
h1
h2
Dh3
x
yyGI
Ix=
-
+Ix
Ix Ix
面積A 面積A1 面積A2 面積A3
xI
1A
3A
2A
Page 20
- 20 -
5)三角板の x軸からの断面2次モ
ーメント2x
I はいくらか?
6)穴抜き円板の x軸からの断面2
次モーメント3x
I はいくらか?
7)穴抜き 2 枚の板材の x軸からの
2次モーメント4xI はいくらか?
8)以上の結果を使って, xI を求め
よ。
9)この図形の重心yG はいくら
か?
6.5 はりのまげ強さについて
6.5.1各種形状の物体の断面2次モ
ーメントと断面係数
☆重要な公式のまとめ
まず,断面係数 Z はつぎのように 図 6.26 家の側面図
定義される。
e
IZ xG
図心から辺までの距離
モーメント図心まわりの断面2次 (6.13)
ここで,
断面2次モーメント xGI :はりの中立面(重心)まわり dAyI 2 4m
断面係数 Z : eIZ xG 3m ( eは中立面からはりの端部までの距離)
曲げモーメントM と曲げ応力 の関係: ZM
----------------------------------------------------------------------
☆断面 2 次モーメントおよび断面係数(演習問題)
1.右図 6.27 に示した長方形断面のはりの断面係数 Z を求めよ。
解答:
62
12
2
23
2
bh
h
bh
h
IZ xG
h ;
b
c ca
h1
h2
h4
h3
23
1h
x
考え方
Ix=
-2 + -
D
A1 A2 A3
A4
y
xI
yGI
A
2A2A
3A
4A
全面積
A
Page 21
- 21 -
323
262
12
2m
bh
h
bh
h
IZ xG
h (6.53)
図 6.27 長方形はり
2.図 6.28(a),(b),(c)に示す,長方形はりの中立軸に対称な断面の断面係数
を求めなさい。
図 6.28 各種長方形はりの断面係数
解答:はりの断面係数の定義式(6.13)から
1
1e
IZ xG
e ;2
2e
IZ xG
e
で与えられ,長方形はりのように,中立軸に対称な断面物体は,はり端部ま
での距離が 21 ee である。したがって
21 ee ZZ
である。以下に各場合の計算例を示す。
(a)の長方形が横置きの場合
3223
1
21 90006
3060
62
12mm
bh
h
bh
e
IZZ xG
ee
(b)の長方形が縦置きの場合
3223
1
21 180006
6030
62
12mm
bh
h
bh
e
IZZ xG
ee
(c)角パイプの場合
この場合,まず角パイプの断面2次モーメントは,中空部分を引けば
よいので, 21 xGxGxG III で求められる。
20
60
30
30
60
(a)長方形横置き (b)長方形縦置き
30
60
45
(c)角パイプ
h
b
h/2
xGI
Page 22
- 22 -
2
3
22
1
3
1121
1212
hbhbIII xGxGxG
433
38812512
4520
12
6030mm
したがって,断面係数は端部までの距離 mmee 3021 を代入して,
3
1
21 5.1239730
388125mm
e
IZZ xG
ee
3.図 6.29(a),(b)に示す円形はりの断面係数を求めなさい。
(a)中実丸棒
20
40
40
(b)中空丸棒
図 6.29 中実・中空丸棒
☆解答:
(a)中実丸棒の断面係数
mmdee 20221 を代入して,
2
644
1
21d
d
e
IZZ xG
ee
333
18628332
40143
32mm.
.d
(b)中空丸棒の断面係数
この場合の断面2次モ-メントは,中実丸棒から中空丸棒の断面2次モーメ
ントを引けばよい。すなわち,
2
4
2
1
4
121
6464
ddIII xGxGxG
44443
6117809204064
143
64
20143
64
40143mm.
...
Page 23
- 23 -
したがって, mmdee 20221 を代入して,
3
1
21 48589020
6117809mm.
.
e
IZZ xG
ee
または,
4
2
4
1
12
4
2
1
4
1
11
21326464
2dd
d
dd
de
IZZ xG
ee
344 48589020404032
143mm.
.
6.5.2 各種はりの強さ
1.図 6.30に示したように,断面積が
一定(質量が同じ)中実丸棒と中
空丸棒のはりに,同じ曲げモーメ
ントM がかかる場合,どちらがど
れほど丈夫であるか。ただし,中
実丸棒の外径 d は中空丸棒の内径
d と等しいものとする。
解答:円形断面のはりの応力は
ZM であるから,断面係数 図 6.30 円形断面はりの強さ
Z を比べればよい。断面積が一定の関係から
44
22
1
2 ddd
ゆえに, dd 21 となる。さて,つぎに,中実円の断面係数32
d3中 実Z ;
中空円の断面係数 44
1
1
d-d32d
中 空Z となる。したがって,両者の断面係数
の比を考えると,
中 空
中 実
中 実
中 空
中 実
中 空
M
M
Z
Z
となる。
1
44
1
3
1
44
1
3
dd-d
d
32dd-d
32d
Z
Z
中 空
中 実
中 実
中 空
ここで,上式に題意から得られた, dd 21 の関係を代入して,
d
d1d
Page 24
- 24 -
3
2
d2d-4d
d
dd-d
d
Z
Z
44
3
1
44
1
3
中 空
中 実
中 実
中 空
となり,結局,中実円のほうが曲げ応力は小さくなり,この条件では当然な
がら中実円のほうが曲げに対しては強いことが分かった。
---------------------------------------------------------------------
☆第 6 章 総合演習問題
1.許容曲げ応力 MPa60 のはりが, mmN. 61021 の最大曲げモーメントをう
けるとき,必要最小限の断面係数zはいくらか。 (解答: 34 mm102.0 )
2.図 6.31に示す長方形の断面を持った両端支持はりについて以下の設問に答
えよ。ただし,はりの断面形状は mmmm 3015 の長方形とする。
図 6.31 長方形断面はりの強さ
1)支点反力はそれぞれいくらか。 (解答: 90NRa , NRb 210 )
2)最大曲げモーメント maxM はいくらか (解答: mm000NMmax 45 )
3)断面係数Zはいくらか (解答: 32250mmZ )
4)最大曲げ応力 max はいくらか (解答: 2
max N/mm00.20 )
3.図 6.32 に示すような断面形状の H 形鋼において,その許容曲げ応力を
80MPa とするとき,片持ちはりの先端にかける最大荷重 P はいくらま
で許されるか。
500 300 200
1000mm 15
30
100N
200N
A BC D
Ra Rb
Page 25
- 25 -
図 6.32 H 形断面はりのつよさ
☆解答の手順
1)H 形鋼の,断面 2次モーメント xGI およ
び断面係数Zを求める。
2)曲げモーメントM を計算する。
3)モーメント -PLM より P を算出する。
4.図 6.33 に示すような直径d一定の丸棒
から長方形断面を持ったはりを切り出
し,その断面係数を最大としたい。b と
hの比はいくらにすればよいか。 図 6.33 丸棒から角材の切り出し
5.同一断面積をもつ正方形と円の断面係数を比較し,両者の比を求めよ。
6.図 6.34 に示すよ
うな片持ちはりがあ
る。このはりの許容曲
げ応力 MPab 60 と
すれば,固定端に必要
な断面係数 Z はどれ
ほどか。またはりの断
面を幅 mmb 500 の長方 図 6.34 片持ちはりの強さ
形とした場合,高さ hはどれほどか。 (解答: )(1083.5 34 mmZ , )(6.83 mmh )
1000mm
P
10
20
20
40
b
h直径d
2000N3000N
500 50050
h
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- 26 -
7.断面が図 6.35に示すような逆 T字
型はりに一様な 曲げモーメントが
作用するとき,このはりの最大応力
が最大圧縮応力の 1/3 になるために
はフランジ幅xはどれだけあればよ
いか。
図 6.35 逆 T 字型はりの強さ
8.図 6.36 に示す段付の片持ちはりにお
いて,A,B に生じる最大応力を等しく
するには直径 21, DD にどのような関係
が必要か。
図 6.36 段付片持ちはりのつよさ
----------------------------------------------------------------------
t
t
h
c G
x
圧縮側
引張側
2D
1D
1L2L
L
P
C BA
x
x