1 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R. Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R. Yeison López Lizcano Universidad de Granada Departamento de Estadística e Investigación Operativa Granada, España 2016
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1 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
Series de tiempo: Modelos
Heterocedásticos. Aplicación a una serie
económica usando R.
Yeison López Lizcano
Universidad de Granada Departamento de Estadística e Investigación Operativa
Granada, España 2016
2 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
Series de tiempo: Modelos
Heterocedásticos. Aplicación a una serie
económica usando R.
Yeison López Lizcano
Trabajo presentado como requisito parcial para optar al título de de:
Máster en Estadística Aplicada
Director:
Dr. Francisco Javier Alonso Morales
Línea de Investigación: Análisis de series temporales. Aplicaciones a riesgos financieros
Universidad de Granada Departamento de Estadística e Investigación Operativa
Granada, España 2016
3 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
4 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
Dedicatoria
Para mi padre, mi madre, mi hermano y mi cuñada,
quienes gracias a su esfuerzo, apoyo y dedicación
hicieron este trabajo posible.
“En el campo de la investigación
el azar no favorece más que…
a los espíritus preparados”.
Louis Pasteur
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6 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
Este coeficiente mide la fuerza de la dependencia lineal entre dos variables X e Y,
donde podemos evidenciar que este coeficiente se encuentra entre los valores -1 ≤
ρxt,xs ≤ 1, además ρxt,xs = ρxs,xt. Cabe hacer notar también que si las dos variables
aleatorias no están correlacionadas linealmente, los valores del coeficiente serán
ρxt,xs = 0. Además, si X e Y son variables aleatorias normales, entonces ρxt,xs = 0 si
y sólo si X e Y son independientes.
Los coeficientes de correlación entre dos variables aleatorias X e Y se define de la
siguiente manera:
𝜌𝑋𝑡 𝑋�̂� =∑ (𝑋𝑡−𝜇𝑡)𝑇𝑡,𝑠=1 (𝑋𝑠−𝜇𝑠)
√∑ (𝑋𝑡−𝜇𝑡)2∑ (𝑋𝑠−𝜇𝑠)2𝑇𝑡,𝑠=1
𝑇𝑡,𝑠=1
(10)
Una serie no es correlacionada formalmente si y solo si ρxt,xs = 0 para todo t,s > 0.
La representación de una correlación serial es congruente a la correlación de una
variable con ella misma en intervalos sucesivos de tiempo.
1.5.3 Ruido blanco.
Una serie de tiempo xt se denomina ruido blanco si {xt} es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media y varianza finita. En particular, si xt tiene una distribución normal con media cero y varianza σ2, la serie se denomina ruido blanco gaussiano (TSAY, 2005).
18 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
Simbolizaremos al proceso ruido blanco como:
휀𝑡, ∀𝑡
휀𝑡 ~ 𝑁(0, 𝜎2)
𝐸(휀𝑡) = 0, ∀𝑡
𝑉(휀𝑡) = 𝜎2, ∀𝑡
𝐶𝑜𝑣(휀𝑡𝑖, 휀𝑡𝑗) = 0, ∀𝑡𝑖 ≠ 𝑡𝑗
1.6 Modelos para series de tiempo estacionarias.
1.6.1 Modelo lineal general.
Un proceso lineal general, {Xt}, es uno que se puede representar como una
combinación lineal ponderada de los términos de ruido blanco presentes y pasados
que se descompone la serie Xt en dos partes, una que recoge el patrón de
regularidad, o parte determinística, y otra parte puramente aleatoria, denominada
también innovación (Casimiro, 2009):
𝑋𝑡 = 휀𝑡Ψ1 + 휀𝑡−1Ψ2 + 휀𝑡−2Ψ3 +⋯
Dada una serie temporal de media cero, como el valor de X en el momento t
depende de su pasado, un modelo teórico capaz de describir su comportamiento
El modelo en términos del operador de retardos queda de la siguiente manera:
(1 − 𝜙1𝐿 −⋯− 𝜙𝑝𝐿𝑝)𝑋𝑡 = (1 − 𝜃1𝐿 −⋯− 𝜃𝑞𝐿
𝑞)휀𝑡
𝜙𝑝(𝐿)𝑋𝑡 = 𝜃𝑞(𝐿)휀𝑡
Donde 𝜙𝑝(𝐿) es el polinomio autorregresivo y 𝜃𝑞(𝐿) es el polinomio de promedios
móviles.
Las condiciones de invertibilidad del modelo ARMA(p, q) vienen impuestas por la
parte de medias móviles, dado que la parte autorregresiva finita siempre es
invertible porque está directamente escrita en forma autorregresiva (Casimiro,
2009).
El modelo ARMA(p, q) va a compartir las características de los modelos AR(p) y
MA(q) ya que contiene ambas estructuras a la vez. El modelo ARMA(p, q) tiene
media cero, varianza constante y finita y una función de autocovarianzas infinita. La
función de autocorrelación es infinita decreciendo rápidamente hacia cero pero sin
truncarse (Casimiro, 2009).
1.9.1 Proceso Autorregresivode Medias Móviles de orden (1, 1), ARMA(1, 1):
El modelo ARMA(1, 1) tiene la siguiente estructura:
𝑋𝑡 = 𝜙𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 − 𝜃휀𝑡−1 (21)
휀𝑡 ~ 𝑅𝐵(0, 𝜎2), |𝜙| < 1 y 𝜃 ∈ ℝ
Donde 𝑋𝑡 esta en función de su pasado hasta el primer retardo, la innovación
contemporánea y el pasado de la innovación hasta el retardo 1, además.
Con el fin de verificar si el proceso ARMA(1, 1) es estacionario, se verifican las
pruebas de media y covarianza constantes:
Valor esperado.
A partir de sus elementos característicos tenemos:
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𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(𝜙𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 − 𝜃휀𝑡−1)
𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(𝜙𝑋𝑡−1)
𝐸(𝑋𝑡) = 𝜙𝐸(𝑋𝑡−1) = 0
Función de autocovarianza y autocorrelación.
Para que un proceso sea estacionario, debe cumplir que la función de
autocovarianza y autocorrelación no dependan del tiempo.
Para 𝛾0 se tiene,
𝛾0 = 𝐸(𝑋𝑡 − 𝐸(𝑋𝑡))2= 𝐸(𝑋𝑡)
2
𝛾0 = 𝐸(𝜙𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 − 𝜃휀𝑡−1)2
𝛾0 = 𝜙2𝛾0 + 𝜎
2 + 𝜃2𝜎2 − 2𝜙𝜃𝜎2
𝛾0 =(1 + 𝜃2 − 2𝜙𝜃)𝜎2
1 − 𝜙2
Para 𝛾1 se tiene,
𝛾1 = 𝐸[(𝑋𝑡 − 𝐸(𝑋𝑡))(𝑋𝑡−1 − 𝐸(𝑋𝑡−1))] = 𝐸(𝑋𝑡𝑋𝑡−1)
𝛾1 = 𝐸[(𝜙𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 − 𝜃휀𝑡−1)𝑋𝑡−1]
𝛾1 = 𝜙𝛾0 − 𝜃𝜎2
Para 𝛾2 se tiene,
𝛾2 = 𝐸[(𝑋𝑡 − 𝐸(𝑋𝑡))(𝑋𝑡−2 − 𝐸(𝑋𝑡−2))] = 𝐸(𝑋𝑡𝑋𝑡−2)
𝛾2 = 𝐸[(𝜙𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 − 𝜃휀𝑡−1)𝑋𝑡−2]
𝛾2 = 𝜙𝛾1
La función de autocovarianzas de un ARMA(1, 1) es:
𝛾𝑘 =
{
𝛾0 =
(1 + 𝜃12 − 2𝜙𝜃)𝜎2
1 − 𝜙2 𝑘 = 0
𝛾1 = 𝜙𝛾0 − 𝜃𝜎2 𝑘 = 1
𝛾ℎ = 𝜙𝛾𝑘−1 𝑘 > 1
La función de autocorrelación de un ARMA(1, 1) es:
35 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
𝜌𝑘 =
{
𝜌1 = 𝜙 −𝜃𝜎2
𝛾0 𝑘 = 0
𝜌𝑘 = 𝜙 𝜌𝑘−1 𝑘 > 1
Como se puede observar, la varianza cuenta con una parte que proviene de la parte
de medias moviles, otra que proviene de la parte autorregresiva y una tercera que
es la interaccion entre ambas partes del modelo. La autocovarianza de orden 1, 𝛾1, es la suma de la autocovarianza de orden 1 de la parte AR(1) y de la autocovarianza
de orden 1 de la parte MA(1). A partir del retardo 1, la parte medias móviles del
modelo no aparece de forma explicita si aparece, en 𝜌1 en la ACF, dependiendo
esta solo de la estructura autorregresiva. Esta ACF es una funcion infinita, que
depende de los parametros AR, φ, y MA, θ, hasta k = 1 y luego decrece
exponencialmente, siguiendo la estructura marcada por la parte autorregresiva de
primer orden. Para comprobar estacionariedad e invertibilidad del proceso ARMA(1,
1), se deben calcular las raíces del polinomio autorregresivo y las raíces del
Los modelos Condicionales Autorregresivos Heterocedásticos (ARCH) fueron
introducidos por Engle (1982) y la extensión GARCH (ARCH generalizado) se debe
a Bollerslev (1986). En estos modelos, el concepto clave es la varianza condicional,
es decir, la varianza condicional en el pasado. En los modelos GARCH clásicos, la
varianza condicional se expresa como una función lineal de los valores pasados al
cuadrado de la serie. Esta particular especificación es capaz de capturar los
principales hechos estilizados que caracterizan una serie (Francq & Zakoïan, 2010).
1.9.17 Definición proceso GARCH (p,q)
Un proceso (𝑦𝑡) se llama proceso GARCH(p, q) si existen sus dos primeros
momentos condicionales y satisfacen:
𝐸(𝑦𝑡|𝑦𝑢 , 𝑢 < 𝑡) = 0 𝑡 ∈ ℤ
Existen constantes ω, αi, i = 1, ..., q y 𝛽j, j = 1, ..., p tal que
𝜎𝑡2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡|𝑦𝑢 , 𝑢 < 𝑡) = 𝜔 + ∑ 𝛼𝑖𝑦𝑡−𝑖
2 + ∑ 𝛽𝑗𝜎𝑡−𝑗2𝑝
𝑗=1𝑞𝑖=1 (39)
Donde podemos escribir la ecuación (39) como:
𝜎𝑡2 = 𝜔 + 𝛼(𝐿)𝑦𝑡
2 + 𝛽(𝐿)𝜎𝑡2, 𝑡 ∈ ℤ (40)
Donde L es el operador de retardos estándar (𝐿𝑖𝑦𝑡2 = 𝑦𝑡−𝑖
2 y 𝐿𝑖𝜎𝑡2 = 𝜎𝑡−𝑖
2 para
cualquier entero i), y α y β son polinomios de grados q y p, respectivamente:
𝛼(𝐿) =∑𝛼𝑖𝐿𝑖
𝑞
𝑖=1
, 𝛽(𝐿) =∑𝛽𝑗𝐿𝑗
𝑝
𝑗=1
Si 𝛽(𝑧) = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝜎𝑡2 = 𝜔 + ∑ 𝛼𝑖𝑦𝑡−𝑖
2𝑞𝑖=1 (41)
El proceso se denomina un proceso ARCH (q). Por definición, la innovación del
proceso 𝑦𝑡2 de es la variable 𝑣𝑡 = 𝑦𝑡
2 − 𝜎𝑡2 . Sustituyendo en (39) las variables 𝜎𝑡−𝑖
2
por 𝑦𝑡−𝑗2 − 𝑣𝑡−𝑗, obtenemos la representación:
49 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
𝑦𝑡2 = 𝜔 + ∑ (𝛼𝑖 + 𝛽𝑖)
𝑟𝑖=1 𝑦𝑡−𝑖
2 + 𝑣𝑡 − ∑ 𝛽𝑗𝑝𝑗=1 𝑣𝑡−𝑗, 𝑡 ∈ ℤ (42)
Donde r = max (p, q), por conveniencia escribimos αi = 0 (βj = 0) si, i > q ; (j > p).
Esta ecuación tiene la estructura lineal de un modelo ARMA, lo que permite un
sencillo cálculo de las predicciones lineales.
Bajo supuestos adicionales (lo que implica la estacionariedad de segundo orden de
𝑦𝑡2), podemos afirmar que si (𝑦𝑡) es GARCH(p, q), entonces (𝑦𝑡
2) es un Proceso
ARMA(r,p). En particular, el cuadrado de un proceso ARCH(q) admite, si es
estacionaria, una representación AR(q). La representación ARMA será útil para la
estimación y la identificación de procesos GARCH (Francq & Zakoïan, 2010) .
1.9.18 Correlación de un proceso GARCH.
Un rasgo característico de una serie financiera es que los rendimientos al cuadrado
están autocorrelacionados, mientras que los retornos no lo son. La representación
(42) muestra que los procesos GARCH son capaces de capturar este hecho
empírico.
Si el momento de cuarto orden de (𝑦𝑡) es infinito, la secuencia de las
autocorrelaciones de orden h de 𝑦𝑡2 es la solución de una ecuación recursiva que
es característica de los modelos ARMA. En aras de la simplicidad, consideremos el
caso del proceso GARCH(1,1). El proceso (𝑦𝑡2) es ARMA(1, 1), y por tanto su
autocorrelación disminuye a cero proporcionalmente a (𝛼1 + 𝛽1)ℎ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ > 1,
𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑦𝑡2, 𝑦𝑡−ℎ
2 ) = 𝐾(𝛼1 + 𝛽1)ℎ
Donde K es una constante independiente de h. Por otra parte, los valores para 𝑦𝑡 no están correlacionados, bajo la condición de la definición 1.1 (Francq & Zakoïan,
2010).
1.9.19 Proceso GARCH fuerte (p, q).
Sea (𝜂𝑡) una distribución de probabilidad con valor esperado nulo y varianza igual
a la unidad. El proceso (𝑦𝑡) se denomina GARCH fuerte (p, q) (con respecto a la
secuencia (𝜂𝑡)) si:
{𝑦𝑡 = 𝜎𝑡𝜂𝑡
𝜎𝑡2 = 𝜔 + ∑ 𝛼𝑖𝑦𝑡−𝑖
2 + ∑ 𝛽𝑗𝜎𝑡−𝑗2𝑝
𝑗=1𝑞𝑖=1 (43)
Donde el αi y βj son restricciones de no negatividad y ω es una constante positiva
(en sentido estricto).
50 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
Reescribiendo la expresión (39) en términos del proceso GARCH(p,q) obtenemos:
𝜎𝑡2 = 𝜔 +∑𝛼𝑖𝜎𝑡−𝑖
2 𝜂𝑡−𝑖2 +∑𝛽𝑗𝜎𝑡−𝑗
2
𝑝
𝑗=1
𝑞
𝑖=1
𝜎𝑡2 = 𝜔 +∑ 𝛼𝑖(𝜂𝑡−𝑖)𝜎𝑡−𝑖
2𝑞𝑖=1 (44)
Donde 𝑎𝑖(𝑧) = 𝛼𝑖 𝑧2 + 𝛽𝑖, 𝑖 = 1,… , 𝑟 Esta representación muestra que el proceso de
la volatilidad de un proceso GARCH fuerte, es la solución de una ecuación
autorregresiva con coeficientes aleatorios.
1.9.20 Proceso GARCH(1,1).
Cuando p=q=1 se le asignan estos valores a la expresión (43), entonces adopta la
forma:
{𝑦𝑡 = 𝜎𝑡𝜂𝑡
𝜎𝑡2 = 𝜔 + 𝛼 𝑦𝑡−𝑖
2 + 𝛽 𝜎𝑡−𝑗2 (45)
Con ω ≥ 0, α≥ 0, β≥ 0. Tenemos a(z) = αz2 + β
1.9.21 Estacionariedad estricta del proceso GARCH fuerte(1, 1):
−∞ ≤ 𝛾 ∶= 𝐸𝑙𝑜𝑔{𝛼𝑖𝜂𝑡2 + 𝛽} < 0 (46)
Donde la serie infinita
ℎ𝑡 = {1 + ∑ 𝑎(𝜂𝑡−1)…∞𝑖=1 𝑎(𝜂𝑡−𝑖)}𝜔 (47)
Converge con toda seguridad y el proceso (𝑦𝑡) definido por 𝑦𝑡 = √ℎ𝑡𝜂𝑡 es la solución
única y estrictamente estacionaria del proceso, la expresión (45). Esta solución no
es anticipativa y ergódica (una secuencia estacionaria se dice que es ergódica si
satisface la ley fuerte de los grandes números). Si γ ≥ 0 y ω> 0, no existe una
2.10 Función de autocorrelación (FAC) y autocorrelación parcial (FACP) para
el modelo ARCH/GARCH.
En el noveno paso, con los residuos al cuadrado del modelo ARIMA seleccionado,
se construyen la FAC y FACP para determinar los posibles parámetros, p y q, que
tendrán los modelos ARCH/GARCH propuestos.
res_arima011 <- arima011$res res_arima011_2 <- arima011$res^2 par(mfcol=c(3, 1)) plot(res_arima011_2,main='Residuales al cuadrado del modelo ARIMA') acf(res_arima011_2,main='FAC de los residuales al cuadrado',lag.max=50) pacf(res_arima011_2,main=' FAC de los residuales al cuadrado',lag.max=50)
2.11 Modelos ARCH/GARCH propuestos.
En el décimo paso, se estiman los modelos ARCH/GARCH de los residuales del
modelo ARIMA seleccionado, para todas las combinaciones de los posibles
parámetros, p y q. Para el modelo ARCH se estiman modelos de los posibles
parámetros q, con la función garch(), estableciendo el comando order=c(0,q). Para
el modelo GARCH, se estiman modelos GARCH de todas las combinaciones de los
posibles, p y q, utilizando la función garch(), estableciendo el comando
En el doceavo paso, se muestran las estimaciones del modelo ARCH/GARCH seleccionado y algunas pruebas de diagnóstico, como la prueba Jarque Bera para establecer si existe normalidad y la prueba Ljung-Box si existe independencia. summary(arch14)
2.14 Gráfico del modelo ARIMA y GARCH.
En el treceavo paso, se construye el grafico de los valores reales, estimaciones del modelo ARIMA seleccionado y los intervalos de confianza creados con base al modelo ARCH/GARCH seleccionado. ht.arch14=arch14$fit[,1]^2 estimaciones_arima011=fitted.values(arima011) inf_garch14= estimaciones_arima011-1.96*sqrt(ht.arch14) sup_garch14= estimaciones_arima011+1.96*sqrt(ht.arch14) plot(serie.ret, main = “Grafico de los retornos de la serie con los intervalos de confianza del modelo Arch”, type = "l") lines(inf_garch14,col='red') lines(sup_garch14,col='blue') lines(estimaciones_arima011,col='green')
57 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
3 Capítulo 3. Aplicación de una serie de
tiempo económica utilizando R.
3.1 Lectura de la información y librerías a utilizar.
La serie económica estudiada será la tasa de cambio representativa del mercado (TRM) diaria Colombiana, durante el periodo entre el 01/01/2015 hasta el 10/08/2016, donde se tienen 589 datos. La fuente de la información es la página del Banco de la República. Se cargan los datos a R y se instalan las librerías que se utilizaran a lo largo del ejercicio. TRM<- read.csv("trm.csv",header =TRUE, sep=";", dec=",")
Como el valor P (2.2e’16) de la prueba para los retornos es menor a 0.05. Existen
evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula con un 5% de significancia,
por lo que, la TRM diaria Colombiana tiene efectos ARCH/GARCH. Entonces, se
puede continuar con el modelamiento.
3.6 Función de autocorrelación (FAC) y Función de autocorrelación
parcial (FACP) para el modelo ARIMA.
El primer paso para estimar un modelo GARCH, es estimar un modelo ARIMA (p,
q), dónde p representa el orden del modelo autorregresivo, el cual se establece con
la función de autocorrelación parcial (FACP) y q el orden del modelo de medias
móviles, el cual se establece con la función de autocorrelación (FAC).
60 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
En la gráfica de la FAC, se observa que no tiene caída rápida por lo cual se aplicara la prueba de Dickey-Fuller para determinar si es estacionaria o si se debe realizar una diferencia de la misma. > adf.test(trm) Augmented Dickey-Fuller Test data: trm Dickey-Fuller = -1.4003, Lag order = 8, p-value = 0.8322 alternative hypothesis: stationary En la prueba de Dickey-Fuller se aprecia que a un nivel de significancia del 5% no se rechaza la hipótesis nula, por lo cual la serie no es estacionaria. Con el fin de determinar los órdenes para los modelos, se aplicara el operador diferencia, y se presentara la prueba nuevamente y los gráficos de Autocorrelación y Autocorrelación Parcial de la serie TRM1. > adf.test(trm1) Augmented Dickey-Fuller Test data: trm1 Dickey-Fuller = -7.5831, Lag order = 8, p-value = 0.01 alternative hypothesis: stationary
61 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
En la prueba de Dickey-Fuller se aprecia que a un nivel de significancia del 5% se rechaza la hipótesis nula, por lo cual la serie no es estacionaria. Además, se observa que los posibles ordenes de la serie son p = 1, d = 1 y q =1.
62 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
3.7 Modelos ARIMA propuestos.
Se estiman los modelos ARIMA para todas las combinaciones de los posibles parámetros, p y q. Ademas, se probaran los modelos con una diferenciación. arima110 <- arima(trm, order=c(1, 1, 0)) aic110=arima110$aic arima011 <- arima(trm, order=c(0, 1, 1)) aic011=arima011$aic arima111 <- arima(trm, order=c(1, 1, 1)) aic111=arima111$aic
3.8 Selección del modelo ARIMA.
Para elegir el mejor modelo ARIMA para la TRM diaria colombiana, se tiene en cuenta el criterio de Akaike (AIC), dónde el modelo con el menor AIC representa el mejor modelo.
nombres aic
aic011 5468,222
aic111 5468,930
aic110 5469,945
El mejor modelo es el ARIMA(0,1,1), ya que, tiene el menor AIC (5468.222).
3.9 Función de autocorrelación (FAC) y Función de autocorrelación
parcial (FACP) para el modelo ARCH/GARCH.
Con los residuales al cuadrado del modelo ARIMA(0,1,1) se construye el modelo ARCH/GARCH, utilizando las mismas herramientas para escoger el modelo ARIMA. Las gráficas de las FAC y FACP para los residuales al cuadrado del modelo ARIMA (0,1,1) son:
63 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
En la gráfica de la FAC, se observa que los posibles valores del parámetro q son 7,14. En la gráfica de la FACP, se observa que los posibles valores del parámetro p son 7,13.
3.10 Modelos ARCH/GARCH propuestos.
Utilizando los residuales del modelo ARIMA(0,1,1), se estiman los modelos ARCH para los posibles parámetros q. Además, se estiman los modelos GARCH para todas las combinaciones de los posibles parámetros, p y q.
64 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
De la misma manera que se eligió el mejor modelo ARIMA, se tiene en cuenta el criterio de Akaike (AIC) para elegir el mejor modelo ARCH/GARCH, dónde el modelo con el menor AIC representa el mejor modelo.
nombres aic
arch14 5353,836
arch07 5416,964
garch77 5423,745
garch137 24126,490
garch714 20000000000
garch1314 20000000000
El mejor modelo es el ARCH(14), ya que, tiene el menor AIC (5353,386).
3.12 Modelo ARCH/GARCH seleccionado.
El modelo ARCH(14) tiene los siguientes resultados. Call: garch(x = res_arima011, order = c(0, 14), trace = F) Model: GARCH(0,14) Residuals:
65 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
3.13 Gráfico de los retornos de Precio de cierre de la TRM
Colombiana con los intervalos de confianza del modelo GARCH.
Finalmente, en el siguiente gráfico se puede observar que las estimaciones son muy cercanas a los valores reales. Además, los intervalos de confianza generados a partir el modelo GARCH tienen un comportamiento similar a la TRM diaria Colombiana.
66 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
Gráfico de los retornos de la tasa de cambio representativa del mercado (TRM) diaria Colombiana con los intervalos de confianza del modelo ARCH(14) Nota: *Línea verde: Estimaciones
*Línea negra: Valores reales *Línea azul: Límite inferior (nivel de confianza del 0.05)
*Línea roja: Límite superior (nivel de confianza del 0.05)
Modelo final.
𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(0,1,1): (1 − 𝐿)𝑦𝑡 = (1 − 0.1667𝐿)𝜖𝑡
𝐴𝑅𝐶𝐻(14):
ℎ𝑡2 = 191.2 + 0.0545 ∈𝑡−3
2 + 0.0334 ∈𝑡−42 + 0.0110 ∈𝑡−7
2 + 0.0606 ∈𝑡−112 + 0.086 ∈𝑡−13
2
+ 0.139 ∈𝑡−142
67 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
4 Anexos.
4.1 Pruebas de raíz unitaria.
Una prueba alternativa sobre estacionariedad que se ha empleado con frecuencia
en los últimos años se conoce como la prueba de raíz unitaria (Gujarati, 1997). Esta
prueba es sumamente importante ya que el rechazo de la hipótesis nula de raíz
unitaria en favor de alternativas estacionarias tiene interpretaciones económicas
importantes, admitiendo la posibilidad de relaciones a largo plazo entre variables
económicas. Además, en algunas aplicaciones, es deseable probar no
estacionariedad vs. alternativas explosivas (Bhargava, 1986).
La forma más fácil de introducir esta prueba es considerando el siguiente modelo
(Ramos):
𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 (1)
Donde 휀𝑡 es el término de error estocástico que sigue los supuestos clásicos, a
saber: tiene media cero, varianza constante, y no está autocorrelacionado. Un
término de error con tales propiedades es conocido también como ruido blanco.
La ecuación es una regresión de primer orden, o AR(1), en la cual se relaciona el
valor de X en t sobre t - 1. Si el coeficiente de 𝑋𝑡−1 , es en realidad igual a 1, surge
lo que se conoce como raíz unitaria (una situación de no estacionariedad). Por
consiguiente, si se efectúa la regresión (caminata aleatoria):
𝑋𝑡 = 𝜃𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 (2)
y se encuentra que 𝜃=1, entonces se dice que la variable estocástica X tiene una
raíz unitaria. La ecuación puede rescribirse como:
∆𝑋𝑡 = (𝜃 − 1)𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 (3)
(4)∆𝑋𝑡 = 𝛿𝑋𝑡−1 + 휀𝑡
Donde 𝛿=(𝜃 − 1), ∆ es el operador de primera diferencia estacionaria.
Se puede escribir (3) como:
∆𝑋𝑡 = (𝑋𝑡 − 𝑋𝑡−1 ) = 휀𝑡
Esta ecuación indica que la primera diferencia de una serie de tiempo de caminata
aleatoria es una estacionaria porque ut es puramente aleatorio. Desde el punto de
vista estadístico, existen dos problemas (Maddala, 1996; Novales, 1997): el primero
es con respecto a los métodos de eliminación de tendencia que se emplean
68 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
(regresión o diferencias). Según Maddala (1996), los resultados de autocorrelación
son espurios siempre que se elimine la tendencia de una serie en diferencia
estacionaria o se diferencie una serie de tendencia estacionaria. El otro problema
es que la distribución del estimado de mínimos cuadrados del parámetro
autorregresivo tiene una distribución no estacionaria cuando existe una raíz unitaria.
Para esto es preciso calcular la distribución en forma numérica en cada caso,
dependiendo de las demás variables que se incluyen en la regresión. Esto
representa la proliferación de las pruebas de raíces unitarias y las tablas asociadas
(Maddala, 1996).
4.2 Dickey-Fuller (DF) y Dickey-Fuller aumentada(ADF)
Para analizar si una serie de tiempo "X" es no estacionaria, se efectúa la regresión
(2) y se determina si “𝜃” es estadísticamente igual a 1 o, en forma equivalente, se
estima e investiga sí 𝛿 =0 (Gujarati, 1997; Johnston y DiNardo, 1997; Pindyck y
Rubinfeld, 1997). El valor t así obtenido no sigue la distribución t de “Student” aun
en muestras grandes (Gujarati, 1997; Johnston y DiNardo, 1997; Pindyck y
Rubinfeld, 1997; Pankratz, 1995).
Bajo la hipótesis nula de que 𝜃 =1, el estadístico "t" calculado convencionalmente
se conoce como “Γ”, cuyos valores críticos han sido tabulados por Dickey y Fuller
con base en simulaciones de Monte Carlo (Gujarati, 1997; Johnston y DiNardo,
1997; Pindyck y Rubinfeld, 1997; Patterson, 2000). Esta prueba se conoce como la
prueba Dickey-Fuller (DF). Si la hipótesis nula de que 𝜃 =1 es rechazada (la serie
de tiempo es estacionaria), se puede utilizar la prueba "t" usual (de Student)
(Gujarati, 1997; Johnston y DiNardo, 1997; Pindyck y Rubinfeld, 1997, Bahskara,
1994).
Sin embargo, estas tablas no son totalmente adecuadas y han sido ampliadas por
MacKinnon a través de simulaciones de Monte Carlo (Gujarati, 1997; Johnston y
DiNardo, 1997). Si el valor absoluto calculado del estadístico Γ (es decir, | Γ |)
excede los valores absolutos críticos de (DF) o de MacKinnon, DF (Dickey y Fuller),
entonces no se rechaza la hipótesis de que la serie de tiempo dada es estacionaria.
Por el contrario, si éste es menor que el valor crítico, la serie de tiempo es no
estacionaria.
Además del estadístico “t” existen otras dos estadísticas de prueba (Maddala,1996):
1. K(1) = T(𝜃 - 1), F(0, 1);
2. F(0, 1) es el estadístico F usual bajo la prueba de hipótesis conjuntas de que
el parámetro de la tendencia es cero y 𝛼 es igual a uno. La prueba Dickey-Fuller
se aplica a regresiones efectuadas en las siguientes formas:
𝑋𝑡 = 𝛿𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 (4)
69 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
∆𝑋𝑡 = 𝛽1 + 𝛿𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 (5)
∆𝑋𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛿𝑋𝑡−1 + 휀𝑡 (6)
Donde "t" es la variable de tiempo o tendencia. En cada caso, la hipótesis nula es
que 𝛿 = 1, es decir, que hay una raíz unitaria. La diferencia entre (4) y las otras dos
regresiones se encuentra en la inclusión del intercepto y el término de tendencia. Si
el término de error está autocorrelacionado, se modifica (6) como sigue (Gujarati,
1997; Johnston y DiNardo, 1997):
∆𝑋𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝛿𝑋𝑡−1 + ∑ 𝜑1∆𝑋𝑡−1 +𝑛𝑖=1 휀𝑡 (7)
Por otro lado, la prueba de hipótesis conjunta en (21), que indica que el PGD es un
paseo aleatorio, se puede probar a través del estadístico F presentado también en
el trabajo de Dickey y Fuller(1981) y así, sucesivamente, para la significancia de los
diversos parámetros.
70 Series de tiempo: Modelos Heterocedásticos. Aplicación a una serie económica usando R.
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