1 SERIES El objetivo principal de esta temática del syllabus es el de representar funciones analíticas mediante series. Para tal efecto se presentarán teoremas importantes que garantizan la existencia de dichas representaciones, y ejemplos en el manejo de las series complejas. CONVERGE NCIA DE SUCESIONES : Una sucesión infinita 1 2 3 , , , ..... .... n z z z zde números complejos tiene lími te zsi, para cada número positivo , existe un entero positivo0 n tal que 0 siempre que n z z n> n Geométricamente significa que para valores de n suficientemente grandes, los puntos n zcaen en el interior de un entorno de zde radio dado. El valor del índice 0 n en general depende del elegido. Como el escogido es tan pequeño como se quiera, se tiene como consecuencia que la distancia entre los puntos n zy zse hace arbitrariamente más pequeña en la medida que el subíndice n se incrementa. En otras palabras, la mayoría de los elementos de la sucesión tienden a concentrarse o a “apilarse” alrededor del valor límite z(ver figura 1). Figura 1. Interpretación geométrica de sucesión convergente. El límite es únicoy cuando éste existe se dice que la sucesión converge al valor límite z; y se nota como: lim n n z zEn caso que el límite no exista, la sucesión se d ice divergente. Teorema 1.Supóngase que 1,2,3,..... n n n z x i y n y z x i y . Entonces lim n n z zsi y sólo si lim l im n n n n x x y y y 1 z2 zn zzx y
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converge a S. En estos casos de convergencia se suele notar1
Sn
n
z
.
Como las sucesiones convergentes tienen límite único, de igual forma las series tienen a lomás una suma S (única). Cuando una serie no converge, se dice que diverge.
Teorema 2. Sea 1,2,3,....n n n z x iy n y S = X + iY. Entonces
serie compleja del lado izquierdo converge si solo si las dos series reales del lado derecho
también convergen.
Se pueden extender propiedades de las series reales a series complejas que se resumen enlos siguientes dos corolarios:
Corolario 1. Si una serie de números complejos converge, entonces el término n-ésimo
converge a cero cuando n tiende a infinito.
En símbolos: Sí 1
S entonces lim 0n nn
n
z z
Como la serie compleja converge entonces las series reales también convergen (teorema2)
1 1X y Yn n
n n x y
Del análisis real sabemos que sí una serie converge, su termino n-ésimo tiende a cero, porlo tanto aplicando este resultado a las dos series anteriores se tiene
lim 0 y lim 0n nn n
x y
Así, lim lim( ) lim lim 0 0 0n n n n nn n n n
z x iy x i y i
De la propiedad anterior se infiere que los términos de series convergentes son acotados.
Es decir cuando la serie1
n
n
z
converge, existe una constante positiva M tal que
1,2,3,...n
z M n
Definición (de serie absolutamente convergente):
La serie1
n
n
z
se dice absolutamente convergente si la serie
2 2
1 1
,n n n n n n
n n
z x y z x i y
de números reales2 2
n n x y converge .
Nota:2 2 distanciaal origen
n n n z x y .Si los puntos están sobre un círculo de radio 1
Teorema 3. Supóngase que una función f es analítica en un disco abierto0 0
z z R ,
centrado en0
z y de radio0
R (ver figura). Entonces, en todo punto z del disco, ( ) f z
admite representación en serie de potencias
0 0 0
0
( ) ( ) n
n
n
f z a z z z z R
donde ( )
0( )
0,1,2,3,.....!
n
n
f za n
n
Esto es, la serie converge a ( ) f z cuando z esta en el disco abierto0 0
z z R .
Comentarios previos a la demostración.
La expansión de ( ) f z es el desarrollo en serie de Taylor en torno al punto0
z . Esta
es la conocida serie de Taylor del análisis real adaptada a funciones de variablecompleja
La serie puede reescribirse como
2 30 0 00 0 0 0 0 0
'( ) ' '( ) ' ' '( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ,
1! 2! 3!
f z f z f z f z f z z z z z z z z z R
donde (0)
0 0( ) ( ) 0! 1 f z f z y
Cualquier función que sea analítica en un punto0
z debe tener serie de Taylor en el
entorno que lo contenga, ya que si f es analítica en0
z , es analítica en alguna
vecindad 0 z z ; y tomando 0 R se tienen las condiciones del teorema. Por
otro lado, si f es entera, el radio0
R puede elegirse arbitrariamente grande y en
este caso la serie igualmente converge a ( ) f z en cada punto z del plano finito,
donde la condición es 0 z z .
Cuando se conoce que f es analítica en el interior de un círculo, la convergencia
de la serie de Taylor a ( ) f z para cada z interior al círculo esta garantizada y no serequiere de ninguna prueba de convergencia de la serie. En efecto, de acuerdo con el
teorema de Taylor la serie converge a ( ) f z dentro del círculo de centro0
z y cuyo
radio es la mínima distancia de0
z al punto1
z para el cual f deja de ser analítica.
Lo que realmente se deduce es que con esta distancia mínima se obtiene el círculo
más grande centrado en0
z donde la serie converge a ( ) f z para todo z interior a él.
Tabla 1. Contrastando el valor de la serie (N=35) y el de la función exponencial complejaen un mismo punto z , comprobándose así la representación de la función mediante serie
de Maclaurin para cada z del plano.
Comprendida la parte conceptual del teorema 3 para funciones analíticas, se desarrollaránmás ejemplos desde el punto de vista algebraico.
Hallar la serie de Maclaurin para la función analítica 2 3 z z e . En este caso basta reemplazar
por 3 z z en la serie0
1,
!
z n
n
e z zn
obteniéndose así: 3
0
3,
!
n z n
n
e z zn
Ahora multiplicando por2
z se llega a
2 22 3 2
0 2 2
3 3 3,
! ( 2)! ( 2)!
n k n z n k n
n k n
z e z z z zn k n
que representa la función analítica como una serie de Taylor(Maclaurin).
Ejemplo 6. Encontrar la representación de Maclaurin para la función entera ( ) sin f z z .
Por el teorema 3 esta función dada posee serie de Maclaurin. Como sabemos que
Nótese que lo que se obtuvo aquí es la serie geométrica donde la razón de la serie es z. Esteejemplo corresponde al ejemplo 4 pero resuelto de una forma más directa.
Si reemplazamos por 1 z z se obtiene la representación en serie de Taylor de1
( ) f z z
dentro del disco abierto con centro en 1 z y radio 1: 1 1 z así:
0 0
1(1 ) ( 1) ( 1) , 1 1
n n n
n n
z z z z
Ejercicio: compruebe que para puntos exteriores al disco0
1( 1) ( 1)
n n
n
z z
y para
puntos interiores la igualdad es válida.
Si arriba el reemplazo es por z z entonces se obtiene:0
válida en todos los puntos de analiticidad o si se quiere en0
0 z z el plano
perforado en0 z .
Ejemplo 9. Las expansiones de Laurent suministran un formalismo para la clasificaciónde las singularidades de una función. Las singularidades aisladas son de tres tipos:
Singularidad Esencial: considérese la función1
( ) cos f z z
. Usando la expansión
de coseno:2 4 6
1 1 1 1cos 1 ....
2! 4! 6! z z z z
para 0 z .
Nótese que esta serie nunca trunca las potencias inversas de z .Las singularidadesesenciales tienen expansiones de Laurent que tienen un número infinito de potencias
inversas de0( ) z z . El valor del residuo para esta singularidad esencial en 0 z es
10b .
Singularidad Removible. Considérese la funciónsin
( )z
f z z
. Esta función tiene
singularidad en 0 z . Aplicando la expansión para sin z ,
3 5 7 9 2 4 5 8sin( ) 1
... 1 ...3! 5! 7! 9! 3! 5! 7! 9!
z z z z z z z z z z
z z
. para todo 0 z .
Nótese que aquí ( ) f z se hace analítica definiéndola mediante la serie y en el
proceso se removió la singularidad. El residuo para una singularidad removible
siempre es cero (1 0b ).
Polo de orden n. Considérese la función3
1( )
( 1) ( 1) f z
z z
Esta función tiene dos singularidades: una en 1 z y la otra en 1 z .
Consideremos sólo el caso de 1 z . Mediante el uso del algebra se puede ver que
donde C es cualquier contorno cerrado simple orientado positivamente
alrededor del origen. Ya que1
1b , entonces la integral
1
2 z
C
e dz i
El método anterior es de uso común en la evaluación de integrales complejas y será usadoampliamente más adelante como una de las aplicaciones de la teoría del residuo.