}Series de Tiempo

Series de tiempo

EstadısticaMiguel

´

Angel Chong R.

[email protected]

7 de mayo del 2013

Miguel Chong Series de tiempo

Modelos no estacionarios

Como dijimos al inicio del curso, cuando tenemos una serie de

tiempo observada y graficamos los datos, es posible que notemos

que la serie no sea estacionaria, entonces es deseable aplicar alguna

trasformacion a los datos para hacerlos estacionarios.

Si en nuestra serie observada solo se aprecia un compontente de

tendencia (media no constante)

Xt = mt + Yt ,

esta puede eliminarse mediante la aplicacion del operador

diferencia rd= (1� B)d , con esto buscamos eliminar una

tendencia polinomial de orden d en la serie, este tipo de

trasformacion da origen a los modelos integrados o ARIMA.


Definicion Procesos ARIMA(p,d,q) (causales e invertible)

Sea d 2 {1, 2, 3, . . .}. Diremos que {Xt}t2T es un proceso ARIMA(p, d , q)causal e invertible si al diferenciarlo d veces, es decir, Yt = rdXt =

(1� B)dXt tenemos un proceso ARMA(p, q) causal e invertible.

Dicho de otro modo, si {Xt} es un proceso ARIMA(p, d , q) se escribe de

la siguiente forma

�⇤(B)Xt = �p(B)(1� B)

dXt = ✓q(B)✏t ,

�1� �

1

B � �2

B2 � . . .� �pBp�

(1� B)

dXt =

�1 + ✓

1

B + ✓2

B2

+ . . .+ ✓qBq� ✏t ,

�p(B)Yt = ✓q(B)✏t ,

donde {✏t} es ruido blanco, �p(B) y ✓q(B) son los polinomios de retraso

de grado p y q respectivamente.


Observaciones

1

El polinomio �⇤(B) = �p(B)(1� B)d tiene una raız de orden

d cuando B = 1, o tiene una raız unitaria.

2

El proceso es estacionario si solo si d = 0 y

ARIMA(p, 0, q) = ARMA(p, q).

3

Aunque los modelos ARIMA(p, d , q) son muy usados para

modelar series con tendencia, tambien pueden ser usados para

modelar series sin tendencia.

4

La estimacion de los parametros � = (�1

,�2

, . . . ,�p) ,✓ = (✓

1

, ✓2

, . . . , ✓q) y �2

✏ se haran con respecto el proceso

estacionario

�(1� B)dXt

.


Ejemplo

Si {Xt} es un proceso ARIMA(1, 1, 1) causal e invertible donde

� 2 (�1, 1) y ✓ 2 (�1, 1)

(1� �B)(1� B)Xt = (1 + ✓B)✏t ,

(1� �B)Yt = (1 + ✓B)✏t ,

donde Yt = (1� B)Xt es un proceso ARMA(1, 1) causal einvertible.


Modelos puramente estacionales

Ahora nuestro objetivo es poder describir series de tiempo que

tengan ademas

1

una componente estacional,

Xt = St + Yt o

Xt = mt + St + Yt .

donde la parte estacional {St} se repite en forma“determinıstica”

en un periodo de tamano s. Primero vamos a hablar de los

modelos estacionales puros, la idea en estos modelos es que solo

existe una dependencia entre las observaciones que estan separadas

un multiplo de s.

1

Con o sin un compontente de tendencia mt .


Por ejemplo, si tenemos una serie mensual y el periodo del cıclo s = 12

Meses

1 2 3 . . . 11 12

1 X

1

X

2

X

3

. . . X

11

X

12

2 X

13

X

14

X

15

. . . X

23

X

24

Anos

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

r � 1 X

12(r�2)+1

X

12(r�2)+2

X

12(r�2)+3

. . . X

12(r�2)+11

X

12(r�1)

r X

12(r�1)+1

X

12(r�1)+2

X

12(r�1)+3

. . . X

12(r�1)+11

X

12r

Es importante notar que aunque la estacionaridad se puede considerar como un

fenomeno anual, puede existir un comportamiento periodico con duracion

menor a un ano

2

.

2

Semestral o trimestral por ejemplo.


DefinicionDiremos que {Xt}t2T es un proceso auto regresivo-medias movilesestacional puro con periodo s de orden (P,Q), y lo denotamos

ARMA(P,Q)s donde P,Q � 0 y �

1

, . . . ,�P ,⇥1

, . . . ,⇥Q . son reales tales

que

Xt = �

1

Xt�s + . . .+ �PXt�Ps +✏t +⇥

1

✏t�s + . . .+⇥Q✏t�Qs ,

o equivalentemente

�1� �

1

Bs � . . .� �pBPs�Xt =

�1 +⇥

1

Bs+ . . .+⇥QB

Qs�✏t

�P(Bs)Xt = ⇥Q(B

s)✏t ,

donde {✏t}t es ruido blanco y los polinomios de retraso �P(·) y ⇥Q(·) notienen ceros en comun.

Para que el proceso ARMA(P,Q)s sea causal e invertible necesitamos

que las raıces de los polinomios �P(·) y ⇥Q(·) sean en modulo mayores a

la unidad.


Algunos ejemplos de este tipo de procesos son:

1

ARMA(0, 1)s = MA(1)s , de la forma Xt = ✏t +⇥

1

✏t�s , donde la funcion

de autocorrelacion esta dada por

⇢h =

�h�0

=

8>><

>>:

1 h = 0

⇥

1

1 +⇥

2

1

si h = s

0 cualquie otro caso.

2

ARMA(1, 0)s = AR(1)s , es decir, Xt = �

1

Xt�s + ✏t , donde la funcion de

autocorrelacion esta dada por

⇢h =

�h�0

=

8><

>:

1 h = 0

�

hs1

si h = s, 2s, 3s, . . .

0 cualquie otro caso

3

ARMA(1, 1)s , de la forma Xt = �

1

Xt�s + ✏t +⇥

1

✏t�s , y la funcion de

autocorrelacion esta dada por

⇢h =

�h�0

=

8>>>><

>>>>:

1 h = 0

(1+�

1

⇥

1

)(⇥

1

+�

1

)

1+⇥

2

1

+2⇥

1

�

1

h = s

�

1

⇢h�s si h = 2s, 3s, . . .

0 cualquie otro caso


Modelos estacionales multiplicativos y estacionarios

En la mayor parte de los casos los datos no solo estan correlacionados

con observaciones que estan separadas por un multiplo de s, sino que

tambien pueden estar correlacionados con observaciones mas cercanas. A

continuacion definiremos una familia de modelos que combinen efectos

estacionales y no estacionales.

Definicion

Diremos que {Xt}tes un proceso estacional multiplicativo, con periodo s,y lo denotamos como ARMA(p, q)⇥ARMA(P,Q)S si el proceso se escribe

como

�p(B)�P(Bs)Xt = ✓q(B)⇥Q(B

s)✏t ,

donde {✏t}t es ruido blanco y los polinomios de retraso son los siguientes:

�p(z) = 1� �1

B � · · ·� �pBp,

�P(z) = 1� �

1

Bs � · · ·� �PBPs,

✓q(z) = 1 + ✓1

B + · · ·+ ✓qBq,

⇥Q(z) = 1 +⇥

1

Bs+ · · ·+⇥QBQs

.


Modelos estacionales no estacionarios

Si tenemos una serie de la forma Xt = mt + St + Yt , vimos que vıa difierenciassimples rd

= (1� B)

dpodıamos eliminar la componente mt y hablamos del

uso de la diferencia estacional rDs = (1� B

s)

D, para eliminar la componente

St .

Estos los operadores los usaremos para describir el modelo mas general, es

decir, una serie que tiene tanto una componente de tendencia como el de una

parte estacional.

Definicion Sean d ,D 2 Z enteros no negativos. Diremos que {Xt}tes un

proceso auto-regresivo de promedios moviles integrado estacional multi-plicativo de periodo s, denotado por ARIMA(p, d , q) ⇥ ARIMA(P,D,Q)s o

SARIMA(p, d , q)⇥ (P,D,Q)S si el proceso

Yt = (1� B)

d⇣1� B

S⌘D

Xt ,

es un proceso ARMA(p, q)⇥ ARMA(P,Q)S causal

�p(B)�P(Bs)Yt = ✓q(B)⇥Q(B

s)✏t ,

donde {✏t}t es ruido blanco.


1

Identifica el modelo SARIMA(p, d , q)⇥ (P,D,Q)S

�1� 0.8B + 0.25B2

�rr

12

Xt =

�1� 0.7B2

� �1� 0.5B12

�✏t ,

Xt = (1 + 0.2B)�1� 0.8B8

�✏t .

2

Como se ve la ecuacion de los modelos

1 SARIMA(1, 0, 2)⇥ (0, 1, 1)3

,

2 SARIMA(1, 1, 2)⇥ (2, 1, 1)2

,


Metodologıa de Box-Jenkins para modelos ARIMA

estacionales

Etapa de identificacion de los ordenes p, d , q,P,D y Q.

Una vez que hemos introducido una familia de proceso nuestro objetivo sera,

dada una serie de tiempo observada {xt}Nt=1

, encontrar un(os) modelo( de esa

familia del cual podamos suponer que nuestra serie observada sea un elemento

muestral. Usando el principio de parsimonia, es decir usar el modelo con el

menor numero de parametros posibles.

Etapa 1

Identificación de

los parámetros

d,D,p,P,q y Q

Etapa 2

Estimación de

los coeficientes

Etapa 3

Verificación de

los supuestos

El modelo

cumple con

los supuestos

Usar el modelo

para hacer

predicción

sí

No


Identificacion del modelo, esta parte la podemos dividir en dos

partes:

1

Buscamos la estructura no estacionaria (si es que la hay), esdecir filtrar la parte de tendencia y/o parte estacional, para

quedarnos con la parte estacionaria.

2

Una vez obtenida la parte estacionaria buscaremos cual es el

modelo ARMA que mejor ajusta esta parte.

En otras palabras buscamos encontrar una transformacion de los

datos originales de tal forma que obtengamos una serie

estacionaria. Aquı tenemos dos posibles tipos de trasformaciones

posibles


Cuando graficamos la serie de tiempo observada y notamos que la

varianza no es constante, una forma de corregir este problema es aplicar

una transformacion del tipo Box Cox a los datos, es decir

T (Xt) =

(X�t �1

� si � 6= 0

log (Xt) si � = 0

.

Cuando graficamos la serie de tiempo observada y notamos que no tiene

una media costante es recomendable aplicarle el operador diferencia r;

anteriormente habıamos platicado que el operador diferencia eliminaba

tendencias lineales, mt = a

0

+ a

1

t, y que el operador diferenica aplicado

dos veces, r2

, elimina tendencias cuadraticas, mt = a

0

+ a

1

t + a

2

t

2

. En

la practica no hacen falta diferenciar mas de dos veces una serie para

quitarle el componente de tendencia.

Algunas veces las series de tiempo veces presentan un componente

estacional St con periodo s, esto lo podemos notar de manera grafica a

partir de la acf muestral, ya que las autocorrelaciones son muy

significativa en los lag�s s, 2s, 3s, 4s, . . . y decrece de manera lenta. En

estos casos es aconsejable aplicarle a la serie una diferencia estacional

rs = (1� B

s), no es comun que se requiera aplicar una diferencia mas

de una vez.


1

Encontrar d y D tal que la serie

Yt = (1� B)d (1� Bs)

D T (Xt) tenga aspecto estacionario.

Notemos que la serie la serie de tiempo original Xt corre de

los ındices t 2 {1, 2, . . . , n}, mientras que la serie estacionaria

Yt corre de los ındices t 2 {d + sD + 1, . . . , n}.2

Examinar la ACF y la PACF muestrales asociadas a {Yt}tpara aquellos enteros que son multiplos de s, (identificar losordenes de P y Q del modelo).

Si b⇢(·) y ˆ�k k son la ACF y la PACF muestral respectivamente

de la serie {Yt}t , entonces P y Q pueden seleccionarse de

forma tal que, b⇢(ks) y ˆ�sk sk con k = 1, 2, . . .sea compatible

con la ACF y la PACF teoricas del modelo ARMA(P,Q)s .

3

Los ordenes de p y q deben ser seleccionados de forma tal que:

b⇢(1), . . . , b⇢(s � 1) sea complatible con la ACF teorica y

ˆ�1 1

, . . . , ˆ�s�1 s�1

sea complatible con la PACF la teorica de

un proceso ARMA(p, q).

En las aplicaciones es usual que d 2 {0, 1, 2} y D 2 {0, 1}.Miguel Chong Series de tiempo

}Series de Tiempo

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